第13讲圆锥曲线中最值,定点,定值问题
圆锥曲线中的定点、定直线、定值问题
圆锥曲线中的定点、定直线、定值问题例题分析1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()12,0A -，()22,0A 。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。
试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
3、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小1，离心率为e =（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒4、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
课堂练习1．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则恒有( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0 2．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m,4(1<m <4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A ．3 B.94 C.52 D.323．过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0等于( )A ．－2B ．2C ．4D ．－44．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1 D.5＋25．已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．6．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．7． 已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2：1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线P A ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△P AB 面积的最大值．8．已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)、(2，0)，离心率是63.直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直线作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．10．已知定点0,0()M x y 在抛物线m ：22y px =（p ＞0）上，动点,A B m ∈且0MA MB ⋅=．求证：弦AB 必过一定点．。
2022年高考数学专题圆锥曲线中的“三定问题”(定点、定值、定直线)
圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.2．定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．5．求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到 0,1F 的距离比它到直线2y 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点， 2,1Q ，记直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k为定值．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b 的一个焦点到双曲线2212x y 渐近线的距离为3，且点2M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积－22b a，证明：四边形ABCD 的面积为定值．4．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px 上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO ，QN QO uuu r uuu r ，试判断11+ 是否为定值，若是，求11+ 值；若不是，求11+的取值范围．5．已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为4,6，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为l，l与直线y ，且双曲线经过点x 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．1（1）求双曲线的标准方程；（2）以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．6．已知双曲线C ：22221x y a b 0,0a b 的两条渐近线互相垂直，且过点D．（1）求双曲线C 的方程；（2）设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q （异于点P ），且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于,M N （,M N 不在坐标轴上）两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．7．已知椭圆2222:1x y C a b，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为2x a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．22a b 122一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t 引两条切线，分别交椭圆C 于点,P Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k 为定值．22a b 12221:()1F x c y 与圆222:()9F x c y 相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过 0,1P 点且与椭圆E 相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为2 ，证明：直线l 过定点．10．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于 ,0P a （1）当1k ，3a 时．求AF BF 的值；（2）当点P 、F 重合时，过点A 的圆 2220x y r r 与抛物线C 交于另外一点D ．试问直线BD 是否过x轴上的定点Q ？若是，请求出点Q 坐标；若不是，请说明理由．11．已知抛物线22(0)y px p 上一点 4,t 到其焦点的距离为5． （1）求p 与t 的值；（2）过点 21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线 21:20C y px p 的焦点是椭圆 22222:10x y C a b a b的右焦点，且两条曲线的一个交点为 000,2p E x y x，若E 到1C 的准线的距离为53，到2C 的两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C ，点B ，D ，且12l l ，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．13．已知抛物线C ： 220y px p 的焦点到准线的距离是12．（1）求抛物线方程；（2）设点 ,1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ： 2222x y r （其中01r ）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．14．已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为 （1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．15．如图，已知抛物线 2:20C y px p 与圆 22:412M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若8OA OD ，求抛物线C 的方程；（2）试探究直线AC 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．16．已知抛物线 2:20C y px p 上一点01,4y到焦点的距离为54．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k ，求证：直线AB 过定点．17．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p 与圆22:(4)12M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点． （1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．18．设双曲线22221x y a b ，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点 3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM APMB PB，证明：点M 落在某一定直线上．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，b )都在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1//BF 2．证明：1211AF BF 为定值．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF，122QF QF ．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．21．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b ，四点13M ， 2M ，32,3M ，43M中恰有三点在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点 3,0的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x 的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．22．已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x 的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22210xy a a的左右顶点为A ，B ，上顶点K 满足3AK KB ．（1）求C 的标准方程：（2）过点 1,0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设直线MA 和直线NB 相交于点P ，直线NA 和直线MB 相交于点Q ，直线PQ 与x 轴交于S ．①求直线PQ 的方程； ②证明：SP SQ 是定值．24．已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 0,1D 且斜率存在的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．25．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB uu u r uu r ，3AF FB． （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若 121k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．26．已知O 为坐标原点，椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b 的右顶点为A ，动直线1:(1)l y x m 与相交于,B C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B ，点B 到 的两焦点的距离之和为4．（1）求 的标准方程；（2）若直线B C 与x 轴交于点M ，,OAC AMC 的面积分别为12,S S ，问12S S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
圆锥曲线三大难点解读
圆锥曲线三大难点难点一、最值与定值（定点）问题圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解．定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0)x y Q a b a b+=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）在Q 的方程中，令21cos sin a θθ=++，2sin 0b θθπ⎛⎫=< ⎪2⎝⎭≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为222220b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2a 、2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ，ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为1212S y y =-，当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大．点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高．例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM ·AB 为定值；（2）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．简解：（1）(01)F ，，设点A B ，的横坐标为12x x ，，则过点A B ，的切线分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x xy x x -=-，结合AF FB λ=，求得0FM AB =为定值；（2）FM AB =，则ABM△的面积33124222FM AB S 1==⨯=≥． 难点二、求参数范围（或值）问题求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围．有时候需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确定参数的变化范围． 例3 （陕西卷理21）如图2，三定点(21)A ，、(01)B -，、(21)C -，；三动点DE M ，，满足A D t A B =，BE tBC =，DM tDE =，[01]t ∈，． （1）求动直线DE 斜率的变化范围； （2）求动点M 的轨迹方程．解：（1）设()D D D x y ，，()E E E x y ，，()M x y ，． 由AD t AB =，知(21)(22)D D x y t --=--，，， 即222 1.D D x t y t =-+⎧⎨=-+⎩，同理22 1.E Ex t y t =-⎧⎨=-⎩，∵12E DDE E Dy y k t x x -==--，且[01]t ∈，，∴[11]DE k ∈-，；（2）∵DM tDE =，即2(2221)(242)x t y t t t t +-+-=--，，．∴22(12)(12)x t y t =-⎧⎨=-⎩，，消去参数t ，得24x y =． ∵[01]t ∈，，∴2(12)[22]x t =-∈-，． 故24x y =，[22]x ∈-，． 点评：本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识，以及依靠不变量（定点坐标和不变的向量共线）与变量的关系相互转化，综合运用各种知识解决问题的能力．难点三、存在与对称性问题存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果． 存在性问题的求解策略是：一般先假设某数学对象存在，按照合情推理或计算，得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设，有时也可由特殊情况探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证． 对称性问题的求解策略是：结合轴对称或中心对称．考虑斜率与中点或向量的数量积（可避开斜率存在性的讨论），常用“设而不求”、待定系数法等方法解决问题．例4 （湖南卷理21）如图3，已知椭圆221:143x y C +=，抛物线22:()2(0)C y m px p -=>，且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点．（1）当AB x ⊥轴时，求m p ，的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；（2）是否存在m p ，的值，使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m p ，的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当A B x ⊥轴时，0m =，直线AB 的方程是1x =，点A 为312⎛⎫⎪⎝⎭，或312⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 代入抛物线方程，得98p =．此时2C 的焦点为9016⎛⎫⎪⎝⎭，，且焦点不在直线AB 上； （2）设11()A x y ，、22()B x y ，，2C 的焦点2pF m ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，弦AB 的两端点在抛物线上，也在椭圆上，所以1212112222AB x x p x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即122(4)3x x p +=-．由（1）知12x x ≠，2p ≠，故22AB mk p =-． 直线AB 的方程是2(1)2m y x p =--，则124(1)3(2)m p y y p -+=-． 因A B ，在1C 上，即2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，两式相减，得211221123()4()y y x x x x y y -+=--+， 即223(4)(2)16(1)p p m p --=-．①又A B ，在2C 上，即211222()2()2y m px y m px ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，两式相减，得21122122x x y y m py y -+-=-，即223(2)1610p p m p-=-．② 由①、②，得2320320p p +-=， 解得43p =或8p =-（舍）． 由43p =，得m =或m =． 故满足条件的m p ，存在，且3m =或3m =-，43p =．点评：此题中抛物线的顶点不在原点，公共弦AB 既要与抛物线联系，也要用到椭圆的焦点弦，特别是把存在与对称性结合在一起，使难度和运算量都大大增加，解决问题需要有很强的逻辑推理能力和运算能力．。
高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
[例 2] 如图，在平面直角
坐标系 xOy 中，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
23都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直
线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P，
法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)； 取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)， 以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4156， 交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
因为 MP ＝－4mk－x1，m3 ， MQ ＝(4－x1,4k＋m)， 由 MP ·MQ ＝0，得－1m6k＋4kmx1－4x1＋x12＋1m2k＋3＝0， 整理，得(4x1－4)mk ＋x12－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立， 所以4x1x2－1－4x41＝＋03，＝0， 解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点 P1，12到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距 离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的 两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，12 到准线的距 离为54求p与t的值；
专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类【命题规律】解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．【核心考点目录】核心考点一：轨迹方程核心考点二：向量搭桥进行翻译 核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 核心考点四：斜率之和差商积问题 核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 核心考点六：定值问题 核心考点七：定点问题 核心考点八：三点共线问题 核心考点九：中点弦与对称问题 核心考点十：四点共圆问题 核心考点十一：切线问题 核心考点十二：定比点差法 核心考点十三：齐次化 核心考点十四：极点极线问题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （2）求||CD 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． （1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【方法技巧与总结】1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．【核心考点】核心考点一：轨迹方程 【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，且一个焦点到渐（1）求双曲线方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程．例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x -=于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；（2）若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题． （1）已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．核心考点二：向量搭桥进行翻译 【规律方法】把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决． 【典型例题】例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，倾斜角为30︒的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =，求实数m 的取值范围．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =(),0A a 、()0,B b（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1）若A x b 的值；（2）当b =2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ⋅，并求OM ON ⋅的取值范围．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点． （1）求C 的方程；（2）过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=，NB BM μ=，求证：λμ+为定值．核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 【规律方法】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【典型例题】例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =． （1）求C 的方程；（2）设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅．例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，直线l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C （1）求C 的方程；（2）若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，60PAB ∠=︒，求PAB 的面积．例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22:143x y C -=上一点()4,3P ，直线()0y x b b =-+<交C于A ，B 点．（1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值； （2）若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积．核心考点四：斜率之和差商积问题 【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C 上的任意一点到点)F和直线x =． （1）求曲线C 的方程；（2）记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点． （1）求C 的方程．（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k ．证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上．核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OABSAB OH =⋅（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OABSOM y y =⋅-（横截距已知的条件下使用） ③121||2OABS ON x x =⋅-（纵截距已知的条件下使用） 【典型例题】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C ．（1）已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程； （2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围．例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆22:14x C y +=， 椭圆2:16x E +214y =．设点P 为椭圆C 上任意一点， 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点， 射线PO 交椭圆E 于点Q ．（1）求 OQ OP的值；（2）求 ABQ 面积的最大值．例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)M作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆C 分别交于,,,A B C D 四点，如图，求四边形ACBD 的面积的取值范围．核心考点六：定值问题 【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典型例题】例18．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当直线l 垂直于x 轴时，6AB =．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．例19．（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．例20．（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点为()()2,0,0,1A B -．（1）求椭圆E 的方程及其焦距；（2）过点()2,1P -的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值．核心考点七：定点问题 【规律方法】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明． 【典型例题】例21．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E 的坐标为()3-． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．例22．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于E 、F 两点（E 、F 两点与A 、B 两点不重合），且以EF 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，证明：直线l 过定点，并求出该定点坐标．例23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆M 与圆(22:4A x y +=及圆(22:4B x y +=中的一个外切，另一个内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过轨迹C 与x 轴正半轴的交点D ，证明直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，并求出该定点的坐标．核心考点八：三点共线问题 【规律方法】证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【典型例题】例24．（2023·全国·高三专题练习）已知2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点为2F ，点2F 到E 的一条渐近线2F 的直线与E 相交于,A B 两点．当AB x ⊥轴时，||AB = （1）求E 的方程．（2）若3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，N 是直线1x =上一点，当,,B M N 三点共线时，判断直线AN 的斜率是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =例26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线．核心考点九：中点弦与对称问题 【规律方法】对于中点弦问题常用点差法解决． 【典型例题】例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且ABC 面积的最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝﹣4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN ．例28．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O 为坐标原点，点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，直线l ：=+y x m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为12-．（1）求C 的方程；（2）若=1m ，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．例29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，记准线l 与x 轴的交点为A ，过A 作直线交抛物线C 于()11,M x y ，()22,N x y （21x x >）两点．（1）若122x x p +=，求MF NF +的值；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）若P ，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由．核心考点十：四点共圆问题 【规律方法】 证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180︒，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．【典型例题】例30．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知点(4,4)M 在抛物线2:2x py Γ=上，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ､B ，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-． （1）证明：直线AB 过定点；（2）过A ､B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ､D ，问：是否存在一点P 使得A ､C ､P ､D 四点共圆？若存在，求所有满足条件的P 点；若不存在，请说明理由．例31．（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）如图，已知抛物线24x y =的焦点为F ，直线:l y m =与抛物线交于,D E 两点，过,D E 分别作抛物线的切线12,l l ，12,l l 交于点A ．过抛物线上一点M （在l 下方）作切线3l ，交12,l l 于点,B C ．（1）当=1m 时，求ABC 面积的最大值； （2）证明A B F C 、、、四点共圆．例32．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+，且1mn =．设动点P 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的标准方程；（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．核心考点十一：切线问题 【规律方法】（1）若点()00,P x y 是圆222x y r +=上的点，则过点P 的切线方程为0x x +20y y r =．（2）若点()00,P x y 是圆222x y r +=外的点，由点P 向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为200x x y y r +=．（3）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b +=上的点，则过点P 的切线方程为00221x x y ya b+=．（4）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b+=外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为00221x x y ya b+=． 【典型例题】例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y +=的左、右顶点分别为,A B ，过左焦点1F 的直线与椭圆交于点,P Q （点Q 在点P 的上方）．（1）求证：直线,AP AQ 的斜率乘积为定值；（2）过点,P Q 分别作椭圆的切线，设两切线交于点M ，证明：1MF PQ ⊥．例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n +为定值例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点．（1）求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；（2）设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值．核心考点十二：定比点差法 【典型例题】例36．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，求k例37．已知22194x y +=，过点(0,3)P 的直线交椭圆于A ，B （可以重合），求PA PB 取值范围．例38．已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=若2λ=，求μ的值．核心考点十三：齐次化 【典型例题】例39．已知抛物线2:4C y x =，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：90POQ ︒∠=．例40．如图，椭圆22:12x E y +=，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q（均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．例41．已知椭圆22:14x C y +=，设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：直线l 过定点．核心考点十四：极点极线问题 【典型例题】例42．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．例43．（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点．（1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．例44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>与y 轴的交点,A B （点A 位于点B的上方），F 为左焦点，原点O 到直线FA 2． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设2b =，直线4y kx =+与椭圆C 交于不同的两点,M N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【新题速递】1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR ∠=∠．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线1l ：x my a =+交轨迹E 于A ，B 两点，直线2l ：1x =与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线2l 两侧，直线1l 与2l 交于点N 且MA BN AN MB ⋅=⋅，求MAB △面积的最大值．2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆C 中心在原点O 为()0,1F ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与直线2y =相交于,M N 两点，若MON ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围．3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()y f x =在点A 处的切线为1l ，函数()e e x xg x -=-的图象在点B 处的切线为2l ，12l l ∥，求直线AB 的方程．4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，||2||OA OB =．（1）若12BF F △的面积为1C 的标准方程；（2）如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=，记四边形OMQN 的面积为1S ，求21OT OQ S k⋅-的最大值．5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，过左焦点F 的直线1(0)x ty t =-≠交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，PM MF λ=，PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △（2F 为C 的右焦点）的面积分别为123,,S S S ．（1）证明：λμ+为定值；（2）若123S mS S μ=+，42λ-≤≤-，求m 的取值范围．6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，22a c=． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且222263F M F N +=l 的方程．7．（2023·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的左､右焦点，过2F 作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于,A B 两点，1F 到直线AB 的距离为3，连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4． （1）求椭圆D 的方程；（2）已知点()1,0M -，设E 是椭圆D 上的一点，过,E M 两点的直线l 交y 轴于点C ，若CE EM λ=，求λ的取值范围；（3）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点,P Q ，其中P 点的坐标为()2,0-，若点()0,N t 是线段PQ 垂直平分线上一点，且满足4NP NQ ⋅=，求实数t 的值．8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，,A B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右顶点，焦距长为P 在椭圆E 上，直线,PA PB 的斜率之积为14-．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点()2,2C -，直线PC 交椭圆E 于点(,M M P 不重合），直线,BM OC 交于点G ．求证：直线,AP AG 的斜率之积为定值，并求出该定值．9．（2023·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C ． （1）求轨迹2C 的方程；（2）若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性．10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆22x a ＋22y b ＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1，0），离心率为F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆22:12+=x E y ，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=，若2λ=，求μ的值．13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且直线1:1x y l a b +=被椭圆1C ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线2:4l y =上的动点M 作圆2C 的两条切线，设切点为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||||CD AB ⋅的取值范围．14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．15．（2023·全国·高三专题练习）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F 的坐标为(1,0)，点(P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且||AB =l 的方程；。
圆锥曲线定值,定点
过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
【智博教育原创专题】圆锥曲线的定值、最值与定点问题解题策略
探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下： 【题型1】定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关． 【例1】,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，且OA OB ⊥，求证：⑴,A B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；⑵直线AB 经过一个定点。
【证明】⑴设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222221122121212122,2,2244y px y px y y px px p x x p y y ==⋅=⋅==- 2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值；⑵222121************2()()2(),,,y y py y y y y y p x x x x x x y y --=+-=-≠∴=∴-+ 直线AB 的方程为：221112121212122242(2),y p p p py x y x x p y y y y y y y y y y =-+=-=-∴+++++直线AB 过定点(2,0)p 。
【例2】已知抛物线方程为212y x h =-+，点,A B 及点(2,4)P 都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。
⑴试证明直线AB 的斜率为定值；⑵当直线AB 的纵截距为(0)m m >时，求PAB ∆的面积的最大值。
【分析】这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
【解析】⑴证明：把(2,4)P 代入212y x h =-+，得6h =，所以抛物线方程为：4(2)y k x -=-，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x k x k +--=，所以244222244A A k x k y k k --⎧==--⎪⎨⎪=-++⎩，因为PA 与PB 的倾角互补，所以PB PA k k k =-=-，用k -代k ，得222244B Bx k y k k =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，所以22448222(22)4B A AB A B y y k k k k x x k k k---+====-----。
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
定点定值方法归纳
一、研究定点、定值问题的基本思路
解析几何中的定点、定值及探索性问题主要以解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大.解决问题时注意代数方程是解决定点定值问题的桥梁。
二、定点问题基本有一下两种思考方式
（1）引进参数法：引进动点坐标或者动线中的系数作为参数，表示变化量，再通过条件，构造变化量对应的方程，研究变化量方程的关系（特别是变化量任意改变对应方程恒成立问题），找到定点。
（2）探索法：根据动点或动线的一些特殊情况，先探索出定点，再证明该定点与变量无关。
三、解决定值问题也有如下类似的思考方式
（1）引进参数法：引进参数作为变化量，最后利用代数式说明所求定值的代数式与参数无关。
（2）探索法：用特殊情况探索出定值，最后再利用代数式证明定值。
高考真题
例题精选
参考答案
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圆锥曲线中的定点,定值问题
圆锥曲线中的定点，定值问题天台中学 张丽君教学目标：（1）知识目标：以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）能力目标：培养学生分析能力，逻辑推理能力，运算能力；（3）情感目标：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学重点与难点：（1）重点：探究直线或曲线过定点问题，圆锥曲线中定值问题，体会数形结合，从特殊到一般，转化化归思想在解题中的指导作用。
（2）难点：培养学生善于观察，胆大心细，锲而不舍，不畏艰难的品质。
教学内容：一．解读高考高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：（1）以解答题的形式考查，以直线和椭圆，抛物线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或多个参数。
（2）以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与椭圆，抛物线的位置关系，在一元二次方程，函数，向量，数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力，计算能力。
二．热身训练练习1. 已知A,B 分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，对于椭圆C 上异于A,B 的点P ，则=⋅PB PA k k （ C ）A. 22a bB. 22b aC. 22a b -D. 22ba - 分析：由答案的唯一性，P 取特殊点短轴端点时即可快速求得答案。
变式 （1）若椭圆上的点 A,B 关于原点O 对称； ( C )（2） 椭圆改为双曲线12222=-by a x 。
（ P 趋向无穷远处 ，即可求得答案为 A )练习2. 已知直线L 与抛物线)0(22>=p px y 有异于原点O 的两个不同的交点A, B.若=⋅OB OA k k -1，则直线L 必过定点——分析：由对称性知，定点必为X 轴上一点，再取L 垂直X 轴时的位置，解得A(2p,2p),故定点为(2p,0)。
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．圆锥曲线的定点、定值、定直线答案【典例1】解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=．依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λ ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．【典例2】（1）依题意可设AB 的方程为2y kx =+，代人24x y =，得()242x kx =+，即2480x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有128x x =-，直线AO 的方程为11,y y x BD x =的方程为2x x =，解得交点D 的坐标为1221,y x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，注意到128x x =-及2114x y =，则有1121211824y x x y y x y -===-，因此D 点在定直线2y =-上()0x ≠．（2）依题意,切线l 的斜率存在且不等于0．设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠，代人24x y =得，即2440x ax b --=．由0∆=得()24160a b +=，化简整理得2b a =-．故切线l 的方程可写为2y ax a =-．分别令2,2y y ==-，得12,N N 的坐标为1222,2,,2N a N a a a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22222212248MN MN a a a a ⎛⎫⎛⎫-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2221MN MN -为定值8．【典例3】（1）由题意得：(,0)2pF ，因为点B 的横坐标为4，且B 在x 轴的上方，所以B ，因为AB 的斜率为43，4342=-，整理得：80p +=，即0=，得2p =，抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由（1）得：(4,4)B ，(1,0)F ，淮线方程1x =-，直线l 的方程：4(1)3y x =-，由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得14x =或4x =，于是得1(,1)4A -.设点2(,)4n P n ，又题意1n ≠±且4n ≠±,所以直线PA ：41114y x n ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，令1x =-，得41n y n +=--，即41n HE n +=--，同理可得：444n HG n -=+，444414n n HG HE n n +-⋅=-⋅=-+.热点二定点问题【典例4】（1）解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -+.求得HN 方程：(2)23y x =+-，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【典例5】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）[方法一]：设而求点法证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022*******22000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]【最优解】：数形结合设(6,)P t ，则直线PA 的方程为(3)9ty x =+，即930-+=tx y t ．同理，可求直线PB 的方程为330--=tx y t ．则经过直线PA 和直线PB 的方程可写为(93)(33)0-+--=tx y t tx y t ．可化为()22292712180-+-+=txy txy ty ．④易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有2299x y -=-，代入④式可得()2227912180--+=t y txy ty ．故()227912180⎡⎤--+=⎣⎦y t y tx t ，可得0y =或()227912180--+=t y tx t ．其中0y =表示直线AB ，则()227912180--+=t y tx t 表示直线CD ．令0y =，得32x =，即直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.【典例6】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=.故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==，则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．热点三定直线问题【典例7】（1）由题意21c =，得12c =，而221(1)4a a --=，所以2253,88a b ==所以椭圆的标准方程为2288153x y +=（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，12(,0),(,0)F c F c -直线2PF 的直线方程为00y x c y x c -=-，当0x =时，00cy y x c-=⋅-，故Q 点坐标00(0,)cy x c-⋅-，由题意110F P FQ ⋅=得0000(,)(,)0cx c y c y x c-+⋅=-即2000()0cy x c c x c+-=-解得又P 点在曲线上，22002211x y a a +=-，解得2200,1x a y a ==-则P 点在定直线1x y +=.【典例8】（1）由题设1c =，又12||2F F c =，112||||AF A F a ==，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以112()222r a c c b ⨯+=⨯⨯，即()r a c bc +=，222(2)4c r b r +-=，而222a b c =+，即24a rb =，综上，22()4a a c b c +=，即222(1)444a a b a +==-，可得2a =，所以24a =，23b =，则22:143x y C +=.（2）当直线斜率都存在时，令DE 为1x ky =-，联立22:143x y C +=，整理得：22(34)690k y ky +--=，且2144(1)0k ∆=+>，所以2634D E k y y k +=+，则28()234D E D E x x k y y k +=+-=-+，故2243,33)44(kk k P -++，由0DE MN ⋅= ，即DE MN ⊥，故MN 为1y x k =--，联立22:143x y C +=，所以2236(4)90y y k k ++-=，有2634M N k y y k +=-+，则228234M N M N y y k x x k k ++=--=-+，故22243,(34)34k kQ k k +--+，所以274(1)PQ k k k =-，则PQ 为222374()344(1)34k k y x k k k -=++-+，整理得2(74)4(1)k x k y +=-，所以PQ 过定点4(,0)7-；当一条直线斜率不存在时,P Q 对应1,O F ，故PQ 即为x 轴，也过定点4(,0)7-；综上，直线PQ 过定点．【典例9】（1）由12OP OF ==得2c =，且12PF PF ⊥所以12122,1.32PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩()22221212124162PF PF c PF PF PF PF +===-+即241216a +=解得1,a =又2224,a b c b +===故双曲线的渐近线方程为by x a=±=.（2）由（1）可知双曲线的方程为2213y x -=.（i ）当直线l 的斜率不存在时，()()2,3,2,3M N -，直线1A M 的方程为1y x =+，直线2A N 的方程为33y x =-+，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，（ii ）当直线l 的斜率存在时，易得直线l 不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l 的方程为()(()()112220,,,,,y k x k k M x y N x y =-≠≠，联立()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222234430,k x k x k -+--=221212224430,,33k k x x x x k k +∴>+==-- ∴直线1A M 的方程为()1111y y x x =++，直线2A N 的方程为()2211yy x x =--，联立直线1A M 与直线2A N 的方程可得：()()21121111y x x x y x ++=--，两边平方得()()2222122121111y x x x y x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，又()()1122,,,M x y N x y 满足2213yx -=，()()()()()()()()()()()()222221212112122222121212121231111111111311x x y x x x x x x x x x x x x x y x xx-+++++++∴===---++---.22222222222222434143433394344343133k k k k k k k k k k k k k k ++++++---===++-+--+--，2119,12x x x +⎛⎫∴=∴= ⎪-⎝⎭，或2x =，（舍去).综上，Q 在定直线上，且定直线方程为12x =.解答题1．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).2．（154=，即222162516(5)5x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，整理得221169x y -=；（2）解：设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，显然直线AP 斜率不为0，设直线AP 方程为2x my =+，联立2211692x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理得()22916361080m y my -+-=，由题设29160m -≠且()22Δ(36)41089160m m =+⨯->，化简得243m >且2169m ≠，由韦达定理可得12236916m y y m -+=-，122108916y y m -=-，直线BD 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()()21112212112112121222x x y y my y my x y x y x xy y y y y y -++++=+==+++()1212121212221082222836my y y y y y m m y y y y m++==⨯+=⨯+=++，所以直线BD 过定点()8,0.3．（1）设C 的半焦距为c ，由题意可知32c e a ==，又222+=a b c ，双曲线C 的一条渐近线方程为b y x a=bc a b =，故2225b c a =-=，所以229,4c a ==，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.（2）由（1）可知()()()123,0,2,0,2,0F A A -.设直线MN 的方程为3x my =+，点()11,M x y ，点()22,N x y ，则11223,3x my x my =+=+.由221,453,x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()225430250,m y my -++=，所以1212223025,5454m y y y y m m -+==--.121212,22y yk k x x ==+-，所以()()()()121211112122121212222122552y x y my y k x my y y y k x y my y my y y x -+++====+++-.又1212222530,5454my y y y m m -==---，所以22212222530545425554m my k m m m k y m -+---=+-22225154.255554my m m y m ---==-+-综上，12k k 为定值，且1215k k =-.4．（1）解：依题意1c =，又190AF B ∠=︒，所以1b c ==，所以a ，所以椭圆方程为2212x y +=.（2）证明：设(),M x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，因为OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r，所以四边形OPMQ 为平行四边形，且1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，所以()()22121212x x y y +++=，即2212112122221222x x y y x x y y ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎭+ ⎝⎝+⎭=⎪，又221112x y +=，222212x y +=，所以121212x x y y +=-，若直线PQ 的斜率不存在，M 与左顶点或右顶点重合，则P Q x x =P Q y y ==所以12222OPMQ P P S x y =⨯⨯，若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx t =+，代入椭圆方程整理得()222124220k xktx t +++-=，所以()228210k t∆=+->，122412kt x x k -+=+，21222212t x x k -=+，所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t222222241212t kt k kt t k k --⎛⎫=⋅+⋅+ ⎪++⎝⎭所以()22222224212211212t kt k kt t k k --⎛⎫+⋅+⋅+=- ⎪++⎝⎭，整理得22412t k =+，又12PQ x =-=又原点O 到PQ的距离d所以12POQS PQ d==，将22412t k=+代入得4POQS==，所以2POOP Q QMSS==综上可得，四边形OPMQ的面积为定值2.5．（1）解：设圆心(),C x y，圆的半径为R，则()()22222220R x x y=+=-+-，整理得24y x=．所以动圆圆心的轨迹方程为24y x=．（2）证明：抛物线的方程为24y x=，设2,4yD y⎛⎫⎪⎝⎭，121,4yE y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yF y⎛⎫⎪⎝⎭，则直线EF的方程为()1211221244y yy y x xy y--=--，得2111211121212124444x y y y xx xy yy y y y y y y y+-=-+=+++++，又2114y x=，所以直线EF的方程为1212124y yxyy y y y=+++．同理可得直线DE的方程为1010104y yxyy y y y=+++，直线DF的方程为022024y yxyy y y y=+++因为直线DE过点()3,2B--，所以()1101222y y y-=+；因为直线DF过点()2,1C，所以()22081y y y-=-．消去0y，得()121210433y y y y=++．代入EF的方程，得12411033y xy y⎛⎫=++⎪+⎝⎭，所以直线EF恒过一个定点110,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．6．（1）由2y=-，可得()1F，∴c=，∴2a=，22b=，∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222214240+++-=k x mkx m ，∴()()()2224421240mk k m ∆=-+->，可得2242m k <+，2121222424,2121mk m x x x x k k -+=-=++，由直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，∴110F A F B k k +=0=，∴((()(()(122112210y x y x kx m x kx m x ++=+++++，即()12122)0kx x m x x ++++=，∴2222442)202121m mk k m k k -⎛⎫⨯++-+= ++⎝⎭，可得m =，所以直线l方程为(y k x =+，恒过定点()-.7．（1）因为动点M 到直线l 的距离比到F 的距离大2，故M 到F 的距离与M 到直线:1m y =-的距离相等，所以M 的轨迹C 是以F 为焦点m 为准线的抛物线，因此2:4C x y =,C 是顶点为原点开口向上的抛物线.（2）因为P 在C 上故()2,1P ，设221212:,,,,44x x AB y kx b A x B x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx b --=，()()21212161601,4,42k b x x k x x b =+>+==- ，2212121144122PA PBx x k k x x --⋅=⋅=---，将(2)代入化简得：25b k =+或21b k =-+，以上均可满足(1)式，所以直线方程为：()25y k x =++或()21y k x =-+，直线分别过定点()2,5-或()2,1，又()2,1P ，所以直线1l 恒过定点()2,5-.8．（1）解：由题意可得2c =，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得2a b，即有a =，又2224c a b =-=，解得a =，b ，所以椭圆方程为22162x y +=；（2）证明：设(3,)M m -，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 的中点为00(,)N x y ，MF k m =-，由(2,0)F -，可设直线PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程可得22(3)420m y my +--=，即有12243m y y m +=+，12223y y m =-+，则()212121222412224433m x x my my m y y m m -+=-+-=+-=-=++，于是2262,33m N m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭，则直线ON 的斜率3ON mk =-，又3OM mk =-，可得OM ON k k =，则O ，N ，M 三点共线，即有OM 经过线段PQ 的中点．9．（1）由椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>2，可知22c b a =，则22231,44b a a -=∴=，故E 的方程为2214x y +=；（2）证明：由题意可知直线l 的斜率一定存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =+，设11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y ，联立2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得2222(41)326440k x k x k +++-=，22116(112)0,012k k ∆=->∴<<，则2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++，所以220002222164164,,(,)414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+，又MB NBMCNC=，所以31122344x x x x x x -+=+-，解得2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++，从而(1,3)N k -，故03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=，即12k k 为定值.10．（1）由线段RS22b a =又c a =22212a b a -=，解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以C 的标准方程为2212x y +=．（2）由PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，可知PF 平分APB ∠，∴0PA PB k k +=．设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A my t y +，()22,B my t y +，由2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩得()2222220m y mty t +++-=，()22820m t ∆=-+>，即222m t >-，∴12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，∴1212022PA PB y y k k my t my t +=+=+-+-，∴()()1212220my y t y y +-+=，∴()()222220m t t mt ---⋅=，整理得()410m t -=，∴当1t =时，上式恒为0，即直线l 恒过定点()1,0Q ．11．（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 所截得的弦长分223b a =；过F 且垂直于x 轴的直线被圆O所截得的弦长分别为=，又222a cb -=，解得a b ⎧⎪⎨⎪⎩C 的方程为22132x y +=.（2）设()()0000,0≠P x y x y ，则22003x y +=.①设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()2200236x y y y k x x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩得()()()2220000326320k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦，则()()()22200006432320k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+⨯--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，整理得()22200003220x k x y k y --+-=.②由题意知1k ，2k 为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得0000012220002223x y x y x k k x y y +===---.又因为030OP y k k x ==，所以()001230022x y k k k y x +=-⋅=-，所以()123k k k +为定值2-．12.（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP ==若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP ==所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．。
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题
法 、函数 法 、不 等式 法．几 何 法是根 据 图形几 何性 质
求解 的方法 ；函数 法是指 将所 求 变量 表示成 某个 相
关 变量 的 函数 ，再 求 函数 的最 值 ；不 等式 法 是 根 据
曲线 性 质及条 件建 立一个 关 于所 求 变量 的不 等式 ，
再解 不 等式求 其最 值 的方法 ．
参 考 文 献
刘 清源．构建 高效教 学 探 求数 学本 质— — 如何 解好 三 角形 ［Ｊ］．数 学教 学与研 究 ，２０１１ （３６）：７８—７９． ［２］ 覃埋 基 ．一 类解三 角形 问题 的 另一 解 法 ［Ｊ］． 数 学通 讯 ，２００３（１２）：９．
圆 锥 曲 线 中 最 值 、范 围 、定 值 及 存 在 性 问 题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ） 一４×３（ｍ 一３）＝３（１２一ｍ ）＞０，
故
一 １２＜ｍ＜￣／／ｌ２且 ｍ≠Ｏ．
由韦 达定 理 ，得
ｍ 一３
Ｘａ＋ｘＢ ｍ，ＹＡ＋ＹＢ 丁 ’
因此 ｌＡＢ ｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢ Ｉ Ａ一 Ｂ Ｉ＝
【
＝
பைடு நூலகம்
·
又 因为点 Ｐ（２，１）到直 线 Ｚ的距离 为
●Ｊ寞金 龙 （绍兴市第一中学 浙江绍兴 ３１２０００）
１ 考点 回顾
圆锥 曲线中最值 、范 围、定值及存在性 问题是 历年 高考 命题 的热 点之 一．此 类 问题 涉及 的知识 面
广、综合性大、隐蔽性强 、计算量大 ，常常令考生头
疼．解决 此类 问题 常 常 要 用 到 数学 思 想 方 法 ，有 时
【△＝（一４ｍ） 一４（ｍ ＋３）＞０，
解得
圆锥曲线中定点定值定直线问题(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一：直线过定点问题①设直线为m kx y +=，根据题目给出的条件找出m 与k 之间的关系即可②求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为()()n m x k f y +-=的形式，即可求出定点。
考点二：定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.③求斜率，面积等定值问题，把斜率之和，之积，面积化为坐标之间的关系，再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三：定直线问题①一般设出点的坐标，写出两条直线的方程，两直线的交点及两个直线中的y x ,相同，然后再用韦达定理带入化简即可得y x ,的关系即为定直线【题型目录】题型一：直线圆过定点问题题型二：斜率面积等定值问题题型三：定直线问题【典型例题】题型一：直线过定点问题【例1】已知点()1,1P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，12PF F △的面(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A ，B 在椭圆C 上，直线PA ，PB 均与圆()222:01O x y r r +=<<相切，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（i ）证明：121k k =；（ii ）证明：直线AB 过定点.，即可求椭圆若10m k +-=，则直线():111AB y kx k k x =+-=-+，此时AB 过点P ，舍去.若330m k ++=，则直线():3333AB ykx k k x =--=--，此时AB 恒过点()3,3-，所以直线AB 过定点()3,3-.【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．【例3】已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，其中POQ △的面积为1（O 为原点），椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，求证：直线l 过定点．【例4】已知椭圆C ：221(0)x y a b a b+=>>过点()2,0A -．右焦点为F ，纵坐标为2的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程；(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．的坐标代入椭圆【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．【例5】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【题型专练】1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为A 到右焦点F 的距离为3．(1)求椭圆C 的方程(2)设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.的方程3.已知椭圆22:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点2P ⎛ ⎝⎭在E 上.(1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.4.焦距为2c 的椭圆2222:1x y a bΓ+=（a ＞b ＞0），如果满足“2b =a +c ”，则称此椭圆为“等差椭圆”．(1)如果椭圆2222:1x y a b Γ+=（a ＞b ＞0）是“等差椭圆”，求b a的值；(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A 为椭圆短轴的上顶点，P 为椭圆上异于A 点的任一点，Q 为P 关于原点O 的对称点（Q 也异于A ），直线AP 、AQ 分别与x 轴交于M 、N 两点，判断以线段MN 为直径的圆是否过定点？说明理由．题型二：斜率面积等定值问题【例1】动点M 与定点(1,0)A 的距离和M 到定直线4x =的距离之比是常数12．(1)求动点M 的轨迹G 的方程；(2)经过定点(2,1)M -的直线l 交曲线G 于A ，B 两点，设(2,0)P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +恒为定值．【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,1Q x 在椭圆上且位于第一象限，12QF F 121QFQF ⋅=-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若M ，N 是椭圆C 上异于点Q 的两动点，记QM ，QN 的倾斜角分别为α，β，当αβπ+=时，试问直线MN 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例3】已知点()2,1P -在椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>上，C 的长轴长为2:l y kx m =+与C 交于,A B 两点，直线,PA PB 的斜率之积为14.(1)求证：k 为定值；(2)若直线l 与x 轴交于点Q ，求22||QA QB +的值.【例4】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的离心率23e =,且椭圆C 的右顶点与抛物线212y x =的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程．(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为12,A A ,直线():1l y k x =-与椭圆C 交于E ,D 两点,且点E 的纵坐标大于0,直线12,A E A D 与y 轴分别交于()()0,,0,P Q P y Q y 两点,问:P Qy y 的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．【例5】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.【例6】已知P 为圆22:4M x y +=上一动点，过点P 作x 轴的垂线段,PD D 为垂足，若点Q 满足DQ =.(1)求点Q 的轨迹方程；(2)设点Q 的轨迹为曲线C ，过点()1,0N -作曲线C 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E F ､，过点N 作直线EF 的垂线，垂足为点H ，是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.-.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.【例7】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上，PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D （异于点A ）两点，直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【题型专练】1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.【点睛】方法点睛：探究性问题求解的思路及策略：(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1D ，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点D 关于原点对称的点为A ，过点()4,0B -且斜率存在的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ，求证PBBQ为定值.3．如下图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12+y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．由抛物线定义可知抛物线上一点到焦点距离等于到准线距离，即可求出结果4．如图，椭圆214x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，1F ，2F 的圆与y 轴正半轴交于点()10,A y ，经过点(3,0)B 且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：011(2)试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线MP，MQ的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．Q5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.6．已知椭圆22Γ:1a b+=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.7．已知平面上一动点P 到()2,0F 的距离与到直线6x =的距离之比为3．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)曲线C 上的两点()11,A x y ，()22,B x y ，平面上点()2,0E -，连结PE ，PF 并延长，分别交曲线C 于点A ，B ，若1PE EA λ= ，2PF FB λ=，问，12λλ+是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．8．已知椭圆2:14x C y +=，过点0,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线1l ，2l 的斜率为1k ，2k ，1l 与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2l 与椭圆交于()33,C x y ，()44,D x y 两点，且A ，B ，C ，D 任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线12y =-交直线AC ，BD 于P ，Q .(1)求证：1122341234k x x k x x x x x x =++；(2)PM QM的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析k9．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且离心率为12，椭圆C 的长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设,A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点B 作x 轴的垂线1l ，D 为1l 上异于点B 的一点，以线段BD 为直径作圆E ，若过点2F 的直线2l （异于x 轴）与圆E 相切于点H ，且2l 与直线AD 相交于点,P 试判断1PF PH +是否为定值，并说明理由.））可知()()()222,0,2,0,1,0A B F F H -=，112212PF PH PF PF F H PF PF +=+-=+()()2,0,E m m ≠则()2,2,D m 圆E 的半径为则直线AD 直线方程为(2)2my x =+，的方程为1,x ty =+10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，直线AB 与圆22:3O x y +=相切，切点为M ，且2AM MB =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线，交椭圆C 于E 、F 两点，试判断：PE PF ⋅是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.11．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.题型三：定直线问题【例1】已知如图，长为宽为12的矩形ABCD，以为,A B焦点的椭圆2222:1x yMa b+=恰好过,C D两点，(1)求椭圆M的标准方程；(2)根据（1）所得椭圆M的标准方程，若AB是椭圆M的左右顶点，过点(1,0)的动直线l交椭圆M与CD两点，试探究直线AC与BD的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.【例2】已知椭圆:C22221x ya b＋＝（0a b>>）的离心率为23，且⎭为C上一点.(1)求C的标准方程；(2)点A，B分别为C的左､右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点O，点M关于原点O的对称点为M'，若直线AM'与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上.【例3】已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线y =与C 交于A ，B 两点，且1ABF 的周长为4+ 2.(1)求C 的标准方程；(2)若(2,1)P 关于原点的对称点为Q ，不经过点P 且斜率为12的直线l 与C 交于点D ，E ，直线PD 与QE 交于点M ，证明：点M 在定直线上.【题型专练】1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①1k k 为定值；②点M 在定直线上.C2.已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.3.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，左顶点为1A ，左焦点为1F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，M 为C 上一动点，11M AF △1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ，证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上.。
圆锥曲线定点定值问题方法总结
圆锥曲线定点定值问题方法总结
圆锥曲线是一类受应力和形变作用的曲线，它的应用广泛，是研究几何图形的重要工具。
圆锥曲线的定点定值问题要求在任意给定的两个圆锥曲线上找到定点定值的解，而这样的解通常是难以求得的。
一般情况下，这类问题使用数学变换方法，如积分转换、限界积分转换、局部变换等。
首先，以积分变换为例，我们可以使用积分变换来求解圆锥曲线定点定值问题。
这种变换把原始曲线进行分段处理，求出每一段的积分，然后求出该曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于，可以使用常用的数学软件解决大多数圆锥曲线定点定值问题。
其次，我们也可以使用限界积分变换来解决圆锥曲线定点定值问题。
这种变换首先要将原始曲线进行分段处理，通过限界积分计算每一段的积分。
最后，用积分变换求出曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于，它可以有效节省计算时间，并且灵活性强，将积分计算公式转换成局部变量。
最后，我们还可以使用局部变换来解决圆锥曲线定点定值问题。
这种变换将原始曲线进行分段处理，将每一段的积分表示为一个局部变量函数，然后将局部变量函数进行积分，求出圆锥曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于，使用较少的计算量可以快速地求出该曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
总之，我们可以使用积分变换、限界积分变换和局部变换等数学变换方法来求解圆锥曲线定点定值问题。
这几种方法各有优缺点，需
要结合实际情况来选择合适的解决方案。
圆锥曲线定点定值问题是解决几何图形相关问题的重要方法，也是构建几何图形的基础之一，研究者需要加强对其原理性质的理解，发掘更多的实用方法。
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定点、定值问题
题型二 定值问题 [典例] 已知点 A，B 分别为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点，过左焦点 F(－2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时，|PQ|＝130. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1，k2，求证：kk12为定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式， 再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式 进行化简、变形即可求得．
[针对训练] 1．已知斜率为1的直线交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，且弦AB中点
的纵坐标为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)记点P(1,2)，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N(M，N 不同于点P)两点，且∠MPN的平分线与y轴垂直，求证：直线MN的斜率为 定值．
[解]：(1)由题意，得 b2＝1，c＝1， 所以 a2＝b2＋c2＝2. 所以椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1. (2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线 AP 的方程为 y＝y1x－1 1x＋1. 令 y＝0，得点 M 的横坐标 xM＝－y1x－1 1. 又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝kx1＋x1t－1. 同理，|ON|＝kx2＋x2t－1.
解: (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点(x0，y0)，则有 y21＝2px1，y22＝2px2， 两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)， 所以 kAB＝xy11－ －yx22＝22yp0＝p2＝1， 所以 p＝2，抛物线方程为 y2＝4x. (2)证明：设直线 MN 的方程为 x＝my＋n(由题意知直线 MN 的斜率一定不为 0)， M(x3，y3)，N(x4，y4)， 联立yx2＝＝m4xy＋，n， 消去 x 得，y2－4my－4n＝0， 由 Δ＝16m2＋16n＞0 得 m2＋n＞0.
圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,
以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.
同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,
若,则弦所在直线过点.
同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
（1）在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
（2）在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率.
（3）在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。
又因为此种问题找得分点比较容易，所以千万不要放弃。
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建“几何法”求某些量的最值.一、主要知识及主要方法：1.观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。
3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.二、精选例题分析【举例1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥．（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【举例2】已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ⎛ ⎝⎭，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=（0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为M 。
（Ⅰ）证明FM AB ⋅为定值；（Ⅱ）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．问题4．直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点()2,0P -和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.（四）课后作业：1.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.F B C1A 1B 1C B C A3.如图，在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y ， ()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.（六）走向高考：1.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx =+1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.2.（06江西）P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++= 和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为.A 6 .B 7 .C 8 .D 93.（07重庆）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ，右准线l 的方程为：12x =.()1求椭圆的方程；()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值.4.(05全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中的最值和定值问题
N
A
M
o
C
B y=m
x
二、定值 策略三：先确定再验证求解定值问题
例3、如图，已知椭圆的中心在原点，一个长轴端点为P(0,-2),
离斜率为k1
,
k2的直y线PA,
PB，交椭圆
于点A, B。
（1）求椭圆的方程； （2）若k1k2 2，探究：
直线AB是否经过定点？
B
o Ax
20
结论：1、利用平行线间的距离可以有效解决； 2、利用三角换元，视角独特
一、最值
5、如果x,y满足 4x2 9 y2 36 ，则 | 2x 3 y 12 | 的最大值为_________
结论：数形结合，灵活运用知识是关键
一、最值
6、（2011年北京卷19） 已知椭圆 x2 y2 1 ，过点（m,0）作圆 x2 y2 1的
A
（09辽宁.文22）
o
x
F
E
二、定值 策略二：分析代数式结构求解定值问题
例2、如图，在平面直角坐标系xoy中，过定点C(0,p)作直线 与抛物线x2 2 py( p 0)相交于A, B。是否存在垂直于y轴的直 线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，
求出l的方程；若不存在，请说明理由。 y
最小值为________。
2b2
| PF1 | | PF2 | 1 cos
结论：| PF1 | | PF2 |的最大值 a 2
| PF1 | | PF2 |的最小值 b2
一、最值
x2 y2
3、已知椭圆
25
9
1上一点为M，点A（2,2）是椭
圆内一点，F1 , F2 为它的左右焦点，则 | MA | | MF2 | 的
圆锥曲线定点定值问题
R
B
EO
X
思路二：转化为证明直线BC与y轴交点为定点
（2）解法二：由对称性可知，若直线 BC
恒过定点，则定点在 y 轴上。
Y
直线 BC 为 y－y2＝xy22－＋yx11(x－x2)，
A
C
令 x=0,
BR
则 y＝xy22－ ＋yx11(－x2)＋y2
EO
X
＝-
x2－x1 x2‘ 4
＋14x22＝x14x2＝4，
B
O
X
x1x2 4
( x1
x2
)
mx1
x2
0
E
所以，直线BC恒过定点(0,4)．
规律小结
圆锥曲线中定点问题的两种常用解法
(1)别离参数法：在含有参数的曲线方程里， 把参 数从含有参数的项里别离出来，并令其系数为零， 可以求出定点坐标。
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探究
解题技巧
整体把握思路，细节谋求方法
2
5
AB
5
同理，当直线OA的斜率为0时，d 2 5 5
解法二：若直线 OA 斜率存在且不为 0，
设直线
OA：y=kx,则直线
OB：
y
1 k
x
y kx, 联立方程组 x2 4 y2
4 ，解得
x0 2
4 1 4k 2
,
OA 2
x02 (1 k 2 )
4(k 2 1) 1 4k 2 ,
同理，OB 2
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.Ⓑ ① 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 由x22＋y2＝1， 得 x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
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第13讲 圆锥曲线中最值,定点，定值问题
一．最值问题
(一) 弦长或面积的问题
例1. 若直线l 与椭圆C ：13
x 22
=+y 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ∆面积的最大值。
变式1. 已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M 的中心在坐标原点，左焦点为)0,
3(F -，右顶点为D(2,0),设)2
1,1(A
(1) 求椭圆M 的方程
(2) 过原点O 的直线交椭圆与B,C 两点，求ABC ∆面积的最大值。
变式２. 已知椭圆Ｇ：14
x 22
=+y 。
过点(ｍ，０)作圆122=+y x 的切线ｌ交椭圆Ｇ与点Ａ，B 两点
(1) 求椭圆G 的焦点坐标和离心率
(2) 将
AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值。
例2. 已知椭圆12
3x 2
2=+y 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆与B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆与A ，C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最小值。
变式1. 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线)0(y >=k kx 与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值。
(二) 涉及坐标，向量数量积等问题
例3. 已知椭圆12
x 22
=+y 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
(1) 求过点O ，F ，并且与直线2:-=x l 相切的圆的方程
(2) 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交
与点G ，求点G 横坐标的取值范围。
变式1. 已知点A(-1,0),B(1,0)，动点P 满足32PB PA =+，记动点P 的轨迹为W
(1) 求W 的方程
(2) 直线1y +=kx 与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点M(m,0)，使得DM
CM =成立，求实数m 的取值范围。
例4. 如图，椭圆C ：)10(1x 2
2
<<=+m m y 的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称。
(1) 若点P 的坐标为)5
34,59(，求m 的值 (2) 若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围
变式1. 已知M(4,0),N(1,0),若动点P 满足MP MN =⋅
(1) 求动点P 的轨迹C 的方程
(2) 设过点N 的直线l 交轨迹C 与A ，B 两点，若直线ｌ的斜率ｋ的取值范围为3k 1≤
≤，求NB NA ⋅的取值范围。
二．定态问题
（一） 定值问题
例5. 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率2
3e =，短轴的一个端点为）2，0（，点M 为直线x 2
1y =与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于A ，B 两点。
(1) 求椭圆C 的标准方程
(2) 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1,k 2,求证：k 1+k 2=0
变式1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C 上的点到右焦点的距离的最小值为1-5 (1) 求椭圆C 的标准方程 (2) 设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AOB π=
∠。
求证：原点O 到直线AB 的距离
为定值，并求出该定值。
变式2 已知椭圆C ：)0(1b
a x 22
22>>=+b a y 的两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直
(1) 求椭圆C 的方程
(2) 过点M(1，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N(3，2)，记直线AN ，BN 的斜
率分别为k 1,k 2,求证k 1+k 2为定值。
（二） 定点问题
例6. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F(1，0)，A ，B 是椭圆C 的左，右顶点，D
是椭圆上异于A ，B 的动点，且ADB ∆的面积的最大值为2。
(1) 求椭圆C 的方程
(2) 是否存在一点)20)(0,(00<<
x x E ，使得当过点E 的直线l 与曲线C 相交于M,N 两点时，1EN 1EM 1
22=+为定值？若存在，求出定点和定值，若不存在，请说明理由
变式1 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1) 求椭圆C 的标准方程
(2) 若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的
圆过椭圆C 的右顶点，求证直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
变式2 如图，椭圆)0(1b
a x :22
22>>=+b a y E 的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率 2
1=e ，过F 1的直线交椭圆与A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为8. (1) 求椭圆E 的方程
(2) 设直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线
x=4相交于点Q ，试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使得以
PQ 为直径的圆恒过定点M 。
若存在，求出点M 的坐标；若不
存在，请说明理由。
（三） 定轨迹问题
例7. 设椭圆1a -1a x :2
2
22=+y E 的焦点在x 轴上 (1) 若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程
(2) 设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴
于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q 。
求证：当a 变化时，点P 在某定直线上
变式1 如图，分别过椭圆)0(1b
a x :22
22>>=+b a y E 左、右焦点F 1，F 2的动直线l 1,l 2相交于点P ，与椭圆E 分别交于A ，B 与C ，D 不同四点，O 为坐标原点，直线OA,OB,OC,OD 的斜率k 1,k 2,k 3,k 4满足k 1+k 2=k 3+k 4。
已知当l 1与x 轴重合时，3
34,32=
=CD AB (1) 求椭圆E 的方程
(2) 求点P 的轨迹方程。