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2020-2021学年北京市西城区高二下学期期末模拟考试数学(理)试题及解析-精品试题

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北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试英语试题 含答案

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试英语试题 含答案

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试英语试题本试卷共15页，共140分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（共75分）I. 听力理解（共三节，22.5分）第一节：(共4小题；每小题1.5分，共6分)听下面四段对话, 每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段对话你将听一遍。

1. What is the wom an’s suggestion for the man?A. Having a good rest.B. Doing more exercise.C. Taking some medicine.2. Where did the man study last night?A. At his home.B. At the Smiths’.C. At a café.3. What does the man like to read best?A. Romantic poetry.B. Detective novels.C. Science fiction.4. What is the man probably doing?A. Creating a design.B. Introducing a major.C. Having an interview.第二节：（共6小题；每小题1.5分，共9分）听下面三段对话, 每段对话后有两道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

每段对话你将听两遍。

听第5段材料，回答第5至第6小题。

5. Why did the woman start to learn dancing?A. She wanted to become a dancer.B. She had to take part in a show.C. She needed to keep in shape.16. Who persuaded the man to learn piano?A. His uncle.B. His teacher.C. His mother.听第6段材料，回答第7至第8小题。

北京市西城区2020年高二下数学期末调研试题含解析

北京市西城区2020年高二下数学期末调研试题含解析

北京市西城区2020年高二(下)数学期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数． A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④2．()481214y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．58B ．62C ．52D ．423．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）.附表：A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞U 时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s =>D ．1212,x x s s6．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．7．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），则下列说法中不正确的是A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.8．双曲线221169x y -=的焦点坐标是A ．7,0（）B ．0,7（）C ．5,0（）±D ．0,5（）±9．若函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．()2,2-B ．(]0,2C ．(]2,0-D ．[)0,210．已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．22m -≤≤B ．2m ≤-或2m ≥C ．2m ≤-D ．2m ≥11．设01p <<，随机变量X ，Y 的分布列分别为 X 123Y 123P2p 1p - 2p p - P3p 21p - 23p p -当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A ．2B ．3316C ．5527D ．653212．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92BC ．13D二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知复数z 的共轭复数是z ，且2iz z i+-=，则z 的虚部是__________． 14．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=v v，且a b ⊥v v ，则m =_______.15．已知函数2()4x f x =，()1g x x =+，(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，当[2,2]x ∈-时，()h x 的值域为_____；16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*12n n S S n N +=∈，则10a =________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()2()xf x e ax a R =-∈．（1）若()()1f xg x x =+有三个极值点123,,x x x ，求a 的取值范围； （2）若3()1f x ax ≥-+对任意[]0,1x ∈都恒成立的a 的最大值为μ，证明：2655μ<<． 18．已知曲线22:194x y C +=，直线32:2x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点作与直线l 夹角为30°的直线，交于l 点A ，求||PA 的最大值与最小值. 19．（6分）设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围．20．（6分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： （1）随机变量ξ的分布列； （2）随机变量ξ的均值．21．（6分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin A A +=0，a =b=2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求△ABD 的面积.22．（8分）21(2)nxx+的展开式一共有13项.（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；函数f(x)的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数()()1 2G x f x=-有无数个零点，故③正确；函数f(x)有增有减，故④不正确．故答案为②③．【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．2．D【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，赋值即可求出． 【详解】()481214y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数是22228412424C C ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.选D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式以及赋值法求展开式特定项的系数． 3．A 【解析】 【分析】对照表格，看2K 在0k 中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论． 【详解】由2K ≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A ． 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题． 4．C 【解析】 【分析】求导令导函数等于0，得出2cos x k =-，将问题转化为函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k =- 令函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞它们的图象如下图所示由图可知，函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在()0,2p 内的极值点的个数为2个 故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小． 【详解】由茎叶图可看出甲的平均数是89141515162122158+++++++=，乙的平均数是78131515172223158+++++++=， ∴两组数据的平均数相等．甲的方差是()149361001364921.58+++++++= 乙的方差是()164494004496432.258+++++++=∴甲的标准差小于乙的标准差，故选B ． 【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定． 6．C 【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A =种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A =种取法，∴36312010P == 考点：古典概型及其概率计算公式 7．C 【解析】由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心(),x y ，正确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R 2来刻画回归效果,R 2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确， 线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。

北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析

北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析

北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=,则复数z 在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】 由()12z i i +=，得()122=1255i i ii z i -+==+， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为2155⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B．2C ．1 D【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴常为2a 1211222{2PF PF a PF PF a +=⇒-= 1PF ⇒=12,a a +212PF a a =-222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π⇒=++--+-⇒2221111124(2(24c a a =+-⇒=≥=⇒122e e ≥,故选B. 3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( )A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是假设三内角都大于60 .故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.4．已知，则函数的单调递减区间为( )．A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，并对该函数求导，解不等式，将解集与定义域取交集得出函数的单调递减区间。

2020-2021学年北京市西城区高二数学上学期期末考试数学试题含解析

2020-2021学年北京市西城区高二数学上学期期末考试数学试题含解析
9.已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，其中 ．那么这两个圆的位置关系不可能为（）
A.外离B.外切C.内含D.内切
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
求出圆心距 的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.
〖详 解〗由两圆的标准方程可得 ， ， ， ；
则 ，所以两圆不可能内含.
故选：C.
10.点 在直线 上，若椭圆 上存在两点 ，使得 是等腰三角形，则称椭圆 具有性质 ．下列结论中正确的是（）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
求出 的值，结合双曲线的定义可求得 的值.
〖详 解〗在双曲线 中， ， ，
因为双曲线 的离心率为 ， ， ，
由双曲线的性质可知 ，由双曲线的定义可得 ，
解得 或 .
故选：A.
〖点 睛〗关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：
利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得 ，得出n的值.
〖详 解〗在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项 项的二项式系数最大，即 ，解得：
故选：C．
〖点 睛〗结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在 的展开式中，若n是偶数时，中间项 项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项 与 项的二项式系数相等且最大．
（1）双曲线定义的集合语言： 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
（2）利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
8.在正三棱锥 中， ， ，则直线 与平面 所成角的大小为（）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗

2020年北京市西城区高二下期末数学试题和答案

2020年北京市西城区高二下期末数学试题和答案

2020北京西城高二（下）期末数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）函数y＝在x＝1处的瞬时变化率为（）A．2 B．C．﹣D．13．（4分）（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．8 B．7 C．6 D．44．（4分）曲线在点Q（1，2）处的切线方程为（）A．2x+y﹣4＝0 B．2x+y+4＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝05．（4分）某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（）A．p3B．p3（1﹣p）C．C p3（1﹣p）D．C p36．（4分）已知某一离散型随机变量X的分布列如下，且E（X）＝6.3，则a的值为（）X4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．87．（4分）已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，则的值为（）A．B．﹣C．﹣1 D．﹣π8．（4分）已知函数f（x）和g（x）的导函数f′（x），g′（x）图象分别如图所示，则关于函数y＝g（x）﹣f （x）的判断正确的是（）A．有3个极大值点B．有3个极小值点C．有1个极大值点和2个极小值点D．有2个极大值点和1个极小值点9．（4分）万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律．十二平均律包括六个阳律（黄钟、太族、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟）．现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律（）A．450种B．900种C．1350种D．1800种10．（4分）设函数f（x）定义域为D，若函数f（x）满足：对任意c∈D，存在a，b∈D，使得（c）成立，则称函数f（x）满足性质Γ．下列函数不满足性质Γ的是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝x3C．f（x）＝e x D．f（x）＝lnx二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市西城区高二数学下学期期末试卷 理(含解析)

北京市西城区高二数学下学期期末试卷 理(含解析)

2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B．C．e D．﹣e3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B． C．D．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为．10．展开式中的常数项是．11．离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3p p1p2且Eξ=2，则p1= ；p2= ．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：复数=．故选A．2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B．C．e D．﹣e【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得其导数f′（x），将x=﹣1代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e﹣x，则f′（x）=﹣e﹣x，则f′（﹣1）=﹣e﹣（﹣1）=﹣e；故选：D．3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出目标被击中的概率．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）=，P（B）=，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p=1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]=1﹣=．∴目标被击中的概率是．故选：C．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断．【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先求曲线的交点的坐标，确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S=（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=﹣=，故选：C6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2×2=4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2=8个比2000大的偶数，故选：D．7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B． C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，并求f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值．【解答】解：函数，∴f′（x）=1﹣cosx；令f′（x）=0，解得cosx=，又x∈[0，π]，∴x=；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）=﹣sin=﹣1，f（0）=0，f（π）=π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．【考点】62：导数的几何意义．【分析】要求函数在x=2处切线的斜率，即求在x=2处的导数值．【解答】解：∵y=∴y′=﹣则y′=﹣∴曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．故答案为：﹣10．展开式中的常数项是24 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：展开式的通项公式为 T r+1=•24﹣r•（﹣1）r•x4﹣2r，令4﹣2r=0，求得r=2，可得常数项是24，故答案为：24．11．离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3p p1p2且Eξ=2，则p1= ；p2= ．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】由Eξ=2，利用离散型随机变量ξ的分布列，列出方程组，由此能求出解得p1，P2．【解答】解：∵Eξ=2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P2=．故答案为：，．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有42 种．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得甲必须排在第二、三、四、五的位置，对甲的位置分种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，②、若甲排在第五的位置，分别求出每一种情况下的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A33=6种情况，则此时有3×2×6=36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33=6种情况，则此时有1×1×6=6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6=42种；故答案为：42．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）或﹣1 ．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由于函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（0）＜0，进而验证a=﹣1与a=0时是否符合题意，即可求答案．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣2ax+1，a≠0时，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，当a=﹣1时，f′（x）=﹣3x2+2x+1=0，在（﹣1，0）上恰有一根x=﹣，当a=0时，f′（x）＞0，函数无极值点，综上，a∈（﹣∞，﹣）或a=﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣）或﹣1．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为0 ；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为﹣．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】①若a=e，可得b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x﹣ax求出导数和单调区间，可得b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到a﹣b的最小值．【解答】解：①若a=e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex的导数为y′=e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x=1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x﹣ax的导数为y′=e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x=lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna的导数为f′（a）=lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a=时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式依次计算可得答案；（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，利用数学归纳法证明可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1=1，，则a2=×a1+1=4，a3=×a2+1=9，a4=×a3+1=16，a5=×a4+1=25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，用数学归纳法证明：①、当n=1时，a1=12=1，即n=1时，a n=n2成立，②、假设n=k（k≥1）时，结论成立，即a k=k2，n=k+1时，a k+1=×a k+1=（k+1）2，即n=1时，结论也成立，根据①②可得：a n=n2成立．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．（Ⅱ）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•=，故甲至少命中1次的概率为1﹣=．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）=，∴p=．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•=，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••=，故两人共命中3次的概率为+=．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣1时，f（x）=x3﹣3x2，f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x=0是极大值点，极大值是f（0）=0，x=2是极小值点，极小值是f（2）=﹣4；（Ⅱ）f′（x）=3x2+6ax=3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max=f（2）=12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，故f（x）max=f（0）=0或f（2）=12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max=f（0）=0．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，利用排列组合知识求出P（A）=，从而求出P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）===∴P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）=1﹣=，整理，得：x2﹣29x+120=0，解得x=5或x=24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX=．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a=b=1，即有f（x）=x2+x，令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，h′（x）=2x+1﹣==，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x=处取得极小值，且为最小值，且h（）=+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）=ax2+bx的导数为f′（x）=2ax+b，g（x）=lnx的导数为g′（x）=，可得2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2=lnm，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），则u′（m）=，当m＞e时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜e时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m=e处取得极小值，且为最小值，且u（e）==﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性，得到函数g（x）在（1，+∞）的零点个数，求出方程在（1，+∞）的解的个数即可；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，根据函数的单调性求出函数的最小值，h （x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0=a﹣alna≥0，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣a=（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）=xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）=﹣a＜0，g（a+1）=ae a+1﹣a=a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）=xe x﹣﹣a= [（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）=0，则（x﹣1）e x﹣a=0，由（Ⅱ）得g（x）=（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a=0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：x （1，x0）x0（x0，+∞）h′（x）﹣0 +h（x）递减极小值h（x0）递增∴函数h（x）的最小值是h（x0），h（x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a=0，得x0﹣1=，故h（x0）=•﹣aln=a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．。

北京市西城区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试题 Word版含解析

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北京市西城区2019—2020学年度第二学期期未试卷高二数学一､选择题1. 在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. 【详解】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2. 函数y =1x =处的瞬时变化率为（ ）A. 2B.12C. 12-D. 1【答案】B 【解析】 【分析】函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解 【详解】,y x y '=∴=112x y =∴='所以函数y =1x =处的瞬时变化率为12故选：B【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题. 3. 4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r，2x ∴的系数为246C =．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 曲线2y x=在点()1,2Q 处的切线方程为（ ） A. 240x y +-= B. 240x y ++= C. 10x y -+= D. 10x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在1x =处的导数值，即切线斜率，即可求出切线方程. 【详解】2y x =，22y x'∴=-， 当1x =时，2y '=-，故切线斜率为2-，∴切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.5. 某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A. 3p B. 3(1)p p -C. 334(1)C p p -D. 334C p【答案】C 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X ， 则X 服从二项分布，即()4,XB p ，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()3343(1)P X C p p ==-. 故选：C.【点睛】本题主要考查求独立重复试验对应的概率，属于基础题型.6. 已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】分析：先根据分布列概率和为1得到b 的值，再根据E(X)=6.3得到a 的值. 详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3， 所以a=7. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①0i P ≥，1,2,3,,,i n =；②121n P P P ++++=.7. 已知函数()cos sin f x x x x =-，则2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值为（ ） A.2π B. 2π-C. 1-D. π-【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可； 【详解】因为()cos sin f x x x x =-所以()()cos cos cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x x x '''=+-=--=- 所以sin 2222f ππππ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.8. 已知函数()f x 和()g x 的导函数()f x '､()g x '图象分别如图所示，则关于函数()()=-y g x f x 的判断正确的是（ ）A. 有3个极大值点B. 有3个极小值点C. 有1个极大值点和2个极小值点D. 有2个极大值点和1个极小值点【答案】D 【解析】 【分析】根据题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =；结合题中函数图像，判定函数()()=-y g x f x 的单调性，进而可得极值点.【详解】由题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =，由图像可得，当1x x <时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当10x x <<时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减；当30x x <<时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当3x x >时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减； 所以()()=-y g x f x 有两个极大值点1x 和3x ；有一个极小值点0. 故选：D.【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型.9. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律十二平均律包括六个阳律（黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟）.现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律（ ） A. 450种 B. 900种 C. 1350种 D. 1800种【答案】B 【解析】 【分析】分为两步，第一步，取出2个阳律和2个阴律，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，利用分步计数原理可得.【详解】第一步，取出2个阳律和2个阴律，有2266225C C =种，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，有22224A A =种，根据分步计数原理可得，共有2254900⨯=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合与计数原理的问题，属于基础题.10. 设函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 满足：对任意c D ∈，存在,a b D ∈，使得()()()f a f b f c a b-'=-成立，则称函数()f x 满足性质Γ.下列函数不满足性质Γ的是（ ） A. 2()f x x = B. 3()f x x = C. ()xf x e =D.()ln f x x =【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()()g x f x f c x '=-，可得()()g x f x ''''=，则()f x ''在定义域内正负号不变时满足性质Γ，若()f x ''有唯一变号零点0x 时不满足性质Γ，则通过计算()f x ''即可判断. 【详解】()()()f a f b f c a b-'=-可化为()()()()f a f c a f b f c b ''-=-，令()()()g x f x f c x '=-，则()()()g x f x f c '''=-，()()g x f x ''''=，∴若()f x ''在定义域内正负号不变，那么x c =是()g x '的变号零点，则()g x 在x c =的两侧的单调性不一致，因此满足性质Γ；若()f x ''有唯一变号零点0x ，那么取0c x =，则()g x '在定义域内的正负号不变，进而函数()g x 在定义域内单调，因此不满足性质Γ.对于A ，()2f x x '=，则()20f x ''=>，所以满足性质Γ；对于B ，()23f x x '=，则()6f x x ''=有唯一变号零点0，所以不满足性质Γ；对于C ，()x f x e '=，则()0xf x e ''=>，所以满足性质Γ； 对于D ，()1f x x '=，则()210f x x''=-<，所以满足性质Γ. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题.二､填空题11. 若复数41z i=-，则||z =___________.【答案】【解析】 【分析】先利用复数除法运算求出z ，再求出模即可. 【详解】()()()4142+2111i z i i i i +===--+，||z ∴==故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算和模的求解，属于基础题.12. 在5232x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】40 【解析】 【分析】先求出展开式的通项105152r r rr T C x-+=，令1050r -=即得解. 【详解】设展开式的通项为2510515532()()2r rr r r r r T C x C x x--+==， 令1050,2r r -=∴=，所以常数项为225240C =.故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45 【解析】 【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法； 第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种. 故答案为：45.【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 14. 中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元. 【答案】1 【解析】 【分析】求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案.【详解】由题意，此人中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：199910000110001000⨯+⨯=元. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题. 15. 能说明“若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数”为假命题的一个函数是__________.【答案】3()1f x x =+(答案不唯一)【解析】 【分析】根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.【详解】若3()1f x x =+，则()23f x x '=是偶函数，但3()1()f x x f x -=-+≠-，所以()f x 不是奇函数；能满足“若()f x '为偶函数，则()f x为奇函数”为假命题.故答案为：3()1f x x =+.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.16. 辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% 对于此次招生，给出下列四个结论： ①法学院的录取率小于商学院的录取率； ②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解. 【详解】设申请法学院的男生人数为x ，女生人数为y ，则200x y +=， 法学院的录取率为0.50.70.50.7(200)0.70.001200200x y x x x ++⨯-==-，设申请商学院的男生人数为m ，女生人数为n ，则300m n +=， 商学院的录取率为0.60.90.60.9(300)0.90.001200200m n m m m ++⨯-==-，由()()0.90.0010.70.0010.20.001()0.001(200)m x m x m x ---=--=-+， 该值的正负不确定，所以①错误，④正确； 这两个学院所有男生的录取率为0.50.6x mx m++，这两个学院所有女生的录取率为0.70.9y ny n++，因为0.50.60.70.90.20.40.10.30()()x m y n xy xn my nmx m y n x m y n +++++-=<++++，所以②正确；③错误. 故答案为：②④.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题.三､解答题17. 已知函数3()3f x x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-；（2）最大值为18，最小值为2-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可． 【详解】（1）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-. （2）因为函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增， 又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =，所以，函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值为18，最小值为2-.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，属于基础题 18. 某射手打靶命中8环､9环､10环的概率分别为0.15.0.25.0.2.如果他连续打靶三次，且每次打靶的命中结果互不影响. （1）求该射手命中29环的概率； （2）求该射手命中不少于28环的概率. 【答案】（1）0.03；（2）0.0935. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，由独立事件的概率计算公式，即可得出结果；（2）根据题中条件，分别计算出命中30环，命中28环，命中29环对应的概率，再求和，即可得出结果.【详解】（1）设A =“连续射击3次，中29环”.则223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03.（2）设B =“连续射击3次，命中不少于28环”， 依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=；命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅0.0180.03750.0555=+=；由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以()0.0080.05550.030.0935P B =++=，所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.【点睛】本题主要考查独立事件的概率，考查求互斥事件发生的概率，属于常考题型. 19. 已知函数()ln (0)f x x a x a =-≠.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值点和极值. 【答案】（1）1y =；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求得11()1x f x x x'-=-=，得到()01f '=，()11f =，即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=，分0a <和0a >两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的极值，得到答案.【详解】（1）当1a =时，函数()ln f x x x =-，可得11()1x f x x x'-=-=，则()01f '=， 又因为()11f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. （2）由函数()ln f x x a x =-，可得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=， ①当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，不存在极值；②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x()0,aa(),a +∞()f x '-+所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-，无极大值， 综上可得，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中熟记导数与原函数的关系，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理､化学､生物､历史､地理､政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程.某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（2）从第8组､第9组､第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由. 【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：1211；（3）选择历史的可能性最大，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）由表可知，选择地理的总人数为79，然后依次求出同时选择生物、化学、政治、物理或历史的概率，取最大者即可．【详解】解：（1）设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”， 则17121074501()1001002P A ++++===，所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. （2）第8､9､10组共有11人，其中选择政治的有6人. 所以X 的所有可能取值为0，1，2.252112(0)11C P X C ===，11562116(1)11C C P X C ===，262113(2)11C P X C ===.所以X 的分布列为故X 的期望()01211111111E X =⨯+⨯+⨯=. （2）选择地理的总人数为：20141210975279+++++++=.所以P (“同时选择生物”)141292377979+++==；P (“同时选择化学”)12107297979++==；P (“同时选择政治”)202227979+==；P (“同时选择物理”)1095247979++==； P (“同时选择历史”)201475467979+++==.因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大.【点睛】本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题． 21. 已知函数2()12xa f x e x x =---. （1）若0a =，证明：()0f x ≥；（2）若曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）{}0a a ≤. 【解析】 【分析】（1）当0a =时，求得()1x f x e =-'，根据()'f x 的符号，求得函数的单调性与最小值，即可求解；（2）求得函数导数()1xf x e ax '=--，设()1xg x e ax =--，把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，利用导数，分类讨论求得函数()g x 单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当0a =时，函数()1xf x e x =--，可得()1xf x e =-'， 令()0f x '>，即10x e ->，解得0x >；令()0f x '<，即10x e -<，解得0x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()00f =，所以()0f x ≥.（2）由函数2()12xa f x e x x =---，可得()1x f x e ax '=--， 设()1xg x e ax =--，可得()xg x e a '=-由曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值， 所以0a ≤符合题意. ②当0a >时，令()0g x '>，即0x e a ->，解得ln x a >； 令()0g x '<，即0-<x e a ，解得ln x a <，所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，最小值()ln ln ln 11ln a g a e a a a a a =--=--,所以0a >不符合题意（舍去）.综上可得，实数a 的取值范围为{}0a a ≤.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值（最值），以及把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，转化为函数()g x 不存在最小值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 22. 已知函数()ln f x x ax a =+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当1a >时，函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，讨论0a ≥和0a <时导数情况，即可求出单调区间；（2）由题可得所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，求出()g x 的导数，讨论其单调性，即可进行判断.【详解】解：（1）函数()f x 定义域为()0,∞+，11()ax f x a x x'+=+=. ①当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-；由()0f x '<，得1x a >-.所以()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由已知1()ln x g x e x ax a -=--+，0x >.因为()11g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点， 即min ()(1)1g x g <=.因为()ln x e g x x ax a e=--+，所以11()x g x e a x -'=--.因为函数1x y e-=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， 因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()g x 有最小值，最小值为()()011g x g <=. 所以函数1()()x g x ef x -=-存在最小值，且最小值小于1.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数求函数最值，属于较难题.。

2020-2021学年北京市西城区高二下期末模拟数学试卷(理)及解析-精品试题

2020-2021学年北京市西城区高二下期末模拟数学试卷(理)及解析-精品试题

最新北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A．24 B．12 C．6 D．43．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（）A．B．C．D．4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A．B．C．D．5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（）A．x=﹣1B．x=﹣C．x=1 D．x=6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（）A．120 B．144 C．216 D．2407．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c 的值为（）A．252或253 B．253或254 C．254或255 D．267或2688．已知函数f（x）=e x+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f （x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分.9．函数f（x）=cosx，则f′（）= ．10．定积分dx的值为．11．设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3= ．12．由数字1，2组成的三位数的个数是（用数字作答）．13．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A ﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在数列{a n}中，a1=1，a n=n•a n﹣1，n=2，3，4，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求c的取值范围．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A 科目B 科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．（Ⅰ）证明：对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤；（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则在复平面内，复数z对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A．24 B．12 C．6 D．4【考点】二项式系数的性质．【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出．【解答】解：（x+2）4的展开式的通项公式为T r+1=C4r•24﹣r•x r，令r=2，故展开式中x2的系数为C42•22=24，故选：A．3．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（）A．B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ln2x，∴f′（x）===，故选：D4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】将一枚均匀硬币随机投掷4次，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为：p==．故选：B．5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（）A．x=﹣1B．x=﹣C．x=1 D．x=【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．【解答】解：由f（x）=﹣x2+lnx，得f′（x）=（x＞0），当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点为x=1．故选：C．6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（）A．120 B．144 C．216 D．240【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出没有限制要求的5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人的种数，再排除甲乙两名同学分配在同一地区的种数，问题得以解决．【解答】解：5个人分成满足题意的4组只有1，1，1，2，即只有一个单位有2人，其余都是1人，故有C52A44=240种，其中甲乙两名同学分配在同一地区的方法为C41A33=24种，故甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为240﹣24=216种，故选：C．7．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c 的值为（）A．252或253 B．253或254 C．254或255 D．267或268【考点】极差、方差与标准差．【分析】设=，则数据a，b，c的方差s2=≥[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，设a=b+m，c=b+n，则s2≥[m2+n2+（m+n）2]，应该使得b=85，而当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值．【解答】解：设=，则数据a，b，c的方差s2==≥[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，设a=b+m，c=b+n，则s2≥[m2+n2+（m+n）2]，取b=85，当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值，m=﹣16，n=15时，s2取得最小值=．取b=84，当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值，m=﹣15，n=16时，s2取得最小值=．∴a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253．故选：B．8．已知函数f（x）=e x+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f （x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】将不等式变形为：＜恒成立，构造函数h（x）=，转会为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，∴不等式等价为＜成立，令h（x）=，则不等式等价为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）恒成立，即函数h（x）在（0，+∞）上为增函数；h（x）=，则h′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立；∴xe x﹣e x+2﹣a≥0；即a﹣2≤xe x﹣e x恒成立，令g（x）=xe x﹣e x，∴g′（x）=xe x＞0；∴g（x）在（0，+∞）上为增函数；∴g（x）＞g（0）=﹣1；∴2﹣a≥1；∴a≤1．∴a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分.9．函数f（x）=cosx，则f′（）= ﹣．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可．【解答】解：∵f（x）=cosx，∴f′（x）=﹣sinx，f′（）=﹣sin=﹣，故答案为：﹣10．定积分dx的值为．【考点】定积分．【分析】根据定积分的性质，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：dx=2x2dx=2×x3=．故答案为：．11．设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3= 27 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1可得a0+a1+a2+a3的值．【解答】解：令x=1，a0+a1+a2+a3=33=27，故答案为：2712．由数字1，2组成的三位数的个数是8 （用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】直接根据分步计数原理可得．【解答】解：每一位置都有2种排法，故有23=8种，故答案为：813．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为f（5）＜f（2）＜f（3）；；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为e．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】①利用导数判断在（0，e）递增，（e，+∞）递减得出f（3）＞f（5），运用作差判断f（2）﹣f（5），f（2）﹣f（3）即可得出大小．②构造函数ln（g（x））=lnx（x＞0），令h（x）=lnx（x＞0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）=lne=，结合对数求解即可．【解答】解：①∵函数f（x）=，∴f′（x）=，f′（x）==0，x=e，f′（x）=，＞0，x∈（0，e）f′（x）=＜0，x∈（e，+∞）∴在（0，e）递增，（e，+∞）递减∴f（3）＞f（5），∵f（2）﹣f（5）===＞0∴f（2）＞f（5）∵f（2）﹣f（3）==＜0∴f（3）＞f（2）故答案：f（5）＜f（2）＜f（3）；②∵函数g（x）=（x＞0），∴ln（g（x））=lnx（x＞0）令h（x）=lnx（x＞0），h′（x）=（1﹣lnx）=0，x=eh′（x）=（1﹣lnx）＜0，x＞eh′（x）=（1﹣lnx）＞0，0＜x＜e∴h（x）=lnx（x＞0），在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，h（x）的极大值为h（e）=lne=，∴函数g（x）=（x＞0）的最大值为e，故答案为：e三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在数列{a n}中，a1=1，a n=n•a n﹣1，n=2，3，4，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过n=2，3，4，5直接计算a2，a3，a4，a5的值，（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．【解答】解：（Ⅰ）a1=1，a n=n•a n﹣1，可得n=2时，a2=2；n=3时，a3=6；a4=24，a5=120（Ⅱ）猜想a n=n!．证明：①当n=1时，由已知，a1=1!=1，猜想成立．②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=k!．则n=k+1时，a k+1=（k+1）a k=（k+1）k!=（k+1）!．所以当n=k+1时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求c的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论c的范围，求出函数的最小值，从而求出c的具体范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=3x2+6x﹣9，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，∴f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）由f（﹣4）=20结合（1）得：c≥1时，函数f（x）在[﹣4，c]上的最小值是f（1）=﹣5，﹣4＜c＜1时，函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值大于﹣5，故c的范围是[1，+∞）．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A 科目B 科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，利用对立事件概率计算公式能求出甲至少有一个科目考试成绩合格的概率．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，则P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，∴甲至少有一个科目考试成绩合格的概率：P（M）=1﹣P（）=1﹣．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=++（1﹣）×，P（X=3）=，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，由此能求出3次摸球中，恰有1次中奖的概率．（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=3p3﹣6p2+3p，（0＜p＜1），由此利用导数性质能求出当f（p）取得最大值时，n的值．【解答】解：（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，∴3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）==3×=．（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：f（p）==3p3﹣6p2+3p，（0＜p＜1），∵f′（p）=9p2﹣12p+3=3（p﹣1）（3p﹣1），∴当p∈（0，）时，f（p）取得最大值，令=，解得n=2或n=1（舍），∴当f（p）取得最大值时，n的值为2．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．（Ⅰ）证明：对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤；（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明．（Ⅱ）根据最大值为；f（﹣2）=﹣b，f（x）的最小值为：﹣b，分类当b＜0时，当b=0时，当b=时，当0＜b＜时，当b＞时，判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域R，且f′（x）=x（x+2）e x，令f′（x）=0则x1=0，或x2=﹣2，f′（x）=x（x+2）e x，x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，0）f′（x）+ 0 ﹣f（x）增函数极大值减函数∴f（x）在区间（﹣∞，0]上的最大值为；f（﹣2）=﹣b，∵x∈（﹣∞，0]，∴f（x）=x2e x﹣b≥﹣b，∴f（x）的最小值为：﹣b，∴对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤f（x）最大值﹣f（x）≤；（Ⅱ）f′（x）=x（x+2）e x，函数f（x）=x2e x﹣b，当b＜0时，函数f（x）=x2e x﹣b＞0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0当b=0时，函数f（x）=x2e x，函数f（x）的零点个数为：1当b=时，函数f（x）的零点个数为；2，当0＜b＜时，函数f（x）的零点个数为：3，当b＞时，函数f（x）的零点个数为：1，20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（0），从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，单调函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=e x，则f′（x）=e x，∴f′（0）=1，L的方程是y=x+1，令g（x）=f（x）﹣（x+1），则除切点之外，曲线C在直线L的上方等价于g（x）＞0，（∀x∈R，x≠0），g（x）满足g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣1=e x﹣1，当x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）递减，当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）h（x）的定义域是{x|x＞﹣1}，且h′（x）=e x+﹣a，①a≤2时，由（Ⅰ）得：e x≥x+1，∴h′（x）=e x+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意；②a＞2时，由x∈[0，+∞），且h′（x）的导数h″（x）=≥0，∴h′（x）在区间[0，+∞）递增，∵h′（0）=2﹣a＜0，h′（lna）=＞0，于是存在x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，∴h（x）在区间（0，x0）上递减，在区间（x0，+∞）递增，∴h（x0）＜h（0）=1，此时，h（x）≥1不会恒成立，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．2016年8月27日。

2020-2021学年北京市西城区高二数学上学期期末考试数学试题含解析

2020-2021学年北京市西城区高二数学上学期期末考试数学试题含解析
利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得 ，得出n的值.
〖详 解〗在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项 项的二项式系数最大，即 ，解得：
故选：C．
〖点 睛〗结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在 的展开式中，若n是偶数时，中间项 项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项 与 项的二项式系数相等且最大．
同理可知 ，
又 平面 ， 平面 ， 平面
又 ， 平面
平面 平面
是底面 上一点．且 平面 ，
在等腰 中， 的长度最大时为
的长度最小时， 为 中点， ， ，即
故答案为： ，
〖点 睛〗方法点睛：证明面面平行常用的方法：
（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
求出 的值，结合双曲线的定义可求得 的值.
〖详 解〗在双曲线 中， ， ，
因为双曲线 的离心率为 ， ， ，
由双曲线的性质可知 ，由双曲线的定义可得 ，
解得 或 .
故选：A.
〖点 睛〗关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：
（1）双曲线定义的集合语言： 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
（2）利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
8.在正三棱锥 中， ， ，则直线 与平面 所成角的大小为（）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
根据正三棱锥的特点可知，点 在底面的投影为底面的中心 ，所以 与 的夹角即为 与平面 的夹角，然后通过题目所给的棱长，解三角形求解即可.

2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理[1]

2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理[1]

2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，{4}MN =，则复数z ＝（A ）2i - （B ）2i （C ）4i - （D ）4i （2）已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则()()11f f +'的值等于（A ）1 （B ）52 （C ）3 （D ）0 （3）已知函数52()ln 33f x x x =-，则0(1)(1)limx f f x x∆→-+∆=∆ （A ）1 （B ）1- （C ）43- （D ）53-（4）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 （5）已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（A ）10 （B ）3 （C ）5 （D ）2 （6）函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（A ）()0,3 （B ）()1,4 （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞（7）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（A ）6 （B ）5 （C ）1 （D ）0（8）以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（A ）30,,424πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ （B ）[)0,π （C ）3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭（9）在复平面内，若2(1)(4)6z m i m i i =+-+-所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(,2)-∞- （C ）(2,0)- （D ）(3,4)（10）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，错误．．的是（11）若函数()2(0)xf x a x a=>+在[)1,+∞上的最大值为33，则a ＝ （A ）31- （B ）34 （C ）43（D ）31+ （12）已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（A ）4(1)(2)f f < （B ）4(1)(2)f f > （C ）(1)4(2)f f < （D ）(1)4(2)f f '<第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）若函数321()(1)3f x x f x x '=-⋅+，则(1)f '=__________． （14）由曲线xy e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于__________． （15）观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=， 5511a b +=，…，则1010a b +=（16）若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知复数()()227656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数； （3）当106za =-时，求z 的共轭复数.（18）（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足)(1,111++∈+==N n a a a a nnn (1)分别求234,,a a a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明.（19）（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值．（20）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln xx.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t （百万元），可增加的销售额为25t t -+（百万元）03t ≤≤（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x -++（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22）（本小题满分12分） 已知函数()ln m f x x x=+（其中m R ∈），()161x g x e x +=-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2450x y -+=垂直，求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥成立，求实数m 的取值范围.xx 第二学期第一次考试 高二年级理科数学试题参考答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C 【解析】由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i.（2）【答案】C 【解析】由导数的几何意义得()()1151,112.222k f f ===⨯+=' 所以()()11f f +'=15+=322，故选C. （3）【答案】B（4）【答案】B 【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项A ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项C ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项D ，故选B. （5）【答案】A 【解析】()123xi y i +=-- 21{3y x -=⇒=- 3{1x y =-⇒=，则10x yi +=. （6）【答案】C 【解析】()()()e 3e e2xxxf x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． （7）【答案】A 【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-，令()0,f x '=可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==.故选A. （8）【答案】D 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则][3tan cos 1tan 10,,44k x ππαααπ⎡⎫==∴-≤≤∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，故选D.（9）【答案】D 【解析】整理得22(4)(6)z m m m m i =-+--对应的点位于第二象限，则224060m m m m ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩，解得34m <<. （10）【答案】D 【解析】经检验，A ：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B ：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D ：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选D. （11）【答案】A②当1a ≤，即1a ≤时， ()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()()max 111f x f a ==+． 令1313a =+，解得31a =-，符合题意． 综上31a =-．（12）【答案】B 【解析】设函数2()()f x g x x=(0)x >， 则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以(1)(2)g g >，即22(1)(2)12f f >， 所以4(1)(2)f f >，故选B. 二、填空题 （13）【答案】23【解析】∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2+x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x +1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)+1，∴f′(1)＝23. （14）【答案】e －12 【解析】由已知面积S ＝10⎰(e x＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 210|＝e ＋12－1＝e －12.（15）123（16）【答案】12【解析】设直线y kx b =+与曲线ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为()11,x kx b +，()22,x kx b +.由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+，再由切点也在各自的曲线上，可得1122ln 1,(),ln 2kx b x kx b x +=++=+⎧⎨⎩联立上述式子解得12k =. 三、解答题（17）解：（1）Z 是实数， 2560a a --=，得61a a ==-或（2）Z 是纯虚数， 2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a = （3）当106za =-时， ()()1110a a i -++=， 得()()221110a a -++=，得2a =± 当2a =时， 412z i =--,得412Z i =-+； 当2a =-时， 248z i =+,得248Z i =-(18) 解： (1）3111,2112121223112=+=+==+=a a a a a a ，41113131334=+=+=a a a (2）猜想)(1+∈=N n na n ①当n =1时命题显然成立②假设)(+∈=N k k n 命题成立，即ka k 1= 当11111111+=+=+=+=+k a a ，ak n kk k k k 时 1+=∴k n 时命题成立综合①②，当+∈N n 时命题成立（19）解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意2()03(1)0f f ⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即44033320ab a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩ 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，经检验符合题意，321()22f x x x x ∴=--(2)由(1)知2()3()(1)3f x x x '∴=+-， 令()0f x '=，得122,13x x =-=， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1,2) 2f ′(x )＋0 －0 ＋f (x ) －6极大值2227极小值－322由上表知f max (x )＝f (2)＝2，f min (x )＝f (－2)＝－6. （20）解：(I) 21ln ()xf x x-'=当0x e << 时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数． (2)依题意得，不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=. 当(1,)x ∈+∞时，21()0x g x x -'=>，则()g x 是(1,)+∞上的增函数； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 是(0,1)上的减函数． 所以()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(,1)-∞．（21）解：（1）设投入广告费t （百万元）后由此增加的收益为()f t （百万元），则()2254f t t t t t t =-+-=-+ ()224t =--+， 03t ≤≤.所以当2t =时， ()max 4f t =，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的费用为()3x -（百万元），则由此两项所增加的收益为()()23213[33g x x x x x =-+++-- ()3153]3433x x x +--=-++.()2'4g x x =-+，令()2'40g x x =-+=，得2x =或2x =-（舍去）.当02x <<时， ()'0g x >，即()g x 在[)0,2上单调递增； 当23x <<时， ()'0g x <，即()g x 在(]2,3上单调递减， ∴当2x =时， ()()max 2523g x g ==. 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元. （22）（2）由()161x g x ex +=-+， ()1'6x g x e +=-，当[]2,3x ∈时， ()'0g x >， ()g x 单调递增，故()g x 有最小值()3211g e =-，因为对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥，即()()31212f x e g x +-≥成立，所以对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()3311211f x e e +-≥-，即()11f x ≥， 也即11ln 1m x x +>成立，从而对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有111ln m x x x ≥-成立， 构造函数()ln x x x x ϕ=- 1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()'ln x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，得1x =，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0x ϕ>， ()x ϕ单调递增；当()1,2x ∈时， ()'0x ϕ<， ()x ϕ单调递减，∴()x ϕ的最大值为()11ϕ=，∴1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[)1,+∞.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 含答案

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 含答案

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）2与8的等差中项是（A ）5- （B ）5 （C ）4 （D ）4±（2）已知函数()e xxf x =，则()f x '= （A ）1e x x - （B ）1e xx + （C ）1ex x -（D ）1ex x +-（3）在抛物线22(0)y px p =>上，若横坐标为3的点到焦点的距离为5，则p =（A ）12（B ）1 （C ）2（D ）4（4）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（A ）25（B ）35（C ）13（D ）23（5）圆221:(3)(4)1C x y -+-=和圆222:16C x y +=的位置关系为（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切（D ）外离（6）设{}n a 是公比为q 的等比数列，且0(1,2,)n a n <=．若{}n a 为递增数列，则q 的取值范围是 （A ）(,1)-∞- （B ）(1,0)- （C ）(0,1)（D ）(1,)+∞（7）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X 为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X 的方差()D X = （A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）14（8）在空间直角坐标系O xyz -中，已知(,0,0),(0,,0),(0,0,)(0,0,0)A a B b C c a b c >>>，且ABC △的面积为6．过O 作OH ⊥平面ABC 于点H ．若三棱锥O ABC -的体积为6，则点H 的坐标可以为（A ）(1,1,1) （B ）(1,2,2) （C ）(1,2,1)（D ）(1,2,3)（9）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若(8)(1,2,)n a n n n =-=，则（A ）{}n a 有最大项，{}n S 有最大项 （B ）{}n a 有最大项，{}n S 有最小项 （C ）{}n a 有最小项，{}n S 有最大项 （D ）{}n a 有最小项，{}n S 有最小项 （10）已知函数32()31f x ax x =-+．若()f x 有且只有一个零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是 （A ）(,2)-∞- （B ）(2,0)- （C ）(2,)+∞ （D ）(0,2)第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷

2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷

2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设i 是虚数单位，则复数i1+i 在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知函数y =f(x)的图象如图，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是( )．A. f′(x A )>f′(x B )B. f′(x A )<f′(x B )C. f′(x A )=f′(x B )D. 不能确定3.盒中装有6个大小相同的小球，其中4个黄色的，2个红色的，从中任取3个，若至少有一个是红色的不同取法种数是m ，则二项式(m +x 2)6的展开式中x 8的系数为( )A. 3600B. 3840C. 5400D. 60004.若函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0，那么f(1)+f′(1)=( )．A. 0B. −3C. 3D. −25.设随机变量x ～B(n,p)，若Ex =2.4，Dx =1.44则( )A. n =4，p =0.6B. n =6，p =0.4C. n =8，p =0.3D. n =24，p =0.16.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k =1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)等于( )A. 89B. 23C. 13D. 297.设函数f(x)在R 上可导，且f(x −1)=x 2−2x ，则f′(3)=( )A. 0B. 4C. 6D. 88.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数y =f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”，区间[a,b]称为f(x)与g(x)的“关联区间”.若f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b 的“关联区间”是[−3,0]，则b 的取值范围是( )A. [−9,0]B. [0,53]C. [0,53)D. [−9,53)9.某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有( )种．A. 15B. 11C. 9D. 3x2+bln(x+2)在(−1,+∞)上单调递减，则b的取值范围是()10.f(x)=−12A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.复数z=2+4i，则|z|=______ ．1+i)12的二项展开式中的常数项为m，则m=______ ．12.若(x+2x213.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为______ ．14.设随机变量ξ的分布列为：则m=______ ；随机变量ξ的数学期望Eξ=______ ．+sinx，则关于a的不等式f(a−2)+f(a2−4)<0的解集是______．15. 已知函数f(x)=ln1+x1−x16. 事件“对任意实数x与y，都有x2+y2≥2xy成立”的否定形式为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分），其中k∈R．17. 已知函数f(x)=x+2k+1x(1)当k≥0时，证明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)若对任意k∈[1,7]，不等式f(x)≥m在x∈[2,3]上恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(|2x−−1|)−3k−2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．18. 一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，若从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，试求停机维修的概率．ax+b．19. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=12(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切，试求g(x)的表达式；(2)若φ(x)=m(x−1)−f(x)在[1,+∞)上是减函数，求实数m的取值范围；x+1(3)证明不等式：2n n+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．20. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．(Ⅰ)设X 表示一周5天内机器发生故障的天数，求X 的分布列； (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则一周内利润的期望是多少？21. 已知函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ． (Ⅰ)若函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，求a 的值；(Ⅱ)若函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ)证明：∑sin n k=11(k+1)2<ln2．．22. 已知函数f(x)=mx −alnx −m ，g(x)=xe x−1，其中m ，a 均为实数． (Ⅰ)求函数g(x)的极值；(Ⅱ)设m =1，a <0，若对任意的x 1、x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|恒成立，求实数a 的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数i1+i在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．解：由i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，可得复数i1+i 在复平面内所对应的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．故选：A．2.答案：B解析：分别作出A、B两点的切线，由图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A).3.答案：B解析：先求出至少有一个是红色的不同取法种数m的值，再二项展开式的通项公式求出r的值，即可求出答案．本题考查了排列与组合的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是计算题目．解：∵至少有一个是红色的不同取法种数是m=C21×C42+C22×C41=2×6+1×4=16；∴二项式(m+x2)6=(16+x2)6展开式的通项是：T r+1=C6r⋅166−r⋅x2r，令2r=8，则r=4；∴C64×162=15×256=3840，即展开式中x8的系数为3840．故选：B．4.答案：B解析：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出切线斜率是解决本题的关键．根据导数的几何意义进行求解即可．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0， ∴切线方程为y =−2x +1，则切线斜率k =f′(1)=−2，且f(1)=−2+1=−1， 则f(1)+f′(1)=−1−2=−3， 故选：B ．5.答案：B解析：解：∵随机变量x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，∴{np =2.4np(1−p)=1.44∴n =6，p =0.4 故选B ．根据x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，建立方程组，即可求得n ，p 的值． 本题考查二项分布，考查学生的计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1， 解得c =43∴P(ξ=k)=431k(1+k) ∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ．先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值． 解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0,1]之间；概率和为1；常与求随机变量的期望、方差一起出题，常出现在高考题中的解答题中．7.答案：C解析：解：∵f(x −1)=x 2−2x =(x −1)2−1， ∴f(x)=x 2−1， ∴f′(x)=2x ， ∴f′(3)=6， 故选：C ．先计算f(x)，再求导，再代入值计算即可． 本题考查导数的运算，求出f(x)是计算的关键．8.答案：C解析：解：∵f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b ，∴设y =m(x)=f(x)−g(x)=13x 3−x 2−x −2x −b =13x 3−x 2−3x −b ， 则m′(x)=x 2−2x −3，由m′(x)=x 2−2x −3=0，解得m =−1或m =3， ∵f(x)与g(x)在[−3,0]上是“关联函数”，∴当x =−1是函数m(x)在[−3,0]上的极大值，同时也是最大值， 要使m(x)=f(x)−g(x)在[−3,0]上有两个不同的零点， 则{m(0)≤0m(−1)>0m(−3)≤0.即{−b ≤053−b >0−9−b ≤0，则{b ≥0b <53b ≥−9，解得0≤b <53，故b 的取值范围是[0,53)， 故选：C求出函数y =f(x)−g(x)的表达式，利用导数求出函数的极值和单调性，根据关联函数的定义建立不等式关系即可得到结论．本题考查函数“关联函数”的定义，导数的应用以及二次函数的性质，体现了转化的数学思想，综合性较强，设计的知识点较多．9.答案：D解析：解：设该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，则{x +y +z =153x +y =33. 解得x =11−y3，所以{x =11y =0z =4，{x =10y =3z =2，{x =9y =6z =0.共3种情形．故选：D ．本题设出该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，以积分作为等量关系列出方程，即可得出结论． 本题考查积分问题，考查学生的计算能力，设出不同的情况，然后根据题目所给的条件限制求出解是解题的关键．10.答案：C解析：本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，是中档题．函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，f′(x)=−x2+2x−bx+2，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立，求出y=x2+2x在(−1,+∞)上的取值范围即可．解：由x+2>0，得x>−2，所以函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，再由f(x)=−12x2+bln(x+2)，得：f′(x)=−x+bx+2=−x2+2x−bx+2，要使函数f(x)在(−1,+∞)内是单调减函数，则f′(x)在(−1,+∞)上恒小于等于0，因为x+2>0，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立．又x2+2x=(x+1)2−1>−1，故b≤−1．故选C．11.答案：√10解析：解：复数z=2+4i1+i ，则|z|=|2+4i1+i|=|2+4i||1+i|=√20√2=√10．故答案为：√10；直接利用复数的模的求法运算法则求解即可．本题考查复数的基本运算，模的求法，考查计算能力．12.答案：7920解析：解：(x+2x2)12的展开式的通项公式为T r+1=C12r⋅x12−r⋅(2x2)r=2r⋅C12r⋅x12−3r，令12−3r=0，解得r=4；∴常数项m=24⋅C124=16×12×11×10×94×3×2×1=7920．故答案为：7920．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式为常数时r的值，再计算常数项m即可．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合公式的应用问题，是基础题目．13.答案：5解析：本题考查排列、组合的应用，涉及组合数公式的计算，关键是列出关于x 的方程．由分步计数原理分析可得恰有1名女生入选时的不同选法为C x 2C 21，结合题意可得C x 2C 21=20，解可得x 的值，即可得答案．解：根据题意，从男女学生中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有C x 2C 21种， 则有C x 2C 21=20，即C x2=10， 即x(x−1)2=10，解可得x =5或−4(舍去) 故答案为：5．14.答案：16 23解析：解：由离散型随机变量的分布列的性质可得：12+13+m =1， 解得m =16，则E(ξ)=0×12+1×13+2×16=23， 故答案为：16；23．根据分布列的性质即可求出m 的值，由此即可求出期望．本题考查了离散型随机变量的分布列的性质以及期望，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.答案：(√3,2)解析：解：由1+x1−x >0，求得−1<x <1，故函数的定义域为(−1,1)．再根据函数满足f(−x)=ln(1−x1+x )+sin(−x)=−ln 1+x1−x −sinx =−f(x)，可得函数为奇函数， 故关于a 的不等式f(a −2)+f(a 2−4)<0，即f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2)，再由函数1+x1−x 、sin x 在的定义域(−1,1)上单调递增，可得函数f(x)在其定义域上单调递增，可得 {−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，解得√3<a <2， 故答案为(√3,2)． 分析：由1+x1−x >0，求得函数的定义域为(−1,1).再根据函数为奇函数，不等式即 f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2).函数f(x)在其定义域上单调递增， 可得{−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，从而求得不等式的解集．本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16.答案：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 故答案为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.答案：(1)证明：由f(x)=x +2k+1x，得f′(x)=1−2k+1x 2=x 2−(2k+1)x 2，当k ≥0时，若x ∈[√2k +1,+∞)，则x 2−(2k +1)≥0， ∴f(x)在[√2k +1,+∞)上单调递增； (2)解：由k ∈[1,7]，得2k +1∈[3,15]， 函数f(x)=x +2k+1x在(0,√2k +1]上为减函数，在[√2k +1,+∞)上为增函数，当√2k +1<2，即2k +1∈[3,4)时，f(x)min =f(2)=k +52≥72； 当√2k +1>3，即2k +1∈(9,15]时，f(x)min =f(3)=103+2k 3>6；当2≤√2k +1≤3，即2k +1∈[4,9]时，f(x)min =f(√2k +1)=2√2k +1≥4． ∴对任意k ∈[1,7]，不等式f(x)≥m 在x ∈[2,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是m ≤72； (3)设2x −1=t ，则t >−1，且t ≠0， 方程f(|2x −1|)−3k −2=0，即|t|+2k+1|t|=3k +2，当t >0时，方程可化为：t 2−(3k +2)t +(2k +1)=0，由题意得{(3k +2)2−4(2k +1)>03k +2>02k +1>0，解得：−12<k −49或k >0 ①，当−1<t <0时，方程可化为：t 2+(3k +2)t +(2k +1)=0， 设f(t)=t 2+(3k +2)t +(2k +1)， 只需对称轴x =−3k+22<−1，f(−1)<0，f(0)>0即可，∴{−3k+22<−11−(3k+2)+(2k+1)<02k+1>0，解得：k>0②，①，②取交集得：k>0，∴实数k的取值范围是(0,+∞)．解析：(1)求出原函数的导函数，利用导函数在[√2k+1,+∞)上大于0说明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)对k分类求出函数在x∈[2,3]上的最小值得答案；(3)设2x−1=t，将问题转化为求方程t2−(3k+2)t+(2k+1)=0在(0,+∞)有2个交点，方程t2+ (3k+2)t+(2k+1)=0在(−1,0)有1个交点求解．本题考查函数单调性的性质，考查了函数的最值及其几何意义，训练了根的存在性及根的个数的判定方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18.答案：解：一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，停机维修的概率为：P=1−C50×0.985−C51⋅0.984⋅0.02=0.0038144．解析：利用对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(1)∵f(x)=lnx，∴f′(x)=1x ，∴f′(1)=1=12a，得：a=2．又∵g(1)=0=12a+b，∴b=−1，∴g(x)=x−1；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)=m(x−1)x+1−lnx在[1,+∞)上是减函数，∴ϕ′(x)=−x2+(2m−2)x−1x(x+1)2≤0在[1,+∞)上恒成立．即x2−(2m−2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立，由2m−2≤x+1x，x∈[1,+∞)，∵x+1x∈[2,+∞),∴2m−2≤2得m≤2；证明：(3)由(1)可得：当x≥2时：lnx<x−1≤x2(x−1)，∴lnx<12x(x−1)得：2x(x−1)<1lnx，∴2(1x−1−1x)<1lnx．当x=2时：2(11−12)<1ln2，当x=3时：2(12−13)<1ln3，当x=4时：2(13−14)<1ln4，…当x=n+1时：2(1n−1n+1)<1ln(n+1)，n∈N+，n≥2，上述不等式相加得：2(1−1n+1)<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)，即：2nn+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．解析：(1)求导数，利用f(x)与g(x)在x=1处相切，可求g(x)的表达式；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)在[1,+∞)上是减函数，可得导函数小于等于0，在[1,+∞)上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围；(3)当x≥2时，证明2(1x−1−1x)<1lnx，当x=2时，当x=3时，当x=4时，…，当x=n+1时，利用叠加法，即可得到结论．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X−B(5,0.2)，P(X=k)=C5k0．2k0．85−k，k=0，1，2，3，4，5，∴X的分布列为：(Ⅱ)以Y表示一周内所获利润，则y=g(X)={10,X=0 5,X=1 0,X=2−2,X≥3，P(Y=10)=P(X=0)=0.32768，P(Y =5)=P(X =1)=0.4096， P(Y =0)=P(X =2)=0.2048，P(Y =−2)=P(X ≥3)=0.0512+0.0064+0.00032=0.05792， ∴一周内利润的期望为：EY =10×0.32768+5×0.4096+(−2)×0.05792=5.20896(万元)．解析：(Ⅰ)以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X −B(5,0.2)，由此能求出X 的分布列． (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则y =g(X)={10,X =05,X =10,X =2−2,X ≥3，一周内利润的期望值．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．21.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ．∴F(x)=ax −lnx ，则F′(x)=a −1x ， ∵函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1， ∴F′(1)=0，∴a −1=0，解得a =1；(Ⅱ)∵函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)=asin(1−x)+lnx ， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ，只要G′(x)在区间(0,1)上大于等于0， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ≥0， ∴a ≤1xcos(1−x)，求1xcos(1−x)的最小值即可，求ℎ(x)=xcos(1−x)的最大值即可，0<1−x <1， ∵ℎ′(x)=cos(1−x)+xsin(1−x)>0， ∴ℎ(x)在(0,1)增函数， ℎ(x)<ℎ(1)=1， ∴1xcos(1−x)的最小值为1， ∴a ≤1；(Ⅲ)∵0<1(k+1)2<1，∵sinx <x 在x ∈(0,1)上恒成立，∴∑sin n k=11(k+1)2=sin 122+sin132+⋯+sin1(n+1)2≤122+132+⋯+1(n+1)2<14+19+116+14×5+15×6+⋯+1n(n+1)=97144−1n+1<97144<ln2，∴∑sin n k=11(k+1)2<ln2；解析：(Ⅰ)根据已知条件函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，可得F′(1)=0，得出等式，求出a 值； (Ⅱ)因为函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G′(x)>0在(0,1)上恒成立，利用常数分离法进行求解；(Ⅲ)这个证明题可以利用一个恒等式，sinx <x ，然后对∑sin n k=11(k+1)2从第三项开始进行放缩，然后进行证明；第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx <x 进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；22.答案：解：(Ⅰ)g′(x)=1−xe x−1，令g′(x)=0，得x =1，列表如下：∴当x =1时，g(x)取得极大值g(1)=1，无极小值；(Ⅱ)当m =1时，a <0时，f(x)=x −alnx −1，x ∈(0,+∞)， ∵f′(x)=x−a x >0在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数，设ℎ(x)=1g(x)=e x−1x，∵ℎ′(x)=e x−1(x−1)x 2>0在[3,4]上恒成立，∴ℎ(x)在[3,4]上为增函数，不妨设x 2>x 1，则|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|等价于：f(x 2)−f(x 1)<ℎ(x 2)−ℎ(x 1)，即f(x 2)−ℎ(x 2)<f(x 1)−ℎ(x 1)，设u(x)=f(x)−ℎ(x)=x −alnx −1−e x−1x，则u(x)在[3,4]上为减函数，∴u′(x)=1−ax −e x−1(x−1)x 2≤0在[3,4]上恒成立，∴a ≥x −ex−1+e x−1x恒成立，∴a ≥(x −e x−1+e x−1x)max ，x ∈[3,4]，设v(x)=x −e x−1+e x−1x，∵v′(x)=1−e x−1+e x−1(x−1)x 2=1−e x−1[(1x −12)2+34]，x ∈[3,4]，∴e x−1[(1x −12)2+34]>34e2>1，∴v′(x)<0，v(x)为减函数，∴v(x)在[3,4]上的最大值v(3)=3−23e2，∴a≥3−23e2，∴a的最小值为3−23e2；解析：(Ⅰ)对函数g(x)求导，得到g′(x)=0，得到极值点，求出极值．(Ⅱ)不妨设x2>x1，则|f(x2)−f(x1)|<|1g(x2)−1g(x1)|等价于：f(x2)−f(x1)<ℎ(x2)−ℎ(x1)，即f(x2)−ℎ(x2)<f(x1)−ℎ(x1)，分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．本题主要考查了利用导数求函数极值和利用导数求参数范围，属于中档题型，在高考中经常涉及．。

2020-2021学年北京市西城区高二下学期期末考试理科数学试卷

2020-2021学年北京市西城区高二下学期期末考试理科数学试卷

【最新】北京市西城区高二下学期期末考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题=iz2．在nx )1(+的展开式中，只有第4项的系数最大，则n 等于（ ）A.4B.5C.6D.72124-=n n C Ax x f 1)(=)1(f '⎰+edx x 1)11(1-e e 1+e e 11+6．在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ） A ．0.35B ．0.65C ．0.85D ．7．从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ） A ．27个B ．30个C ．36个D ．60个8．函数x x x f cos 2)(+=在],0[π上的极小值点为（ ）A.0B.6πC.65πD.π10．已知函数x e xx f =)(，给出下列结论：①),1(+∞是)(x f 的单调递减区间；①当)1,(e k -∞∈时，直线k y =与)(x f y =的图象有两个不同交点； ①函数)(x f y =的图象与12+=x y 的图象没有公共点. 其中正确结论的序号是（ ）A.①①①B.①①C.①①D.①①二、填空题 11．函数的图象在点处切线的斜率是___________.12．设，则＝____________；_____________.13．在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是_____（用数字作答）. 14．设函数有极值，则实数a 的取值范围是_________. 15．设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，，规定（为A 与B 之间的距离）叫作曲线在点A 与点B 之间的“弯曲度”. 若函数图象上两点A 与B 的横坐标分别为0，1，则＝________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m 的取值范围是____________.三、双空题16．某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次.抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元.四、解答题17．（本小题满分13分）已知数列}{n a 中，)(254,3*211N n a a a a n n n ∈++-==+.（①）计算432,,a a a 的值；（①）根据计算结果猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明.18．（本小题满分13分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A 处击中目标得3分，在B ，C 处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A 处击中目标的概率为31，在B ，C 处击中目标的概率均为43.该同学依次在A ，B ，C 处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （①）该同学得4分的概率； （①）该同学得分少于5分的概率.19．（本小题满分13分）已知函数4)(23-+-=ax x x f . （①）若2=a ，求)(x f 在]1,1[-上的最小值；（①）若)(x f 在区间),0[+∞上的最大值大于零，求a 的取值范围.20．（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的.（①）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（①）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X 为盒子中使用过零件的个数，求X 的分布列和期望.21．（本小题满分14分）已知函数ax e x f x 2)(+=. （①）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点（0，1）处的切线方程； （①）若函数)(x f 在区间),1[+∞上的最小值为0，求a 的值；（①）若对于任意xe xf x -≥≥)(,0恒成立，求a 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知函数x x m x g x x x f +-=-=2221)(,21ln )(，R m ∈，令)()()(x g x f x F +=.（①）求函数f （x ）的单调递增区间；（①）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数．．m 的最小值；（①）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求证：1321-≥+x x .参考答案1．B 【解析】试题分析：因为，34i z i ⋅=+,所以，34(34)()43()i i i z i i i i ++⋅-===-⋅-,故选B. 考点：复数的运算. 2．C 【解析】试题分析：因为(1)nx +的展开式中，只有第4项的系数最大，所以展开式共有7项，所以6n =.故选C.考点：二项式定理及二项式系数的性质. 3．D 【解析】试题分析：因为，2214n n A C -=,所以，(1)(2)(1)42n n n n ---=⨯,解得：4n =,故选D.考点：排列数公式与组合数公式. 4．C 【解析】试题分析：因为1()f x x =,所以，21()f x x'=-,所以，(1)1f '=- 故选C.考点：求导公式的应用. 5．B 【解析】 试题分析：因为111(1)(ln )|(1)(10)eedx x x e e x+=+=+-+=⎰,所以答案选B.考点：定积分的运算. 6．C 【解析】试题分析：线路能够了正常工作的概率=1(10.5)(10.7)10.150.85---=-=,故选C.考点：独立事件，事件的关系与概率. 7．B 【分析】分0在末位与2或4在末位两种情况讨论，利用分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，即可得出结论. 【详解】0在末位组成三位偶数有2412A =个；0不在末位时，2或4在末位，组成三位偶数有123318C ⨯⨯=个，∴从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有121830+=个，故选B .【点睛】本题考查分类计数原理与分步计数原理以及排列、组合知识，属于中档题. 有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 8．C 【解析】试题分析：因为()2cos ,f x x x =+所以()12sin f x x '=-，令()0f x '=，则6x π=或56x π=由()0f x '<得：566x ππ<<；由()0f x '>得：6x π<或 56x π>所以函数()2cos ,f x x x =+在区间5(,)66ππ上为减函数，在区间(0,)6π和区间5(,)6ππ上均为增函数， 所以函数的极小值点为56π. 故选C.考点：1、导数在研究函数性质中的应用. 9．B 【解析】试题分析：确定选法种数可分如下三步： 第一步：确定相同的品牌，有4种不同的方法；第二步：甲再从剩下的三个品牌中选一个，有3种不同的方法； 第三步：乙最后从剩下的两个品牌中再选一个，有2种不同的方法； 由分步乘法计数原理知，共有43224⨯⨯=种不同的方法. 故选B.考点：分步乘法计数原理. 10．B 【解析】试题分析：因为()x x f x e =，所以，1()xxf x e -'=令()0f x '=，则10x x e-= 所以，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<所以，函数()xxf x e =在区间(),1-∞为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以，当1x =时，函数取得最大值1(1)1f e =<，且当0x >时，()0x xf x e=>所以只有①①正确，故选B.考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、数形结合的思想. 11．3 【解析】试题分析：因为3()f x x =，所以，2()3f x x '=所以，(1)3f '=，即函数3()f x x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是3.所以答案应填：3.考点：导数的几何意义. 12．1,-1 【解析】试题分析：在5450145(12)x a a x a x a x +=++++中令0x =得：01a =在5450145(12)x a a x a x a x +=++++中令1x =-得：5012345(12)1a a a a a a -+-+-=-=-所以答案应填：1，-1. 考点：二项式定理. 13．34 【解析】试题分析：从7人任选4人参加一项活动，一共有4735C =种选法，其中没有男生的选法有441C =所以，其中至少有1名男生的选法种数是34种. 考点：1、组合；2、事件及其关系. 14．【解析】 试题分析：因为，所以，2()31f x ax ='+由函数有极值知其导数2()31f x ax ='+有两个零点，所以，0a <所以，答案应填：(,0)-∞ 考点：导数与函数的极值. 15．【解析】试题分析：因为2()f x x =，所以，()2f x x '=，所以，(0)0,(1)1,(0)0,(1)2f f f f ''====所以，=0=2A B k k AB =，，从而有：(,)A B ϕ==由x y e =，得：xy e '=，所以，121212,,,x x x x A B k e k e y e y e ====所以，(,)A B ϕ===1==<,即0<(,)1A B ϕ<又因为(),1m A B ϕ<恒成立，所以，1m ≤.(],1-∞考点：1、新定义；2、导数的几何意义. 16．；16【解析】试题分析：根据题意，每次抽奖，中奖的概率都是25，而且相互独立； 所以某人抽奖2次恰中20元的概率为：2245525⨯=若某人消费200元，有四次抽奖机会，设其所中奖次数ξ服从24,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则28455E ξ=⨯= 设其所得奖金为η元，则=10ηξ，所以8(10)1010165E E E ηξξ===⨯= 所以答案应填：41625；. 考点：1、古典概型；2、独立事件同时发生的概率；3、二项分布；4、离散型随机变量的数学期望.17．（①）22a =32a =，44a =；（①）详见解析. 【解析】试题分析：（①）根据递推公式依次计算可得234,,a a a 的值；（①）首先由数列的前四项归纳出其通项公式，然后按数学归纳法的步骤证明结论正确即可. 试题解析：解：（①）由254,3211++-==+n n n a a a a 可得442,32,22432=+=+=+=a a a . 5分（①）由42,32,22,1234321+=+=+=+==a a a a猜想：)(2*N n n a n ∈+=. 7分 以下用数学归纳法证明：（1）当1=n 时，左边31=a ，右边312=+，符合结论； 8分（2）假设),2(*N k k k n ∈≥=时结论成立，即k a k +=2， 9分那么，当n ＝k ＋1时，25)2(4)2(254221+++-+=++-=+k k a a a k k k2125)2(444++=+++-++=k k k k .11分所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立；12分根据（1）和（2），可知猜想对于任意n①N *都成立.13分考点：1、数列的递推公式与通项公式；2、合情推理；3、数学归纳法. 18．（①）38；（①）1116. 【解析】试题分析：（①）设该同学“在A 处击中目标”为事件A ，“在B 处击中目标”为事件B ，“在C 处击中目标”为事件C ，因为事件A ，B ，C 相互独立，事件“该同学得4分”可表示为：ABC ，从而求得概率值.（①）首先依次求出该同学得0分、2分，3分、4分，并把所求事件表示成如下ABC 、ABC ABC +、ABC 、ABC 互斥事件的和事件，从而求得该同学得分少于5分的概率.试题解析：解：（①）设该同学在A 处击中目标为事件A ，在B 处击中目标为事件B ，在C 处击中目标为事件C ，事件A ，B ，C 相互独立.依题意41)()(,32)(,43)()(,31)(======C P B P A P C P B P A P .3分 则该同学得4分的概率为)()()()(C P B P A P BC A P = 5分83434332=⨯⨯=.答：该同学得4分的概率为83. 6分（①）该同学得0分的概率为241414132)()()()(=⨯⨯==C P B P A P C B A P ；8分得2分的概率为41)()()(=+=+C B A P C B A P C B A C B A P ； 10分得3分的概率为481)()()()(==C P B P A P C B A P ； 11分得4分的概率为83)(=BC A P ；则该同学得分少于5分的概率为)(BC A C B A C B A C B A C B A P ++++1611)()()()()(=++++=BC A P C B A P C B A P C B A P C B A P .答：该同学得分少于5分的概率为1611. 13分考点：1、独立事件；2、互斥事件与对立事件. 19．（①）4-；（①）(3,)+∞. 【解析】试题分析：（①）由2a =，先求函数32()24f x x x =-+-的导数，利用导数的符号研究函数在区间[1,1]-上的单调性与极值，从而求出函数()f x 在[1,1]-上的最小值；（①）因为函数()f x 的导数为2()3()3af x x x '=--，它在区间[0,)+∞的符号与a 的取值有关，因此要对a 的取值分类讨论，以确定在相应情况下函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性与最大值并进一步求出a 的取值范围.试题解析：解：（①）2=a 时，42)(23-+-=x x x f ，则x x x f 43)(2+-='.2分 令0)(='x f ，得34,021==x x . 4分列表：f （x ）在区间（－1，0）上单调递减，在区间（0，1）上单调递增. 所以，当]1,1[-∈x 时，)(x f 最小值为4)0(-=f . 7分（①）由已知)32(3)(a x x x f --='. 8分当0=a 时，23)(x x f -='，函数)(x f 为减函数，)(x f 在区间),0[+∞上的最大值为)0(f ＝－4，不符合题意. 9分当0<a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上为减函数，最大值为4)0(-=f ，不符合题意. 10分当0>a 时，函数)(x f 在区间)32,0(a 上为增函数，在区间),32(+∞a上为减函数.所以，)(x f 在区间),0[+∞上的最大值为4274)32(3-=a a f ， 11分 依题意，令042743>-a ，解得3>a ，符合题意. 12分综上，a 的取值范围是),3(+∞. 13分考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想. 20．（①）60343；（①）详见解析. 【解析】试题分析：（①）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，一共有777343⨯⨯=种不同的结果，由于是随机取的，每个结果出现的可能性是相等的，故可用古典概型概率计算公式求解；（①）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X ，由已知X ＝3，4，5，其中3X =表示取出的三个零件中有一个是没有用过的，两个用过的；4X =表示取出的三个零件中有两个是没有用过的，一个用过的；5X =表示取出的三个零件都是没有用过的；再根据古典概型求出相应的概率值，从而得到X 的分布列和期望. 试题解析：解：（①）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A.1分则72)(1712==C C A P . 3分所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率34360)75()72(223==C P .5分（①）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X ， 由已知X ＝3，4，5. 7分71)3(372215===C C C X P ；74)4(371225===C C C X P ； 72)5(3735===C C X P . 10分随机变量X 的分布列为：11分729725744713=⨯+⨯+⨯=EX . 13分考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列与数学期望. 21．（①）310x y -+=；（①）2ea =- ；(III) [1,)-+∞. 【解析】试题分析：（①）因为1a =，可先求出函数()2xf x e x =+的导数()2xf x e '=+，利用导数的几何意义求出曲线()y f x =在点（0，1）处的切线的斜率进而求出此切线的方程；（①）先求出函数()f x 的导数()2xf x e a '=+，再根据a 的取值对函数值及其导数符号的影响，讨论函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值并求出a 的取值.（III ）构建新函数()2,()2x x x x g x e e ax g x e e a --'=-+=++，从而将不等式恒成立的问题转化为函数()g x 的最小值问题，再利用导数解决.试题解析：解：（①）1=a 时，2)(,2)(+='+=x xe xf x e x f ， 2分所求切线的斜率为3)0(),0(=''f f . 3分所以，曲线)(x f y =在点)1,0(处的切线方程为013=+-y x .4分（①）当0≥a 时，函数02)(>+=ax e x f x，不符合题意.5分当0<a 时，a e x f x2)(+='， 令02=+a e x，得)2ln(a x -=， 6分所以，当))2ln(,(a x -∞∈时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减；当)),2(ln(+∞-∈a x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增. 7分①当1)2ln(≤-a ，即02<≤-a e时，)(x f 最小值为e a f +=2)1(.解02=+e a ，得2ea -=，符合题意. 8分①当1)2ln(≤-a ，即2ea -<时，)(x f 最小值为)2ln(22))2(ln(a a a a f -+-=-. 解0)2ln(22=-+-a a a ，得2ea -=，不符合题意. 9分综上，2e a -=.（①）构建新函数a e e x g ax e e x g xx x x 2)(,2)(++='+-=--.10分 ①当22-≥a ，即1-≥a 时，因为2≥+-x x e e ，所以0)(≥'x g .（且1-=a 时，仅当0=x 时，0)(='x g .）所以)(x g 在R 上单调递增.又0)0(=g ，所以，当1-≥a 时，对于任意0≥x 都有0)(≥x g . 12分①当1-<a 时，解02<++-a e e x x ，即012)(2<++x x ae e ， 得1122-+-<<---a a e a a x ，其中11,11022>-+-<---<a a a a . 所以)1ln()1ln(22-+-<<---a a x a a ， 且0)1ln(2<---a a ，0)1ln(2>-+-a a .所以)(x g 在))1ln(,0(2-+-a a 上单调递减. 又0)0(=g ，所以存在))1ln(,0(2-+-∈a a x ，使0)(0<x g ，不符合题意. 综上，a 的取值范围为),1[+∞-. 14分考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想. 22．（①）（0，1）;（①）整数m 的最小值为2; (III)详见解析. 【解析】试题分析：（①）先求函数()f x 的定义域，再利用导数()f x '的符号确定函数()f x 的单调递增区间；（①）令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ，则关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立就等价于0)(≤x G 恒成立，从而转化为函数的最值问题;(III) 1-=m 时，0,21ln )(2>++=x x x x x F 由)()(21x F x F -=，得0)()(21=+x F x F ， 即021ln 21ln 22221211=+++++x x x x x x 2121212121()()ln()2x x x x x x x x ⇔+++=-，（*） 构造函数求出1212ln()x x x x -的最小值，从而将（*）化为关于12x x +的一元二次不等式，解得12x x +的取值范围即可.试题解析：解：（①）)(x f 的定义域为)0(11)(},0|{2>-=-='>x x x x x x f x x ， 2分 由0)(>'x f ，得10<<x ，所以f （x ）的单调递增区间为（0，1）. 4分（①）0,21ln )()()(2>+-=+=x x mx x x g x f x F . 令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ，则不等式1)(-≤mx x F 恒成立，即0)(≤x G 恒成立.x x m mx m mx x x G 1)1()1(1)(2+-+-=-+-='. 5分①当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G 所以)(x G 在),0(+∞上是单调递增函数，又因为02231)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-=m m m G ，所以关于x 的不等式0)(≤x G 不能恒成立. 6分①当0>m 时，x x m x m xx m mx x G )1_)(1(1)1()(2--=+-+-='.令0)(='x G ，因为0>x ，得m x 1=，所以当)1,0(m x ∈时，0)(>'x G ；当),1(+∞∈m x 时，0)(<'x G . 因此函数)(x G 在)1,0(m x ∈是增函数，在),1(+∞∈m x 是减函数.7分故函数)(x G 的最大值为m m m m m m m m G ln 2111)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=.8分令m m m h ln 21)(-=，因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数， 又因为021)1(>=h ，02ln 41)2(<-=h ，所以当2≥m 时，0)(<m h .所以整数m 的最小值为2. 10分 （①）1-=m 时，0,21ln )(2>++=x x x x x F 由)()(21x F x F -=，得0)()(21=+x F x F ，即021ln 21ln 22221211=+++++x x x x x x ， 整理得，)ln()()(21212121221x x x x x x x x -=+++ 11分 令021>⋅=x x t ，则由t t t ln )(-=ϕ得，tt t 1)(-='ϕ， 12分可知)(t ϕ在区间)1,0(上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增. 所以1)1()(=≥ϕϕt ， 13分所以1)()(2121221≥+++x x x x ，解得13132121-≥+--≤+x x x x ， 因为21,x x 为正整数，所以1321-≥+x x 成立. 14分考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想；3、构造函数证明不等式.。

北京市西城区(北区)-高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

北京市西城区(北区)-高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

（北区）高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．==2．（5分）甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有，第三个路口遇到红灯，概率等于解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是=，=3．（5分）函数的图象在点（2，φ（2））处的切线方程是（）解：求导函数，可得的图象在点﹣=（326．（5分）已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与ξ轴所围成的封闭图形的面积等于（）=7．（5分）（2006广州二模）4名男生和4名女生随机地排成一行，有且仅有两名男生排在一种排列方法．由分步计数原理求出有解：随机排成一行，总共有个整体，有种排法，而女生的排法是=8．（5分）已知函数，若同时满足条件：⎺ξ0 （0，+），ξ0为φ（ξ）的一个极大值点；α ξ（8，+），φ（ξ）＞0．得到；，则=，则，即即上的最小值为解得二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．（5分）的二项展开式中的常数项为160．（用数字作答）解：由于=10．（5分）如果函数φ（ξ）=χοσξ，那么=．和，再求出=χοσ=σιν=故答案为：且Ξ的数学期望，那么Ξ的方差∆（Ξ）=．，4π=θ==故答案为：12．（5分）已知函数的图象在ξ=0和处的切线互相平行，则实数α=﹣1．、代入求出导数值，再根据直线平行的充要=，ψ2=由题意得，=13．（5分）有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有90种不同的组队方法．（用数字作答）别，故无需排列，最后再除以最后再除以即不同的组队方法有14．（5分）设函数φν（ξ）=ξν+ξ﹣1，其中νN*，且νε2，给出下列三个结论：⎺函数φ3（ξ）在区间（，1）内不存在零点；α函数φ4（ξ）在区间（，1）内存在唯一零点；β设ξν（ν＞4）为函数φν（ξ）在区间（，1）内的零点，则ξν＜ξν+1．其中所有正确结论的序号为αβ．函数在（，）＜）在区间（，，函数在（，﹣，，，函数在（，三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．的概率为因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮一次且没有命中的概率为同理，乙投篮一次且没有命中的概率为．次，且都没有命中的概率为．因为甲每次投篮命中的概率为，所以甲投篮次投篮命中的概率为（．．16．（13分）设函数，且，其中ν=1，2，3， ．（I）计算α2，α3，α4的值；（II）猜想数列{αν}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．，，即可求得======，右边=，所以等式成立．====17．（13分）已知函数φ（ξ）=ε2ξ﹣1﹣2ξ．（I）求函数φ（ξ）的单调区间；（II）设βP，求函数φ（ξ）在区间[β，β+1]上的最小值．，解得）在（）上单调递减，在）当）在时，函数）有最小值综上，当18．（13分）箱中装有4个白球和μ（μN*）个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量Ξ为取出的3个球所得分数之和．（I）若，求μ的值；（II）当μ=3时，求Ξ的分布列和数字期望E（Ξ）．，，，．3 4 5 6．19．（14分）请先阅读：设平面向量=（α1，α2），=（β1，β2），且与的夹角为⎝，因为 =||||χοσ⎝，所以 δ||||．即，当且仅当⎝=0时，等号成立．（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意α1，α2，α3，β1，β2，β3 P，都有成立； （II）试求函数的最大值．）利用 δ||）构造空间向量=，，且=，与的夹角为 =||||χοσ⎝δ||||（，）解：设空间向量=，，且的夹角为，，（即与时，函数有最大值．20．（14分）已知函数，．（I）求函数φ（ξ）的解析式；（II）若对于任意ξ（0，+），都有φ（ξ）+γ（ξ）δα成立，求实数α的取值范围； （III）设ξ1，ξ2＞0，α1，α2 [0，1]，且α1+α2=1，求证：．，再分别令）因为，Φ2（。

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题

北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题

【全国市级联考】北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数21i i-=+（ ） A ．13i - B ．33i - C ．1322i - D ．3322i - 2．若函数()sin f x x =，则()'()44f f ππ+=（ ）A ．BC ．1D ．03．设函数32()1f x ax bx cx =+++的导函数为'()f x ，若'()f x 为奇函数，则有（ ）A ．0,0a c ≠=B ．0b =C ．0,0a c =≠D ．0a c == 4．射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）A ．2.1B ．2C ．0.9D ．0.63 5．已知一个二次函数()f x 的图象如图所示，那么()11f x dx ⎰=-（ ）A ．1B ．2πC ．43D ．26．有5名男医生和3名女医生，现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数有（ ）A ．45种B ．60种C ．90种D ．120种7．已知函数()(1)x af x e x=-，若00(0,),x x ∃∈+∞为()f x 的一个极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()-0∞，B ．()4+∞，C ．()(),04,-∞+∞D ．前三个答案都不对8．某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为,,,,,,A B C D E F G .其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系，若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（ ） （假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.)A ．11个小时B ．10个小时C ．9个小时D ．8个小时二、填空题9．函数()f x 4x =处的切线的斜率为__________． 10．在42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是__________．（用数字作答） 11．若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排拍照，则其中任意2名教师不相邻的站法有__________种．（用数字作答）12．设函数2()1xe f x ax=+，其中0a >.若对于任意,'()0x R f x ∈≥，则实数a 的取值范围是_______.13．某电影院共有(3000)n n ≤个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有__________个.三、双空题14．已知某随机变量ξ的分布列如下()q R ∈:那么ξ的数学期望()E ξ=__________．ξ的方差()D ξ=___________.四、解答题15．在数列{}n a 中，111,21n n n a a a a +==+，其中1,2,3,n =. （Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误．．的概率是112，乙、丙两人都回答正确．．的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.17．设,a b ∈R ,函数321()3f x x ax bx =++在区间()1,1-上单调递增，在区间()13，上单调递减.（Ⅰ）若2a =-，求b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[]14，上的最小值（用b 表示）. 18．甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用m 表示.（Ⅰ）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；（Ⅱ）当5m =时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列；（Ⅲ）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出m 的取值集合.(结论不要求证明）19．设函数2()(2)(1)x f x x e a x =---，其中a R ∈.（Ⅰ）当0a ≤时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a >时，证明：函数()f x 不可能存在两个零点.20．已知函数()ln 2f x x x =+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(),e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数2()g x x x=-，其中0x >.证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方.参考答案1．C【解析】分析：根据复数除法的运算法则，分子分母同乘1-i ，化简即可. 详解：2-(2-)(1-)1-313-1+(1+)(1-)222i i i i i i i i === 故选C.点睛：复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.2．B【解析】分析：根据基本导数公式求'()f x ，将4x π=代入计算即可得答案.详解：根据题意，'()cos f x x =，则()+'()sin cos 4444f f ππππ=+=故选B.点睛：本题考查导数的计算，关键要掌握基本导数的计算公式.3．D【解析】分析：根据基本导数公式求'()f x ，由'()f x 为奇函数可知，'()='()f x f x --，整理得230ax c +=恒成立，所以0a c ==.详解：求导数，2'()32f x ax bx c =++，'()f x 为定义在R 上奇函数，∴'(-)=-'()f x f x ，即223232ax bx c ax bx c -+=---∴230ax c +=恒成立，即0a c ==.故选D.点睛：本题考查导数的计算，函数奇偶性的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.4．A【解析】分析：射击3次得分X 的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和数学期望.详解：由题意可知，射击3次得分X 的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，所以，射击3次得分(3,0.7)X B ~()30.7 2.1E X =⨯=故选A.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布的判断和数学期望的计算，解题关键是根据定义判断随机变量符合二项分布.5．C【解析】分析：根据函数图象求出函数的解析式，然后利用定积分运算法则求出答案.详解：根据函数的图象可知二次函数()f x 图象过点(1,0)-，(1,0)，(0,1)从而可知二次函数2()1f x x =-+∴11132-1-114()(1)()33x f x x dx x --=-+=+=⎰⎰ 故选C.点睛：本题考查二次函数解析式的求法和定积分的计算.6．A【解析】分析：根据题意，不同的组队方案有两类：一类是一男两女，另一类是两男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将两类组数相加，即可求得答案.详解：根据题意，选3名医生组成地震医疗小组的组队方案有两类：（1）一男两女，有125332=5=152C C ⨯⨯种，（2）两男一女，有215354=3=302C C ⨯⨯种. 共15+30=45种.故选A. 点睛：本题考查排列组合的分类加法和分步乘法原理，解题时注意各个公式适用的条件与不同的使用方法.7．B【解析】分析：求导数22'()x x ax a f x e x-+=⋅，令2()g x x ax a =-+，则'()f x 与()g x 符号相同，由题可知，0x 为函数()g x 的零点，且0x 两侧函数值为左正右负，根据二次方程根与系数的关系建立方程组并求解，即可得到实数a 的取值范围. 详解：由题可知22'()x x ax a f x e x-+=⋅， 令2()g x x ax a =-+，则'()f x 与()g x 符号相同，易得对称轴为0=2ax ， 若()000,,x x ∃∈+∞为()f x 的一个极大值点，∴0'()=0f x 且在0(0,)x 上'()0f x >，在0(+)x ∞，上0'()0f x <即0x 为函数()g x 的零点，且0x 两侧函数值为左正右负，由二次函数的性质，得020(0)0a f ⎧>⎪⎪∆>⎨⎪>⎪⎩，解得4a >.∴实数a 的取值范围()4+∞，. 故选B.点睛：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查转化思想和基本知识掌握的准确度. 8．A【解析】分析：有两台机器同时加工，根据所给表格分析好可以合并的工序，及所有工序的先后顺序，绘制统筹工序图，即可通过计算得到答案．详解：由题意可知：工序A 、C 在工序B 、D 前完成，工序B 需要在工序E ，G 之前完成，工序D 需要在工序F 前完成.绘制统筹工序图．由图可知，机器一：①—③—④—⑤—⑦，3+2+1+2=8小时机器二：①—②—⑥—⑦，2+4+5=11小时所以，两台机器同时加工完成该产品的最短加工时间为11小时.故选A ．点睛：本题考查统筹问题的思想和工序流程图，根据已知画出符合条件的工序流程图，利用图象的直观性进行分析是解题关键．9．14【解析】分析：求函数导数'()f x ，将4x =代入'()f x 即可求出在4x =处的切线的斜率. 详解：'()f x =，1'(4)4f ==所以，函数()f x =4x =处的切线的斜率为14. 故答案为14. 点睛：本题考查了导数的几何意义，在函数图象上某点处切线的斜率为该点处的导数值是解题关键.10．24【解析】 分析：根据42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，令x 的指数为0，即可求得答案.详解：42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为4421442(2)rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 令420r -=，即2r. ∴42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是22443(2)=4=242C ⨯-⨯ 故答案为24.点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.11．1440【解析】分析：先将4名演讲比赛获奖学生全排列，再根据不相邻问题插空位原则，安排三位指导教师，由分布计数原理即可求得答案.详解：根据题意，分两步分析：先将4名演讲比赛获奖学生全排列，有2444=A 种站法，站好后有5个空位，在其中选三个空位，安排指导教师，有3560A =种情况，则有2460=1440⨯种符合题意的站法.故答案为1440.点睛；本题考查排列组合的实际应用，分布计数原理和不相邻问题的算法是解题关键.12．(]01，【解析】 分析：先求函数的导数222(21)'()=(1)x e ax ax f x ax -++，令2()=21g x ax ax -+，由题可知，对于任意x R ∈，()0g x ≥恒成立，再结合二次函数的性质，即可求得答案. 详解：由题可知，222(21)'()=(1)x e ax ax f x ax -++ 令2()=21g x ax ax -+，则()g x 与'()f x 符号相同，对于任意(),'0x R f x ∈≥，∴对于任意x R ∈，()0g x ≥恒成立，又 0a >根据二次函数的图象与性质，得2=(-2)40a a ∆-≤，解得01a <≤,∴实数a 的取值范围是(0,1].故答案为(0,1].点睛：本题考查函数导数的计算，二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题. 由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论：（1）不等式20ax bx c ≥＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≥⎩或00a >⎧⎨∆≤⎩ (2)不等式20ax bx c ≤＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≤⎩或00a <⎧⎨∆≤⎩. 13．12【解析】 分析：由题可知总的观影人数为985+1010+2019=4014人，则401420072n ≥=，而人数最多的学校有2019人，所以2019n <，综合上述即可求出可能的取值个数.详解：由题可知，总的观影人数为985+1010+2019=4014人，上、下午各一场 所以，401420072n ≥=， 又可知985+1010=19952019<若存在上、下午坐的是同一所学校的学生的座位，则必有2019n <，所以n 的范围是[2007,2019)，*n Z ∈，则n 的可能取值有2019-2007=12个. 故答案为12.点睛：解答时应仔细审题，找到解决问题的突破口和关键点，然后进行推理并小心验证，最终得出结论.14．13-89 【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质求出q ，再根据数学期望和方差的公式求出答案.详解：由离散型随机变量分布列的性质得，1+=13q ，解得2=3q ， ξ的数学期望121()1(1)333E ξ=⨯+-⨯=-， ξ的方差2211128()(1)(1)33339D ξ=+⨯+-+⨯=故答案为1(1)3- 8(2)9.点睛：本题考查离散型随机变量分布列的性质、数学期望和方差的计算方法，属于基础题. 15．（Ⅰ）111,,357；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）分别将1,23n ，=代入递推公式，即可求得2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）猜想121n a n =-，检验1n =时等式成立，假设当()*n k k N =∈时等式成立，证明当1n k =+时等式也成立.详解：解：（Ⅰ）由题意，1211121213a a a ===++，232113221513a a a ===++， 343115221715a a a ===++ （Ⅱ）由1234,,,a a a a 猜想1.21n a n =- 以下用数学归纳法证明：对任何的*n N ∈,1.21n a n =- 证明：①当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11.211=⨯- 所以1n =时成等式.②假设当()*n k k N=∈时，121kak =-成立， 则1n k =+时，()111121121212112121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-， 所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知对于任何*n N ∈，1.21n a n =-成立. 点睛：本题考查数列的递推公式，合情推理，运用数学归纳法证明问题的一般方法和步骤.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k *∈N ，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； 16．（Ⅰ）23；（Ⅱ）9196. 【解析】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为x ，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；（Ⅱ）设丙答对这道题的概率y ，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案. 详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,,A B C , 设乙答对这道题的概率()P B x =，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此,,A B C 是相互独立事件. 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得()()()()3111412P A B P A P B x ⎛⎫⋅=⋅=-⨯-= ⎪⎝⎭ 解得23x =， 所以，乙对这道题的概率为()2.3P B =(Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ,丙答对这道题的概率()P C y =.由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得()()()21y 34P B C P B P C ⋅=⋅=⨯=, 解得3.8y =甲、乙、丙三人都回答错误的概率为()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅323111438⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.96=因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为()5911.9696P M =-= 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率关系，解题时要认真审题，注意相互独立事件和对立事件的辨析. 17．(Ⅰ）3；（Ⅱ）321162b b -+. 【解析】分析：（Ⅰ）对函数()f x 求导，由1x =为导数()'f x 的零点，建立等式关系，求出参数c ；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中条件，求函数的导数()'f x ，分类讨论b 不同取值条件下，函数()f x 的单调性和在上间[1,4]上的最小值，综合后即可答案. 详解：解：（Ⅰ）求导，得()2'2.f x x ax b =++因为函数()f x 在区间-11（，）上单调递增，在区间()13，上单调递增， 所以()'1120.f a b =++= 又因为2a =-，所以3b =，验证知其符合题意.（Ⅱ）由（Ⅰ）得120a b ++=，即21a b =--. 所以()()()()()32211,'11.32b f x x x bx f x x b x b x b x +=-+=-++=-- 当1b ≤时，得当()1,x ∈+∞时，()()()'10.f x x b x =-->此时，函数()f x 在()1+∞，上单调递增，这与题意不符. 当1b >时，随着x 的变化，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在()(),1,,b -∞+∞上单调递增，在()1,b 上单调递减. 由题意，得 3.b ≥所以当4b ≥时，函数()f x 在[]14，上的最小值为()40443f b =-； 当34b ≤<，函数()f x 在[]14，上的最小值为()3211.62f b b b =-+ 综上，当4b ≥时，函数()f x 在[]14，上的最小值为为40-12;3b当34b ≤<，()f x 在[]14，上的最小值为3211.62b b -+ （或写成：函数()f x 在[]14，上的最小值为()3211.34,62404, 4.3b b b g b b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩）. 点睛：本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查了导数的应用，分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类是解题关键. ：函数()f x 的导数或换元后的导数有两个零点1x 和2x 型问题在闭区间[,]a b 上最值问题的解题步骤为：（1）12x x =时，确定函数()f x 的单调性，得到最值.（2）12x x >，确定1x 和2x 与区间[,]a b 的关系，结合函数图象规律，确定最值； （3）12x x <，确定1x 和2x 与区间[,]a b 的关系，结合函数图象规律，确定最值； 18．（Ⅰ）35；（Ⅱ）分布列见解析；（Ⅲ）{}7,8,9. 【解析】分析：（Ⅰ）根据表中数据，写出m 的全部可能，求甲、乙队的平均成绩，列出关于m 的不等式，求出m 的取值集合，再由古典概型的概率计算公式求出答案.（Ⅱ）2个比赛得分之差的绝对值X 的所有取值为0，1，2，3，4，5，7，求出相应概率，即可求出随机变量X 的分布列.（Ⅲ）写出甲、乙两队的方差，列出关于m 的不等式，即可求出m 的取值集合. 详解：解：（Ⅰ）设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件A , 依题意0,1,2,,9m =，共有10种可能.由乙队平均得分超过甲队平均得分，得[]()11899390m)9288919296,44++++>+++（ 解得 3.m > 所以当4,5,6,,9m =时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能.所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率为()63.105P A == （Ⅱ）当5m =时，记甲队的4次比赛得分88，91，92，96分别为1234,,,A A A A ，乙队的4次比赛得分89，93，95，92分别为1234,,,.B B B B则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有4416⨯=种，它们是()()()()()()()()()()()()111213142122232431323344,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B()()()()41424344,,,,,,,,A B A B A B A B则这2个比赛得分之差的绝对值为X 的所有取值为0，1，2，3，4，5，7. 因此()()()()()114121330,1,2,3,4,161641681616P X P X P X P X P X ============()()1215,7.16168P X P X ===== 所以随机变量X 的分布为：(Ⅲ）{}7,8,9.m ∈点睛：本题考查随机变量的均值和方差的计算，古典概型概率的计算，以及随机变量分布列，正确求概率是解题关键.19．（Ⅰ）(1)e f =-；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，0a ≤条件下，判断出函数的单调性，求出函数的极值.（Ⅱ）令()'0f x =，求得两个根，对a 分类讨论，分别研究函数的单调性与极值的取值，通过判断即可证明结论.详解：（Ⅰ）解：求导，得()()()()()'12112xxf x x e a x x e a =---=--，因为0a ≤，所以20x e a ->，所以当(),1x ∈-∞时，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当()1x ∈+∞，时，()'0f x >，函数()f x 为增函数； 故当1x =时，()f x 存在极小值()1f e =-，()f x 不存在极大值.（Ⅱ）证明：解方程()()()'120,xf x x e a =--=得121,12.x x n a ==当121,n a >即2ea >时， 随着x 的变化，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在()-1∞，，()12,n a +∞上单调递增，在()11n2a ，上单调递减. 又因为()10f e =-<，所以函数()f x 至多在区间()12,n a +∞存在一个零点； 当121n a =，即2ea =时， 因为()()()'120xf x x e a =--≥（当且仅当1x =时等号成立），所以()f x 在R 单调递减，所以函数()f x 至多存在一个零点； 当121n a <，即2ea <时， 随着x 的变化，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(),12n a -∞，()1,+∞上单调递增，在()1n21a ，上单调递减. 又因为0a >，所以当1x ≤时，()()()2210x f x x e a x =---<， 综上，当0a >时，函数()f x 不可能存在两个零点.点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和零点问题.利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性增减。

2019-2020学年北京市西城区数学高二下期末考试试题含解析

2019-2020学年北京市西城区数学高二下期末考试试题含解析

2019-2020学年北京市西城区数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A ．23B ．1C ．12D ．342．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ） A ．54B ．45C ．·45CD ．45A3．已知函数()1n(3)x f x e x =-+,则下面对函数()f x 的描述正确的是（ ） A ．1(3,),()3x f x ∀∈-+∞≥B ．1(3,),()2x f x ∀∈-+∞>- C ．00(3,),()1x f x ∃∈-+∞=-D ．min ()(0,1)f x ∈4．已知a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a5．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A ．2829B ．2729C ．1114D ．13146．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1- B ．13-C ．12-D ．137．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-?? C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞8．已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝231a a -+，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)9．已知函数()22x f x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,R g x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞ B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦10．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()21xf x a =⋅-与函数()()321g x x ax a R =++∈，下列选项中不可能是函数()f x 与()g x 图象的是( )A ．B ．C ．D ．12．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．求曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是________.14．已知关于x 的不等式13ax x -≤+的解集为{}2x x ≥-，则实数a =______.15．已知正项数列{a n }满足22116n n n n a a a a ++-=，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．16．对于任意的实数b ，总存在[]0,1x ∈，使得21x ax b ++≥成立，则实数a 的取值范围为_____.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．命题:p 方程()2221mx m y +-=表示双曲线；命题:q 不等式()()21120m x m x -+-+>的解集是R . p q ∧为假， p q ∨为真，求m 的取值范围.18．已知定圆M ：22(1)16x y -+=，动圆N 过点F (1,0)-且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ． (1)求曲线E 的方程；(2)已知直线:l 1y x =-交圆M 于,A B 两点.,C D 是曲线E 上两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.19．（6分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x xy y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为33sinπρθ=（-）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 20．（6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =且AB AC ⊥，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面1BCC ；（2）若直线1B C 与平面BCD 所成的角的大小为30°，求锐二面角A BD C --的正切值. 21．（6分）已知03x π=是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0>ω）的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π.（1）求m 值和()f x 的单调递增区间；（2）设角,,A B C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =， 3b =，求2ca -的取值范围.22．（8分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】因为22243a b c +=，所以圆心(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离2232c d a b==+，所以2212212l r d =-=⨯=，应选答案B 。

【名师推荐资料】北京市西城八中2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

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1
∴x
．
2
（ 2 ）①∵ x 0 ，∴ ln(1+ x) 0 ，
∴ | ln(1 + x) 0| | x 0| ln(1 + x) x ，
记 f (x) ln(1 + x) x ，
f (0) 0 ．
1
x
f ( x)
1
0，
1+ x 1+ x
∴ f (x) 在 (0,+ ) 单减．
∴ f (x)2 f (0) 0 ，即 ln(1+ x) x ，
∴ ln(1 + x) 比 x 靠近 0 ．
②
1
2
n
0，
由①得：
ln( a2a3 an ) ln a2 ln a3
ln an
ln(1 + 2 1 ) ln(1 2 2)
+ ln(1 + 21 n) 2 1 + + 21 n
2 1(1 21 n )
1
21
1
1，
12
12
∴ a2a3 an e ．
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解得： a
1 ，b 0．
3
ax3 + (3a +1)x 2 + (b + 2) x +b ．
17．（本小题满分 13 分） 设 m R ，不等式 mx2 (3m 1)x 2( m 1) 0 的解集记为集合 P ．
（Ⅰ）若 P x | 1 x 2 ，求 m 的值．
（Ⅱ）当 m 0 时，求集合 P ． 【答案】，
1 (3 5) ．
2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
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北京市西城区最新下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 复数31i i-等于（ ）A.1122i + B.1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 2. 3244A C -＝（ ）A. 6B. 12C. 18D. 203. 计算定积分2xdx ⎰＝（ ）A. 2B. 1C. 4D. －24. 已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为13，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为25。

现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ）A.215B.25C.715D.355. 从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（ ） A. 24个B. 20个C. 18个D. 15个6. 如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，那么应假设（ ） A. 数列{}n a 的各项均大于2B. 数列{}n a 的各项均大于或等于2C. 数列{}n a 中存在一项,2k k a a >D. 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a ≥7. 已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（ ）A. 21398C CB. 21398A AC. 21397C CD. 21397A A8. 由直线2,,033x x y ππ===与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 1B.12C.32D.39. 若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ） A. 80种B. 40种C. 36种D. 20种10. 函数32()=-+f x ax bx cx 的图象如图所示，且()f x 在0=x x 与1=x 处取得极值，给出下列判断：①0>c ；②(1)(1)0+->f f ；③函数()'=y f x 在区间(0,)+∞上是增函数。

其中正确的判断是（ ） A. ①③ B. ②C. ②③D. ①②二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

11. 已知函数()sin =f x x ，则()2'f π＝____________。

12. 已知某一随机变量X 的分布列如下：X 3 b 8 P0.20.5a()6E X =13. 曲线2y x=在点（1，2）处切线的斜率为__________。

14. 二项式61(3)x x-的展开式中，常数项等于__________；二项式系数和为__________。

15. 抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为__________。

16. 已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点。

给出以下几个问题：①010x e<<；②01x e >；③00()0f x x +<；④00()0f x x +>其中正确的命题是__________。

（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分13分）已知数列{}n a 中，111,247n n a a a n +==-+，其中1,2,3,n =L 。

（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明。

18. （本小题满分14分）已知函数32()34f x x ax =-+，其中0a ≥。

（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点和极值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值。

19. （本小题满分13分）某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调，由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关，甲、乙两种品牌空调的保修期均为3年，现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台，统计数据如下： 品牌 甲乙首次出现故障时间 x 年 01x <≤12x <≤ 23x <≤ 3x > 02x <≤ 23x <≤ 3x >空调数量（台） 124432345每台利润（千元）1 2 2.5 2.7 1.5 2.6 2.8（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的空调均能售出，记生产一台甲品牌空调的利润为X 1，生产一台乙品牌空调的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌空调销量相当，但由于资金限制，只能生产其中一种品牌空调，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由。

20.（本小题满分13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球。

（Ⅰ）求取出的4个球中没有红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

21. （本小题满分13分） 已知函数(),x xf x m m R e=+∈。

（Ⅰ）当0m =时，求()f x 的单调区间、最大值；（Ⅱ）设函数()|ln |()g x x f x =-，若存在实数0x 使得0()0g x <，求m 的取值范围。

22. （本小题满分14分）已知()ln 1f x ax b x =+-，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =。

（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）设函数2()()2x g x mf x mx =+-，其中13m <<。

求证：当[1,]x e ∈时，23(1ln 3)()222e g x -+<<-。

【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 0 12. 0.3，613. －214. －540，6415.2916. ①③注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分； 16题，仅选出①或③得3分；错选得0分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据已知，21241721475a a =-⨯+=⨯-+=；32242725879a a =-⨯+=⨯-+=； 4324372912713a a =-⨯+=⨯-+=。

3分 （Ⅱ）猜想43n a n =-。

5分证明：①当1n =时，由已知，等式左边＝1，右边＝4131⨯-=，猜想成立。

7分②假设当*()n k k N =∈时猜想成立，即43k a k =-， 8分 则1n k =+时，12472(43)47414(1)3k k a a k k k k k +=-+=--+=+=+-，所以，当1n k =+时，猜想也成立。

12分综合①和②，可知43n a n =-对于任何*n N ∈都成立。

13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，322()34,()36f x x x f x x x '=-+=-。

2分令()0f x '=，得0x =或2x =。

所以，在区间(,0)-∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数；在区间(0,2)上，()0f x '<，函数()f x 是减函数；在区间(2,)+∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数。

4分所以，函数()f x 的极小值点为2x =，极小值为(2)0f =；极大值点为0x =，极大值为(0)4f =。

8分（Ⅱ）当0a =时，3()4f x x =+是R 上的增函数，在区间[0,)+∞上的最小值为(0)4f =。

10分当0a >时，()3(2)f x x x a '=-。

在区间(0,2)a 上()0,()f x f x '<是减函数，在区间(2,)a +∞上()0f x '>，()f x 是增函数。

12分所以，在区间[0,)+∞上()f x 的最小值为(2)f a ，13分333(2)812444f a a a a =-+=-。

14分综上，函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为344a -。

19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则1247()5050P A ++==。

4分（Ⅱ）依题意1X 的分布列如下：1X1 2 2.5 2.7P150125 225 43507分2X 的分布列如下：2X1.52.62.8P125350 9109分（Ⅲ）由（Ⅱ）得111243()12 2.5 2.7 2.62250252550E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）； 11分2139() 1.5 2.6 2.8 2.736255010E X =⨯+⨯+⨯=（千元）。

12分所以12()()E X E X <， 故应生产乙品牌空调。

13分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“取出的4个球中没有红球”为事件A 。

则223322461()10C C P A C C ==，所以取出的4个球中没有红球的概率为110。

4分（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件B ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C 。

由于事件B ，C 互斥，且2113332246133()2510C C C P B C C ⋅=⋅=⨯=， 6分12332246111()2510C C P C C C =⋅=⨯=。

8分所以，取出的4个球中恰有1个红球的概率为312()()()10105P B C P B P C =+=+=U 。

9分 （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0，1，2，3。

10分由（Ⅰ）（Ⅱ）知12(0),(1)105P P ξξ====。

111223333322224646333332(2)6156155C C C C C P C C C C ξ⨯⨯⨯==⋅+⋅=+=⨯⨯。

12332246111(3)2510C C P C C ξ==⋅=⨯=，所以，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P11025 25 11012分所以ξ的数字期望1221301231055102E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

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