圆锥曲线中定点和定值问题的解题方法课件
圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)
圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法： （1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e −+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB 为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．.思路分析 (1)根据已知条件，求出a ，b 的值，得到椭圆C 2的标准方程．(2)①对直线OP 斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，并与椭圆C 1的方程联立，解得点A 横坐标，同理求得点P 横坐标，再通过弦长公式，求出PAPB 的表达式，化简整理得到定值．②设P(x 0，y 0)，写出直线l 1的方程，并与椭圆C 1联立，得到关于x 的一元二次方程，根据直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0，同理得到(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，从而说明k 1，k 2是关于k 的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆22:14x C y +=，F 为其右焦点，直线()0:k y x m l m k +<=与椭圆交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，点,A B 在l 上，且满足,,PA PF QB QF OA OB ===.(点,,,A P Q B 从上到下依次排列)(I )试用1x 表示PF ：(II )证明：原点O 到直线l 的距离为定值.2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD 为定值．4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值；5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0).设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q .圆锥曲线中的定点、定值问题解析一、题型选讲例1【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +−=−，可得121227(3)(3)y y x x =−++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219x y +=得222(9)290.m y mny n +++−=所以12229mn y y m +=−+，212299n y y m −=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +−−++++=解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.例2、【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =−.由2,22,p y x y px ⎧=−⎪⎨⎪=⎩得22304p x px −+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =−（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=−⎨=⎩得()22224840k x k x k −++=，()22222484464640k k k k ∆=+−⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a −=−，()222PNk x k x a−=−. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+−−+−−=−+++=−=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =−时，此时()2,0P −.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P −，使直线PM ，PN 关于x 轴对称. 例3、【解析】（1）由抛物线2:2C x py =−经过点(2,1)−，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =−，其准线方程为1y =.（2）抛物线C 的焦点为(0,1)F −. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =−≠.由21,4y kx x y=−⎧⎨=−⎩得2440x kx +−=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =−. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =−，得点A 的横坐标11A x x y =−. 同理得点B 的横坐标22B x x y =−. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=−−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++ 24(1)n =−++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n −++=，则1n =或3n =−. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)−.例4、【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a −=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++−=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k −+=−=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++−−++−+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k−+−−−+−+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++−=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +−≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =−−≠.所以直线MN 过点21(,)33P −.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y −.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−−=.又2211163x y +=，可得2113840x x −+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P −.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP =. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.例5、【解析】（1）由2220e −+=解得2e =或e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a −−==−a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =−，设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +−+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k −−⨯⨯+=216240k −> 232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k −+=+−=+，()()121222y y kx kx =−−()21212=24k x x k x x −++=224221k k −+， 直线BP 的方程为1111y y x x −=+，令0y =解得111x x y =−，则11,01x M y ⎛⎫⎪−⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪−⎝⎭， 12123411BOMBCNx x SSy y ∴=−−=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =−−−++=22226321444212121k k k k +−++++=12， BOM BON S S∆∴为定值12． 例6、 (1) 规范解答 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝22，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，因此椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2)①1°当直线OP 斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PAPB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1.(6分)所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，从而PAPB＝|x P－x A||x P－x B|＝|x P－x A||x P＋x A|＝2－12＋1＝3－2 2.所以PAPB＝3－22为定值．(8分)②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k1t)2－4(4k21＋1)(4t2－4)＝0，即4k21－t2＋1＝0，将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(x20－4)k21－2x0y0k1＋y20－1＝0，(12分)同理可得，(x20－4)k22－2x0y0k2＋y20－1＝0，所以k1，k2为关于k的方程(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－1＝0的两根，从而k1·k2＝y20－1x20－4.(14又点在P(x0，y0)椭圆C2：x28＋y22＝1上，所以y20＝2－14x20，所以k1·k2＝2－14x20－1x20－4＝－14为定值．(16分)二、达标训练1、【解析】(I) 椭圆22:14xC y+=，故)F，1 ||22FP x ====−.(II)设()33,A x y，()44,B x y，则将y kx m=+代入2214xy+=得到：()222418440k x kmx m+++−=，故2121222844,4141km mx x x xk k−−+==++，21241x xk−=+，OA OB=，故()3434343421k x x my yx x x x k+++==−++，得到34221kmx xk−+=+，PA PF=13122x x−=−42222x x−=−，由已知得：3124x x x x<<<或3124x x x x>>>，)()123421x x x x x+−+=−，2228241141km kmk k k−+=+++，化简得到221m k=+.故原点O到直线l的距离为1d==为定值.2、【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由241y xy kx⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x+−+=．依题意22(24)410k k∆=−−⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）知12224kx xk−+=−，1221x xk=．直线P A的方程为1122(1)1yy xx−−=−−．令x=0，得点M的纵坐标为1111212211My kxyx x−+−+=+=+−−．同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx−+=+−．由=QM QOλ，=QN QOμ得=1Myλ−，1Nyμ=−．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M Nkx x x x x x k ky y k x k x k x x kk λμ−+−−−++=+=+=⋅=⋅−−−−−−．所以11λμ+为定值．3、规范解答(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，ca＝32，则a2c－c＝33，c2＝a2－b2，(3分)解得a＝2，b＝1，c＝3，(5分)所以椭圆E的标准方程是x24＋y2＝1.(6分)(2) 解法1 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，因为PA ＝1＋k 21|x 1－t|，PB ＝1＋k 21|x 2－t|，(10分)所以PA·PB ＝(1＋k 21)|x 1－t||x 2－t|＝(1＋k 21)|t 2－(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2| ＝(1＋k 21)|t 2－8k 21t 21＋4k 21＋4k 21t 2－41＋4k 21|＝（1＋k 21）|t 2－4|1＋4k 21，(12分) 同理，PC ·PD ＝（1＋k 22）|t 2－4|1＋4k 22，(14分) 所以PA·PB PC·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)解法2 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －t)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分) 则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，同理则x 3＋x 4＝8k 22t1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，PA →·PB →＝(x 1－t ，y 1)(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t)(x 2－t)＋k 21(x 1－t)(x 2－t)＝(x 1－t)(x 2－t)(1＋k 21)， PC →·PD →＝(x 3－t ，y 3)(x 4－t ，y 4)＝(x 3－t)(x 4－t)＋k 22(x 3－t)(x 4－t)＝(x 3－t)(x 4－t)(1＋k 22)．(12分) 因为P ，A ，B 三点共线，所以PA →·PB →＝PA·PB ，同理，PC →·PD →＝PC ·PD.PA ·PB PC ·PD ＝PA →·PB →PC →·PD →＝（x 1－t ）（x 2－t ）（1＋k 21）（x 3－t ）（x 4－t ）（1＋k 22）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·（x 1－t ）（x 2－t ）（x 3－t ）（x 4－t ）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·x 1x 2－t （x 1＋x 2）＋t 2x 3x 4－t （x 3＋x 4）＋t 2.代入x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，x 3＋x 4＝8k 22t 1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，化简得PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21），(14分)因为是定值，所以PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)4规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.(2分)连结BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0，而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37.故S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(4分)(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1m ， 则直线PM 的方程为y ＝－1m x －1，联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x 24＋y 2＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，(6分)所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，(8分)所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．(10分)5、规范解答 (1) 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(4分)(2) 设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x24＋y 2＝1得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，(8分) 所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y Px P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(10分) (3) 设直线AC 方程为y ＝k 2(x －2)，当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝⎛⎭⎫－65，－85，则P －65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q .(16分) (不考虑直线与x 轴垂直的情形扣1分)。
圆锥曲线定值,定点
过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
圆锥曲线中的定点、定值问题(教师)
圆锥曲线中的定点、定值问题【方法归纳】定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．如：定点问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②根据条件化为恒等式，求出定点.【典例分析】【定点问题】【例1】（2012.福建卷）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2 ∵e=，∴c=1 ∴b2=a2-c2=3 ∴椭圆E的方程为．法一：法二：取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），y kx m=+,k m22221(b0)x yaa b+=>>12以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）解法3：(导数求切线斜率)【定直线问题】【例2】（2013.安徽卷）设椭圆的焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.解: (Ⅰ).(Ⅱ) .由.12-32523445162222:11x yEa a+=-xE E12,F F P E2F P y Q11F P F Q⊥a p13858851,12,122222222=+=⇒+-==->xxacaacaa，椭圆方程为：),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF-=-=-（则设)1,0(),1,0()1,0(12∈∈⇒∈⇒>-yxaa⎩⎨⎧=++=-⊥=+=)()(,//).,(),,(112211mycxcycxcmQFPFQFPFmcQFycxPF得：由所以动点P 过定直线.【定曲线问题】【例3】（2014·福建卷） 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图16，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为x 24－y216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x y x y x y x y x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 01=-+y x即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x 得y 1＝2t 1－2m ， 同理得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0， 因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin∠AOB ＝8，又易知sin∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0， 即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.【定量问题】【例4】（2014·江西卷） 如图17所示，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)． (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －c 2＝3a .又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．【例5】（2013.江西卷）如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为. (1) 求椭圆的方程;(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.解:(1)由在椭圆上得, ①依题设知,则 ②②代入①解得.故椭圆的方程为.(2)方法一:由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 ③代入椭圆方程并整理,得,设,则有④在方程③中令得,的坐标为.从而. 注意到共线,则有,即有.2222+=1(>>0)x y C a b a b ：3(1,),2P 1=2e l =4x C AB F P AB l M ,,PA PB PM 123,,.k k k λ123+=.k k k λλ3(1,)2P 221914a b +=2a c =223bc =2221,4,3c a b ===C 22143x y +=AB k AB (1)y k x =-223412x y +=2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=1122(,),(,)A x yB x y 2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++4x =M (4,3)k 121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----,,A F B AFBF k k k ==121211y ykx x ==--所以⑤④代入⑤得, 又,所以.故存在常数符合题意. 方法二:设,则直线的方程为:,令,求得, 从而直线的斜率为,联立 ,得,则直线的斜率为:,直线的斜率为:,所以,故存在常数符合题意.【突破提高】1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++312k k =-1232k k k +=2λ=000(,)(1)B x y x ≠FB 00(1)1y y x x =--4x =003(4,)1y M x -PM 0030212(1)y x k x -+=-0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩0000583(,)2525x y A x x ---PA 00102252(1)y x k x -+=-PB 020232(1)y k x -=-00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---2λ=1.若AB 是过椭圆中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM ,BM 与坐标轴不平行,,分别表示直线AM ,BM 的斜率,则=( )A. B. C. D.【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦AB 为椭圆的短轴．M 为椭圆的右顶点，则A (0，b )，B (0，－b )，M (a ，0)．所以．故选B ．2．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足1·2＝0，则e 21＋e 22e 1e 22的值为________． 解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ， 由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22. 又∵1·2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22e 1e 22＝2.3.过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）．A ．B ．C ．D ．解法1：（特殊值法） 令直线与轴垂直，则有：，所以有解法2：（参数法） 如图1，设，且，分别垂直于准线于．，抛物线（＞0）的焦点，准线．∴ ：又由，消去得， ∴，22221(b 0)x y a a b +=>>PFPF PF PF m 2y ax =a F l ,P Q PF FQ ,p q 11p q --+2a 12a 4a 4a l x l 14y a =12p q a ⇒==114p q a --+=11(,)P x y 22(,)Q x y PM QN ,M N 114p PM y a ==+214q QN y a ==+2y ax =a 1(0,)4F a 14y a =-l 14y kx a =+l m x 222168(12)10a y a k y -++=212122121,216k y y y y a a ++==∴∴．4.已知点P 是双曲线 (a ＞0,b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，H 为△PF 1F 2的内心。
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析)
圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，由y =x -2x 2-4y 2=4解得x =2或x =103，因此点E ,F 的横坐标x E ,x F 有x E =x F =103，即直线EF 过定点M 103,0 ，综上得直线EF 过定点M 103,0 ，由于DG ⊥EF ，即点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)证明见解析；(3)存在λ=2，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，以及a ，结合b 2=c 2-a 2，即可求得曲线C 方程；(2)设出直线PQ 的方程，联立双曲线方程，得到关于点P ,Q 坐标的韦达定理；再分别求得AP ,AQ 的方程，以及点M ,N 的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明；(3)求得直线PQ 不存在斜率时满足的λ，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线PA ,PF 2斜率之间的关系，结合点P 的坐标满足曲线C 方程，求解即可.【详解】(1)由题可得a =1,ca =2，故可得c =2，则b 2=c 2-a 2=4-1=3，故C 的标准方程为x 2-y23=1.(2)由(1)中所求可得点A ，F 2的坐标分别为-1,0 ,(2,0)，又双曲线渐近线为y =±3x ，显然直线PQ 的斜率不为零，故设其方程为x =my +2，m ≠±33，联立双曲线方程x 2-y 23=1可得：3m 2-1 y 2+12my +9=0，设点P ,Q 的坐标分别为x 1,y 1 ,(x 2,y 2)，则y 1+y 2=-12m 3m 2-1,y 1y 2=93m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +4=-43m 2-1，x 1x 2=m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=-3m 2-43m 2-1；又直线AP 方程为：y =y 1x 1+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 1x 1+1，故点M 的坐标为12,32⋅y 1x 1+1；直线AQ 方程为：y =y 2x 2+1(x +1)，令x =12，则y =32⋅y 2x 2+1，故点N 的坐标为12,32⋅y 2x 2+1；则MF 2 ⋅NF 2 =32,-32⋅y 1x 1+1 ⋅32,-32⋅y 2x 2+1=94+94⋅y 1y 2x 1x 2+x 1+x 2+1=94+94⋅93m 2-1-3m 2-43m 2-1-43m 2-1+1=94+94⋅9-9=0故MF 2 ⋅NF 2为定值0.(3)当直线PQ 斜率不存在时，对曲线C :x 2-y 23=1，令x =2，解得y =±3，故点P 的坐标为(2,3)，此时∠PF 2A =90°，在三角形PF 2A 中，AF 2 =3,PF 2 =3，故可得∠PAF 2=45°，则存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；当直线PQ 斜率存在时，不妨设点P 的坐标为(x ,y )，x ≠2，直线PF 2的倾斜角为α，直线PA 的倾斜角为β，则∠PF 2A =π-α，∠PAF 2=β，假设存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立，即π-α=2β，则一定有：tan π-α =-tan α=tan2β=2tan β1-tan 2β，也即-k PF2=2k PA 1-k 2PA；又-k PF 2=-yx -2；2k PA 1-k 2PA=2yx +11-y 2x +12=2y (x +1)x +1 2-y2；又点P 的坐标满足x 2-y 23=1，则y 2=3x 2-3，故2k PA1-k 2PA=2y x +1 x +1 2-y 2=2y x +1 x +1 2-3x 2+3=2y (x +1)-2x 2+2x +4=2y (x +1)-2(x -2)(x +1)=-y x -2=-k PF 2；故假设成立，存在实数常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2成立；综上所述，存在常数λ=2，使得∠PF 2A =2∠PAF 2恒成立.【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题.三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．【答案】(1)x 2=12y(2)证明见详解【分析】(1)设M x ,y ，由题意可得y +14=x 2+y -18 2+18，化简整理即可；(2)设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，结合导数的几何意义分析可得x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，结合韦达定理求直线AB 的方程，即可得结果.【详解】(1)设M x ,y ，则MF =x 2+y -18 2,d =y +14 ，因为d =MF +18，即y +14 =x 2+y -18 2+18，当y +14≥0，即y ≥-14时，则y +14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=12y ；当y +14<0，即y <-14时，则-y -14=x 2+y -18 2+18，整理得x 2=y +18<0，不成立；综上所述：M 点的轨迹C 的方程x 2=12y .(2)由(1)可知：曲线C ：x 2=12y ，即y =2x 2，则y =4x ，设A x 1,2x 21 ,B x 2,x 22 ,Q t ,t -1 ，可知切线QA 的斜率为4x 1，所以切线QA ：y -2x 21=4x 1x -x 1 ，则t -1-2x 21=4x 1t -x 1 ，整理得2x 21-4tx 1+t -1=0，同理由切线QB 可得：2x 22-4tx 2+t -1=0，可知：x 1,x 2为方程2x 2-4tx +t -1=0的两根，则x 1+x 2=2t ,x 1x 2=t -12，可得直线AB 的斜率k AB =2x 21-2x 22x 1-x 2=2x 1+x 2 =4t ，设AB 的中点为N x 0,y 0 ，则x 0=x 1+x 22=t ,y 0=2x 21+2x 222=x 1+x 2 2-2x 1x 2=4t 2-t +1，即N t ,4t 2-t +1 ，所以直线AB ：y -4t 2-t +1 =4t x -t ，整理得y -1=4t x -14，所以直线AB 恒过定点P 14,1 .【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ，由题设条件将t 用k 表示为t =mk +n ，得y =k x +m +n ，故动直线过定点-m ,n ；(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.【答案】(1)x 2=12y ；(2)证明见解析，y =3.【分析】(1)设直线l 1的方程为y =x +p2，再根据直线和圆相切求出p 的值得解；(2)依题意设M (m ,-3)，求出切线l 2的方程和B 点坐标，求出MN =x 1-2m ,6 ，ON=x 1-m ,3 即可求解作答.【详解】(1)依题意得，物线C 1:x 2=2py 的焦点坐标为0,p 2 ，设直线l 1的方程为y =x +p2，而圆C 2:x +1 2+y 2=2的圆心C 2(-1,0)，半径r =2，由直线l 1与圆C 2相切，得d =-1+p212+-12=2，又p >0，解得p =6，所以抛物线C 1的方程为x 2=12y .(2)由(1)知抛物线C 1：x 2=12y 的准线为y =-3，设M (m ,-3)，由y =x 212，求导得y =x6，设A (x 1,y 1)，则以A 为切点的切线l 2的斜率为k =x 16，于是切线l 2的方程为y =16x 1x -x 1 +y 1，令x =0，得y =-16x 21+y 1=-16×12y 1+y 1=-y 1，即l 2交y 轴于点B (0,-y 1)，因此MA =(x 1-m ，y 1+3),MB =-m ,-y 1+3 ，MN =MA +MB =x 1-2m ,6 ，则ON =OM +MN=x 1-m ,3 ，设N 点坐标为(x ,y )，从而y =3，所以点N 在定直线y =3上.3已知直线l 1:x -y +1=0过椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0)的左焦点，且与抛物线M :y 2=2px (p >0)相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1，y 2=4x(2)存在，-2,0【分析】(1)由直线l 1过椭圆C 的左焦点，求出c 得出椭圆方程，利用直线l 1与抛物线M 相切，联立两个方程，通过判别式为零进行求解；(2)分成直线l 2斜率存在与不存在两种情况进行讨论，斜率存在时可设直线方程y =k x -1 ，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示M ,N 两点坐标，利用PM ⋅PN=0进行求解.【详解】(1)由y 2=2px x -y +1=0 ，得x 2+2-2p x +1=0，因为直线x -y +1=0与抛物线M 只有1个公共点，所以Δ=2-2p 2-4=0，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .由直线x -y +1=0过椭圆C 的左焦点得得c =1，所以，4-b 2=1，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)如图1，设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，当直线l 2斜率存在时，可设直线方程：y =k x -1由y 2=4x y =k x -1 得k 2x 2-2k 2+4 x +k 2=0，所以Δ=2k 2+4 2-4k 4=16k 2+16>0，x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1. 所以y 1y 2=k 2x 1-1 x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 +1 =-4，x 2y 1+x 1y 2=kx 2x 1-1 +kx 1x 2-1 =k 2x 1x 2-x 1+x 2 =-4k，直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，同理可得，直线OB 的方程为y =y 2x 2x ，令x =2得，M 2，2y 1x 1 ，N 2，2y 2x 2，假设椭圆C 上存在点P x 0,y 0 ，恒有PM ⊥PN .则PM ⋅PN =2-x 0，2y 1x 1-y 0 ⋅2-x 0，2y 2x 2-y 0=0即2-x 0 2+2y 1x 1-y 0 2y 2x 2-y 0=0，即2-x 0 2+y 20-2x 2y 1+2x 1y 2x 1x 2y 0+4y 1y 2x 1x 2=0，即2-x 0 2+y 20+8ky 0-16=0，令y 0=0，可得x 0=6或x 0=-2.由于点6，0 不在椭圆C 上，点-2，0 在椭圆D 上，所以椭圆C 上存在点P -2，0 ，使PM ⊥PN 恒成立如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，则直线方程为x =1，与抛物线交于A 1,2 ，B 1,-2 ，则直线OA 方程为：y =2x ，直线OB 方程为：y =-2x ，椭圆的过右顶点的切线方程为x =2，切线方程x =2与直线OA 交于M 2,4 ，与直线OB 交于N 2,-4 ，由上面斜率存在可知恒过P -2,0 ，经验证满足PM ⋅PN=0，所以当斜率不存在时候也满足以MN 为直径的圆恒过定点-2,0 .4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q 的动圆恒过点F (0,1)，且与直线y =-1相切，设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P 为直线l ：y =y 0y 0<0 上一个动点，过点P 作曲线Γ的切线，切点分别为A ，B ，过点P 作AB 的垂线，垂足为H ，是否存在实数y 0，使点P 在直线l 上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y 0的值，并求定点H 的坐标．【答案】(1)x 2=4y(2)存在这样的y 0，当y 0=-1时，H 坐标为(0,1)．【分析】(1)依题意，由几何法即可得出圆心的轨迹Γ是以F (0,1)为焦点，l ：y =-1为准线的抛物线．(2)设直线AP 的方程y -y 1=k x -x 1 ，对抛物线方程求导化简也可得直线AP 的方程，由恒等思想可得y 0+y 1=x 1x 02，y 0+y 2=x 2x 02，构造直线方程为y +y 0=x 0x2，故AB 两点代入化简可得恒过点0,-y 0 ，再由PH ⊥AB 得x =-x02y -y 0-2 ，PH 恒过点0,y 0+2 ，从而可得结论.。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
第3讲圆锥曲线中的定点、定值与
直线 A2B 的方程为 y= y0 (x-3).②
x0 3
由①②得 y2= y02 (x2-9).③
x02 9
又点
A(x0,y0)在椭圆
C
上,故
y02
=1-
x02 9
④
将④代入③得 x2 -y2=1(x<-3,y<0).
9
因此点 M 的轨迹方程为
x2 -y2=1(x<-3,y<0).
【例 1】 (2012 年高考福建卷)如图,等边三角形 OAB
的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线
E:x2=2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q.证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定 点.
法一:(1)解:依题意,|OB|=8 3 ,∠BOy=30°.
热点训练 1:已知椭圆 C 中心在原点,焦点
在 x 轴上,焦距为 2,短轴长为 2 3 .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不 同的两点 M、N(M、N 不是椭圆的左、右顶 点),且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A.求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.
M(0,1).
以下证明点 M(0,1)就是所要求的点.
因为 MP =(x0,y0-1), MQ =( x02 4 ,-2), 2x0
MP · MQ = x02 4 -2y0+2=2y0-2-2y0+2=0. 2
故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).
解决本题的关键是定点 M 的确定方法,法一中 的方法是求出 M 点坐标,说明过定点,而法二 中是先试解,利用特殊值确定 M 点坐标,然后 证明,在解决这类问题时易出现以下失误:一 是特殊方法找出定点后没有证明其是定点,导 致失分.二是运算量大,容易出现失误导致后 续过程不得分.本类问题常用转化与化归思想 与特殊与一般思想处理.
圆锥曲线中定值问题解题思路(共15张PPT)
所以 | AN || 2
| AN | | BM || 2
|
x02 4 y02 4 x0 y0 4 x0 8 y0 4 | x0 y0 x0 2 y0 2
将
x0 2 y0 2 1 代入上式得 | AN | | BM | 4 ，故 | AN | | BM | 为定值。 4
直线 PA : y
y0 2 y0 ( x 2) ，令 x 0 ，得 yM x0 2 x0 2 2 y0 | x0 2
所以 | BM ||1
直线 PB : y
y0 1 x0 x 1，令 y 0 ，得 xN x0 y0 1 x0 | y0 1 x0 2 y0 x 2 y0 2 x0 2 y0 2 | |1 || 0 || | y0 1 x0 2 y0 1 x0 2
3(1 k 2 ) | OA | | OB | x y 1 2k 2
2 2 2 1 2 1
1 3[1 ( )2 ] 1 3(1 k 2 ) 2 k 用 替换 k ，得 | OM | 2 1 2 k 2 k 1 2( ) k
3(1 k 2 ) 3(1 k 2 ) 3(1 k 2 ) 2 为定值 所以 | OA | | OB | | OM | 1 2k 2 1 2k 2 2 k2
（2）解决定值问题的方法
题型 2：和面积有关系的定值问题，例如三角形，四边形或者面积之间的运算为定值。 注意求三角形面积的方法有三种： ①常规的底乘高除 2； ②解三角形中的面积公式或者面积的向量形式； ③在四边形中注意给出的四边形若对角线互相垂直则可以利用两条对角 线的乘积除 2 得到面积。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题
圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。
【高中数学课件】圆锥曲线中的定值、定点问题
总结提炼：
• 有关定点问题，多出现在直线过定点问题，一种 方法是先求出直线方程，后把参数的同次项合并， 令各次项系数为0即可得到定点，另一种方法是利 用特殊情况找到定点，后证明曲线过该点即可。
思考：
• 如图,椭圆
的两焦点F1,F2与短轴
两端点B1,B2构成∠B2F (2)若直线l:y=kx+m与椭
成立。 • 例2、已知一动圆M,恒过点F （1,0），且总与直线x=-1 • 相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在
曲线C上,是否存在异于原点的 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 两点, 当 y1 y2 16 , 直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标; 若不存在,说明理由.
圆锥曲线中的定值、定点问题
一、曲线过定点问题：
• 例1、（课本P79页第19题）设直线L与抛物线y2=2px(p＞ 0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，其中y1＞y2。
• （1）若 OA • OB 0，AB • OX 0，求L与x轴的交点坐标。 • （2）是否存在定点M，使得当L经过M点时，总有OA • OB 0
且MA MB ， 若M为定点，证明：直线
EF的斜率为定值.
总结提炼：
• 定值问题：
• 解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊 位置得出定值，然后通过证明在一般位置也成 立．二是通过把所要证明为定值的量表示为另外 一个或两个引起变化的量的函数或方程，然后通
过化简变形，证明结果与引起变化的量无关．
• 例5、已知抛物线Q:x2=2py(p＞0)上任意一点到焦 点F的距离的最小值为1.
• (1)求实数p的值; • (2)设圆M过A(0,2),且圆心M在抛物线Q上,EG是圆
圆锥曲线的定点、定值问题(解析版)
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
圆锥曲线中的定点 定值 最值 范围问题 公开课一等奖课件
(2)双曲线中的最值 x2 y2 F1，F2 分别为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为 双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|≥a； ②|PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p＞0)上的任一点，F 为焦点，则有 p ①|PF|≥2； ②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.Βιβλιοθήκη (1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM 与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
解 a2－b2 a2＋b2 3 3 3 4 4 (1)因为 e1e2＝ 2 ，所以 a · a ＝ 2 ，即 a －b ＝4
a4，因此 a2＝2b2，从而 F2(b,0)，F4( 3b,0)．于是 3b－b＝|F2F4|
2 2 2· 1 ＋ m 又 因 为 |y1 － y2| ＝ y1＋y22－4y1y2 ＝ ， 所 以 2d ＝ 2 m ＋2
2 2· 1＋m2 . 2 m ＋4
故四边形 APBQ 的面积 2 2· 1＋m2 1 S＝2|PQ|· 2d＝ 2－m2 3 ＝2 2· －1＋ . 2－m2 而 0<2－m2≤2，故当 m＝0 时，S 取得最小值 2. 综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值 2.
第2讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题
高考定位 圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定 值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以 直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要
综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形
结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数 恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
第8节 第3课时 定值与定点问题--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
代入
4
2
− =1,得
16
M(-4,4 3),N(-4,-4 3).
又 A1(-2,0),A2(2,0),∴直线 A1M,直线 A2N 的方程分别为 y=-2
2 3(-2)
3(x+2),y= 3 ,
= -2 3( + 2),
联立
解得 x=-1.此时点 P 也在定直线 x=-1 上.
2 3(-2)
试判断 λ1+λ2 是否为定值?请说明理由.
解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,因为△MF1F2 的周长为
所以
2 + 2 = 6,①
2
=
3
,②
2
由①得 a=3-c,将此式代入②得 2[(3-c)2-c2]c=3(3-c),
所以 4c -7c+3=(c-1)(4c-3)=0,所以 c=1
1 +2
(2)证明 直线 MA 的方程为 y+2=
1 -1
(x-1),
又 y1=kx1-1,令 x=0,得点 D 的纵坐标为
所以
1-(+2)1
y D=
.
1 -1
1-(+2)1
D(0,
),
1 -1
同理得点 E 的坐标为
1-(+2)2
E(0,
).
2 -1
由=m, =n,得
-16
2
4 +3
,G(x2,3 2),所以直线 AG 的
1 -3 2
方程为 y-3 2 =
1 -2
(x-x2).
令 x=0,
可得
-2 1 +3 22
y=Βιβλιοθήκη +31 -2因为 kx1x2=
2020新课标高考数学讲义：圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题含解析
(2)设P、M、N为抛物线上不同的三点、且PM⊥PN、若P点的横坐标为8、判断直线MN是否过定点？若是、求出定点的坐标；若不是、请说明理由．
解：(1)由题意知、直线AB的方程为y＝x＋ .
由 、得y2－3py＋ ＝0.
设A(x3、y3)、B(x4、y4)、则y3＋y4＝3p.
即(x1＋2、y1)·(x2＋2、y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0、
所以 ＋2× ＋4＋ ＝0、
所以7m2－16mk＋4k2＝0、
解得m1＝2k、m2＝ k、且均满足3＋4k2－m2>0、
当m1＝2k时、l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)、直线恒过点(－2、0)、与已知矛盾；
高考真题
思维方法
(20xx·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)、直线l不过原点O且不平行于坐标轴、l与C有两个交点A、B、线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点 、延长线段OM与C交于点P、四边形OAPB能否为平行四边形？若能、求此时l的斜率；若不能、说明理由.
【关键2：用P点坐标表示|AN|】
所以|AN|·|BM|＝|2＋ |·|1＋ |
＝| |
＝| |
＝4.【关键3：计算|AN|·|BM|并化简得出定值】
当x0＝0时、y0＝－1、|BM|＝2、|AN|＝2、
所以|AN|·|BM|＝4.【关键4：讨论特殊情况、并计算|AN|·|BM|】
综上、|AN|·|BM|为定值.
(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0、b≠0)、A(x1、y1)、B(x2、y2)、M(xM、yM)．【关键1：设出直线方程及直线与椭圆交点坐标】
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的定点、定值问题
题型二 定值问题 [典例] 已知点 A，B 分别为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点，过左焦点 F(－2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时，|PQ|＝130. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1，k2，求证：kk12为定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式， 再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式 进行化简、变形即可求得．
[针对训练] 1．已知斜率为1的直线交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，且弦AB中点
的纵坐标为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)记点P(1,2)，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N(M，N 不同于点P)两点，且∠MPN的平分线与y轴垂直，求证：直线MN的斜率为 定值．
[解]：(1)由题意，得 b2＝1，c＝1， 所以 a2＝b2＋c2＝2. 所以椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1. (2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线 AP 的方程为 y＝y1x－1 1x＋1. 令 y＝0，得点 M 的横坐标 xM＝－y1x－1 1. 又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝kx1＋x1t－1. 同理，|ON|＝kx2＋x2t－1.
解: (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点(x0，y0)，则有 y21＝2px1，y22＝2px2， 两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)， 所以 kAB＝xy11－ －yx22＝22yp0＝p2＝1， 所以 p＝2，抛物线方程为 y2＝4x. (2)证明：设直线 MN 的方程为 x＝my＋n(由题意知直线 MN 的斜率一定不为 0)， M(x3，y3)，N(x4，y4)， 联立yx2＝＝m4xy＋，n， 消去 x 得，y2－4my－4n＝0， 由 Δ＝16m2＋16n＞0 得 m2＋n＞0.
圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题
1、几个常见的定点模型
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,
以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.
同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.
(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.
(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,
若,则弦所在直线过点.
同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.
2、几个常见的定值模型
在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.
（1）在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
（2）在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率.
（3）在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.
3、解题导语
解决定点、定值问题的关键是检测数学运算的能力，所以只
要细致、耐心的计算就可以得到答案。
又因为此种问题找得分点比较容易，所以千万不要放弃。
圆锥曲线中的定点、定值和最值问题
数 学
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
[自主解答]
(1)设椭圆 E 的左右焦点分别为 F1，F2，
∵椭圆 E 右焦点为(1,0)，∴c＝1， 又点
3 P1，2在椭圆
E 上， 1＋1
2
∴ 2a ＝ |PF1| ＋ |PF2| ＝ 4，
3 ＋22＋
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
x2 y2 2 1．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ，左、右焦点 a b 2 分别为 F1，F2，点 P(2， 3)，点 F2 在线段 PF1 的中垂线上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l： y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M， N 两点， 直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α，β，且 α＋β＝π，试问直线 l 是否 过定点？若过，求该定点的坐标．
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
2 解得 n＝2k 或 n＝ k. 7 当 n＝2k 时，直线 MN 的方程为 y＝k(x＋2)，过点 A，与 题意不符，舍去； 2 当 n＝ k 时，n2－ 4k2－ 3<0，直线 MN 的方程为 y＝ 7
2 kx＋7，显然过点 2 Q－7，0. 2 Q－7，0.
综上，直线 MN 一定经过 x 轴上一定点
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第三讲
第二课时
圆锥曲线中的定点、定值和最值 问题
——————————规律· 总结———————————— 求解直线和曲线过定点问题的基本思路
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建“几何法”求某些量的最值.一、主要知识及主要方法：1.观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。
3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.二、精选例题分析【举例1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥．（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【举例2】已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ⎛ ⎝⎭，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=（0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为M 。
（Ⅰ）证明FM AB ⋅为定值；（Ⅱ）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．问题4．直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点()2,0P -和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.（四）课后作业：1.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.F B C1A 1B 1C B C A3.如图，在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y ， ()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.（六）走向高考：1.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y kx =+1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.2.（06江西）P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++= 和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为.A 6 .B 7 .C 8 .D 93.（07重庆）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ，右准线l 的方程为：12x =.()1求椭圆的方程；()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值.4.(05全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线定点定值问题
R
B
EO
X
思路二：转化为证明直线BC与y轴交点为定点
（2）解法二：由对称性可知，若直线 BC
恒过定点，则定点在 y 轴上。
Y
直线 BC 为 y－y2＝xy22－＋yx11(x－x2)，
A
C
令 x=0,
BR
则 y＝xy22－ ＋yx11(－x2)＋y2
EO
X
＝-
x2－x1 x2‘ 4
＋14x22＝x14x2＝4，
B
O
X
x1x2 4
( x1
x2
)
mx1
x2
0
E
所以，直线BC恒过定点(0,4)．
规律小结
圆锥曲线中定点问题的两种常用解法
(1)别离参数法：在含有参数的曲线方程里， 把参 数从含有参数的项里别离出来，并令其系数为零， 可以求出定点坐标。
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探究
解题技巧
整体把握思路，细节谋求方法
2
5
AB
5
同理，当直线OA的斜率为0时，d 2 5 5
解法二：若直线 OA 斜率存在且不为 0，
设直线
OA：y=kx,则直线
OB：
y
1 k
x
y kx, 联立方程组 x2 4 y2
4 ，解得
x0 2
4 1 4k 2
,
OA 2
x02 (1 k 2 )
4(k 2 1) 1 4k 2 ,
同理，OB 2
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.Ⓑ ① 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 由x22＋y2＝1， 得 x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
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二、定值的探究与证明问题
【变式】
已知椭圆为
x2 3
y2
1
，△ABC
的三个顶点都在椭圆上，设
三条边 AB、BC、AC 的中点分别为 M、N、P，设△ABC 的三条边
所在直线的斜率分别为 k1,k2,k3（ki≠0,i=1,2,3），若直线 OM，
ON，OP
的斜率之和为
0.求证：
1 k1
1 k2
1 k3
解圆锥曲线中的定值问题可以先研究一下特殊情况， 找出定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙 利用特殊值解决相关的定值问题的选择题或填空题，如将 过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等。
9
二、定值的探究与证明问题
【汕头二模】
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
的一个焦点为
F(
2,0) ，其短轴
图 17-2
(1)求抛物线方程．
(2)若 O 为坐标原点，问是否存在点 M，使过点 M 的动直
线与抛物线交于 B，C(与原点Fra bibliotek重合)两点，且以 BC 为直径的
圆恰好过坐标原点．若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请
说明理由．
16
补充题目
x2 如图所示，已知椭圆 C：4 ＋y2＝1，A，B 是四条直线 x＝±2， y＝±1 所围成的长方形的两个顶点． (1)设 P 是椭圆 C 上任意一点，若 OP mOA nOB ，求证：动点 Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程． (2)若 M，N 是椭圆 C 上的两个动点，且直线 OM，ON 的斜 率之积等于直线 OA，OB 的斜率之积，试探究△OMN 的面积是否 为定值，并说明理由．
1
相关知识点：
含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数
含义
定
变化的某个点或某几个点
点
把曲线系方程按照参数进行集项，使得方程对任
解法
意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点
含义
不随其他量的变化而发生数值变化的量
定
建立这个量关于其他量的关系式，最后的结果与
值 解法
其他变化的量无关
2
一、定点的探究与证明问题 定点问题1：直线过定点
上的一个端点到 F 的距离为 3 ，
（1）求椭圆 C 的离心率及其方程；
（2）点 Px0,y0 是圆 G： x2 y2 4 上的动点，过点 P 做椭
圆 C 的切线 l1,l2 交圆 G 于点 M，N，求证：线段 MN 的长 为定值。
10
【说明】 1、从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2、直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量， 从而得到定值。
∠PBQ 的平分线，则直线 PQ 恒过定点________．
3
一、定点的探究与证明问题
【说明】 解圆锥曲线中的定点问题可以先研究一下特殊情况，找 出定点，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用 特殊值解决相关的定点问题的选择题或填空题，如将过焦点 的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等。
4
y2 b2
1a
b
0上的任一点
N x0,
y0 处的切线方程
是
x0 x a2
y0 y b2
1 ，求证：直线
AB
恒过定点
C
，并求出定点
C
的坐标。
5
一、定点的探究与证明问题 定点问题2：圆过定点
【揭阳一模】 在平面直角坐标系 xoy 中，已知曲线 C 的方程为 x2 4y ，
设直线 l2 : y kx m与曲线 C 有唯一公共点 P ，且与直线 l1 : y 1 相交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点 N ，使得以 PQ 为 直径的圆恒过点 N ？若存在，求出点 N 的坐标，若不存在， 说明理由.
【例题】
已知抛物线 y2＝8x，直线 l 交抛物线于不同的 P，Q 两点．若 OP OQ 0 ，则直线 PQ 恒过定点________．
【听课手册 P41 页】 4．[2013·陕西卷改编] 已知点 B(－1，0)，抛物线 y2＝8x，不 垂直于 x 轴的直线交抛物线于不同的 P，Q 两点．若 x 轴为
证明定值：将问题转化为证明 待证式与参数(某些变量)无关 (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足 的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得 定值.
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补充题目
【听课手册P42页】
例 2 如图 17-2 所示，F 是抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，点 A(4，2)为抛物线内一定点，点 P 为抛物线上一动点，|PA|＋|PF| 的最小值为 8.
为定值。
12
二、定值的探究与证明问题
【解题探究】
证明 1 1 为 定1 值的两关键点: k1 k2 k3
①表示:将 1 1 中 的1 量k1,k2,k3用_____动__点__M__,_N_,_P_的__坐表标示； k1 k2 k3
②化简：利用约束条件k：OM_+__k_O_N_+__k_O_P_=_0化简得定值.
【听课手册 P41 页】 3．[2012·辽宁卷改编] 已知过点(0，1)的直线与抛物线 x2＝4y 交于不同的两点 A，B，过 A，B 分别作抛物线的切
线，则两切线交点的纵坐标为定值，这个定值是________．
8
二、定值的探究与证明问题
【说明】 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素 无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能 是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表 达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当 使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要 注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参 数问题解决．
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二、定值的探究与证明问题
【变式】
已知椭圆为
x2 3
y2
1
，
设 N(0，1)，过点 P(－1，－2)作直线 l 交椭圆于不同于 N 的
两点 A，B，直线 NA，NB 的斜率分别为 k1，k2， 证明：k1＋k2 为定值。
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【方法小结】求解定值问题的两大途径 (1) 由特例得出一个值(此值一般就是定值)
一、定点的探究与证明问题 定点问题1：直线过定点
【茂名二模】
20、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆 E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
过点 P(
3,
3 2
)
，离心率为
1 2
，过直线
l
:
x
4
上一点
M
引椭圆
E
的
两条切线，切点分别是 A 、 B ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若在椭圆
x2 a2
6
一、定点的探究与证明问题
【方法小结】 1、证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线 方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于 x，y 的方程组， 以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点． 2、探索动曲线过定点可以从特殊情况入手，先探求定点， 再证明与变量无关。
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二、定值的探究与证明问题