§9.1.5三角形的三边关系
华东师大版数学七年级下册课件：9.1.3 三角形的三边关系(共17张PPT)
解：设第三根木棒的长度为acm,则由三角形三 边长的关系可得
8-5 ＜a ＜ 8+5 即 3＜a＜13
故第三根木棒的长度应大于3cm，小于13cm，才能 与５cm,８cm的木棒组成三角形？
及时巩固
1、判断下列各组线段中，哪些能组成三角形， 哪些不能组成三角形，并说明理由。 （1）a=2.5cm, b=3cm, c=5cm. （2）e=6.3cm, f=6.3cm, g=12.6cm. 2、已知等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则
A
D
B
C
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。
初中数学七年级下册第9章 多边形 三角形的三边关系
理解“稳定性”
“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小 也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题， 其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
例2 要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成 两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边 形木架保持稳定该怎么办呢?
AB BC AC
三角形任意两边的和大于第三边 想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三 边有何关系？
三角形任意两边的差小于第三边
三角形三边的关系定理的理论根据是？ 两点之间，线段最短.
典例精析
例1 已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长 等于4cm，求另两边的长？
解：若底边长为4cm，设腰长为x cm， 则2x+4=18，解得x=7.
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪条
路程较短，你能说出根据
A 吗？
B
解：路线2较短；两点之间线段最短.
由此可以得到： AC BC AB
AB BC AC AC AB BC
三角形的三边关系定理
AC BC AB
AC AB BC
AB BC AC
BC AC AB
AC AB BC
若一条腰长为4cm，设底边长为x cm，则 2×4+x=18，解得x=10.
因为4+4<10，所以4cm为腰不能构成三角形. 所以三角形另外两个边长都是7cm
二 三角形的稳定性
问题： 如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木 工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什 么要这样做呢？
答： 三角形形状不会改变，四边形形状会改变，这就是说， 三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
七年级数学下册《三角形的三边关系》教案 新人教版
（A）5cm（B）4cm（C）3cm（D）2cm
4.△ABC中，AB=AC=8，则_____<BC<_____．
5.下列线段不能组成三角形的是（ ）
A．a=5，b=3，c=3 B．a=6，b=3，c=8 C．a=6，b=8，c=10 D．a=9，b=4，c=5
4.三角形具有稳定性.生活中有很多你熟悉的三角形，播放图片.
三．实践应用
【基础训练】
1.下列长度的各组线段能否组成一个三角形?
（1）15cm、10cm、7cm; （2）4cm、5cm、10cm; （3）3cm、8cm、5cm;（4）4cm、5cm、6cm.
2.一个三角形的两条边长分别为3cm和9cm，Βιβλιοθήκη 能确定该三角形第三条边长的范围___.
三角形的三边关系：
三角形的任何两边的和大于第三边．
各组学生展示作图过程
学以致用：
1. (背景资料：姚明身高2.26米，体重140.6 kg,腿长约1.30米)
2.一片绿草如荫，草坪上写着“爱护草坪，请勿踩踏”但草坪还是被人们踩出了一条小路，这是为什么呢？
板 书 设 计
9.1 三角形的三边关系
a+b>c例：——
6.一个等腰三角形的周长为18厘米,其中一边长为4厘米,求其它两边的长是___ ___.
7.三角形的两边长分别为5cm，3cm，则这三角形的周长可能为 （ ）
（A）13cm（B）16cm（C）10cm（D）不确定.
四．检测反馈
1．在△ABC中，AB=6，BC=11，则AC的长应满足.
2．下列线段不能组成三角形的是（ ）
能力目标：经历动手操作、探索发现、猜想验证，发现揭示并初步应用三角形三边关系即“三角形的任何两边之和大于第三边”的活动过程，发展空间观念，培养初步的逻辑思维能力、动手操作能力，体验“做数学”“用数学”的乐趣。
三角形三边关系
三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。
三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。
本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。
一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。
根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这种性质通常被称为“三角形三边关系”。
二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。
假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。
假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。
因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。
三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。
例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。
它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。
四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。
这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。
掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。
三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。
本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。
一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。
这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。
2、三角形两边之差小于第三边。
这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。
3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。
这个定理实际上是前两个定理的组合。
三角形三边的关系
三角形三边的关系三角形是由三条线段组成的闭合图形，这三条线段被称为三角形的边。
三角形的三边之间存在一定的关系，这些关系在几何学中有着重要的应用。
本文将介绍三角形三边的基本关系，包括三角形的边长关系、角度关系和面积关系。
一、三角形的边长关系三角形的三边之间存在着一定的长度关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是三角形存在的基本条件。
具体来说，假设三角形的三边分别为a、b、c，则有：1.a+b>c2.a+c>b3.b+c>a同时，三角形的任意两边之差小于第三边，即：1.ab<c2.ac<b3.bc<a这两个条件可以保证三角形的稳定性，即三角形的三个顶点不会相互塌陷。
在解决实际问题时，我们可以利用这两个条件来判断一个图形是否为三角形。
二、三角形的角度关系三角形的三边与三个角之间也存在一定的关系。
根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和等于180度。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有：A+B+C=180°1.正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。
2.余弦定理：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别为三角形的边长，C为夹角。
这两个定理在解决三角形问题时具有重要意义，可以帮助我们求出三角形的角度和边长。
三、三角形的面积关系三角形的面积与其三边之间也存在一定的关系。
根据海伦公式，设三角形的三边分别为a、b、c，p为半周长（即p=(a+b+c)/2），则三角形的面积S可以表示为：S=√[p(pa)(pb)(pc)]根据正弦定理，三角形的面积还可以表示为：S=1/2absinC其中，C为夹角。
这个公式在解决实际问题中具有重要意义，可以帮助我们求出三角形的面积。
三角形的三边之间存在着边长关系、角度关系和面积关系。
七年级数学下册_9.1三角形的三边关系(第4课时)课件_华东师大版
三边长 （厘米） 能否围成 三 角 形 三边关系
第一组
第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组
4、5、5
4、5、6 4、6、10 4、5、10 5、5、6 5、5、10 5、6、10
能
4+5＞5 4+5＞6
5+5＞4 4+6＞5 5+6＞4
能
不能 不能
4+6=10 4+10＞6 6+10＞4 4+5＜10 4+10＞5 5+10＞4 5+5＞6 5+5=10 5+6＞5 5+10＞5
（取整分米数） 你认为最有可能是哪种？
5 3 3
5 3 4
3 5
3
5 3 5
5 3 6
5
5
dog
5 3 7
3
用长度为2cm、2cm、6cm、6cm、6cm 这五条线段中的任意三条线段拼成一个
三角形，你能拼成几种不同的形状？
6
6
6
6
2
6
用15根等长的火柴棒摆成的三角形中， 最长边最多可以由几根火柴棒组成？
2.数学有趣又有用. 3.数学激发了我们的 好奇心.
4.画图、拼接、翻折 等实验方法是探索 4.在动手、动脑、交流 数学奥秘的常用手段. 中提高.
拔尖题：如图，O为ABC 内一点. 1 求证： OA OB OC ( AB BC CA)
2
分析：由三角形的三边 关系可知： 在中，OA OB AB ① 在中， OB OC BC ② 在中， OC OA AC ③ 将上面的三式相加 ①＋②＋③得：
（3）7cm,4cm,2cm;
三角形三边关系
§9.1.3三角形三边关系一、学习目标：【知识目标】通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。
【能力目标】培养学生会利用三角形的稳定性解决一些实际问题的能力。
【思维目标】培养学生思维的逻辑性和判别性。
二、学习重点：通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系. 三、学习难点：用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 四、学习过程：◆正面思考 主动学习 【自学目标】：1、知道三角形任何两边之和大于第三边的性质。
1、 了解三角形的稳定性，并能利用其解决实际问题。
【自学过程】：学生自学教材80-82页， 1、在连结两点的所有线中 最短。
2、三角形三条线段间具有什么性质？什么是三角形的稳定性？它有什么作用呢？3、你能举出三角形的稳定牲在生产、生活中应用的例子吗? ◆反面质疑 交流辩论1、准备好的四根木棍(2cm ，3cm ，5cm ，6cm 各一根)，请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?若不是，哪些可以，哪些不可以?你从中发现了什么?从4根中取出3根有以下几种情况：(1)2cm ，5cm ，6cm (2)3cm ，5cm ，6cm (3)2cm ，3cm ，5cm (4)2cm ，3cm ，6cm 2、你能否利用以前学过的线段的基本性质来说明“三角形任何两边之和大于第三边”这一结论的正确性？◆合学共商 检测过关 1、归纳：三角形的任何两边的和 第三边。
反之三角形的两边之差 第三边 2．三角形的稳定性。
三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。
三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
四边形就不具有这个性质。
例1:已知z y x ,,是三角形的三条边,化简:y x z z y x z y x --+-+-+--分析:本题是绝对值和三角形的综合题,可先想法绝对值符号去掉再化简,办法是利用三角形中两边之和大于第三边或两边之差小于第三边. 解：检测过关： 1、以长3cm 、5cm 、7cm 、10cm 的四条线段中的三条线段为边, 可以构成三角形的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、以10厘米为腰的等腰三角形，底边的长的取值范围是 ，以10厘米为底的等腰三角形，腰长的取值范围是 .3、已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围 。
三角形三条边的关系公式
三角形三条边的关系公式三角形的三边关系公式是指三角形的三条边之间的关系。
对于一个任意的三角形ABC，其三条边分别为a，b，c。
而三角形的三边关系公式主要包括三角不等式、余弦定理和正弦定理。
一、三角不等式三角不等式是指任何一个三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
具体表达为：a+b>c，a+c>b，b+c>aa-b<c，a-c<b，b-c<a。
这个公式的意义在于，如果这个不等式不成立，那么这三条边无法构成一个三角形。
二、余弦定理余弦定理（Law of Cosines）主要用于计算三角形的其中一边的长度或者夹角。
它是由三角形的三边和其夹角之间的关系导出的。
具体表达为：c² = a² + b² - 2abcosCb² = a² + c² - 2accosBa² = b² + c² - 2bccosA。
其中，a，b，c分别表示三角形ABC的三边长度，A，B，C表示对应的夹角。
应用余弦定理，我们可以根据已知条件来计算三角形的其中一边的长度或者夹角。
例如，已知一个三角形的两边长度a和b，以及它们夹角的大小C，我们可以使用余弦定理中的第一个公式求解第三条边的长度c。
三、正弦定理正弦定理（Law of Sines）用于计算三角形的三边和夹角之间的关系。
与余弦定理类似，它也是由三角形的三边和夹角之间的关系导出的。
具体表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中，a，b，c分别表示三角形ABC的三边长度，A，B，C表示对应的夹角。
正弦定理可以用于计算三角形的夹角，也可以用于计算三角形的边长。
例如，已知一个三角形的两边长度a和b，以及它们夹角的大小C，我们可以使用正弦定理求解第三条边的长度c。
总结三角形的三边关系公式包括三角不等式、余弦定理和正弦定理。
三角不等式用于判断一组边长是否能构成一个三角形。
三角形三边关系课件
A
c
b
B
a
C
想一想
由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？
a+b>c b+c>a c+a>b
a>c-b b>a-c c>b-a
A
c
b
三角形任意两边的差小于第三边
三角形三边的关系定理的理论根据是？ 两点之间，线段最短.
B
a
C
提炼概念
小结： 三角形的任何两边的和大于第三边 三角形的任何两边的差小于第三边
最近呀？ 邮局
商店
为什么？ 学校
新知讲解
合作学习
活动一 读一读、画一画
画一个三角形，使它的三条边长分别为4cm、3cm、2.5cm.
作法：1、画线段AB=4cm； 2、以点A为圆心、3cm长为半径画圆弧，再以点B为圆心、
2.5cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C； 3、连结AC、BC；
则△ABC就是所画的三角形.
不符合三角形两边的和大于第三边. （3）能．因为5 + 6＞10，
符合三角形两边的和大于第三边.
归纳概念 思考:解决这类问题我们通常用哪两条线段的和与第三条线段做比较就可以 了？为什么？
用较小两条线段的和与第三条线段做比较； 若较小两条线段的和大于第三条线段，就能保证任意两条线段的和 大于第三条线段.
用四根木条钉一个四边形，你会发现这个四边形的形状和大小都可以 改变，这说明四边形不具有稳定性.
理解“ห้องสมุดไป่ตู้定性”
“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也 就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题， 其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
三角形三边关系完整版
在建筑、桥梁、机械等领域中，经常利用三角形的稳定性来增强结构的稳定性和 承重能力。例如，在建筑中，常常将钢架结构或桁架结构设计成三角形形状，以 提高其稳定性和承载能力。
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02
三角形三边关系定理
2024/1/26
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三角形两边之和大于第三边
任意两边之和大于第三边
在三角形中，任意两边长度之和必然大于第三边的长度。这 是三角形存在的基本条件之一。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已知两边及夹角相等，可以直接应用SAS全等条件进行证明。
2024/1/26
19
ASA和AAS全等条件介绍
ASA全等条件
两角和它们的夹边对应相等的两 个三角形全等。
2024/1/26
AAS全等条件
两角和一角的对边对应相等的两个 三角形全等。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已 知两角及夹边相等或两角及一角的 对边相等，可以分别应用ASA或 AAS全等条件进行证明。
注意事项
在构造相似三角形时，需要确保 对应角相等或对应边成比例。
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06
典型例题解析与拓展 延伸
2024/1/26
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基础题型解析与技巧指导
已知两边求第三边
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边的性质，通过代数运算求解第三边的取值范围。
已知三边判断形状
通过比较三边长度，判断三角形形状（等边、等腰或 一般三角形），并理解各种形状三角形的性质。
2024/1/26
SSS相似条件
如果两个三角形三组对应 边成比例，则这两个三角 形相似。
探讨
SAS和SSS相似条件在实际 应用中相对较少，但仍然 具有一定的理论价值。
9.1.3三角形三边关系
§9.1.3三角形的三边关系教材分析本节的主要内容三角形的概念以及边角性质为基础，为进一步研究多边形的相关概念作铺垫。
学情分析学生在之前学习了三角形的相关概念，在此基础上学习并掌握三角形的三边关系，及其性质并学会应用，了解三角形的稳定性。
教学目标（一）知识与技能1．理解三角形的概念，了解三角形的六元素2．理解掌握三角形的三边关系3.对几何问题能规范书写解答过程（二）过程与方法1.经历动手实践、探索发现、猜想验证，发现揭示并初步应用三角形三边关系的活动过程，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力、动手操作能力，体验“做数学”“用数学”的乐趣。
2.在丰富的实际生活背景中感知三角形在生活中的广泛应用，留下伏笔—三角形的稳定性（三）情感态度与价值观经历探索、发现、应用三角形的三边关系的过程，增强学生勇于探索的精神，体会数学的实用价值，感受数学的严谨和探究数学成功的喜悦，增强数学应用意识和交流合作精神，提高学生的数学素养。
教学重点三角形的三边关系及其性质。
教学难点三角形的三边关系及性质并会应用。
教学方法讨论——自主探究相结合教学设计一、提纲导学：1．复习问题如图有A、B、C村，小明要从A村到B村，（1）有几种路线，哪条路最近，为什么？（2）由此得到什么关系式，你还有相似的结论吗？（3）这是什么图形，请你谈谈你对这种图形的了解2.创设问题情境播放生活中用三角形的图案的建筑等，为什么这些建筑要用三角形呢？今天在小学基础上，继续研究三角形。
3.出示导纲：（一）什么样的图形是三角形？1.分组讨论：每组准备四根木条，比如分别长为4cm、6cm、7 cm、11cm尝试实验从其中任取三根首尾顺次相接来摆三角形，试试是否成功？做好实验记录2.小组交流：a：是不是任意三条线段都能组成三角形呢？说说哪次试验是失败的？b：能构成三角形的三条线段能任意摆吗？揭示：三角形的概念、三角形的边、三角形的角及表示方法三角形的六元素：三边和三角（这是研究三角形的关键，首先看三边）（板书课题：9.1.3 三角形的三边关系）（二）教师精讲1．你能从前面复习中看出三角形的一条性质吗？2．前面的试验失败的原因是什么？提示规律：三角形任两边之和大于第三边例：用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形（1）若腰长是底边长的2倍，那么它的各边长多少？（2）能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？二、合作互动1.小组交流学生进行充分自学后，结合自学结果，带着自己的疑问在小组进行交流.2.展示评价小组交流快结束时，师出示展示评价分工表：展示要求：1.展示要板书工整、迅速规范、口述流利.2.非展示同学结合展示点评，迅速记录，认真纠错，及时提问和补充.评价要求：（1）、语言言简意赅，思路清晰，重点点评优缺点及总结方法规律.（2）、非点评同学认真听讲，有疑问或见解及时提出来,设计变式训练.学生展示时，师适当补充点拨。
三角形三边关系教案
三角形三边关系教案第一章：三角形的基本概念1.1 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
三角形的三条边分别称为边，三角形的三个角分别称为内角。
1.2 三角形的分类等边三角形：三条边相等的三角形。
等腰三角形：两条边相等的三角形。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
第二章：三角形三边关系2.1 两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边。
例如，对于三角形ABC，边AB + 边AC > 边BC。
2.2 两边之差小于第三边三角形任意两边之差小于第三边。
例如，对于三角形ABC，边AB 边AC < 边BC。
第三章：三角形三边关系的证明3.1 证明两边之和大于第三边使用尺规作图，通过构造辅助线段来证明两边之和大于第三边。
例如，对于三角形ABC，通过构造辅助线段AD，使得AD > BC，从而证明边AB + 边AC > 边BC。
3.2 证明两边之差小于第三边使用尺规作图，通过构造辅助线段来证明两边之差小于第三边。
例如，对于三角形ABC，通过构造辅助线段AE，使得AE < BC，从而证明边AB 边AC < 边BC。
第四章：三角形三边关系的应用4.1 判断三角形的是否存在根据三角形三边关系，判断给定的三条线段是否能构成一个三角形。
如果任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边，则这三条线段能构成一个三角形。
4.2 计算三角形的周长和面积根据三角形三边关系，计算三角形的周长和面积。
周长= 边AB + 边AC + 边BC面积= (底×高) / 2第五章：三角形三边关系的拓展5.1 三角形的稳定性三角形是一种稳定的图形，因为它的三边关系保证了图形的稳定性。
例如，在建筑设计中，三角形结构因其稳定性而被广泛应用。
5.2 三角形的对称性三角形具有对称性，可以沿中线和对称轴进行对称。
例如，等边三角形具有三条中线，每条中线都是对称轴。
第六章：三角形不等式的应用6.1 三角形的两边之和大于第三边的应用解释在实际情境中，如何利用三角形的两边之和大于第三边的性质，例如在搭建桥梁或构造建筑物的稳定性分析。
三角形的三边关系课件
本节课知识点总结回顾
三角形的基本概念和性质
01
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接所组成的
封闭图形。
三角形三边关系定理
02
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形按边的分类
03
根据三角形的边长关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰
三角形和一般三角形。
学生自我评价报告展示
交通网络优化
三角形的三边关系还可以应用于交通网络的优化。通过分析交通网络中各个节 点之间的连接关系，可以合理规划道路布局，提高交通网络的通行效率和便捷 性。
其他领域应用举例
机械设计
在机械设计中，三角形的稳定性原理被用于设计各种支撑 结构和连接件。例如，三角形的支架可以用于支撑机械部 件，确保其稳定性和可靠性。
对于多边形，可以将其划分成若 干个三角形，然后利用三角形的 三边关系定理来推断多边形的边 长关系。
实际应用
在建筑、工程等领域中，经常需 要利用三角形的三边关系定理来 解决实际问题，如测量距离、设 计结构等。同时，对于多边形边 长关系的探索也可以为相关领域 的研究提供新的思路和方法。
THANK YOU
02
三角形三边关系定理
三角形两边之和大于第三边
对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB
+ AC > BC。
三角形两边之和大于第三边是三 角形的基本性质之一，也是判断 三条线段能否构成三角形的必要
条件。
若三条线段满足三角形两边之和 大于第三边的条件，则它们可以 构成一个三角形；反之，则不能。
当两点之间直线距离不可达时， 可以通过构造三角形并利用三 边关系找到最短路径。
华东师大版七年级下册数学 9.1.3 三角形的三边关系 教案
课题：三角形的三边关系一、设计理念1．以学生为中心。
2．以操作为重要手段。
3．以感悟为学习目的。
4．以发现为宗旨。
二、教材分析该教材包括了三角形的三边关系，三角形的画法以及三角形的稳定性，三部分内容，它能使学生进一步形象直观地了解三角形。
三、学情分析学生对三角形的认识在小学阶段有初步的接触，从生活中初步了解了三角形的稳定性。
四．教学内容：教材第65—66页，三角形的三边关系。
五、教学目标1．操作中感悟三角形的三边关系：三角形的任何两边的和大于第三边，能运用三角形的三边关系解决实际问题。
2．理解三角形的画法，能准确画出三角形。
3．使学生感悟到三角形的稳定性，能举出日常生活中的例子。
六．教学重点：三角形三边关系的应用。
七．教学难点：“两边之和大于第三边”指的是“任何两边的和”都“大于第三边”八．教学方法：操作法，引导法，讲授法，作图法，演示法，九．教学准备：教师：三角形，四边形；三角板；圆规。
学生：三角板；圆规。
十．课型：新授课十一、教学过程（一）复习导入三角形及三角形边的定义：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，其中这三条线段就是三角形的边。
（二）探究新知（1）．三角形的三边关系1、实践有这样的四条线段（7cm、2cm、5cm、4cm ），请你任意取其中的三条，首尾连接，组成三角形。
①、是不是任意三条都能组成三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？②、你从中发现了什么？生：（操作）师：（提问）你有什么发现？生：我发现有的能组成三角形，有的不能组成三角形。
能组成三角形：①7、5、4 ②5、4、2不能组成三角形：①2、4、7 ②2、5、7师：（引导）我们发现有的线段能组成三角形，有的不能组成三角形，请同学们想一想，能不能组成三角形和三角形的什么有关？生：和三角形的三边有关。
师：既然和三角形的三边有关，那么满足什么样的数量关系的三条线段才能组成三角形？这节课我们来深入研究一下，板书课题：三角形的三边关系。
三角形三边的关系(正)333
两边差<第三边<两边和
下列各组线段能围成三角形吗？
1、4cm ，9cm， 5cm （×）
2、8cm ，7cm， 6cm （ √） 3、3cm ，10cm， 5cm （× ）
例1 下列长度的各组线段能否组成一个三角形?
（1）15cm、9cm、7cm;（2）3cm、6cm、10cm （3）3cm、8cm、5cm;（4）2cm、5cm、6cm 解: (1) ∵ 9+7>15, ∴能组成三角形; (2) ∵ 3+6<10, ∴不能组成三角形; (3) ∵ 3+5=8, ∴不能组成三角形; (4) ∵ 2+5>6, ∴能组成三角形.
边长为4厘米,求其它两边的长? 解: 第一种情况,4厘米长的边为底.
改:边长为8cm
要 分 类 讨 论
设腰长为 x 厘米.则2x+4=18, x=7
且4+7>7, 能组成三角形.
第二种情况,4厘米长的边为腰. 设底边长为x厘米.则x+2×4=18, x=10
但4+4<10,不能组成三角形.
∴三角形的其他两边长都是7厘米.
解：∵7cm-2cm＜第三边＜7cm+2cm ∴5cm＜第三边＜9cm 又∵第三边为奇数
∴第三边为：7cm
∴三角形的周长：2cm+7cm+7cm=16cm
整数，其中两边长度分别 为7cm和2cm，且第三边为偶数，求此三角形周长。
变式2：已知三角形三条边都是
例3 、等腰三角形的周长为18厘米,其中一
已知三角形三条边都是整数其中两边长度分别为7cm和2cm且第三边为奇数求此三角形的周长
9.1.3三角形的三边关系
华东师大版七年级下册数学：9.三角形的三边关系
3.下列图形中具有稳定性的是（ ） A. 正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形 4. 已知△ABC是等腰三角形, 且它的两条边的长分别为8cm 和3cm，那么它的周长是多少？
布置作业：
• 教材82页 练习第1、2题 • 教材82页 习题9.1第一题
如果三角形的周长为11，其中一边长 为4，另外两边为整数，求这个三角形 的最大边长。
3＜第三边＜17
3.已知；两条线段a、b，其长度 分别为2.5cm与3.5cm，另有长度 分别为1cm、3cm、5cm、7cm、 9cm的5条线段，其中能够与线 段a、b一起组成三角形的有哪几 条？
4.已知△ABC是等腰三角形。
（1）如果它的两条边的长分别为8cm和 3cm，那么它的周长是多少？
画出这个三角形
（1）先画线段AB=7cm；
（2）以点A为圆心，
C
5cm长为半径画圆弧：
（3）以点B为圆心，
A
B
4cm长为半径画圆弧，
两弧相交于点C；
（4）连接AC、BC 。
ABC 就是所要画的三角形。
画一画
用什么工具可以画的既准确，又迅速？
以下列长度的各组线段为边长，画一个三角 形。
（1）6cm、4cm、5cm （2）7cm、2cm、4cm
想一想
要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
课堂小结：
1.已知三边画三角形. 2.三角形的三边关系. 3.三角形的稳定性.
课堂检测：
1．下列各组数中，不可能成为一个 三角形三边长的是( )
A.2、3、4 B．5、7、 7 C. 5、6、12 D．6、8、10 2.长度分别为2、7、x的三条线段能 组成一个三角形，x的值可以( ) A.4 B．5 C．6 D．9
华师版八年级下册数学第9章 多边形 三角形的三边关系(2)
(3)若周长为偶数，求三角形的第三边长． 解：∵周长 C 的取值范围为 10＜C＜16 且周长为偶数， ∴周长可取 12，14， ∵三角形两边长为 3 和 5， ∴第三边长为 4 或 6.
18．如图，P 是△ABC 内部的一点，连结 PB，PC. (1)度量 AB，AC，PB，PC 的长，根据度量结果比较 AB＋AC
16．如图是一个由七根长度相等的木条钉成的七边形木框．为 使其稳定，请用四根木条(长短不限)将这个木框固定不变 形，请你设计出三种方案．
解：三种方案如图所示.(答案不唯一)
17．一个三角形的两边长为 3 和 5. (1)求它的第三边长 a 的取值范围； 解：根据三角形的三边关系可得 5－3＜a＜5＋3， 即 2＜a＜8. (2)求它的周长 C 的取值范围； ∵第三边长 a 的取值范围为 2＜a＜8， ∴周长 C 的取值范围为 2＋3＋5＜C＜5＋3＋8， 即 10＜C＜16.
1．【中考·徐州】下列长度的三条线段，能组成三角形的是
(D)
A．2，2，4
B．5，6，12
C．5，7，2
D．6，8，10
2．【中考·徐州】三角形的两边长分别为 3 cm 和 6 cm，则第三
边长可能为( C )
A．2 cm
B．3 cm C．6 cm D．9 cm
3．【中考·自贡】已知三角形的两边长分别为 1 和 4，第三边
与 PB＋PC 的大小； 解：度量结果略.AB＋AC>PB＋PC. (2)改变点 P 的位置，上述结论还成立吗？ 成立.
(3)你能说明上述结论为什么成立吗？ 解：延长 BP 交 AC 于点 D， 在△ABD 中，AB＋AD>BP＋PD，① 在△PDC 中，PD＋DC>PC，② ①＋②，得 AB＋AD＋PD＋DC>BP＋PD＋PC， 即 AB＋AC>PB＋PC.
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板书设计
拓展与提高
教学反思
作业布置
六、作业
画法步骤如下：
(1)先画线段AB=7cm
(2)以点A为圆心，4cm长为半径画圆弧，
(3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；
(4)连接AC、BC．
△ABC就是所要画的三角形。
这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等。
试一试：
能否画一个三角形，使它的三边分别为
(1)7cm，4cm，2cm
(2)9cm，5cm，4cm
情感目标
培养学生积极思维的团队合作精神。
教学重点
三角形任何两边之和大于第三边的应用
教学难点
已知三角形的两边求第三边的范围
教具学具
三角板
课型
新授课
课时
一课时
情景导入
一、复习提问
1.三角形的三个内角和是多少?三角形的外角有什么性质?
2.在连结两点的所有线中最短的是哪一种?
教
学
过
程
二、新授
我们已探索了三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，今天我们要探索三角四根牙签(2cm，3cm，5cm，6cm各一根)，请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?若不是，哪些可以，哪些不可以?你从中发现了什么?
从4根中取出3根有以下几种情况：
(1)2cm，5cm，6cm
(2)3cm，5cm，6cm
(3)2cm，3cm，5cm
你能举出三角形的稳定牲在生产、生活中应用的例子吗?
三、巩固练习
教科书第82页练习1、2、3。
四、小结
本节课我们研究、探索了三角形中边的不等量关系，三角形任何两边的和大于第三边。注意“任何”两宇，如三角形的三边分别为a、b、c，则a+b>c，a+c>b，b+c>a都成立才可以，但如果确定了最长的一条线段，只要其余两条线段之和大于最长的一条，它们必定可以构成三角角形。如果已有两条线段，要确定第三条应该是什么样的长度才能使它们构成三角形?第三边的取值范围是大于这两边的差而小于这两边的和。
大家在画图过程中，发现两条弧不会相交，这就是说不能作出三角形。
你能否利用前面说过的线段的基本性质来说明这一结论的正确性?
例1．有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，你说第三根要多长呢?用长度为3cm的木棒行吗?为什么?长度为14cm的木棒呢?
3．三角形的稳定性。
七
科目
数学
年级
七年级
课题
§9.1.5三角形的三边关系
主备课人
赵斌
主讲人
时间
2013
三
维
目
标
知识
目标
1.三角形任何两边之和大于第三边。
2.三角形任何两边之差小于第三边。
个性化增补
能力目标
1.利用三角形三边关系判断三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。
2.会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。
(4)2cm，3cm，6cm
经过实践可知(1).(2)可以摆出三角形，(3)、(4)不能摆成三角形。我们可以发现在这三根牙签中。如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。
这就是说：三角形的任何两边的和大于第三边。
2．下面我们再通过用圆规、直尺画三角形来验证
画一个三角形；使它的三条边分别为7cm、5cm、4cm。
教师演示简易的教具——用木条钉成的三角形和四边形，用力一拉四边形变形了，而三角形却一点不变。
这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。
三角形的稳定性在生产、生活实践中有着广泛的应用；如桥拉杆、电视塔架底座，都是三角形结构(如教科书、图9.1.15)