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高三数学 课堂训练2-9人教版

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高三数学 课堂训练9-3人教版

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第9章第3节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验答案：D解析：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．2．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是()A．7 B．5C．4 D．3答案：B解析：由系统抽样知第一组确定的号码是5.3．[2011·福建]某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本．已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B解析：由分层抽样的特点有30∶40＝6∶x，则x＝8，即在高二年级学生中应抽取8人．4．[2012·山东临沂]某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为()A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元答案：C解析：由频率分布直方图可知，11时至12时的销售额占全部销售额的25，即销售额为25×25＝10万元．5. [2012·江南联考]已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：C解析：设x 1，x 2，x 3，x 4的平均值为x ，则 s 2＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2)， ∴4x 2＝16，∴x ＝2，x ＝－2(舍)，∴x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为4， 故选C.6. 已知图1、图2分别表示A 、B 两城市某月1日至6日当天最低气温的数据折线图(其中横轴n 表示日期，纵轴x 表示气温)，记A 、B 两城市这6天的最低气温平均数分别为x A 和x B ，标准差分别为s A 和s B .则( )A. x A >x B ，s A <s BB. x A >x B ，s A <s BC. x A <x B ，s A >s BD. x A <x B ，s A <s B答案：C解析：由图1可得x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝6.25，s 2A ＝16[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.9， 同理由图2可得x B ＝353，s 2B ≈3.47，可知s 2A >s 2B ， 因此x A <x B ，s A >s B .二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2012·山东泰安]商场共有某品牌的奶粉240件，全部为三个批次的产品，其中A ，B ，C 三个批次的产品数量成等差数列，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，则应从B 批次产品中抽取的数量为__________件．答案：20解析：法一：A ，B ，C 三个批次的产品数量成等差数列，其中B 批次的产品数量是2403＝80，由抽取比例是60240＝14，故B 批次的产品应该抽取80×14＝20.法二：抽取的样本数也成等差数列，B 批次的样本数是A 、C 批次样本数的等差中项，故B 批次抽取20件．8．[2011·江苏]某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.答案：165解析：平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴方差s 2＝(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)25＝165. 9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人中只有1 答案：甲解析：x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故填甲． 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．某学校为了了解2012年高考语文科的考试成绩，计划在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类考生200人，体育类考生70人，外语类考生30人，如果要抽120人作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？解：从1200名考生中抽取120人作调查由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10分配．∴300×110＝30(人)，600×110＝60(人)，200×110＝20(人)，70×110＝7(人)，30×110＝3(人)．所以抽取的文科，理科，艺术，体育，外语类考生分别是30人，60人，20人，7人，3人． 11．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图〔每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)〕．(1)求居民收入在[3000,3500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽取多少人？解：(1)月收入在[3000,3500)的频率为0.0003×(3500－3000)＝0.15. (2)∵0.0002×(1500－1000)＝0.1， 0.0004×(2000－1500)＝0.2， 0.0005×(2500－2000)＝0.25， 0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，∴样本数据的中位数为2000＋0.5－(0.1＋0.2)0.0005＝2000＋400＝2400(元)．(3)居民月收入在[2500,3000)的频数为0.25×10000＝2500(人)，再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500,3000)的这段应抽取100×250010000＝25(人)．12. [2011·北京]以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)．用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．故所求概率为P (C )＝416＝14.。

人教版高中数学必修第二册 第九章~第十章 综合测试卷 (含答案)

人教版高中数学必修第二册 第九章~第十章 综合测试卷 (含答案)

人教版高中数学必修第二册第九章~第十章综合测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.现要完成下列两项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是()A.①抽签法,②比例分配的分层随机抽样B.①随机数法,②比例分配的分层随机抽样C.①随机数法,②抽签法D.①抽签法,②随机数法2.若A,B为对立事件,则下列式子中成立的是()A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=0D.P(A)+P(B)=13.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.2B.0.35C.0.3D.0.44.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位:千克)作了测量,并根据所得数据画出了频率分布直方图如图C6-1所示,则这30只宠物狗体重的平均值大约为()图C6-1A.15.5千克B.15.6千克C.15.7千克D.16千克5.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是()A.90分B.91.5分C.91分D.90.5分6.一组样本数据a,3,4,5,6的平均数是b,且不等式x2-6x+c<0的解集为(a,b),则这组样本数据的标准差是()A.1B.2C.3D.27.我国历史上有田忌与齐王赛马的故事:“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹,双方各随机选1匹马进行1场比赛,则齐王的马获胜的概率为()A.23B.13C.12D.568.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例数量不超过7”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体的平均数为3,中位数为4B.乙地:总体的平均数为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体的平均数为2,总体方差为3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)9.给出下列四个说法,其中正确的说法有()A.做100次抛硬币的试验,结果有51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率10.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图C6-2所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,则下列说法中正确的是()图C6-2A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分11.某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了20名肥胖者健身前(如直方图C6-3(1)所示)后(如直方图(2)所示)的体重(单位:kg)变化情况:图C6-3对比数据,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是()A.健身后,体重在区间[90,100)内的人数较健身前增加了2B.健身后,体重原在区间[100,110)内的人员一定无变化C.健身后,20人的平均体重大约减少了8kgD.健身后,原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少12.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12请将选择题答案填入下表:题号12345678总分答案题号9101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)跟踪调查的结果如下:甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:3,3,4,7,9,10,11,12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别采用了平均数、众数、中位数中的哪一个特征数:甲:,乙:.14.如图C6-4是容量为100的样本数据的频率分布直方图,则样本数据落在区间[6,18)内的频数为.图C6-415.已知甲、乙、丙3名运动员射击一次击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,若这3人向目标各射击一次,则目标没有被击中的概率为.16.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,…,9}.若|a-b|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则这两人“心有灵犀”的概率为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数012345概率0.10.16x y0.2z(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,获奖人数最少为3的概率为0.44,求y,z的值.18.(12分)甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6个零件测量其直径,所得数据如下.甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.19.(12分)某校高一年级举行了一次数学竞赛,为了了解参加本次竞赛的学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(取正整数,单位:分)作为样本(样本量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图C6-5所示,已知成绩在[50,60),[90,100]内的频数分别为8,2.(1)求样本量n和频率分布直方图中的x,y的值;(2)估计参加本次竞赛的学生成绩的众数、中位数、平均数.图C6-520.(12分)生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲、乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.21.(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图C6-6所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率的大小,并说明理由.图C6-622.(12分)2020年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分).根据调查数据制成如下表格和如图C6-7所示的频率分布直方图.已知评分在[80,100]内的居民有600人.满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及参与评分的总人数.(2)定义满意度指数η=(满意程度的平均分)/100,若η<0.8,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要进行大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整.(3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在[40,50),[50,60)内)中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6位居民,倾听他们的意见,并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员,求这2人中仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率.图C6-7参考答案与解析1.A[解析]①总体较少,宜用抽签法;②各层间差异明显,宜用分层随机抽样.故选A.2.D[解析]若事件A与事件B是对立事件,则P(A)+P(B)=1.故选D.3.B[解析]∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.4.B[解析]由频率分布直方图可以计算出各组的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,故各组的频数分别为3,6,9,6,3,3,则这30只宠物狗体重的平均值为11×3+13×6+15×9+17×6+19×3+21×330=15.6(千克),故选B.5.D[解析]将这15人的成绩(单位:分)由小到大依次排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,第12,13个数据分别为90分、91分,所以这15人成绩的第80百分位数是90.5分.故选D.6.B[解析]由题意得a+3+4+5+6=5b,a+b=6,解得a=2,b=4,所以样本数据的方差s2=15×[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2,所以标准差s=2.故答案为B.7.A[解析]依题意,记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C.由题意可知,样本空间Ω={aA,bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC},共有9个样本点,其中事件“田忌可以获胜”包含的样本点为aB,aC,bC,共3个,则齐王的马获胜的概率P=1-39=23.故选A.8.D[解析]由于甲地总体数据的平均数为3,中位数为4,即按从小到大排序后,中间两个数据的平均数为4,因此后面的数据可以大于7,故甲地不一定符合.乙地总体数据的平均数为1,因此这10天的新增疑似病例总数为10,又由于方差大于0,故这10天中新增疑似病例数量不可能每天都是1,可以有一天大于7,故乙地不一定符合.丙地总体数据的中位数为2,众数为3,故数据中可以出现8,故丙地不一定符合.丁地总体数据的平均数为2,方差为3,故丁地一定符合.9.CD[解析]对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B 错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选CD.10.ABC [解析]由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,考生人数最多,故A 正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,则不及格的考生人数为4000×0.25=1000,故B 正确;由频率分布直方图可得,平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C 正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D 错误.故选ABC .11.AD[解析]体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人,增加了2人,故A 正确;健身后,体重在区间[100,110)内的频率没有变,但人员组成可能改变,故B 错误;健身后,20人的平均体重大约减少了(0.3×95+0.5×105+0.2×115)-(0.1×85+0.4×95+0.5×105)=5(kg),故C 错误;因为图(2)中没有体重在区间(110,120]内的人员,所以原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少,故D 正确.故选AD .12.ACD[解析]设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2独立;在A 中,“2个球都是红球”为事件A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;在C 中,“2个球中至少有1个红球”的概率为1-P ( )P ( )=1-23×12=23,C 正确;在D 中,2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .13.众数中位数[解析]对甲厂的数据进行分析:该组数据中8年出现的次数最多,故广告中采用了众数;对乙厂的数据进行分析:该组数据最中间的是7年与9年,故中位数是7+92=8(年),故广告中采用了中位数.14.80[解析]由题图知,样本数据落在区间[6,18)内的频数为100×0.8=80.15.0.009[解析]由相互独立事件的概率计算公式知,3人向目标各射击一次,目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009.16.725[解析]从{0,1,2,…,9}中任意取两个数(可重复),该试验共有100个样本点,事件“|a-b|≤1”包含的样本点为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共有28个,所以所求概率P=28100=725.17.解:记事件“在竞赛中,有k 人获奖”为A k (k ∈N,k ≤5),则事件A k 彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,∴P (A 0)+P (A 1)+P (A 2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P (A 5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少为3的概率为0.44,得P (A 3)+P (A 4)+P (A 5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.18.解:(1)由题中数据可得 甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100(cm); 乙=16×(99+100+102+99+100+100)=100(cm).甲2=16×(1+0+4+0+0+9)=73, 乙2=16×(1+0+4+1+0+0)=1.(2)由(1)知两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又 甲2> 乙2,所以乙机床加工零件的质量更稳定.19.解:(1)由题意可知,样本量n=80.016×10=50,y=250×10=0.004,x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03.(2)由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的众数为75分.设样本数据的中位数为m ,因为(0.016+0.03)×10<0.5<(0.016+0.03+0.04)×10,所以m ∈[70,80),所以(0.016+0.03)×10+(m-70)×0.04=0.5,解得m=71,故估计参加本次竞赛的学生成绩的中位数为71分.由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的平均数为55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6(分).20.解:记从甲、乙机床生产的产品中取1件是废品分别为事件A ,B ,则事件A ,B 相互独立,且P (A )=0.04,P (B )=0.05.(1)设“至少有1件废品”为事件C ,则P (C )=1-P ( )=1-P ( )P ( )=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.(2)设“恰有1件废品”为事件D ,则P (D )=P (A )+P ( B )=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.21.解:(1)试验的所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),( 4,3),(4,4),共16个.事件“xy≤3”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,所以小亮获得玩具的概率为516.(2)事件“xy≥8”包含的样本点有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个,所以小亮获得水杯的概率为38,小亮获得饮料的概率为1-516-38=516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.22.解:(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1,即10×(0.075+a)=1,解得a=0.025,设共有n人参与评分,则600 =(0.035+0.025)×10,解得n=1000,即参与评分的总人数为1000.(2)由频率分布直方图知各组的频率分别为0.02,0.04,0.14,0.2,0.35,0.25,所以η=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25100=0.807>0.8,所以该区防疫工作不需要进行大调整.(3)因为0.002×10×1000=20,0.004×10×1000=40,所以评分在[40,50),[50,60)内的居民人数分别为20,40,所以所抽取的评分在[40,50)内的居民人数为20×660=2,将这2人分别记为a,b,所抽取的评分在[50,60)内的居民人数为40×660=4,将这4人分别记为A,B,C,D.从这6人中抽取2人,试验的样本点有ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15个.而“仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内”包含的样本点有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8个,则所求事件的概率为815.。

新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)

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人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量． 【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同， 故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形． 【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确． 【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ， 故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可． 【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一 原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二 原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________． 【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →， 所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍， 即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来． 【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)， 所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． 【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标 ；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)． 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)， 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确． 【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同； 当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.【答案】－17．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】c ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25， 设c ，a 的夹角为α，c ，b 的夹角为θ，又因为cos α＝c ·a |c ||a |，cos θ＝c ·b |c ||b |，由题意知c ·a |a |＝c ·b |b |，即5m ＋85＝8m ＋2025. 解得m ＝2. 【答案】2 三、解答题8．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解析】(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， |a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， |a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.【解析】(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.10．在△PQR 中，PQ →＝(2,3)，PR →＝(1，k )，且△PQR 的一个内角为直角，求k 的值． 【解析】(1)当∠P 为直角时，PQ ⊥PR ， ∴PQ →·PR →＝0，即2＋3k ＝0，∴k ＝－23.(2)当∠Q 为直角时，QP ⊥QR ，易知QP →＝(－2，－3)，QR →＝PR →－PQ →＝(－1，k －3)． 由QP →·QR →＝0，得2－3(k －3)＝0，∴k ＝113.(3)当∠R 为直角时，RP ⊥RQ ，易知RP →＝(－1，－k )，RQ →＝PQ →－PR →＝(1,3－k )． 由RP →·RQ →＝0，得－1－k (3－k )＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k 的值为－23或113或3＋132或3－132.6．4 平面向量的应用一、选择题1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)【解析】F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)． 【答案】D2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24C.34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.【答案】B3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/s D ．12 m/s【解析】由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝104＝226 (m/s)． 【答案】B4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 【答案】B 二、填空题5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳． 【解析】设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．【答案】506．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 【解析】由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →，AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． 【答案】等腰梯形7．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________ km.【解析】如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)． 【答案】3 2 三、解答题 8.如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明：方法一 设正方形ABCD 的边长为1，。

人教版高中数学必修第二册 第九章 统计 单元测试卷 (含答案)

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人教版高中数学必修第二册第九章统计单元测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.从某地区中小学生中抽取部分学生,进行肺活量调查.经了解,该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.抽签法B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样D.随机数法2.从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)分布情况汇总如下表:身高[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数535302010由此表估计这100名学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)()A.119.3B.119.7C.123.3D.126.73.高二(1)班某宿舍有7人,他们的身高(单位:cm)分别为170,168,172,172,175,176,180,则这7个数据的第60百分位数为()A.168B.175C.172D.1764.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b]是其中的一组.已知该组的频率为m,该组上的频率分布直方图的高为h,则|a-b|等于()A.mhB.C.D.m+h5.2020年2月8日,在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中,中国组合隋文静、韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军,这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程、金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分,首先这9位评委给出某对选手的原始分数,评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效评分,7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差6.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到如图C4-1所示的频率分布直方图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数之和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为()图C4-1A.64B.54C.48D.277.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图C4-2所示,则下列说法中正确的是()图C4-2A.支出最高值与支出最低值的比是8∶1B.4至6月份收入的平均数为50万元C.利润最高的月份是2月份D.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同8.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成图C4-3,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.则下列说法中,错误的是()图C4-3A.服药组的指标x的平均数和方差比未服药组的都小B.未服药组的指标y的平均数和方差比服药组的都大C.以统计的频率作为概率,估计患者服药一段时间后指标x低于100的概率为0.94D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)9.“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用,用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位:十公里)的数据绘制了如图C4-4所示的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是()图C4-4A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳10.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出(单位:元)情况,抽取了一个容量为n的样本,将样本数据按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组后所得频率分布直方图如图C4-5所示,其中支出在[50,60]内的学生有60人,则下列说法正确的是()图C4-5A.样本中支出在[50,60]内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生,则一定有600人支出在[50,60]内11.统计某校n名学生某次数学同步练习的成绩(单位:分,满分150分),根据成绩依次分成六组[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到频率分布直方图如图C4-6所示,若不低于140分的人数为110,则下列说法正确的是()图C4-6A.m=0.031B.n=800C.100分以下的人数为60D.成绩在区间[120,140)内的人数超过50%12.某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如图C4-7所示的扇形图,则下列结论正确的是()图C4-7A.“不支持”部分所占的比例是10%B.“一般”部分对应的人数是800C.扇形图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分对应扇形的面积是65πD.“支持”部分对应的人数是1080请将选择题答案填入下表:题号12345678总分答案题号9101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.一组数据按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21,24,其中位数为16,则x=.14.某校为了了解学生收看“空中课堂”的方式,对该校500名学生进行了调查,并把结果绘制成如图C4-8所示的扇形图,那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是.图C4-815.国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动,活动期间进入答题专区,点击“开始答题”按钮后,系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19,则这五位同学答对题数的方差是.16.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图C4-9所示).由图中数据可知a=.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用比例分配的分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为.图C4-9四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)将一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,已知这组数据的中位数为5,求这组数据的平均数与方差.18.(12分)某车站在春运期间为了了解旅客的购票情况,随机调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时,单位为min).下面是对所得数据进行统计分析后得到的频率分布表和频率分布直方图.频率分组频数[5,10)100.10[10,15)10②[15,20)①0.50[20,25]300.30合计1001.00解答下列问题:(1)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图(如图C4-10所示);(2)估计旅客购票用时的平均数.图C4-1019.(12分)某班主任利用周末时间对该班2019年最后一次月考的语文作文分数进行了统计,发现分数都位于20~55之间,现将分数情况按[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55]分成七组后,作出频率分布直方图如图C4-11所示,已知m=2n.(1)求频率分布直方图中m,n的值;(2)求该班这次月考语文作文分数的平均数和中位数.(每组数据用该组区间的中点值作为代表)图C4-1120.(12分)已知甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射击的命中环数如图C4-12所示.(1)求甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差;(2)请根据甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差,分析谁的射击水平高.图C4-1221.(12分)某地区100位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数分别为[0,0.5],4;(0.5,1],8;(1,1.5],15;(1.5,2],22;(2,2.5],25;(2.5,3],14;(3,3.5],6;(3.5,4],4;( 4,4.5],2.(1)列出样本的频率分布表.(2)画出频率分布直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数.(3)当地政府制定了人均月用水量不超过3t的标准,若超过3t则加倍收费,当地政府说,85%以上的居民不超过这个标准,这个解释对吗?为什么?22.(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100户家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成5组,制成了如图C4-13所示的频率分布直方图.(1)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,求全市家庭月均用水量平均数的估计值(精确到0.01);(2)求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值(精确到0.01).图C4-13参考答案与解析1.C[解析]由题意得,最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样,故选C.2.C[解析]设中位数为t,则有5100+35100+30100× -12010=0.5,解得t≈123.3.故选C.3.B[解析]将这7人的身高从小到大排序,可得168,170,172,172,175,176,180.∵7×60%=4.2,∴第5个数据为所求的第60百分位数,即这7个数据的第60百分位数为175.故选B.,所以h= | - |,则|a-b|= ,故选C.4.C[解析]在频率分布直方图中小长方形的高等于频率组距5.A[解析]根据题意可知,不变的数字特征是中位数.故选A.6.B[解析]前两组的频数为100×(0.05+0.11)=16.因为后五组的频数之和为62,所以前三组的频数之和为38,所以第三组的频数为38-16=22.又最大频率为0.32,故第四组的频数为0.32×100=32.所以a=22+32=54.故选B.7.D[解析]由图可知,支出最高值为60万元,支出最低值为10万元,其比是6∶1,故A错误;4至6月份的平均收入为13×(50+30+40)=40(万元),故B错误;利润最高的月份为3月份和10月份,故C 错误;由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同,故D正确.故选D.8.B[解析]服药组的指标x的取值相对集中,方差较小,且服药组的指标x的平均数小于未服药组的指标x的平均数,故选项A中说法正确;未服药组的指标y的取值相对集中,方差较小,故选项B 中说法错误;服药组的指标x值有3个大于100,所以估计患者服药一段时间后指标x低于100的概率为0.94,故选项C中说法正确;未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小,则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5,故选项D中说法正确.故选B.9.BCD[解析]2月跑步里程比1月的小,故A错误;月跑步里程9月最大,故B正确;月跑步里程从小到大对应的月份依次为2月、7月、3月、4月、1月、8月、5月、6月、11月、10月、9月,故月跑步里程的中位数为8月份对应的里程,故C正确;1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.故选BCD.10.BC[解析]由频率分布直方图得,样本中支出在[50,60]内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出不少于40元的人数为0.0360.3×60+60=132,故B正确;n=600.3=200,故C正确;在D中,若该校有2000名学生,则大约有600人支出在[50,60]内,故D错误.故选BC.11.AC[解析]由图可知10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,解得m=0.031,故A正确;因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n=1100.11=1000,故B错误;因为100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为1000×0.06=60,故C正确;对选项D,成绩在区间[120,140)内的频率为0.031×10+0.016×10=0.47<0.5,人数不超过50%,故D错误.故选AC.12.ACD[解析]“不支持”部分所占的比例是1-45%-30%-15%=10%,A正确;“一般”部分对应的人数是2400×15%=360,B不正确;“非常支持”部分对应扇形的面积是π×22×30%=65π,C正确;“支持”部分对应的人数为2400×45%=1080,D正确.故选ACD.13.15[解析]由中位数的定义知 +172=16,∴x=15.14.25[解析]∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占的百分比为1-(25%+70%)=5%,∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%=25.15.2[解析]这五位同学答对题数的平均数 =17+20+16+18+195=18,则方差s2=15×[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=2.16.0.0303[解析]因为10×(0.035+0.020+0.010+0.005+a)=1,所以a=0.030.身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生人数为100×(0.030+0.020+0.010)×10=60,其中身高在[140,150]内的学生中人数为100×0.010×10=10,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为1060×18=3.17.解:因为数据-1,0,4,x,7,14的中位数为5,所以4+ 2=5,解得x=6.设这组数据的平均数为 ,方差为s2,则 =16×(-1+0+4+6+7+14)=5,s2=16×[(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2]=743.18.解:(1)表中缺失的数据分别为①50,②0.10.补全后的频率分布直方图如图所示.(2)估计旅客购票用时的平均数为7.5×0.10+12.5×0.10+17.5×0.50+22.5×0.30=17.5(min).19.解:(1)由频率分布直方图,得=2 ,(0.01+0.03+0.06+ +0.03+ +0.01)×5=1,解得 =0.04, =0.02.(2)该班这次月考语文作文分数的平均数为22.5×0.05+27.5×0.15+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.15+47.5×0.1+52.5×0.05=36.25.因为(0.01+0.03+0.06)×5=0.5,所以该班这次月考语文作文分数的中位数为35.20.解:(1)由折线图可知甲射击10次命中的环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.乙射击10次命中的环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.则x 甲=110×(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7(环).x 乙=110×(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7(环),甲2=110×[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2×4+(6-7)2×2+(8-7)2×2]=1.2,乙2=110×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=5.4.(2)因为x 甲=x 乙, 甲2< 乙2,所以甲的射击稳定性比乙好,故甲的射击水平高.21.解:(1)作出频数分布表,如下.分组频数频率[0,0.5]40.04(0.5,1]80.08(1,1.5]150.15(1.5,2]220.22(2,2.5]250.25(2.5,3]140.14(3,3.5]60.06(3.5,4]40.04(4,4.5]20.02合计1001.00(2)由频率分布表画出频率分布直方图,如图所示.由频率分布直方图得这组数据的平均数=0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02.∵人均月用水量在[0,2]内的频率为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49,在(2,2.5]内的频率为0.25,∴中位数为2+0.5−0.490.25×0.5=2.02.众数为2+2.52=2.25.(3)月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%,即大约有12%的居民月用水量在3t以上,88%的居民月用水量不超过3t,因此政府的解释是正确的.22.解:(1)因为0.06×2×1+0.11×2×3+0.18×2×5+0.09×2×7+0.06×2×9=4.92.因此全市家庭月均用水量平均数的估计值为4.92t.(2)频率分布直方图中,用水量低于2t的频率为0.06×2=0.12.用水量低于4t的频率为0.06×2+0.11×2=0.34.故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为2+0.25−0.120.11≈3.18(t).。

高三数学 课堂训练4-2人教版

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第4章 第2节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A. －2 B. 0 C. 1 D. 2答案：D解析：依题意得a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(x ＋1)，由此解得x ＝2，选D.2. 若点M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( )A. AB →＋BC →＋AC →B. AM →＋MB →＋BC →C. AM →＋BM →＋CM →D. 3AM →＋AC → 答案：C解析：AB →＋BC →＋AC →＝2AC →，与AB →不共线，故排除A ；AM →＋MB →＋BC →＝AC →，与AB →不共线，故排除B ；如图所示，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABDC ，N 为△BCD 的重心，则M 、N 三等分AD ，BM →＝NC →，∴AM →＋BM →＋CM →＝AM →＋(NC →＋CM →)＝AM →＋NM →＝0，与AB →共线，C 符合题意；由图知3AM →＋AC →＝AD →＋AC →，显然与AB →不共线，故排除D.3. [2011·湖北八市调研]向量a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α的正弦值为( )A. 12 B. 19 C.22D.32答案：B解析：依题意得13×13－tan α×cos α＝0，即sin α＝19.4. [2012·广州测试]在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2P C →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A. (－6,21)B. (－2,7)C. (6，－21)D. (2，－7)答案：A解析：由题知，PQ →－P A →＝A Q →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，又因为点Q 是AC 的中点，所以A Q →＝Q C →，所以P C →＝PQ →＋Q C →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，因为BP →＝2P C →，所以BC →＝BP→＋P C →＝3P C →＝3(－2,7)＝(－6,21)．5. [2012·开封市质检]已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A. (－∞，2)B. (2，＋∞)C. (－∞，＋∞)D. (－∞，2)∪(2，＋∞)答案：D解析：若向量a 与向量b 可以作为基底，则向量a 与向量b 不共线，须有m 1≠3m －22，解得m ≠2.6. 在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为( )A. 12B. 23C. 34D. 45答案：C解析：注意到点A ，M ，Q 共线，因此可设CM →＝xCA →＋(1－x )CQ →.又Q 是BC 的中点，因此，C Q →＝12CB →，CM →＝xCA →＋12(1－x )CB →.又CM →＝tCP →，因此有xCA →＋12(1－x )CB →＝t (23CA →＋13CB →)＝2t 3CA →＋t3CB →，所以⎩⎨⎧x ＝2t31－x 2＝t3，由此解得t ＝34，选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·江苏盐城一模]已知向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,3)，OC →＝(m ，m )，若AB →∥AC →，则实数m ＝__________.答案：－1解析：AB →＝(1,2)，AC →＝(m ，m －1)，∵AB →∥AC →， ∴1×(m －1)－2m ＝0，得m ＝－1.8．[2012·宜昌调研]在△ABC 中，点D 满足AD →＝3DC →，BD →＝λBA →＋μBC →，则λμ＝________. 答案：316解析：依题意得BD →－BA →＝3(BC →－BD →)，BD →＝14BA →＋34BC →＝λBA →＋μBC →，故λ＝14，μ＝34，λμ＝316.9. [2012·烟台质检]在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝__________.答案：0或－2解析：∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0； 当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，试以AB →、AC →为一组基底表示AD →＋BD →＋CD →.解：AB →＝(2－1,1＋2)＝(1,3)， AC →＝(3－1,2＋2)＝(2,4)，AD →＝(－3,5)，BD →＝(－4,2)，CD →＝(－5,1)， ∴AD →＋BD →＋CD →＝(－3－4－5,5＋2＋1)＝(－12,8)． 令(－12,8)＝mAB →＋nAC →， 则有m (1,3)＋n (2,4)＝(－12,8)， 即(m ＋2n,3m ＋4n )＝(－12,8)．比较两向量的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8，解之得m ＝32，n ＝－22， ∴AD →＋BD →＋CD →＝32AB →－22AC →.11. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.解：(1)GA →＋GB →＋GO →＝0.(2)显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得P G →∥G Q →，所以有且只有一个实数λ，使P G →＝λGQ →.而P G →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b ，G Q →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a＋(n －13)b ，所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ(n －13)，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.12. [2012·江苏镇江]已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不管t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A 、B 、M 三点共线．(3)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)． 又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2)．又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.。

高中教材练习题及讲解答案数学

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高中教材练习题及讲解答案数学### 高中数学练习题及讲解答案#### 一、基础练习题1. 题目一：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 2 \) 时的导数值。

2. 题目二：解不等式 \( |x - 3| < 5 \) 并表示解集。

3. 题目三：已知 \( a \) 和 \( b \) 是正数，求证\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)。

#### 二、中等难度练习题4. 题目四：计算定积分 \( \int_{1}^{2} (4x - 3) \, dx \)。

5. 题目五：给定圆 \( x^2 + y^2 = 9 \)，求圆上点到直线 \( 2x - y + 6 = 0 \) 的最短距离。

6. 题目六：证明等差数列的前 \( n \) 项和公式 \( S_n =\frac{n(a_1 + a_n)}{2} \)。

#### 三、高难度练习题7. 题目七：已知 \( \sin(x) + \cos(x) = \frac{1}{2} \)，求\( x \) 的值。

8. 题目八：求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的极值点。

9. 题目九：解方程组：\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 4 \\x + y = 2\end{cases}\]#### 四、讲解与答案1. 解答一：首先求导 \( f'(x) = 6x - 2 \)，代入 \( x = 2 \)得 \( f'(2) = 10 \)。

2. 解答二：解不等式得 \( -5 < x - 3 < 5 \)，即 \( -2 < x < 8 \)。

3. 解答三：利用调和平均数的性质，\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2 \times \frac{2ab}{ab} = 4 \)。

高三数学 课堂训练2-9人教版

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第2章 第9节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·杭州学军中学模拟]下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x －12；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)(x x ＋1)′＝1x ＋1， 其中正确的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个答案：B解析：根据导数的求导公式知只有(1)正确，选B. 2. 已知y ＝12sin2x ＋sin x ，则y ′是( )A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 非奇非偶函数 答案：B解析：∵y ′＝12cos2x ·2＋cos x ＝cos2x ＋cos x＝2cos 2x －1＋cos x ＝2(cos x ＋14)2－98.又当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，函数y ′＝2(cos x ＋14)2－98是既有最大值又有最小值的偶函数．3. [2012·厦门质检]曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A. (1,0)或(－1，－4)B. (0,1)C. (1,0)D. (－1，－4) 答案：A解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋1.设P 0(x 0，y 0)．∵曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，∴f ′(x 0)＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 30＋x 0－23x 20＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－4，∴P 0点坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选A.4. 已知曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |答案：C解析：设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝a x ，y ′＝－ax 2，故切线的斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－ax 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点坐标为(0，2ax 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0|×|2ax 0|＝2|a |.5.[2012·重庆南开中学月考试卷]函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. b <c <a 答案：B解析：由题知函数的对称轴为x ＝1.当x >1时，f ′(x )<0；当x <1时，f ′(x )>0，∴c <a <b . 6. [2012·云南一检]点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( )A.22B. 2C. 2 2D. 2 答案：B解析：当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1，∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1，又x 0>0，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝2，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为________．答案：1解析：∵f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝－f ′(π4)×22＋22，∴f ′(π4)＝11＋2＝2－1.故f (π4)＝(2－1)×22＋22＝1.8. 设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．答案：[0，π2)∪[2π3，π)解析：y ′＝3x 2－3≥－3，即倾斜角的正切值的取值范围是[－3，＋∞)，当倾斜角的正切值的取值范围为[0，＋∞)时，倾斜角的取值范围是[0，π2)，当倾斜角的正切值的取值范围为[－3，0)时，倾斜角的取值范围是[2π3，π)，故所求倾斜角的取值范围是[0，π2)∪[2π3，π)． 9. [2012·无锡质检]y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＝__________. 答案：2解析：设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2＋a ，则过切点(x 0，y 0)的切线为y －y 0＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )(x －x 0)＋y 0＝(3x 20＋a )x －2x 3＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋a ＝2，－2x 30＋1＝1，解得x 0＝0，a＝2.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2＋2；(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝x 1－x ＋x 2.解：(1)y ′＝(15x 5)′－(43x 3)′＋(3x 2)′＋(2)′＝x 4－4x 2＋6x .(2)法一：∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(3)y ′＝x ′(1－x ＋x 2)－x (1－x ＋x 2)′(1－x ＋x 2)2＝(1－x ＋x 2)－x (－1＋2x )(1－x ＋x 2)2＝1－x 2(1－x ＋x 2)2.11. [2011·湖北]设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程．解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线． 故f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. 12. 已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解：(1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。

(人教版新课标)高中数学必修2所有课时练习(含答案可编辑)

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第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三） 中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析： 对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。

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第2章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )答案：B解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素.3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (3)的值为( )A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，34)C. [0，34]D. [0，34)答案：D解析：∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <34，当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，34).6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0，14]B. (14，12)C. (14，12]D. [0，38]答案：B解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0，所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤12，又x 0∈A ，所以14<x 0<12.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于__________.答案：2解析：f [1f (3)]＝f (1)＝2.8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；(2)若函数f (x )＝xax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.答案：(1)x 3＋1 (2)2xx ＋2解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(2)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.答案：[－4,6]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2－3)＝lg x 2x 2－6，求f (x )的定义域.解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2x 2－6有意义，只需x 2>6，即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像.解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图像如图所示.12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－178，∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，若0<m ≤1，则t ≥m －2m ，即t ≥－1，若－1≤m <0，则t ≤m －2m ，即t ≤1，综上－1≤t ≤1.。

新人教版新高考高中数学必修第二册全套导学案课后练习题

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平面向量的概念【学习过程】一、问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？二、合作探究探究点1： 向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．解析：AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC→|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③ 探究点2： 向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； （2）AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； （3）BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．探究点3：共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →．（2）与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →． 互动探究1．变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →． 2．变问法：本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →．三、学习小结1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→． ④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示■名师点拨（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．（2）用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ． ■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 四、精炼反馈1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE→平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（ ） ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |． A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC→相等的向量；（2）与OB→长度相等的向量；（3）与DA→共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC→相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB→长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →．（3）与DA→共线的向量为AD →，BC →，CB →．平面向量的应用【第一学时】学习重难点学习目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、合作探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋12b ，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋12a ， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF →＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF→·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 所以AF→⊥DE →，即AF ⊥DE ． 角度二：平面几何中的平行（或共线）问题如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AFFB＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB→＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， 所以FO →＝F A →＋AO→＝13BA →＋12AC → ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ， OE→＝OC →＋CE →＝12AC →＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO→＝OE →． 又O 为FO→和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC的长．解：设AD→＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD→|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2， 所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝6．探究点2：向量在物理中的应用（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形． 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC→|＝|AB →|＝12．5．|AD→|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． （2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）． 所以W 1＝F 1·AB→＝（3，4）·（－13，－15） ＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB→＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）． 三、学习小结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）． 四、精炼反馈1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）． 3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC →＝λAB →（λ＞0且λ≠1），因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP →＝AB →＋12（BD→－AC →） ＝AB→＋12[（AD →－AB →）－（AD →＋DC →）] ＝AB→＋12（CD →－AB →） ＝12（CD →＋AB →）＝12（－λ＋1）AB→， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？二、合作探究探究点1：已知两边及一角解三角形（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ） A ．42 B ．30 C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋（23）2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4． 探究点2：已知三边（三边关系）解三角形（1）在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°（2）在△ABC 中，若（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），则A 等于（ ） A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°解析：（1）在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19，所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC 中的最大角与最小角的和为120°．故选B ．（2）因为（a ＋c ）（a －c ）＝b （b －c ），所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．因为A ∈（0°，180°），所以A ＝60°．答案：（1）B （2）B 探究点3： 判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ． 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 三、学习小结2．余弦定理的推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、精炼反馈1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B．cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12．所以B＝60°，所以A＋C＝120°．2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝60°．3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab ＝________．解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，即c2＝a2＋b2－ab．①又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43． 答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？二、合作探究探究点1：已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．由asin A＝csin C得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b＝c sin Bsin C＝10×sin（A＋C）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．探究点2：已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B，b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．探究点3：判断三角形的形状已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．三、学习小结1．正弦定理2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、精炼反馈1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、合作探究探究点1：测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，由正弦定理，可得BCsin 60°＝ABsin 45°，所以BC＝32×10＝56（海里）．答案：56海里互动探究：变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC＝103．即B，C间的距离为103海里．探究点2测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006（m）．答案：1006互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，∠CBE＝75°，BC＝3002，所以CE＝BC·sin∠CBE＝3002sin 75°＝3002×2＋6 4＝150＋1503．所以tan α＝DCCE＝1006150＋1503＝32－63．探究点3：测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，得AB＝BC sin∠ACBsin∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t，又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）． 所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°， 所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时） 三、学习小结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线． 2．基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 图示南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）四、精炼反馈1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的（ ） A ．东偏北45°10′方向上 B ．东偏北45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上D ．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v＝（）A．60B．80C．100D．125解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34cos β，sin2α＋cos2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos（α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v＝100．4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123tsin 120°＝12tsin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．平面向量的运算【第一课时】向量的加法运算【学习重难点】【学习目标】【核心素养】平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则 和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c ．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；（2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ， 则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算 例2：化简：（1）BC→＋AB →； （2）DB→＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC→＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0． （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0． 探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 三、学习小结即a ＋b ＝AB＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13． 答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →； （2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ， 则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1： 向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）； （2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→． 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→． （2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →． 探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ． 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ． 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c ．法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ． 三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|． 又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|， 所以|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 二、新知探究探究1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）． （2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ． 探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线； （2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→． 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． （2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， 则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1． 探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________； （2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →． （1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1． （2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →，MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）． 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0． 所以2MN→＝DA →＋CB →， 所以MN →＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1． 三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa ）＝（λμ）a ．（2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ． （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． 四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（ ）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ） A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2． 又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线． 因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ） ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →） ＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7． 探究点2： 向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ） A ．3 B ．23C ．4D ．12（2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12． 答案：（1）B （2）B 探究点3： 向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3．答案：（1）π3（2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直， 所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0， 所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0． 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， 所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）， 即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ， 而a ，b ，c 为单位向量， 则a 2＝b 2＝c 2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为。

高三数学 课堂训练_2-5人教版

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第2章 第5节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江百校联考]已知0<a <1，log a (1－x )<log a x ，则( ) A. 0<x <1 B. x <12C. 0<x <12D. 12<x <1 答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x >01－x >x，解得：0<x <12.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0)，若f (a )＝12，则a 的值为( )A.－1B. 2C.－1或12D.－1或 2答案：D解析：由题知，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a ＝12，可得a ＝2或－1.故选D. 3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )答案：B解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b )x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单增，g (x )单增，B 正确；当b >1时，f (x )单减，g (x )单减.故选B.4. 函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A. 2 B. 23 C. 13 D. 1答案：B解析：由题知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a 的最小值为23.故选B.5. 若不等式x 2－log a x <0对x ∈(0，12)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. {a |0<a <1}B. {a |116≤a <1}C. {a |a >1}D. {a |0<a ≤116}答案：B解析：由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈(0，12)时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在(0，12)上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可.当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图，要使x 2<log a x 在x ∈(0，12)上恒成立，需f 1(12)≤f 2(12). 所以有(12)2≤log a 12，解得a ≥116，∴116≤a <1. 6. [2012·东北师大附中摸底考试]若实数a 满足a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，则函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调减区间为( )A. (52，＋∞)B. (3，＋∞)C. (－∞，52)D. (－∞，2)答案： D解析：由于a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，又|y －1|－|y －2|的最大值是1，故a >1.设g (x )＝x 2－5x ＋6，则函数f (x )的定义域是(－∞，2)∪(3，＋∞).又函数g (x )＝x 2－5x ＋6的单调递减区间是(－∞，52)，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调递减区间是(－∞，2).二、填空题(每小题7分，共21分)7. [变式题]函数f (x )＝log 2(2x ＋6)的定义域为________. 答案：[－52，＋∞)解析：由题知log 2(2x ＋6)≥0，即2x ＋6≥1，解得x ≥－52，所以函数f (x )＝log 2(2x ＋6)的定义域为[－52，＋∞).8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________.答案：－1<x ≤0或x >2解析：当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2. 综上所述：－1<x ≤0或x >2.9.设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数的充要条件是________.答案：2≤m ＜3解析：由题意知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可.于是0≤m －2<1，且2m >1，于是2≤m <3.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知y ＝log 4(2x ＋3－x 2). (1)求定义域； (2)求f (x )的单调区间；(3)求y 的最大值，并求取得最大值的x 值. 解：(1)由真数2x ＋3－x 2>0，解得－1<x <3. ∴定义域是{x |－1<x <3}.(2)令u ＝2x ＋3－x 2，则u >0，y ＝log 4u . 由于u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4，考虑到定义域，其增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). 又y ＝log 4u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数， 故该函数的增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). (3)∵u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4≤4，∴y ＝log 4(2x ＋3－x 2)≤log 44＝1.∴当x ＝1，u 取得最大值4时，y 就取得最大值1.11. [2012·辽宁抚顺]已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图像.(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围. 解：(1)设P (x ，y )为g (x )图像上任意一点，则 Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图像上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1). (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可.∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求.12. 定义在R 上的函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )>0.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)判断f (x )的单调性并证明；(3)解不等式：f [log 2(x ＋1x＋6)]＋f (－3)≤0.解：(1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数.(2)f (x )为R 上的单调增函数，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)>f (x 1)，∴f (x )为R 上的单调增函数.(3)∵f (0)＝0且f (x )在R 上单调递增，∴原不等式等价于f [log 2(x ＋1x ＋6)＋(－3)]≤f (0)⇔log 2(x ＋1x ＋6)≤3⇔0<x ＋1x ＋6≤8⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 2＋6x ＋1>0x 2－2x ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0∴原不等式的解集为{x |x ＝1或－3－22<x <－3＋22}.。

高三数学 课堂训练2-7人教版

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第2章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·龙岩质检]函数f (x )＝log 2x －1x 的一个零点落在下列哪个区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)答案：B解析：本小题考查函数零点的求法．∵f (1)·f (2)<0，故选B.2. [2012·汕头学业水平测试]根据表格中的数据，可以判定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的一个值为( )A. 0 C. 2 D. 1答案：D解析：由表可知f (1)·f (2)<0，∴零点在(1,2)内，即k 的一个值为1.3. 若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－2,2) B. [－2,2] C. (－∞，－1) D. (1，＋∞)答案：A解析：函数f (x )有3个不同的零点，即其图像与x 轴有3个不同的交点，因此只需f (x )的极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，故极值为f (－1)和f (1)，f (－1)＝a ＋2，f (1)＝a －2，所以应有(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)，选A.4. [2012·浙江省金华十校模拟]已知a 是函数f (x )＝ln x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)＝0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定 答案：C解析：因为函数f (x )＝ln x －log 12x 是增函数，且f (a )＝0，又0<x 0<a ，所以f (x 0)<0.5. [2012·深圳调研]已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A. x 1<x 2<x 3B. x 2<x 1<x 3C. x 1<x 3<x 2D. x 3<x 2<x 1答案：A解析：令函数f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.6. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2，＋∞)C. (1，34) D. (34，2) 答案：D解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是以4为周期的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的大致图像如图中实线所示，令g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)，则g (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3g (6)>3，即⎩⎨⎧log a 4<3log a 8>3，解得34<a <2.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·山东潍坊]若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是__________．答案：－12，－13解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1，令g (x )＝0，解得x ＝－13或x ＝－12.∴函数g (x )的零点为－12，－13.8. 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是[1,5]，精确度要求是0.001，则需要计算的次数是________．答案：12解析：设需计算n 次，则n 满足42n <0.001，即2n >4000.由于212＝4096，故计算12次就可以满足精确度要求．故填12.9. [2012·河南五市联考]已知m 、n 分别是方程10x ＋x ＝10与lg x ＋x ＝10的根，则m ＋n ＝__________.答案：10解析：在同一坐标系中作出y ＝lg x ，y ＝10x ，y ＝10－x 的图像，设其交点为A ，B ，如图所示．设直线y ＝x 与直线y ＝10－x 的交点为M ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝10－x ，解得M (5,5)．∵函数y ＝lg x 和y ＝10x 的图像关于直线y ＝x 对称，∴m ＋n ＝x A ＋x B ＝2x M ＝10.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．求函数f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出它的大致图像． 解：将f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2分解因式求出零点．∵f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x 2－1)＝(x －2)(x －1)(x ＋1)，∴f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点为－1,1,2.三个零点将x 轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,1)，[1,2]，(2，＋∞)，∵f (0)＝2>0，∴函数f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的大致图像如下图所示．11. 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由．解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0， 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠1.(2)当f (3)＝0时a ＝－15.此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a <－15或a >1.12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点．(2)若对x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0. 又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根， 所以函数f (x )有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2， ∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0， ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根，即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．。

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第2章 第10节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·龙岩质检]已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列四个结论：①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 则其中正确的是( ) A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③答案：A解析：由图像可知函数f (x )在(－3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减，在(7，＋∞)内单调递增，所以①是错误的；②是正确的；③是错误的；④是正确的．故选A.2. [2012·山东烟台一模]已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为( )A. －1B. 0C. 1D. ±1 答案：B解析：由题意易知f (x )＝x 4－2x 2－5.由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，只有f (0)＝－5，故选B.3. [2012·江西七校联考]函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )答案：A解析：令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g (－x )＝cos(－x )－(－x )sin(－x )＝cos x －x sin x ＝g (x )，即函数f ′(x )是偶函数，其图像关于y 轴对称．当0<x <π2时，g ′(x )＝－sin x －(x cos x＋sin x )<0，此时f ′(x )是减函数，因此结合各选项知，选A.4. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为 ( )A ．(－∞，12)∪(12，2)B ．(－∞，0)∪(12，2)C ．(－∞，12)∪(12，＋∞)D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)答案：B解析：由f (x )图像单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)．5. [2011·湖南]设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A. 1B. 12C.52D.22答案：D解析：当x ＝t 时，|MN |＝|f (t )－g (t )|＝|t 2－ln t |，令φ(t )＝t 2－ln t ，∴φ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t，可知t ∈(0，22)时，φ(t )单调递减；t ∈(22，＋∞)时，φ(t )单调递增，∴t ＝22时|MN |取最小值．6. 设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )答案：C解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )， 由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0， 所以y 在R 上单调递减， 又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )． 二、填空题(每小题7分，共21分)7. f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案：6解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6， 若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4， 令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点， 故c ＝2不合题意，所以c ＝6.8. 关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－4,0)解析：由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2，当x <0时f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >0－4－a <0，解得－4<a <0.9. [2012·山东聊城外国语学校一模]一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为s ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后__________秒车停下来，期间列车前进了__________米．答案：30 405解析：s ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝s ′(t )＝0得t ＝30(秒)，期间列车前进了s (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立． 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0. 由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln2a )上单调递减， 而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0.不符合要求． 综合得a 的取值范围为(－∞，12]．11. [2011·南昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2＋bx ＋c (x <1)a ln x (x ≥1)的图像过点(－1,2)，且在x ＝23处取得极值．(1)求实数b ，c 的值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋b ， 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2，f ′(23)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＋c ＝2，－3×49＋43＋b ＝0， 解得b ＝c ＝0. (2)由(1)知：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1).①当－1≤x <1时，f ′(x )＝－x (3x －2)，解f ′(x )>0得0<x <23；解f ′(x )<0得－1≤x <0或23<x <1.∴f (x )在[－1,0)和(23，1)上单减，在(0，23)上单增，由f ′(x )＝－x (3x －2)＝0得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，f (1)＝0，∴f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， ∴f (x )在[1，e]上的最大值为a .∴当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2. 12. [2012·山东烟台一模]已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝ －x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，则当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e，不成立舍去；②0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；③1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立．所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．。

高三数学新课标模拟卷2

高三数学新课标模拟卷2

高三数学新课标模拟卷2一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x+1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角为：A. 90°B. 45°C. 60°D. 30°5. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则该数列的第10项a10为：A. 27B. 28C. 29D. 306. 已知函数f(x)=x^2-4x+5，若f(x)=0，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，那么该椭圆的焦点坐标为：A. (±3, 0)B. (0, ±3)C. (±2, 0)D. (0, ±2)8. 已知双曲线的方程为x^2/16 - y^2/9 = 1，那么该双曲线的渐近线方程为：A. y=±3/4xB. y=±4/3xC. y=±3x/4D. y=±4x/39. 已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=4相交，那么交点的个数为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数f(x)=ln(x+1)，若f(x)>0，则x的取值范围为：A. (-1, 0)B. (0, 1)C. (-∞, -1)D. (-1, +∞)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。

12. 已知函数y=x^2-6x+8，求该函数的对称轴方程为________。

人教版高中数学必修2第九章 9.1 9.1.1 课后课时精练

人教版高中数学必修2第九章 9.1 9.1.1 课后课时精练
A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．下列调查中，适宜采用全面调查的是( ) A．了解一批圆珠笔的寿命 B．了解全国高一年级学生身高的现状 C．考察人们保护海洋的意识 D．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
答案 D
答案
解析 不宜用全面调查的情况有：①个体数目较大，②受客观条件限制， ③具有破坏性．A 具有破坏性，B，C 个体数目均较大，因此都不适合用全面 调查．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用全面 调查，因此 D 正确．故选 D.答案 Nhomakorabea答案
1 2
1 4
答案
解析 因为此简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性为3＝1，所以某 62
一特定小球被抽到的可能性是12.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样
时，每个小球被抽到的可能性均为1；第二次抽取时，剩余 6
5
个小球中每个小
球被抽到的可能性均为1；第三次抽取时，剩余 5
4
个小球中每个小球被抽到的
三、解答题 9．某电视台举行颁奖典礼，邀请 20 名港台、内地艺人演出，其中从 30 名内地艺人中随机选出 10 人，从 18 名香港艺人中随机挑选出 6 人，从 10 名 台湾艺人中随机挑选出 4 人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表 演顺序．
解 第一步：先确定内地艺人：(1)将 30 名内地艺人从 01 到 30 编号，然 后用相同的纸条做成 30 个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个 不透明小筒中摇匀，从中抽出 10 个号签，则相应编号的内地艺人参加演出；
2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间， 从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析，则在这个问题中，5000 名 居民的阅读时间的全体是( )

高考数学总复习高效课时作业2-9理新人教版

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一、选择题1． (2012 年烟台二模 ) 已知x0是函数 f ( x)＝x1x1∈(1， x0)， x2∈( x0，2＋1－x的一个零点，若＋∞) ，则 ()A．f ( x )<0 ，f ( x )<0B．f ( x )<0 ，f ( x )>0 1212C．( 1)>0 ，(x 2)<0D．(x1)>0，(2)>0f x f f f x 分析：易知 f ( x)在(1，＋∞)上递加．∵1<x1<x0<x2，f ( x0) ＝ 0，∴f ( x1)< f ( x0)< f ( x2)，即 f ( x1)<0， f ( x2)>0.答案： B2．若x01x的解，则 x0属于区间()的方程2＝A.2， 112 3，3B. 2 111C.3，2 D. 0，31x分析：原方程等价于＝ x81x令 f ( x)＝8－ x则 f (0)＝1＞0111f3＝2－3＞0f 111＜ 0，2＝－222∴ x011.∈ ，23答案： C3． (2011 年陕西 ) 方程 | x| ＝ cos x在( －∞，＋∞ ) 内 ()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无量多个根分析：求解方程| x| ＝ cos x在 ( －∞，＋∞ ) 内根的个数问题，可转变为求解函数 f ( x)＝| x| 和g( x) ＝ cos x在 ( －∞，＋∞ ) 内的交点个数问题． f ( x)＝| x|和 g( x)＝cos x 的图象如下图．明显有两交点，即原方程有且仅有两个根．答案： C4． (2011 年福建 ) 若对于x的方程x2＋mx＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ()A． ( －1， 1)B．( － 2， 2)C． ( －∞，－ 2) ∪(2 ，＋∞ )D．( －∞，－ 1) ∪(1 ，＋∞)分析：2＝ m－4＞0∴＜－2或＞2m m答案： C5． ( 安徽省“江南十校” 2012年 3月高三联考 ) 已知函数f ( x) ＝cos x( x∈(0 ， 2π )) 有两个不同的零点 x1， x2，且方程f ( x)＝ m 有两个不一样的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列组成等差数列，则实数m 的值为()11A. 2B．－233C. 2D．－2π3π分析：设两个根挨次为α，β(α<β)．而函数y＝f(x)的零点为2， 2，则由图象可π<3π，＋π 3π＝5π5π3得： <<αβ＝ 2π＝＋. ∴可求α，∴ ＝ cos＝－ .2α β2226m62答案： D二、填空题6．函数f ( x) ＝ 3x－7＋ ln x 的零点位于区间( n， n＋1)(n∈N)，则 n＝________．分析： f(2) ＝－ 1＋ ln 2<0，f (3)＝2＋ln 3>0，∴ n＝2.答案： 227．对于x的实系数方程x － ax＋2b＝0的一根在区间[0，1]上，另一根在区间[1 ，2] 上，则分析：令 f ( x)＝ x2－ ax＋2b，据题意知函数在[0 ，1] ，[1 ，2] 内各存在一零点，联合二次函数图象可知知足条件：f （0）≥0b≥0，f（ 1）≤0? 1－a＋ 2b≤0，f （2）≥04－ 2a＋ 2b≥0，在直角坐标系中作出知足不等式的点( a ，b ) 所在的可行域， 问题转变为确立线性目标函数：z ＝ 2 a ＋3 的最优解，联合图形可知当 a ＝ 3， ＝ 1 时，目标函数获得最大值 9.bb答案： 92x ≥2，8． (2011，年北京 ) 已知函数 f ( x ) ＝x若对于 x 的方程 f ( x ) ＝ k 有两个不一样的（ x － 1）3， x ＜ 2.实根，则实数 k 的取值范围是 ________．分析：当 x ＜2 时， f ′(x ) ＝ 3( x － 1) 2≥ 0，说明函数在 ( －∞， 2) 上单一递加，函数的值域是 ( －∞， 1) ，又函数在 [2 ，＋∞ ) 上单一递减，函数的值域是 (0 ，1] ．所以要使方程 f ( x )＝ k 有两个不一样的实根，则 0＜ k ＜ 1.答案： (0 ， 1)9． (2011 年山东 ) 已知函数 f ( x ) ＝ log a x ＋ x － b ( a ＞ 0，且 a ≠1) ．当 2＜ a ＜ 3＜ b ＜4 时，函数*f ( x ) 的零点 x 0∈ ( n ，n ＋ 1) ， n ∈N，则 n ＝ ________． 分析： 令 y 1＝ log x ， 2＝ b － x ，函数 f ( x ) 的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，因为a直线 y ＝ b － x 在 y 轴上的截距 b 知足 3＜ b ＜ 4，联合函数图象，函数f ( x ) 只有一个零点，2且 n 只好是 1 或许 2 或许 3. f (1) ＝ 1－b ＜ 0，f (2) ＝ log a 2＋2－ b ＜ 1＋ 2－ 3＜ 0，f (3) ＝ log a 3＋ 3－ ＞ 1＋ 3－4＞ 0. 依据函数零点存在性定理可得，函数f ( x ) 的零点在区间 (2 ， 3) 内，b故 n ＝ 2.答案： 2三、解答题10．方程 x 3－ 3x ＝ a 有三个实数根，务实数a 的取值范围．分析：设 f ( x ) ＝x 3－3x ，则 f ′(x ) ＝ 3x 2－ 3，当 x ＞ 1 或 x ＜－ 1 时， f ′(x ) ＞ 0，函数 f ( x )在 ( －∞，－ 1) 和(1 ，＋∞ ) 上都递加；当－ 1＜x ＜ 1 时， f ′(x ) ＜0，故 f ( x ) 在 [ － 1，1] 上递减，所以 [ f ( x )] 极大 ＝f ( － 1) ＝2，[ f ( x )] 极小 ＝ f (1) ＝－ 2，所以欲使直线 y ＝a 与 y ＝f ( x ) 的图象有三个交点，只要－ 2＜ a ＜ 2，即当－ 2＜ a ＜ 2 时，方程 x 3－ 3x ＝ a 有三个实数根．1211．已知会合 P ＝ [ 2， 2] ，函数 y ＝ log 2( ax － 2x ＋2) 的定义域为 Q .(1) 若 P ∩ Q ≠ ?，务实数 a 的取值范围；2 21a 的取值范围．(2) 若方程 log ( ax －2x ＋ 2) ＝ 2 在 [ 2， 2] 内有解，务实数分析：(1) 若 ∩ ≠ ?，则在 x 1 内，起码有一个值 x 使得 ax 2－ 2 ＋2＞0 建立， ∈[ ，2]P Q 2 x1－ 22即在 x ∈[ ， 2] 内，起码有一个值x 使得 a ＞2＋ 建立．2xx221 12 1设 μ＝－ x 2＋ x ＝－ 2( x － 2) ＋ 2，当 x 1 时， 1∈[ ，2] μ ∈[－4， ] ，∴ ＞－ 4，22 a所以实数 a 的取值范围是 { a | a ＞－ 4} ．(2) 方程 log 2( ax 2－ 2x ＋ 2) ＝ 2 在[ 1， 2] 内有解，221则 ax － 2x － 2＝ 0 在[ 2， 2] 内有解．1内有值 x 使得 a ＝ 2 2即在 x ∈[ ， 2]＋ 建立，2x 2xμ′＝221121x 2 ＋ ＝2(＋ )－ .x x221 33 当 x ∈[ ， 2] 时， μ′∈[ ， 12] ，∴ a ∈[ ， 12] ，2223 所以实数 a 的取值范围为a ∈[ ， 12] ．212．设 f ( x ) ＝ 3ax 2＋2bx ＋ c ，若 a ＋ b ＋ c ＝ 0， f (0) ＞ 0， f (1) ＞ 0，求证：b(1) a ＞0，且－ 2<a <－ 1；(2) 方程 f ( x ) ＝ 0 在 (0 ， 1) 内有两个相异实根 .证明： (1) 因为 f (0) ＞ 0 ，f (1) ＞ 0，所以 c ＞0， 3a ＋2b ＋ c ＞ 0.由条件 a ＋ b ＋ c ＝0，消去 c ，b则 a ＋ b ＜ 0， 2a ＋b ＞ 0，∴ a ＞ 0，故－ 2＜ a ＜－ 1.2b 3ac －b 2b(2) 抛物线 f ( x ) ＝3ax ＋ 2bx ＋c 的极点坐标为－3a ， 3a. 在－ 2<a <－ 1 的两边同乘以11 b 2－3，得3<－3a<3.又因为 f (0)＞ 0，f (1) ＞ 0，而f－b＝－a2＋c2－ ac3a＜ 0，3a所以方程 f ( x)＝0在区间b与b， 1内分别有一实根．0，－3－3a a故方程 f ( x)＝0，在(0，1)内有两个相异实根．。

高三数学 课堂训练9-4人教版

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高三数学课堂训练9-4人教版第9章第4节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．观察下列各图形：其中两个变量x、y具有相关关系的图是( ) A．①② C．③④ 答案：C解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①②是不相关的，而③④是相关的．2. [2021・江西八校联考]在2021年3月15日那天，南昌市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 销售量y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5 B．①④ D．②③^通过散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线的方程是y＝－3.2x＋a，则a＝( )A. －24 C. 40.5 答案：D11解析：由题意得到x＝×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y＝×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，且回归直线55必经过点(x，y)＝(10,8)，则有8＝－3.2×10＋a，a＝40，选D.3. [2021・山东]某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元) 销售额y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 B.35.6 D. 40^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A. 63.6万元 C. 67.7万元答案：B解析：据表可得x＝B. 65.5万元 D. 72.0万元4＋2＋3＋5749＋26＋39＋547＝，y＝＝42，因为回归直线过样本中心点(，42)，4242^^^^且b＝9.4，∴a＝9.1.即回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝65.5万元，故选B.4．[2021・山东烟台]下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5 ^根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y ＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为( ) A. 3 C. 3.5 答案：A解析：样本中心点是(x，y)，即(4.5，解得t＝3.5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A．若K2的观测值为K2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误 D．以上三种说法都不正确答案：C6．[2021・江西]变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )感谢您的阅读，祝您生活愉快。

新人教版-实验数学教材高三数学第9课时 练习二(1)

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第一单元两、三位数乘一位数第9课时练习二（1）教学内容：教材第15页第1-7题。

教学目标：1.熟练掌握两、三位数乘一位数乘法的笔算方法。

2.能运用所学知识，熟练解决实际问题，提高解决问题的灵活性。

3.经历与他人交流各自算法的过程，提高学生口头表达能力，培养学生学会合作学习。

教学重点：熟练掌握两、三位数乘一位数乘法的笔算方法。

教学难点：熟练掌握两、三位数乘一位数乘法的笔算方法，并理解算理。

教学准备：课件。

教学过程：一、复习回顾，再现新知。

同学们，我们刚刚学习完了两、三位数乘一位数的计算，对于笔算乘法，你认为需要注意什么？（学生独立思考，并与同伴交流。

找个别同学说一说，用自己的语言归纳出竖式计算的计算法则和注意事项，其余的同学对其中进行补充。

）二、分层练习，巩固提高。

1. 基本练习。

期刊发表详细问题了解下！（1）我是口算小能手。

（练习二第1题）出示口算卡片，开火车。

随机选出几道题让孩子说说自己怎么算的。

（2）用竖式计算。

（练习二第2题）37×2= 73×2= 329×3= 293×3=让学生以比赛的形式进行，找四名同学板演，找其他同学进行评价，反馈。

（3）火眼金睛：（练习二第3题）先让学生同桌进行交流指正，然后指名回答。

2. 综合练习，应用新知。

（1）练习二第5题。

先让学生观察表格，说一说从表格中能获取到哪些信息？再说说解题的方法。

最后让学生独立完成，集体订正。

（2）练习二第6题。

先让学生读题，然后说一说你从题目中获取到哪些信息？问题是什么？你打算如何解答？为什么？学生独立解答，集体订正。

（3）练习二第7题。

先让学生读题，同桌交流。

教师注意巡视指导，要注意学生的语言表达的完整性。

指名回答，其它同学可以补充。

三、课堂小结。

通过这节课的练习，你有那些收获？板书设计：2. 74 146 987 8793. 找错略,改正如下。

2 8 1 13 1 5 2× 3 ×7 × 48 4 7 9 1 6 0 84. 84 166 248 85 1065 2739 946 20845. 78 60 726. 114×5=570(分)7. 300×4=1200,318×4>1200,能都有座位。

高三数学 课堂训练2-11人教版

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第2章 第11节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176 B.143 C.136 D.116答案：A解析：s ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )21＝176. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16答案：A解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)21＝56. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案：C解析：如右图，⎠⎛2f (x )d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 310＋(2x －12x 2)21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56.4. 若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要做的功为( ) A. 0.05 J B. 0.5 J C. 0.25 J D. 1 J答案：B解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100 N/m ，则F＝100x ，所以W ＝∫0.10100x d x ＝50x 2| 0.10＝0.5 J ．故选B.5. [2011·湖南]由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A. 12 B. 1 C.32D. 3答案：D解析：封闭图形的面积S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝2×sin x | π30＝2(sin π3－sin0)＝3，∴选D.6. [2012·海南华侨中学统考]如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A. 23B. 25 C. 13 D. 14答案：D解析：S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13，S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为最小值点，此时S (t )min ＝14.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·广东一模]已知f (x )是偶函数，且⎠⎛05f (x )d x ＝6，则⎠⎛5－5f (x )d x ＝________.答案：12解析：因为⎠⎛5－5f (x )d x ＝⎠⎛0－5f (x )d x ＋⎠⎛05f (x )d x ，又函数f (x )为偶函数，所以⎠⎛0－5f (x )d x ＝⎠⎛05f (x )d x ，∴⎠⎛5－5f (x )d x ＝6＋6＝12，故填12.8. [2012·安徽合肥第一次质检]函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积等于__________．答案：43解析：由f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，得f ′(1)＝2， 故在点(1,2)处的切线方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得x ＝0或x ＝2. 于是，围成的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x＝(x 2－13x 3)| 20＝4－83＝43. 9. [2012·福州质检]已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．答案：－1解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列定积分：(1)⎠⎛12(x －1x )d x ；(2)∫π20cos2xcos x －sin x d x .解：(1)⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )| 21＝32－ln2. (2)∫π20cos2xcos x －sin xd x ＝∫π20(cos x ＋sin x )d x＝(sin x －cos x )| π20＝2.11．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积S .解：解法一：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x .得A (1,1)． 过A 点作直线x ＝1将阴影部分分割成两部分，所以S ＝3·(1－13)－⎠⎛1131x d x ＋S Rt △ABC ＝4－ln3.解法二：以y 为积分变量S ＝⎠⎛13(y －1y )d y ＝(12y 2－ln y )31＝4－ln3. 12. 对于函数f (x )＝bx 3＋ax 2－3x .(1)若f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值，且f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，试求实数t 的取值范围；(2)若f (x )为实数集R 上的单调函数，且b ≥－1，设点P 的坐标为(a ，b )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：(1)∵f (x )＝bx 3＋ax 2－3x ， ∴f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3.∵f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值， ∴x ＝1和x ＝3是f ′(x )＝0的两个根， ∴⎩⎨⎧1＋3＝－2a3b，1×3＝－33b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13， ∴f ′(x )＝－x 2＋4x －3.∵f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，∴f ′(x )≤2sin t cos t －23cos 2t ＋3对x ∈R 恒成立，而f ′(x )＝－(x －2)2＋1，其最大值为1，故2sin t cos t －23cos 2t ＋3≥1，∴2sin(2t －π3)≥1，∴kπ＋π4≤t ≤kπ＋7π12，k ∈Z .(2)当b ＝0时，由f (x )在R 上单调，知a ＝0.当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立，或者f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3，∴Δ＝4a 2＋36b ≤0，可得b ≤－19a 2.从而知满足条件的点P (a ，b )在直角坐标平面aOb 上的轨迹所形成的图形是由曲线b ＝－19a 2与直线b ＝－1所围成的封闭图形． 其面积为S ＝⎠⎛3－3(1－19a 2)d a ＝(a －a 327)| 3－3＝4.。

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第2章 第9节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. [2012·杭州学军中学模拟]下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x －12；
(2)(a x )′＝a 2ln x ；
(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)(x x ＋1)′＝1x ＋1， 其中正确的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
答案：B
解析：根据导数的求导公式知只有(1)正确，选B. 2. 已知y ＝1
2sin2x ＋sin x ，则y ′是( )
A. 仅有最小值的奇函数
B. 既有最大值又有最小值的偶函数
C. 仅有最大值的偶函数
D. 非奇非偶函数 答案：B
解析：∵y ′＝1
2cos2x ·2＋cos x ＝cos2x ＋cos x
＝2cos 2x －1＋cos x ＝2(cos x ＋14)2－9
8
.
又当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，函数y ′＝2(cos x ＋14)2－9
8是既有最大值又有最小值的偶
函数．
3. [2012·厦门质检]曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )
A. (1,0)或(－1，－4)
B. (0,1)
C. (1,0)
D. (－1，－4) 答案：A
解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋1.设P 0(x 0，y 0)．∵曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平
行于直线y ＝4x －1，∴f ′(x 0)＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 3
0＋x 0－23x 20＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－1
y 0
＝－4，
∴P 0点坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选A.
4. 已知曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )
A ．2a 2
B ．a 2
C ．2|a |
D ．|a |
答案：C
解析：设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝a x ，y ′＝－a
x 2，故切线的斜率为－
a x 20，切线方程为y －a x 0＝－a
x 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点坐标为(0，2a
x 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形
的面积为12×|2x 0|×|2a
x 0
|＝2|a |.
5.[2012·重庆南开中学月考试卷]函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (1
2
)，c ＝f (3)，则( )
A. a <b <c
B. c <a <b
C. c <b <a
D. b <c <a 答案：B
解析：由题知函数的对称轴为x ＝1.当x >1时，f ′(x )<0；当x <1时，f ′(x )>0，∴c <a <b . 6. [2012·云南一检]点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( )
A.
2
2
B. 2
C. 2 2
D. 2 答案：B
解析：当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1，∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－
1
x 0＝1，又x 0>0，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为2
2
＝2，故选B.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. 已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π
4)的值为________．
答案：1
解析：∵f (x )＝f ′(π
4)cos x ＋sin x ，
∴f ′(x )＝－f ′(π
4)sin x ＋cos x ，
∴f ′(π4)＝－f ′(π4)×22＋22，
∴f ′(π4)＝11＋2＝2－1.
故f (π4)＝(2－1)×22＋22
＝1.
8. 设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2
3上的任意一点，曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则角
α的取值范围是__________．
答案：[0，π2)∪[2π
3
，π)
解析：y ′＝3x 2－3≥－3，即倾斜角的正切值的取值范围是[－3，＋∞)，当倾斜角的正切值的取值范围为[0，＋∞)时，倾斜角的取值范围是[0，π
2)，当倾斜角的正切值的取
值范围为[－3，0)时，倾斜角的取值范围是[2π3，π)，故所求倾斜角的取值范围是[0，π
2)∪
[2π
3
，π)． 9. [2012·无锡质检]y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＝__________. 答案：2
解析：设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2＋a ，则过切点(x 0，y 0)的切线为y －y 0＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )(x －x 0)＋y 0＝(3x 20＋a )x －2x 3
＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧
3x 20＋a ＝2，
－2x 3
0＋1＝1，
解得x 0＝0，a
＝2.
三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－4
3x 3＋3x 2＋2；
(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝x 1－x ＋x 2
.
解：(1)y ′＝(15x 5)′－(4
3
x 3)′＋(3x 2)′＋(2)′
＝x 4－4x 2＋6x .
(2)法一：∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.
法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.
(3)y ′＝x ′(1－x ＋x 2)－x (1－x ＋x 2)′(1－x ＋x 2)2
＝(1－x ＋x 2)－x (－1＋2x )(1－x ＋x 2)2＝1－x 2(1－x ＋x 2)2
.
11. [2011·湖北]设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程．
解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，
由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线． 故f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，
由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝5.
所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. 12. 已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解：(1)因为f ′(x )＝2x －8
x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.
又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)
x
，
又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．
又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲
使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≥2
a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.
(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，
令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .
因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．
又h ′(x )＝4x －8
x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，
所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.
即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。

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