第3章 正弦稳态电路的分析01

第三章 正弦稳态电路的分析
§ 3 - 1 正弦信号与相量 § 3 - 2 电路的相量模型
§ 3 - 3 正弦稳态电路的功率 § 3- 4 耦合电路
§ 3 - 5 频率响应与网络函数
§3 - 6 电路谐振
§ 3 - 7 三相电路
3.1 正弦信号与相量
直流电和正弦交流电
前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小
和方向是不随时间变化的,用大写字母U,I表示。
I， U
O
直流电压和电流
t
正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的
u i
O
实际方向和参考方向一致
＋
－
正弦电压和电流
i
t
实际方向和参考方向相反
i
+


+
_u
R
_u
R
正半周 实际方向和参考方向一致
负半周
实际方向和参考方向相反
一.
正弦量的三要素
i + u _ 在选定的参考方向下，可以用 数学式表达瞬时值电流 i(t)：
i(t)=Imcos(w t + i )
初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 幅值：决定正弦量的大小
i
Im
O
T t
Im,w, i 这3个量一确定，正弦 量就完全确定了。所以，称这3个 量为正弦量的三要素。
i
正弦量的三要素：
i (1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im： 反映正弦量变化幅度的大小。
u, i u
u 领先 i /2。（ 不说 u 落后 i 3/2）； i 落后 u /2。（不说 i 领先 u 3/2）。
i O
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。 下面所讨论的相位差都是同频率正弦量之间的相位差。
例.
i1=20cos(314 t + 30 ) A
正误判断
u 220 sin(ω t 45)V
220 U 45 V？ 2 j45
有效值
1.已知：
3.已知：
相量
4 e j30 A I
4 2 sin ( ω t 30 )A？
瞬时值
U m 220 e 45 V？
2.已知： I 10 60 A
o
试用相量表示 i , u 。 解：
I 100 30 A
o


U 220 60 V
o

例2.
已知 I 50 15 A, f 50Hz .

试写出电流的瞬时值表达式。
解：
w 2f 314

i 50 2cos(314 t 15 ) A
二、 相量运算 1、 复数运算
相量图（相量和复数一样可以在平面上用向量表示）
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图， 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U
j
ψ２ ψ１
Ι
电压相量
比电流相量 I U
超前
j角
注意
1. 只有正弦周期量才能用相量表示。
2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量 。
Im
O
imax=Im
imin= - Im
正弦量的极大值
正弦量的极小值
2
wt
i
imax - imin =2Im 正弦量的峰-峰值
瞬时值和幅值
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如 i、u、e 等。
如Im、Um、Em等。
瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示，
w t + i 称为相位或相角。
例. 同频方波相加
方波
方波
不是方波
四、 正弦量的相量表示法
1、复数表示形式：
(1) 代数式 A =a + jb 式中: a r cos ψ b
+j
A

0
r
a
+1
b r sin ψ
r a 2 b2 复数的模 b ψ arctan 复数的辐角 a
(2) 三角式
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ )
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号
用小写字母表示
用大写字母表示
用带下标m的大写字母表示
为什么用正弦量 ?
主要考虑以下几点： 1. 正弦量是最简单的周期量之一，同频正弦量在加、减、 微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量； 2. 应用广泛；
3. 非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦函数。
由欧拉公式:
cos ψ
jψ
e
jψ
e 2
j ψ
e j ψ e j ψ , sin ψ 2j
可得: e
cos ψ jsin ψ
(3) 指数式 A r e j ψ
(4) 极坐标式 A r ψ
A a jb r cos j r sin re
jψ
r ψ
(3) 初相位(initial phase angle)i ：
i(t)=Imcos(w t + i )
(w t+ i )表示正弦量随时间变化的进程，称之为相位 或相角。它的大小决定该时刻正弦量的值。 当t=0时，相位 (w t+i )=i
i为初相位(角)，简称初相。
初相位(角)的单位可以用度或者弧度。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
根据热效应相等有：

T
0
i R dt
交流
2
I RT
直流
2
则 I
由
1 T

T
0
i 2 dt
COS
可得正弦电流的有效值：
I
Im 2
Em E 2
Um 正弦电压和电动势的有效值： U 2
有效值都用大写字母表示！
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐 压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水 平时应按最大值考虑。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值
i
i
i =0
O
O
t
t
i
i
i = /2
t
i
i =-/2
t
O
O
i
i <0
i
i >0
O
t
O
t
一般规定：| i | 。
二. 相位差 (phase difference)：
两个同频率正弦量相位角之差。
设
u(t)=Umcos(w t+ u) i(t)=Imcos(w t+ i)
则 相位差 j :
F1 a1 jb1 F2 a2 jb2
a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 2 2 j 2 2 ( a2 ) ( b2 ) ( a2 ) ( b2 )
j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。
j >0 u, i
u 领先(超前)i j 角，或i 落后(滞后) u j 角。 u
i
u比i 先到达最大值。
u
O
wt
u >0
i <0
i j
i 领先(超前) u j 角，
j u- i >0
(2) 角频率(angular frequency)w ： 为相角随时间变化的速度。 Im
O
i 2
wt
d (wt i ) w dt
反映正弦量变化快慢。
i
2 w 2f T
f =1/T
相关量： 频率f (frequency)和周期T (period)。 频率f ：每秒重复变化的次数。 周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位： w ：rad•s-1 ，弧度•秒-1 f ：Hz，赫(兹) KHz，MHz，GHz。 T ：s，秒 mS，μS，nS。
。
画出它们的波形并判断 哪一个电流超前哪一个 电流滞后。
i1
i2=10cos(314 t - 45 ) A i1 i2 i2
O
。
j 30 - （-45 ） >0
wt
电流i1超前i2 75 。
。
。
。
三、周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量 其大小，工程上采用有效值。 1. 有效值(effective value)定义 电流有效值I 定义为：
2
3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和最大值(或有效值)就行了。
复数向量也是一个大小、一个幅角，因此，我们可 以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量 的计算，使计算变得较简单。
3、 正弦量的相量表示
表示正弦量的复数称为相量 复数的模表示正弦量的幅值或有效值
乘法：模相乘，角相加；
arg( F1 F2 ) ( 1 2 )
乘法：模相乘，角相加；
若 则 F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2
F1 F2 =| F1 | | F2| 1 2
若
F1=a1+jb1
F2=a2+jb2
( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a2 jb2 )( a2 jb2 )