平衡中的临界和极值问题[优质材料]
平衡中的临界与极值
一. 教学内容：平衡问题中的临界与极值问题归纳二. 学习目标：1、掌握共点力作用下的物体平衡条件的应用问题的分析方法。
2、掌握平衡问题中临界与极值问题的特征。
3、熟练掌握典型的临界与极值问题的常用处理方法和技巧。
考点地位：共点力作用下的物体平衡问题中的极值与临界问题是处理平衡问题的难点所在，这部分内容重点体现与数学知识的融合，体现了高考大纲中所要求的运用数学方法分析物理问题的能力，同时这部分内容在高考中常与库仑力、安培力等相互结合，难度较大。
三. 重难点解析：1. 共点力作用下物体平衡的条件在共点力作用下物体平衡的条件是：物体所受的合力为零。
即（矢量式）。
用正交分解法解决有关在共点力作用下的物体平衡问题时，平衡条件可叙述为：用平衡条件的正交表达形式解题具有三大优点：其一，将矢量运算转变为代数运算，使难度降低。
其二，将求合力的复杂的解斜三角形问题，转变为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行。
其三，当所求平衡问题中需求两个未知力时，这种表达形式可列出两个方程，使得求解十分方便。
2. 力的平衡作用在物体上所有力的合力为零，这种情形叫做力的平衡。
（1）当物体只受两个力作用而平衡时，这两个力大小一定相等，方向一定相反，且作用在同一直线上。
这两个力叫做一对平衡力。
（2）当物体受到三个力的作用而平衡时，这三个力必在同一平面内，且三个力的作用线或作用线的延长线相交于一点，这就是三力汇交原理。
3. 一对平衡力与一对作用力和反作用力的区别（1）平衡力作用于同一物体上。
作用力和反作用力分别作用在两个物体上。
（2）作用力与反作用力性质相同。
平衡力的性质不一定相同。
例如静止在水平桌面上的物体，重力与桌面的支持力是一对平衡力；支持力是弹力，与重力的性质不同。
（3）作用力与反作用力同时产生、同时变化、同时消失，平衡力中的某一力变化或消失时，其他力不一定变化或消失。
例如抽去桌面时，物体所受的支持力消失，但物体的重力仍然保持不变。
平衡中的临界极值问题
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选择某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与持续的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
处于平衡状态中的极值问题和临界问题
处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
动态平衡问题平衡中的临界、极值问题课件59
问题解决能力
02
学生能够独立分析和解决一些复杂的动态平衡问题，具备了一
定的问题解决能力。
创新思维Байду номын сангаас养
03
课程鼓励学生提出新的想法和解决方案，培养了学生的创新思
维和解决问题的能力。
未来研究方向展望
更复杂的动态平衡问题
研究更复杂的动态平衡问题，如非线性、时变等条件下的临界、 极值问题。
临界、极值问题的优化算法
不等式法
通过构建不等式并求解，找到物体 的极值状态。
数值模拟法
通过计算机模拟物体的运动过程， 找到极值状态和对应的物理量。
03
CATALOGUE
平衡中的极值问题
极值条件的确定
确定平衡状态
首先分析物理系统或数学 模型的平衡状态，明确平 衡条件。
寻找极值条件
在平衡状态下，寻找使某 一物理量达到极值的条件 ，如最小势能、最大承载 力等。
动态平衡
物体在受到外力作用下，通过内部调节保持平衡状态，如人 体在行走中的平衡。
临界条件的确定
临界状态
物体处于平衡与不平衡之间的临界状态，稍微偏离平衡就会导致失稳。
临界条件
使物体保持平衡的最小条件，如支撑面的大小、摩擦系数等。
临界问题的求解方法
01
02
03
解析法
通过建立数学模型和方程 ，求解临界条件下的物理 量。
结果讨论
结合已有知识和文献资料，对实验结果进行深入 分析和讨论，解释实验现象的原因和机制。
结果应用
将实验结果应用于实际问题中，提出针对性的建 议和措施。
06
CATALOGUE
课程总结与展望
课程重点回顾
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平衡中的临界和极值
平衡中的临界和极值
【原创版】
目录
1.临界平衡状态的定义
2.压杆的临界力
3.提高压杆稳定性的方法
4.总结
正文
一、临界平衡状态的定义
临界平衡状态是指杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在这个状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
这种状态在物理学中被称为临界状态，对应的力称为临界力或临界载荷，用 Fcr 表示。
二、压杆的临界力
压杆是指在轴向压力作用下，两端固定且杆件截面呈圆形的杆。
当压杆所承受的轴向压力达到临界力时，压杆将处于临界平衡状态。
此时，压杆的稳定性已经非常差，任何微小的扰动都可能导致压杆失去平衡。
三、提高压杆稳定性的方法
为了提高压杆的稳定性，可以采取以下几种方法：
1.增加压杆的截面面积：通过增加压杆的截面面积，可以增大压杆的抗弯能力，从而提高其稳定性。
2.改变压杆的材料：选用高强度、高刚度的材料可以提高压杆的稳定性。
3.调整压杆的长度：缩短压杆的长度可以减小其弯曲变形，从而提高
稳定性。
4.添加支撑：在压杆的适当位置添加支撑，可以减小压杆的弯曲变形，提高稳定性。
四、总结
临界平衡状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。
在临界状态下，杆件的稳定性已经达到了极限，再稍有扰动就会失去平衡。
5.相互作用点点清专题之平衡中的临界与极值问题
4.相互作用点点清专题之平衡中的临界与极值问题一知能掌握1.平衡中的临界问题某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
2.平衡物体中的极值问题极值是指研究的平衡问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值。
中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。
若受附加条件限制，则为条件极值。
3．平衡中的临界极值问题四种方法临界问题往往是和极值问题联系在一起的．解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件．要特别注意可能出现的多种情况．解决临界极值问题的四种方法(1)假设推理法。
假设推理法是解决临界问题的有效方法，即先假设达到临界条件，然后再结合平衡条件及有关知识列方程求解。
(2)解析法:根据物体的平衡条件列出平衡方程,在解方程时采用数学方法求极值.通常用到的数学知识有二次函数求极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值，以及几何法求极值等。
(3)图解法:此种方法通常适用于物体只在三个力作用下的平衡问题.首先根据平衡条件作出力的矢量三角形,如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量三角形进行动态分析,确定其最大值或最小值.此法简便、直观。
例如：在三角形中一条边a的大小和方向都确定，另一条边b只能确定其方向（即a、b间的夹角θ确定），欲求第三边c的最小值，则必有c垂直于b时最小，且c＝asinθ，如下图所示。
（4）极限法:极限法是一种处理极值问题的有效方法,它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(如“极大”“极小”等),从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来,快速求解.4.解决临界极值问题的基本步骤是：（1）选对象：明确研究对象；（2）析受力：对对象进行受力分析，画出物体的受力示意图；（3）列方程：结合临界条件、极限条件、平衡方程、几何条件列方程；（4）求结果：根据数学方法计算结果并讨论。
2.5平衡物体的临界状态与极值问题
A.3
B.2
C.1
D.0.5
【解析】选B、C、D.设物体刚好不下滑时F=F1，此时物体
A有沿斜面下滑的趋势，则：
F1cosθ+μFN-Gsinθ=0 FN-F1sinθ-Gcosθ=0
F1 sin37 0.5 cos37 0.2 2 解得： G cos37 0.5 sin37 1.1 11
【解题指南】解答本题时应注意要使 两绳都能伸直，必须保证两绳的拉力 都大于或等于零，进而根据平衡条件， 正交分解求出F的极值.
解法一：采用极限法： F较小时,Fc=0，F较大时， 拉 力Fb=0。列方程求解
【解答】c绳刚好伸直时，拉力F最小，物体A
受力如图所示：
由平衡条件得： Fminsinθ+Fbsinθ-mg=0 Fmincosθ-Fbcosθ=0 解得：
2、极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过 程中的最大值和最小值问题。解决这类问题的方法常用解析 法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数 学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。另外，图解法 也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量 图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最 大值或最小值。
FN 2
22 Leabharlann h h 2 .G Rh木块受力如图
F FN1 . cos FN1 R 2 R h 2Rh h 2 G R Rh
平衡物体的临界状态与极值问题
1、临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物 理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或 “恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、 “恰好”等语言叙述。解决这类问题的基本方法是假设推理 法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知 识进行论证、求解。
平衡中的临界极值问题
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选取某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与不断的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
平衡中的临界和极值
平衡中的临界和极值在生活中，平衡是一个重要的概念。
无论是身体的平衡还是心灵的平衡，我们都需要在各个方面寻找一个稳定的状态。
然而，有时候平衡并不仅仅是指两个方向的均衡，而是涉及到临界与极值的问题。
临界是指我们在寻找平衡时，达到不可忽略的边界状态。
这种状态可能会引起突破或者转折，有时甚至可能导致平衡的破裂。
而极值则是指某一方向上的最大或最小值，是达到理想平衡状态的极限。
平衡中的临界与极值是一个复杂而微妙的主题，不同的领域和情境下有着不同的定义和解释。
在物理学中，临界点是指物质在一定条件下由一种状态转变为另一种状态的边界点。
当水温降低到0摄氏度时，水会从液态变为固态，这个临界点就是冰点。
而极值则可以用来描述物质的特性，比如熔点和沸点。
在生物学中，平衡中的临界与极值也有着重要的意义。
人体的各种生理指标，如体温、血压、血糖等，在一定范围内的波动是正常的，但一旦超出了临界值，就可能导致疾病的发生。
高血压和低血糖都会对身体健康产生重大影响。
此时，我们需要通过药物治疗或生活方式的改变来恢复平衡。
在心理学和哲学中，平衡中的临界与极值是更为抽象而深刻的概念。
心理学家卡尔·荣格提出的个体心理理论中，他认为个人必须在自我和集体无意识之间寻求平衡。
个体心理是我们日常意识所能察觉到的内容，而集体无意识则包含了我们的本能、冲动和潜意识。
荣格认为，只有当个体心理与集体无意识达到平衡时，我们才能达到身心的和谐。
在生活中，平衡中的临界与极值也经常存在。
我们在工作和生活之间寻求平衡时，常常会遇到工作压力和生活满足之间的临界点。
有时候我们会为了工作进入超负荷的状态，但如果长时间处于极限状态，可能会导致身心俱疲。
另放松和休息过多也可能导致懒惰和效率下降。
我们需要在工作和生活之间找到一个合适的平衡点，既能保持高效的工作状态，又能享受生活的乐趣。
与平衡中的临界和极值有关的还有人际关系。
在人际关系中，我们常常需要在个人的利益和集体的利益之间寻求平衡。
第二章 专题四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
另外两个力方向均发生变化，但两者的夹角不变.作出不同
状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列
式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不
同位置判断各力的大小变化，如图5所示.
图5
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专题四
动态平衡问题
平衡中的临界、极值问题
方法5：相似三角形法
特征：一个恒力，两个变力，找出几何三角形.
000 kV的高压线上带电作业的过程.如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔
上的O点，另一端固定在兜篮D上.另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一
端连接兜篮，另一端由工人控制.身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动
到处于O点正下方E点的电缆处.绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备
( √
)
[解析] 对系统整体受力分析可知，竖直方向受到的地面的支持力始终等于系统所
受的重力，故正确.
(2)斜面所受地面的摩擦力一定增加.
(
√ )
[解析] 对整体受力分析，可知斜面所受地面摩擦力一定增大，故正确.
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专题四
动态平衡问题
命题点3
平衡中的临界、极值问题
正弦定理法的应用
3. [2024河北邯郸开学联考]《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1
运动到B点的过程中，夹角θ从0°增大到90°，所以推力F一直减小，滑块受到的支持
力一直增大，A、B错误.将滑块和工件看作一个整体，对整体受力分析，如图所
示，根据平衡条件可得N＝(m＋M)g－F cos θ＝(m＋M)g－mg cos 2 θ，f＝F sin θ＝
1
2
mg cos θ sin θ＝ mg sin 2θ，夹角θ从0°增大到90°，地面对工件的支持力 N一直增
教师资格证物理之平衡中的“临界、极值”问题
在各地的教师招聘考试中，高中物理力学都是重中之重，今天想和大家分享的是做题中的一个重点：平衡中的“临界、极值”问题。
临界问题：当某个物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体的平衡“恰好出现”或“恰好不出现”，即处于临界状态，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等字眼。
极值问题：平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。
下面首先看一些经典例题。
【例1】如图所示，三根相同的绳的末端连接于O点，A、B端固定，C端受一水平力F，当F逐渐增大时(O点位置保持不变)，最先断的绳是( )A.OAB.OBC.OCD.三绳同时断【答案】A。
解析：对结点O受力分析，受三根绳的拉力，水平和竖直两绳拉力的合力与OA绳的拉力等大反向，由平行四边形定则可知，三根绳中OA绳的拉力最大，在水平拉力逐渐增大的过程中，OA绳先断，选项A正确。
【例2】如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为( )【答案】C。
解析：由题图可知，为使CD绳水平，各绳均应绷紧，由几何关系可知，AC绳与水平方向的夹角为60°;结点C受力平衡，受力分析如下图所示：【方法总结】(1)临界与极值问题解题流程①对物体初始状态受力分析，明确所受各力的变化特点;②由关键词判断可能出现的现象或状态变化;③据初始状态与可能发生的变化间的联系，判断出现变化的临界条件或可能存在的极值条件;④选择合适的方法求解。
(2)解决临界与极值问题的常用方法①解析法：利用物体受力平衡写出未知量与已知量的关系表达式，根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况，利用临界条件确定未知量的临界值。
②图解法：根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化，确定未知量大小、方向的变化，确定未知量的临界值。
【变式训练】1.(多选)某学习小组为了体验最大静摩擦力与滑动摩擦力的临界状态，设计了如图所示的装置，一位同学坐在长直木板一端，另一端不动，让长直木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角θ变大)，则选项图中表示该同学受到支持力FN、合外力F合、重力沿斜面方向的分力G1、摩擦力Ff随角度θ的变化关系正确的是( )。
§2.6动态平衡、平衡中临界和极值问题
§2．6 动态平衡、平衡中的临界和极值问题【考点自清】一、平衡物体的动态问题(1)动态平衡：指通过控制某些物理量使物体的状态发生缓慢变化。
在这个过程中物体始终处于一系列平衡状态中。
(2)动态平衡特征：一般为三力作用，其中一个力的大小和方向均不变化，一个力的大小变化而方向不变，另一个力的大小和方向均变化。
(3)平衡物体动态问题分析方法：解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法。
晶品质心_新浪博客解析法的基本程序是：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况。
图解法的基本程序是：对研究对象的状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化(一般为某一角)，在同一图中作出物体在若干状态下的平衡力图(力的平形四边形或三角形)，再由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况。
二、物体平衡中的临界和极值问题1、临界问题：(1)平衡物体的临界状态：物体的平衡状态将要变化的状态。
物理系统由于某些原因而发生突变(从一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态)时所处的状态，叫临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。
(2)临界条件：涉及物体临界状态的问题，解决时一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”等临界条件。
晶品质心_新浪博客平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”。
2、极值问题：极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值。
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
【重点精析】一、动态分析问题【例1】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。
平衡中的临界与极值问题(解析版)
突破5平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
突破临界问题的三种方法(1)【解析】法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
(2)图解法根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
(3)极限法极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”、“极小”、“极右”、“极左”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。
2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或【解析】法进行分析．处理极值问题的两种基本方法(1)【解析】法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法．此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论．学%科网(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法．此法简便、直观．【典例1】倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。
现给A施加一水平力F，如图所示。
设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是()A.3B.2C.1D.0.5【答案】 A【典例2】如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)【答案】：球的重力不得超过G【跟踪短训】1. 将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。
平衡中的临界与极值问题
平衡中的临界与极值问题1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．常见的临界状态有：(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松驰的临界条件为绳中张力为0；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大．研究的基本思维方法：假设推理法．2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析．例1 重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？解析 木块在运动过程中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向的夹角为α时，F 的值最小．木块受力分析如图所示，由平衡条件知：F cos α－μF N ＝0，F sin α＋F N －G ＝0解上述二式得：F ＝μG cos α＋μsin α令tan φ＝μ，则sin φ＝μ1＋μ2，cos φ＝11＋μ2可得F ＝μG cos α＋μsin α＝μG1＋μ2cos (α－φ) 可见当α＝φ时，F 有最小值，即F min ＝μG1＋μ2答案μG 1＋μ2与水平方向成α角且tan α＝μ 解决极值问题和临界问题的方法(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．(2)数学解法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)． 突破训练1 如图1 所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小 ( )图1A ．可能为33mgB ．可能为52mgC ．可能为2mgD ．可能为mg答案 BCD 解析 本题相当于一悬线吊一质量为2m 的物体，悬线OA 与竖直方向夹角为30°，与悬线OA 垂直时外力F 最小，大小为mg ，所以外力F 大于或等于mg ，故B 、C 、D 正确．。
共点力的平衡条件物体平衡的临界与极值问题
例3、如图所示，一个质量为m的物体放在倾角为α的粗糙斜面上，保持静止，现用水平力F推物体，当F 由零增加稍许，而物体仍保持静止，则（ ）
A．斜劈对物块的弹力增大 B．物块所受的合力不变 C．物块受到的摩擦力增大 D．当力F增大到一定程度时，物体会运动
4．ABC（在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，应有物块与斜劈间的最大静摩擦力大 于或等于重力沿斜面向下的分力。用一竖直向下的力F作用于物块上，物块对斜劈的压力增大，则 斜劈对物块的弹力增大，A正确；此时物块与斜劈间的最大静摩擦力仍大于或等于（G＋F）沿斜 面向下的分力，物块不可能运动，D错误；物块所受的合力不变，B正确；实际静摩擦力等于（G ＋F）沿斜面向下的分力，物块受到的摩擦力增大，C正确。）
物体对斜面上的正压力及其所受到的摩擦力
m
θ ▼
m F
θ ▼
F m
θ ▼
F m
θ
→
FN1 = mgcosθ
→
FN2 = mgcosθ
→
FN3 = mgcosθ F
±
→ FN4 = mgcosθ Fsinθ ±
f动=μFN= μ mgcosθ f静= mgsinθ
f动=μmgcosθ f静= |F-mgsinθ|
f动=μ（mgcosθ±F） f静= mgsinθ
f动=μ（mgcosθ±Fsinθ） f静= |mgsinθ-Fcosθ|
例2、如图所示，物体m与斜面体M一起静止在水平面上．若将斜面的倾角θ稍微增大一些，且物体m仍 静止在斜面上，则 ( )
浅谈平衡中的临界和极值问题
、 ／ １ —
１
２
ｔ ｇ ￣ ＝ ／ ｘ ＝ —｛ 二 ＝ ３ ０ 。
Ｖ ３
’ ． ．
ｏ ￣ ＝３ ０。
小范 围。
’
点评 ： 此 题 给 出 了求 解 极 值 问题 的 一 种 方 法 — — 函 数 法 。此 题 中 ， 朋勺 大小 随 的变 化 而 变 化 ，
例３ 如 图４ 所示 ， 质量为 ｍ的球放在倾 角为０ 的光 滑斜 面上 ，试分析挡板Ａ０ 与斜面 间 的倾 角 ｄ 为多 大 时 ， Ａ Ｏ 所受 压力最小？ 解 析 ：以球 为研 究 对 象 ， 球所受 重力， 产 生 的效 果 有 两个 ： 对 斜 面 产 生 了压 力 ， 对挡板产生 了压 力 ， 根据 重力 产生 的效果将重力 分解 ， 如图４ 所示 ， 当挡板 与斜面 的夹角 由图示 位 置变化时 ， 大小改变 ， 但方 向不变 ， 始终 与斜 面垂 直； 的大 小 、 方 向均 改 变 （ 图４ 中 画 出 的一 系 列 虚线 表示变化的 ） 。由图可看出， 当 与 垂直即 ＝ ９ ０ ｏ 时， 挡板Ａ ０ 所受压力最小 ， 最 小 压 力 ． ＝ ｍ ｇ ｓ ｉ ｎ ０ 。 点评 ： 本 题 考 查 分 析 推 理 能 力 及 运 用 数 学 知识 处理物理问题的能力 。部分学生不进行推 理凭 主观 臆断 ，得出挡板处 于竖直状态所受压力最 小的错误 结论 。 还有部分 学生思维不灵活 ， 不采用“ 图解法 ” 而 采用“ 正交分解法” ， 陷入繁琐 的计算和推理过程 中， 往往 由于计算过程出错 ， 导致错误结果 。
一 一
二、 物 体 处 于 匀速 运 动 状 态
例２ 重为Ｇ 的物体放在水平 面上 ， 物体与水平 面 间的动摩擦 因数为 ＝
第六讲平衡物体的临界状态与极值问题Microsoft Word 文档
平衡物体的临界状态与极值问题一、物体的临界状态的分析1、临界状态的特点：在临界状态下常常会出现一些特殊的词语如“恰好、最多、最少、至少”等。
相接处的两物体沿垂直接触面方向恰好分离的临界值是：两物体间的正压力恰好为零；两物体发生相对滑动的临界条件是：两物体间的摩擦力达到最大值；当物体的阻力与物体的运动速度有关时，物体最终的状态是：阻力与物体的动力相等，物体匀速运动。
二、平衡状态下临界问题的求解1、解析法：根据已知条件，列出关于未知物理量函数的解析式，然后根据数学知识求极值——————数学方法例1、如题所示，将质量为M的木块，分成m1和m2两部分，并用细线连接，至于光滑水平面上，通过定滑轮竖直悬挂，试分析应将怎样分割，才能使系统在加速运动的过程中，绳的拉力最大？最大值是多少？例2、如下图所示，重为G的木块，在力F的作用下沿着水平地面匀速前进，若木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，F与水平地面成α角，试说明：若α角超过某临界值时，不论推力F多大，木块都不可能发生滑动，并用μ表示该临界角的大小2、分析临界状态下的已知临界值，然后再根据题意列方程，带入已知值，求的未知值——————物理方法例3、如下图所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，使得BA、AC间的夹角为θ=60°，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的取值范围。
例4、如下图所示，物体A的质量为2kg,与斜面间的动摩擦因数为0.4，要是A在斜面上静止，物体B的质量的最大值和最小值是多少？（设最大静摩擦等于滑动摩擦）例5、如图所示，不计重力的绳AB与竖直夹角为60°轻杆与BC夹角为30°杆可绕C自由转动，若绳能承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大拉力为300N，则在B点最多能挂多种的物体。
例6、1999年11月20日，我国发射了“神舟号”载人飞船，次日载人舱着路陆，试验获得成功，载人舱在即将着陆之前，由于空气阻力作用，有一段匀速下落过程，若空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为K，载人舱的质量为m，则此过程中在人藏的速度为多少？例7、如图所示，用水平力沿水平方向缓慢的拉重为G的物体，试求θ为多少时，拉力F最小，最小值为多少？。
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临界问题是指：当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出
某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。
，至于是“出现”还
平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。
这类问题称为临界问题。
解临界问题的基本方法是
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从
的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。
现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等
【分析】这是一个斜面问题。
当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。
当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界
μ时，重力
重力沿斜面向下的分
重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦
θ≤μ，则物体保持静止；如
tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。