北师大版八年级下第一章-三角形的证明练习题--培优训练

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2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练( 含答案)

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练（含答案）一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．16C ．24D ．32 2．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别为R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，则下列四个结论：①PA 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△CSP ，其中结论正确的的序号为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 3．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（）A ．()20182(3),0-⨯B ．()20180,2(3)-⨯B ．C ．()20192(3),0⨯D ．()20190,2(3)-⨯4．如图，直线l ：y =，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去，则点A 2015的坐标为( )A ．（0，42015）B ．（0，42014）C ．（0，32015）D ．（0，32014） 5．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（）A ．3B ．23C ．4D ．32 6．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（）A ．5B ．8C ．254D ．2587．如图, 在△DAE 中, ∠DAE ＝40°, B 、C 两点在直线DE 上，且∠BAE ＝∠BEA ，∠CAD ＝∠CDA ，则∠BAC 的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．49．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）A．203B．253C．303D．40310．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝_____°．12．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．14．已知：四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =90°，三角形ABC 的面积为1，则线段AC 的长度是___________.15．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________ 16．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是AB 的中点，点M 在CB 的延长线上，点N 在AC 上，且满足∠MPN=120º．已知△ABC 的周长为12，设m=2AC-CM-CN ，若关于x 的方程53mx m x n -=-的解是正数，则n 的取值范围是__________17．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________．18．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．19．已知等边三角形ABC 的边长为6，有从点A 出发每秒1个单位且垂直于AC 的直线m 交三角形的边于P 和Q 两点且由A 向C 平移，点G 从点C 出发每秒4个单位沿C →B →P →Q →C 路线运动，如果直线m 和点G 同时出发，则点G 回到点C 的时间为_________．20．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.三、解答题21．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．22．如图所示，点O 是线段AC 的中点，OB AC ⊥，9OA =.（1）如图1，若30ABO ∠=︒，求证ABC ∆是等边三角形；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D 在射线AC 上，点D 在点C 右侧，且BDQ ∆是等边三角形，QC 的延长线交直线OB 于点P ，求PC 的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M 在线段BC 上，OMN ∆是等边三角形，且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ，点N 随之运动，求点N 的运动路径的长度. 23．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).24．已知：点A 在射线CE 上，C D ∠=∠．（1）如图1，若//,AC BD 求证：//AD BC ．（2）如图2，若,BD BC BD ⊥与CE 交于点,G 请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作//DF BC 交射线CE 于点,F 当8,DFE DAE ∠=∠BAC BAD ∠=∠时，直接写出BAD ∠的度数为25．如图，ABC ∆中，90,5,4ACB AB BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A C B A －－－运动（回到点A 停止运动），设运动时间为t 秒．（1）当点P 在BC 上时，且满足PA PB =时，求出此时t 的值；（2）当点P 在AB 上时，求出t 为何值时，ACP ∆为以AC 为腰的等腰三角形．26．如图1，在平面直角坐标系中，已知A （a ，b ），且a 、b 满足22+1b a a =-+-，（1）求A 点的坐标及线段OA 的长度；（2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点的坐标；（3）如图2，若B （1，0），C （0，－3），试确定∠ACO+∠BCO 的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围.27．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA 平分∠EOC ，OB 平分∠DOF ，（1）求∠AOE+∠FOB 度数；（2）求∠COD 度数。

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章：三角形的证明培优达标卷

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明培优达标卷一、单选题1．下列各组数，能够作为直角三角形的三边长的是（）A ．4，6，8B ．3，4，5C ．5，12，14D ．23，22，252．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（）A ．12B ．10C ．8D ．63．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm4．如图，△ABC 的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（）A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:55．在等边三角形ABC 中，D E ，分别是BC AC ，的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PC PE +的长最小时，P 点的位置在（）A ．A 点处B ．AD 的中点处C ．ABC ∆的重心处D ．D 点处6．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB,若BE=2，则AE 的长为（）A ．3B ．1C ．2D ．27．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM+CN=7，则MN 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．已知三条不同的射线OA 、OB 、OC 有下列条件：①∠AOC=∠BOC ②∠AOB=2∠AOC ③∠AOC+∠COB=∠AOB ④∠BOC=12∠AOB ，其中能确定OC 平分∠AOB 的有（） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个 9．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④αCE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠的度数为（）A ．α3B ．α2C ．α302︒-D ．45α︒-11．如图，在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，BD 平分∠ABC ，与AC 相交于点F ，CD ⊥BD ，垂足为D ，交BA 的延长线于点E ，AH ⊥BC 交BD 于点M ，交BC 于点H ，下列选项不正确的是（）A ．∠E ＝67.5°B ．∠AMF ＝∠AFMC ．BF ＝2CD D ．BD ＝AB +AF12．如图，已知∠MON=30°，点123......A A A 、、在射线ON 上，点123......B B B 、、在射线OM 上，111OA A B =，12B A OM ⊥，222OA A B =，23B A OM ⊥，以此类推，若11OA =，则66A B 的长为（）A ．6B ．152C ．32D ．72964二、填空题 13．一个等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则它的周长为______cm ．14．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____15．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图，射线OC 是AOB ∠的平分线，Р是射线C 上一点，PD OA ⊥于点,6D DP =，若E 是射线OB 上一点，4,OE =则OPE 的面积是_______________________．18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =6，AD 平分∠BAC ，CD =2，DE ⊥AB 于E ，则ABD S 等于_____________．19．如图，在ABC ∆中，BD 、BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H ，下列结论：①∠DBE=∠F ；②2∠BEF=∠BAF+∠C ；③()12F BAC B ∠=∠-∠；④∠BGH=∠ABE+∠C ．其中正确的是_________ ．20．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第4个三角形中以A 4为顶点的底角度数是_____．第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是_____．三、解答题21．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且18a =，32b =，50c =．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果一个正方形的面积与ABC 的面积相等时，求这个正方形的边长．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC =，13AB =，点D 是Rt ABC ∆外一点，连接DC ，DB ，且4CD =，3BD =．（1）求证：90D ∠=︒（2）求：四边形ABDC 的面积．23．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=． 24．已知：如图，在ABC 中，AB AC >，45B ∠=，点D 是BC 边上一点，且AD AC =，过点C 作CF AD ⊥于点E ，与AB 交于点F（1）若CAD α∠=，求：①BAC ∠的大小；②BCF ∠的大小；（用含α的式子表示）（2）求证：AC FC =25．如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且,//,AD AB AE BC BAD CAE =∠=∠，连接,DE 交AC 于点F ．（1）若65B ∠=︒，求C ∠的度数．（2）若AE AC =，则AD 平分BDE ∠是否成立？判断并说明理由．26．如图，AE 、BD 是ABM 的高，AE ，BD 交于点C ，且AE BE =．（1）求证；AME BCE ≌△△；（2）当BD 平分ABM ∠时，求证：2BC AD =；（3）求MDE ∠的度数．27．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．28．（1）如图①，D 是等边ABC 的边AB 上一动点（点D 与点B 不重合），连接CD ，以CD 为边，在BC 上方作等边DCE ，连接AE ，你能发现AE 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AE 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）如图③，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边DCE 和等边DCE '，连接AE ，BE '，探究AE ，BE '与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论．参考答案1．DA. 4，6，8，468<<，∴2224+6=16+36=5264=8<，∴A 选项不能够作为直角三角形的三边长； B. 3，4，5，345<<，∴2223+4=3+4=75=5>，∴B 选项不能够作为直角三角形的三边长；C. 5，12，14， 51214<<，∴2225+12=25+144=169196=14<，∴C 选项不能够作为直角三角形的三边长；D. 23，22，25，222325<<，∴()()()22222+23=8+12=20=25， ∴D 选项不能够作为直角三角形的三边长，2．C连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==，在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒，∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=， ∴8BE BC CE =-=；3．A解：作MN ⊥AD 于N ，如图，∵∠B ＝∠C ＝90°，∠ADC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥CD ，MN ⊥AD ，∴MC ＝MN ，∵M 点为BC 的中点，∴MC ＝MB=12BC=12×20=10cm ， ∴MN ＝MB ，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，4．C过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=6，BC=9，AC=12，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4，故选C.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．5．C解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，当PC PE的长最小时，即PB+PE最小则此时点B、P、E在同一直线上时，又∵BE为中线，∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的重心，6．B∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90o,又∵∠B=30°，BE=2,∴∠ECD=30°,CE=2,DE=12BE=1,又∵CE平分∠ACB，∴∠ECD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵在△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°，∴AE＝12CE＝1；7．B【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN，∵BM+CN=7，∴MN=7，8．D【解析】如图，根据角平分线的意义，可由∠AOC=∠BOC，知OC是∠AOB的平分线；如图，此时，∠AOB=2∠BOC ，∠BOC=12∠AOB ，但OC 不是∠AOB 的平分线；由于∠AOC+∠COB=∠AOB ，但是∠AOC 与∠COB 不一定相等，所以OC 不一定是∠AOB 的平分线. 所以只有①能说明OC 是∠AOB 的角平分线.9．C选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴= 10．B解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图， DAC α∠=，αDAB 902∠=︒-，αEAM 902∠∴=︒-， AE ∴平分MAD ∠，EM EN ∴=，CE 平分ACB ∠，EM EH ∴=，EN EH ∴=，DE ∴平分ADB ∠，11ADB 2∠∠∴=，由三角形外角可得：1DEC 2∠∠∠=+，12ACB 2∠∠=，11DEC ACB 2∠∠∠∴=+，而ADB DAC ACB ∠∠∠=+， 11DEC DAC α22∠∠∴==，故选：B ．11．D【详解】解：∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∵BD ⊥CD ，∴∠E ＝67.5°，故选项A 正确，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABF+∠AFB ＝90°，∠CBF+∠BMH ＝90°，∴∠AFB ＝∠BMH ，∴∠AFM ＝∠BMH ＝∠AMF ，故选项B 正确，∵CD ⊥BD ，∴∠BDE ＝∠BAC ＝90°，∴∠E+∠EBD ＝90°，∠E+∠ACE ＝90°，∴∠EBD ＝∠ACE ，在△ABF 和△ACE 中，BAC CAE AB ACABF ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△ACE （ASA ），∴AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴AB+AF ＝AB+AE ＝BE ，∵Rt △BED 中，BE ＞BD ，∴AB+AF ＞BD ，故选项D 错误，在△EBD 和△CBD 中，EBD CBD BD BDBDC BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBD ≌△CBD （ASA ），∴BF ＝CE ＝2CD ，故选项C 正确，12．C【详解】∵=30MON ∠︒，111OA A B =，12B A OM ⊥∴1=30∠︒，∴===60︒∠3∠4∠12，∵11OA =，∴111A B =，∴21121A B A A ==，∴22OA =，∵222OA A B =，∴22122A B B A =∵23B A OM ⊥，∴122334////B A B A B A∴1===30︒∠∠6∠7，==90︒∠5∠8∴3323324A B B A OA ===，∴331244A B B A ==，441288A B B A ==，55121616A B B A ==，以此类推：66123232A B B A ==．故选：C ．13．17【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm ；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm ．故答案为：17．解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EA=EC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．15．32解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴3∠ABP+24°+60°＝180°，解得：∠ABP＝32°，16．8cm解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm17．12【详解】解：作PH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，∴△OPE的面积=12×OE×PH=12×4×6=12，故答案为：12．18．6解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，CD=2，∴CD=DE=2，∵AB=6，∴16262ABDS=⨯⨯=．故答案为：6．19．①②③④①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C ，∴2∠BEF=∠BAF+∠C ，故②正确；③∠ABD=90°-∠BAC ，∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC ， ∵∠CBD=90°-∠C ，∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE ，由①得，∠DBE=∠F ，∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE ，∴∠F=12（∠BAC ﹣∠C ），故③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠AEB=∠ABE+∠C ，∵BD ⊥FC ，FH ⊥BE ，∴∠FGD=∠FEB ，∴∠BGH=∠ABE+∠C ，故④正确．20．758 11()752n -⨯︒ 【详解】在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1118030752BAC BCA ︒-︒∠=∠==︒，又∵121A A A D =,1BA C ∠是12A A D 的外角． ∴21211117522DA A A DA BAC ∠=∠=∠=⨯︒．同理可得：2323221111175()752222EA A A EA DA A ∠=∠=∠=⨯⨯︒=⨯︒， 34343321175()75228FA A A FA EA A ︒∠=∠=∠=⨯︒=，综上可知规律：第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()752n -⨯︒ 故答案为758，11()752n -⨯︒． 21．解：（1）在ABC <<222250a b +=+=，2250c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴是直角三角形；（2）设这个正方形的边长为x ，∵一个正方形的面积与ABC 的面积相等，∴212x =，解得：x =±0x ，x ∴=答：这个正方形的边长为x =22．解：（1）在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC 2=AB 2-AC 2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD 2+BD 2=42+32=25，∵BC=5，即BC 2=25，∴CD 2+BD 2=BC 2，∴△DBC 是直角三角形，∴∠D=90°．（2）∵△DBC 是直角三角形，且∠D=90°， ∴1134622S ∆=⨯=⨯⨯=DBC BD DC ， ∵在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5， ∴115123022S ∆=⨯=⨯⨯=ABC BC AC ， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △DBC =30+6=36．23．．证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=12AG ， ∵AG=12AB ， ∴GH=14AB ． 24．（1）解：①AD AC =，CAD α∠=， 11(180)9022BCA ，②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图所示：90DAG ADG ∴∠+∠=︒，1122CAG DAG CAD ，CF AD ⊥于点E ，90DCE ADG ， 1122DCE DAG CAD ，即12BCF ；（2）证明：45B ∠=︒，AG BC ⊥，45BAG =∴∠︒，45BAC CAG ，45AFC DCE ，DCE DAG ，CAG DAG ∠=∠，BAC AFC ，AC FC ．25．解：（1）∵∠B=65°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=65°，∵∠B+∠BAD+∠BAD=180°，∴∠BAD=50°，∵∠CAE=∠BAD ，∴∠CAE=50°，∵AE ∥BC ，∴∠C=∠CAE=50°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD ，即∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，ABADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B=∠ADE ，∵∠B=∠ADB ，∴∠ADE=∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．26．（1）证明：∵AE 、BD 是ABM 的高，∴90ADB AEB AEM ∠=∠=∠=︒，∵ACD ECB ∠=∠，180MAE ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180CBE ECB CEB ∠+∠+∠=︒，∴MAE CBE ∠=∠，在AME △和BCE 中，MAE CBE AE BE AEM BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AME B ASA CE ≌．（2）∵BD 平分ABM ∠，BD 是高，∴ABD MBD ∠=∠，90ADB MDB ∠=∠=︒，∵在ABD △和MBD 中，ADB MDB BD BD ABD MBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABD MBD ASA ≌△△， ∴12AD DM AM ==， ∵AME BCE ≌△△，∴AM BC =，∴2BC AD =．（3）∵45MDE ∠=︒，过点E 作EF ED ⊥交BC 于点F ，∵DEF AEB ∠=∠，∴DEA BEF ∠=∠；∵MAE CBE ∠=∠，且AE BE =，∴AED BEF △≌△；∴ED EF =，∴45EDF EFD ∠=∠=︒；∵90BDM ∠=︒，∴45MDE ∠=︒．27．证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ，5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =，1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．28．（1）AE=BD ．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴ BC=AC ，∠BCA=60︒，DC=CE ，∠DCE=60︒，∴ ∠BCA −∠DCA=∠DCE −∠DCA ，即 ∠BCD=∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BCD ≌△ACE ，∴ AE=BD ；（2）AE=BD 仍然成立．证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴CB=CA ，CD=CE ，∠BCA=∠DCE=60︒， ∴ ∠BCA+∠DCA=∠DCE+∠DCA ， ∴∠BCD=∠ACE ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴ AE=BD ；（3） AE+BE ′=AB ．证明：由（1）知：△BCD ≌△ACE ，则 BD=AE ，在△BCE ′和△ACD 中，BC AC BCE ACD E C DC =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BCE ′≌△ACD （SAS ），则 BE ′=AD ，又∵BD=AE ，∴ AE+BE ′=BD+AD=AB ，即 AE+BE ′＝AB ．。

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一(含答案)

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题一（含答案）1．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，D 为BC 的中点，EF =3，BC =8，则△DEF 的周长是（）A ．7B ．10C ．11D ．142．如下图，已知△ABC （AB<BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PB=BC 。

则下面四种不同方法作图中准确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知OC 平分∠AOB,CD//OB，若OD=3 cm ，则CD 等于：（）A ．1.5cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．已知,A,B,C ABC a ∠∠∠中的三边、b 、c 是三角形的三边长，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（）A ．ABC ∠+∠=∠ B ．A B C ∠∠∠：： 1:2:3= C ．222a c b =-D ．a : b : c =4:5:65．一个等腰三角形的一个内角为500，那么这个等腰三角形的一条腰上的高与底边的夹角是（）A ．250 B ．400 C ．250 或400 D ．无法确定6．如图，∠POQ=30°，点A 在OP 边上，且OA=6，试在OQ 边上确定一点B ，使得△AOB 是等腰三角形，则满足条件的点B 个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC ； ②在射线OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD =OE ；③分别以D 、E 为圆心，大于DE 的长为半径在∠AOB 内作弧，两弧交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是．10．一个角的余角是30º，则这个角的大小是______.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是_____________．12．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。

北师大版2019八年级数学下册第一章三角形的证明培优训练题二(含答案)

A．16cmB．13cmC．19cmD．10cm
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（）
A．BD=ADB．BD=CDC．∠B=∠CD．∠BAD=∠CAD
4．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）
11．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形
解:由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，试求EF的长．
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB=AC，试作出下列图形：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）△ABC的角平分线AD；
（2）AC边的中点E．
21．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120cm，后轮半径为24cm，CB=CD=24cm，踏板CB与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°．求：
14．如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是∠CAB的平分线,CM=1.5cm,若AB=6cm,则S△AMB=________cm2.
15．如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=6，则EP+CP的最小值为_____．
16．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50°，则∠BOD的度数是__________．

(完整版)北师大版八年级下册《三角形证明》培优提高

(完满版)北师大版八年级下册?三角形证明?培优提高三角形的证明单元检测卷9．以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕A． 6 B． 8 C． 9 D． 10 1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交3．△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm ，最长边 AB 的长是于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正确的个A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm数是〔〕4．〔4 分〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加下① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的列一个条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕中垂线上；④ S△DAC：S△ABC=1：3．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．AD∥BC5．〔4 分〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于 E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕A．10 B．8 C．5 D．6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3，那么 BD 的长为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．〔4 分〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B 〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C 的个数是〔〕A． B． C．2 D．17．〔4 分〕如图， AB=AC ，BE ⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于 A．2 B．3 C．4 D．5点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；13．〔4 分〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB 边上的中点，②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上点 D，E 分别在 AC，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运结论正确的选项是〔〕动变化的过程中，以下结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不能能为正方形，A．① B．② C．①② D．①②③③ DE 长度的最小值为 4；8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，④四边形 CDFE 的面积保持不变；∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤A．10 B．12 C．24 D．48二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕214．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应假设这个三角形中 ___．15．〔4 分〕假设〔 a﹣1〕2+|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= _________ ．24．〔10 分〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点 B 顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E的地址． F，G 分别是 BD，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．〔1〕求证： CF=DG ；〔2〕求出∠FHG 的度数．25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH垂直均分 BC 交 AB 于点 D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC于 E，与 CD 订交于点 F．〔1〕求证： BF=AC ；17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 _________ ．〔2〕求证：．18．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m．26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，19．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC 边上的点，CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 EDE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．处，假设点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证： EG=EF ；三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．20．〔7 分〕如图，C 是 AB 的中点，AD=BE ， 27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B．21．〔7 分〕如图，两条公路 OA 和∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是 _________ 三角形；OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°使货站 P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，且到两工厂 C、①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．四、解答题〔每②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并小题 10 分，共 40 分〕画出相应的图形．22．〔10 分〕在四边形 ABCD 中， AB ∥CD，∠D=90 °，∠DCA=30 °，CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，求 AB 的长度？23．〔10 分〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．3命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假要点是要熟悉课本中的北师大版八年级下册?第 1 章三角3．〔4 分〕△ABC 中，∠A ：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm，最长边 AB形的证明?2021年单元检测卷 A〔一〕的长是〔〕A．5cm B．6cm C．7cm D．参照答案与试题解析考点：含 30 度角的直角三角形．解析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角一、选择题〔每题 4 分，共 48 分〕的一半．1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕解答：解：依照三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即 8，应选 D．谈论：此题主若是运用了直角三角形中角 30°所对的直角边是斜边的一半．考点：等腰三角形的性质．专题：分类谈论． 4．〔4 分〕〔2021?安顺〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加以下一个解析：分 80°角是顶角与底角两种情况谈论求解．条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕解答：解：① 80°角是顶角时，三角形的顶角为 80°，② 80°角是底角时，顶角为 180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80°或 20°．应选 B．谈论：此题观察了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况谈论求解．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|考点：全等三角形的判断．解析：求出 AF=CE ，再依照全等三角形的判判定理判断即可．考点：命题与定理．解答：解：∵AE=CF ，解析：先写出每个命题的抗命题，再进行判断即可．∴AE+EF=CF+EF ，解答：解；A ．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0：若是 a+b＞0，那么 a＞0，b＞0，是假命题；∴AF=CE ，B．直角都相等的抗命题是相等的角是直角，是假命题； A、∵在△ADF 和△CBE 中C．两直线平行，同位角相等的抗命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．假设 a=6，那么|a|=|b|的抗命题是假设 |a|=|b|，那么 a=6，是假命题．应选： C．谈论：此题观察了命题与定理，两个命题中，若是第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互抗命题．其中一个命题称为另一个命题的抗命题．正确的B、依照 AD=CB ，AF=CE ，∠AFD= ∠CEB 不能够推出△ADF ≌△CBE，错误，故4C、∵在△ADF 和△CBE 中6．〔4 分〕〔2021?邯郸一模〕如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3 ，那么 BD 的长为〔〕∴△ADF ≌△CBE 〔SAS〕，正确，故本选项错误；D、∵AD ∥BC，∴∠A= ∠C，∵在△ADF 和△CBE 中A． B． C．2 D．考点：等腰三角形的判断与性质．∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；应选 B．解析：由条件判断△BEC 的等腰三角形，且 BC=CE ；由等角同等边判断 AE=BE ，那么易谈论：此题观察了平行线性质，全等三角形的判断的应用，注意：全等三角形的判判定理有 SAS，﹣AB SC A〕．，AAS ，解答：解：如图，∵CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，SSS．∴BC=CE ．又∵∠A= ∠ABE ，5．〔4 分〕〔2021?河池〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕∴AE=BE ．∴BD= BE= AE= 〔AC﹣BC〕．∵AC=5，BC=3，∴BD= 〔5﹣3〕=1．A．10 B．8 C．5 D．应选 D．考点：线段垂直均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．谈论：此题观察了等腰三角形的判断与性质．注意等腰三角形“三合一〞性质的运用．解析：依照线段垂直均分线性质得出 BE=CE，依照含 30 度角的直角三角形性质求出 BE 的长，即可求出 CE 长．解答：解：∵DE 是线段 BC 的垂直均分线，7．〔4 分〕如图，AB=AC ，BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上∴BE=CE，∠BDE=90 °〔线段垂直均分线的性质〕，∵∠B=30 °，结论正确的选项是〔〕∴BE=2DE=2 ×5=10〔直角三角形的性质〕，∴CE=BE=10 ．应选 A ．谈论：此题观察了含 30 度角的直角三角形性质和线段垂直均分线性质的应用，要点是获取 BE=CE 和求出 BE 长，题目比较典型，难度适中．5A．① B．② C．①② D．①②③考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质．专题：老例题型．解析：从条件进行解析，第一可得△ABE ≌△ACF 获取角相等和边相等，运用这些结论，进而获取更多的结论，最好运用消除法对各个选项进行考据进而确定最后答案．解答：解：∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F∴∠AEB= ∠AFC=90 °，∵AB=AC ，∠A=∠A，A．10 B．12 C．24 D．∴△ABE ≌△ACF 〔①正确〕∴AE=AF ，∴BF=CE，考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形．∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，∠BDF= ∠CDE，解析：此题主要观察勾股定理运用，解答时要灵便运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB ⊥BC，DC⊥BC，∠BAE= ∠DEC=60 °∴△BDF ≌△CDE〔②正确〕∴DF=DE ，∴∠AEB= ∠CDE=30 °连接 AD ，∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE=6 ，DE=8又∵∠AED=90 °依照勾股定理∴AD=10 ．应选 A ．∵AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ，谈论：解决此类题目的要点是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余， 30°所对的直角边∴△AED ≌△AFD ，的性质．∴∠FAD= ∠EAD ，即点 D 在∠BAC 的均分线上〔③正确〕9．〔4 分〕以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分应选 D．∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕谈论：此题观察了角均分线的性质及全等三角形的判断方法等知识点，要修业生要灵便运用，做题时要由易到难，不重不漏．8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕A．6 B．8 C．9 D．6的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正考点：等边三角形的判断与性质；等腰三角形的性质．确的个数是〔〕解析：作出辅助线后依照等腰三角形的性质得出 BE=6，DE=2 ，进而得出△BEM 为等边三角形，△EFD 为等边三① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的中垂线上；④ S△DAC：角形，进而得出 BN 的长，进而求出答案．S=1：3．△ABC解答：解：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N，作 DF∥BC，∵AB=AC ，AD 均分∠BAC ，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC= ∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，A．1 B．2 C．3 D．∵BE=6，DE=2，∴DM=4 ，∵△BEM 为等边三角形，考点：角均分线的性质；线段垂直均分线的性质；作图—根本作图．∴∠EMB=60 °，专题：压轴题．解析：①依照作图的过程能够判断 AD 是∠BAC 的角均分线；∵AN⊥BC，∴∠DNM=90 °，②利用角均分线的定义能够推知∠CAD=30 °，那么由直角三角形的性质来求∠ADC∴∠NDM=30 °，③利用等角同等边能够证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一〞的性∴NM=2 ，中垂线上；∴BN=4，④利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答：解：①依照作图的过程可知， AD 是∠BAC 的均分线．∴BC=2BN=8 ，应选 B．故①正确；②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30 °，∴∠CAB=60 °．又∵AD 是∠BAC 的均分线，∴∠1=∠2= ∠CAB=30 °，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60 °．谈论：此题主要观察了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出 MN 的长是解决问题的要点．故②正确；10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90 °，∠B=30°，以 A 为圆心，③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD ，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN∴点 D 在 AB 的中垂线上．故③正确；7④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，考点：等腰三角形的判断；坐标与图形性质．专题：压轴题．∴CD= AD ，解析：依照线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB 的垂直均分线与直求出 AB 的长，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为点∴BC=CD+BD= AD+AD= AD ，S△DAC = AC ?CD= AC ?AD．的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图， AB 的垂直均分线与直线 y=x 订交于点 C1，∴S△ABC= AC ?BC= AC? AD= AC ?AD ，∵A〔0，2〕，B〔0，6〕，∴AB=6 ﹣2=4，∴S△DAC：S△ABC= AC ?AD ： AC ?AD=1 ：3．以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为 C2，C3，故④正确．∵OB=6，综上所述，正确的结论是：①②③④，共有 4 个．∴点 B 到直线 y=x 的距离为 6× =3 ，应选 D．∵3 ＞4，∴以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 没有交点，因此，点 C 的个数是 1+2=3 ．应选 B．谈论：此题观察了角均分线的性质、线段垂直均分线的性质以及作图﹣根本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判断与性质．12．〔4 分〕〔2021?龙岩〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C的个数是〔〕谈论：此题观察了等腰三角形的判断，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思13．〔4 分〕〔2021?重庆〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB边上的中点，点 D，E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，以下结论：A．2 B．3 C．4 D．5①△DFE 是等腰直角三角形；8②四边形 CDFE 不能能为正方形，因此④正确．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时， DF 也最小；③ DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的面积保持不变；即当 DF⊥AC 时， DE 最小，此时 DF= BC=4．⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕∴DE= DF=4 ；因此③错误．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此时 S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．应选 B．A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤考点：正方形的判断；全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．解析：解此题的要点在于判断△DEF 可否为等腰直角三角形，作老例辅助线连接 CF，由 SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，进而可证∠DFE=90 °，DF=EF．因此△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；谈论：此题观察知识点很多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采判断③，⑤比较麻烦，由于△DEF 是等腰直角三角形 DE= DF，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， DE此题难度稍稍降低一些．取最小值 4 ，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形 CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕解答：解：连接 CF；14．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应∵△ABC 是等腰直角三角形，假设这个三角形中每一个内角都大于 60°．∴∠FCB=∠A=45 °，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，考点：反证法．∴△ADF ≌△CEF；解析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．∴EF=DF，∠CFE=∠AFD ；解答：解：依照反证法的步骤，第一步应假设结论的反面建立，即三角形的每一个内角∵∠AFD+ ∠CFD=90 °，故答案为：每一个内角都大于 60°．谈论：此题主要观察了反证法，反证法的步骤是：〔1〕假设结论不能立；〔2〕从假设出∴∠CFE+∠CFD= ∠EFD=90 °，∴△EDF 是等腰直角三角形．建立，那么结论建立．在假设结论不能马上要注意考虑结论的反面所有可能的情况因此①正确．定一种就可以了，若是有多种情况，那么必定一一否认．当 D、E 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形．因此②错误． 215．〔4 分〕〔2021?雅安〕假设〔 a﹣1〕 +|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为5 ．∵△ADF ≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF ∴S 四边形CEFD=S△AFC，9考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类谈论． 17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且解析：先依照非负数的性质列式求出 a、b 再分情况谈论求解即可．DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 3cm ．解答：解：依照题意得， a﹣1=0，b﹣2=0，解得 a=1，b=2，①假设 a=1 是腰长，那么底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2，∵1+1=2，∴不能够组成三角形，②假设 a=2 是腰长，那么底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，考点：等腰三角形的判断与性质；平行线的性质．周长=2+2+1=5 ．解析：由 BI、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I，且 DE∥BC，易得△BDI 与△E故答案为： 5．得答案．谈论：此题观察了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要谈论求．解答：解：∵BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ABI= ∠CBI ，∠ECI=∠ICF，16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC ∵DE∥BC，于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= 35°．∴∠DIB= ∠CBI ，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI= ∠DIB ，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm ，EI=CE=5cm ，∴DE=DI ﹣EI=3 〔cm〕．故答案为： 3cm．谈论：此题观察了等腰三角形的性质与判断以及平行线的性质．注意由角均分线与平行考点：线段垂直均分线的性质． 18．〔4 分〕〔2021?东营〕如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容解析：由 DE 是 AC 的垂直均分线，依照线段垂直均分线的性质，可得 AE=CE ，又由在 Rt器△内AB壁C离中容，器∠底部A B C =09. 30m°，的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m〔容器∠BAE=20 °，即可求得∠C 的度数．解答：解：∵DE 是 AC 的垂直均分线，厚度忽略不计〕．∴AE=CE ，∴∠C=∠CAE ，∵在 Rt△ABE 中，∠ABC=90 °，∠BAE=20 °，∴∠AEC=70 °，∴∠C+∠CAE=70 °，∴∠C=35°．故答案为： 35°．谈论：此题观察了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10考点：平面张开 -最短路径问题．专题：压轴题．解析：将容器侧面张开，建立 A 关于 EF 的对称点 A ′，依照两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，∴A′，，考点：轴对称 -最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换〔折叠问题〕．∴将容器侧面张开，作 A 关于 EF 的对称点 A ′，连接 A ′B，那么 A′B 即为最短距离，专题：压轴题．解析：连接 CE，交 AD 于 M ，依照折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP A′B=的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，解答：=〔m〕．故答案为：．解：连接 CE，交 AD 于 M ，∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，∴∠ACD= ∠AED=90 °，AC=AE ，∠CAD= ∠EAD ，∴AD 垂直均分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称， CD=DE=1 ，∴当P和D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+∵∠DEA=90 °，谈论：此题观察了平面张开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形张开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题∴的∠DEB=90 °，要点．同时也观察了同学们的创立性思想能力．∵∠B=60 °，DE=1 ，∴BE= ，BD= ， 19．〔4分〕〔2021?资阳〕如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC边上的点， CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，假设即 BC=1+ ，点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是 1+ ．∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+ + =1+ ，故答案为： 1+ ．11谈论：此题观察了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，要点是求出 P 点的地址，题目比较好，难度适中．三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕20．〔7 分〕〔2021?常州〕如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A= ∠B．考点：作图—应用与设计作图．解析：依照点 P 到∠AOB 两边距离相等，到点 C、D 的距离也相等，点 P 既在∠AOB 的直均分线上，即∠AOB 的角均分线和 CD 垂直均分线的交点处即为点 P．解答：解：以以下图：作 CD 的垂直均分线，∠AOB 的角均分线的交点 P 即为所求．考点：全等三角形的判断与性质．专题：证明题；压轴题．解析：依照中点定义求出 AC=BC ，尔后利用“SSS〞证明△ACD 和△BCE 全等，再依照全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C 是 AB 的中点，∴AC=BC ，谈论：此题主要观察了线段的垂直均分线和角均分线的作法．这些根本作图要熟练掌握在△ACD 和△BCE 中，，四、解答题〔每题 10 分，共 40 分〕22．〔10 分〕〔2021 ?攀枝花模拟〕在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90 °，∠DCA=30 °，∴△ACD ≌△BCE〔SSS〕， CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，∴∠A= ∠B．求 AB 的长度？谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．〔7 分〕〔2021?兰州〕如图，两条公路 OA 和 OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．〔要求：不写作法，保存作图印迹，写出结论〕考点：勾股定理；等腰三角形的判断与性质；含 30 度角的直角三角形．专题：压轴题．解析：过 B 作 BE⊥AC ，由 AD=4m 和∠D=90 °，∠DCA=30 °，能够求出 AC 的长，依照12以及等腰三角形的性质即可求出 AD 的长．解析：〔1〕依照角均分线性质求出 CD=DE ，依照 HL 定理求出另三角形全等即可；解答：解：∵∠D=90 °，∠DCA=30 °，AD=4cm ，〔2〕求出∠DEB=90 °，DE=1 ，依照含 30 度角的直角三角形性质求出即可．解答：〔1〕证明：∵AD 均分∠CAB ，DE⊥AB ，∠C=90°，∴AC=2AD=8cm ，∵CA 均分∠DCB ，AB ∥CD，∴CD=ED ，∠DEA= ∠C=90°，∴∠CAB= ∠ACB=30 °，∵在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中∴AB=BC ，过 B 作 BE⊥AC ，∴Rt△ACD ≌Rt△AED 〔HL 〕；∴AE= AC=4cm ，〔2〕解：∵DC=DE=1 ，DE⊥AB ，∴cos∠EAB= = ，∴∠DEB=90 °，∵∠B=30 °，∴ cm．∴BD=2DE=2 ．谈论：此题观察了全等三角形的判断，角均分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应点到角两边的距离相等．24．〔10 分〕〔2021?大庆〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点B 顺时针旋转 60°，使得点C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的地址．F，G 分别是 BD ，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．谈论：此题观察了平行线的性质、角均分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的要点是作高线构造〔直1〕角求三证角：形，CF=DG ；利用锐角三角函数求出 AB 的长．〔2〕求出∠FHG 的度数．23．〔10 分〕〔2021?温州〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．考点：全等三角形的判断与性质．解析：〔1〕在△CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角〔2〕依照全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF= ∠CBF=60 °，进而求解．考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．解答：〔1〕证明：∵在△CBF 和△DBG 中，13∴△BDF ≌△CDA ，，∴BF=AC ．〔2〕由〔 1〕得 BF=AC ，∴△CBF≌△DBG 〔SAS〕，∴CF=DG ；∵BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC ，〔2〕解：∵△CBF≌△DBG ，∴在△ABE 和△CBE 中，，∴∠BCF= ∠BDG ，又∵∠CFB= ∠DFH，∴△ABE ≌△CBE 〔ASA 〕，∴∠DHF= ∠CBF=60 °，∴CE=AE= AC= BF．∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180 °﹣60°=120°．谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，正确证明三角形全等是要点．谈论：此题主要观察了全等三角形的判断及性质以及线段垂直均分线的性质等问题，应五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH 垂直均分 BC 交 AB 于点D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 订交于点 F． 26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点〔1〕求证： BF=AC ；F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证：．〔2〕求证： EG=EF；〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判断与性质；线段垂直均分线的性质．专题：证明题．解析：〔1〕由 ASA 证△BDF ≌△CDA ，进而可得出第〔 1〕问的结论；考点：全等三角形的判断与性质；等腰三角形的判断与性质．〔2〕在△ABC 中由垂直均分线可得 AB=BC ，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一问的分结析论：即可〔求1解〕．求出∠C=∠GBD ，BD=DC ，依照 ASA 证出△CFD ≌△BGD 即可．解答：证明：〔1〕∵DH 垂直均分 BC，且∠ABC=45 °，〔2〕依照全等得出 GD=DF ，依照线段垂直均分线性质得出即可．∴BD=DC ，且∠BDC=90 °，〔3〕依照全等得出 BG=CF ，依照三角形三边关系定理求出即可．解答：〔1〕证明：∵BG∥AC，∵∠A+ ∠ABF=90 °，∠A+ ∠ACD=90 °，∴∠ABF= ∠ACD ，∴∠C=∠GBD ，14∵D 是 BC 是中点，∴BD=DC ，在△CFD 和△BGD 中∴△CFD≌△BGD ，∴BG=CF ．〔2〕证明：∵△CFD≌△BGD ，考点：等腰三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的判断．解析：〔1〕依照题意推出△AED 和△ABC 为等边三角形，尔后经过求证△EAB ≌△DA∴DG=DF ，∵DE⊥GF，即可推出△EFB 为等边三角形，〔2〕①依照〔 1〕的推理依照，即可推出△EFB意画出图形，尔后依照平行线的性质，经过求证△EAB ≌△DAC ，推出等量关系∴EG=EF．三角形．〔3〕BE+CF ＞EF，解答：解：〔1〕∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE=60 °，证明：∵△CFD≌△BGD ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴CF=BG ，∴∠C=∠ABC=60 °，∠EAB= ∠DAC ，在△BGE 中，BG+BE ＞EG，∴△EAB ≌△DAC ，∵EF=EG，∴∠EBA= ∠C=60°，∴BG+CF ＞EF．∵EF∥BC，谈论：此题观察了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，线段垂直均分线性质，三角形三边关系定理的应∴用∠，EFB=∠ABC=60 °，主要观察学生的推理能力．∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA=60 °，∴△EFB 为等边三角形，27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 〔2〕①△BEF 为等腰三角形，的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE ，〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是等边三角形；∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°∴∠C=∠ABC ，∠EAB= ∠DAC ，①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；∴△EAB ≌△DAC ，②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并∴∠EBA= ∠C，画出相应的图形．∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC ，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA ，∴△EFB 为等腰三角形，。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题4(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题4（附答案）1．如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，若BC ＝10，AC ＝6，则△ACD 的周长是（）A ．14B ．16C ．18D ．202．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处，测得小岛C 位于轮船北偏东60︒方向上，继续向东航行10 n mile ，到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C 的距离为（）n mile.（结果保留根号）A ．10B ．52C ．5D ．533．以下四组数中的三个数作为边长，不能构成直角三角形的是（）A ．1，2，3B ．5，12，13C ．32，42，52D ．8，15，17. 4．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）A ．1，3，2B ．3，4，5C ．5，11，12D ．9，15，17 5．如图，ABC ∆中，AD BC ⊥交BC 于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，F 为BC 延长线上一点，FG AE ⊥交AD 的延长线于G ，AC 的延长线交FG 于H ，连接BG ，下列结论：①DAE F =∠∠；②∠AGH=∠BAE+∠ACB ；③::AEB AEC S S AB AC ∆∆=，其中正确的结论有（）个.A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠A ＝30°，BD ＝1，则AB的值是（）.A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB与点E，已知△BCE 的周长为10，且BC=4，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．68．如图是由8个全等的长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰．．三角形的点P的个数是A．3个B．4个C．5个D．6个9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若CD=4，则D到斜边的距离为（）A．4.5 B．4 C．3.5 D．310．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A．55°B．45°C．35°D．65°11．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，点D在∠ABC的平分线上，AC与BD交于F，连CD，∠ACD+2∠ACB=180°，AB=2EC，BD=214，BE=3，则AF=______．12．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是20，小正方形的面积是8，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为______．13．如图, 等腰△ABC中，AB=AC, ∠A=20°, 线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC= __________度.14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，若AB=10，AC=8，则△AEF的周长是_______________。

北师大版八年级数学下册第第一章《三角形的证明》培优过关训练试卷

北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》培优过关训练试卷一、单选题1．等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（）A ．30°B ．40°C ．60°D ．120°2．在下列四个条件：①222AB BC AC +=，②90A B ∠=︒-∠，③12A B C ∠=∠=∠，④5:::3:2A B C ∠∠∠=中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（）．A ．①③B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．如图，DE 是AC 的垂直平分线，CE =5，△BDC 的周长为15，则△ABC 的周长是（）A ．15B ．20C ．25D ．304．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm5．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°6．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =7．如图，△ABC 是等边三角形，AQ = PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS ，则四个结论：①点P 在∠A 的平分线上；②AS=AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ，正确的结论是（）．A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．③④ 8．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，△ABD 与△ACE 都是等边三角形，AB ≠AC ，下列四个结论，①BE=CD ；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO ；④若∠BAC=90°，且DA ∥BC ，则BC ⊥CE ．其中正确的个数有（）A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．12．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．13．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．14．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC的面积是______．15．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．16．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________17．若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．三、解答题18．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，CBE 45∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ，若AB 13,BC 10==，求AF 的长度．19．如图，点A 、B 、C 的坐标分别是()1,3A -、()5,1B -、()0,1C ．（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）点P 是x 轴上的一动点，求出使得PA PB +的值最小时点P 的坐标．20．如图，AD 是ABC 的高，AD 垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ．()1求证：1B AED 2∠∠=． ()2若DE 1=，求AB 的长．21．如图，BD //GE ，150AFG ∠=∠=︒，AQ 平分FAC ∠，交BD 的延长线于点Q ，交DE 于点H ，15Q ∠=︒，求CAQ ∠的度数．22．在ABC 中，AB AC =，在ABC 的外部作等边三角形ACD △，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F ，连接BD ．（1）如图1，若100BAC ∠=︒，求ABD ∠和BDF ∠的度数；（2）如图2，ACB ∠的平分线交AB 于点M ，交EF 于点N ，连接BN ．①补全图2；②若BN DN =，求证：MB MN =．23．已知：如图，BD 为ABC △的角平分线，且BD BC =，E 为BD 延长线上的一点，BE BA =，过E 作EF AB ⊥，F 为垂足．求证：（1）AD AE EC ==．（2）2BA BC BF +=．24．如图①，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图①中的三角板OMN 摆放成如图②所示的位置，使一边OM 在∠BOC 的内部，当OM 平分∠BOC 时，∠BO N= ；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO 的延长线OP （如图③所示），试说明射线OP 是∠AOC 的平分线；（3）将图①中的三角板OMN 摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）参考答案1．A解：∵等腰三角形中，一个内角为120°，而三内角的和为180°，∴该内角为顶角，设顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则有∠B=∠C ，∵∠A=120°，∴∠B=∠C=()1180-1202︒︒=30°，故选：A ．2．D①．222AB BC AC +=，由勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故①能确定． ②．∵90A B ∠=︒-∠，即90A B ∠+∠=︒，∴180()90C A B ∠=︒-∠+∠=︒．∴ABC 是直角三角形，故②能确定． ③．∵12A B C ∠=∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒， ∴2180C ∠=︒，即90C ∠=︒．∴ABC 是直角三角形，故③能确定．④．5:::3:2A B C ∠∠∠=，设5A x ∠=，则3B x ∠=，2C x ∠=，∵180A B C ∠+∠+∠=︒，即532180x x x ++=︒，解得18x =︒，∴51890A ∠=⨯︒=︒，∴ABC 是直角三角形，故④能确定．故选：D ．3．C 解： DE 是AC 的垂直平分线，5CE =，,5DA DC AE CE ∴===，10AC ∴=，15BDC C BD BC DC =++=，15BD AD BC AB BC ∴++=+=，151025.ABC C AB BC AC ∴=++=+=4．B如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ， ∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，5．B由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，∵DM 垂直平分AB ，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，∴∠A=32︒，6．D∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ， ∴PC=PD ，故A 选项正确；∵∠ODP=∠OCP=90︒，又∵OP=OP ，PC=PD ，∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，∴OC=OD ，故B 选项正确；∵△OPC ≌△OPD ，∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，∴△DPE ≌△CPF ，∴PE=PF ，∵PF>PC ，∴PE>PC ，故D 选项错误；故选：D ．7．A解：∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR=PS ， ∴P 在∠A 的平分线上，∴①正确；由①可知，PB=PC ，∠B=∠C ，PS=PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴CS=BR∴AS=AR ，②正确；∵AQ=PQ ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，③正确；由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，④也正确 ∵①②③④都正确，8．D解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故选：D ．9．A解：由题意得，当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，∴AD =AE =3，∵BC ∥OM ，∴∠DOA =∠B ，∵A 为OB 中点，∴AB =AO ，在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，10．C解：设CD 与AB 交于点F∵ABD △与AEC 都是等边三角形 ∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60° ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC 即∠DAC=∠EAB∴DAC BAE ≌△△∴BE CD =，①正确；∵DAC BAE ≌△△∴∠ADO=∠ABO∵∠AFD=∠BFO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确； ∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC ≠∠AEB ∴∠BDA-∠ADC ≠∠CEA-∠AEB ∴BDO CEO ∠≠∠，③错误； ∵//DA BC∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，90BAC ︒∠=∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴BC CE ⊥，④正确11．4.解：如图，延长BE ，交AC 于G ，AD 平分∠BAC ，,GAE BAE ∴∠=∠,BE AD ⊥90AEG AEB ∴∠=∠=︒，,AGB ABG ∴∠=∠6AG AB ∴==，,GE BE = 14AC =，8CG ∴=，,AGB C CBG ∠=∠+∠2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠3,ABC C ∠=∠32,C C CBG ∴∠=∠+∠,C CBG ∴∠=∠8BG CG ∴==， 1 4.2BE BG ∴== 12．25°∵90,50ACB B ︒︒∠=∠=，∴∠A=40°， ∵BCD △沿CD 折叠后，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B=50°，∵//CE AB ，∴∠ADE=∠E=50°，∴∠BDC=∠EDC=（180°-50°）÷2=65°，∴∠ACD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°，13．6解：连接AE ，∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，∴ ∠B=∠C=()1180120302︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，∵BE=3，∴DE=1322BE = ∴2233BD BE DE =-= ∴AB=AC=2BD=33，∵ ∠A=120︒ ，∴ ∠EAC=90︒ ， ∴22366CE AC AE =+==，故答案为：6．14．12解：连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB ， OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，∴OE=OD=3，OF=OD=3，∵△ABC 的周长是8，∴AB+BC+AC=8，∴△ABC 的面积S=S △ABO +S △BCO +S △ACO =12×AB ×OE+12×BC ×OD+12×AC ×OF =12×AB ×3+12×BC ×3+12×AC ×3 =12×3×（AB+BC+AC ） =12×3×8=12，15．150°连接PP ′，∵P AB PAC '≌△△，∴PA ＝P ′A=6，∠P ′AB ＝∠PAC ，BP ′=CP=10，∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，∴△APP ′为等边三角形，∴PP ′＝AP ＝AP ′＝6，又∵8PB =，∴PP ′2＋BP 2＝BP ′2，∴△BPP ′为直角三角形，且∠BPP ′＝90°∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，16．110°或80°∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝40°，∴∠B ＝∠C=40°∴∠BAC ＝100°，①AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝40°，∴∠DAE ＝100°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意舍去，②AD ＝ED 时，∠DAE ＝∠DEA ，∴∠DAE ＝12（180°−40°）＝70°， ∴∠BAD ＝∠BAC −∠DAE ＝100°−70°＝30°，∴∠BDA ＝180°−∠B −∠BAD ＝110°，③当AE ＝DE 时，∠DAE ＝∠ADE ＝40°，∴∠BAD ＝100°−40°＝60°，∴∠BDA ＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，17．等边∵222a b c ab bc ac ++=++，∴222222222a b c ab bc ac ++=++，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形，18．7AF =解：AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=，10BC =，5BD ∴=，Rt ABD 中，13AB =，222213512AD AB BD ∴=-=-=，Rt BDF 中，45CBE ∠=，BDF ∴是等腰直角三角形，5DF BD ∴==，1257AF AD DF ∴=-=-=．19．解：（1）直角三角形，理由如下如下图所示，用长方形DEOF 将△ABC 框住，∵()1,3A -、()5,1B -、()0,1C∴AF=1，DE=OF=3，DF=OE=BC=5，BE=1，OC=1∴AD=DF －AF=4，DB=DE －BE=2，FC=OF －OC=2∴AB 2= AD 2＋DB 2=20，AC 2= AF 2＋FC 2=5，BC 2=25∴AB 2＋AC 2= BC 2∴△ABC 为直角三角形；（2）作点B 关于x 轴的对称点B '，连接AB '交x 轴于点P ，如下图所示由轴对称性质可得，BP=B P '，点B '的坐标为（-5，-1）∴此时PA PB +=PA B P +'=AB '，根据两点之间线段最短，此时PA PB +最小设直线AB '的解析式为y=kx ＋b将点A 和点B '的坐标分别代入，得153k b k b-=-+⎧⎨=-+⎩ 解得：14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB '的解析式为y=x ＋4将y=0代入y=x ＋4中，得x ＋4=0解得：x=-4∴点P 的坐标为（-4，0）．20．解：（1）EF 是AD 的中垂线，90AH DH AHE DHE ∠∠∴===︒，，在AEH △和DEH △中，AH DH AHE DHE EH EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AHE ∴≌()H D E SAS ，AEH DEH AE DE ∠∠∴==，， AD 是ABC 的高，//EF BC ∴，AEH B ∠∠∴=，12B AED ∠∠∴=；（2）由（1）得：//EF BC AE DE =，，HED EDB ∠∠∴=，又12AEH HED B AED ∠∠∠∠==，， B EDB ∴∠=∠，BE DE ∴=，22212AB BE DE ∴===⨯=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质和判定等知识．21．解：∵∠EHQ 是△DHQ 的外角，∴∠EHQ ＝∠1+∠Q ＝65°，∵BD ∥GE ，∴∠E ＝∠1＝50°，∵∠AFG ＝∠1＝50°，∴∠E ＝∠AFG ，∴DE ∥AF ，∴∠FAQ ＝∠EHQ ＝65° ，∵AQ 平分∠FAC ，∴ ∠CAQ ＝∠FAQ ＝65°．22．（1）∵AB AC =，ACD △为等边三角形，∴AB AD =，ABD ADB ∠=∠，60ADC DAC ∠=∠=︒，∵100BAC ∠=︒，∴160DAB DAC BAC ∠=∠+∠=︒，∴()180160210ABD ADB ∠=∠=︒-︒÷=︒，又∵E 为AC 的中点， ∴由“三线合一”知，1302ADE ADC ∠=∠=︒， ∴301020BDF ADE ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）①如图所示：利用尺规作图的方法得到CP ，交AB 于点M ，交EF 于点N ；②如图所示，连接AN ，∵CM 平分ACB ∠，∴设ACM BCM α∠=∠=，∵AB AC =，∴2ABC ACB α∠=∠=，在等边三角形ACD ∆中，∵E 为AC 的中点，∴DN AC ⊥，∴NA NC =，∴NAC NCA α∠=∠=，∴60DAN α∠=︒+，在ABN ∆和ADN ∆中，AB AD BN DN AN AN =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABN ADN SSS ∆∆≌，∴30ABN ADN ∠=∠=︒，60BAN DAN α∠=∠=︒+，∴602BAC α∠=︒+，在ABC ∆中，180BAC ACB ABC ∠+∠+∠=︒，∴60222180ααα︒+++=︒，∴20α=︒，∴10NBC ABC ABN ∠=∠-∠=︒，∴30MNB NBC NCB ∠=∠+∠=︒，∴MNB MBN ∠=∠，∴MB MN =．23．解：证明：（1）∵BD 为ABC 的角平分线，∴ABD CBD ∠=∠，∴在ABD 和EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ≌()EBC SAS ，∴BCE BDA ∠=∠，∵BCE BCD DCE ∠=∠+∠，BDA DAE BEA ∠=∠+∠，BCD BEA ∠=∠，∴DCE DAE ∠=∠，∴ACE 为等腰三角形，∴AE EC =，∵ABD ≌EBC ，∴AD EC =，∴AD EC AE ==．（2）过点E 作EG BC ⊥于点G ，∵E 是BD 上的点，EF AB ⊥，EG BC ⊥，∴EF EG =，∵在Rt BEG 和Rt BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt BEG ≌()Rt BEF HL ，∴BG BF =，∵在Rt CEG 和Rt AFE 中，EF EG AE CE =⎧⎨=⎩， Rt CEG ≌Rt AFE ，∴AF CG =，∴BA BC BF FA BG CG +=++-，BF BG BF =+=∠，∴2BA BC BF +=．24．(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算；(2)计算出∠AOP 的度数，再根据角平分线的定义判断；(3)根据∠AOC ，∠AON ，∠NOC ，∠MON ，∠AOM 的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM 之间的数量关系．解：(1)如图②，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°﹣120°=60°，又∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=30°，又∵∠NOM=90°，∴∠BOM=90°﹣30°=60°，故答案为60°；(2)如图③，∵∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，∴∠AOP=12∠AOC ， ∴射线OP 是∠AOC 的平分线；(3)如图④，∵∠AOC=120°，∴∠AON=120°﹣∠NOC ，∵∠MON=90°，∴∠AON=90°﹣∠AOM ，∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，即∠NOC﹣∠AOM=30°．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题（附答案）1．如图，DE ∥GF ，A 在DE 上，C 在GF 上△ABC 为等边三角形，其中∠EAC ＝80°，则∠BCG 度数为（）A ．20°B ．10°C ．25°D ．30°2．如图，已知∠COB =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =200，则∠AOB =（）A ．400B ．600C ．1200D ．13503．如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（）A ．13B ．14C ．15D ．164．如图，在ABC ∆中，AB ，AC 的垂直平分线DF ，EG 交于点M ，点F ，G 在BC 上.若46GAF ∠=︒，则M ∠的度数为( )A ．67°B ．65°C ．55°D ．45°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则P 点到AB 的距离为( )A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．75°D．150°7．等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=4，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点D，则D到AB的距离为（）A．2B．4C．43D．239．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为（﹣2a，4a﹣6），则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A ．10-15 B ．10-5C ．5-5D ．20-10 11．如图，直线12l l ∕∕，点A 在直线2l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12,l l 于点,C B ，连接,AC BC . 若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为____________.12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是 13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，若BC=5cm,则BD+DE=______.14．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________15．如图所示，点O 是直线AB 上的点，OC 平分∠AOD ，∠BOD=40°，则∠AOC=________ °．16．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，BC ＝4cm ，AB ＝_____cm ．17．在Rt △ABC 中，∠C=900 ,∠B=600 ,BC=2㎝，则AB=______㎝.18．如图，在ABC ∆中，060A ∠=，D 为ABC ∆内一点，且030DBC DCB ∠=∠=，长CD 交AB 于点E ，延长BD 交AC 于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，当82DF DE +=时，DH =_________．19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ABC 的周长为36，BC ＝13则△BCD 周长为_______.20．如图，已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=40，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，AD ：DC=5：3，则D 点到AB 的距离是_____．21．如图，四边形ABCD 中，2,60,13,3AB AD A BC CD ==∠=︒==.(1)求ADC ∠的度数;(2)求四边形ABCD 的面积= . (第二问直接写答案)22．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =∠C =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠DEC =______°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变______（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．23．已知a ，b 满足|a ﹣7|+5b -+（c ﹣42）2＝0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．24．如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于点F ，连接CD ．（1）求证：DE ＝CF ；（2）求EF 的长．25．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=o 时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）；②BDC ∠的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．26．已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（I）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE=CN；②求CN的长；（II）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明练习(含答案)

第一章三角形的证明一、单选题1．如图，△ABC 中，△B ＝60°，AB ＝AC ，BC ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．9B ．8C ．6D ．122．在△ABC 中，AB=AC ，△C=75°，则△A 的度数是（）A ．30°B ．50°C ．75°D ．150°3．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．含30°角的直角三角形4．如图，过等边△ABC 的顶点A 作射线，若△1=20°，则△2的度数是（）A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°5．以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A ．3，4，5B ．1，2C ．5，6，7D ．1，16．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，若满足2(6)100a c --=，则这个三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形7．如图，在ABC V 中，BA BC =，120ABC ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点E ，BC 的垂直平分线交AC 于点N 交BC 于点F ，连接BM ，BN ，若24AC =，则BMN △的周长是（）A ．36B ．24C ．18D ．168．如图，在ABC V 中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，与BC 交于点E ，分别以点E ，C 为圆心，大于12EC 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若45B ∠=︒，2C CAD ∠=∠，则BAC ∠的度数为（）A ．80︒B ．75︒C ．65︒D ．30°9．如图，在R △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，E 为AC 上一点，且AE ＝85，AD 平分△BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（）A ．185B ．245C ．4D ．26510．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm二、填空题 11．若等腰三角形的一个内角的度数为48°，则其顶角的度数为_____．12．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的高，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，60BAC ∠=︒，25EBC ∠=︒，则DAC ∠=_______.13．如图，△AOD 关于直线l 进行轴对称变换后得到△BOC ，那么对于（1）△DAO =△CBO ，△ADO =△BCO （2）直线l 垂直平分AB 、CD （3）△AOD 和△BOC 均是等腰三角形（4）AD =BC ，OD =OC 中不正确的是_____．14．已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分△ABC 和△ACB ，OD△BC 于D ，且OD=3，则△ABC 的面积是．三、解答题15．如图，在等边ABC V 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ．（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．16．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=1，DA=1，且△B=90°，求：(1)△BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)．17．已知如图，在△ABC 中，△B ＝45°，点D 是BC 边的中点，DE △BC 于点D ，交AB 于点E ，连接CE ．（1）求△AEC 的度数；（2）请你判断AE 、BE 、AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．18．如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=．以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AC 、AD ．（1）若120α=︒，判断OB OD +_______BD (填“>，<或=”)（2）当150α=︒，试判断AOD ∆的形状，并说明理由；（3）探究：当α=______时，AOD ∆是等腰三角形．(请直接写出答案)答案1．A2．A3．A4．A5．C6．D7．B8．B9．D10．A11．84°或48°．12．20°13．（3）14．30．15.解：（1）ABC ∆Q 是等边三角形，60B ∴∠=︒，//DE AB Q ，60EDC B ∴∠=∠=︒，EF DE ⊥Q ，90DEF ∴∠=︒，9030F EDC ∴∠=︒-∠=︒；（2）60ACB ∠=︒Q ，60EDC ∠=︒，EDC ∴∆是等边三角形．3ED DC ∴==，90DEF ∠=︒Q ，30F ∠=︒，26DF DE ∴==．16.解：（1）连接AC ，如图所示：△AB=BC=1，△B=90°=又△AD=1，△ AD 2＋AC 2=3 CD 22=3即CD 2=AD 2+AC 2△△DAC=90°△AB=BC=1△△BAC=△BCA=45°△△BAD=135°；（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是Rt△，△S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =1×1×12×12=12+ . 17.解：（1）△点D 是BC 边的中点，DE △BC ，△DE 是线段BC 的垂直平分线，△EB ＝EC ，△△ECB ＝△B ＝45°，△△AEC ＝△ECB +△B ＝90°；（2）AE 2+EB 2＝AC 2．△△AEC ＝90°，△AE 2+EC 2＝AC 2，△EB ＝EC ，△AE 2+EB 2＝AC 2．18.解：（1）=（2）ADO ∆是直角三角形．（3）α为125︒、110︒、140︒时，AOD ∆是等腰三角形。

(完整word版)北师大版八年级下第一章-三角形的证明练习题--培优训练

第一章培优训练1．在△ ABC中，∠ BAC=130°，假设 PM、QN分垂直平分AB和 AC，那么∠ PAQ=度．A AM NFEB CB D CP Q(1)(2)2．在等腰三角形 ABC中，AB=AC=5，BC=6，D 是 BC上一点，作 DE⊥AB，DF⊥AC， DE+DF=．3．如，一直角三角形的片，象中那折叠，使 A 与 B 重合，∠ B=30°， AC= 3 ，折痕DE等于．4．如，△ ABC≌△ ADE， BC的延交DE于 F，∠ B=∠D=25°，∠ ACB=∠E=105°∠ DAC=10° ∠ DFB=．BDEA FD E CD FC A(B)B E G CA B(3)(4)(5)5.如所示，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=1200，D、 F 分 AB 、AC 的中点，DEAB，FG AC ，E、 G 在 BC 上， BC=15cm ，求 EG 的度6、如，∠ AOB是一架，且∠ AOB=10°，了使架更加牢固，需在其内部添加一些管EF、FG、GH⋯⋯添加的管度都与OE相等，最多能添加的管根。

7．两个三角形如果具有以下条件：①三相等；②两和其中一上的中相等；③两和第三上的高相等；④三个角相等；⑤两和一个角相等；其中一定全等的有()个A． 2B．3C．4D．58．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠ B=∠ C=90°， M是 BC 的中点， DM平分∠ ADC，∠ CMD=35°，那么∠ MAB是多少度？〞大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出D C了正确结论，你知道他说的是()A． 20°B． 35°C． 55°D． 70°MA B 9．从边长为 1 的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为()A．3C ．2D． 2 2AB ．2 32D10．如图，在等边三角形ABC的三边上有三点D、 E、 F，且△ DEF也是等边三角F 形，其中 BD=3， CF=1，那么△ ABC的高等于 ()B CEA． 3B．23C．10D． 4(10题图 )11．在四边形ABCD中， AC平分∠ BAD，过 C 作 CE⊥AB于 E，且 AE＝1〔 AB＋ AD〕，求∠ ABC＋∠ ADC的度2数．DCA BE〔 11 题图〕12.如图1、图2，△ AOB，△ COD均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠ COD ＝ 90o，〔 1〕在图 1 中， AC 与 BD 相等吗？请说明理由〔 4 分〕（2〕假设△ COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达力 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？为什么？（8 分〕B BCDDA C O A O图 1图 213.在⊿ ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点O 作直线 M N∥ BC ，与∠ ACB的角平分线交于点E，与∠ ACB的外角平分线交于点F，求证： OE=OFAOM E F NB C14. 如图 2-5 所示．在等边三角形ABC中， AE=CD， AD， BE交于 P 点， BQ⊥ AD于 Q．求证： BP=2PQ．15．如图，在△ABC中， AD是高， CE是中线， DC=BE， DG⊥ CE于 G．求证：① G是 CE的中点．②∠ B=2∠ BCE．AEBGC 〔 15 题图〕D16.如图，美伊战争中，特种兵在 C 处发现 E，F 处各有一股伊军，电传A， B 两处的美军，此时，△ABC为等边三角形，F， E 点恰好在BA ， BC 的延长线上，由于伊军分布情况， A 股美军抵 F 后分化一局部向 CE 中点 D 行军，经测量， AF=BE, 试判断 FD 能为 F 到 CE 的最近距离吗？并说明理由。

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升测试( 含答案)

15．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为_____．
16．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．
22．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD平分∠ABC．
（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是；
（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角时，点A的坐标为________________.
18．如图，直线直线于点，点、点是直线上的点，作直线且，作直线于点，在射线上取一点，使，的延长线交直线于点．若，则 ___________ .
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．

2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》单元综合培优训练(附答案)

2020-2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优训练（附答案）1．在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．7对3．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．64．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°5．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个．A．5B．6C．7D．86．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条7．如图，已知△ABC的面积为12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．10B．8C．6D．48．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．16D．329．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°11．有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm12．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．14．如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝10，则DF等于．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝cm．16．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝．17．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．18．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝10，则线段MN的长为．19．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝．20．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于度．21．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝cm．22．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°．23．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF．25．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，DE＝1cm，求BD 的长．26．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．27．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AB ＝AC．28．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．29．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？30．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD＝DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF ⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．31．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．参考答案1．解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．2．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴△AOD≌△AOE；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC，∴△AOB≌△AOC，共7对，故选：D．3．解：∵在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．∴到三角形三边所在直线距离相等的点有4个．故选：B．4．解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝40°，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故选：D．5．解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，0），B（2，2），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选：D．6．解：如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．7．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．8．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝，∴A2B1＝，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝2，A4B4＝8B1A2＝4，A5B5＝16B1A2＝8，…∴△A n B n A n+1的边长为×2n﹣1，∴△A6B6A7的边长为×26﹣1＝×25＝16．故选：C．9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．10．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，故选：D．11．解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，∴斜边长为12cm．故选：D．12．解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．13．解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC．14．解：过D作DM⊥AC，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DEC＝30°，AE＝DE，∵AE＝10，∴DE＝10，∴DM＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝15°，∴∠BAD＝∠DAC，∵DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM＝5．故答案为：5．15．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，∴BD＝2AD＝8（cm），∴BC＝BD+CD＝12（cm）．故答案为：12．16．解：∵△ABC为锐角三角形，∴高AD和BE在三角形内．∵高AD和BE交于点H，∴∠ADC＝∠BEC＝90°．∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，∴∠EAD＝∠EBD，又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45°17．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°18．解：∵MN∥BC∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE∴ME＝MB，NE＝NC∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝10故答案为：1019．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．20．解：连接BC．设正方体的边长为1，则AB＝AC＝BC＝，所以△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°．故答案是60．21．解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD＝∠CAD．又∵AB＝AC，∴BE＝EC＝3cm．∴BC＝6cm．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝6cm．故答案为：6．22．解：当AP⊥ON时，∠APO＝90°，则∠A＝50°，当P A⊥OA时，∠A＝90°，即当△AOP为直角三角形时，∠A＝50或90°．故答案为：50或90．23．证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．24．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D为BC中点，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．25．解：如图，连接AD，∵等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，∵DE＝1cm，∴CD＝2DE＝2cm，在Rt△ABD中，BD＝2AD＝2CD＝2×2＝4cm．26．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°27．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，又∵BD＝CD，∠DEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．28．解：（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形；∵BE为角平分线，而AE⊥AB，ED⊥CE，故AE＝DE，故△ADE均为等腰三角形；∵BE＝BE，∠ABE＝∠DEB，∴△ABE≌△DBE（SAS），∴AB＝BD，∴△ABD和△ADE均为等腰三角形；∵∠C＝45°，ED⊥DC，∴△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；（2）AD与BE垂直．证明：∵△ABE≌△DBE（SAS），∴BA＝BD，EA＝EC，∴BE垂直平分相等AD，即AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE，在Rt△ABE和Rt△DBE中∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），∴AB＝BD，又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，又ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．29．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y＝．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．30．（1）证明：∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC，又∵AD＝BC，∴AD＝DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF．∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°，∴△DEF为等边三角形．31．（1）证明：如图1所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，BC＝．∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．∴DA＝DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE＝BE＝．∴BC＝BE．∴△EBC是等边三角形；（2）结论：AD＝DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，又∵DM＝DW，∴△WDM是等边三角形，∴MW＝DM，在△WGM和△DBM中，∵∴△WGM≌△DBM，∴BD＝WG＝DG+DM，∴AD＝DG+DM．（3）结论：AD＝DG﹣DN．证明：延长BD至H，使得DH＝DN．由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．。

完整word版北师大版八年级下第一章三角形的证明练习题培优训练

第一章培优训练 PAQ= AB和度．AC，那么∠QN1．在△ABC中，∠BAC=130°，若PM、分别垂直平分A AN M F E C CB B PQ D)(1题图) (2题图．则DE+DF= ，上一点，作DE⊥AB，DF⊥，2．在等腰三角形ABC中，AB=AC=5BC=6，D是BCAC3等，则折痕与．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使AB重合，∠B=30°，AC=DE3 ．于∠D=25°，∠ACB=∠E=105°FABC4．如图，△≌△ADE，BC的延长线交DE于，∠B=∠． DAC=10°则∠DFB= BDAEFF D DECG CE BAC(B)AB(5题图))(4 题图(3题图)DE?AB，FG?AC0，AC的中点，、，∠5.如图所示，在△ABC中，AB=ACBAC=120，D、F分别为ABE、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度6、如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根。

7．两个三角形如果具有下列条件：①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有( )个A．2 B ．3 C ．4 D．51DMM是BC的中点，8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，是多少度？”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出MABCMD=35°，则∠平分∠ADC，∠ C D( ) 了正确结论，你知道他说的是° B．35° C．55°D．70°A．20MBA( ) ．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为93A32222 D．A． B． C．2D也是等边三角，且△DEF D、E、F的三边上有三点10．如图，在等边三角形ABC F( ) ABC的高等于形，其中BD=3，CF=1，则△CBE3104 C．．A．3 B． 2 D)题图(101的度ABC＋∠ADC）（ABCEAC平分∠BAD，过C作⊥AB于E，且AE＝＋AD，求∠ABCD11．在四边形中，2D数．CBA E题图）（1190o，AOB＝∠COD＝，△12. 如图1、图2，△AOBCOD均是等腰直角三角形，∠分）BD相等吗？请说明理由（4与（1）在图1中，AC还相等吗？为什么？与BD的位置，顺时针旋转一定角度后，到达力2请问ACO）（2若△COD绕点8分）（BBCDDAA OOC2图1图2N∥BC，与是ABC中，点OAC边上一动点，过点O作直线M13.在⊿的外角平分线交于点F，求证：OE=OF ACB∠ACB的角平分线交于点E，与∠ AOF E NMB C．BP=2PQ．求证：于BQ⊥ADQ，所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，ADBE交于P点，如图14.2-5．于GDG是中线，DC=BE，⊥CECEABC15．如图，在△中，AD是高， BCE．CE的中点．②∠B=2∠G求证：①是AEGC BD（15题图）3ABC，B两处的美军，此时，△处发现E，F处各有一股伊军，电传A16.如图，美伊战争中，特种兵在C后分化一部分A股美军抵FE点恰好在BA，BC的延长线上，由于伊军分布情况，为等边三角形，F，（15分）能为F到CE的最近距离吗？并说明理由。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题1(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题1（附答案）1．下列条件不能得到等边三角形的是（）A．有两个内角是60°的三角形B．三个外角都相等的三角形C．有两个角相等的等腰三角形D．有一个角是60°的等腰三角形2．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．135°B．150°C．270°D．90°3．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E是边AB上两点,且CE所在直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,AC=5cm,则BD的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为( )A．60°B．62°C．64°D．66°5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AC＝6，则AB的长是( )A．8 B．10 C．12 D．不能确定6．如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°7．若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（）A ．4cm 2B ．33cm 2C ．23cm 2D ．3 cm 2 8．等腰三角形周长为 24，其中一条边长为 6，则一个腰长是_____________- .9．如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．10．如图，一条船从A 处出发，以15里/小时的速度向正北方向航行，10个小时到达B 处，从A 、B 望灯塔，得∠NAC=37°，∠NBC=74°，则B 到灯塔C 的距离是_____里．11．在△ABC 中，AB=2，AC=2,∠B=30º，则 ∠BAC 的度数是_________．12．等腰△ABC 的顶角∠A=48°，则其一腰上的高与底边的夹角为________°. 13．已知，直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =20°，在直线AC 上找一点 P ，使△ABP 是等腰三角形，则∠APB 的度数为_____．14．如图，已知ABC V 的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，ABC V 的面积是__________．15．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_____．16．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．（1）如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长.（2）求∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数.17．如图，已知△ABC（1）用直尺和圆规作△ABC的边BC上的高AD，并在线段AD上找一点E，使E到AB的距离等于ED（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=AC=5，BC=6，求出ED的长。