量子力学课件(4)

等式两边是相互 无关的物理量， 故应等于与 t, r 无关的常数
1 d 1 2 2 i f (t ) V ] ( r ) [ f ( t ) dt ( r ) 2
d i dt f ( t ) Ef ( t ) 2 [ 2 V ] ( r ) E ( r ) 2
6.1 波函数
• 3个问题？ (1)是怎样描述粒子的状态呢？
(2)如何体现波粒二象性的？ (3)描写的是什么样的波呢？
6.1 波函数
, t A exp ( px Et ) （x ）
i h
描写自由粒子 的平 面 波
称为 de Broglie 波。此式称为 自由粒子的波函数。 •如果粒子处于随时间和位置变化的力 场中运动，他的动量和能量不再是常量 （或不同时为常量）粒子的状态就不能 用平面波描写，而必须用较复杂的波描 写，一般记为： ei 描写粒子状态的波
(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可 能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。 这些问题在1926年Schrodinger 提出 了波动方程之后得到了圆满解决。
2 d2 d2 d2 i (r , t ) （ 2 + 2 + 2 ）+V (r , t ) t dy dz 2i dx
改写成
ˆ H E
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数
乘以该函数，这与数学物理方法中的本征值方 程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成 本征值问题；
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件， 对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的 自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的 方程为束缚的本征值方程。常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本 征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒 子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征 函数相应的能量算符的本征值。
动能、势能表示为
2 2 2 p 1 ˆ T T i i i 2m 2 m x y z 2 2 2 2 2 2 2 2m x y z 2
6.4 概率流密度 在讨论了状态或波函数随时间变 化的规律后，我们进一步讨论粒子在 一定空间区域内出现的概率将怎样随 时间变化。粒子在 t 时刻 x 点周围 单位体积内粒子出现的概率即概率密 度是：
w( x, t ) ( x, t ) ( x, t ) | ( x, t ) |2
讨论：
d dt


w( r , t ) d 0
表明，波函数归一化 不随时间改变，其物 理意义是粒子既未产 生也未消灭。
（1）这里的概率守恒具有定域性质，当空间某 处概率减少了，必然另外一些地方概率增加，使 总概率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。
量子力学的质 （2） 以m wm J m 0 量守恒定律 乘连续性方 t w mw m | (r , t ) |2 程等号两边， 得到： i
令：
( r , t ) ( r ) f ( t )
代 入
两边同除 (r ) f (t )
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2
两边同除 (r ) f (t )
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2
空间波函数ψ(r)可由方程
2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 2
和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。 该方程称为定态 Schrodinger 方 程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可 看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。
能量本征值方程
将
[ 2 V ] E 2
E
f (t ) ~ e iEt /
于是：
i Et ( r , t ) ( r )e
( r , t ) ( r )e
i Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的， 其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关 系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t) 所描写的状态时的能量。也就是说，此时 体系能量有确定的值，所以这种状态称为 定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。

w J 0 t
其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形 式相同
dS
使用 Gauss 定理
i J [ ] 2m

S
闭区域τ上找 到粒子的总概 率在单位时间 内的增量
d w(r , t )d S J dS dt w(r , t ) S是体积的表面。
拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 x x x 2
2
而对一般的（非自由）粒子，它的能量表示为
p2 E V 2m
仿照算符的对应规则
E p x py pz ˆ

i
t
x ˆ p y i y ˆ p z i z ˆ p x i
第二章 薛定谔方程
§6 波函数 薛定谔方程 §7 箱中粒子 §8 一维方势垒 隧道效应 §9 一维线性谐振子 §10 转子 角动量量子化 §11 氢原子

§6 波函数 薛定谔(Schrodinger)方程
6.1 波函数 6.2 薛定谔波方程 6.3 定态薛定谔方程 定态波函数 6.4 概率流密度
所以上式是概率（粒子数）守恒的积 分表示式。 J是概率流密度，是一矢量。 单位时间内通过τ的 封闭表面 S 流入（面 积分前面的负号）τ 令 方程τ趋于 ∞，即让 内的概率 积分对全空间进行，考虑 到任何真实的波函数应该 d 是平方可积的，波函数在 w(r , t )d 0 无穷远处为零，则式右面 dt 积分趋于零，于是 变为：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
d 2 i （ ）d [ ]d dt 2m
d i （ ）d [ ]d dt 2m
d dt

w(r , t )d Jd
ˆ ˆ V V V xt
引入体系的哈密顿算符
ˆ2 ˆ p V 1 p 2 +p 2 +p 2 V ˆ ˆ ˆx ˆy ˆz H 2m 2m 2 2 2 2 ˆ + 2 V x t 2+ 2 2m x y z
函数，它通常是一 个复函数。
波函数Ψ(x，t) 也称作概率幅 据此，描写粒子的波可以认为是概率波， 反映微观客体运动的一种统计规律性，波 函数Ψ(x，t)有时也称为概率幅。这就是 首先由 Born 提出的波函数的概率解释， 它是量子力学的基本原理。
波函数应当是平方可积的函数
波函数是单值、有限、连续的函数 6.2 薛定谔波方程 微观粒子量子状态用波函数完全描述， 波函数确定之后，粒子的任何一个力学量 的平均值及其测量的可能值和相应的概率 分布也都被完全确定，波函数完全描写微 观粒子的状态。因此量子力学最核心的问 题就是要解决以下两个问题：
电荷密度 和 电流密度矢量
考虑低能数 保持不变。对一个粒子而言，在全空 间找到它的概率总和应不随时间改变， 即 d w(r , t )d 0 dt
证明：
考虑 Schrodinger 方程及其共轭式：
取共轭
2 i [ 2 V ] t 2 (1)
质量密度 和 质量流密度矢量
J m mJ ( ) 2
同理可得量子力学的电 荷守恒定律：
e Je 0 t
表明电荷总量 不随时间改变
e e e | ( r , t ) |2 i J e eJ e ( ) 2
p2 在§4中,借助自由粒子的能量的经典表示: E 2m
引入算符，建立了自由粒子波方程
E p 2 p i t ˆ p i 2 ˆ p 2 2
2 2 i ( r , t ) (r , t ) t 2m
ˆ i ( x, t ) H ( x, t ) t
6.3 定态薛定谔方程 定态波函数
现在让我们讨论 有外场情况下的定态 Schrodinger 方程：
V(r)与t无关时，可以 分离变量
2 i (r , t ) [ 2 V (r )] (r , t ) t 2m
2 2 i [ V ] t 2
将 (1) (2)式得：
(2)
2 i i [ 2 2 ] t t 2

2 i （ ） [ ] t 2