数学模拟试卷

高考模拟数学试卷
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．复数111z i i
=++
+在复平面上对应的点的坐标是 ．
2．已知集合121,A x -⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，{}
0,1,2B =，若A B ⊆，则x = ．
3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ．
4．函数3
2
()43f x x x =-- 在[1,3]-上的最大值为 ．
5．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”， “9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是 ．
6．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是 ．
7．已知函数()()()l g 10x x f x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的解集是 ．
8．已知四点()0,0,(,1),(2,3),(6,)O A t B C t ，其中t R ∈．若四边形O A C B 是平行四边形， 且点(),P x y 在其内部及其边界上，则2y x -的最小值是 ． 9．
函数π
π4
2y x ⎛⎫=
- ⎪
⎝⎭的部分图象如右图所示，则()
OA OB AB +⋅= ． 10．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任
意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的 取值范围是 ．
11．对于问题：“已知两个正数,x y 满足2x y +=，求
14x y
+的最小值”，给出如下一种解法： 2x y += ，()1411414(
)(5)
2
2y x x y x
y
x
y
x y
∴
+=
++
=
+
+
，
40,0,4y x x y x
y
>>∴
+
≥= ，1419(54)2
2
x
y
∴
+
≥
+=
，
当且仅当42y x x
y x y ⎧=
⎪⎨⎪+=⎩
，即23
43x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
时，
14x
y
+
取最小值
92
．
参考上述解法，已知,,A B C 是A B C ∆的三个内角，则19A
B C
+
+的最小值为 ．
12．过直线:2l y x =上一点P 作圆()()2
2
4325
x y -+-=
的两条切线12,,,l l A B 为切点，当直
线12,l l 关于直线l 对称时，APB ∠= ． 13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式
2
12
2
2
ma n
S a n n
≥+
对任意等差数列{}n a 及任意正整
数n 都成立，则实数m 的最大值为 ．
14．已知函数()f x 满足()1
2()f x f x =，当[]13x ∈,时，()ln f x x =，若在区间1
,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内，函数
()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）已知函数2
1()(1)sin sin()sin()
tan 4
4
f x x m x x x
ππ=+
++
-
．
（1）当0
m
=时，求函数()f x 在区间3(,
)8
4
ππ
上的取值范围；
（2）当tan 2
α
=时，6()5
f α=
，求m 的值．
16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和侧面11ACC A 均为
正方形，90BAC ∠= ，D 为BC 的中点． （1）求证：11//A B ADC 平面； （2）求证：11C A B C ⊥.
第16题图
17．（本小题满分14
分）如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距海
里的M,N两点，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长线与海平面交
于点O．已知点M在点O的正东方向，点N在点O的南偏西︒
15方向，2
2
=
ON海里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为︒
30和︒
60．
（1）求信号塔AB的高度；
（2）乙船试图在线段O N上选取一点P，使得在点P处观测信号塔AB的视角最大，
请判断这样的点P是
否存在，若存在，求出最大视角及O P的长；若不存在，说明理由．
B
A
O M
N
第17题图
18．（本小题满分16分）已知函数()()x
x f x x R e
=
∈．
（1）求函数()f x 的单调区间和极值；
（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，求证：当1x >
时，()()f x g x >；
（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明122x x +>．
19．（本小题满分16分）给定椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>，称圆心在坐标原点O，半径为
的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为
20)
F，其短轴上的一个端
点到
2
F
（1）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）若过点(0,)(0)
P m m<的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所
得的弦长为m的值；
（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线
12
,l l，使得12,l l与椭圆C都只有一个公共点，
试判断直线
12
,l l的斜率之积是否为定值，并说明理由．
20．（本小题满分16分）已知数列｛a n｝是以d为公差的等差数列，数列｛b n｝是以q为公比的等比数列.
（1）若数列｛b n｝的前n项和为S n，且a1＝b1＝d＝2，S3＜5b2＋a88－180，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列｛b n｝中是否存在一项b k，使得b,k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由；
（3）若b1＝a r，b2＝a s≠a r， b3=a t（其中t＞s＞r，且（s—r）是（t—r）的约数）求证：数列｛b n｝中每一项都是数列｛a n｝中的项.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．
． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE =BE ，E 在BC 上．求证：P E 是⊙O 的切线．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵A 1
012⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，若直线y kx =在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点(1,5)P ，求实数k 的值．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为112x t y t
=-⎧⎨
=+⎩（t 为参数）和sin cos sin 2x y θθθ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数）．分别写出曲线1C 和2C 的普通
方程并求出曲线1C 与2C 的交点坐标．
B
D ．（选修４－５：不等式选讲）已知正实数a b c ，，成等比数列，求证：
2222
()a b c a b c ++>-+．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．如图，P A ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝P A ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．
（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．
23．（1）已知,*k n N ∈，且k
n
≤，求证：1
1k k n n kC nC --=；
（2）设数列0123,,,,a a a a 是公差不为0的等差数列，证明：对任意的正整数n ，函数
()()()
()
1
2
1
22
012111n
n n n n
n n n n n p x a C x a C x x a C x
x a C x --=-+-+-++ 是关于x 的一
次函数．
P
A B
C D
E
第22题图。