高中数学推理与证明知识点归纳

高中数学推理与证明知识点归纳高中数学推理与证明知识点归纳
数学推理与证明知识点总结:
1.知识方法梳理
一、考纲解读：
本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。

新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。

高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。

二、要点梳理：
1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。

2.类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。

3.演绎推理
三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。

4.直接证明与间接证明
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。

综合法的
思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。

②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否
具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原
不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

分析法的思维特点是：执
果索因。

③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。

一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结
论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。

④数学归纳法：
教学目标：
一、通过观察、猜测等活动，让学生经历简单的推理过程，理解逻辑推理的含义。

初步获得一些简单的推理经验。

二、能借助连线、列表等方式整理信息，并按一定的方法进行推理。

三、在简单的推理过程中，培养学生初步的观察、分析、推理和有有条理的进行数学表达的能力。

教学重点：
理解逻辑推理的含义，经历简单的推理过程，初步获得一些简单的推理经验。

教学难点：
初步培养学生有序的，全面的思考问题及数学表达的能力。

教学过程：
课前交流：
师：还可以怎样称呼我呢?[你是个有礼貌的孩子。

)
师：孩子们，可以上课了吗?(可以了)上课!(师生问好)
一、唤起与生成
(一)游戏导入
师：孩子们，你们喜欢玩游戏吗?(喜欢)
师：那我们就来玩一个猜一猜的游戏。

猜一猜老师的年龄。

先有学生乱猜到给学生提供信息去猜。

(二)引出课题
师：对于刚才的游戏，你想说什么?(生答。

)
师：是啊，在猜测的时候，不能随便乱猜，而是要根据所给的条件来猜。

像这样根据已经知道的条件逐步推出结论的过程，在数学
上叫做推理。

今天这节课我们就来进行一些简单的推理。

(板书课题：数学广角——推理)
二、探究与解决
(一)分析问题
师：孩子们，请看大屏幕。

(播放课件，出示例1)有语文、数学
和品德与生活三本书，下面三人各拿一本，小红说，我拿的是语文书，小丽说，我拿的不是数学书。

你能判断出小刚拿的是什么书?小
丽拿的是什么书吗?
师：从题目中，你知道了什么?(生答)[你的眼睛真亮。

](课件同步突出小红、小丽的话。

)
师：要解决的问题是什么?(生答)[你有一双亮眼睛。

]
师：“有语文，数学和品德与生活三本书，下面三人各拿一本”这句话是什么意思?(课件用红色圈出)(生答)[你分析的很透彻。

]
师：他们三人分别拿的是什么书呢?请孩子们先想一想，然后把解决问题的过程用自己喜欢的方式记录在老师发给你的这张纸上，(出示)完成后把你的想法在小组内交流一下。

现在开始吧。

生活动，师巡视指导。

(二)展示交流
师：他们三人拿的是什么书呢?谁先来汇报。

预设一、语言描述法(小红拿的是语文书，那小丽和小刚拿的就是数学书和品德与生活书。

小丽又说她没拿数学书，他肯定拿的就是品德与生活书，剩下的小刚拿的就是数学书了。

)[语言是思维的外壳，只有想得清，才能说得明。

]用文字来描述的的请举手。

(生举手。

)(把学生作业贴在黑板上，课件同步出示重点讲解语言描述法。

)
预设二、连线法(把人名和书名写成两行，再根据每一个条件分别连线：小红拿的是语文书，就直接把小红和语文书连上线;剩下的小丽和小刚就只能连数学书和品德与生活书了，小丽又说她没拿数学书，那小刚拿的就是数学书了，再连上线，最后把品德与生活连上线。

)[你的方法很有创意，看来你认真思考了。

](把学生作业贴在黑板上，课件同步出示)用连线法的请举手。

(生举手。

)
预设三、列表法[你的记录方式很简洁，老师为你骄傲。

](把学生作业贴在黑板上，课件同步出示)用列表法的请举手。

(生举手。

)
"数学广角"是人教版教材中的一个亮点，也是一种新的尝试。

"数学广角"主要是介绍和渗透一些数学思想方法，其目的是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，通过观察、猜测、实验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受到数学在日常生活中的广泛应用，在不断应用中强化数学思想方法的渗透。

数学广角渗透方法数学思想在人教版新课标实验教材中，"数学广角"以单元为呈现形式，独具特色。

它系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简
单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。

这一内容虽然不多，但其
内容新颖、与生活联系密切，活动性和操作性较强，教与学都有着
较大的探究空间。

一、恰当要求，把握目标
二、突出主体，体现价值
1.关注学生的生活经验，重视小组合作与交流，突出思想方法
数学广角体现了新课程的一种理念"重要的思想方法的渗透"，根据学生的年龄特征，教材在素材的选取上非常注重现实性，都是学
生身边常见的物品，通过学生小组合作与交流，让他们充分地操作、实验、讨论、研究，找到解决问题的多种策略，在活动中找出一些
共性的问题，教师可以集中解决。

活动完成后学生进行交流汇报，
让学生感受到同一问题却有多种解决方案，同时也为后面寻求最优
化的解决策略打下了研究、分析的基础。

2.注重体现思维过程和分析方法，培养学生的猜测、推理和探索精神
教材在编排结构上注重体现数学知识的逻辑顺序，强调数学思维的一般过程，着力培养学生解决数学问题的意识和能力。

如五年级
数学下册"找次品"例1就安排了从5个物品中次品，仅仅要求学生
说出找出次品的'方法，不需要进行规律总结，从而让学生感受解决
问题策略的多样性;例2则安排了9个待测物品，要求学生归纳出解
决问题的最优策略，从而让学生经历由多样化过渡到优化的思维过程。

教学时，教师可先让学生观察各种解决策略，引导学生发现什
么方法最好，在此基础上，就引导学生进行猜测，从而可引发学生
进一步进行归纳、推理等数学思考活动。

这时，教师应引导学生从
这些纷繁复杂的方法中，从简化解题过程的角度，转而采用列表、
画图等方式进行抽象的分析实现从具体到抽象的过渡。

三、巧用素材，有效提升
练习在数学教学中占有特殊地位，是课堂教学的重要环节。

数学广角的巩固练习创设了许多现实的、学生感兴趣的情境作为学习的
素材。

有的教师如果是平时上课他会按教材一题一题讲解，不考虑
素材安排的目的;如果是上公开课，因为数学广角的练习题量也不多，他又会自己创设出好多的素材来巩固，究竟如何去巧用素材，使数
学知识有效提升呢?
"数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考
变成一堆符号让学生去死记，以致让美丽的数学淹没在形式化的海洋"里。

数学广角内容是我们新教材的有机组成部分，是学生思维训
练的材料，我们每一位数学教师都要真正发挥"数学广角"渗透数学
思想方法的作用，让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展。