1.2.命题及其关系、充分条件与必要条件

三直接判断比较困难时,可举出反例说明.
(2)判断充分、必要条件的两个常用方法:一是定义法,判 断p是q的什么条件,实际上就是判断p⇒q或q⇒p是否成立.二是
集合法,把条件和结论转化为集合,借助集合关系进行判定.
(1)设x∈R,则“x=2”是“复数(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的 C ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
第二节 命题及其关系、 充分条件与必要条件
一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的 陈述句叫做命题．其中 判断为真 的语句叫做真命题， 判断为假 的语句叫做假命题． 二、四种命题及其关系 1．四种命题
命题 原命题 逆命题 表述形式 若p，则q
若q，则p
否命题
逆否命题
若﹃p，则﹃ q 若﹃ q，则﹃ p
5.若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的必要不充分条
( , ) 件,则实数a的取值范围是 4 1
.
解析:因为一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解的充要条件是Δ=1-4m≥0,
1 1 即 m≤ ,而“m≤a”是其必要不充分条件, 所以 a> . 4 4
考点专项突破
考点一 四种命题及真假判断
考点二
充分条件、必要条件的判断
例2 (1)(2015浙江卷)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的 D ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 A (2)(2015陕西卷)“sinα =cosα ”是“cos2α =0”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 归纳 (1)在求解这类问题时应注意以下三点:一要分清条件与 结论分别是什么;二要从充分性、必要性两个方面进行判断;
在讲练中理解知识
【例 1】 (2015 青岛模拟)关于命题“若抛物线 y=ax +bx+c 的开口向下,则 {x|ax +bx+c<0}≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列
2
2
结论成立的是( (A)都真Biblioteka D)(B)都假 (C)否命题真
断真假
(D)逆否命题真
先表示再判 (2016合肥模拟)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正确的是( ) D (A)否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题 (B)逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命 题 (C)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命 题 (D)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真
题 的一个充分不必要条件可以是(
B
)
A充要 CD必要不充分
(A)a≥4 (B)a>4 2 (C)a≥1 (D)a>1 2 (2)设命题p:实数x满足x -4ax+3a <0,其中a<0;命题q:实数x 满足x2+2x-8>0,且q是p的必要不充分条件,则实数a的取
值范围是 （∞,-4] .
归纳 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题 时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据 集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
A=B
A,B互不包含
夯基自测 1.给出命题:“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆
命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( D (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
)
2.(2015高考山东卷)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是( ) D (A)若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 (B)若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 (C)若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 (D)若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
3.(2016 贵阳市高三适应性监测)若 x,y∈R,则 x>y 的一个充分不必要条件是 (C ) 2 2 3 3 (A)|x|>|y| (B)x >y (C) x > y (D)x >y
4.(2015高考重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的( A ) (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
(2)集合与充要条件
条件,q 是 p 的必要 条件 条件 pq 且 q p 条件 p q 且 qp 条件 p⇔q 条件 p q且q p
p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为B p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 A是B的真子集 B是A的真子集
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
【即时训练】 (2016合肥模拟)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上 是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ) (A)否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题 (B)逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命 题 (C)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命 题 (D)逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真 解析:f′(x)=ex-m, 命题 由f(x)在(0,+≦)上是增函数知f′(x)≥0, 即m≤ex在x∈(0,+≦)上恒成立, 又ex>1,从而m≤1,则原命题是真命题. 对于A,否命题写错,故选项A错; 对于B,逆命题写对,但逆命题是真命题,故选项B错; 对于C,逆否命题写错,故选项C错; 对于D,逆否命题写对,且为真命题.故选D.
(2)已知直线l1:ax+y=1和直线l2:9x+ay=1,则“a+3=0”是 “l1∥l ) C2” 的( (A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件
考点三
充分条件、必要条件的探求与应用
例3 (1)(2015龙岩模拟)命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命
(2)(2015 兰州模拟)已知命题 p:x2+2x-3>0,命题 q:x>a,且 q 的充分不必要 条件是 p,则 a 的取值范围是( ) (A)(-∞,1] (B)[1,+∞) (C)[-1,+∞) (D)(-∞,-3]
解析:(2)由题意知 p q,且 q p, 则有 q p,且 p q.从而 p 是 q 的必要不充分条件. 所以{x|x>a} {x|x2+2x-3>0},即{x|x>a} {x|x>1 或 x<-3}, 从而 a≥1.故选 B.
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系 ． 逆命题,所以在命题不 （3）原命题等价于逆否命题,否命题等价于 容易证明时,往往找等价命题进行证明.
三、充分条件与必要条件 (1)相关概念 若 p q,则 p 是 q 的 充分 p 是 q 的 充分不必要 p 是 q 的 必要不充分 充要 p是q的 p 是 q 的 既不充分也不必要
(2)要注意区间端点值的检验.
记号
(1)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( (A)a>b+1 (B)a>b-1 (C)a2>b2 (D)a3>b3
)
解析:(1)a>b+1 ⇒ a>b; 反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b 成立的充分而不必要条件.故选A.