§重力基本相互作用导学案

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1/一、偏导数的定义

及其计算法

二、高阶偏导数

思考题 三、小结

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2/ 一、偏导数的定义及其计算法 .【偏导数的定义】二元函数在一点处的1),yx ()y (x ,fz

【定义】

设的某一邻域内有定义，在点

(1)00x xyx??y处有增量当固定，而时，相应地函数有增量在00))??x,y?f,(xy(fx，若存在，则称

x),y(x)yz? 0000lim)x?x,y)?f(,f(x?y0000x?0??x

f(x,的偏导数，记为处对之为在点00?z?f?或.，，，)yf(x,,zf(xy)xx?

x00xx000?x?x xxxx??yy?000y?yy?y00,y,y xx??x )?( )f

f( 0000f(x,y)?lim 【注意】00x?x x?0?

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/3的偏导数y同样可定义对yyy??),?f(x)xf(,

0000),yf(x lim?0y0y?y??0

x ) 处对x , y 在域D内每一点( ) 若函数z = f ( x , y

, y偏导数存在或, 也简称为则该偏导数称为偏导函数

, 记为偏导数

f??z?,,,z)y,yx(f,)f,x(y2y y?y?

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(2)【多元函数的偏导数】

偏导数的概念可以推广到二元以上函数

[例如]三元函数u = f (x , y , z)

在点(x , y , z) 处对x 的偏导数定义为

x??xx

?x x?f(x,y,z)??(请自己写出) y f??)z,y,x(z

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5/ 2.【偏导数的计算】与一元函数的求导法则完全相同22在点处的偏导数．【例1】

求)(21,y?xy?x?3z z?z?【解】?.?3x2y;y?32x?x?y?z???3?2?82? 1?,1x?x?2?y z?3?1?2?2?7.?x?1y?2?y

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)(x?0,x?1xz?，】设2【例

6/y

zx?1?zz?2?. 求证

yy?x ln x?z?z?1y?y

【证】,yx??,xx ln x?y?1zx?x?z1 y1y?x ln?yx?x?x?yy?yx lnln x yy xx ??原结论成立．.?z2【证完】

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/7为常数）】3已知理想气体的状态方程（【例

RRT?pVT??p?V1????求证：. pT??V?【证】

RT?pRT;???p?2V?VVRV?VRTT? pV;?;??V??T?p?TRpp?RRTT??p? VRRTV.1??????????2V?T?pppV? VR)

自阅4教材例

(

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/83.【有关偏导数的几点说明】u?(1) ;是一个整体记号，不能拆分偏导数x?z?(2) 的方法：求

x?),(xy00z?先求后代①，再代值；先求出偏导函数x?z d先代后求②y先代入)，再求zy得?f(x,x d x0x?00x 如：设f(x,y)?x?(y?1)arcsin,求

f(x,1).y x求分界点、不连续点处的偏

导数③用定义求

［例如］xy,求f(0,)y?0),f(0,0).(设z?fx,yx|?x?0|?0f(0??x,0)?f(0,0)?lim lim f(0,0)?0?［解］?x x?x?x?0x??0?f).0,0(y

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9/【可偏导与连续的关系】(3).一元函数中在某点可导连续，

多元函数中在某点偏导数存在

连续，

xy?(x,y)?(0,0)?讨论f(x,y)在原点22【例4】y?x?)，f(x,y设?的可导性与连续性.?(x,y)?(00,0)?x?kxk令y = k x，【解】?lim,y)?f lim(x与k 有关

2222x?kx1?k0??0xxy?kxy?0故点(0,0)处极限不存在, 从而不连续, 但(0,0)点偏导数按定

义来求, 得

f(?x,0)?f(0,0)0f(0,0)?lim?lim?0,x xx??0??

x?x?0f(0,0)?0由自变量的同理轮换对称性得y.

连续偏导数存在故此

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10/

.

【思考题】连续偏导数存在）举例说明（见小结之后思

考题连续可偏导【结论】

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/11【偏导数的几何意义】(4). (复习:反函数求导法则的几何意义)

设M(x,y,f(x,y))为曲面z f(x,y)上一点, 00000

如图

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12/(4). 【偏导数的几何意义】

,上一点(x,y)为曲面,f,(设Mxy,(xy))z?f00000??? . yfx,tan?0y0? . y,(fx tan?)00x

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13/题—2 第5【练习】课本P，习题818

22?yx???z处的切线对于)4,5,在点x 5.曲线轴(2?4?4y??? 的倾角是多少??tan z?)5,4,2(x

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/14二、高阶偏导数【高阶偏导数的定义】1.

z?z?)y(x,?f),(xy?f),z?yf(x的，的一阶偏导数(1)若xy x?y?)x,yz?f(二阶偏导数偏导数仍存在，则称它们是函数。的),yz?f(x函数的二阶偏导

数按变量的不同分为以下两类：［二阶纯偏导数］①

22z???zz???z????)??f(x,y),y,f(x??????y yxx22yy??y?x??x?x????②［二阶混合偏导数］

22z???zz???z?????,y)?f(x?) ,

y(?fx,????yxxy x??x??yyy??y?xx?????