《推理与证明》知识点

《推理与证明》
一、推理
1.
推理：前提、结论
2.合情推理:
合情推理可分为
归纳推理和类比推理两类：
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
3.演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊
的推理。

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明
题型1 用归纳推理发现规律
1、
<；….对于任意正实数,a b，
≤成立的一个条件可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22
=
+b
a
2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，
单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
推
理
与
证
明
知识结构
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________. 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式
[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f
133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f
【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的1
3
，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3
1
21321=⇒⨯==
，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 41
31431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高4
1
【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
二、直接证明与间接证明
三种证明方法:
综合法、分析法、反证法
反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立；
(2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立
(4) 肯定原命题的结论成立
重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1 综合法
在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ [解析]ABC ∆ 为锐角三角形，B A B A ->
∴>
+∴2
2
π
π
，
x y sin = 在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2
sin(sin =->∴π
同理可得C B cos sin >，A C cos sin >
C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴
考点2 分析法
已知0>>b a ,求证b a b a -<-
[解析]要证b a b a -<
-，只需证22)()(b a b a -<-
即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <，即证a b <
显然a b <成立，因此b a b a -<
-成立
【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---” 考点3 反证法 已知)1(1
2
)(>+-+
=a x x a x f x
，证明方程0)(=x f 没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00<x 且10-≠x 且1
2
000
+--
=x x a
x 112010000<+--
<⇒<<∴x x a x ，解得22
1
0<<x ，这与00<x 矛盾， 故方程0)(=x f 没有负数根
【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多
三、数学归纳法
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的所有正整数n 都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n 0时命题成立;
(2)假设当n=k （k ∈N +，且k ≥n 0）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
考点1 数学归纳法
题型：对数学归纳法的两个步骤的认识
[例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）
A.n=k+1时命题成立
B. n=k+2时命题成立
C. n=2k+2时命题成立
D. n=2（k+2）时命题成立
[解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B
【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k 时命题的形式)(k f （3）从)1(+k f 和)(k f 的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子 考点2 数学归纳法的应用
题型1：用数学归纳法证明数学命题
用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221+<+++⋅+⋅n n n
[解析]（1）当n=1时，左=√2，右=2，不等式成立
（2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(2
1
)1(3221+<+++⋅+
⋅k k k
则)2)(1()1(2
1)2)(1()1(32212
++++<++++++⋅+⋅k k k k k k k
02
)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122
<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)1[(2
1
)2)(1()1(3221++<++++++⋅+⋅∴k k k k k
∴当n=k+1时， 不等式也成立
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立
【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；
（3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。