推理与证明练习题汇编
逻辑推理练习题进行逻辑推理与证明
逻辑推理练习题进行逻辑推理与证明逻辑推理练习题：进行逻辑推理与证明1. 现有三个箱子，分别标记为“A”，“B”和“C”。
已知以下三个命题：P1：如果箱子“A”是空的，则箱子“B”不是空的。
P2：如果箱子“B”是空的，则箱子“C”也是空的。
P3：箱子“C”不是空的。
问题：哪些箱子是空的？请用推理与证明进行回答。
解答：首先，根据命题P3，我们得知箱子“C”不是空的。
根据P2，如果箱子“B”是空的，那么箱子“C”也是空的。
但是我们已经知道箱子“C”不是空的，所以箱子“B”也不可能是空的。
根据P1，如果箱子“A”是空的，那么箱子“B”不是空的。
但是我们已经得出结论，箱子“B”不是空的。
所以我们可以推断箱子“A”也不是空的。
综上，根据推理与证明，我们可以得出结论：箱子“C”是非空的，箱子“B”是非空的，箱子“A”是非空的。
2. 在一个小酒吧里，有三个顾客，分别是“A”，“B”和“C”。
已知以下三个命题：P1：如果“A”在酒吧，那么“B”也在酒吧。
P2：如果“B”在酒吧，那么“C”也在酒吧。
P3：如果“C”不在酒吧，那么“A”也不在酒吧。
问题：哪些顾客在酒吧？请用推理与证明进行回答。
解答：首先，根据命题P3，如果“C”不在酒吧，那么“A”也不在酒吧。
但是我们无法确定“C”是否在酒吧。
根据P2，如果“B”在酒吧，那么“C”也在酒吧。
但是我们无法确定“B”是否在酒吧。
根据P1，如果“A”在酒吧，那么“B”也在酒吧。
但是我们无法确定“A”是否在酒吧。
综上所述，由于我们无法获知任何一个顾客是否在酒吧，无法通过推理与证明得出结论。
3. 已知以下三个命题：P1：如果明天下雨，那么我会带雨伞。
P2：明天我没有带雨伞。
P3：我今天没有湿身。
问题：明天会下雨吗？请用推理与证明进行回答。
解答：首先，根据P2，明天我没有带雨伞。
根据P1，如果明天下雨，那么我会带雨伞。
但是我们已经得出结论，明天我没有带雨伞，所以我们可以推断明天不会下雨。
推理与证明练习题
推理与证明时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．用反证法证明“如果a >b ”假设内容应是( )解析：. 答案：D图12．如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n D.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n解析：面积比等于相似比的平方． 答案：C3．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出( )A ．1－4＋9－…＋(－n )2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2B ．1－4＋9－…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2C ．1－4＋9－…＋(－1)n ·n 2＝(－1)n －1·n (n －1)2D ．1－4＋9－…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n ·n (n －1)2解析：观察所给等式，等式左边各式是正整数的平方，且奇数项为正，偶数项为负，故等式左边为1－4＋9－…＋(－1)n ＋1·n 2；等式右边是正整数的和或其相反数，加数的个数与左边相同，故等式右边为(－1)n －1·n (n ＋1)2.答案：B4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：只有①、②对，其余错误，故选B. 答案：B 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：∵△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，∴sin A 2＝cos A 1，sin B 2＝cos B 1，sin C 2＝cos C 1. ∵三角形内角A 1，B 1，C 1∈(0，π)，∴sin A 2，sin B 2，sin C 2>0，cos A 1，cos B 1，cos C 1>0. ∴△A 1B 1C 1必为锐角三角形． ①当△A 2B 2C 2为锐角三角形时，sin A 2＝sin(π2－A 1)⇒A 1＋A 2＝π2，sin B 2＝sin(π2－B 1)⇒B 1＋B 2＝π2，sin C 2＝sin(π2－C 1)⇒C 1＋C 2＝π2，则(A 1＋B 1＋C 1)＋(A 2＋B 2＋C 2)＝3π2，与(A 1＋B 1＋C 1)＋(A 2＋B 2＋C 2)＝2π矛盾， ∴△A 2B 2C 2不可能为锐角三角形．②当△A 2B 2C 2为钝角三角形时，假设C 2为钝角，则由①知A 1＋A 2＝π2，B 1＋B 2＝π2，C 2＋π2－C 1＝π，即C 2－C 1＝π2，∴△A 2B 2C 2是钝角三角形．③当△A 2B 2C 2为直角三角形时，假设C 2为直角，则cos C 1＝sin C 2＝1 ∴C 1＝0.不合题意． 答案：D6．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7) 解析：观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈N *，n ＝10时，n (n ＋1)2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)． 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知命题：椭圆x 225y 29＝1与双曲线x 211－y 25＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例：________.答案：椭圆x 2a 2＋y 2a 2－16＝1(a 2>16)与双曲线x 2b 2－y 216－b2＝1(0<b 2<16)的焦距相等；或椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2c 2－y2d 2＝1(a 2－b 2＝c 2＋d 2)的焦距相等．8．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则________．”图2解析：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD .答案：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD9．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为________． 解析：由1>12，1＋12＋122－1>22，1＋12＋13＋…＋123－1>32 1＋12＋13＋…＋124－1>42 1＋12＋13＋…＋125－1>52可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2三、解答题(共计40分)10．(10分)已知a >0，求证：a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2.证明：要证a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只要证a 2＋1a2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，故只要证(a 2＋1a2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22(a ＋1a )＋2，从而只要证2a 2＋1a2≥2(a ＋1a )，只要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a 2)，即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．11．(15分)观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)， (1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式． 解：(1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6. (2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2， a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2，所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2.)12．(15分)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，令b n ＝a 2n ，其中n ∈N *，试比较T n ＋1＋124T n与2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1的大小，并加以证明．解：(1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1， 即(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以有2a n －a n ＋1＝0， 所以2a n ＝a n ＋1.所以数列{a n }是公比为2的等比数列，由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(2)因b n ＝a 2n＝22n ＝4n， 所以b 1＝4，b n ＋1b n＝4，即数列{b n }是首项为4，公比是4的等比数列．所以T n ＝43(4n－1)．则T n ＋1＋124T n ＝4n ＋1＋84(4n －1)＝1＋34n －1，又2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1＝4n ＋64n －1＝1＋74n －1， T n ＋1＋124T n －2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1＝34n －1－74n －1＝4(3n ＋1－7·4n －1)(4n －1)(4n －1). 猜想：7·4n －1>3n ＋1. ①当n ＝1时，7·40＝7>3×1＋1＝4，上面不等式显然成立； ②假设当n ＝k 时，不等式7·4k －1>3k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时， 7×4k ＝4×7×4k －1>4(3k ＋1)＝12k ＋4>3k ＋4＝3(k ＋1)＋1， 综上①②对任意的n ∈N *均有7·4n －1>3n ＋1. 又4n －1>0,4n －1>0， ∴T n ＋1＋124T n －2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1<0.∴对n ∈N *，T n ＋1＋124T n <2log 2b n ＋1＋22log 2b n －1.。
推理与证明(含答案)
备考中段试之三《推理与证明》1．下列说法中正确的是（ ） A ．合情推理就是正确的推理 B ．合情推理就是归纳推理C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程2．推理“①矩形是平行四边形;②正方形是矩形;③正方形是平行四边形”中的小前提是( )(A)① (B)②(C)③ (D)以上均错3．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 4．下列说法正确的个数是 ( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ） A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:86．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在：（ ） A ．大前提 B ．小前提 C ．推理过程 D ．没有出错7．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A.abc V 31=B.Sh V 31=C.()r S S S S V 432131+++=（4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径） D.)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=9．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理得出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( ) A ．②①③ B ．③①② C ．①②③ D ．②③①10．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 11．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式．12．已知幂函数αx x f =)(是增函数，而1-=x y 是幂函数，所以1-=x y 是增函数，上面推理错误是（ ）A 、大前提错误导致结论错B 、小前提错误导致结论错C 、推理的方式错误导致错D 、大前提与小前提都错误导致错13．对于ab b a Rb a 2,,≥+∈+大前提xx x x 121⋅≥+小前提 所以21≥+xx 结论 以上推理过程中的错误为（ ）A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误14．正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此2()sin(1)f x x =+是奇函数，以上推理（ ）A 、小前提不正确B 、大前提不正确C 、结论正确D 、全不正确15．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是A 、大前提错误B 、小前提错误C 、推理形式错误D 、以上都不是16．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②17．用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（ ） A ．假设是有理数 B ．假设是有理数 C ．假设或是有理数 D ．假设+是有理数 18．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a b c ，，中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数19．用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是( )A. 0a b 、至少有一个为B. 0a b 、至少有一个不为C. 0a b 、全不为D. 0a b 、中只有一个为20．用反证法证明“如果a >b ( )A. B.C.D.21．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁22．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确．．的是（ ）A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于6023．用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是（ ） A. 0a b 、至少有一个不为 B. 0a b 、至少有一个为 C. 0a b 、全不为 D. 0a b 、中只有一个为24．用反证法证明命题＂如果a >b ,那么a 3>b 3＂时,下列假设正确的是A 、a 3<b 3B 、a 3<b 3或a 3=b 3C 、a 3<b 3且a 3=b 3D 、a 3>b 325．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数26．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（ ） A 、三角形中有两个内角是钝角 B 、三角形中有三个内角是钝角 C 、三角形中至少有两个内角是钝角 D 、三角形中没有一个内角是钝角27．用反证法证明命题“若022=+b a ，则a 、b 全为0（a 、b R ∈）”，其反设正确的A a 、b 至少有一不为0B a 、b 至少有一个为0C a 、b 全部为0D a 、b 中只有一个为0 28．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a b c ，，都是偶数”，正确的反设为（***） A ．a b c ，，都是奇数 B ．a b c ，，中至多有一个是奇数 C ．a b c ，，中至少有一个是奇数 D ．a b c ，，中恰有一个是奇数29．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根30．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 B.假设a ，b ，c 至多有两个偶数 C.假设a ，b ，c 都是偶数 D.假设a ，b ，c 都不是偶数31．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 B.假设a ，b ，c 至多有两个偶数 C.假设a ，b ，c 都是偶数 D.假设a ，b ，c 都不是偶数32．在证明命题“对于任意角θ,cos 4θ-sin 4θ=cos2θ”的过程:“cos 4θ-sin 4θ=(cos2θ+sin 2θ)·(cos 2θ-sin 2θ)=cos 2θ-sin 2θ=cos2θ”中应用了( ) (A)分析法 (B)综合法(C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法33．用反证法证明“若a ，b ，c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为A.假设a ，b ，c 至少有一个大于1B.假设a ，b ，c 都大于1C.假设a ，b ，c 至少有两个大于1D.假设a ，b ，c 都不小于134．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60︒”时，反设正确的是 A 、假设三个内角都不大于60︒ B 、假设三个内角都大于60︒C 、假设三个内角至多有一个大于60︒D 、假设三个内角至多有二个大于60︒35．用反证法证明命题“设a ，b ∈R，|a |+|b |＜1，a 2－4b ≥0,那么x 2+ax +b =0的两根的绝对值都小于1”时，应假设A ．方程x 2+ax +b =0的两根的绝对值存在一个小于1B ．方程x 2+ax +b =0的两根的绝对值至少有一个大于等于1C ．方程x 2+ax +b =0没有实数根D ．方程x 2+ax +b =0的两根的绝对值都不小于1 36．用反证法证明命题“若,,a b c 都是正数，则111,,a b c b c a+++三数中至少有一个不小于2”，提出的假设是（ ） A ．,,a b c 不全是正数 B ．111,,a b c b c a+++至少有一个小于2 C ．,,a b c 都是负数D ．111,,a b c b c a+++都小于2 37．已知a b c ++>0,ab bc ac ++>0,abc >0,用反证法求证a >0, b >0,c>0的假设为A.,,a b c 不全是正数B.a<0,b<0,c<0C.a ≤0,b>0,c>0D.abc<0 38．设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足：“当()1+≥k k f 成立时，总可推出()21+≥+k k f 成立”，那么，下列命题总成立的是 （ ） A ．若()21<f 成立，则()1110<f 成立B ．若()43≥f 成立，则当1≥k 时，均有()1+≥k k f 成立C ．若()32<f 成立，则()21≥f 成立D ．若()54≥f 成立，则当4≥k 时，均有()1+≥k k f 成立 39．用数学归纳法证明：*222111112()23(2)2n N n n++++<-∈，第二步证明“从k 到1k +”，左端增加的项数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2k （D ）84k +40．用数学归纳法证明等式()()()+3+41+2+3+++3=2n n n ()n *∈时，第一步验证=1n 时，左边应取的项是( )A ．1 B. 1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 41．利用数学归纳法证明“*(1)(2)()213(21),nn n n n n n N ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-∈ ”时，从“n k =”变到 “1n k =+”时，左边应增乘的因式是 A ．21k + B ．211k k ++ C ． (21)(22)1k k k +++ D ． 231k k ++ 42．在用数学归纳法证明422*123()2n n n n N +++++=∈时，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项是（ ）A ．21k + B ．2(1)k +C ．42(1)(1)2k k +++ D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++43．已知一个命题P(k),k=2n(n ∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当11000+=n 时它也成立,下列判断中,正确的是( )A.P(k)对k=2013成立B.P(k)对每一个自然数k 成立C.P(k)对每一个正偶数k 成立D.P(k)对某些偶数可能不成立 n*从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为（ ） A.2(21)k +B.21k+C.211k k ++ D.231k k ++ 45．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n(n∈N *，n>1)时，在证明过程的第二步从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项数是 ( ) A ．2kB ．2k －1C ．1-2kD ．2k ＋146．用数学归纳法证明“”对于0n n ≥的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ）A. 1B. 3C. 6D. 10 47．用数学归纳法证明不等式11112321n n ++++<-(n N *∈，且1)n >时，第一步应证明下述哪个不等式成立（ ） A ．12< B ．1122+< C ．111223++< D ．1123+< 48．用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a an N a a ++-++++=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为 ( )A. 1B. 1+aC. 21a a ++D. 231a a a +++49．在用数学归纳法证明),1(111212*++∈≠--=++++N n a a a aa a n n 时，在验证当1=n 时，等式左边为（ ）A. 1B. a +1C. 21a a ++D. 321a a a +++ 50．用数学归纳法证明=++++2321n ，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上增加 （ ）A ．k 2+1B ．（k+1）2C ．D ．（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）251．用数学归纳法证明命题时，此命题左式为111123421n ++++-，则n=k+1与n=k 时相比，左边应添加( )A.1121k +- B.111122121k k k ++++- C.111112212221k kk k +++++++- D.111221k k ++- 52．对于不等式()*21N n n n n ∈+<+某同学应用数学归纳法证明的过程如下： （1）当1=n 时，11112+<+，不等式成立（2）假设()1,*≥∈=k N k k n 时，不等式成立，即12+<+k k k 那么1+=k n 时，()()1)1(2)2()23(23112222++=+=++++<++=+++k k k k k k k k k不等式成立根据（1）（2）可知，对于一切正整数n 不等式都成立。
初中数学数学推理与证明练习题及参考答案
初中数学数学推理与证明练习题及参考答案一、选择题1. 已知直角三角形的斜边长度为10，一个锐角的正弦值等于斜边长度与斜边过相交直角边的长方形边的和的二倍，那么这个锐角的度数是A. 60°B. 30°C. 45°D. 15°2. 若a、b、c为正数，且满足abc=1，则a^2+b^2+c^2的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 43. 若函数f(x) = 2x + a与g(x) = ax + 1有且仅有一个交点，则实数a 的值为A. 2B. -2C. 1/2D. -1/24. 如果A和B是两个正整数，且A的平方加上B的平方等于2017，那么AB的最大值是A. 2006B. 2932C. 1960D. 28725. 设正整数a与b满足a/b的值是0.4162，且a与b的最大公约数为8，那么a的个位数是A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题1. 根据等腰三角形的性质，如果一条边是等腰三角形的底边，则该边上的角度为____度。
2. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={3, 4, 5, 6, 7}，则集合A∪B的元素个数为____。
3. 设a、b、c为正整数，且满足a+b=c，则c除以7的余数是____。
4. 定义函数f(x) = 2x + b，若f(3)=7，则b的值为____。
5. 设正整数x与y满足x/y = 2/3，且x与y的最大公约数为6，那么y的值为____。
三、解答题1. 已知直角三角形的两个锐角辅助角等于40°和50°，那么直角边之间的比是多少？解析：由于直角三角形的两个锐角辅助角等于180°-90°=90°，所以另一个锐角的度数为90°-40°-50°=90°。
根据正弦定理可得：sin40°/a = sin50°/b = sin90°/c，其中a和b分别表示斜边上的两个角的对边的长度，c表示直角边的长度。
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题一、选择题：1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ．C ．D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x 3、下列推理正确的是(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+． (C) 把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+． (D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．4、用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)25、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（ ） (A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ． (B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直． (C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交． (D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．6、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）12)1(3++-=n nn a nn 12)3()1(++-=n n n a n n121)1()1(2--+-=n n a nn 12)2()1(++-=n n n a nn ⋯--,924,715,58,1A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－209、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a--+115 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 二、填空题：11、9、由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABCV V '''--=12、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2010S S =，则30S 的值是_______。
推理与证明重点题型及综合测试题
一、 归纳推理 1、 观察下列不等式：213122+<， 221151233++<，222111712344+++<……照此规矩，第五个不等式为_____________2、观察下列格式：223344551,3,4,7,11a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=……则1010a b +等于（ ）A 、28B 、76C 、123D 、1993、根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它们的通向公式 （1）113,21n n a a a +==+ （2）111,2n na a a a +==-（3）对一切的*,0,n n N a ∈>且1n a =+4、用推理的形式表示等差数列1，3，5，……，2n-1，……的前n *()n N ∈项和n S 的归纳过程5、如图所示的数表，它有这样的规律：表中第一行只有一个数1，表中第n 行*(2,)n n N ≥∈有n 个数，且两端的数都是n ，其余的每一个数都等于它肩上两数的和，则第n 行的第2个数是______二、类比推理6、在平面内，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为_______7、平面中的三角形和空间的四面体有着很多相类似的性质，例如在三角形中： （1）三角形两边之和大于第三边 （2）三角形的面积12S =x 底x 高 （3）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 （4）三角形的面积1()2S a b c r =++（r 为三角形内切圆的半径）…… 请类比以上性质，写出空间四面体的相关推论8、如图所示：已知图（1）中有面积关系1111B S PA PB S PA PB∙=∙△PA △PAB（1）试用类比的思想写出由图（2）所得的体积关系111P A B C P ABCV V --三、演绎推理1、下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由部分到整体的推理，②归纳推理是由一般到一般的推理，③演绎推理是由一般到特殊的推理，④类比推理是由特殊到一般的推理，⑤类比推理是由特殊到特殊的推理 A 、①②③ B 、②③④ C 、②④⑤ D 、①③⑤ 2、 将下列演绎推理改写成三段论的形式 （1）一切奇数都不能被2整除，201021+是奇数，所以201021+不能被2整除（2）菱形的对角线互相平分3、 如图所示，在△ABC ，AC>BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD>∠BCD4、 如图所示，已知梯形ABCD 中，AB=DC=AD ，AC 和BD 是它的对角线，用三段论证明CA 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA5、 如图所示，两个同心圆中，任作大圆的弦XY 交小圆于P ，Q 两点，求证PX ∙PY 为定值6、 在数列｛n a ｝中，0n a ≠且11133,32n n n a a a a --==+*(2,)n n N ≥∈，求｛n a ｝的通项公式7、 求证函数21()21x x f x -=+是定义域上的增函数直接证明和间接证明 一、综合法和分析法1、若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是（ ）A 、11a b b a +>+B 、11b b a a +>+C 、11a b a b +>+D 、22a b aa b b+>+2、已知a,b,c 都是实数，求证22221()3a b c a b c ++≥++3、已知a>012a a≥+-4、已知,a b R +∈，且2c>a+b ，求证c a c <<+5、设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)y f x =+与()f x 的图像关于y 轴对称，求证1()2f x +为偶函数6、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+= （1）求证2B C π-=（2）若a =ABC 的面积7、若△ABC 的三条边为,,a b c ，且所对应的三个内角A,B,C 成等差数列，求证113a b b c a b c+=++++8、 已知,,a b c R +∈，，求证222222a b b c c a abc a b c++≥++二、反证法1、否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）A.有一个解B.有两个解C.至少有两个解D.至少有三个解2、设111,,(0,),,,x y z a x b y c z y z x∈+∞=+=+=+，则,,a b c 三个数（ ） A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 3、否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为------------4、用反证法证明“已知2()f x x px q =++，求证(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12”时的假设为------------------------ 5、用反证法证明命题“在△ABC 中，若A>B,则a b >”时，应假设为------------- 6、已知,x y 均为正实数，且2x y +>，求证1y x+与1xy +至少有一个小于2.综合测试题1． 观察下列格式：55=3125，65=15625，75=78125，...则20115的末四位数字为（ ）A.3125B.5625C.0625D.81252.若0)a ≥，则P ，Q 的大小关系是（ ） A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由a 的取值决定3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是（ ） A.假设三个内角都不大于60° B.假设三个内角都大于60°C ．假设三个内角中至多有一个大于60° D.假设三个内角中至多有两个大于60° 4.设,a b R ∈，现给出下列五个条件：(1)2;(2)2;(3)2;a b a b a b +=+>+>-(4)1;ab >(5)log 0a b <。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(含答案解析)
一、选择题1．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）A ．22005B ．22006C ．20052006+D ．20052006⨯2．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测： 同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学； 同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学； 同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学； 同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（ ） A ．管理学、医学、法学、教育学 B ．教育学、管理学、医学、法学 C ．管理学、法学、教育学、医学D ．管理学、教育学、医学、法学3．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B ．122C 21D ．21-4．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形，则()f n 的表达式为（ ）A ．()21f n n =-B ．2()2f n n =C ．2()22f n n n=-D ．2()221f n n n =-+6．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌. 甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（ ） A ．梅花3B ．方块7C ．红心7D ．黑桃Q7．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =⊕，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．5519．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 10．下列说法中正确的个数是（ ）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．411．下面使用类比推理正确的是（ ）A ．直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，类推出：向量a b b c ，，则a cB ．同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥bC ．实数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4b ．类推出：复数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4bD ．以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程为x 2+y 2＝r 2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程为x 2+y 2+z 2＝r 2 12．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++⋅⋅⋅，概括出第n 个式子为___________．14．已知对任意正实数1a 、2a 、1b 、2b 都有22212121212()b b b b a a a a ++≥+，类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有________．15．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.16．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组.17．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如123451,2,2,4,2,S S S S S =====⋯⋯，则33S =____________① ②18．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是_______19．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面.可以证明圆环=S S 总成立.据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_______．20．如图所示，满足如下条件： ①第n 行首尾两数均为n ； ②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第n 行的第2个数是__________．三、解答题21．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题： （1）计算：cos 2cos88sin 47sin133︒︒+︒︒,cos5cos85sin 50sin130︒︒+︒︒,cos12cos78sin 57sin123︒︒+︒︒； （2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.22．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数. ①.22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+- ②.22sin 18cos 12sin18cos12︒︒︒+- ③.()()22sin25cos55sin 25cos55︒︒︒︒-+--（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.23．已知函数()2f x ax bx c =++及函数g （x ）＝﹣bx （a ，b ，c ∈R ），若a ＞b ＞c 且a+b+c ＝0．（1）证明：f （x ）的图象与g （x ）的图象一定有两个交点； （2）请用反证法证明：122c a --＜＜； 24．证明下列不等式.（1）当1a >时，求证：2110a a a -+>；（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：2322a b +≥+ 25．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈ （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）归纳猜想出通项公式n a ，并且用数学归纳法证明； （3）求证100a 能被15整除．26．求证：一个三角形中，最大的角不小于60o..【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．由此能求出上起第2005行，左起第2006列的数．【详解】解：由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．依题意有，左起第2006列的第一个数为20052+1，故按连线规律可知，上起第2005行，左起第2006列的数应为20052+2005＝2005×2006．故选D．【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．其中分析出数的排列规律是解答的关键．2．C解析：C【分析】根据只有一位同学全部猜对，逐项一一假设，利用合情推理求解.【详解】假设同学甲猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于法学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，故刘静就读于医学正确；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学乙猜全正确，即韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；则同学甲猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于法学正确；同学丙猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学丙猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确.假设同学丁猜全正确，即韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.则同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；矛盾，假设错误；综上：李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是管理学、法学、教育学、医学,.【点睛】本题主要考查合情推理的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】 由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=， 即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得： 读了该篇文章的学生是乙， 故选：B ． 【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属于中档题．5．D解析：D先分别观察给出正方体的个数为：1，14+，148++，⋯⋯，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解． 【详解】解：根据前面四个发现规律： ()()2141f f -=⨯， ()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋯⋯，()(1)4(1)f n f n n --=-， 累加得： ()()2(1)14[12(1)]42(1)222n n f n f n n n n n --=⨯++⋯⋯+-=⨯=-=-， ()11f =2()221f n n n ∴=-+，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题．6．B解析：B 【分析】根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可． 【详解】解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J ，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7, 故选:B 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。
推理及证明试题及答案
推理及证明试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆命题为真，那么原命题的真假性是：A. 真B. 假C. 不确定D. 以上都不对答案：C2. 下列哪个推理是演绎推理？A. 因为小明是学生，所以小明会做作业。
B. 因为小明会做作业，所以小明是学生。
C. 因为小明是学生，所以小明是人。
D. 因为小明是人，所以小明会做作业。
答案：C3. 如果一个命题的否定为真，那么原命题的真假性是：A. 真B. 假C. 不确定D. 以上都不对答案：B4. 以下哪个选项是直接证明？A. 反证法B. 归纳法C. 构造法D. 排除法答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个命题的逆否命题与原命题的真假性是________。
答案：相同2. 归纳推理的结论是________的。
答案：或然3. 演绎推理的结论是________的。
答案：必然4. 反证法的证明过程是先假设命题的________，然后推导出矛盾。
答案：否定三、解答题（每题10分，共20分）1. 证明：若a > b，b > c，则a > c。
证明：假设a > b，b > c，则a - b > 0，b - c > 0，所以a - c = (a - b) + (b - c) > 0，因此a > c。
证毕。
2. 证明：若a，b，c是正整数，且a^2 + b^2 = c^2，则a，b，c中至少有一个是偶数。
证明：假设a，b，c都是奇数，则a^2，b^2，c^2都是奇数，但a^2 + b^2 = c^2，这与奇数加奇数等于偶数矛盾，因此假设不成立，所以a，b，c中至少有一个是偶数。
证毕。
四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述归纳推理与演绎推理的区别。
论述：归纳推理是从个别事实出发，通过观察和分析，得出一般性结论的推理方法。
它的结论是或然的，即结论的正确性不是必然的，但有一定的可信度。
归纳推理的结论需要通过进一步的观察和验证来确认。
(压轴题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(有答案解析)
一、选择题1．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-2．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（ ） A ．丙、丁两镇 B ．甲、乙两镇C ．乙、丁两镇D ．甲、丙两镇3．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4004．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（ ）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13786．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证23b ac a -<”索的因应是（ ）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --7．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目积分规则100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 姓名 100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.61.311.4丙 12.91.26 11.7丁13.11.2211.6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形9．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过2+2+2+...“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A ．21+B ．21-C ．23+D ．32-10．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9611．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系. 凸多面体 顶点数 棱数 面数 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱锥 6 10 6 六棱锥712712个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．2012．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ）A ．0a ≠且0b ≠B ．a ，b 不全为0C ．a ，b 中至少有一个为0D ．a ，b 中只有一个为0二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是兵乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员高，甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是__15．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______.16．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c __________.17．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画n 条线段，将圆最多分割成______部分．18．将正整数1，2，3，⋯按照如图的规律排列，则100应在第______列.19．某电影院共有(3000)n n ≤个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有__________个.20．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______. 三、解答题21．观察下列各等式：tan10tan 20tan 20tan60tan60tan101︒︒+︒︒+︒︒=tan 20tan30tan30tan 40tan 40tan 201︒︒+︒︒+︒︒=tan33tan 44tan 44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒= （1）尝试再写出一个相同规律的式子；（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式； （3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．22．对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立. （1）试给出这个常数M 的值（不需要证明）； （2）在（1）所得结论的条件下证明命题P .23．（13725<（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足()122n n nS a n S ++=≥，计算，1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式．24．已知函数()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠），（1）若()()()()()1221f g f g g k ⋅+⋅=，求实数k 的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想． 25．如图1，已知PAB ∆中，PA PB ⊥，点P 在斜边AB 上的射影为点H .（Ⅰ）求证：222111PH PA PB =+； （Ⅱ）如图2，已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，点P 在底面ABC 内的射影为点H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P ABC -中PH 与PA ，PB ，PC 的关系，并证明.26．（文科学生做）已知数列{}n a 满足652n nn a +=. （1）求1a ，2a ，3a 的值，猜想并证明{}n a 的单调性； （2）请用反证法证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．2．A解析：A 【分析】根据条件假设去甲镇，则可找到矛盾，排除两个答案，再假设不去甲镇，去乙镇同样可得到矛盾，进而可得到答案 【详解】解：假设去甲镇，则必去乙镇，但去乙镇则不能去丙镇，不去丙镇则也不能去丁镇， 不去丁镇则也不能去戊镇，而丁、戊都不去则不符合条件．矛盾，则可淘汰选项B 、D ， 若不去甲镇去乙镇，同样无法完成参观； 故甲、乙两镇都不能去，则一定不能去戊镇，∴能去的地方只有丙、丁两镇．故选：A ． 【点睛】本题考查学生合情推理的能力，也运用假设法是关键，属于中档题，3．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字． 【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．4．D解析：D 【分析】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别得出，即可得出{}n a 的通项公式． 【详解】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别为：11a =，23a =，23333a =⨯=，234333a =⨯=，因此{}n a 的通项公式可以是：13-=n n a ． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．5．C解析：C 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可. 【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…， 易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==．【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【分析】根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可. 【详解】由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.< 只要证22()3a c ac a ---< 即证2220a ac a c -+-> 即证()()()0a a c a c a c -++-> 即证()()0a a c b a c ---> 即证()()0a c a b -->故求证”索的因应是()()0a c a b -->. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了分析法，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可 【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多 故选：B 【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题8．B【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案． 【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ． 【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案． 【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，故答案为B 【点睛】 本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为： 棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项. 【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a ，b 全为0的否定是a ，b 不全为0，故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.二、填空题13．11【分析】由题意中1的个数比的个数多9则中2的个数比0的个数多9个其他都是1由此可设中有个1个0列方程组求解【详解】设中有个1个0因为所以的个数为又由解得故答案为：11【点睛】本题考查推理关键是认解析：11 【分析】 由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解． 【详解】 设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11．本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．14．乙【分析】先分析乒乓球运动员可以推断出乒乓球运动员是丙又丙的身高比羽毛球运动员高从而推断出乙是足球运动员【详解】由甲与乒乓球运动员身高不同乒乓球运动员比乙身高低可以推断出乒乓球运动员是丙又因为丙的身解析：乙 【分析】先分析乒乓球运动员，可以推断出乒乓球运动员是丙，又丙的身高比羽毛球运动员高，从而推断出乙是足球运动员． 【详解】由甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，可以推断出乒乓球运动员是丙，又因为丙的身高比羽毛球运动员高，所以乙不是羽毛球运动员， 所以乙是足球运动员， 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．15．丙【分析】用反证法来验证是否符合题意即可得出结果【详解】如果是甲当选了则乙是对的其余三人是错的故甲不能当选；如果是乙当选了则甲乙丁是对的丙是错的故乙不能当选；如果是并当选了则甲丙是对的乙丁是错的故丙解析：丙 【分析】用反证法来验证是否符合题意，即可得出结果. 【详解】如果是甲当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故甲不能当选； 如果是乙当选了，则甲乙丁是对的，丙是错的，故乙不能当选； 如果是并当选了，则甲丙是对的，乙丁是错的，故丙能当选； 如果是丁当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故丁不能当选. 故答案为：丙 【点睛】本题考查了反证法，考查了逻辑推理能力，属于一般题目.16．【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定abc 的值进一步可得的值【详解】若甲自己的预测正确则：据此可知丙的说法也正确矛盾；若乙自己的预测正确则：矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确即：；故：则故答案解析：【解析】 【分析】由题意利用推理的方法确定a ,b ,c 的值，进一步可得10100ab c 的值.若甲自己的预测正确，则：3,3a b ≠≠，据此可知3c =，丙的说法也正确，矛盾； 若乙自己的预测正确，则：3,3a b ==，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：3,3,1a b c =≠≠； 故：3,1,2a b c ===，则10100213a b c ++=. 故答案为213． 【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.17．【解析】【分析】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列利用归纳推理可得利用累加法可得结果【详解】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列则归纳可得以上式子相加整理得故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤:一通解析：()11+2n n +【解析】 【分析】设n 条直线将圆最多分成的部分数,组成数列{}n a ，利用归纳推理可得1n n a a n -=+，利用累加法可得结果. 【详解】设n 条直线将圆最多分成的部分数组成数列{}n a ， 则11,11n a ==+,212,2n a a ==+,32433,3,4,4,...n a a n a a ==+==+,归纳可得，1n n a a n -=+,以上式子相加整理得，()11123 (12)n n n a n +=+++++=+，故答案为()112n n ++.【点睛】归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.18．【解析】分析：先找到数的分布规律求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数每一列的数字都是从大大小按排列的且每一列的数字个数等于列数继而求出答案详解：由排列的规律可得第n 列结束的时候排了个数每一列的数字解析：【解析】分析：先找到数的分布规律，求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案． 详解：由排列的规律可得，第n 列结束的时候排了()1123112n n n +++⋯+-=+个数． 每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数， 而第13列的第一个数字是()113131912⨯⨯+=，第14列的第一个数字是()1141411052⨯⨯+=， 故100应在第14列． 故答案为：14点睛：此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题19．12【解析】分析：由题可知总的观影人数为人则而人数最多的学校有人所以综合上述即可求出可能的取值个数详解：由题可知总的观影人数为人上下午各一场所以又可知若存在上下午坐的是同一所学校的学生的座位则必有所解析：12 【解析】分析：由题可知总的观影人数为985+1010+2019=4014人，则401420072n ≥=，而人数最多的学校有2019人，所以2019n <，综合上述即可求出可能的取值个数. 详解：由题可知，总的观影人数为985+1010+2019=4014人，上、下午各一场 所以，401420072n ≥=， 又可知985+1010=19952019<若存在上、下午坐的是同一所学校的学生的座位，则必有2019n <， 所以n 的范围是[2007,2019)，*n Z ∈，则n 的可能取值有2019-2007=12个. 故答案为12.点睛：解答时应仔细审题，找到解决问题的突破口和关键点，然后进行推理并小心验证，最终得出结论.20．231【分析】由题意经推理可得代入计算即可得解【详解】若甲正确则丙错误则此时故乙也正确与题设矛盾；若乙正确则甲错误此时与题设矛盾；若丙正确则甲错误此时符合题意所以此时故答案为：231【点睛】本题考查解析：231 【分析】由题意经推理可得2a =，3b =， 1c =，代入计算即可得解. 【详解】若甲正确，则丙错误，则3c =，此时1a =，2b =，故乙也正确，与题设矛盾；若乙正确，则甲错误，此时2b =，2a =，与题设矛盾； 若丙正确，则甲错误，此时2a =，3b =， 1c =符合题意. 所以2a =，3b =， 1c =，此时10010231a b c ++=. 故答案为：231. 【点睛】本题考查了推理案例及其应用，属于中档题.三、解答题21．（1）tan10tan30tan30tan50tan50tan101︒︒+︒︒+︒︒=；（2）若2παβγ++=，则tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=；（3）证明略．【分析】找到其规律，可以发现三个角相加为90︒时，其值为1，写出对应的数学表达式证明即可． 【详解】（1）例如：tan10tan30tan30tan50tan50tan101︒︒+︒︒+︒︒=． （2）若2παβγ++=，则tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=．（3）证明：sin cos 12tan 2sin tan cos 2πγπγγπγγγ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭又因为1tan()tan 2tan παβγγ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭ tan tan tan()tan tan 11tan tan αβαβγγαβ+∴+⋅=⋅=-化简即可得tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=． 【点睛】本题考查了学生发现问题，解决问题的能力，能够找到根据所给式子找到三个角的和这一规律是解决问题的关键． 22．（1）23M =；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令a b =可得，2233M ，分析即可得M 的值； （2）由分析法的思路：先证明2223a ba b b a+++，再类比可以证明2322a ba b b a+++，综合即可得证明； 【详解】解：（1）根据题意，由于2222a b a bM a b b a a b b a++++++对任意正数a ，b 恒成立， 令a b =得：2233M ， 故23M =； （2）先证明2223a b a b b a +≤++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a b a b a b a b b a +++≤++， 即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立.∴2223a b a b b a +≤++. 再证明2322a ba b b a≤+++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a a b b b a a b b a +++≥++， 即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立.∴2322a b a b b a ≤+++. 【点睛】考查用分析法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，找出M 的值，是解题的突破口，属于中档题． 23．(1)见证明；(2) 123S =-，234S =-；345S =-；456S =-；猜想12n n S n +=-+，n ∈+N ．【分析】（1）不等式两边先平方，然后逐步化简，直到不等式明显成立为止； （2）分别令n=1,2,3,4，求出1234,,,S S S S ，然后找规律猜想表达式。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(有答案解析)
一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（ ）A ．222222a b b c a c ++B ．222222122331s s s s s s ++ C ．222a b c ++D ．222123s s s ++ 2．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2449B ．2451C ．2455D ．24583．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，当1n a -为偶数时12n n a a -=，当1n a -为奇数时131n n a a -=+，则数列{}n a 中必存在值为1的项.若51a =，则0a 的所有不同值的个数为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．84．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得15x +=222+++=（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-5．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（ ） A ．丙、丁两镇B ．甲、乙两镇C ．乙、丁两镇D ．甲、丙两镇6．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：1a 1=，2a 1=，n 2n n 1a a a ++=+，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据n 2n n 1a a a ++=+可得n n 2n 1a a a ++=-，所以()()()12n 3243n 2n 1n 22n 2a a a a a a a a a a a a 1++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a (++⋯= )A ．714B ．1870C ．4895D ．48967．利用反证法证明：若0x y +=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为08．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌. 甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（ ） A ．梅花3B ．方块7C ．红心7D ．黑桃Q9．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ） A ．545B ．547C ．549D ．55110．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
推理与证明精选训练题(有答案)
推理与证明精选训练题一、选择题1.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则239a a +349a a +459a a +…+201220139a a =A ．20102011B ．20112012C ．20122013D ．201320122.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a S r ++=2；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝（ ） A ．4321S S S S V+++ B ．43212S S S S V+++C ．43213S S S S V+++ D ．43214S S S S V+++3.下面使用类比推理正确的是（ ）A ．“若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”B ．“若（a+b ）c=ac+bc”类推出“（a·b ）c=ac·bc”C ．“若（a+b ）c=ac+bc”类推出“(0)a b a b c ccc+=+≠”D ．“()nnnab a b =”类推出“()nnna b a b +=+”4.已知“*”表示一种运算，定义如下关系：①1*1=a ②)*(3*)1(a n a n =+（n ∈N *）则=a n * （ ）A ．23-nB ．13+nC ．13-nD ．n 3 5.观察下图，可推断出“?”应该填的数字是 （ ）A ．19B ．192C ．117D ．118?81642475947165316.我们知道十进制数有10个数码即0～9，进位规则是“逢十进一”，如47+56=103；由此可知八进制数有8个数码即0～7，进位规则是“逢八进一”，则在八进制下做如下运算47+56= （ ） A ．85 B ．103 C ．125 D ．185 7.下列说法正确的是 A ．合情推理就是归纳推理B ．合情推理的结论不一定正确，有待证明C ．演绎推理的结论一定正确，不需证明D ．类比推理是从特殊到一般的推理8.有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知x y )21(=是指数函数；则x y )21(=是增函数”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误9.下列几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A ．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的内错角，则B A ∠=∠B ．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C ．由圆的性质推测球的性质D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10.如下图，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是 （ ）A ．12B ．48C ．60D ．14411.长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为βα，，则1cos cos 22=+βα，将长方形与长方体进行类比，长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的三个面所成的角分别为γβα，，，则正确的结论为 （ ） A ．1cos cos cos 222=++γβαB ．2cos cos cos 222=++γβαC ．3cos cos cos 222=++γβαD ．4cos cos cos 222=++γβα12.若点P 是正三角形ABC 的内部任一点，且P 到三边的距离分别为321,,h h h ，正三角形ABC的高为h ，根据等面积法可以得到321h h h h ++=，由此可以类推到空间中，若点P 是正四面体A －BCD 的内部任一点，且P 到四个面的距离分别为4321,,,h h h h ，正四面体A -BCD 的高为h ，则有 （ ）A ．4321h h h h h +++＞B ．4321h h h h h +++=C ．4321h h h h h +++＜D ．4321,,,h h h h 与h 的关系不定13.已知(0,)x ∈+∞，观察下列各式：21≥+xx ，3422422≥++=+xx x xx ，4273332733≥+++=+xx x x xx ，．．．，类比有nxa x n≥+(n ∈N *)，则=a（ ）A ．nB ．2nC ．2nD ．n n二、填空题14.空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ,A ,B ,C四点共面的充要条件．在平面中，类似的定理是 ．15.已知213cos=π，4152cos5cos=ππ，8173cos 72cos7cos=πππ，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ．16.经计算发现下列正确的等式：231323133333++=++，352535253333++=++，682868283333++=++，．．．，根据以上等式的规律，试写出一个对正实数b a ,成立的等式 ．17.在数学解题中，常会碰到形如“xyy x -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设ba ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a ，则ab ＝ （ ）A ．4B ．15C ．2D ．318.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是 （ ）A ．编号1B ．编号2C ．编号3D ．编号4三、解答题19.设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i段，每段2iN 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置.试卷答案1.B2.C因为a h a S ⋅⋅=21，h S V ⋅⋅=底21，所以S 2类比V 3，故选择C 。
初二数学几何证明与推理练习题及答案20题
初二数学几何证明与推理练习题及答案20题1. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，证明AC=BD。
证明：由平行四边形的定义，可知AB∥CD和AD∥BC。
在ABCD中，我们连接AC和BD，假设它们的交点为E。
因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=180°（内错角性质）。
又由于AD∥BC，所以∠BCD+∠CDE=180°（内错角性质）。
综上，∠ABC+∠CDE=180°，即△ABC与△CDE互补。
根据互补角的性质，△ABC与△CDE全等，因此AC=BD得证。
2. 题目：已知ABCD是一个矩形，证明BD是直径。
证明：由矩形的定义，可知AB∥CD和AD∥BC。
在矩形ABCD中，我们连接角BAD的角平分线BE和角BCD的角平分线CF，它们相交于点O。
因为角BAD和角BCD都是直角（矩形的性质），所以∠BAE=∠CFO=90°。
由于角平分线的性质，∠BAE=∠CAE，∠CFO=∠CDO。
因此，在△BAE和△CFO中，∠CAE=∠CDO，且∠BAE=∠CFO。
根据AA相似三角形的性质，△BAE与△CFO相似。
因此，AE/CF=BA/CO=1/2（相似三角形的对应边比例相等）。
由此可得，CO=2AE，即CO=2BO。
由于OC=OC（公共边），所以△BOC为等腰三角形，即BO=BC。
综上所述，BD=2BO=2BC，即BD是直径。
3. 题目：已知△ABC中，AB=AC，垂直平分线BM过点B交AC于点M，证明∠ABM=∠ACM。
证明：由题意可得AB=AC，BM⊥AC，且BM平分∠ABC。
连接AM和CM。
在△ABC中，由于AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。
由垂直平分线的性质，BM平分了∠ABC，所以∠ABM=∠CBM。
同理，在△ACB中，由于AB=AC，所以∠ACB=∠ABC。
由垂直平分线的性质，BM平分了∠ACB，所以∠CBM=∠ACM。
综上所述，∠ABM=∠CBM=∠ACM得证。
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合情推理与演绎推理
1．下列说法正确的是 （ ）
A.类比推理是由特殊到一般的推理
B.演绎推理是特殊到一般的推理
C.归纳推理是个别到一般的推理
D.合情推理可以作为证明的步骤
2．下面使用类比推理结论正确的是 ( )
A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”；
B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”；
C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c
+=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n
a a
b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ）
（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；
（2）由平行四边形、梯形内角和是360︒，归纳出所有四边形的内角和都是360︒；
（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；
（4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，
由此得凸多边形内角和是()2180n -︒
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（1）（2）（4）
D ．（2）（4）
4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ）
A ．4,6,1,7
B ．7,6,1,4
C ．6,4,1,7
D ．1,6,4,7
5.观察以下各式：⋅⋅⋅=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112
222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004
折合成十进制为 （ ）
A.29
B. 254
C. 602
D. 2004
7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按
如图的规律拼成若干个图案，则第五
个图案中有白色地面砖（ ）块.
A.21
B.22
C.20
D.23
8、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）
A ．62n -
B ．82n -
C ．62n +
D ．82n +
9、“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几
个数，现给出一组数：12 ,-12 ,38 ,-14 ,532
它的第8个数可以是 。
10
、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○
○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
11、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n
个等式为_________________________.
12. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…， 则20115的末四位数字为（ ）
A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
13.【2012高考陕西】观察下列不等式
213122+< 231151233
++<， 222111512343+++< …… 照此规律，第五个．．．
不等式为 . 14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究 过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序
组成一个新数列{b n }．可以推测：
(1)b 2 012是数列{a n }中的第____________项；
(2)b 2k －1＝____________.(用k 表示)
15.(2011年高考山东卷理科15)设函数()(0)2
x f x x x =
>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78x f x f f x x ==+ … ① ② ③
43()(()),1516x f x f f x x ==+
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .
16.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点 (,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点
③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
17..(2011年高考湖北卷理科15)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案如下图所示：
由此推断，当n ＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．
的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻．．
的着色方案共有__________种．(结果用数值表示) 18．(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为______________________________________．
19．已知02π
θ<<，由不等式1tan 2tan θθ+≥，22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥，
33
333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ
+=+++≥，……，启发我们得到推广结论：
*tan 1()tan n a n n N θθ+
≥+∈，则a =___________。
20.．观察 下列两式：①4350cos 20sin 50cos 20sin 000202=
⋅++； ②4
345cos 15sin 45cos 15sin 000202=
⋅++ 分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式
21.把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），
22.将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为 ．
23．如右上图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列从第三行起，每一行的数成等比数列且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij （i≥j ，i ，j ∈N *）则a 88=
8．在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M ： ①sin 213°+cos 217°﹣sin 13°cos 17°=M ；
②sin 215°+cos 215°﹣sin 15°cos 15°=M ；
③sin 218°+cos 212°﹣sin 18°cos 12°=M ；
④sin 2（﹣18°）+cos 248°﹣sin （﹣18°）cos 48°=M ；
⑤sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin （﹣25°）cos 55°=M ；
请计算出M 值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式． ．
11．在一次数学研究性学习中，老师给了下列三个等式：
①sin25°+sin265°+sin2125°=a；
②sin210°+sin270°+sin2130°=a；
③sin2（﹣70°）+sin2（﹣10°）+sin250°=a．
（1）请你根据以上所给的等式写出一个具有一般性的等式，并求出实数a的值；（2）证明你写的等式．。