全国高三高中数学专题试卷带答案解析

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全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.4.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE ∥平面PAD;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC;(2)BC ⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA ⊥平面ABCD,PA=2,M 、N 分别为PB 、PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD;(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q 的平面角的余弦值.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD 、EF 的中点.(1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF. 14.如图所示,四棱锥E ABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB ⊥ED;(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN ⊥AC;(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E 在棱PC 上,=λ,若DE ∥平面PAB,求λ的值.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF,所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF. ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,即∠A 1B 1F=∠AA 1B,故BA 1⊥B 1F.所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角.在矩形AA 1B 1B 中,AB=,AA 1=2,得BH=.在Rt △BHC 1中,BC 1=2,BH=,得sin ∠BC 1H==.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,所以OBDE,OG=OD=2.同理,设G′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OCDF,OG′=OD=2. 又由于G 和G′都在线段DA 的延长线上,所以G 与G′重合.在△GED 和△GFD 中,由OB DE 和OC DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S △OBE =,而△OED 是边长为2的正三角形,故S △OED =.所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED =.过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F OBED 的高,且FQ=,所以=FQ·S 四边形OBED =. 3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）8【解析】解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.·PD,(3)==S△DBC=6,PD=4,又S△DBC所以=8.4.如图,四棱锥P ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB.又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF,同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,因此MN⊥平面EFG,又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:法一连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.(2)解:连接BN,如图所示,由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC.又A′N=B′C′=1,故====.8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DM∥EF.又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥平面A′DE.(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接CE,因为∠ABC=120°,在△BCE中,可得CE= a.在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E的中点N,连接NM,NF,则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,则cos∠FMN=,所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）见解析（2）30°（3）存在，2∶1【解析】(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.解:(2)设正方形边长为a,则SD=a,又OD=a,所以∠SDO=60°,连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P AC D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角P AC D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE;(2)求证:AM⊥平面ADF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)法一连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD交于点Q.在△ACE中,Q为AC中点,P为AE中点,∴PQ∥CE.又PQ⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,∵Q、G分别为BD、BA的中点,∴QG∥AD.又∵AD∥BC,∴QG∥BC,∵QG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴QG∥平面BCE.同理可证,PG∥平面BCE.又PG∩QG=G,∴平面PQG∥平面BCE,∴PQ∥平面BCE.(2)∵M为EF中点,∴EM=MF=EF=AB=2,又AB∥EF,∴四边形ABEM是平行四边形,∴AM=BE=2.在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,∴AM⊥AF.又DA⊥平面ABEF,AM⊂平面ABEF,∴DA⊥AM.∵DA∩AF=A,∴AM⊥平面ADF.14.如图所示,四棱锥E ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB⊥ED;(2)线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,∵EA=EB,∴EO⊥AB,∵AB∥CD,AB=2CD,∴BO CD.又因为AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,所以AB⊥DO.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.(2)解:存在满足条件的点F,=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.因为F为EA中点,所以FG AB,因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为DF⊄平面BCE,CG⊂平面BCE,所以DF∥平面BCE.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.【答案】（1）(3+)a2（2）见解析（3）见解析【解析】解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴FD⊥AC.又DN∩FD=D,∴AC ⊥平面FDN,又GN ⊂平面FDN,∴GN ⊥AC.(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.∵G 是DF 的中点,∴GHCD. 又M 是AB 的中点,∴AM CD.∴GH ∥AM 且GH=AM, ∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH. ∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC, ∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.【答案】（1）见解析（2）当x=3时,有最大值,最大值为3 【解析】(1)证明:取AF 的中点Q,连接QE 、QP,则QP DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC,所以QP EC,即四边形PQEC 为平行四边形,所以CP ∥EQ,又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF,故CP ∥平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.故=··2·(6-x)·x=(6x-x 2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3,∴当x=3时,有最大值,最大值为3.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)连接AC 1,BC 1,则AN=NC 1,因为AM=MB,所以MN ∥BC 1.又BC 1⊂平面BCC 1B 1,MN ⊄平面BCC 1B 1,所以MN ∥平面BCC 1B 1.(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面,A 到A′的位置,此时A′BCB 1为菱形,可知PA+PC=PA′+PC,A′C 即为PA+PC 的最小值,此时BB 1⊥A′C, ∴BB 1⊥PA′,BB 1⊥PC,即BB 1⊥PA,BB 1⊥PC, ∴BB 1⊥平面PAC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)∵E 、H 分别是PA 、AB 的中点,∴EH ∥PB.又EH ⊂平面EFH,PB ⊄平面EFH,∴PB ∥平面EFH.(2)∵PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥AB.又∵AB ⊥AD,PA∩AD=A,∴AB ⊥底面PAD.又∵PD ⊂平面PAD,∴AB ⊥PD.Rt △PAD 中,PA=AD=2,F 为PD 的中点, ∴AF ⊥PD.又∵AF∩AB=A,AF ⊂平面AHF,AB ⊂平面AHF,∴PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.【答案】（1）见解析（2）60°（3）【解析】(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,∴BD=2,BC=4,∴DC=2,则BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,∵PD⊥平面ABCD,∴BD⊥PD,而PD∩CD=D,∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内,∴BD⊥PC.解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,∴FG⊥平面PDC,∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,∴tan∠FDG=,∴∠FDG=60°.∴直线AB与平面PDC所成角为60°.(3)连接EF,∵DF∥AB,∴DF∥平面PAB.∵DE∥平面PAB,∴平面DEF∥平面PAB,∴EF∥AB,如图所示,∵AD=1,BC=4,BF=1,∴==,∴=,即λ=.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．45.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．3.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．三、解答题1.如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(3)当四棱锥P-ABCD 的体积等于时，求PB 的长．3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】A【解析】过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②【答案】C【解析】由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β【答案】B【解析】根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故选B.5.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确．二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．【答案】①②【解析】由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．【答案】①③【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.3.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．【答案】【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，t＝AK＝＝1；当F运动到C点时，在Rt△ADF中，易得AF＝，且AG＝，GF＝，又易知Rt△AGK∽Rt△ABF，则，又AB＝2，AK＝t，则t＝.∴t的取值范围是.三、解答题1.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.【答案】见解析【解析】(1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．【答案】【解析】(1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.(2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴S＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.菱形ABCD∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA ⊥AB .在Rt △PAB 中，PB ＝＝＝.3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】(1)法一因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2.所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .法二因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D .如图1，取AB 的中点G ，连接DG .图1在△ABD 中，由AB ＝2AD ，得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .(2)如图2，连接AC ，A 1C 1.设AC ∩BD 于点E ，图2连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .。

高三数学试题及解析答案

高三数学试题及解析答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)的性质。

选项A是偶函数，选项B是偶函数，选项D是偶函数，只有选项C满足奇函数的定义。

因此，正确答案是C。

2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5的值。

解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

将已知条件代入公式，得到a5 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14。

3. 计算下列积分：∫(3x^2 - 2x + 1)dx解析：根据积分的基本公式，我们可以计算出：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C4. 已知圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标和半径。

解析：圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。

根据题目给出的方程，圆心坐标为(3, 4)，半径为5。

二、填空题（每题4分，共12分）1. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，求cosθ的值。

答案：根据勾股定理，cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 -(3/5)²) = 4/5。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。

答案：将x=2代入函数f(x)，得到f(2) = 2³ - 2×2² + 3×2- 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2。

3. 求方程2x + 5 = 7x - 3的解。

答案：将方程化简，得到5x = 8，解得x = 8/5。

三、解答题（每题18分，共54分）1. 解不等式：|x - 3| < 2。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．3.已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．4.求曲线y ＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程． 5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sin x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a 、b 的值． 11.已知M ＝，N ＝，向量α＝.(1)验证：(MN )α＝M (Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN ＝NM .12.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A，B，C.求△ABC 在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．17.如图所示，四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD变成四边形AB′C′D的变换矩阵M.18.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ.19.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程．20.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．【答案】A′(2，0)【解析】矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．【答案】【解析】＝，解得3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．【答案】【解析】将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．【答案】x＝【解析】设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．【答案】点(0，5)【解析】设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．【答案】2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 【解析】变换矩阵为，任取椭圆上一点(x 0，y 0)，则＝，令则又点(x 0，y 0)在椭圆F 上，故＝1，所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，即F′的解析式为2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．【答案】y ＝2sin2x 【解析】MN ＝＝，设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y′)．则＝，所以即代入y ＝sinx 得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x.8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sinx 变为曲线C ，求曲线C 的方程．【答案】y ＝sinx 【解析】MN ＝＝，设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有＝，即所以又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝sinx 上，故y 0＝sinx 0，从而y ＝sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．【答案】（1）（2）x －y －4＝0.【解析】(1)不妨设M＝，则由题意得＝，＝，所以故M＝.(2)取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则＝＝，即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a、b的值．【答案】a＝2，b＝3.【解析】(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.(解法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因为(x′，y′)在直线m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y －4＝0.又点(x，y)在直线x＋y＋2＝0上，所以，解得a＝2，b＝311.已知M＝，N＝，向量α＝.(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN＝NM.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝，所以(MN)α＝M(Nα)．(2)因为MN＝，NM＝，所以这两个矩阵不满足MN＝NM.12.在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A，B，C.求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．【答案】【解析】因为＝，＝，＝，所以A ，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′，B′，C′.故S △A′B′C′＝A′C′|y B ′|＝13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.【答案】1【解析】由题设得MN ＝，∴·＝，·＝，·＝.可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．可得△O′A′B′的面积为1.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．【答案】2x ＋y ＋1＝0 【解析】由题设得MN ＝＝.设(x ，y)是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有＝，即＝，所以. 因为点(x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0. 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．【答案】（1）（2）(1，0)【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)，由＝＝，得，又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意解得(2)A ＝，得解得y 0＝0.又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1，故点P 的坐标为(1，0)．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．【答案】(k ，2k) 【解析】由＝，得而x ＋y ＝k ，所以(k 为常数)，所以直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k ，2k)．17.如图所示，四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .【答案】【解析】该变换为切变变换．设矩阵M ＝，由图知，C C′，则＝.所以3k －2＝3，解得k ＝.所以，M ＝.18.已知矩阵M ＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M 作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ. 【答案】（1）（2）【解析】(1)因为3α＋β＝3＋＝＋＝，所以M＝＝.(2)4Mα－5Mβ＝M (4α－5β)＝＝.19.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．【答案】x ＋4＝0 【解析】设M ＝，则有＝，＝，∴，且，解得和，∴M ＝，∵＝＝，且m ：2x′－y′＝4，∴2(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋4＝0，∴直线l 的方程为x ＋4＝0.20.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．【答案】（1）（2）x ＋y ＋2＝0【解析】(1)设M＝，则有＝，＝，所以且解得和所以M＝.(2)因为＝＝且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，即直线l的方程为x＋y＋2＝0.。

高三数学试卷及答案解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 函数y=2x-3在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数2. 已知复数z满足|z+1|=|z-1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 下列命题中正确的是（）A. 函数y=x^2在x=0处可导B. 函数y=lnx在x=1处不可导C. 函数y=|x|在x=0处可导D. 函数y=1/x在x=0处可导4. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=（）A. a1+(n-1)dB. a1-d+(n-1)dC. a1+(n-1)d/2D. a1-d/2+(n-1)d5. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(1,2)，则a、b、c 的取值分别为（）A. a>0，b=-2，c=2B. a>0，b=2，c=2C. a>0，b=-2，c=-2D. a>0，b=2，c=-26. 已知直线l：2x+y-1=0与圆x^2+y^2=4相交于A、B两点，则弦AB的中点坐标为（）A. (1,0)B. (0,1)C. (2,0)D. (0,2)7. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 118. 若函数y=lnx在区间[1,e]上的导数大于0，则e的取值范围是（）A. e>1B. e>2C. e>3D. e>49. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an=2^n-1，则Sn=（）A. 2^n-1B. 2^n-2C. 2^n-3D. 2^n-410. 若log2x+log2y=log2(4xy)，则x和y的取值范围是（）A. x>0，y>0B. x>1，y>1C. x<1，y<1D. x>1，y<111. 已知函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则第n项an=（）A. a1q^(n-1)B. a1q^nC. a1/q^(n-1)D. a1/q^n二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数y=3x^2-4x+1的顶点坐标为______。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（2015•深圳校级模拟）用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程x 2+ax+b=0没有实根B ．方程x 2+ax+b=0至多有一个实根C ．方程x 2+ax+b=0至多有两个实根D ．方程x 2+ax+b=0恰好有两个实根2.已知，且，则的最小值为（）A ．5B ．7C ．8D ．9二、填空题设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n =_____．三、解答题1.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．2.如图所示,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为AB,DF 的中点.(1)若CD=2,平面ABCD ⊥平面DCEF,求MN 的长; (2)用反证法证明:直线ME 与BN 是两条异面直线.3.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x ＞0，都有f ′(x)＞．（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.（2015•深圳校级模拟）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【答案】A【解析】直接利用命题的否定写出假设即可．解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．【考点】反证法与放缩法．2.已知，且，则的最小值为（）A．5B．7C．8D．9【答案】D【解析】由题意得，，所以，当且仅当时，即等号是成立的，故选D.【考点】基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中，由，两边同除以，得，即可化为，利用基本不是求解最值，解答中注意灵活运用条件.二、填空题设Sn 是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=_____．【答案】【解析】因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．【考点】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．三、解答题1.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【答案】（1）可达8天;（2）a的最小值为．【解析】（1）根据题中条件每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系已经给出，则易得一次喷洒4个单位的净化剂时的函数关系式：，这样就得到一个分段函数，对分段函数的处理常用的原则：先分开，现合并，解两个不等式即可求解; （2）中若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，根据题意从第6天开始浓度来源与两方面，这是题中的难点，前面留下的为：，后面新增的为：，所得化简即可得到：，结合基本不等式知识求出最小值，最后解一个不等式：，即可求解．试题解析：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度则当时，由，解得，所以此时． 3分当时，由解得，所以此时．综合得，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． 7分（2）设从第一次喷洒起，经x（）天，浓度． 10分因为，而，所以，故当且仅当时，y有最小值为.令，解得，所以a的最小值为． 14分【考点】1.实际应用问题;2.分段函数;3.基本不等式．2.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)解:取CD的中点G,连结MG,NG.因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因为平面ABCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.所以MN==.(2)证明:假设直线ME与BN共面,则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由题意知两正方形不共面,故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB ∥EN.又AB ∥CD ∥EF,所以EN ∥EF, 这与EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立. 所以ME 与BN 不共面,它们是异面直线.3.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x ＞0，都有f ′(x)＞．（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．【答案】（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；（Ⅲ）f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n ).【解析】（Ⅰ）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x ＞0，则xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.（Ⅱ）要证明f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)，可以从第（Ⅰ）的结论入手，∵x 1＞0，x 2＞0，∴0＜x 1＜x 1＋x 2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则F(x 1)＜F(x 1＋x 2)，即＜，而x 1＞0，所以f(x 1)＜f(x 1＋x 2)，同理f(x 2)＜f(x 1＋x 2)，两式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)，得证.（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x 1，x 2，…，x n ∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )．证明的方法同（Ⅱ）的证明，∵x 1＞0，x 2＞0，…，x n ＞0，∴0＜x 1＜x 1＋x 2＋…＋x n ．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，F(x 1)＜F(x 1＋x 2＋…＋x n )，即＜，而x 1＞0，所以f(x 1)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，同理f(x 2)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，……f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，以上n 个不等式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，得证.试题解析：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝．∵f ′(x)＞，x ＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，∴F′(x)＞0．故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．（Ⅱ）∵x 1＞0，x 2＞0，∴0＜x 1＜x 1＋x 2．由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数， ∴F(x 1)＜F(x 1＋x 2)，即＜．∵x 1＞0，∴f(x 1)＜f(x 1＋x 2)．同理可得f(x 2)＜f(x 1＋x 2)．以上两式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)．（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x 1，x 2，…，x n ∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )． ∵x 1＞0，x 2＞0，…，x n ＞0， ∴0＜x 1＜x 1＋x 2＋…＋x n ．由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x 1)＜F(x 1＋x 2＋…＋x n )，即＜．∵x 1＞0，∴f(x 1)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )．同理可得 f(x 2)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )， f(x 3)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，…… f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )．以上n 个不等式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )．【考点】1.利用导数求单调性；2.利用函数单调性证明不等式.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．其中正确的命题是________．(填序号)5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________． 8.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．9.设函数f(x)＝ (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．11.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．13.对于实数a 和b ，定义运算“”：ab ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．4.已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．5.定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．【答案】(2－log 32，11)【解析】由33－x <6，知3－x<log 36，即x>3－log 36，所以A ＝(2－log 32，＋∞)．由lg(x －1)<1，知0<x －1<10，即1<x<11，所以B ＝(1，11)，所以A∩B ＝(2－log 32，11)．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．【答案】－【解析】因为a 、b 为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋＝－.3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x ＋1在(1，4)上恒成立且a≤x ＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．其中正确的命题是________．(填序号) 【答案】①②④【解析】令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x －1|－1|＝方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(－2)2－4，则t ＝(－2)2－4，易得－3<t<0.6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．【答案】①③④ 【解析】由f(－x)＝lg ＝lg ＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg＝f，知②错误；由＝|x|＋≥2，知f(x)＝lg≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．【答案】【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －，由h′(x)＝0，得x ＝.易知当x ＝时，h(x)有极小值为＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h <0，即＋ln2＋m<0，所以m<－－ln28.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1，【解析】设P ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋＝x 2＋－2a＋2a 2＝－2a＋2a 2－2.令t ＝x ＋，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2. 由PA 取得最小值，得或解得a ＝－1或a ＝.9.设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．【答案】[1，e]【解析】若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝在[0，1]上单调递增，所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0，所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解，即＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x －2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增．又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a ∈[1，e]．10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．【答案】【解析】在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝＞3，g(t)的最小值为g ＝－，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故<k 2<，而k 2＝时，直线与半圆相切，由得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝，得x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝t 2－6t ＋7＜－111.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________．【答案】1【解析】由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x ，由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x ，∴g(x)＝(2x ＋2－x )，∴g(x)≥1.12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．【答案】－4【解析】|x 1－x 2|＝f max (x)，＝，|a|＝2，∴a ＝－413.对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．【答案】【解析】由新定义得f(x)＝作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×＝1，∴x 2x 3<.令解得x ＝或x ＝ (舍去)，∴<x 1<0，∴<x 1x 2x 3<0.二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0] 【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2，设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，<，所以lgt 1＋(－1)<lgt 2＋(－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a＋2a －－1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f ＝2a －－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.综上可得g(a)＝(3)当x ∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋－1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立．当a>0时，x 1x 2>，由1<x 1x 2<4，得≤1，解得0＜a≤1. 当a<0时，x 1x 2<，由1<x 1x 2<4，得≥4，解得－≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x ＋a(x>0)，方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－或a ＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为4.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．＝（2）a≤4（3）见解析【答案】（1）f(x)min【解析】(1)解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)＝f＝－；min③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)＝f(t)＝tlnt，min所以f(x)＝.min(2)解：由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即[h(x)]＝h(1)＝4，所以a≤4.min(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]＝m(1)＝－，max当且仅当x＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立5.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）不是有界函数（2）[－5，1]【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤，设2x ＝t ，h(t)＝－4t －，p(t)＝2t －，由x ∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝>0，p(t 1)－p(t 2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）t ＝2（3）∪[e ，＋∞)【解析】审题引导：本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答：(1)证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna.(2分)由于a>1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2)解：当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0，＋∞)f′(x)－＋f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3)解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－＝a －－2lna ，记g(t)＝t －－2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋－＝≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －－2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna≥e －1a≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1＋lna≥e －10＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为∪[e ，＋∞)．(16分)7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.【答案】（1）在上单调递增，在上是减函数（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝－2ax ＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝，且当x ∈时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上是减函数.(2)解：设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ， g′(x)＝－2a ＝.当0<x<时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<时，f>f.(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<<x 2.由(2)得f ＝f >f(x 1)＝0. 从而x 2>－x 1，于是x 0＝>.由(1)知，f′(x 0)<0。

高三数学试卷真题及解析

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像的对称轴为（）A. x = 2B. x = 1C. x = 3D. x = 4解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3是一个二次函数，其标准形式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。

由f(x) = x^2 - 4x + 3可知，h = 2，k = -1，因此对称轴为x = 2。

答案为A。

2. 在△ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，则sinA + sinB + sinC的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 12解析：根据正弦定理，sinA = a/c，sinB = b/c，sinC = c/a。

代入已知数据，得sinA = 3/5，sinB = 4/5，sinC = 5/3。

因此，sinA + sinB + sinC = 3/5 + 4/5 + 5/3 = 6。

答案为A。

3. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 < 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 > 0解析：对于任何实数x，x^2总是非负的，因此x^2 + 1 > 0恒成立。

而x^2 - 1< 0表示x在(-1, 1)区间内，x^2 - 1 > 0表示x在(-∞, -1)和(1, +∞)区间内。

因此，正确答案为A。

4. 设复数z = a + bi（a, b∈R），若|z - 1| = |z + 1|，则a + b的值为（）A. 0B. 2C. -2D. 4解析：复数z = a + bi，|z - 1| = |a - 1 + bi|，|z + 1| = |a + 1 + bi|。

由|z - 1| = |z + 1|，得(a - 1)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + b^2。

展开后简化，得a = 0。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________．2.若幂函数y ＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．3.函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．4.不等式lg(x －1)<1的解集为________.5.对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx ，则与f的大小关系是______________________.6.(1)设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是，则a ＝________； (2)若a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<”将a 、b 、c 连结起来________； (3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为________.7.（1）设log a＜1，则实数a 的取值范围是________；（2）已知函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，则实数t 的取值范围是________；（3）若函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________；（4）若函数f(x)＝(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a 的取值范围是________．8.已知函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c 的取值范围是________． 9.已知函数f(x)＝ln ＋1，则f(lg2)＋f ＝________．10.已知＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，则实数x 、y 的关系为________．11.已知f(x)＝若对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，则实数a 的最小值为________．12.若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________．13.已知函数f(x)＝，x ∈[－1，8]，函数g(x)＝ax ＋2，x ∈[－1，8]，若存在x ∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a 的取值范围是________．14.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围是________．二、解答题1.已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数． (1)求m 的值；(2)求满足不等式(a ＋1)－<(3－2a)－的实数a 的取值范围．2.已知幂函数y ＝f(x)经过点. (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．3.已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值； (2)设g(x)＝log 4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．4.已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求函数y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值． 5.已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0，1)【解析】因为f(2)>f(3)，所以f(x)＝log a x 单调递减，则a ∈(0，1)．2.若幂函数y ＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝x α，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x －，f(25)＝3.函数f(x)＝ln 是________(填“奇”或“偶”)函数．【答案】奇【解析】因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．4.不等式lg(x －1)<1的解集为________. 【答案】(1，11)【解析】由0<x －1<10，∴1<x<11.5.对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx ，则与f的大小关系是______________________. 【答案】≤f【解析】(解法1)作差运算； (解法2)寻找与f的几何意义，通过函数f(x)＝lgx 图象可得．6.(1)设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是，则a ＝________；(2)若a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<”将a 、b 、c 连结起来________； (3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为________.【答案】(1)4(2)c ＜b ＜a(3)－1＜x ＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上是增函数，∴log a 2a －log a a ＝，∴a ＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a. (3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log 2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn ＝1，所以f(m 2)＝|log 2m 2|＝2，解得m ＝，所以n＝2.7.（1）设log a＜1，则实数a 的取值范围是________；（2）已知函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，则实数t 的取值范围是________；（3）若函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________；（4）若函数f(x)＝(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)0＜a ＜或a ＞1(2)a≤0(3)(－1，＋∞)(4)[1，2)【解析】(1)分a ＞1与a ＜1两种情形进行讨论． (2)值域为R 等价于x 2＋a 可以取一切正实数．(3)函数f(x)的图象是由y ＝log a |x|的图象向左平移1个单位得到，∴0<a<1. (4)令g(x)＝x 2－2ax ＋3，则解得1≤a<2.8.已知函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c 的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥9.已知函数f(x)＝ln ＋1，则f(lg2)＋f ＝________．【答案】2【解析】f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝2，所以f(lg2)＋f ＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2. 10.已知＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，则实数x 、y 的关系为________．【答案】x ＋y<0 【解析】由＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，得－(0.5)x <－(0.5)－y .设f(x)＝－(0.5)x ，则f(x)<f(－y)，由于0< 0.5<1，所以函数f(x)是R 上的增函数，所以x<－y ，即x ＋y<011.已知f(x)＝若对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，则实数a 的最小值为________．【答案】【解析】易得x ∈R ，f(x)>0，由af 2(x)≥f(x)－1，得 a≥≤(当且仅当f(x)＝2时等号成立)，所以实数a 的最小值为.12.若函数f(x)＝log2|ax－1|(a＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a＝________．【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x＝对称，而f(x)＝log2＋log2|a|，从而＝，所以a＝2.13.已知函数f(x)＝，x∈[－1，8]，函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]，若存在x∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a的取值范围是________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分别作出函数f(x)＝，x∈[－1，8]与函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]的图象．当直线经过点(－1，1)时，a＝1；当直线经过点(8，4)时，a＝.结合图象有a≤或a≥1.14.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，则f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．二、解答题1.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1)求m的值；(2)求满足不等式(a＋1)－<(3－2a)－的实数a的取值范围．【答案】（1）m＝1（2）a<－1或<a<【解析】(1)因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－9<0，所以m<3.因为m∈N*，所以m＝1或2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9是偶数，所以m＝1.(2)不等式(a＋1)－<(3－2a)－即为(a＋1)－<(3－2a)－.结合函数y＝x－的图象和性质知：a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<，即实数a的取值范围是a<－1或<a<.2.已知幂函数y＝f(x)经过点.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【答案】（1）f(x)＝x－3（2），【解析】(1)由题意，得f(2)＝2a＝a＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.(2)定义域为∪，关于原点对称，因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．其单调减区间为，3.已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值； (2)设g(x)＝log 4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）k ＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx. log 4＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－x ＝log 4有且只有一个实根，化简得方程2x ＋＝a·2x －a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝或－3.若a ＝t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．4.已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求函数y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值．【答案】（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b ＋1 【解析】(1)由a x －b x >0，得x>1，因为a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设x 1>x 2>0，因为a>1>b>0，所以ax 1>ax 2，bx 1<bx 2，则－bx 1>－bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，于是lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f(x 1)>f(x 2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得直线AB 平行于x 轴，即x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴．(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a －b)≥0，即a －b≥1，所以当a≥b ＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．5.已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值．【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B－x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.双曲线-=1的焦点坐标是( ) A ．(1,0), (-1,0)B ．(0,1),(0,-1)C ．(,0),(-,0)D ．(0,),(0,-)2.方程mx 2+y 2=1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线3.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为( ) A ．y=±xB ．y=±2xC ．y=±4xD ．y=±x4.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( ) A ．x 2=4yB ．x 2=-4yC ．y 2=-12xD ．x 2=-12y5.(2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x 2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为( ) A ．B ．C ．2D ．36.(2013·四川高考)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A ．B ．C ．D ．7.(2014·孝感模拟)已知P 是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是其焦点,双曲线的离心率是,且·=0,若△PF 1F 2的面积为9,则a+b 的值为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．88.若双曲线-=1(a>0,b>0)上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(,+∞) B ．[,+∞) C ．(1,]D ．(1,)9.(2014·黄冈模拟)如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD 且AB=2,AD=1,DC=2x(x ∈(0,1)).以A,B 为焦点,且过点D 的双曲线的离心率为e 1;以C,D 为焦点,且过点A 的椭圆的离心率为e 2,则e 1+e 2的取值范围为( )A ．[2,+∞)B ．(,+∞) C ．D ．(+1,+∞)10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O 为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题1.(2013·天津高考)已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为____________.2.(2014·兰州模拟)若圆x 2+y 2=r 2(r>0)上仅有4个点到直线l ：x-y-2=0的距离为1,则实数r 的取值范围为__________.3.(2014·随州模拟)已知点P 在直线x+2y-1=0上,点Q 在直线x+2y+3=0上,PQ 中点为M(x 0,y 0)且y 0≥x 0+2,则的取值范围是____________.4.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于________.5.(2014·武汉模拟)圆(x-a)2+y 2=1与双曲线x 2-y 2=1的渐近线相切,则a 的值是________.6.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为F 1,F 2,且它们在第一象限的交点为P,△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若|PF 1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是__________.7.曲线C ：y=(a>0,b>0)与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当a=1,b=1时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为________.三、解答题1.在直角坐标平面上给定一曲线y 2=2x, (1)设点A 的坐标为,求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|.(2)设点A 的坐标为(a,0),a ∈R,求曲线上的点到点A 距离的最小值d min ,并写出d min =f(a)的函数表达式.2.(2014·广州模拟)已知☉M ：x 2+(y-2)2=1,Q 是x 轴上的动点,QA,QB 分别切☉M 于A,B 两点. (1)如果|AB|=,求直线MQ 的方程.(2)求证：直线AB 恒过一个定点.3.在直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O,椭圆+=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程.(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q,使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长,若存在,请求出Q 的坐标;若不存在,请说明理由.4.(2014·武汉模拟)已知点P 是圆M ：x 2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M 所在平面内一定点,线段NP 的垂直平分线l 与直线MP 相交于点Q.(1)当P 在圆M 上运动时,记动点Q 的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.(2)过原点斜率为k 的直线交曲线Г于A,B 两点,其中A 在第一象限,且它在x 轴上的射影为点C,直线BC 交曲线Г于另一点D,记直线AD 的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.5.(2013·上海高考)如图,已知双曲线C 1：-y 2=1,曲线C 2：|y|=|x|+1.P 是平面内一点.若存在过点P 的直线与C 1,C 2都有共同点,则称P 为“C 1-C 2型点”.(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1-C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证).(2)设直线y=kx 与C 2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C 1-C 2型点”. (3)求证：圆x 2+y 2=内的点都不是“C 1-C 2型点”.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.双曲线-=1的焦点坐标是( ) A ．(1,0), (-1,0)B ．(0,1),(0,-1)C ．(,0),(-,0)D ．(0,),(0,-)【答案】C【解析】c 2=a 2+b 2=2+1=3,所以c=.由焦点在x 轴上.所以焦点坐标为(,0),(-,0).2.方程mx 2+y 2=1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线【答案】C【解析】当m=1时,方程为x 2+y 2=1表示圆; 当m<0时,方程为y 2-(-m)x 2=1表示双曲线; 当m>0且m≠1时,方程表示椭圆; 当m=0时,方程表示两条直线.3.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为( )A ．y=±xB ．y=±2xC ．y=±4xD ．y=±x【答案】A 【解析】由题意=,所以a 2=4b 2.故双曲线的方程可化为-=1,故其渐近线方程为y=±x.4.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( ) A ．x 2=4yB ．x 2=-4yC ．y 2=-12xD ．x 2=-12y【答案】D【解析】由题意,得c==3.所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).所以抛物线的标准方程为x 2=12y 或x 2=-12y.5.(2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x 2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为( ) A ．B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0, 依题意,直线bx±ay=0与圆x 2+(y-2)2=1相切, 设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d, 则d===1,所以双曲线离心率e==2.6.(2013·四川高考)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由已知,P 点坐标为,A(a,0),B(0,b),于是由k AB =k OP 得-=,整理得b=c,从而a==c.于是,离心率e==.7.(2014·孝感模拟)已知P 是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是其焦点,双曲线的离心率是,且·=0,若△PF 1F 2的面积为9,则a+b 的值为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C 【解析】由·=0得⊥,设||=m,||=n,不妨设m>n,则m 2+n 2=4c 2,m-n=2a,mn=9,=,解得所以b=3,所以a+b=7.8.若双曲线-=1(a>0,b>0)上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(,+∞) B ．[,+∞) C ．(1,]D ．(1,)【答案】C【解析】这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心)的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P 使得斜率大于1,也就是离心率大于,求其大于1的补集得e ∈(1,].9.(2014·黄冈模拟)如图,等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD 且AB=2,AD=1,DC=2x(x ∈(0,1)).以A,B 为焦点,且过点D 的双曲线的离心率为e 1;以C,D 为焦点,且过点A 的椭圆的离心率为e 2,则e 1+e 2的取值范围为( )A ．[2,+∞)B ．(,+∞) C ．D ．(+1,+∞)【答案】B【解析】由已知易求得e 1=,e 2=,e 1·e 2=1,但e 1+e 2≥2中,不能取“=”,所以e 1+e 2=+=+,令t=-1,则e 1+e 2=,t ∈(0,-1),所以e 1+e 2∈(,+∞),故选B.10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O 为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λμ=,则该双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】双曲线的渐近线为：y=±x,设焦点F(c,0),点A 纵坐标大于零,则A ,B ,P ,因为=λ+μ,所以=,所以λ+μ=1,λ-μ=,解得：λ=,μ=.又由λμ=,得：×=,解得：=,所以e=.二、填空题1.(2013·天津高考)已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为____________. 【答案】x 2-=1【解析】由抛物线的准线方程为x=-2,得a 2+b 2=4,又因为双曲线的离心率为2,得=2,得a 2=1,b 2=3,所以双曲线的方程为x 2-=1.2.(2014·兰州模拟)若圆x 2+y 2=r 2(r>0)上仅有4个点到直线l ：x-y-2=0的距离为1,则实数r 的取值范围为__________.【答案】(+1,+∞)【解析】计算得圆心到直线l 的距离为=>1,如图.直线l ：x-y-2=0与圆相交,l 1,l 2与l 平行,且与直线l 的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离+1.3.(2014·随州模拟)已知点P 在直线x+2y-1=0上,点Q 在直线x+2y+3=0上,PQ 中点为M(x 0,y 0)且y 0≥x 0+2,则的取值范围是____________. 【答案】【解析】因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以PQ 的中点M 在直线x+2y+1=0上,又因为直线x+2y+1=0与y=x+2的交点坐标为A,所以k OA ==-,故-<≤-.4.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于________. 【答案】-1【解析】因为两条直线垂直,所以a(a+2)=-1, 即a 2+2a+1=0,所以a=-1.5.(2014·武汉模拟)圆(x-a)2+y 2=1与双曲线x 2-y 2=1的渐近线相切,则a 的值是________. 【答案】±【解析】双曲线x 2-y 2=1的渐近线为y=±x,不妨取y=x,若直线y=x 与圆相切,则有圆心(a,0)到直线x-y=0的距离d==1,即|a|=, 所以a=±.6.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为F 1,F 2,且它们在第一象限的交点为P,△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若|PF 1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是__________. 【答案】【解析】如图,设椭圆的长半轴长,半焦距分别为a 1,c,双曲线的半实轴长,半焦距分别为a 2,c,|PF 1|=m,|PF 2| =|F 1F 2|=n,则⇒ 问题转化为：已知1<<2,求的取值范围.由1<<2知<<1,即<<2,因此<+1<3, 即<<3,所以<<.7.曲线C ：y=(a>0,b>0)与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C 有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当a=1,b=1时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为________. 【答案】3π【解析】因为曲线C ：y=(a>0,b>0)与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,所以当a=1,b=1时望圆的方程可设为x 2+(y-1)2=r 2,面积最小的“望圆”的半径为(0,1)到y=上任意点之间的最小距离,d 2=x 2+=x 2+=(|x|-1)2++2(|x|-1)-+2≥3,所以半径r≥,最小面积为3π.三、解答题1.在直角坐标平面上给定一曲线y 2=2x, (1)设点A 的坐标为,求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|.(2)设点A 的坐标为(a,0),a ∈R,求曲线上的点到点A 距离的最小值d min ,并写出d min =f(a)的函数表达式. 【答案】（1）|PA|= （2）d min =f(a)=【解析】(1)设M(x,y)为曲线y 2=2x 上任意一点, 则|MA|2=+y 2=x 2+x+=+,因为x ∈[0,+∞),所以当x=0时, |MA=+=,即|MA|min =.所以距点A 最近的点P 坐标为(0,0),这时|PA|=. (2)依题意得,d 2=(x-a)2+y 2=x 2-2ax+a 2+2x =x 2-2(a-1)x+a 2 =[x-(a-1)]2+(2a-1) 因为x ∈[0,+∞),所以分a-1≥0和a-1<0两种情况讨论. 当a≥1时,=2a-1,即d min =,当a<1时,=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a 2, 即d min =|a|.这时恰好抛物线顶点(0,0)与点A(a,0)最近. 所以d min =f(a)=2.(2014·广州模拟)已知☉M ：x 2+(y-2)2=1,Q 是x 轴上的动点,QA,QB 分别切☉M 于A,B 两点. (1)如果|AB|=,求直线MQ 的方程.(2)求证：直线AB 恒过一个定点. 【答案】（1）2x+y-2=0或2x-y+2=0（2）见解析【解析】(1)如图所示,连AM,BM,设P 是AB 的中点,由|AB|=,可得|MP| ===.由射影定理,得|MB|2=|MP|·|MQ|,得|MQ|=3, 在Rt △MOQ 中,|OQ|===,故Q 点的坐标为(,0)或(-,0),所以直线MQ 的方程是： 2x+y-2=0或2x-y+2=0.(2)设Q(a,0),由题意知M,A,Q,B 四点共圆,直径为MQ. 设R(x,y)是该圆上任一点,由·=0得x(x-a)+(y-2)y=0.即x 2+y 2-ax-2y=0.①①式与x 2+(y-2)2=1联立,消去x 2,y 2项得两圆公共弦AB 所在的直线方程为-ax+2y=3. 所以无论a 取何值,直线AB 恒过点,故直线AB 恒过一个定点.3.在直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O,椭圆+=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程.(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q,使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长,若存在,请求出Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）(x+2)2+(y-2)2=8. （2）存在，Q【解析】(1)设圆C 的圆心为A(p,q), 则圆C 的方程为(x-p)2+(y-q)2=8.因为直线y=x 与圆C 相切于坐标原点O,所以O 在圆C 上,且直线OA 垂直于直线y=x. 于是有⇒或由于点A(p,q)在第二象限,故p<0. 所以圆C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)因为椭圆+=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,所以2a=10⇒a=5,故椭圆右焦点为F(4,0). 若圆C 上存在异于原点的点Q(x 0,y 0)到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长,则有|QF|=|OF|,于是(x 0-4)2+=42,且+≠0.①由于Q(x 0,y 0)在圆上,故有(x 0+2)2+(y 0-2)2=8.② 解①和②得故圆C 上存在满足条件的点Q.4.(2014·武汉模拟)已知点P 是圆M ：x 2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M 所在平面内一定点,线段NP 的垂直平分线l 与直线MP 相交于点Q.(1)当P 在圆M 上运动时,记动点Q 的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.(2)过原点斜率为k 的直线交曲线Г于A,B 两点,其中A 在第一象限,且它在x 轴上的射影为点C,直线BC 交曲线Г于另一点D,记直线AD 的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）双曲线 -=1（2）存在，m=【解析】(1)因为|QN|=|QP|, 所以||QM|-|QN||=|PM|=2. ①当2<2m 时,动点Q 的轨迹曲线Г为以点M,N 为焦点,2a=2为实轴的双曲线,其标准方程为-=1.②当2>2m 时,动点Q 无轨迹.(2)如图所示,设A(x 1,y 1),D(x 0,y 0),则B(-x 1,-y 1),C(x 1,0). 则y 1=kx 1.直线BC 的方程为y=(x-x 1),即y=(x-x 1).联立化为(m 2k 2-2k 2-8)x 2-2k 2(m 2-2)x 1x+(m 2-2)(k 2-8)=0. 所以-x 1+x 0=, 所以k′===-.若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1, 则=1,整理得m 2=6,解得m=±(负值舍去). 因此存在m,且当m=时,满足题意.5.(2013·上海高考)如图,已知双曲线C 1：-y 2=1,曲线C 2：|y|=|x|+1.P 是平面内一点.若存在过点P 的直线与C 1,C 2都有共同点,则称P 为“C 1-C 2型点”.(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1-C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证).(2)设直线y=kx 与C 2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C 1-C 2型点”. (3)求证：圆x 2+y 2=内的点都不是“C 1-C 2型点”. 【答案】（1）x=-或y=k(x+),其中|k|≥.（2）见解析（3）见解析【解析】(1)C 1的左焦点为(-,0),写出的直线方程可以是以下形式： x=-或y=k(x+),其中|k|≥.(2)因为直线y=kx 与C 2有公共点, 所以方程组有实数解, 因此|kx|=|x|+1,得|k|=>1.若原点是“C 1-C 2型点”,则存在过原点的直线与C 1,C 2都有公共点.考虑过原点与C 2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|>1).显然直线x=0与C 1无公共点. 如果直线为y=kx(|k|>1), 则由方程组得x 2=<0,矛盾,所以直线y=kx(|k|>1)与C 1也无公共点. 因此原点不是“C 1-C 2型点”.(3)记圆O ：x 2+y 2=,取圆O 内的一点Q,设有经过Q 的直线l 与C 1,C 2都有公共点, 显然l 不垂直于x 轴,故可设l ：y=kx+b. 若|k|≤1,由于圆O 夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间, 因此圆O 也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间,从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点,矛盾,所以|k|>1. 因为l 与C 1有公共点,所以方程组有实数解,得(1-2k 2)x 2-4kbx-2b 2-2=0.因为|k|>1,所以1-2k 2≠0,因此Δ=(4kb)2-4(1-2k 2)(-2b 2-2)=8(b 2+1-2k 2)≥0,即b 2≥2k 2-1. 因为圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d=,所以=d 2<,从而>b 2≥2k 2-1,得k 2<1,与|k|>1矛盾.因此,圆x 2+y 2=内的点都不是“C 1-C 2型点”.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )A．－1B．－C．D．12.若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝( )A．5B．4C．3D．23.设函数f(x)＝sin ＋sin (ω＞0)的最小正周期为π，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递增D．f(x)在上单调递减4.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．45.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为 ( )A．y＝4sin B．y＝2sin＋2C．y＝2sin＋2D．y＝2sin＋26.给定命题p：函数y＝sin和函数y＝cos的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数y＝(sin 2x＋cos 2x)取得极小值．下列说法正确的是( )A．p∨q是假命题B．¬p∧q是假命题C．p∧q是真命题D．¬p∨q是真命题二、填空题1.已知cos ＝，则cos(π－2α)＝________.2.函数y＝sin(ωx＋φ) (ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点对称，则函数的解析式为________．3.函数y＝tan ωx(ω>0)与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝sin ωx－cos ωx的单调增区间是________．三、解答题1.函数f(x)＝A sin ＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．2.已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．3.已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.(1)当∈时，求函数f(x)的值域；(2)当x∈时，若f(x)＝8，求函数f的值；(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )A．－1B．－C．D．1【答案】A【解析】由sin α－cos α＝sin＝，α∈(0，π)，解得α＝，所以tan α＝tan＝－12.若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝( )A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】设函数的最小正周期为T，由函数图象可知＝－x＝，所以T＝.又因为T＝，可解得ω＝4.3.设函数f(x)＝sin ＋sin (ω＞0)的最小正周期为π，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递增D．f(x)在上单调递减【答案】D【解析】依题意得f(x)＝2sin ωx cos ＝－sin ωx，＝π，所以ω＝2，f(x)＝－sin 2x，易知该函数在上单调递减4.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A －cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.5.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为 ( )A．y＝4sin B．y＝2sin＋2C．y＝2sin＋2D．y＝2sin＋2【答案】D【解析】由函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2，由函数的最小正周期为，可知＝，可得ω＝4，由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋26.给定命题p：函数y＝sin和函数y＝cos的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数y＝(sin 2x＋cos 2x)取得极小值．下列说法正确的是( )A．p∨q是假命题B．¬p∧q是假命题C．p∧q是真命题D．¬p∨q是真命题【答案】B【解析】命题p中y＝cos＝cos＝cos＝sin与y＝sin关于原点对称，故p为真命题；命题q中y＝ (sin 2x＋cos 2x)＝2sin取极小值时，2x＋＝2kπ－，则x＝kπ－，k∈Z，故q为假命题，则¬p∧q为假命题，故选B.二、填空题1.已知cos ＝，则cos(π－2α)＝________.【答案】【解析】由cos ＝，得sin α＝，∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－ (1－2sin2α)＝.2.函数y＝sin(ωx＋φ) (ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点对称，则函数的解析式为________．【答案】y＝sin【解析】由题意知最小正周期T＝π＝，∴ω＝2,2×＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋，又0＜φ＜π，∴φ＝，∴y＝sin .3.函数y＝tan ωx(ω>0)与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝sin ωx－cos ωx的单调增区间是________．【答案】 (k∈Z)【解析】由函数y＝tan ωx(ω>0)图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin 的单调增区间满足：2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)⇒2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)．三、解答题1.函数f(x)＝A sin ＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．【答案】（1）y＝2sin ＋1（2）【解析】(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π.∴ω＝2.∴函数f(x)的解析式为y＝2sin ＋1.(2)∵f＝2sin＋1＝2，∴sin ＝.∵0＜α＜，∴－＜α－＜.∴α－＝，∴α＝.2.已知函数f(x)＝4cos x·sin＋a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．【答案】（1）π（2），k∈Z【解析】(1)f(x)＝4cos x·sin＋a＝4cos x·＋a＝2sin x cos x＋2cos2x－1＋1＋a＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin＋1＋a.∴当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，又f(x)的最大值为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)，得f(x)＝2sin，∴－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z.∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.3.已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.(1)当∈时，求函数f(x)的值域；(2)当x∈时，若f(x)＝8，求函数f的值；(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．【答案】（1）（2）＋7（3）g(x)＝5sin 2x，g(x)为奇函数【解析】(1)f(x)＝a·b＋|b|2＋＝5sin x cos x＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋＝5sin x cos x＋5cos2x＋＝sin 2x＋5×＋＝5sin＋5.由≤x≤，得≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为.(2)f(x)＝5sin＋5＝8，则sin＝，所以cos＝－，f＝5sin 2x＋5＝5sin＋5＝＋7.(3)由题意知f(x)＝5sin＋5→g(x)＝5sin＋5－5＝5sin 2x，即g(x)＝5sin 2x，g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin 2x＝－g(x)，故g(x)为奇函数．。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题（2011•咸阳三模）已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n =a n 2+2a n ﹣3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知b n =2n ，求T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 的值．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题（2011•咸阳三模）已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n =a n 2+2a n ﹣3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知b n =2n ，求T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 的值．【答案】（1）a n =3+2（n ﹣1）=2n+1．（2）（2n ﹣1）•2n +2【解析】（1）由题意知，解得a 1=3，由此能够推出数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，所以a n =3+2（n ﹣1）=2n+1．（2）由题意知T n =3×21+5×22+…+（2n+1）•2n ，2T n =3×22+5×23+（2n ﹣1）•2n +（2n+1）2n+1，二者相减可得到T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 的值．解：（1）当n=1时，，解出a 1=3，又4S n =a n 2+2a n ﹣3①当n≥2时4s n ﹣1=a n ﹣12+2a n ﹣1﹣3②①﹣②4a n =a n 2﹣a n ﹣12+2（a n ﹣a n ﹣1），即a n 2﹣a n ﹣12﹣2（a n +a n ﹣1）=0， ∴（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵a n +a n ﹣1＞0∴a n ﹣a n ﹣1=2（n≥2），∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n+1．（2）T n =3×21+5×22+…+（2n+1）•2n ③又2T n =3×22+5×23+（2n ﹣1）•2n +（2n+1）2n+1④④﹣③T n =﹣3×21﹣2（22+23++2n ）+（2n+1）2n+1﹣6+8﹣2•2n ﹣1+（2n+1）•2n+1=（2n ﹣1）•2n +2【考点】数列递推式；数列的求和．。

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全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝(21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是________．2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝a 100·＋a 101，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200＝________．3.设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．4.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________．5.已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.6.若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 8.在正项等比数列{a n }中，a 5＝，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．9.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2010＝________．二、解答题1.设无穷数列{a n }满足：n ∈Ν，a n <a n ＋1，a n ∈N ．记b n ＝aa n ，c n ＝aa n ＋1(n ∈N *)． (1)若b n ＝3n(n ∈N *)，求证：a 1＝2，并求c 1的值；(2)若{c n }是公差为1的等差数列，问{a n }是否为等差数列，证明你的结论． 2.已知数列a n ＝n －16，b n ＝(－1)n |n －15|，其中n ∈N *. (1)求满足a n ＋1＝|b n |的所有正整数n 的集合；(2)若n≠16，求数列的最大值和最小值；(3)记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m ＝S 2n (m ＜n)的有序整数对(m ，n)．3.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有.4.已知数列{a n }中，a 1＝2，n ∈N *，a n ＞0，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋1＝.(1)求{S n }的通项公式；(2)设{b k }是{S n }中的按从小到大顺序组成的整数数列． ①求b 3；②存在N(N ∈N *)，当n≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围．5.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 6.正项数列{a n }的前项和满足：－(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <.7.已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．8.设不等式组所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．9.已知数列{a n }，其前n 项和为S n .(1)若对任意的n ∈N ，a 2n －1，a 2n ＋1，a 2n 组成公差为4的等差数列，且a 1＝1，＝2013，求n 的值；(2)若数列是公比为q(q≠－1)的等比数列，a 为常数，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝1＋.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝(21n －n 2－5)(n ＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是________．【答案】7、8【解析】由S n 解出a n ＝(－n 2＋15n －9)，再解不等式(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n<9.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝a 100·＋a 101，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，则S 200＝________．【答案】100 【解析】∵＝a 100＋a 101且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O)，∴a 100＋a 101＝1，∴S 200＝＝100×(a 1＋a 200)＝100×1＝100.3.设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．【答案】【解析】设a 2＝t ，则1≤t≤q≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t≥1，所以q≥max{t ，}，故q 的最小值是.4.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________．【答案】64【解析】依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.5.已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d≠0，S n 为其前n 项和．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 【答案】64 【解析】＝a 1a 5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，所以d ＝2，故S 8＝8＋×2＝64.6.若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．【答案】n 2－n【解析】由条件得即故a n ＝n 2－n7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．【答案】－49 【解析】由条件得nS n ＝，对f(x)＝求导可得f(x)在上递减，在上递增，分别计算n ＝6和n ＝7可得，当n ＝7时nS n ＝最小为－49.8.在正项等比数列{a n }中，a 5＝，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．【答案】12【解析】根据条件求得a n ＝2n －6，则不等式化为2n －1>(*)，n> ，解得<n<，即1≤n≤12，将n ＝13代入(*)式检验，经检验不成立，故最大正整数n 的值为12.9.在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2010＝________．【答案】4【解析】由题意得，a 3＝a 1·a 2＝6，定义f(x)＝x 的个位数，则a 4＝f(a 3·a 2)＝8，依此类推，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，a 9＝6，a 10＝8，到此为止，看出一个周期，a 9＝a 3，a 10＝a 4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2010－2＝2008，2008＝6×334＋4，所以a 2010＝a 6＝4.二、解答题1.设无穷数列{a n }满足：n ∈Ν，a n <a n ＋1，a n ∈N ．记b n ＝aa n ，c n ＝aa n ＋1(n ∈N *)． (1)若b n ＝3n(n ∈N *)，求证：a 1＝2，并求c 1的值；(2)若{c n }是公差为1的等差数列，问{a n }是否为等差数列，证明你的结论．【答案】（1）6，证明见解析（2）是【解析】(1)因为a n ∈N ，所以若a 1＝1，则b 1＝aa 1＝a 1＝3矛盾，若a 1≥3＝aa 1，可得1≥a 1≥3矛盾，所以a 1＝2.于是a 2＝aa 1＝3，从而c 1＝aa 1＋1＝a 3＝aa 2＝6.(2){a n }是公差为1的等差数列，证明如下：a n ＋1>a n n≥2时，a n >a n －1，所以a n ≥a n －1＋1a n ≥a m ＋(n －m)，(m<n)aa n ＋1＋1≥aa n ＋1＋a n ＋1＋1－(a n ＋1)，即c n ＋1－c n ≥a n ＋1－a n ，由题设，1≥a n ＋1－a n ，又a n ＋1－a n ≥1，所以a n ＋1－a n ＝1，即{a n }是等差数列．2.已知数列a n ＝n －16，b n ＝(－1)n |n －15|，其中n ∈N *. (1)求满足a n ＋1＝|b n |的所有正整数n 的集合；(2)若n≠16，求数列的最大值和最小值；(3)记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，求所有满足S 2m ＝S 2n (m ＜n)的有序整数对(m ，n)．【答案】（1）{n|n≥15，n ∈N *}（2）(n ＝18)，最小值-2(n ＝17)（3）S 16＝S 14，m ＝7，n ＝8【解析】(1)a n ＋1＝|b n |，n －15＝|n －15|. 当n≥15时，a n ＋1＝|b n |恒成立；当n<15时，n －15＝－(n －15)，n ＝15(舍去)． ∴n 的集合为{n|n≥15，n ∈N *}． (2)＝.(ⅰ)当n>16时，n 取偶数时，＝，当n ＝18时，＝，无最小值；n 取奇数时，＝－1－，n ＝17时，＝－2，无最大值． (ⅱ)当n<16时，＝. 当n 为偶数时，＝＝－1－. n ＝14时，＝－，＝－；当n 为奇数时，＝＝1＋，n ＝1时，＝1－＝，n ＝15时，＝0.综上，最大值为(n ＝18)，最小值－2(n ＝17)．(3)当n≤15时，b n ＝(－1)n －1(n －15)，a 2k －1b 2k －1＋a 2k b 2k ＝2(16－2k)≥0，当n>15时，b n ＝(－1)n (n －15)，a 2k －1b 2k －1＋a 2k b 2k ＝2(2k －16)>0，其中a 15b 15＋a 16b 16＝0， ∴S 16＝S 14，m ＝7，n ＝8.3.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有.【答案】（1）a 2＝4.（2）a n ＝n 2，n ∈N *（3）见解析【解析】(1)解：∵＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N ．∴当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－－1－＝a 2－2.又a 1＝1，∴a 2＝4. (2)解：∵＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N ．∴2S n ＝na n ＋1－n 3－n 2－n ＝na n ＋1－，①∴当n≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －，②由①－②，得2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)， ∵2a n ＝2S n －2S n －1，∴2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∴＝1，∴数列是以首项为＝1，公差为1的等差数列．∴＝1＋1×(n －1)＝n ，∴a n ＝n 2(n≥2)，当n ＝1时，上式显然成立． ∴a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明：由(2)知，a n ＝n 2，n ∈N *， ①当n ＝1时，＝1<，∴原不等式成立． ②当n ＝2时，＝1＋<，∴原不等式成立．③当n≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)， ∴， ∴＝<1＋＝1＋＝1＋＝1＋＝，∴当n≥3时，∴原不等式亦成立．综上，对一切正整数n ，有.4.已知数列{a n }中，a 1＝2，n ∈N *，a n ＞0，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋1＝.(1)求{S n }的通项公式；(2)设{b k }是{S n }中的按从小到大顺序组成的整数数列． ①求b 3；②存在N(N ∈N *)，当n≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项，求N 的范围．【答案】（1）S n ＝1＋（2）①6②N ∈[761，840] 【解析】(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴(S n ＋1－S n )(S n ＋1＋S n －2)＝2；即(S n ＋1)2－(S n )2－2(S n ＋1－S n )＝2，∴(S n ＋1－1)2－(S n －1)2＝2，且(S 1－1)2＝1，∴{(S n －1)2}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴S n ＝1＋.(2)①n ＝1时，S 1＝1＋1＝2＝b 1，n ＝5时，S 5＝1＋3＝4＝b 2，n ＝13时，S 13＝1＋5＝6＝b 3. ②∵2n －1是奇数，S n ＝1＋为有理数，则＝2k －1，∴n ＝2k 2－2k ＋1，当k ＝20时，n ＝761；当k ＝21时，n ＝841；∴存在N ∈[761，840]，当n≤N 时，使得在{S n }中，数列{b k }有且只有20项．5.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】∵{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项和， ∴S n ＝na ＋ d. (1)∵c ＝0，∴b n ＝＝a ＋d. ∵b 1，b 2，b 4成等比数列，∴＝b 1b 4， ∴，∴ad －d 2＝0，∴d ＝0.∵d≠0，∴a ＝d ，∴d ＝2a ，∴S n ＝na ＋d ＝na ＋2a ＝n 2a ，∴左边＝S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ，右边＝n 2S k ＝n 2k 2a ， ∴左边＝右边，∴原式成立． (2)∵{b n }是等差数列， ∴设公差为d 1， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 1 代入b n ＝，得b 1＋(n －1)d 1＝，∴n 3＋n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)对n ∈N *恒成立，∴ ∴d 1＝d.∵d≠0，∴d 1≠0.6.正项数列{a n }的前项和满足：－(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <.【答案】（1）a n ＝2n （2）见解析【解析】(1)解：由－(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n.于是a 1＝S 1＝2，n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n. 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n. (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝，则b n ＝.T n ＝＝＝.故对于任意的n ∈N *，都有T n <.7.已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n ＝2n －1(n ∈N *)．（2）当k ＝1时，不存在p ，r ；当k≥2时，存在p ＝2k －1，r ＝4k 2－5k ＋2满足题设．【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝1；当n≥2，n ∈N *时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1；综上所述，a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)当k ＝1时，若存在p ，r 使，，成等差数列，则＝－＝.因为p≥2，所以a r <0与数列{a n }为正数相矛盾，因此，当k ＝1时不存在；当k≥2时，设a k ＝x ，a p ＝y ，a r ＝z ，则，所以z ＝.令y ＝2x －1，得z ＝xy ＝x(2x －1)，此时a k ＝x ＝2k －1，a p ＝y ＝2x －1＝2(2k －1)－1，所以p ＝2k －1，a r ＝z ＝(2k －1)(4k －3)＝2(4k 2－5k ＋2)－1，所以r ＝4k 2－5k ＋2.综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k≥2时，存在p ＝2k －1，r ＝4k 2－5k ＋2满足题设．8.设不等式组所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）a n ＝3n(n ∈N *)（2）m≥.【解析】(1)由x ＞0，y ＞0，3n －nx ＞0，得0＜x ＜3. ∴x ＝1，或x ＝2.∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1、x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2. 则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n.∴a n ＝3n(n ∈N *)． (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝，∴T n ＝，∴T n ＋1－T n ＝，∴当n≥3时，T n ＞T n ＋1，且T 1＝1＜T 2＝T 3＝.于是T 2，T 3是数列{T n }中的最大项，故m≥.9.已知数列{a n }，其前n 项和为S n .(1)若对任意的n ∈N ，a 2n －1，a 2n ＋1，a 2n 组成公差为4的等差数列，且a 1＝1，＝2013，求n 的值；(2)若数列是公比为q(q≠－1)的等比数列，a 为常数，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝1＋.【答案】（1）n ＝1005（2）见解析【解析】(1)解：因为a 2n －1，a 2n ＋1，a 2n 组成公差为4的等差数列，所以a 2n ＋1－a 2n －1＝4，a 2n ＝a 2n －1＋8(n ∈N *)，所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，a 2n ＋1是公差为4的等差数列，且a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＋8n. 又因为a 1＝1，所以S 2n ＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋8n ＝2 ＋8n ＝4n 2＋6n ＝2n(2n ＋3)，所以＝2n ＋3＝2013，所以n ＝1005.(2)证明：因为＋a ＝(a ＋1)q n －1，所以S n ＝(a ＋1)q n －1a n －aa n ，①所以S n ＋1＝(a ＋1)q n a n ＋1－aa n ＋1，②②－①，得(a ＋1)(1－q n )a n ＋1＝[a －(a ＋1)q n －1]a n .③ (ⅰ)充分性：因为q ＝1＋，所以a≠0，q≠1，a ＋1≠aq ，代入③式，得q(1－q n )a n ＋1＝(1－q n )a n .因为q≠－1，q≠1，所以＝，n ∈N *，所以{a n }为等比数列，(ⅱ)必要性：设{a n }的公比为q 0，则由③得 (a ＋1)(1－q n )q 0＝a －(a ＋1)q n －1，整理得(a ＋1)q 0－a ＝(a ＋1)q n ，此式为关于n 的恒等式，若q ＝1，则左边＝0，右边＝－1，矛盾；若q≠±1，当且仅当时成立，所以q ＝1＋.由(ⅰ)、(ⅱ)可知，数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝1＋.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知sin 2α＝，则cos2＝ ()．A．B．C．D．2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝b，则角A等于()．A．B．C．D．3.的值是()．A．－B．－C．D．4.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－5.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．二、填空题1.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.2.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．三、解答题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝(1)求b的值；(2)求sin 的值．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知sin 2α＝，则cos2＝ ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为cos2＝＝＝，所以cos2＝＝＝，选A.2.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝b，则角A等于()．A．B．C．D．【答案】D【解析】在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B＝sin B，∴sin A＝.又A为锐角，∴A＝.3.的值是()．A．－B．－C．D．【答案】C【解析】原式＝＝＝＝sin 30°＝4.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.5.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理，AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC cos B＝()2＋32－2××3cos ＝5.∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝＝.二、填空题1.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.【答案】5【解析】由23cos2A＋cos 2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝，则cos A＝.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得：72＝b2＋62－12b×，解之得b＝5(舍去负值)．2.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．【答案】－【解析】设△ABC的三边a，b，c成公比为的等比数列，∴b＝a，c＝2a.则cos C＝＝＝－3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．【答案】＋1【解析】由B＝，C＝，知A＝，由正弦定理得，解得c＝2.所以三角形的面积为bc sin A＝×2×2sin.因为sin ＝sin＝，所以bc sin A＝2××＝＋1.三、解答题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)由A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C.又A＋B＋C＝π，∴B＝，故cos B＝.(2)由已知，b2＝ac，又cos B＝.根据余弦定理，得cos B＝＝＝，∴a＝c，因此A＝C＝B＝，故sin A sin C＝2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝(1)求b的值；(2)求sin 的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)在△ABC中，由，且b sin A＝3c sin B，a＝3，∴a sin B＝3c sin B，∴c＝1，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝，可得b＝.(2)由cos B＝，得sin B＝，进而得cos 2B＝2cos2B－1＝－，sin 2B＝2sin B cos B＝.所以sin＝sin 2B cos－cos 2B sin＝3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【答案】（1）－（2）【解析】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，∴cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，由正弦定理，有，所以，sin B＝. 由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2.某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（）A．10万元B．15万元C．20万元D．25万元3.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]4.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π5.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线于E，当从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设，左侧部分面积为，则关于的图像大致为( )二、填空题1.已知向量。

若与，共线，则= .2.设函数，则使得成立的的取值范围为．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由点到直线距离公式得，有勾股定理得，所以，根据充分条件与必要条件的定义知“”是“的面积”的充分而不必要条件，故选A.【考点】1、点到直线距离公式及勾股定理；2、充分条件与必要条件的定义及三角形面积公式.2.某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（）A．10万元B．15万元C．20万元D．25万元【答案】C【解析】由频率分布直方图得∴11时至12时的销售额为．故选C．【考点】用样本估计总体．3.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【答案】C【解析】·＝－x＋y，令z＝－x＋y，做出可行域，求线性规划问题．4.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．【考点】外接球表面积和椎体的体积．5.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线于E，当从左至右移动（与线段AB有公共点）时，把四边形ABCD分成两部分，设，左侧部分面积为，则关于的图像大致为( )【答案】C【解析】假设直线l匀速移动，刚开始阶段面积增加比较快，中间阶段面积匀速增加，后期阶段面积增加比较慢，因此C正确【考点】函数图像二、填空题1.已知向量。

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全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π2.已知等边三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.2.已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且，，过点作垂直于平面，交球于，则棱锥的体积为 . 全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】A【解析】几何体为一个长方体与一个半圆柱体的组合，其中长方体的长宽高为4,2,2，体积为16；半圆柱体的高为4，底面为半径为2的半圆，体积为，因此几何体的体积为，选A. 【考点】三视图2.已知等边三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设正三角形的中心为，连接，分析知经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.连结，因为是正三角形的中心，三点都在球面上,所以平面，结合平面，可得，因为球的半径.球心到平面的距离为1，得，所以在中，,又因为为的中点，是等边三角形，所以，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径，可得截面面积为.故选C.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．二、填空题1.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.【答案】1∶24【解析】因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=S △ADE•h/S △ABC•H ＝=1：24【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积2.已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且，，过点作垂直于平面，交球于，则棱锥的体积为 . 【答案】. 【解析】如图所示，过球心，∴，∴. 【考点】空间几何体的体积计算.。

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全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )．A ．B ．－C ．D ．－2.下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )． A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4二、填空题1.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.2.若数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.3.已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )．A ．B ．－C ．D ．－【答案】C【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝.2.下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )． A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4【答案】D【解析】设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．二、填空题1.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.【答案】20【解析】设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，∴3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.2.若数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________. 【答案】(－2)n －1【解析】当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －a n －1，所以＝－2，∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.3.已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.【答案】64【解析】因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，解得d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，a 8＝2×8－1＝15，S 8＝＝4×(1＋15)＝64.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]的值域为________．2.函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．3.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．(填序号)4.若函数f(x)＝ax2－3x＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a的取值范围是________．5.已知函数f(x)＝x2－3x＋m，g(x)＝2x2－4x，若f(x)≥g(x)恰在x∈[－1，2]上成立，则实数m的值为________．6.已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、D.若AB＝BC，则实数t的值为________．7.若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．8.已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．9.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为________．10.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．2.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的顶点为(－1，10)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．3.函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)．(1)求g(a)的函数表达式；(2)求g(a)的最大值．4.求二次函数f(x)＝x2－4x－1在区间[t，t＋2]上的最小值g(t)，其中t∈R.5.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝.(1)求a、b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]时有解，求实数k的取值范围．6.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．7.已知函数f(x)＝mx＋3，g(x)＝x2＋2x＋m.(1)求证：函数f(x)－g(x)必有零点；(2)设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]的值域为________．【答案】[－3，5]【解析】由f(x)＝(x＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．2.函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则f(2)＝________．【答案】3【解析】由f(－x)＝f(x)，得a＝1，∴f(2)＝3.3.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是________．(填序号)【答案】④【解析】若a>0，则b、c同号，③④两图中c<0，则b<0，所以－>0，④正确；若a<0，则b、c异号，①中c<0，则b>0，－>0，不符合，②中c>0，则b<0，－<0，不符合．4.若函数f(x)＝ax2－3x＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a的取值范围是________．【答案】0≤a≤【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋4，符合；当a≠0时，则解得0<a≤.综上，实数a的取值范围是0≤a≤.5.已知函数f(x)＝x2－3x＋m，g(x)＝2x2－4x，若f(x)≥g(x)恰在x∈[－1，2]上成立，则实数m的值为________．【答案】2【解析】由题意，x2－3x＋m≥2x2－4x，即x2－x－m≤0的解集是[－1，2]，所以m＝2.6.已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A、B、C、D.若AB＝BC，则实数t的值为________．【答案】－【解析】根据偶函数的定义得a＝1，b＝2，c＝－1，＝，则t＝－2×－1＝－f(x)＝所以xC7.若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．【答案】16【解析】因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a＋b)＝0，联立，解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，即f(x)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)．令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t－1)2＋16，当t＝1时，f(x)＝16.max8.已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．【答案】(2－，2＋)【解析】易知，f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋.9.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为________．【答案】9【解析】根据函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，得到a2－4b＝0.又关于x的不等式f(x)<c，可化为x2＋ax＋b －c<0，它的解集为(m ，m ＋6)，设函数f(x)＝x 2＋ax ＋b －c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1、x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.又x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，代入得到c ＝9.10.设函数f(x)＝x 2－1，对任意x ∈，f －4m 2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】m≤－或m≥ 【解析】由题意知－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈上恒成立，－4m 2≤－－＋1在x ∈上恒成立，当x ＝时，函数y ＝－－＋1取得最小值－，所以－4m 2≤－，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m≤－或m≥.二、解答题1.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．【答案】f(x)＝－4x 2＋4x ＋7【解析】(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x ＝＝，即m ＝；又根据题意，函数最大值y max ＝8，∴n ＝8，∴f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a ＋8＝－1，解得a ＝－4. ∴f(x)＝－42＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2－(－4)x －2×(－4)－1＝－4x 2＋4x ＋72.已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．【答案】f(x)＝－2x 2－4x ＋8【解析】由题意可设f(x)＝a(x ＋1)2＋10，即f(x)＝ax 2＋2ax ＋a ＋10；∴b ＝2a ，c ＝a ＋10，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，则＋＝12，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，∴－2×＝12.又b ＝2a ，c ＝a ＋10，∴－2×＝12，解得a ＝－2，∴f(x)＝－2x 2－4x ＋83.函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)．(1)求g(a)的函数表达式；(2)求g(a)的最大值．【答案】（1）g(a)＝（2）g(a)＝3max【解析】(1)①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x＝<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x＝∈[－1，1]，则g(a)＝f＝3－；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x＝>1，则g(a)＝f(1)＝5－2a.综上所述，g(a)＝(2)①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1.＝3.由①②③可得g(a)max4.求二次函数f(x)＝x2－4x－1在区间[t，t＋2]上的最小值g(t)，其中t∈R.【答案】g(t)＝【解析】函数f(x)＝(x－2)2－5的图象的对称轴方程为x＝2，开口向上．当2∈[t，t＋2]，即t≤2≤t＋2，也就是0≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－5；当2[t，t＋2]时，①当t＞2时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，故g(t)＝f(t)＝t2－4t－1.②当t＋2＜2，即t＜0时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，故g(t)＝f(t＋2)＝(t＋2)2－4(t＋2)－1＝t2－5.故g(t)的解析式为g(t)＝5.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝.(1)求a、b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]时有解，求实数k的取值范围．【答案】（1）a＝1，b＝0，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.（2）(－∞，1]【解析】(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b，由题意得①得②得 (舍)．∴a＝1，b＝0，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.(2)不等式f(2x)－k·2x≥0，即2x＋－2≥k·2x，∴k≤－2·＋1.设t＝，则k≤t2－2t＋1，∵x∈[－1，1]，故t∈.＝1，记h(t)＝t2－2t＋1，∵t∈，∴h(t)max故所求k的取值范围是(－∞，1]6.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【答案】（1）g(x)＝－x 2＋2x （2）(－∞，0]．【解析】(1)因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，所以图象关于x ＝－1对称，即－＝－1，即m ＝2.又f(1)＝1＋m ＋n ＝3，所以n ＝0，所以f(x)＝x 2＋2x.又y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称，所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)，所以g(x)＝－x 2＋2x.(2)由(1)知，F(x)＝(－x 2＋2x)－λ(x 2＋2x)＝－(λ＋1)x 2＋(2－2λ)x.当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x ＝，因为F(x)在(－1，1]上是增函数，所以或所以λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x 显然成立．综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．7.已知函数f(x)＝mx ＋3，g(x)＝x 2＋2x ＋m.(1)求证：函数f(x)－g(x)必有零点；(2)设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）m≤0或m≥2【解析】(1)证明：f(x)－g(x)＝(mx ＋3)－(x 2＋2x ＋m)＝－x 2＋(m －2)x ＋(3－m)．由Δ1＝(m －2)2＋4(3－m)＝m 2－8m ＋16＝(m －4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．(2)解：|G(x)|＝|－x 2＋(m －2)x ＋(2－m)|＝|x 2－(m －2)x ＋(m －2)|，Δ2＝(m －2)2－4(m －2)＝(m －2)(m －6)，①当Δ2≤0，即2≤m≤6时，|G(x)|＝x 2－(m －2)x ＋(m －2)，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件． ②当Δ2＞0，即m ＜2或m ＞6时，若m ＜2，则＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；若m ＞6，则＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m ＞6. 综上，m≤0或m≥2.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.函数y＝a x－3＋3恒过定点________．2.函数y＝的定义域是________．3.函数f(x)＝(a2－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．4.已知函数f(x)＝a＋是奇函数，则常数a＝________.5.函数y＝1＋|x－1|的值域为__________.6.函数y＝a x－(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)7.以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)①f(x)＝lnx；②f(x)＝e x；③f(x)＝e x－x；④f(x)＝e x＋x.8.设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a、b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．9.设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2)若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.10.已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．11.已知f(x)＝(e x－1)2＋(e－x－1)2，则f(x)的最小值为________．(x)＝取函数f(x)＝2－12.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK|x|.当K＝时，函数f(x)的单调递增区间为________．K二、解答题1.已知x∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．2.已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y＝－4＋2的最大值和最小值．3.已知函数f(x)＝|2x－1－1|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若a<c，且f(a)>f(c)，求证：2a＋2c<4.4.画出函数y＝的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程＝k无解？有一个解？有两个解？5.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．6.设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(3)求函数的值域．7.若函数f(x)＝a x(a>1)的定义域和值域均为[m，n]，求实数a的取值范围．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.函数y＝a x－3＋3恒过定点________．【答案】(3，4)【解析】当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)．2.函数y＝的定义域是________．【答案】【解析】由8－16x≥0，所以24x≤23，即4x≤3，定义域是3.函数f(x)＝(a2－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是________________．【答案】(－，－1)∪(1，)【解析】由0＜a2－1＜1，得1＜a2＜2，所以1＜|a|＜，即－＜a＜－1或1＜a＜.4.已知函数f(x)＝a＋是奇函数，则常数a＝________.【答案】－【解析】由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－.5.函数y＝1＋|x－1|的值域为__________.【答案】(1，2]【解析】设y′＝u，u＝|x－1|.由于u≥0且y′＝u是减函数，故0<|x－1|≤1，则1＜y≤2.6.函数y＝a x－(a>0，a≠1)的图象可能是________．(填序号)【答案】④【解析】当a>1时，y＝a x－为增函数，且在y轴上的截距0<1－<1，故①②不正确；当0<a<1时，y＝a x－为减函数，且在y轴上的截距1－<0，故④正确．7.以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)①f(x)＝lnx；②f(x)＝e x；③f(x)＝e x－x；④f(x)＝e x＋x.【答案】④【解析】若f(x)＝e x＋x，则f(x＋1)＝e x＋1＋x＋1＝e·e x＋x＋1>e x＋x＋1＝f(x)＋1.8.设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a、b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．【答案】g(a)<0<f(b)【解析】易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．9.设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2)若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.【答案】(1){x|0<x≤1} (2)①②③【解析】(1)因为c>a>0，c>b>0，a＝b且a、b、c不能构成一个三角形的三条边长，所以0<2a≤c，所以≥2.≥1，所以0<x≤1.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即＝2，即x＝2，＝log2(2)由a、b、c是△ABC的三条边长，知a＋b>c，因为c>a>0，c>b>0，所以0<<1，0<<1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝a x＋b x－c x＝c x>c x＝c x·>0，①正确；令a＝2，b＝3，c＝4，则a、b、c可以构成三角形，而a2＝4，b2＝9，c2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a，c>b，且△ABC为钝角三角形，则a2＋b2－c2<0.因为f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确10.已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．【答案】∪【解析】因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a＝－，所以f(x)＝－－，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是∪11.已知f(x)＝(e x－1)2＋(e－x－1)2，则f(x)的最小值为________．【答案】－2【解析】将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x＋e－x)2－2(e x＋e－x)－2，令t＝e x＋e－x，则g(t)＝t2－2t－2＝(t－1)2－3，t∈[2，＋∞)，所以，最小值为－2.(x)＝取函数f(x)＝2－12.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK|x|.当K＝时，函数f(x)的单调递增区间为________．K【答案】(－∞，－1)【解析】函数f(x)＝2－|x|＝，作图易知f(x)≤K ＝x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．二、解答题1.已知x ∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．【答案】最小值，最大值57. 【解析】f(x)＝－＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x ＋1＝2＋.∵x ∈[－3，2],∴≤2－x ≤8.则当2－x ＝，即x ＝1时，f(x)有最小值；当2－x ＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.2.已知9x －10×3x ＋9≤0，求函数y ＝－4＋2的最大值和最小值．【答案】y max ＝2.y min ＝1【解析】由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x －9)≤0，解得1≤3x ≤9，∴0≤x≤2.令()x ＝t ，则≤t≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －)2＋1，当t ＝即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.3.已知函数f(x)＝|2x －1－1|.(1)作出函数y ＝f(x)的图象；(2)若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c <4.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)f(x)＝其图象如图所示．(2)证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c <4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c <4.综上知，总有2a ＋2c <4.4.画出函数y ＝的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程＝k 无解？有一个解？有两个解？【答案】当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．【解析】由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．5.已知函数f(x)＝x 3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x ∈R ，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(－x)3＝－x 3＝－x 3＝x 3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x >1，即a x －1>0，所以＋>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a 的取值范围是a>16.设a ＞0，f(x)＝是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；(3)求函数的值域．【答案】（1）a ＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上为增函数（3）[2，＋∞)【解析】(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是＝＋3a ，即.因为a ＞0，故a ＝1.(2)设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(－1)．因为3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3)因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．7.若函数f(x)＝a x (a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，求实数a 的取值范围．【答案】1<a<【解析】由题意，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f′(x)＝a x lna －1，令f′(x)＝0，得x ＝log a＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴1<a<.。

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全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“如果x⊥y，y∥z，则x⊥z”是假命题，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形可能是() A．全是直线B．全是平面C．x，z是直线，y是平面D．x，y是平面，z是直线2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直二、填空题1.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．2.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .2.如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .3.如图，点C 是以AB 为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝BC .(1)证明：EO ∥平面ACD ；(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形可能是( )A ．全是直线B ．全是平面C ．x ，z 是直线，y 是平面D ．x ，y 是平面，z 是直线【答案】D【解析】当x 、y 、z 是A 、B 、C 中的几何图形时，命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是真命题，故选D.2.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【答案】C【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．故选C.4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l与β斜交．5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．故选D.6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.故选C.二、填空题1.已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．【答案】充分不必要【解析】E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．2.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．【答案】②④【解析】①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)【答案】①③【解析】过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，得AA 1⊥MN ，①正确；过M ，N 分别作MR ⊥A 1B 1，NS ⊥B 1C 1于点R ，S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M ，N 分别是AB 1，BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，所以A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③正确．三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，∴EC ∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA .∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面BEC 且EC ∩BC ＝C ， ∴平面BEC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面BEC ，∴BE ∥平面PDA .(2)连接AC ，交BD 于点F ，连接NF ，∵F 为BD 的中点，∴NF∥PD且NF＝PD，又EC∥PD且EC＝PD，∴NF∥EC且NF＝EC.∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.2.如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.3.如图，点C是以AB为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝BC.(1)证明：EO∥平面ACD；(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)如图，取BC的中点M，连结OM、ME.在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，∴OM∥AC，在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝BC＝CM，∴四边形MCDE为平行四边形，∴EM∥DC，∴面EMO∥面ACD，又∵EO⊂面EMO，∴EO∥面ACD.(2)∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，又∵面BCDE⊥面ABC，面BCDE∩面ABC＝BC，∴AC⊥面BCDE，又∵AC⊂面ACD，∴面ACD⊥面BCDE.。