数学归纳法举例一导学案
高中数学《数学归纳法》导学案
第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。
数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。
根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。
数学归纳法导学案01
§ 数学归纳法(1)学习目标1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3. 数学归纳法中递推思想的理解.104~ P 106，找出疑惑之处）复习1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.典型例题 例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.动手试试练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,21122221n n -++++=-三、总结提升学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.知识拓展意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 B.21a a ++ C.1a + D.231a a a +++2. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为A. B. )12(2+k C. 112++k k D. 132++k k3. 设*111()()122f n n N n n n=+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. B. 221+nC. 221121+++n nD. 221121+-+n n4. 已知数列的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想 5. 数列满足1221,3x x ==，且11112n n n x x x -++=（），则 .:1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++2. 用数学归纳法证明: 112(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n •+•-+•-+•=++。
《2.3.1数学归纳法》导学案.doc
临沂四中高二年级数学导学案§2.3数学归纳法(1)编写：杨祥明审核：魏宝玲编写时间：2014年3月20日班级姓名学习目标1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写；3.数学归纳法中递推思想的理解.学习过程—、课前准备复习：在数列｛%｝中，％ =l,a,s =—eN*),计算队，时S的值，猜测0｝的通项公式.1 +勺二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法思考1：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?思考2：你认为证明数列的通项公式是勾=上这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？n 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？试一试：你能证明数列的通项公式与=1这个猜想吗？总结数学归纳法两大步:(1)归纳奠基：(2)归纳递推:典型例题例1.用数学归纳法证明<2 与2 c2 2〃(乃 + 1)(2〃 + 1)I2 + 22 + 32 + ... + n2 = ------------ -------- - -------- ,n G N6跟踪练习：l + x + x2 H ----- X n = —.（〃G TV*,且尤丰 1）1-X（1）当n = 1时该等式的左端为___________________（2）当〃=上+ 1时该等式的左端为例2用数学归纳法证明：首项是为,公差是d的等差数列的通项公式是％ =为+(”-l)d，前〃项和的公式是c工n(n -1),S, = na. H ---------- a ." 1 2跟踪练习：用数学归纳法证明：首项是％ ,公比是q的等差数列的通项公式是a n =财心，前n项和的公式是S,=竺二^2.(g N 1 )。
i — q三、总结提升1.数学归纳法的步骤:2.数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题..当堂检测1.用数学归纳法证明〃边形的内角和为（〃一2）・180°时，需要验证的第一个值为.2.-------------------------------------------- 设f (幻=(* +1) + (* + 2) (k + k) k e N*时，贝U f(k +1) =L1 _ 〃〃+2在验证〃=1时，左端计算所得项为（). 3. 1 + a+a2+■■■ + a"+1 =—-—(ml),1 —CLA.1B. 1 +。
学案1：2.3数学归纳法
《数学归纳法》导学案【学习目标】了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.【重点难点】重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.难点：数学归纳法中递推思想的理解.模块一：自主学习，明确目标一．知识链接1综合法：2分析法:3反证法:阅读教材思考并回答以下问题1.多米诺骨牌全部的条件是什么:2.数学归纳法的定义？3.数学归纳法适用范围是什么?4.数学归纳法的步骤(原理)是什么?5.数学归纳法的步骤 (原理)中关键及难点是什么?6.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 你怎样理解这句话？. 模块二：合作释疑例1、在数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．模块三：巩固训练，整理提高例2. 用数学归纳法证明6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)．变式迁移2：数学归纳法证明13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2二．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思三．当堂检测：1．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n 过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 （ ）A. 2)2(kB.2)32(+kC. 2)12(+kD. 2)22(+k 2．数列｛a n ｝的通项公式为a n =()211+n ()N ∈n ，记f(n) =（1－a 1）（1－a 2）…（1－a n ），求f (1)，f (2)，f (3)．推测f (n)的表达式，并证明你的结论．(实验班)3．用数学归纳法证明不等式 )2(241321312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边（ ）A.增加了一项)1(21+kB. 增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C. 增加了一项)1(21121+++k k D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”【作业】答案例1【解析】a 2=12 ,a 3=13 ,a 4=14推测a n =1n 假设a k =1k 成立a k+1=a ka k +1=1k 1k +1=1k+1 由此可得a n =1n 对任意的n ∈N ∗都成立 例2【解析】n=1时，左边=右边，等式成立假设n=k 成立12+22+⋯+k 2=16k (k +1)(2k +1) 则n =k +112+22+⋯+k 2+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2=16(k +1)(2k 2+7k +6)=16(k +1)(k +2)(2k +3) =(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]综上6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)变式迁移2【答案】n=1时，显然成立假设n =k 时， 13+23+33+⋯+k 3=14k 2(k +1)2 成立 则n =k +1时，13+23+33+⋯+k 3+(k +1)3=14k 2(k +1)2+(k +1)3 =14(k +1)2(k 2+4k +4)=14(k +1)2[(k +1)+1]2 综上13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2当堂检测1【答案】 C2【解析】f(1)=34, f(2)=23,f(3)=58推测f(n)=2+n2(n+1)n=1时显然成立，假设n=k时，f(k)=2+k2(k+1)成立，则n=k+1时, f(k+1)=2+k2(k+1)(1−a k+1)=2+k2(k+1)(1−1(k+2)2)=2+k2(k+1)(k+1)(k+3)(k+2)2=2+(k+1)2[(k+1)+1]综上f(n)=2+n2(n+1)成立3【答案】B。
数学归纳法的导学案及答案
数学归纳法的导学案及答案主备人：周兴顺审核：包科领导：年级组长：使用时间：课题：第一章§4数学归纳法（共两课时本节为第一课时）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2.掌握数学归纳法证明问题的方法。
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【重点、难点】重点：数学归纳法。
难点：用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【学法指导】1根据学习目标，自学课本p16-p18内容，限时独立完成导学案；2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；【情境引入】不思不讲1.阅读章头插图---多米诺骨牌，思考“所有的骨牌都倒下”的条件：（1）第一块骨牌必须被推倒（2）若某一块骨牌倒下了，紧挨着的下一块骨牌，也要被倒下的这块骨牌被推倒，只要满足上述两个条件，所有骨牌就都倒下了。
若少了第一个条件，即使满足了第二个条件，就是摆好的骨牌，不会有一块倒下，即使你推倒中间某一开，引起了后边的骨牌倒下，由于第一块骨牌没有倒下，也不能称为所有骨牌都倒下；如果少了第二个条件，即出现某块骨牌倒下了，但紧挨着的下一块骨牌没有被推倒，后边的骨牌也都不会倒下，也就不是“所有的骨牌都倒下”。
满足了这两个条件的所有骨牌都倒下，与骨牌数量有关吗？没有关系，骨牌的数量可以是无穷多。
2.能用“多米诺骨牌效应”解释等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d吗？解：设等差数列｛a n｝的首项是a1，公差是d,(1)由于第一项是a1=a1 +（1-1）d,所以公式对第一项成立。
（2）如果公式对第k项成立，那么根据等差数列的定义，第k+1项是a k+1 =a k+d=a1+(k-1)d+d=a1+〔（k+1）-1〕d,即公式对第k+1项也成立。
从而公式对所有的项都成立。
即这个等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d。
【自主探究】不看不讲1、数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法。
2、数学归纳法的基本步骤是：（1）（归纳奠基）验证：n=1时，命题成立。
数学归纳法(选修2-2)导学案
数学归纳法应用举例学习目标：了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题。
一、 温故知新：1、 数学归纳法适用范围是什么？用数学归纳法证题步骤是什么？应用数学归纳法应该注意那些问题？2、 用数学归纳法证明22111(,1)1n n a a a a n N a a++*-++++=∈≠-L ，在验证n=1时，左边旳项是________________________。
3、 用数学归纳法证明(1)(2)(3)()2123(21),n n n n n n n n N *++++=⋅⋅⋅⋅⋅-∈L L 时，从“1n k n k =→=+”，两边应乘的代数式是A.22k +B.(21)(22)k k ++C.221k k ++ D.(21)(22)1k k k +++ 4、用数学归纳法证明111111111,234212122n N n n n n n*-+-++-=+++∈-++L L 则“1n k n k =→=+”时，左边需要添加的项是 A.121k + B.112+224k k -+ C.122k -+ D.112122k k -++二、典例引领例1、 用数学归纳法证明：211111(1)(1)(1)(1)(2)49162n n n n +----=≥L例2、 用数学归纳法证明：凸n 边形内角和()(2)f n n π=-，(3)n ≥。
例3、 用数学归纳法证明：对n N *∀∈，731n n +-能被9整除。
例4、 当2n ≥且n N *∈时，求证：11111312324n n n n n ++++>++++L 。
三、 拓展训练：已知数列{}n a 中，211,,()n n a S n a n N *==∈，（1）求2,3,4,a a a 并猜想出n a 的表达式； （2）证明你所得的结论。
四、作业布置：。
6数学归纳法1高二导学案
笫一章数学归纳法导学案（1）学习目标：了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
掌握数学归纳法证明问题的方法。
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
学习重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
学习难点：．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
学习过程： 一、自主学习多米诺骨牌游戏：在平整的地面上竖立着很多骨牌，任何两块骨牌之间有恰当的距离时，笫一块骨牌倒下，就会使笫二块倒下，第二块倒下就会导致笫三块倒下， ，已致所有骨牌倒下。
分析：多米诺骨牌游戏.成功的两个条件：（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
问题：对于任意正整数n ，等式22221123(1)(21)6n n n n ++++=++是否成立？对于与正整数n 有关的数学命题，怎样证明它们对每一个正整数n 都正确呢？对这类问题的证明方法不止一种，其中数学归纳法是证明这类问题的一种通用方法。
1. 数学归纳法：数学归纳法是用来证明某些与___________有关的数学命题的一种方法.2.______________⎧⎪→⎨⎪⎩验证____________时,命题成立.数学归纳法证明步骤在假设当时命题成立的前提下,推出n=k+1时,命题也成立.由此可知对从第1个开始的所有的__________,命题都成立.二 合作学习例1. 用数学归纳法证等式222*12(1),()1335(21)(21)2(21)n n n n N n n n ++++=∈⋅⋅-++成立例2. 已知数列{}n a 满足11a =，11nn na a a +=+，求出234,,a a a 的值，并由此归纳出此数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的归纳是正确的。
例3. 对一切大于1的正整数，求证不等式11121(1)(1)(1)35212n n ++++>-均成立.三 课堂练习1. 利用数学归纳法证明“22111(1,)1n n a a a aa n N a++*-++++=≠∈-”时，在验证1n =成立时，左边应该是( )A 1B 1a +C 21a a ++D 231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)23. 某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立4. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________________.5. 用数学归纳法证明下面的等式 12－22＋32－42＋＋(－1)n －1·n 2＝1(1)(1)2n n n -+-四、课后练习1.如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立，若P (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．P (n )对所有正整数n 都成立B ．P (n )对所有正偶数n 都成立C ．P (n )对所有正奇数n 都成立D ．P (n )对所有自然数n 都成立2. 利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．12k - 项D ．2k 项 3. 对于不等式 n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由（1）（2）可知不等式 n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，且n ＞1)时，第一步应验证不等式( B )A ．1＋12＜2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜35. 若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________________________.． 6. 用数学归纳法证明：12＋32＋52＋＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．7．用数学归纳法证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n＜2n (n ∈N *)．8．对于正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a na n ＋1(n ∈N *)．(1) 求a 2的值； (2) 证明：不等式1n n a a +<对于任意的n ∈N *都成立．9. 是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋＋n 2＋(n －1)2＋＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．例1．证明：（1）当1n =时,左边211133==⨯, 右边1(11)12(211)3⨯+==⨯⨯+, 即等式成立.（2）假设()n k k N *=∈时等式成立,222*12(1),()1335(21)(21)2(21)k k k k N k k k ++++=∈⋅⋅-++ 当1n k =+时，222*12(,(1335k k kk N k k k k k k k +++++++=+∈⋅⋅-++++++ 22(1)(1)(23)(1)(21)(2)2(21)(23)2(21)(23)k k k k k k k k k k k +++++++==++++(1)(2)2(23)k k k ++=+， 即1n k =+时等式也成立.由（1）（2）两步可知对任意正整数n ，等式222*12(1),()1335(21)(21)2(21)n n n n N n n n ++++=∈⋅⋅-++成立 例2．解：12341111,,,234a a a a ====，由此可归纳出1n a n =. 下面用用数学归纳法证明此公式成立(1) 当1n =时,由上面可知公式成立, (2) 假设()n k k N *=∈时公式成立, 即1k a k=当1n k =+时, 1111111k k k a ka a k k+===+++，即1n k =+时，公式也成立。
人教版选修2-2 2.3 数学归纳法导学案
2.3 《数学归纳法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-04-06【学习目标】1、了解数学归纳法的原理；2、能运用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【学习重点】运用数学归纳法证明有关的数学命题【学习难点】数学归纳法的原理以及运用数学归纳法证明有关的数学命题【预习导航】下图为多米诺骨牌：如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？【问题探究】探究活动一：什么是数学归纳法?例 1 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n×(2n＋2)＝n4(n＋1).探究活动二：数学归纳法的应用范围及注意事项例2 已知正项数列{b n}的前n项和B n ＝14(b n＋1)2.(1) 求出b1，b2，b3，b4的值；(2) 猜想{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明．探究活动三：如何运用数学归纳法证明有关的数学问题？【课堂巩固练习】1、用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中0n的取值应为( )A．1 B．2 C．3 D．42、用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝2)1(kk，则当n＝k＋1时，表达式应为__________.3、证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(其中n∈N*)．【总结概括】本节课的收获：【分层作业】必做题：教材第96页习题2.3第1,2题选做题：同步练习册课后作业提升习题。
数学归纳法导学案
2.3数学归纳法(导学案)主备人：韩爱芳 高二数学组【本课时知识目标】(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)了解数学归纳法的原理及使用范围(3)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题【教学重点】 理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。
【教学难点】 递推步骤中归纳假设的利用。
【教学过程】一、创设问题情境情境一：问题1:袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？问题2.某人站在13-1班门口，看到连续有20个男生进入1班，于是深有感触的说：“这个班的学生都是男生”。
你认为正确吗？问题3.对于数列{}n a ,已知111,1n n na a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式。
这个猜想是否正确，如何证明？情境二: 多米诺骨牌游戏 问题4.要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、探索新知思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决问题3吗？三、知识应用 例1.用数学归纳法证明: *)(N n ∈6)12)(1(3212222++=++++n n n n例2．用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ *)(N n ∈四﹑课堂练习 ①用数学归纳法证明：()N n a aa a a a n n ∈≠-+=++++++,1111212 在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）A ．1 B.a +1 C ．21a a ++ D.321a a a +++ ②用数学归纳法证明命题时，假设111()122k S k N k k k+=+++∈++ 那么 ______________________1+=+K K S S (不需要化简)③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？证明：2222(1)(21)123()6n n n n n N +++++++=∈ 证明：（1）当1n =时，左边=1，右边=(11)(21)16++=等式成立 （2）假设当n k =时等式成立即2222(1)(21)1236k k k k ++++++= 当1n k =+时代入2222(1)(21)1236n n n n ++++++=得 [][]22222123(1)(1)(2)(23)6(1)(1)12(1)16k k k k k k k k +++++++++=+++++= 所以当1n k =+时等式成立由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。
《用数学归纳法证明贝努利不等式》 导学案
《用数学归纳法证明贝努利不等式》导学案一、学习目标1、理解贝努利不等式的内容和形式。
2、掌握数学归纳法的基本步骤和原理。
3、学会用数学归纳法证明贝努利不等式。
二、知识回顾1、数学归纳法的定义数学归纳法是用于证明与自然数有关的命题的一种方法。
它的基本步骤包括：（1）验证当 n 取第一个值 n₀时命题成立。
（2）假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k ∈ N）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
2、常见不等式（1）基本不等式：对于任意正实数 a，b，有\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）。
三、贝努利不等式的内容对于任意实数 x ＞－1，且x ≠ 0，以及任意正整数 n，有\（（1 ＋x)＾n ＞ 1 ＋ nx\）。
四、数学归纳法证明贝努利不等式1、当 n ＝ 1 时左边＝＼（1 ＋ x\），右边＝＼（1 ＋ 1×x ＝ 1 ＋ x\），左边＝右边，不等式成立。
2、假设当 n ＝ k（k ≥ 1，k ∈ N）时，不等式\（（1 ＋ x)＾k ＞ 1 ＋ kx\）成立。
3、当 n ＝ k ＋ 1 时＼（（1 ＋ x)＾｛k ＋ 1} ＝（1 ＋ x)（1 ＋ x)＾k\）因为\（（1 ＋ x)＾k ＞ 1 ＋ kx\）（假设成立），所以：＼（（1 ＋ x)（1 ＋ x)＾k ＞（1 ＋ x)（1 ＋ kx)＼）展开可得：＼（（1 ＋ x)（1 ＋ kx) ＝ 1 ＋ kx ＋ x ＋ kx^2 ＝ 1 ＋（k ＋ 1)x ＋kx^2\）因为 x ＞－1 且x ≠ 0，所以＼（kx^2 ＞ 0\），则＼（1 ＋（k ＋1)x ＋ kx^2 ＞ 1 ＋（k ＋ 1)x\）即\（（1 ＋ x)＾｛k ＋ 1} ＞ 1 ＋（k ＋ 1)x\）综上，由数学归纳法可知，对于任意实数 x ＞－1，且x ≠ 0，以及任意正整数 n，贝努利不等式\（（1 ＋ x)＾n ＞ 1 ＋ nx\）成立。
《数学归纳法》教案、导学案与同步练习
《4.4数学归纳法》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数学归纳法前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。
但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。
因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。
数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。
并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。
发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
【教学目标与核心素养】【教学重点和难点】重点：用数学归纳法证明数学命题难点：数学归纳法的原理.【教学过程】我们先从多米诺骨牌游戏说起，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。
这样，只要推到第骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下（1）第一块骨牌倒下；(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式,求通项或前n 项和.②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题.跟踪训练2数列{a n }满足S n =2n-a n (S n 为数列{a n }的前n 项和),先计算数列的前4项,再猜想a n ,并证明. 解:由a 1=2-a 1,得a 1=1; 由a 1+a 2=2×2-a 2,得a 2=32;由a 1+a 2+a 3=2×3-a 3,得a 3=74;由a 1+a 2+a 3+a 4=2×4-a 4,得a 4=158. 猜想a n =2n -12n -1.下面证明猜想正确:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立. (2)假设当n=k 时猜想成立, 则有a k =2k -12k -1,当n=k+1时,S k +a k+1=2(k+1)-a k+1,∴a k+1=12[2(k+1)-S k ] =k+1-12(2k -2k -12k -1)=2k+1-12(k+1)-1, 所以,当n=k+1时,等式也成立.【教学反思】由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。
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理：§2.3.2 数学归纳法应用举例（1）
学习目标
1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
2.数学归纳法中递推思想的理解.
学习重点难点
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
学习过程 一、课前准备
（预习教材P 71~ P 72，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？
复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务：数学归纳法的各类应用 ※ 典型例题
例1用数学归纳法证明：2222*(1)(21)
123,6
n n n n n N ++++++=∈
变式：证明1
123...(1)2
n n n ++++=+
例2 证明:平面上n 个圆最多把平面分成2
2n n -+个区域。
变式：证明:平面内n 条直线，最多把平面划分成多少个区域？并证明你的结论。
例3求证：当5n ≥时，2
2n n >
※ 动手试试
练1. 用数学归纳法证明：2
2
2
2
21
135...(21)(41)3
n n n ++++-=
-
练 2. 平面内有n (2)n ≥条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数
(1)
()2
n n f n -=
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;
2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.
3、不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明
*1(1)()
n
n N n
+∈的单调性就难以实现.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测
1. 使不等式122
+>n n
对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是
A. )(n p 对所有自然数n 都成立
B. )(n p 对所有正偶数n 成立
C. )(n p 对所有正奇数n 都成立
D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立
3. 用数学归纳法证明不等式1111127
124264
n -++++> 成立，起始值至少应取为
A.7
B. 8
C. 9
D. 10
4. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .
5. 用数学归纳法证明等式
123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时,当1n =时左边表达式是 ;从1k k →+需增添的项的是 .
6. 给出四个等式: 1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3 1-4+9-16=-(1+2+3+4) ……
猜测第n 个等式，并用数学归纳法证明.。