2013年四川高考理科数学试卷

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(四川卷)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷(选择题共50分)
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{2}
C．{－2,2} D．∅
2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()．
A．A B．B
C．C D．D
3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()．
4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()．A．⌝p：∀x∈A,2x∉B
B．⌝p：∀x∉A,2x∉B
C．⌝p：∃x∉A,2x∈B
D．⌝p：∃x∈A,2x∉B
5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫
>-<< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．
A ．2，π3-
B ．2，π
6- C ．4，π6- D ．4，π
3
6．(2013四川，理6)抛物线
y 2＝4x
的焦点到双曲线
x 2－
2
3
y ＝1的渐近线的距离是( )．
A ．1
2
B ．2
C ．1 D
7．(2013四川，理7)函数3
31
x x y =-的图象大致是( )．
8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )．
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
9．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．
A ．14
B ．12
C ．34
D ．78
10．(2013四川，理10)设函数f (x )a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )．
A ．[1，e]
B ．[e －
1－1,1]
C ．[1，e ＋1]
D ．[e －
1－1，e ＋1]
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．(2013四川，理11)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD ＝λAO ，则λ＝__________.
13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则tan 2α的值是__________． 14．(2013四川，理14)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)
＜5的解集是__________．
15．(2013四川，理15)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：
①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．
17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22
cos 2
A B
-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35
-
， (1)求cos A 的值；
(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．
18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
当n＝2 1001,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点．
(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1； (2)设(1)中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角A －A 1M －N 的余弦值．
20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，
F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且
222
211
||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．
21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝
22,0,
ln,0,
x x a x
x x
⎧++<
⎨
>
⎩
其中a是实数．设A(x1，f(x1))，
B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；
(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．。