圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

合集下载

圆锥曲线中的四种经典模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++

222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122

高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

高考圆锥曲线中的定点定值问题

定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可

类型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨

+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-⋅=++ 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122

y y

x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k

--+++=+++，整理得：2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】

2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

例题、（07山东）已知椭圆

C ：13

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆

C 相

交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的

右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨

+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-⋅=++ 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，

圆锥曲线过定点问题

圆锥曲线中的定点定
值问题的四种模型
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和 m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：
模型一：“手电筒”模型
模型二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切点弦恒过定点

高中数学复习----圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

以为直径的圆过椭圆的右顶点且， y1
⋅
y2
=
(kx1
+
m) ⋅ (kx2
+
m)
=
k 2 x1x2
+
mk ( x1
+
x2
)
+
m2
=
3(m2 − 4k 2 ) 3 + 4k 2
Q AB
D(2, 0), kAD ⋅ kBD = −1
，， ∴ y1 ⋅ y2 = −1 x1 − 2 x2 − 2
y1 y2 + x1x2 − 2(x1 + x2 ) + 4 = 0
， 3(m2 − 4k 2 ) 3 + 4k2
+
4(m2 − 3) 3 + 4k 2
+
16mk 3 + 4k 2
+
4
=
0
整理得：，解得： 7m2 +16mk + 4k2 = 0
m1 = −2k,
当 m = −2k 时，l : y = k(x − 2) ，直线过定点 (2,0),
m与2已=知−矛27k盾，；且满足
=
1− tanα tan β
=
2 p( y1 + y2 ) y1y2 − 4 p2
将①式代入上式整理化简可得： 2p =1，所以b = 2p + 2pk ， b − 2 pk

圆锥曲线的经典模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型

例题、已知椭圆C ：13

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两

点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m

x y =+⎧⎨

+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-⋅=++ 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+

以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型(汇编)

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++

222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122

1.圆锥曲线中的四种经典模型

由（*）式， − y2 y3 = 4( y2 + y3 ) + 4, 代入上式，得 ( y + 4)(y2 + y3 ) = 4(x −1).
由此可知直线 PQ 过定点 E（1，－4）.
模型二：切点弦恒过定点
例题：有如下结论：“圆 x2 + y 2 = r 2 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程为 x0 y + y0 y = r 2 ”，类比也有
y1 x1 + 1
=
− x2
y2 +1
y1 y12 + 8
=
− y2 wk.baidu.com22 + 8
8( y1
+
y2 ) +
y1 y2 ( y2
+
y1 )
= 0 8+
y1 y2
= 0 直线
PQ
方程为: y −
y1
=
y2 x2
− y1 − x1
(x − x1)
y−
y1
=
y2
1 +
y1
(8x −
y12 )
y( y2 + y1) − y1( y2 + y1) = 8x − y12 y( y2 + y1) + 8 = 8x y = 0, x = 1

圆锥曲线中定点定值问题四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

模型一：“手电筒”模型

例题、（07山东）已知椭圆C ：13

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++

222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+

Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，

圆锥曲线的定点定值问题

一、引言

圆锥曲线是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。圆锥曲线的定点定值问题是研究在给定条件下，确定圆锥曲线上的某个点或某些特定值的问题。本文将深入探讨圆锥曲线的定点定值问题，包括椭圆、双曲线和抛物线三种常见的圆锥曲线。

二、椭圆的定点定值问题

椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。椭圆的定点定值问题主要包括确定椭圆上的某个点的坐标、确定椭圆的焦点和确定椭圆的离心率等问题。

2.1 确定椭圆上的某个点的坐标

已知椭圆的长轴和短轴的长度，以及椭圆的中心点坐标，可以通过参数方程求解椭圆上任意一点的坐标。设椭圆的半长轴为a，半短轴为b，中心点坐标为(h, k)，参数为θ，则椭圆上任意一点的坐标可以表示为：

x = h + a * cos(θ) y = k + b * sin(θ)

2.2 确定椭圆的焦点

椭圆的焦点是确定椭圆形状的重要参数之一。已知椭圆的长轴和短轴的长度，可以通过以下公式计算椭圆的焦点坐标：

c = sqrt(a^2 - b^2)

其中c为焦距，a为半长轴长度，b为半短轴长度。椭圆的焦点坐标可以表示为：

F1 = (h + c, k) F2 = (h - c, k)

2.3 确定椭圆的离心率

椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要参数之一，可以通过以下公式计算椭圆的离心率：

e = c / a

其中c为焦距，a为半长轴长度，e为离心率。离心率描述了椭圆的扁平程度，当离心率为0时，椭圆退化为圆形；当离心率小于1时，椭圆的形状更加扁平；当离心率等于1时，椭圆退化为抛物线；当离心率大于1时，椭圆的形状更加拉长。

(完整版)圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可.技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考.如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

2=+

y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证:直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m

x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-⋅=++ 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+

以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-, 1212122

圆锥曲线专题(定点、定值问题)

圆锥曲线专题——定点、定值问题

模型一：“手电筒”模型

【例题】已知椭圆C ：13

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-⋅=++ 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+

以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C

相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为

直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1

(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m

x y =+⎧⎨

+=⎩

得222(34)84(3)0

k x mkx m +++-=，

22226416(34)(3)0

m k k m ∆=-+->，2

2340

m +->

1212

284(3),3434mk

m x x x x k k

-+=-⋅=++ 222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=

以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),

D 且

1AD BD

1.圆锥曲线中的四种经典模型

模型一：“手电筒”模型
例题、已知椭圆 C： x2 + y2 = 1 若直线 l：y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右 43
顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设
A(x1,
y1),
B(x2
,
y2
)
，由
y 3x2
结论：“椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0)上一点P(x0 , y0 ) 处的切线方程为
x0 x + a2
y0 y b2
= 1 ”，过椭圆
C：
x 2 + y 2 = 1的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线，切点为 A、B. 4
（1）求证：直线 AB 恒过一定点；
（2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求△ABM 的面积。
4
，得Leabharlann Baidu
1＝ tan 4
=
tan(
+
)
tan + tan
=
1− tan tan
=
2 p( y1 + y2) y1y2 − 4 p2
将①式代入上式整理化简可得： 2 p = 1，所以 b = 2 p + 2 pk ， b − 2 pk

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

例题、（07山东）已知椭圆C ：13

2=+

y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +-> Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，

1212122

y y

x x ∴

⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

圆锥曲线定点定值问题

R
B
EO
X
思路二：转化为证明直线BC与y轴交点为定点
（2）解法二：由对称性可知，若直线 BC
恒过定点，则定点在 y 轴上。
Y
直线 BC 为 y－y2＝xy22－＋yx11(x－x2)，
A
C
令 x=0,
BR
则 y＝xy22－＋yx11(－x2)＋y2
EO
X
＝-
x2－x1 x2‘ 4
＋14x22＝x14x2＝4，
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.Ⓑ ① 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，由x22＋y2＝1，得 x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
y＝kx－1，即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22＋－12，
4(k 2 1) k2 4
,
d OA • OB , AB
1 OA 2 OB 2 1
1
d 2 OA 2 • OB 2 OA 2 OB 2
1 4k 2 k 2 4 5 4(k 2 1) 4(k 2 1) 4
d 2 5 . 5
综上可知，点O到直线AB的间隔为定值
2
5 5
.
规律小结
谢谢大家
定点和定值问题的综合运用
例 3 已知椭圆 E 的方程为x22＋y2＝1，过点(1,0)作直线 l 交 E 于 P，Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M，使 MP ·MQ 为定值？若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

相关主题

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++

222

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122

y y

x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++，

整理得：2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((2

222022220b

a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

此模型解题步骤：

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；

Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

◆类型题训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。

练习3：过122

2=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。

练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

αβ+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入（5分）

).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线

）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=∆-=⋅=+t m t y y m y y y x E y x D

4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-⋅+++-=--+--=⋅∴y y y y x x x x y y x x AE AD

5)(2)4

4(4421212

2212221++-⋅++-⋅=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-⋅+⋅-+-⋅=y y y y y y y y y y

m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4

)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得

)1(23)1(434849622

22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>∆+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）

练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l

交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）证明: OM OP ⋅为定值; （II ）若△POM 的面积为

，求向量OM 与OP 的夹角；（Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.

解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(22

121、M 、A 三点共线， ,4

414,2

212

1211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,14212

1211=∴+=+y y y y y y 即 .54

42122

21=+⋅=

⋅∴y y y y OP OM (II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM

.5sin ||||,2

5=⋅⋅∴=

∆αOP OM S ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα

(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 31332222

331313

3133131311,,41444

(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即分

,044

4,4,432

322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即

即.(*)04)(43232=+++y y y y 第22题