四川省绵阳中学2020届高三上学期第三次教学质量检测考试数学(理科)试卷及答案
四川省绵阳市2020年高三第三次诊断性考试理科综合试题及答案 word版
秘密★启用前【考试时间: 2020年4月22日9：00-11：30】绵阳市高中2020届高三第三次诊断性考试理科综合能力测试一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞结构与功能的叙述，错误的是A．细胞核位于细胞的正中央，所以它是细胞的控制中心B.多种酶附着在生物膜系统上，有利于化学反应的进行C．甲状腺滤泡上皮细胞可从含碘低的血浆中主动摄取碘D.磷脂分子以疏水性尾部相对的方式构成磷脂双分子层2．今年春季新冠肺炎蔓延全世界，全球掀起了抗击新冠肺炎的浪潮，经研究，该病是一种新型冠状病毒引起。
下列关于人体对该病毒免疫的说法，错误的是A．对侵入机体的病毒，机体既会发生体液免疫又会发生细胞免疫B．该病毒侵入肺泡细胞，首先要突破人体的第—道和第二道防线C．保持健康、乐观、积极的心态有利于人体对新冠状病毒的免疫D.医院采集康复患者捐献的血浆，原因是血浆中有大量记忆细胞3．真核细胞增殖的主要方式是有丝分裂，而减数分裂是一种特殊的有丝分裂，其特殊性主要表现在A.核DNA数目加倍的方式B.同源染色体的行为方式C．染色质变成染色体的方式 D.姐妹染色单体分开的方式4．下列实验必须通过观察活细胞才能达到目的的是A.观察DNA和RNA在细胞中的分布．B．观察洋葱根尖分生区细胞的有丝分裂C．观察成熟植物细胞的吸水和失水状况D.验证细胞中的过氧化氢酶的催化作用5．为推进生态文明建设，某镇对不宜耕作的农田和土地实行退耕还草还林，并对其演替进行适当人工干预。
下列相关叙述错误的是A.可用样方法调查退耕农田的种群密度和群落丰富度B.演替过程中前一个群落改变了环境但竞争力将减弱C．演替过程中群落丰富度增加是因为有新物种的迁入D.缺失了人工干预的农田总能演替成结构复杂的树林6．明确了mRNA的遗传密码中三个碱基决定一个氨基酸以后，科学家又设计实验进一步探究遗传密码的对应规则：在每个试管中分别加入一种氨基酸，再加入除去了DNA和mRNA的细胞裂解液以及多聚尿嘧啶核苷酸，观察试管中能否出现多肽链。
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈N}，B ={6,8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 22. 复数 i ⋅(1−i)=( )A. 1+iB. −1+iC. 1−iD. −1−i3. 已知a =log 25，2b =3，则2a+b = ( )A. 15B. 6C. 10D. 54. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14,18)内的频数是12，则样本数据落在[6,10)的频数是( )A. 12B. 16C. 18D. 205. 若(x −1√x )n 展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项( )A. 84B. −84C. 56D. −566. 在△ABC 中，sinB =1213，cosA =35，则sin C 为( )A. 1665B. 5665C. 6365D. 1665或56657. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√38. 已知点A(2√5,3√10)在双曲线x 210−y 2b2=1(b >0)上，则该双曲线的离心率为( )A. √103B. √102C. √10D. 2√109. 已知函数f(x)={x 2+1,(x >0)cosx,(x ≤0)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)的值域为[−1,+∞)D. f(x)是周期函数10. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A. 关于点(π3,0)对称 B. 关于直线x =π4对称 C. 关于点(π4,0)对称D. 关于直线x =π3对称11. 设函数f(x)={4x −4,x ≤1x 2−4x +3,x >1，则函数g(x)=f(x)−log 2x 的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 如图，∠C =90°，AC =BC ，M ，N 分别为BC 和AB 的中点，沿直线MN将△BMN 折起，使二面角B′−MN −B 为60°，则斜线B′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A. √25B. √35C. 45D. 35二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sin α2−cos α2=15，则sinα=_____．14. 曲线f(x)=2−xe x 在点(0,2)处的切线方程为______ ．15. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______．16. 将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a n >0，其前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0．(Ⅰ) 求{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ) 若b n =a n −52n，求b 2+b 4+⋯+b 2n ．CD=2，18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=12当点M为EC中点时．(1)求证：BM//平面ADEF；(2)求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．19.近几年来，网上购物已成潮流，快递业迅猛发展．为了解某地区快递员的收入情况，现随机抽取了甲、乙两家快递公司30天的送货单，对两个公司的快递员平均每天的送货单数进行统计，数据如下：已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪90元，每单抽成1元；乙公司规定底薪120元，每日前40单无抽成，超过40单的部分每单抽成t元．(Ⅰ)分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资y1，y2(单位：元)与送货单数n的函数关系式；(Ⅱ)根据以上统计数据，若将频率视为概率，回答下列问题：(ⅰ)记甲快递公司的快递员的平均日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(ⅰ)小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20.已知函数f(x)=ax2+bx−lnx(a,b∈R)．(1)当a=8，b=−6时，求f(x)的零点个数；(2)设a>0，且x=l是f(x)的极小值点，试比较ln a与−2b的大小．21.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．(1)若|AB|=4√15，求直线l的方程；(2)若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．)=2，若直线l 22.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为psin(θ+π3与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．23.设函数f(x)=|2x−1|(1)解关于x的不等式f(2x)≤f(x+1)(2)若实数a，b满足a+b=2，求f(a2)+f(b2)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和元素个数的求解．解：由已知得A={2,5，8，11，14，17，…}，又B={6,8，10，12，14}，所以A∩B={8,14}．故选D．2.答案：A解析：解：复数i⋅(1−i)=1+i．故选A．利用复数的运算法则即可得出．熟练掌握复数的运算法则及i2=−1是解题的关键．3.答案：A解析：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质即可求解．解：∵a=log25，b=log23，∴a+b=log215，∴2a+b=2log215=15，故选A．4.答案：B解析：本题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 先求出n ，再利用频数=频率×样本容量即可求解．解：由样本数据在[14,18)内的频数是12得样本容量n =121−4×(0.02+0.08+0.09)=50， 则样本数据落在[6,10)的频数是50×4×0.08=16， 故选B ．5.答案：A解析：解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n =9，T r+1=(−1)r C 9rx18−3r2；令18−3r =0，则r =6，所以该展开式中的常数项为84． 故选：A ．结合二项式定理，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．6.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，由cos π4=√22>cosA =35>12=cos π3，A ∈(0,π)，∴π4<A <π3，∴sinA =√1−cos 2A =45，∴√32<sinB =1213<1∴π3<B <π2，或π2<B <2π3，∴cosB =√1−sin 2B =±513，sinA =√1−cos 2A =45，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =513×45+35×1213=5665，或sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =−513×45+35×1213=1665， 故选：D ．先判断A ，B 的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和的正弦即可求得答案本题考查两角和与差的正弦函数，关键在于由已知条件判断A、B、C的范围，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．7.答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积.由a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ 结合平面向量的数量积运算可得答案解：依题意，|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1×1×12=12，所以a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =2．故选C．8.答案：C解析：利用双曲线上的点在双曲线上求解b，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：点A(2√5,3√10)在双曲线x210−y2b2=1(b>0)上，可得2010−90b2=1，可得b=3√10，又a=√10，所以c=10，双曲线的离心率为：e=√10=√10．故选：C．9.答案：C解析：解：由解析式可知当x≤0时，f(x)=cosx为周期函数，当x>0时，f(x)=x2+1，为二次函数的一部分，故f(x)不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、D，对于C，当x≤0时，函数的值域为[−1,1]，当x>0时，函数的值域为(1,+∞)，故函数f(x)的值域为[−1,+∞)，故C正确．故选：C．由三角函数和二次函数的性质，结合函数的奇偶性、单调性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得A，B，D错，C正确．本题考查分段函数的应用，考查函数的奇偶性、单调性和周期性，涉及三角函数的性质，属中档题．10.答案：A解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期性得ω=2，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性计算得结论．解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，所以2πω=π，即ω=2，因此函数f(x)=sin(2x+π3)．由2x+π3=kπ(k∈Z)得x=kπ2−π6(k∈Z)，所以对称点为(kπ2−π6, 0)(k∈Z)，当k=1时，对称点为(π3,0)，令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)得对称轴x=kπ2+π12，因此直线x=π3和x=π4均不为对称轴，故选A．11.答案：C解析：解：g(x)=0得f(x)=log2x，在同一坐标系下分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，如图：由图象可知两个图象共有3个交点，则函数g(x)=f(x)−log2x的零点个数为3个．故选C．令g(x)=0，得到方程f(x)=log2x，然后分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，观察交点的个数，即为函数g(x)的零点个数．本题考查函数与方程问题，求解此类问题的基本方法是令g(x)=0，将函数分解为两个基本初等函数，然后在同一坐标系下，作出两函数的图象，则两函数图象的交点个数，即为函数零点的个数．12.答案：B解析：此题重点考查了折叠图形的做题关键应抓住折叠前与折叠后之间的变量与不变量，还考查了二面角的概念及直线与平面所成角的概念吧，此外多次使用了求解时把边与角放到直角三角形中进行求解的方法．由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所陈角的定义要找到斜线B′A在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．解：由题意做出折叠前与折叠之后图形为：由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，所以折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MH=60°，并且B′在底面ACB内的投影点H就在BC上，且恰在BM的中点位置，连接B′A和AH，在直角三角形ACH中AH=54a；在直角三角形B′MH中，由于BM=12a，∠B′MH=60°，∠BHM=90°，所以B′M=√34a，最后在直角三角形B′AH中tan∠B′AH= B′HAH =√34a54a=√35，故选B．13.答案：2425解析：本题考查三角函数的同角三角函数基本关系，与二倍角公式的应用，属于基础题．平方后利用三角函数的同角三角函数平方关系，与二倍角公式求出结果．解：∵sinα2−cosα2=15，∴(sinα2−cosα2)2=sin2α2−2sinα2cosα2+cos2α2=1−2sinα2cosα2=1−sinα=125，∴sinα=2425．故答案为2425．14.答案：x+y−2=0解析：解：f(x)=2−xe x的导数为f′(x)=−(1+x)e x，可得在点(0,2)处的切线斜率为k=−1，即有在点(0,2)处的切线方程为y=−x+2，即为x+y−2=0．故答案为：x+y−2=0．求得函数的导数，求出切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，正确求导和运用直线方程是解题的关键．15.答案：√33解析：本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．由题意，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3；从而由余弦定理求解，从而求面积．解：由题意，F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3，则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2−2|F1P||PF2|cos60°，故12=(|F1P|+|PF2|)2−2|F1P||PF2|cos60°−2|F1P||PF2|，故12=16−3|F1P||PF2|，故|F1P||PF2|=43，故△PF1F2的面积S=12|F1P||PF2|⋅sin60°=√33，故答案为：√33．16.答案：4+2√2解析：解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=6√2，球O的半径为3，球O1的半径为1，则OA=12BC−O1N=3√2−√2=2√2，在Rt△OAO1中，OO1=4，∴O1A=√42−(2√2)2=2√2，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．由题意画出图形，然后通过求解直角三角形得答案．本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n =1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n =19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n =n 2+2n ，得到数列首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n =a n −52n，得到b 2n ，再由错位相减法求得b 2+b 4+⋯+b 2n ．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．18.答案：(1)证明：以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,4，0)，E(0,0，2)，M(0,2，1)， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量， ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BM →⊥DC →， ∴BM//平面ADEF ，(2)解：设M(x,y ，z)，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z −2)， 又EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)， 设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即M(0,2，1)， 设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BDM 的一个法向量， 则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x 1+2y 1=0，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4λy 1+(2−2λ)z 1=0， 取x 1=1得 y 1=−1，z 1=2，即n⃗ =(1,−1,2)， 又由题设，DA →=(2,0,0)是平面ABF 的一个法向量， ∴|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=22√2+4=√66． ∴平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角为．解析：本题考查线面平行，考查平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量，证明BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BM//平面ADEF ；(2)求出平面BDM 的一个法向量、平面ABF 的一个法向量，利用向量的夹角公式求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角．19.答案：解：(Ⅰ)甲快递公司的快递员的日工资y 1(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 1=90+n(30≤n ≤60)．乙快递公司的快递员的日工资y 2(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 2={120(30≤t ≤40),120+(n −40)t(t >40).(Ⅱ)(ⅰ)X 的分布列如下：E(X)=120×6+130×3+140×13+150×16=135．(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资为120×15+12(120+10t)+3(120+20t)30=120+6t ．∴当120+6t <135，即0<t <52时，小赵应选择甲快递公司； 当120+6t =135，即t =52时，小赵选择甲、乙快递公司均可； 当120+6t >135，即t >52时，小赵应选择乙快递公司．解析：本题考查频数分布表、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查考生的应用意识以及等价转化思想．(Ⅰ)由甲、乙快递公司的快递员的日工资y 1，y 2(单位：元)与送货单数n 的个数和利用频数分布表求解；(Ⅱ)(ⅰ)建立X 的分布列，再利用数学期望公式求解；(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资，比较120+6t 和135即可得结论．20.答案：解：(1)∵a =8，b =−6，f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x(x >0)当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增， 故f(x)的极小值是f(12)， 又∵f(12)=−1+ln2<0， ∴f(x)有两个零点； (2)依题有f′(1)=0， ∴2a +b =1即b =1−2a ， ∴lna −(−2b)=lna +2−4a ， 令g(a)=lna +2−4a ，(a >0) 则g′(a)=1a −4=1−4a a，当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增； 当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减． 因此g(a)<g(14)=1−ln4<0， 故lna <−2b ．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(2)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出ln a 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．21.答案：解：(1)由抛物线C ：x 2=4y ，可得Q(0,−1)，且直线l 斜率存在，∴可设直线l ：y =kx −1，由{y =kx −1x 2=4y ，得：x 2−4kx +4=0， 令△=16k 2−16>0，解得：k <−1或k >1． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4，∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2−16=4√k 4−1． ∵|AB|=4√15，∴k 4−1=15，解得k =±2，∴直线l 的方程为：y =±2x −1；(2)由(1)知，k <−1或k >1，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4， ∵点F 在以AB 为直径的圆外部，∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)⋅(x 2,y 2−1)=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=8−4k 2>0， 解得：k 2<2，即−√2<k <√2． 又k <−1或k >1，∴直线l 的斜率的取值范围是(−√2,−1)∪(1,√2).解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．(1)由抛物线方程可得Q(0,−1)，设直线l ：y =kx −1，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积，结合弦长公式求得k ，进一步得到直线l 的方程；(2)由点F 在以AB 为直径的圆外部，可得FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合(1)中根与系数的关系及判别式求得直线l 的斜率的取值范围．22.答案：解：曲线C 的方程为ρ=4sinθ，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −2)2=4， 直线l 的方程为psin(θ+π3)=2，转换为直角坐标方程为：√3x +y −4=0，则圆心(0,2)到直线√3x +y −4=0的距离d =√3+1=1， 且|AB|=2√22−1=2√3， 所以S △AOB =12×2√3×1=√3．解析：本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)|4x −1|≤|2x +1|⇔16x 2−8x +1≤4x 2+4x +1⇔12x 2−12x ≤0，解得x ∈[0,1]，故原不等式的解集为[0,1]．(2)f(a2)+f(b2)=|2a2−1|+|2b2−1|≥|2(a2+b2)−2|，2(a2+b2)≥(a+b)2=4．从而2(a2+b2)−2≥2，即f(a2)+f(b2)≥2，取等条件为a=b=1．故f(a2)+f(b2)的最小值为2．解析：(1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．(2)利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，}02{2<-=x x x A ，}1{≥=x x B ，则=)(B C A U ( ) A ．),0(+∞ B. )1,(-∞ C ．)2,(-∞ D ． （0,1）2. 已知i 是虚数单位，则=+ii12 ( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．23. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是( ) A ．1514 B 151． C. 53 D ．214. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且4221=+a a ，73244a a a =，则=5a ( )A ．161 B ．81C. 20D. 40 5. 已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且BM BC 3=，N 为DC 的中点，则=∙BN AM ( )A ．-6B ．12 C.6 D ．-126. 在如图所示的程序框图中，若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-),0(2),0)((log )(21x x x x f x则输出的结果是( )A ．16B ．8 C. 162 D ．827. 已知函数)cos(4)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>为奇函数，)0,(a A ，)0,(b B 是其图像上两点，若b a -的最小值是1，则=)61(f ( )A ．2B ． -2 C.23 D ．23- 8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( )A ．50B ．75 C.25.5 D ．37.5 9. 已知函数x m x m x f sin )2(2cos 21)(-+=，其中21≤≤m .若函数)(x f 的最大值记为)(m g ，则)(m g 的最小值为( ) A ．41-B ．1 C. 33- D ．13- 10.已知F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点. O 为坐标原点，D 为C 上一点，x DF ⊥轴.过点A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ,直线BE 与y 轴交于点N ，若ON OM 23=，则双曲线C 的离心率为（ )A ．3B ．4 C.5 D ．611. 三棱锥ABC P -中，PA ，PB ，PC 互相垂直，1==PB PA ，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是26，则三棱锥ABC P -的外接球表面积是( )A ．π2B ．π4 C. π8 D ．π1612. 已知函数3ln 2)(2+-=ax x x f ，若存在实数]5,1[,∈n m 满足2≥-m n 时，)()(n f m f =成立，则实数a 的最大值为( )A ．83ln 5ln - B ．43ln C. 83ln 5ln + D ．34ln 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,5,02,0y x y x y ，则y x 2+的最小值是 ．14.过定点M 的直线：021=-+-k y kx 与圆：9)5()1(22=-++y x 相切于点N ，则=MN ．15.已知ny x x )2(2-+的展开式中各项系数的和为32，则展开式中25y x 的系数为 ．（用数字作答）16.设公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a ，5a ，11a 成等比数列，且)(211n m S S a -=),,0(*∈>>N n m n m ，则n m +的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且ac b c a 3)(22+=+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2=b ，且A A C B 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积.18. 共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有65是“年轻人”.（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布与期望. （参考数据：独立性检验界值表其中，))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=）19. 已知矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中1=AF ，2=AD ，3π=∠ADC ，点N 是线段AD 的中点.（Ⅰ）试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线//AF 平面MNC ？若存在，请证明//AF平面MNC ，并求出MEBM的值；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）求二面角D CE N --的正弦值.20.已知点)0,2(-E ，点P 是椭圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线FP 交于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，已知AF m NA =，n =，求n m +的值.21. 函数4ln )(-+=x x x p ，)()(R a axe x q x∈=.（Ⅰ）若e a =，设)()()(x q x p x f -=，试证明)(x f '存在唯一零点)1,0(0ex ∈，并求)(x f 的最大值；（Ⅱ）若关于x 的不等式)()(x q x p <的解集中有且只有两个整数，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin 3,cos 31y x （α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1=ρ.（Ⅰ）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线l 的极坐标方程)0(3≥=ρπθ，且l 分别交曲线1C 、2C 于A 、B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数633)(-+-=x a x x f ，12)(+-=x x g . （Ⅰ）1=a 时，解不等式8)(≥x f ；（Ⅱ）若对任意R x ∈1都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.绵阳市高2014级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题1-5: CDABA 6-10: ABDDC 11、12：BB二、填空题13. 2 14. 4 15.120 16. 9三、解答题17.解：（Ⅰ） 把ac b c a 3)(22+=+整理得，ac b c a =-+222,由余弦定理有ac b c a B 2cos 222-+=212==ac ac ,∴3π=B .（Ⅱ）ABC ∆中，π=++C B A ，即)(C A B +-=π，故)sin(sin C A B +=， 由已知A A C B 2sin 2)sin(sin =-+可得A A C C A s 2sin 2)sin()sin(=-++, ∴++C A C A sin cos cos sin A C A C sin cos cos sin -A A cos sin 4=, 整理得A A C A cos sin 2sin cos =. 若0cos =A ，则2π=A ，于是由2=b ，可得332tan 2==B c ， 此时ABC ∆的面积为33221==bc S . 若0cos ≠A ，则A C sin 2sin =， 由正弦定理可知，a c 2=，代入ac b c a =-+222整理可得432=a ，解得332=a ，进而334=c ，此时ABC ∆的面积332sin 21==B ac S . ∴综上所述，ABC ∆的面为332. 18.解：（Ⅰ）补全的列联表如下：于是100=a ，20=b ，60=c ，20=d ，∴4016080120)206020100(20022⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 072.2083.2>≈，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为%10%10020020=⨯，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵)1.0,3(~B X ,,3,2,1,0=X∴729.0)1.01()0(3=-==X P ，001.01.0)3(3===X P ， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望3.01.03)(=⨯=X E .19.解：（Ⅰ）作FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点.证明：连接PN ，∵N 是AD 的中点，P 是FE 的中点， ∴AF PN //，又⊂PN 平面MNC ，⊄AF 平面MNC ， ∴直线//AF 平面MNC . ∵AD PE //，BC AD //， ∴BC PE //， ∴2==PEBCME BM .（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD PN ⊥，又面⊥ADEF 面ABCD ，面 ADEF 面AD ABCD =，⊂PN 面ADEF ， 所以⊥PN 面ABCD . 故AD PN ⊥，NC PN ⊥.以N 为空间原点，ND ，NC ，NP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz N -， ∵3π=∠ADC ，2==DC AD ，∴ADC ∆为正三角形，3=NC ，∴)0,0,0(N ，)0,0,3(C ，)0,1,0(D ，)1,1,0(E ，∴)1,1,0(=NE ，)0,0,3(=NC ，)1,0,0(=DE ，)0,1,3(-=DC ， 设平面NEC 的一个法向量),,(1z y x n =，则由01=∙n ，01=∙n 可得⎩⎨⎧==+,03,0x z y 令1=y ，则)1,1,0(1-=n . 设平面CDE 的一个法向量),,(1112z y x n =，则由02=∙n ，02=∙n 可得⎩⎨⎧=-=,03,0111y x z 令11=x ，则)0,3,1(2=n . 则46223,cos 212121==∙=n n n n n n ，设二面角D CE N --的平面角为θ，则410)46(1sin 2=-=θ， ∴二面角D CE N --的正弦值为410. 20.解：（Ⅰ）由题意知，MP MF ME =+46=>==+EF r MF ，故由椭圆定义知，点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为3=a ，短半轴长为52322=-=b ，∴曲线C 的方程为：15922=+y x .（Ⅱ）由题意知)0,2(F ，若直线AB 恰好过原点，则)0,3(-A ，)0,3(B ，)0,0(N ， ∴)0,3(-=，)0,5(=，则53-=m ， )0,3(=，)0,1(-=，则3-=n ，∴518-=+n m . 若直线AB 不过原点，设直线AB ：2+=ty x ，0≠t ，),2(11y ty A +，),2(22y ty B +，)2,0(tN -.则,2(1+=ty )21t y +，),(11y ty --=，,2(2+=ty NB )22ty +，),(22y ty BF --=，由m =，得)(211y m ty -=+，从而121ty m --=； 由n =，得)(222y n ty -=+，从而221ty n --=； 故=+n m 121ty --)21(2ty --+)11(2221y y t +--=212122y y y y t +⨯--=.联立方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,159,222y x ty x 整理得02520)95(22=-++ty y t ， ∴9520221+=+t t y y ，9525221+=t y y ， ∴=+n m 212122y y y y t +⨯--518582252022-=--=⨯--=t t . 综上所述，518-=+n m . 21.（Ⅰ）证明：由题意知xexe x x x f --+=4ln )(，于是=+-+='xe x e xx f )1(11)(x exe x e x e x x x x )1)(1()1(1-+=+-+ 令xexe x -=1)(μ，)0(0)1()(><+-='x e x e x xμ，∴)(x μ在)0(∞+上单调递减.又01)0(>=μ，01)1(1<-=e e eμ， 所以存在)1,0(0e x ∈，使得0)(0=x μ，综上)(x f 存在唯一零点)1,0(0e x ∈.解：当),0(0x x ∈，0)(>x μ，于是0)(>'x f ，)(x f 在),0(0x 单调递增； 当),(0+∞∈x x ，0)(<x μ，于是0)(<'x f ，)(x f 在),(0+∞x 单调递减； 故00000max 4ln )()(x e ex x x x f x f --+==，又01)(000=-=x e ex x μ，001x x e e =，00ln 11ln 0x ex x --==， 故)ln 1(ln )(00max x x x f --+=6151400-=--=∙--ex e x . （Ⅱ）解：)()(x q x p >等价于x axe x x >-+4ln .x axe x x >-+4ln x x xe x x xe x x a 4ln 4ln -+=-+<⇔， 令x xe x x x h 4ln )(-+=，则xe x x x x x h 2)5)(ln 1()(-++='， 令5ln )(-+=x x x ϕ，则011)(>+='xx ϕ，即)(x ϕ在),0(+∞上单调递增. 又023ln )3(<-=ϕ，04ln )4(>=ϕ，∴存在),0(t t ∈，使得0)(=t ϕ.∴当),0(t x ∈，)(0)(0)(x h x h x ⇒>'⇒<ϕ在),0(t 单调递增； 当),(+∞∈t x ，)(0)(0)(x h x h x ⇒<'⇒>ϕ在),(+∞t 单调递减. ∵03)1(<-=e h ，0222ln )2(2<-=eh ，0313ln )3(3>-=e h ， 且当3>x 时，0)(>x h ， 又e h 3)1(=，>-=222ln 2)2(e h 3313ln )3(eh -=，44ln 2)4(e h =， 故要使不等式)()(x q x p >解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为≤≤-a e 3313ln 222ln 2e -. 22.解：（Ⅰ）将1C 参数方程化为普通方程为3)1(22=+-y x ，即02222=--+x y x ， ∴1C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为122=+y x . （Ⅱ）将3πθ=代入1C ：02cos 22=--θρρ整理得022=--ρρ， 解得21=ρ，即21==ρOA .∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线)0(3≥=ρπθ与2C 相交，即12=ρ，即12==ρOB . 故11221=-=-=ρρAB .23.解：（Ⅰ）当31≤x 时，x x f 67)(-=，由8)(≥x f 解得61-≤x ，综合得61-≤x ， 当231<<x 时，5)(=x f ，显然8)(≥x f 不成立， 当2≥x 时，76)(-=x x f ，由8)(≥x f 解得25≥x ，综合得25≥x ， 所以8)(≥x f 的解集是),25[]61,(+∞--∞ . （Ⅱ）633)(-+-=x a x x f a x a x -=---≥6)63()3(， 112)(≥+-=x x g ， ∴根据题意16≥-a ，解得7≥a ，或5≤a .。
2020年四川省绵阳市南山中学高考(理科)数学三诊试卷 含解析
2020届绵阳南山中学高考（理科）数学三诊模拟试卷一、选择题（共12小题）1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．5110．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P（36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN 的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若焦合A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞1或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜0，或x＞2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|x＞2}．故选：C．2．若复数z满足，复数z的共轭复数是，则z+＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝＝，∴，则z+＝﹣1．故选：C．3．在△ABC中∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝120°，则c＝（）A．37 B．13 C．D．【分析】由已知结合余弦定理即可求解．解：因为a＝3，b＝4，∠C＝120°，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝9＝37．故c＝．故选：D．4．直线与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】根据点到直线的距离得到d＝，结合基本不等式a2+b2≥2ab（ab＞0），可得d的取值范围，即可得到与原的位置关系．解：圆心（0，0）到直线的距离d＝，因为a2+b2≥2ab（ab＞0），代入可得d≤1，故选：D．5．如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：＝＝﹣＝（）＝，得解解：＝＝﹣＝（）＝，故选：C．6．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增时，a的范围，以长度为测度，即可求出概率．解：∵函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增，∴y′＝1﹣＝≥0，在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y＝在区间[2，+∞）内单调递增的概率是＝，故选：C．7．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣x）＝ln＝＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；对于f（x）＝，设t＝，则y＝lnt；在（0，+∞）上，t＝＝x（1﹣），易得t在（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝在（0，+∞）为增函数，排除C；故选：B．8．一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A．24πB．C．D．12π【分析】由四面体A﹣BCD所有棱长都为4，求出边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB 在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，由此求出球O的半径r，由此能求出球的表面积．解：∵四面体A﹣BCD所有棱长都为4，如图，∴边长CD＝4，CD边上的高BE＝2，侧棱AB在底面上的射影BG＝，三棱锥的高AG＝，设OA＝OB＝r，则r2＝（﹣r）2+（）2，解得r＝，∴球的表面积S球＝4πr2＝24π．故选：A．9．（x﹣+1）5展开式中的常数项为（）A．1 B．11 C．﹣19 D．51【分析】类比二项展开式的通项处理即可．解：依题意，（x﹣+1）5展开式中r个因式选择x，s个因式选择﹣，则展开项为：T＝＝，要使该项为常数，则r＝1，①当r＝s＝0时，对应常数为1；②当r＝s＝1时，对应常数为＝﹣20；③当r＝s＝2时，对应常数为＝30；所以展开式的常数项为1﹣20+30＝11．故选：B．10．△ABC中，如果lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2可得结合0＜A＜π 可求，，代入sin C＝sin B＝＝，从而可求C，B，进而可判断解：由lg cos A＝lg sin C﹣lg sin B＝﹣lg2可得lg cos A＝lg＝﹣lg2∴∵0＜A＜π∴，∴sin C＝sin B＝＝∴tan C＝，C＝，B＝故选：B．11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m+n，（m＞0，n＞0），m+n＝2，则∠AOB的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设圆O的半径为1，对＝m+n，两边平方可得1＝m2+2mn cos∠AOB+n2，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m＝2﹣n带入上式并求出cos∠AOB的表达式，进而得到答案．解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；2＝（m+n）2；∴1＝m2+2mn cos∠AOB+n2；将m＝2﹣n带入并整理得﹣2n2+4n﹣3＝（﹣2n2+4n）cos∠AOB；∴cos∠AOB＝1+；∵n∈（0，2）时，2n2﹣4n＜0；且n＝1时，2n2﹣4n取最小值﹣2，1+取最大值﹣；此时，∠AOB＝，即为最小值．故选：A．12．直线y＝kx+1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB 的面积为S，则S﹣|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设出A，B的坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得P到AB的距离，得到△PAB的面积为S，作差后利用导数求最值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，．则|AB|＝．由x2＝4y，得，，设P（x0，y0），则，x0＝2k，．则点P到直线y＝kx+1的距离d＝，从而S＝．S﹣|AB|＝（d≥1）．令f（x）＝2x3﹣4x2，f′（x）＝6x2﹣8x（x≥1）．当1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故，即S﹣|AB|的最小值为．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝．【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝2sin，分析可得其周期，进而可得f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin，进而计算可得答案．解：根据题意，＝2[sin（+）﹣cos （+）]＝2sin，其周期T＝＝6，f（1）+f（2）+…+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2sin+2sin+2sinπ+2sin＝；故答案为：．14．已知x，y满足且目标函数z＝2x+y的最大值为7，最小值为1，则＝﹣2．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．解：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则＝﹣2．故填：﹣2．15．若f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，则k的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减⇔f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，分①当k＜0，②当k＝0，③当k＞0时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可．解：∵f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，∴f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x≤0在x∈（0，2）恒成立，①当k＜0，f′（x）＝kx2+2（k﹣2）x的图象开口向下，对称轴方程为x＝﹣＝﹣1+＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0恒成立，故f（x）＝﹣5k+7在（0，2）上单调递减，满足题意；②当k＝0时，f（x）＝﹣2x2+7的图象开口向下，在（0，2）上单调递减，满足题意；③当k＞0时，由f′（x）≤0对∀x∈（0，2）恒成立得：，解得0＜k≤1；综上所述，k∈（﹣∞，1]故答案为：（﹣∞，1]．16．若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是a ＝0或a≥【分析】利用转化思想，将函数的零点转化为y＝2|x﹣2a，y＝22|x+a|图象的交点．解：若函数f（x）＝2|x﹣2a|﹣4|x+a|在区间（﹣2，+∞）上有且仅有一个零点，令g（x）＝2|x﹣2a|，h（x）＝4|x+a|＝22|x+a|，即g（x）与h（x）图象在（﹣2，+∞）有且只有一个交点．∵g（x），h（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，所以①2（x+a）＝x﹣2a在（﹣2，+∞）恒成立，即a≥；②2（x+a）＝﹣（x﹣2a）在（﹣2，+∞）恒成立，即a＝0．故a的取值范围是a＝0或a≥．故答案为：a＝0或a≥．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在数列{a n}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+na n＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．【分析】（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式相减可得＝，求得a2＝1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解：（1）当n≥2时，由a1＝1 及①可得②．两式相减可得na n＝﹣，化简可得＝，∴a2＝1．∴••…＝＝×××…×＝＝．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…18．为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作．为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）统计结果如表所示．组别[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数25 150 200 250 225 100 50（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210）μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示），请用正态分布的知识求P （36＜Z≤79.50）；（2）在（1）的条件下，市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励：（ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：中奖的奖券面值（单元：元）20 40概率0.8 0.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式≈14.5，若X～N（μ，σ2），则①P（μ﹣σ＜X≤μ≤σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．【分析】（1）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．由此能求出p（36＜Z≤79.5）．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解：（1）由题意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65．∴μ＝65，∵＝14.5，∴P（50.5＜z≤79.5）≈0.6287，p（36＜Z≤94）≈0.9545．∴p（36＜Z≤50.5）≈＝0.1359，综上，p（36＜Z≤79.5）＝p（36＜Z≤50.5）+p（50.5＜Z≤79.5）≈0.1359+0.6287＝0.8186．（2）由题意知P（z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，获奖券面值X的可能取值为20，40，60，80．P（X＝20）＝，P（X＝40）＝＝，P（X＝60）＝＝，P（X＝80）＝＝．∴X的分布列为：X20 40 60 80P∴EX＝+＝36．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2．（I）求证：AB1⊥CC1；（II）若，求平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【分析】（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，推导出CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面AOB1，由此能证明AB1⊥CC1．（II）以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用同量法能求出平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取CC1中点为O，连结AC1，CB1，OA，OB1，．解：（II）由（I）及AC＝2知，，又∴AO⊥OB1，∴以，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，C1（0，1，0），，，C（0，﹣1，0）∴，，，，设平面A1B1C1的法向量为＝（a1，b1，c1），平面ACB1的法向量为＝（a2，b2，c2），则，取＝（1，，﹣1）＝（﹣1，，﹣1），设平面A1B1C1与平面ACB1所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴平面A1B1C1和平面ACB1所成锐二面角的余弦值为．20．已知f（x）＝e x﹣mx．（Ⅰ）若曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线也与曲线y＝f（x）相切，求实数m的值；（Ⅱ）试讨论函数f（x）零点的个数．【分析】（Ⅰ）求得y＝lnx的导数，可得切线的斜率和方程，求y＝f（x）的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，可得m的方程，解方程，结合构造函数，即可得到所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论m＜0，m＝0，m＝e，0＜m＜e，m＞e，判断f（x）的单调性和函数值的变化，以及最值的符号，可得所求零点个数．解：（Ⅰ）y＝lnx的导数为y′＝，可得曲线y＝lnx在点（e2，2）处的切线斜率为e﹣2，切线方程为y﹣2＝e﹣2（x﹣e2），f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，设与曲线y＝f（x）相切的切点为（s，t），可得切线的斜率为e s﹣m，则e s﹣m＝e﹣2，t＝e s﹣ms＝2+se﹣2﹣1，化为e s﹣se s＝1，设y＝e x﹣xe x，可得y′＝﹣xe x，当x＞0时函数y递减，x＜0时函数y递增，可得x＝0处函数y取得最大值1，解得s＝0，m＝1﹣e﹣2；（Ⅱ）f（x）＝e x﹣mx的导数为f′（x）＝e x﹣m，当m≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，当m＝0时，f（x）＝e x无零点；当m＜0时，x→﹣∞，f（x）→﹣∞，可得f（x）有一个零点；当m＞0时，由x＞lnm，f′（x）＞0，f（x）递增，由x＜lnm，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝lnm处取得极小值，且为最小值m﹣mlnm，当m﹣mlnm＞0，即0＜m＜e时，f（x）无零点；当m﹣mlnm＝0，即m＝e时，f（x）有一个零点；当m﹣mlnm＜0即m＞e时，f（x）有两个零点．综上可得，0≤m＜e时，f（x）无零点；m＜0或m＝e时，f（x）有一个零点；m＞e时，f（x）有两个零点．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（1，）在椭圆C上，满足＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l1过点P，且与椭圆只有一个公共点，直线l2与l1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P的两点M，N，与直线x＝1交于点K（K介于M，N两点之间）．（i）求证：|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|；（ii）是否存在直线l2，使得直线l1、l2、PM、PN的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出l2的方程；若不能，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则有•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣），解可得题意可得c的值，进而由椭圆的定义可得a的值，计算可得b的值，将a、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（Ⅱ）（ⅰ）设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，可得关于x的一元二次方程，令△＝0解可得k的值，结合题意可以设直线l2方程，联立两直线方程，整理可得x2+tx+t2﹣3＝0，由根与系数的关系分析可得PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0），由等比数列的性质分析可得q＝﹣1，进而分析可得结论．解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，则•＝（﹣c﹣1，﹣）•（c﹣1，﹣）＝1﹣c2+，所以c＝1，因为2a＝|PF1|+|PF2|＝4，所以a＝2，又由c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆C的标准方程为＝1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l1方程为y﹣＝k（x﹣1），与＝1联立，消y得（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（3﹣2k）2﹣12＝0由题意知△＝0，解得k＝﹣，因为直线l2与l1的倾斜角互补，所以l2的斜率是．设直线l2方程：y＝x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得x2+tx+t2﹣3＝0，由△＞0，得t2＜4，x1+x2＝﹣t，x1•x2＝t2﹣3；直线PM、PN的斜率之和k PM+k PN＝＝＝＝0所以PM、PN关于直线x＝1对称，即∠MPK＝∠NPK，在△PMK和△PNK中，由正弦定理得，，又因为∠MPK＝∠NPK，∠PKM+∠PKN＝180°所以故|PM|•|KN|＝|PN|•|KM|成立；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM+k PN＝0，k l1＝﹣，k l2＝，假设存在直线l2，满足题意．不妨设k PM＝﹣k，k PN＝k，（k＞0）若﹣，﹣k，k按某种排序构成等比数列，设公比为q，则q＝﹣1或q2＝﹣1或q3＝﹣1．所以q＝﹣1，则k＝，此时直线PN与l2平行或重合，与题意不符，故不存在直线l2，满足题意．请考生在[22]、[23]题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ＝．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数的C1的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2＝0．所以：C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ（2）解方程组，得到：4sinθcosθ＝．所以：，则：（k∈Z）．当（k∈Z）时，，当（k∈Z）时，ρ＝2．所以：C1和C2的交点极坐标为：A（），B（）．所以：．故△ABO的面积为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x），∴g（x）＝﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．。
2020届 四川省 绵阳市 高三第三次诊断性测试理科数学试题(word版含答案)
1四川省绵阳市2020届高三第三次诊断性测试(理科)数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},则A∩B 中元素的个数是A.0B.1C.2D.32.已知复数z 满足(1)|3|,i z i -⋅=+则z=A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i3.已知3log 21,x ⋅=则4x =A.4B.6 3log 2.4CD.94.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:2根据以上调查数据，则下列说法错误的是A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高C.与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险D.与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高5.在二项式2()nx x-的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 A. -360B. -160C.160D.3606.已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.已知两个单位向量a , b 的夹角为120°, 若向量c = =2a -b , 则a ·c =5.2A3.2B C.2 D.38.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018 年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,y x a b a b-=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为22,则此双曲线的离心率为A.2.2B C.3.3D39.设函数21,0,()21,0,x x x f x x -⎧+>=⎨--<⎩则下列结论错误的是A.函数f(x)的值域为RB.函数f(|x|)为偶函数C.函数f(x)为奇函数D.函数f(x)是定义域上的单调函数10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π-中心对称，则下列结论正确的是A. f(1)< f(0)<f(2)B. f(0)< f(2)< f(1)C. f(2)< f(0)<f(1)D. f(2)<f(1)< f(0)11.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()x xg x f x e=+的零点个数为A.1B.2C.3D.412.在△ABC 中，∠C=90°, AB=2,3,AC =D 为AC 上的一点(不含端点),将△BCD 沿直线BD 折起，使点C在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是1.(,1)2A13.(,22B3.2C3.(0,2D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.413. 已知5cossin225αα-=则sinα=____ 14.若曲线f(x)=e x cosx-mx,在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为3,4π则实数m=_____. 15.已知12,F F 是椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点,12120,F PF ︒∠=且12F PF V 的面积为43,则b=____.16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为____.三、解答题:共70分。
2020-2021学年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁U M=（）A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞） D．（0，1]3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A．4 B．6 C．7 D．84．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A．27种 B．48种 C．54种 D．72种7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，1]9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（）A．80 B．100 C．120 D．16010．该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=_______．12．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_______．13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在_______元/桶才能获得最大利润．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是_______．15．已知函数f（x）=，其中常数a＞0，给出下列结论：①f（x）是R上的奇函数；②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称；∈（﹣∞，﹣2），∃x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（，1）．④若对∀x1其中正确的结论有_______．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5，=，求CD的长．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n=（）2（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．（I）求证：l⊥平面CDE；（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|﹣1|＜m成立？并说明理由；（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z（1+i）（1﹣i）=i（1﹣i），∴z=，则复数z所对应的点在第一象限．故选：A．2．已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁U M=（）A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞） D．（0，1]【考点】补集及其运算．【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．【解答】解：U={x|y=}={x|x≥1}，M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，则∁U M=[1，2），故选：A．3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A．4 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=3时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1执行循环体后，S=1，n=2不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=3不满足条件S≥3，执行循环体后，S=2，n=4不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=5不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=6不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log，n=7不满足条件S≥3，执行循环体后，S=log=3，n=8此时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．故选：D．4．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于“∃x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．【解答】解：“∃x＞0，使a+x＜b”⇔“a＜b”，∴“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．故选：C．5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为．故选B．6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A．27种 B．48种 C．54种 D．72种【考点】计数原理的应用．【分析】由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得．【解答】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，故有A31A31A33=54种，故选：C．7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象．【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．【解答】解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0，用x+替换式中的x可得f（x﹣）+f（﹣x﹣）=0，即函数的图象关于点（﹣，0）对称；③f（x）在（，）上是减函数；对于A，f（x）=cos（x+）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；对于B，f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），不符合②，故不满足题意；对于C，f（x）=sinxcosx=sin2x，不符合②，故不满足题意；对于D，f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），符合①②③，满足题意．故选：D．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，1]【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据BQ+QD1的长度取得最小值时，利用函数数学求出Q是CC1的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设AA1=1，则AB=BC=，设CQ=x，则C1Q=1﹣x，则BQ==，QD1==，则BQ+QD1=+=+，设M（x，0），N（0，﹣），K（1，），则BQ+QD1=+=+的几何意义是|MN|+|MK|的距离，则当三点M，N，K共线时，BQ+QD1的长度取得最小值，此时．得x=，即Q是CC1的中点，建立以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则Q（0，，），B1（，，0），设P（0，t，1），0≤t≤则=（﹣，0，），=（﹣，t﹣，1），则平面PQD1的法向量为=（1，0，0），设平面B1PQ的法向量为=（x，y，z），当t=时，二面角B1﹣PQ﹣D1的为直二面角，此时二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值为0，当0≤t＜时，由，则，即，令x=，则y=，z=4，即=（，，4），设面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值cosθ，则cosθ===，∵0≤t＜，∴cosθ=为减函数，则当t=0时，函数取得最大值cosθ==，故二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为[0，]，故选：B．9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且•=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（）A．80 B．100 C．120 D．160【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线MN的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合•=0，可求t的值，即可求出|MN|关于m的表达式，同理求出|PQ|关于m的表达式，于是S=|MN||PQ|，利用换元法求出S的最小值．【解答】解：设直线MN方程为x=my+t，联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4t=0，设M（，y1），N（，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t．∵•=0，∴+y1y2=0，即y1y2=0（舍）或y1y2=﹣16．∴|MN|==．∵PQ⊥MN，且PQ经过点A（4，0），∴直线PQ的方程为x=﹣．联立方程组，消元得：y2+﹣16=0．设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4=﹣，y3y4=﹣16．∴|PQ|==．∴四边形MPNQ面积S=|MN||PQ|==8=8，令m2+=t，则t≥2，∴S=8=8．∴S（t）在[2，+∞）上是增函数，∴当t=2时，S取得最小值8=80．故选：A．10．该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t= 2 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的坐标表示列式求得t值，结合向量同向进行取舍得答案．【解答】解：=（t，1）=（4，t），∵与共线，∴t2﹣4=0，解得t=±2．又与同向，∴t=2．故答案为：2．12．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为﹣540 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为=﹣540，故答案为：﹣540．13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示．销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在11.5 元/桶才能获得最大利润．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论．【解答】解：设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y=（6+x﹣5）﹣200，=﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴当x=﹣=5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，故答案为：11.5．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是﹣2≤m≤2．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】根据题意，设出点P（x，2x+m），代入PA=PB化简得5x2+4mx+m2﹣4=0，由△=16m2﹣4×5（m2﹣4）≥0，求出实数m的取值范围．【解答】解：设P（x，2x+m），∵PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4x2+4（2x+m﹣1）2=x2+（2x+m﹣4）2，化简得5x2+4mx+m2﹣4=0，则△=16m2﹣4×5（m2﹣4）≥0，解得﹣2≤m≤2，即实数m的取值范围是﹣2≤m≤2．故答案为：．15．已知函数f（x）=，其中常数a＞0，给出下列结论：①f（x）是R上的奇函数；②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称；∈（﹣∞，﹣2），∃x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（，1）．④若对∀x1其中正确的结论有①．（写出所有正确结论的序号）【考点】分段函数的应用．【分析】①利用奇函数的定义进行判断；②函数在（﹣∞，﹣a），（a，+∞）上单调递减，在（﹣a，a）上单调递增，即可判断；③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；）f（x2）=1不恒成立．④取a=1，得出f（x1【解答】解：①设x＜0，则﹣x＞0，f（x）=|x+a|﹣a，f（﹣x）=a﹣|﹣a﹣x|=a﹣|x+a|=﹣f（x），同理，设x＞0，则﹣x＜0，f（x）=a﹣|x+a|，f（﹣x）=|﹣x+a|﹣a=|x﹣a|﹣a=﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，正确；②函数在（﹣∞，﹣a），（a，+∞）上单调递减，在（﹣a，a）上单调递增，∴当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立，不正确；③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；∈（﹣∞，﹣2），f（x1）∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，﹣1），f（x2）∈（﹣1，+∞），f（x1）f ④取a=1，∀x1（x2）=1不恒成立，故不正确．故答案为：①．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图先求出第四组的频率，由此能求出第四组的人数；利用频率分布直方图的性质能求出中位数．（II）先求出第一组有2人，第五组有4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．【解答】解：（I）由频率分布直方图得第四组的频率为：1﹣（0.004+0.016+0.04+0.008）×10=0.32，∴第四组的人数为0.32×50=16人，∵前2组的频率为（0.004+0.016）×10=0.2，第三组的频率为0.04×10=0.4，设中位数为x，则x=40+=47.5，∴中位数为47.5．（II）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P∴E（ξ）==1．17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5，=，求CD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+csinA中，∴sinB=sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0，∴cosA=sinA，∴tanA=1．∴．（2）∵cosB=，∴sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．在△ABC中，由正弦定理得，即，解得AB=7．∵=，∴BD=．在△BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BC•BDcosB=1+25﹣2×=20．∴CD=2．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n=（）2（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设T n为数列{}的前n项和，若T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n=1时，求得a1，S n=（）2（n∈N*）．化简求得a n﹣a n﹣1=2，数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，求得通项公式；（Ⅱ），求出前n项和，比较λa n+1，判断其单调性，求出λ的最小值．【解答】（I）当n=1时，，解得a1=1，当n≥2时，，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0∵a n＞0，∴a n+a n﹣1＞0∴a n﹣a n﹣1=2，数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n=2n﹣1（II），∴；由题意得对∀n∈N*恒成立，令，则，即b n+1＜b n对∀n∈N*恒成立，即数列{b n}为单调递减数列，最大值为，∴，即λ的最小值为．19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．（I）求证：l⊥平面CDE；（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）根据主视图和侧视图可得AD⊥DE，AD⊥DC，故而AD⊥平面CDE，根据AD∥平面BCEF可得AD∥l，故l⊥平面CDE．（II）以以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设M（0，0，m），求出平面BEF的法向量和的坐标．令|cos＜，＞|=解出m，即可判断M的位置．【解答】证明：（I）由侧视图可知四边形ADEF是正方形，∴AD∥EF，又∵EF⊂面BEF，AD⊄面BEF，∴AD∥面BEF又∵AD⊂平面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，∴AD∥l，由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知DE⊥AD，∵AD⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，AD∩CD=D，∴AD⊥面CDE，∴l⊥面CDE．（II）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（1，0，1）．设M（0，0，m）（0≤m≤1），则，设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1，得．∴=2﹣m，||=，||=．∴cos＜＞===，解得或m=6（舍）∴当M为DE的靠近E的三等分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，由此能求出存在满足条件的k值．【解答】解：（Ⅰ）设焦点F（c，0），∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∴a2=2c2，∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，∴=1，∵a2=b2+c2，∴a2=4，b2=2，∴椭圆E的方程为=1．（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，于是直线BC的斜率k BC=1，直线AC的斜率k AC=﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则k BC==1，=﹣1，联立，得x1+x2=k（x2﹣x1），①联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴，，②将①式平方，并②式代入，得4k2+1=2，或k2=0，∴存在满足条件的k值，分别为k=或k=0．21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|﹣1|＜m成立？并说明理由；（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；（Ⅱ），设φ（x）=ln（x+1）+（m﹣1）x，m＞0，x＞0，根据函数的单调性判断即可；（Ⅲ）先得到lnxλ+lna1﹣λ≤ln[λx+（1﹣λ）a]令λ1=λ，λ2=1﹣λ，a1=x，a2=a，代入整理即可证出结论．【解答】解：（I），∵a＞0，1﹣λ＞0，λ＞0，x＞0，∴当x＞a时，f′（x）＞0；0＜x＜a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴f（x）有最小值f（a）=（1﹣λ）lna，没有最大值；（II）对∀m＞0，∃x0＞0使得成立，其理由如下：令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）≤0，所以h（x）在[0，+∞）单调递减，于是可得当x＞0时，ln（x+1）﹣x＜0，，故，设φ（x）=ln（x+1）+（m﹣1）x，m＞0，x＞0，则，当m≥1时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对于∀x0＞0均有φ（x0）＞φ（0）=0恒成立，当0＜m＜1时，由φ′（x）＞0可得，由φ′（x）＜0可得，于是φ（x）在是增函数，在是减函数，∴对于均有φ（x0）＞φ（0）=0恒成立，综上，对于任意的正数m，都存在正数x0满足条件；证明：（III）由（I）知，对∀x＞0，a＞0，0＜λ＜1时，都有ln[λx+（1﹣λ）a]﹣λlnx≥（1﹣λ）lna即lnxλ+lna1﹣λ≤ln[λx+（1﹣λ）a]令λ1=λ，λ2=1﹣λ，a1=x，a2=a，则，∵y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴．。
2020届绵阳三诊 理科数学试题(解析版)
∵侧面SBC⊥底面ABCD，且侧面SBC∩底面ABCD＝BC，
∴SO⊥平面ABCD，得OS⊥OF，OS⊥OC．
以O为坐标原点，分别以OF，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
得：A（2，﹣1，0），C（0，1，0），E（0， ， ），D（2，1，0），S（0，0， ）．
故选：C．
2.已知复数z满足（1﹣i）•z＝| i|，则z＝（ ）
A. 1﹣iB. 1+iC. 2﹣2iD. 2+2i
【答案】B
【详解】（1﹣i）•z＝| i|，∴（1+i）（1﹣i）•z＝2（1+i），则z＝1+i．
故选：B．
3.已知x•log32＝1，则4x＝（ ）
A. 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17.若数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an+1 ．
（1）求Sn；
（2）设bn ，求证：b1+b2+b3+…+bn ．
2020届绵阳三诊
理科数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【详解】画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：
可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.
B. 与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高
四川省绵阳市高中高三第三次诊断(数学理)
四川省绵阳市高中高三第三次诊断（数学理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上．3．本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； S=4πR2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）； 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么 V=34πR3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：（1）1352lim22--∞→n n n n =（A ）-35（B ）-5（C ）32（D ）0（2）设a 、b 是非零实数，那么“a>b ”是“lg(a -b)>0”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）已知m 、n 是两条直线，α、β、γ是三个平面，下列命题正确的是（A ）若 m ∥α，n ∥α，则m ∥n （B ）若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n （C ）若 m ∥α，m ∥β，则α∥β（D ）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β（4）已知集合A={i ，i2，i3，i4}（i 为虚数单位），给出下面四个命题：①若x ∈A ，y ∈A ，则x+y ∈A ；②若x ∈A ，y ∈A ，则x -y ∈A ；③若x ∈A ，y ∈A ，则xy ∈A ； ④若x ∈A ，y ∈A ，则y x∈A ．其中正确命题的个数是（A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个（5）已知数列{an}的通项an=n2(7-n)（n ∈N *），则an 的最大值是（A ）36（B ）40（C ）48（D ）50（6）函数f (x)=2sin(x -2π)+|cosx| 的最小正周期为（A ）2π（B ）π （C ）2π（D ）4π（7）已知向量a 、b 不共线，若向量a +λb 与b +λa 的方向相反，则λ= （A ）1（B ）0（C ）-1（D ）±1（8）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，A1C1到底面ABCD 的距离为2，若该四棱柱的八个顶点同在一个球面上，则B 、B1两点的球面距离为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π（9）某地为上海“世博会”招募了愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（A ）16（B ）21（C ）24（D ）90（10）把圆C ：2122=+y x 按向量a =(h ，-1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x+y+1≥0所确定的平面区域内，则h 的最小值为（A ）1 （B ）-1（C ）33（D ）33-（11）某同学在电脑上进行数学测试，共做十道选择题，答完第n （n=1，2，…，10）题电脑会自动显示前n 题的正确率f (n)，则下列关系中不可能成立的是 （A ）f (5) = 2f (10)（B ）f (1)=f (2)=…=f (8)>f (9)> f (10)（C ）f (1)<f (2)<f (3)<…<f (9)<f (10)（D ）f (8) < f (9)且f (9)= f (10)（12）已知函数)(x f (x ∈R ) 导函数)(x f '满足)()(x f x f <'，则当a>0时，)(a f 与)0(f e a之间的大小关系为（A ）)(a f <)0(f e a （B ）)(a f >)0(f e a（C ）)(a f =)0(f e a（D ）不能确定，与)(x f 或a 有关（13）设(3x5+2)(2x+1)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a15(x+2)15，则a0+a1+a2+…+a15=______．（14）若函数f (x) =ax （a>0且a ≠1）的反函数为y=)(1x f -，且)21(1-f =2，则f (-2)= ． （15）已知抛物线221xy =的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN|=2|NF|，则|MF|=________．（16）若对任意x ∈R ，y ∈R 有唯一确定的f (x ，y)与之对应，则称f (x ，y)为关于x ，y 的二元函数． 定义：同时满足下列性质的二元函数f (x ，y)为关于实数x ，y 的广义“距离”：（Ⅰ）非负性：f (x ，y)≥0； （Ⅱ）对称性：f (x ，y)= f (y ，x)；（Ⅲ）三角形不等式：f (x ，y)≤f (x ，z)+ f (z ，y)对任意的实数z 均成立． 给出下列二元函数：①f (x ，y)=(x -y)2；②f (x ，y)=|x -y|；③f (x ，y)=yx -；④f (x ，y)=|sin(x -y)|．则其中能够成为关于x ，y 的广义“距离”的函数编号是________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 、B 、C 成等差数列，b=1，记角A=x ，a+c=f (x)．（Ⅰ）当x ∈[6π，3π]时，求f (x)的取值范围；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（Ⅱ）若56)6(=-πx f ，求sin2x 的值．（18）（本小题满分12分）某商场准备在“五·一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；（Ⅱ）商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使自己不亏本？（19）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，BB1=BC ，∠B1BC=60º，AB=AC ，M 是B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AB1//平面A1CM ；（Ⅱ）若AB1与平面BB1C1C 所成的角为45º，求二面角B-AC-B1的大小．（本小题满分12分）AA 1B 11BCM已知非零向量列{a n}满足：a 1=（1，1）， 且a n =（xn ，yn ）=21（11---n n y x ，11--+n n y x ） （n>1，n ∈N ），令| a n |=bn ．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（Ⅱ）对n ∈N *，设cn=bnlog2bn ，试问是否存在正整数m ，使得cm<cm+1？若存在，请求出m 的最小值，若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知双曲线12222=-b x a y （a>0，b>0）的上、下顶点分别为A 、B ，一个焦点为F （0，c ）（c>0），两准线间的距离为1，|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，过F 的直线交双曲线上支于M 、N 两点． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设λ=，问在y 轴上是否存在定点P ，使⊥)(PM λ-？若存在，求出所有这样的定点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（22）（本小题满分14分）已知函数f (x)=ln(1+x)-ax 的图象在x=1处的切线与直线x +2y -1=0平行． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若方程f (x)=)3(41x m -在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）（Ⅲ）设常数p ≥1，数列{an}满足)ln(1n n n a p a a -+=+（n ∈N *），a1=lnp ，求证：1+n a ≥n a ．参考解答一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBBD CCDBA DA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-114．215．2 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由已知 A 、B 、C 成等差数列，得2B=A+C ，∵ 在△ABC 中， A+B+C=π，于是解得3π=B ，32π=+C A ．∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b=1，∴CA c a sin 3sin1sin 3sin1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+=)6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． …………………………………………………………6分由6π≤x ≤3π得3π≤x+6π≤2π，于是3≤)(x f ≤2，即f (x)的取值范围为[3，2] ． ………………………………………………8分（Ⅱ）∵56)66sin(2)6(=+-=-πππx x f ，即53sin =x ． ∴54sin 1cos 2±=-±=x x ． ……………………………………………………9分 若54cos -=x ，此时由2254-<-知x>43π，这与32π=+C A 矛盾．∴ x 为锐角，故54cos =x ． ……………………………………………………11分∴ 2524cos sin 22sin ==x x x ．……………………………………………………12分18．解：（I ）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则（法一）4237)(393415242514=++=C C C C C C A P ．（法二）42371)(3935=-=C C A P ．即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为4237．…………………4分 （II ）设顾客抽奖的中奖次数为ξ，则ξ=0，1，2，3，于是81)211()211()211()0(=-⨯-⨯-==ξP ， 8321)211()1(213=⨯-==C P ξ， 83)21()211()2(223=⨯-==C P ξ，81212121)3(=⨯⨯==ξP ， ∴ 顾客中奖的数学期望5.1813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．………………10分设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则1.5x ≤180，解得x ≤1即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为1才能使自己不亏本．………………………………………………………………………………12分 19．解：（I ）证明：如图，连结AC1，交A1C∵ M 是中点，N 是AC1的中点， ∴ MN//AB1． ∵ MN ⊂平面A1CM ，∴ AB1//平面A1CM ．………………4分 （II ）作BC 的中点O ，连接AO 、B1O ． 由 AB=AC ，得AO ⊥BC ．∵ 侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，∴ AO ⊥面BB1C1C ， …………………………………………………………6分 ∴ ∠AB1O 是AB1与平面BB1C1C 所成的角，即∠AB1O=45º，从而AO=B1O ． 又∵ BB1=BC ，∠B1BC=60º，∴ △B1BC 是正三角形，故B1O ⊥BC ．以O 为原点，分别以OB 、OB1、OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设OA=a ，则A(0，0，a)，B1(0，a ，0)，C(a33-，0，0)，O(0，0，0)，1∴)033(a a --=，，，)00(a -=，，，)0(1a a AB -=，，．∵ OB1⊥平面ABC ，故1OB 是平面ABC 的一个法向量，设为n 1，则n 1=)00(1，，a OB =， 设平面AB1C 的法向量为n 2=(x2，y2，z2)，由⋅ n 2=0且⋅1AB n 2=0 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=--，，00332222z y z x令y2=a ，得n 2=(3-a ，a ，a)．∴ cos<n 1，n 2>=55511||||2121=⨯=⋅⋅n n n n ，∴ <n 1，n 2>=55arccos．即二面角B-AC-B1的大小是55arccos． ……………………………………12分I ）证明：bn=|a n|=22nn y x +，bn+1=|a n+1|=)(21)2()2(22222121n n n n n n n n y x y x y x y x +=++-=+++，∴ 221=+n n b b （常数），∴ {bn}是等比数列，其中b1=|a 1|=2，公比22=q ，∴2212)22(2n n n b --=⋅=． ……………………………………………………5分（II ）∵22222222222log 2m m m m m c ---⋅-==，∴212)1(2122122)1(2m m m m m c -+-+⋅-=⋅+-=，于是22211222221m m m m m mc c --+⋅--⋅-=-)22221(22121⋅---=-m m m，…………………………………………8分∵)(02*21N ∈>-m m，∴ 要使cm+1>cm ，只须使2122221⋅->-m m ，即 )2(21m m ->-，解得414.42312122>+=-->m ．……………………………………………11分∵ m 是正整数， ∴ m ≥5，m ∈N *，∴ m 的最小值为5． …………………………………………………………12分 21．解：（I ）由已知|AF|=c -a ，AB=2a ，|BF|=c+a ，∴ 4a=(c -a)+(c+a)，即c=2a ．又∵ 122=c a ，于是可解得a=1，c=2，b2=c2-a2=3．∴ 双曲线方程为1322=-x y ．…………………………………………………3分（II ）设直线MN 的方程为y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，m)． ①当k=0时，MN 的方程为y=2，于是由⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，13222x y y 可解得M(-3，2)，N(3，2)，于是1=λ．∵ A(0，1)，B(，∴)20(-=，AB ．∵)23(m PM --=，，)23(m PN -=，， ∴)06(，-=-PM λ由-6×0+(-2)×0=0，知0)(=-⋅λ， 即对m ∈R ，)(λ-⊥恒成立，∴ 此时y 轴上所有的点都满足条件． …………………………………………6分②当k ≠0时，MN 的方程可整理为k y x 2-=． 于是由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=，，13222x y k y x 消去x ，并整理得(1-3k2)y2-4y+3k2+4=0．∵ Δ=(-4)2-4(1-3k2)(3k2+4)=9k4+9k2>0，0314221>-=+k y y ，031432221>-+=k k y y ，∴ 312<k ．………………………………………………………………………9分∵ MF =(-x1，2-y1)，=(-x2， y2-m)，=PM (x1，y1-m)，=(x2， y2-m)，∴ 21x x λ=-，)2(221-=-y y λ，∴2221--=y y λ． 又∵)20(-=，AB ，))((2121m y m y x x PN PM ----=-λλλ，，∴ 0)]()[2()(02121=----+-⋅m y m y x x λλ， 把2221--=y y λ代入得 0)(222211=-----m y y y m y ，整理得 04))(2(22121=+++-m y y m y y ，代入得 0431)2(431)43(2222=+-+--+m k m k k ，化简得6k2-12mk2=0，∵ k ≠0，∴21=m ．即P(0，21)． ∴ 当MN 与x 轴平行时，y 轴上所有的点都满足条件；当MN 不与x 轴平行时，满足条件的定点P 的坐标为 (0，21)．…………………………………12分22．解：（I ）∵ a x x f -+='11)(，∴ a f -='21)1(．由题知2121=-a ， 解得a=1．………………………………………………………………………3分 （II ）由（I ）有f(x)=ln(1+x)-x ，∴ 原方程可整理为4ln(1+x)-x=m ．令g(x)=4ln(1+x)-x ，得x x x x g +-=-+='13114)(，∴ 当3<x ≤4时0)(<'x g ，当2≤x<3时0)(>'x g ，0)3(='g ，即g(x)在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，∴ 在x=3时g(x)有最大值4ln4-3．…………………………………………6分 ∵ g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，∴ g(2)-g(4)=253ln 4+=2259ln 2)153ln 2(e =+． 由9e ≈24.46<25，于是0259ln 2<e ． ∴ g(2)<g(4)．∴ a 的取值范围为[)34ln 445ln 4--，．………………………………………9分 （III ）由f (x)=ln(1+x)-x （x>-1）有x x x x f +-=-+='1111)(，显然=')0(f 0，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ， ∴ f (x)在(-1，0)上是增函数，在[)∞+，0上是减函数．∴ f (x)在(-1，+∞)上有最大值f (0)，而f (0)=0，∴ 当x ∈(-1，+∞)时，f (x)≤0，因此ln(1+x)≤x ．(*)…………………11分 由已知有p>an ，即p -an>0，所以p -an -∵ an+1-an=ln(p -an)=ln(1+p -1-an)，∴ 由（*）中结论可得an+1-an ≤p -1-an ，即an+1≤p -1(n ∈N *)．∴ 当n ≥2时，1+n a -an=ln(p -an)≥ln[p -(p -1)]=0，即1+n a ≥an ．当n=1，a2=a1+ln(p -lnp)，∵ lnp=ln(1+p -1)≤p -1，∴ a2≥a1+ln[p -(p -1)]=a1，结论成立．∴对n∈N*，an+1≥an．………………………………………………………14分。
2020年四川省绵阳市高考(理科)数学三诊模拟测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学三诊试卷一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．32．已知复数z满足（1﹣i）•z＝|+i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i3．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．94．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险5．在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（）A．﹣360B．﹣160C．160D．3606．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形7．已知两个单位向量，的夹角为120°，若向量═2﹣，则•＝（）A．B．C．2D．38．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．29．设函数f（x）＝则下列结论错误的是（）A．函数f（x）的值域为RB．函数f（|x|）为偶函数C．函数f（x）为奇函数D．函数f（x）是定义域上的单调函数10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）11．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．412．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，，D为AC上的一点（不含端点），将△BCD沿直线BD折起，使点C在平面ABD上的射影O在线段AB上，则线段OB的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（0，）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．14．若曲线f（x）＝e x cos x﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m ＝．15．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝．（1）求S n；（2）设b n＝，求证：b1+b2+b3+…+b n＜．18．如图，已知点S为正方形ABCD所在平面外一点，△SBC是边长为2的等边三角形，点E为线段SB的中点．（1）证明：SD∥平面AEC；（2）若侧面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．19．2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）[160，200）天数255010025若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？20．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．21．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方．（1）若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，若|FQ|＝8，求直线l的斜率；（2）设点P（x0，0），若点M恒在以FP为直径的圆外，求x0的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．2．已知复数z满足（1﹣i）•z＝|+i|，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：（1﹣i）•z＝|+i|，∴（1+i）（1﹣i）•z＝2（1+i），则z＝1+i．故选：B．3．已知x•log32＝1，则4x＝（）A．4B．6C．4D．9【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，∴4x＝＝＝9，故选：D．4．有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A．与非O型血相比，O型血人群对COVID﹣19相对不易感，风险较低B．与非A型血相比，A型血人群对COVID﹣19相对易感，风险较高C．与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高D．与A型血相比，非A型血人群对COVID﹣19都不易感，没有风险【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．解：根据A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．5．在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（）A．﹣360B．﹣160C．160D．360【分析】根据展开式二项式系数最大，求出n＝6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可．解：∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，∴展开式共有7项，则n＝6，则展开式的通项公式为T k+1＝C x6﹣k（﹣）k＝（﹣2）k C x6﹣2k，由6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝（﹣2）3C＝﹣160，故选：B．6．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A＝C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解：∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，∴cos A sin C﹣sin A cos C＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．故选：B．7．已知两个单位向量，的夹角为120°，若向量═2﹣，则•＝（）A．B．C．2D．3【分析】根据平面向量的数量积定义，计算即可．解：由题意知||＝||＝1，且•＝1×1×cos120°＝﹣，又向量═2﹣，所以•＝2﹣•＝2×1﹣（﹣）＝．故选：A．8．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线＞0）上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，则此双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．2【分析】利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝3．故选：B．9．设函数f（x）＝则下列结论错误的是（）A．函数f（x）的值域为RB．函数f（|x|）为偶函数C．函数f（x）为奇函数D．函数f（x）是定义域上的单调函数【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝，当x＞0时，f（x）＝2x+1＞2，当x＜0时，f（x）＝﹣2﹣x﹣1＝﹣（2﹣x+1）＜﹣2，其值域不是R，A错误；对于B，函数f（|x|），其定义域为{x|x≠0}，有f（|﹣x|）＝f（|x|），函数f（|x|）为偶函数，B正确；对于C，函数f（x）＝，当x＞0时，﹣x＜0，有f（x）＝2x+1，f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣2﹣x﹣1，反之当x＜0时，﹣x＞0，有f（x）＝﹣2x﹣1，f（﹣x）＝﹣f（x）＝2x+1，综合可得：f（﹣x）＝﹣f（x）成立，函数f（x）为奇函数，C正确；对于D，函数f（x）＝，当x＞0时，f（x）＝2x+1＞2，f（x）在（0，+∞）为增函数，当x＜0时，f（x）＝﹣2﹣x﹣1＜﹣2，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，故f（x）是定义域上的单调函数；故选：A．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）A．f（1）＜f（0）＜f（2）B．f（0）＜f（2）＜f（1）C．f（2）＜f（0）＜f（1）D．f（2）＜f（1）＜f（0）【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ+，k∈Z，∵，∴当k＝0时，φ＝，即f（x）＝sin（2x+），则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，f（0）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．11．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）＝x﹣[x]，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y＝f（x）与y＝﹣的交点个数．由y＝﹣，得y′＝．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y＝f（x）与y＝﹣的图象如图：由图可知，函数的零点个数为2个．故选：B．12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，，D为AC上的一点（不含端点），将△BCD沿直线BD折起，使点C在平面ABD上的射影O在线段AB上，则线段OB的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（0，）【分析】由题意，OC⊥平面ABD，根据三余弦定理，线线角的值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积．从而求解；解：由题意，OC⊥平面ABD，根据三余弦定理，线线角的值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积．设∠CBD＝θ，∠CBO＝θ1，则∠ABD＝60°﹣θ；则cosθ＝cosθ1×cos（60°﹣θ）所以cosθ1＝＝，∵θ∈（30°，60°）；∴OB＝cosθ1∈（，1）．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则sinα＝．【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵，∴两边平方可得：cos2+sin2﹣2cos sin＝，可得1﹣sinα＝，∴sinα＝．故答案为：．14．若曲线f（x）＝e x cos x﹣mx，在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为，则实数m ＝2．【分析】对函数求导，然后得f′（0）＝，由此求出m的值．解：f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣m．∴．∴m＝2．故答案为：215．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P是椭圆C．上的一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则b＝2．【分析】根据正余弦定理可得PF1•PF2＝16且4c2＝（2a）2﹣16，解出b即可．解：△F1PF2的面积＝PF1•PF2sin120°＝PF1•PF2＝4，则PF1•PF2＝16，又根据余弦定理可得cos120°＝，即4c2＝PF12+PF22+16＝（2a）2﹣32+16，所以4b2＝16，解得b＝2，故答案为：2．16．在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为．【分析】设正四棱柱的高为h，底面边长为a，用h表示出a，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V取最大值时对应的h值．解：设正四棱柱的高为h，底面边长为a，如图所示；则h2+2a2＝（2×2）2，所以a2＝8﹣h2，所以正四棱柱容器的容积为V＝a2h＝（8﹣h2）h＝﹣h3+8h，h∈（0，4）；求导数得V′＝﹣h2+8，令V′＝0，解得h＝，所以h∈（0，）时，V′＞0，V（h）单调递增；h∈（，4）时，V′＜0，V（h）单调递减；所以h＝时，V取得最大值．所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．若数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n+1＝．（1）求S n；（2）设b n＝，求证：b1+b2+b3+…+b n＜．【分析】（1）由数列的递推式：a n+1＝S n+1﹣S n，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得b n＝＝（）n﹣1，由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．解：（1）a n+1＝，可得a n+1＝S n+1﹣S n＝S n，由a1＝1，可得S1＝1，即S n+1＝S n，可得数列{S n}是首项为1，公比为的等比数列，则S n＝（）n﹣1；（2）证明：b n＝＝（）n﹣1，则b1+b2+b3+…+b n＝＝﹣•（）n＜．18．如图，已知点S为正方形ABCD所在平面外一点，△SBC是边长为2的等边三角形，点E为线段SB的中点．（1）证明：SD∥平面AEC；（2）若侧面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连接BD交AC于F，连接EF，由已知结合三角形的中位线定理可得EF ∥SD，再由直线与平面平行的判定可得SD∥平面AEC；（2）取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得：OS⊥OF，OS⊥OC，建立空间直角坐标系，分别求出平面CDS与平面ACE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD交AC于F，连接EF，∵ABCD为正方形，F为BD的中点，且E为BS的中点，∴EF∥SD．又SD⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴SD∥平面AEC；（2）解：取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，在等边三角形SBC中，可得SO⊥BC，∵侧面SBC⊥底面ABCD，且侧面SBC∩底面ABCD＝BC，∴SO⊥平面ABCD，得OS⊥OF，OS⊥OC．以O为坐标原点，分别以OF，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得：A（2，﹣1，0），C（0，1，0），E（0，﹣，），D（2，1，0），S（0，0，）．，，，．设平面CDS与平面ACE的一个法向量分别为，．由，取z＝1，得；由，取x1＝1，得．∴cos＜＞＝．∴平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．19．2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）[160，200）天数255010025若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？【分析】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A）＝，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率．（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．解：（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A）＝，∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p＝＝．（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，P（Y＝4000）＝，P（Y＝1600）＝，∴Y的分布列为：Y40001600P∴E（Y）＝4000×＝3700元．若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，P（Y＝6000）＝，P（Y＝3600）＝，P（Y＝1200）＝，∴Y的分布列为：Y600036001200P∴E（Y）＝＝4800元，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，P（Y＝8000）＝，P（Y＝5600）＝，P（Y＝3200）＝，P（Y＝800）＝，∴Y的分布列为：Y800056003200800P∴E（Y）＝＝4700，∵4800＞4700＞3700＞2000，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．20．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx﹣+2，其中a∈R．（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx﹣+2，＝，x＞0，易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，故当x＝时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，（2）＝，当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，解可得，0，当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1）﹣＝，令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）ln﹣a+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，令h（a）＝，则＜0，所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2﹣，即f（）＞0，所以f（x）在（1，e）上没有零点，综上，当0＜a＜时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．21．已知动直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M 在x轴上方．（1）若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，若|FQ|＝8，求直线l的斜率；（2）设点P（x0，0），若点M恒在以FP为直径的圆外，求x0的取值范围．【分析】（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设l的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得MN的中点坐标，进而可得MN的中垂线方程，令y＝0可得Q的坐标，进而求出|QF|的值，由题意可得直线l的斜率；（2）由题意可得∠FMP为锐角，等价于＞0，求出的表达式，换元等价于h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0恒成立，分两种情况求出x0取值范围．解：（1）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝ty+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的最大E（x0，y0），联立直线与抛物线的方程可得：，整理可得y2﹣4ty﹣4＝0，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即E（2t2+1，2t），故线段MN的中垂线方程为：y﹣2t ＝﹣t（x﹣2t2﹣1），令y＝0，则Q（2t2+3，0），所以|FQ|＝|22+3﹣1|＝8，解得t＝，所以直线l的斜率k＝＝；（2）点M恒在以FP为直径的圆外，则∠FMP为锐角，等价于＞0，设M（，y1），F（1，0），P（x0，0），则＝（x0﹣，﹣y1），＝（1﹣，﹣y1），故＝（x0﹣）（1﹣）+y12＝++（1﹣）x0＞0恒成立，令t＝，t＞0，原式等价于t2+3t+（1﹣t）x0＞0对任意t＞0恒成立，即t2+（3﹣x0）4+x0＞0对任意t＞0恒成立，令h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0，①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＜0，即1＜x0＜9，②，解得0≤x0≤1，又因为x0≠1，故x0∈[0，1），综上所述x0∈[0，1）∪（1，9）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P 为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d＝，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c＝m，求的最小值．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c＝m，根据++＝++（a+4b+9c），利用基本不等式求出的最小值．解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝．∵f（x）≤5，∴或﹣1≤x≤2或，∴﹣2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}．（2）∵f（x）＝|x﹣2|+|x+1|⩾|（x﹣2）﹣（x+1）|＝1∴f（x）的最小值为1，即m＝3，∴a+4b+9c＝3．＝＝3，当且仅当时等号成立，∴最小值为3．。
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年四川省绵阳市南山中学高考数学三诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2−1≥0}，B ={x|0<x <4}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. [0,4)C. [1,4)D. (4,+∞)2. 若复数z =2i+4i−1，则z =( )A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3. 已知△ABC 中，a =1，b =2，∠C =60°，则边c 等于( )A. √3B. √2C. √5D. 54. 已知2a 2+2b 2=c 2，则直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2=4的位置关系是( )A. 相交但不过圆心B. 过圆心C. 相切D. 相离5. 在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 14a⃗ +34b ⃗ B. 14a⃗ −34b ⃗ C. 34a⃗ +14b ⃗ D. 34a⃗ −14b ⃗ 6. 设a ∈(0,5)，且a ≠1，则函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数的概率为( )A. 910B. 45C. 15D. 1107. 函数f(x)=e x x的图象大致为( )A.B.C.D.8. 一个四面体共一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为1，√6，3，且四面体的四个顶点在同一球面上，则这个球的体积为( )A.16π3B.32π3C. 12πD.64π39. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( )A. 56B. −56C. 112D. −11210. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lga −lgc =lgsinB =−lg √2，且B ∈(0,π2)，则△ABC 的形状是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形11. 已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=k,∠AOB =2π3，点C 在∠AOB 内，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0)，则k =( ) A. 1 B. 2 C. √3D. 412. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线l:y =√3(x −1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB|=163，则p = ( )A. 8B. 4C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=cosx −√3sinx ，则其对称轴方程为______，若f(x)≥1，则x 的取值范围为______．14. 已知实数x,y 满足{x +y +1≥0x −2y ≥0x −y −1≤0，则目标函数z =2x +y 的最大值为_________ ．15. 函数f (x )=x 3−kx 2+3x 在区间x ∈[13,4]上单调递减，则实数k 的取值范围是 ． 16. 若函数f(x)=m|3x −1|2−4|3x −1|+1(m >0)在上有四个零点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =a n−12a n−1+1(n ∈N ∗,n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n =1a n(n ∈N ∗).(1)求证：数列{b n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式．18.为促进义务教育的均衡发展，各地实行免试就近入学政策，某地区随机调查了50人，他们年龄的频数分布及赞同“就近入学”人数如表：年龄[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)频数510151055赞同4512821(1)在该样本中随机抽取3人，求至少2人支持“就近入学”的概率．(2)若对年龄在[5,15)，[35,45)的被调查人中各随机选取2两人进行调查，记选中的4人支持“就近入学”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角的余弦值；(Ⅲ)设点G 在PB 上，且PG PB =23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 20. 已知函数，曲线y =f(x)在x =1处的切线经过点(2,−1)．(1)求实数a 的值；(2)设b >1，求f(x)在区间[1b ,b]上的最大值和最小值．21. 已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 23+y 22=1的左、右焦点，点P(x 0,y 0)在椭圆C 上． (Ⅰ)求PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(Ⅱ)若y 0>0且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，已知直线l:y =k(x +1)与椭圆C 交于A 、B 两点，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．O 22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3+3cosαy=3sinα(其中α为参数)，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ+4cosθ=0．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点A，B分别是曲线C1，C2上两动点且∠AOB=π，求△AOB面积的最大值．223.已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|，x∈R(1)解不等式f(x)≤5；(2)若不等式m2−3m<f(x)，对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x2−1≥0}={x|x≤−1或x≥1}，B={x|0<x<4}，∴A∩B=[1,4)．故选：C．本题考查集合的交集，是基础题．求出集合A，再根据交集的定义求解即可．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：A解析：本题考查余弦定理，由已知利用余弦定理即可计算求值得解．解：∵a=1，b=2，∠C=60°，∴由余弦定理可得：c=√a2+b2−2abcosC=√12+22−2×1×2×cos60°=√3．故选A．4.答案：A解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．求出圆心(0,0)到直线的距离为√a 2+b 2=√c 22=√2，小于半径，从而得出结论．解：由于圆心(0,0)到直线的距离为√a 2+b 2=√c22=√2<2(半径)，故直线和圆相交但不过圆心， 故选：A ．5.答案：D解析：本题主要考查平面向量基本定理，属于基础题． 根据平面向量基本定理，将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成a ⃗ ,b ⃗ 的形式即可． 解：∵点M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ++12[12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )] =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ −14b ⃗ ， 故选D ．6.答案：A解析：解：函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数，则2a −1>0， ∵a ∈(0,5)，且a ≠1，∴a ∈(12,5)，且a ≠1，∴函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数的概率为5−125−0=910，故选A ．利用函数f(x)=log a (ax −1)在(2,+∞)上为单调函数，求出a 的范围，以长度为测度，即可求出概率．本题考查几何概型，考查函数单调性的运用，属于中档题．7.答案：B解析：本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及函数的图象的判断，考查计算能力．利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可． 解：函数f(x)=e x x的定义域为：；当x >0时，函数f′(x)=xe x −e xx 2，可得函数的极值点为：x =1；当x ∈(0,1)时，函数是减函数，x >1时，函数是增函数，并且f(x)>0，选项B 、D 满足题意． 当x <0时，函数f(x)=e x x<0，选项D 不正确，选项B 正确．故选B ．8.答案：B解析：本题是基础题，考查四面体的外接球的体积，本题的突破口在四面体是长方体的一个角，扩展的长方体与四面体有相同的外接球．由题意一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，可知，四面体是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．解：四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1,√6,3， 四面体的四个顶点同在一个球面上，四面体是长方体的一个角，扩展为长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径， 所以球的直径为：√12+(√6)2+32=4，半径为2， 外接球的体积为：．故选B ．9.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅x8−r3⋅(−2)r⋅x−r=(−2)r⋅C8r⋅x8−4r3，令8−4r3=0，求得r=2，可得展开式的常数项为4C82=112，故选C．10.答案：C解析：本题考查了正弦定理的应用以及两角和与差三角函数公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数运算化简整理得，利用正弦定理得，运用两角和与差三角函数公式及角的范围，计算得答案．解：∵lga−lgc=lgsinB=−lg√2，∴ac =sinB=√22．∵B∈(0,π2)，∴B=π4．由正弦定理，得ac =sinAsinC=√22，∴sinC=√2sinA=√2sin(3π4−C)=√2(√22cosC+√22sinC)，化简，得cosC=0．∵C∈(0,π)，∴C=π2，则A=π−B−C=π4，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．11.答案：D解析：本题考查向量的数量积运算． 利用向量的数量积运算即可算出．解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ≠0)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴0=2m +mkcos 2π3，(m ≠0)，∴2−12k =0，解得k =4． 故选D ．12.答案：C解析：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求． 解：由题意联立有{y 2=2pxy =√3(x −1)⇒3x2−(6+2p)x +3=0 ∴x 1+x 2=6+2p 3，x 1x 2=1，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(6+2p 3)2−4=163，求得p =2． 故选C ．13.答案：x =kπ−π3，k ∈Z [−2π3+2kπ,2kπ]，k ∈Z解析：解：∵f(x)=cosx −√3sinx =2cos(x +π3)， ∴令x +π3=kπ，k ∈Z ，可得：x =kπ−π3，k ∈Z ， ∴对称轴方程为：x =kπ−π3，k ∈Z ，∵f(x)=2cos(x +π3)≥1，可得：cos(x +π3)≥12，∴x +π3∈[−π3+2kπ,π3+2kπ]，k ∈Z ， ∴x 的取值范围为：[−2π3+2kπ,2kπ]，k ∈Z ．故答案为：x =kπ−π3，k ∈Z ，[−2π3+2kπ,2kπ]，k ∈Z ．原式可化简为：f(x)=2cos(x +π3)，由余弦函数的图象即可计算得解． 本题主要考察了余弦函数的图象及其性质，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：5解析：本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．解：作出实数x ，y 满足{x +y +1≥0x −2y ≥0x −y −1≤0，的可行域如图：目标函数z =2x +y 在{x −2y =0x −y −1=0的交点A(2,1)处 取最大值为z =2×2+1=5．故答案为5．15.答案：[518,+∞)解析：本题主要考查函数的导数与极值，单调区间的关系，以及恒成立问题求参数的取值范围，属于导数的应用．解：函数f(x)=x 3−kx 2+3x 在区间x ∈[13,4]上单调递减，可得f′(x)≤0恒成立，即f′(x)=3x 2−2kx +3在区间x ∈[13,4]上，3x 2−2kx +3≤0恒成立，可得：{13−2k 3+3≤048−8k +3≤0， 解得，518≤k ，∴实数k的取值范围[518,+∞)．故答案为[518,+∞)．16.答案：(3,4)解析：本题考查根据函数零点的个数求参数的取值范围，考查二次函数的性质，属于中档题．借助换元法，结合t=|3x−1|确定函数y=mt2−4t+1的零点个数．解：根据题意，对于函数f(x)=m|3x−1|2−4|3x−1|+1，设t=|3x−1|，则y=mt2−4t+1，作出t=|3x−1|的图象如图，若函数f(x)=m⋅|3x−1|2−4|3x−1|+1(m>0)在R上有四个零点，即g(t)=mt2−4t+1=0在(0,1)上有两个不同的根，则有，解得3<m<4，即实数m的取值范围为(3,4)．故答案为(3,4)．17.答案：解：(1)证明：∵数列{a n}中，a1=1，a n=a n−12a n−1+1(n∈N+,n≥2)，∴1a n =2an−1+1a n−1=2+1a n−1，即b n=b n−1+2,且b1=1a1=1，所以，数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为2；(2)由(1)得，b n=1+2(n−1)=2n−1，则1a n=2n−1，即a n =12n−1．解析：本题考查数列是等差数列的证明，以及数列通项公式的求解．(1)由已知得1a n =2an −1+1a n−1=2+1a n−1，由此能证明数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列；(2)由(1)求出{b n }的通项公式，再由a n 与b n 之间的关系得数列{a n }的通项公式．18.答案：解：(1)设“在该样本中随机抽取3人，至少2人支持就近入学”的事件为A ， 则至少2人支持“就近入学”的概率P(A)=C 322C 181+C 323C 503=124175． (2)随机变量X 的可能取值为1，2，3，4，P(X =1)=C 41C 52×C 22C 102=2225， P(X =2)=C 42C 52×C 22C 102+C 41C 52×C 81C 21C 102=745， P(X =3)=C 42C 52×C 81C 21C 102+C 41C 52×C 82C 102=104225， P(X =4)=C 42C 52×C 82C 102=2875，∴X 的分布列为：E(X)=1×2225+2×747+3×104225+4×2875=165．解析：(1)设“在该样本中随机抽取3人，至少2人支持就近入学”的事件为A ，利用互斥事件概率计算公式能求出至少2人支持“就近入学”的概率．(2)随机变量X 的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能出X 的分布列和数学期望． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，PA ∩AD =A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ．(Ⅱ)解：以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(0,1，1)，F(23,23,43)，P(0,0，2)，B(2,−1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43)， 平面AEP 的一个法向量n⃗ =(1,0，0)， 设平面AEF 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23x +23y +43z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， 设二面角F −AE −P 的平面角为θ，由图可知为锐角，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3=√33． ∴二面角F −AE −P 的余弦值为√33． (Ⅲ)解：直线AG 在平面AEF 内，理由如下：∵点G 在PB 上，且PG PB =23.∴G(43,−23,23)，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−23,23)， ∵平面AEF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，m ⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =43−23−23=0， 故直线AG 在平面AEF 内．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)推导出PA ⊥CD ，AD ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面PAD ．(Ⅱ)以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −AE −P 的余弦值．(Ⅲ)求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−23,23)，平面AEF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，m ⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =43−23−23=0，从而直线AG 在平面AEF 内． 20.答案：解：(1)f (x )的导函数为f ′(x )=1−lnx−ax 2x 2⇒f ′(1)=1−0−a 1=1−a ， 依题意，有f (1)−(−1)1−2=1−a ，即−a+11−2=1−a ，解得a =1；(2)由(1)得f ′(x )=1−lnx−x 2x 2，当0<x <1时，1−x 2>0，−lnx >0，所以f′(x)>0，故f(x)单调递增；当x >1时，1−x 2<0，−lnx <0，所以f′(x)<0，故f(x)单调递减．所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，因为0< 1b <1<b ，所以f(x)最大值为f(1)=−1．设ℎ(b )=f (b )−f (1b )=(b +1b )lnb −b +1b ，其中b >1，则ℎ′(b )=(1−1b 2)lnb >0，故ℎ(b )在区间(1,+∞)单调递增，当b →1时，ℎ(b )→0⇒ℎ(b )>0⇒f (b )>f (1b )，故f (x )最小值f (1b )=−blnb −1b .解析：本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程以及函数的最值的求法，是基础题．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求实数a 的值；(2)利用函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极值以及端点的函数值，求解函数最值即可． 21.答案：解：(Ⅰ)由题意可知，F 1(−1,0),F 2(1,0)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x 0,−y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 0,−y 0)∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02−1∵点P(x 0,y 0)是椭圆C 上，∴x 023+y 022=1，即y 02=2−2x 023∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+2−23x 02−1=13x 02+1，且−√3≤x 0≤√3∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值1．(Ⅱ)∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴x 0=−1,∵y 0>0∴P(−1,2√33)， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由{y =(k +1)x 23+y 22=1得，(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2−6=0， ∴x 1+x 2=−6 k 22+3k 2,x 1,x 2=3k 2−62+3k 2，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3⋅√1+k 22+3k 2， ∴|AB |=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=4√3⋅(1+k 2)2+3k 2 ∵P(−1.2√33),PQ//AB, ∴直线PQ 的方程为y −2√33=k (x +1)． 由{y −2√33=k(x +1)x 23+y 22=1得，(2+3k 2)x 2+6k(k +2√33)x +3(k +2√33)2−6=0， ∵x P =−1,∴x Q =2−3k 2−4√3k2+3k 2，∴|PQ |=√1+k 2⋅|x P −x Q |=√1+k 2⋅|4−4√3k|2+3k 2， 若四边形PABQ 能成为平行四边形，则|AB |=|PQ |，∴4√3⋅√1+k 2=|4−4√3k|，解得k =−√33． ∴符合条件的直线l 的方程为y =−√33(x +1)，即x +√3y +1=0．解析：本题主要考查椭圆的性质，和探究性问题，属于较难题．(Ⅰ)设P(x 0,y 0)，可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由P 满足椭圆的方程，由二次函数的值域求法可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的是最小值；(Ⅱ)证明四边形PABQ 为平行四边形，需证|AB |=|PQ |，由弦长公式用k 表示|AB |，由P (x 0,y 0)可设直线PQ ，|AB |=|PQ |可得k 的值，即可得直线的方程．22.答案：解：(Ⅰ)曲线曲线C 1的参数方程为{x =3+3cosαy =3sinα(α为参数)，消去参数的C 1的直角坐标方程为：(x −3)2+y 2=9曲线C 2的极坐标方程为ρ+4cos θ=0，即 ρ2+4ρcos θ=0化为直角方程为x 2+y 2+4x =0(Ⅱ)由(1)知曲线C 1，C 2均关于x 轴对称，而且外切与原点O ． 不妨设，则因为曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cosθ， 所以所以：S △AOB =12ρ1ρ2=126cosθ4sinθ=6sin2θ≤6故时△ABO 的面积最大值为6．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角形面积公式的应用，属于中档题．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用极坐标系设出A ，B 坐标，进一步求出三角形面积最值．23.答案：解：(1)原不等式等价为{x <−3−2−2x ≤5或{−3≤x ≤14≤5或{x >12x +2≤5， 可得−72≤x <−3或−3≤x ≤1或1<x ≤32，则原不等式的解集为[−72,32]； (2)由于f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，则f(x)的最小值为4，由题意可得m 2−3m <f(x)min ，即有m 2−3m <4，解得−1<m <4．故m 的取值范围是(−1,4)．解析：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于基础题和易错题．(1)运用零点分区间的方法，讨论x <−3，−3≤x ≤1，x >1去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；(2)运用绝对值不等式的性质，可得f(x)的最小值为4，再由不等式恒成立思想可得二次不等式，解得即可．。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M () A.{}1B.{}1,1- C.{}1,0 D.{}1,0,1- 【答案】D2.复数25-i 的共轭复数是() A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -2 【答案】A3.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为()A.9B.9log 8C.5D.5log 8 【答案】B4.已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)1,2(=c .若),(R y x yc xb a ∈+=，则=+y x () A.2B.1C.0D.21 【答案】C 【解析】5.已知命题a x R x p ＞sin ,:∈∃，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为() A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a6.已知]2,2[-∈a ，则函数12)(2++=ax x x f 有零点的概率为() A.21B.31C.41D.51【答案】A 【解析】7.若抛物线x y C 4:21=的焦点F 恰好是双曲线)0,0(1:2222＞＞b a b y a x C =-的右焦点，且1C 与2C 交点的连线过点F ，则双曲线2C 的离心率为() A.12+ B.122- C.223+ D.226+【答案】A 【解析】考点：抛物线、双曲线的几何性质.8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为()A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】B 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.9.为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5个班在同一层楼并按班号排列。