巩固练习1

【巩固练习】一、选择题1.（2016春 巫溪县校月考）如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为（ ）A ．4∶1B ．3∶1C ．2∶1D ．5∶12.（2015春 天津期末）如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，若EF ∥BC ，△EFA 与四边形EFCB 的面积相等，则EF BC等于（ ）A ．12 B ．2 C ．14D ．43. （2015春 海南校级其中），如图所示，a ∥b ∥c ，直线AB 与a 、b 、c 分别相交于A 、E 、B ，直线CD 与a 、b 、c 分别相交于C 、E 、D ，AE=EB ，则有（ ）A ．AE=CEB ．BE=DEC ．DE=DED ．CE ＞DE4.（2015春 宁化县校级月考）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2015春 周口校级月考）如图在Rt △ABC 中∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=3.6，则BD=________。

6.（2014 郴州二模）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB ，垂足为D ，且AD=5DB ，设∠COD=θ，则tan θ的值为________。

7.（2015秋 天津月考改编）如图，以AB=8为直径的圆与△ABC 的两边分别交于E ，F 两点，∠ACB=60°，则EF=（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题8．（2014春 兴庆区校级期中）如图所示，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且2AD DB=，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是9．（2015 珠海校级四模）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点。

过P 作⊙O的切线，切点为C ，PC =，若∠CAP=30°，则⊙O 的直径AB=________。

10. （2016 天津二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D。

若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=________。

11．（2015秋邯郸校级月考改编）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为三、解答题12．（2014秋南湖区校级月考改编）如图，在△ABC中，M是AC的中点，点E在AB上，且14AE AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求BCCD的值13.（2014 永春县校级自主招生改编）如图，矩形ABCD中，AE平分∠ABD交BC于E，∠CAE=15°，则以下结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S △COE；⑤∠AEO=30°，其中正确的有几个？并加以证明14. （2016 岳阳校级一模）如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E。

（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE15. （2016 太原校级二模）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC 。

（1）求证：CE ·EB=EF ·EP ；（2）若CE ∶BE=3∶2，DE=3，EF=2，求PA 的长。

【答案与解析】1.【答案】 【解析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，∵D 是BC 的中点，则12DG EC =， 又AE=2EC ，故AF ∶FD=AE ∶DG=2EC ∶12EC=4∶1。

故选：A 。

2. 【答案】∵△AEF 与四边形EFCB 的面积相等，∴△AEF 与△ACB 的面积相的比为1∶2，∵EF ∥BC ，∴2EF BC = 故选：B 。

3. 【解答】由题意，∠A=∠B ，AE=EB ，∠AEC=∠BED ，∴△AEC ≌△BED ，∴CE=DE ，故选：C 。

4.【答案】【解析】设FP=a ，CG=x ，∵GP ∥CD ，点G 在线段DK 上，∴Rt △DCG ∽Rt △GPK ，∴44x x a a+=+，解得x=a 。

设FM=y ，由△MFG ∽△MRK ，可得4y a y a =-，可得44a y a =+。

∴△DEK 的面积2111(4)4(4)222S a a a a =+++-+。

故选：D 。

5.【答案】∵△ABC 是直角三角形，CD ⊥AB ，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB=， ∵AC=6，AD= 3.6，∴AB=10，∴BD=10－3.6=6.4。

故答案为：6.4。

6. 【答案】令圆O 的半径为R ，即OA=OB=OC=R∵AD=5DB ∴23OD R =，53AD R =，13BD R = 由相交弦定理可得：2259CD AD BD R =⋅=∴3CD R =∴3tan 223CD OD R θ===故答案为：27.【答案】【解析】如图，连接AE ，∵AB 为圆的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°又∵∠ACB=60°∴CA=2CE由圆内接四边形性质易得：∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的） 又因为∠C=∠C∴△CEF ∽△CBA ∴12EF CE BA CA == 又∵AB=8∴EF=4故答案为：C 。

8. 【答案】45【解析】∵2AD DB =，∴23AD AB = 又∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ，相似比是2∶3，面积的比是4∶9设△ADE 的面积是4s ，则△ABC 的面积是9a ，四边形DBCE 的面积是5a ∴△ADE 与四边形DBCE 的面积的比是45。

9. 【答案】4 【解析】解：连接BC ，设圆的直径是x则三角形ABC 是一个含有30°角的三角形， ∴12BC AB = 三角形BPC 是一个等腰三角形，12BC BP AB ==， ∵PC 是圆的切线，PA 是圆的割线， ∴22133224PC PB PC x x x =⋅=⋅=，∵PC =，∴x=4，10. 【答案】4 【解析】∵PA 是圆O 的切线，∴PA 2=PD ·PB=9，可得PA=3。

∵∠PAC 是弦切角，夹弧ADC ，∴∠PAC=∠ABC=60°，∵△APE 中，PE=PA ，∴△APE 是正三角形，可得PE=AE=PA=3。

∴BE=PB －PE=6，DE=PE －PD=2∵圆O 中，弦AC 、BD 相交于E ，∴BE ·DE=AE ·CE ，可得6×2=3EC ，∴EC=4，故答案为：4。

11.【解析】解：连结AE 、OD 、OE ，∵AB 是直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，∴∠AOD=2∠AED=60°，∵OA=OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠OAD=60°，∵点E 为BC 的中点，∠AEB=90°，∴AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，边长是4，△EDC 是等边三角形，边长是2， ∴∠BOE=∠EOD=60°，∴BE 的弦BE 围成的部分的面积=DE 和弦DE 所围成的部分的面积。

∴阴影部分面积之和=S △EDC 22= 12. 【解析】如图所示，过点C 作CF ∥AB 交DE 于点F 。

∴1CF CM AE AM==， 又14AE AB =， ∴13CF BE =。

∵CF ∥AB ， ∴13CD CF BD BE ==。

∴21BC CD =。

13. 【解析】∵矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=60°，∵∠CAE=15°，∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，又∵矩形中OA=OB=OC=OD ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴△ODC 是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB=OA ，∴AC=2AB，由垂线段最短BC＜AC，∴BC＜2AB，故②错误；∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∴BO=BE，∵∠COB=180°－60°=120°，∴∠BOE=12(180°－30°)=75°,∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，∠AEO=30°，故③⑤正确；∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①③④⑤。

14. 【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCN ∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠ABC BC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证明△ABE∽△DEC∴46 DE DCx AB==∴23 DE x=又AE·EC=BE·EC EC=6－x∴24(6) 3x x x ⨯=-∴103 x=即要求的AE的长是10 315. 【解答】（1）证明：∵DE2=EF·EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C。

又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF ∽△EPA 。

∴EA EP EF ED=，∴EA ·ED=EF ·EP 。

又∵EA ·ED=CE ·EB ，∴CE ·EB=EF ·EP ；（2）∵DE 2=EF ·EC ，DE=3，EF=2。

∴32=2EC ，∴92CE =。

∵CE ∶BE=3∶2，∴BE=3。