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圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

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圆锥曲线【定点定值】12 大题型(原卷版)

圆锥曲线【定点定值】12 大题型(原卷版)

圆锥曲线中的定点、定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =，用一个参数表示另外一个参数()k f m =，即可带用其他式子，消去参数k ．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0y kg x -+=，只要因式()0g x =，就和参数k 没什么关系了，或者说参数k 不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ．③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．题型一：面积定值【典例1-1】如图所示，已知椭圆22:14x C y +=，A ，B 是四条直线2x =±，1y =±所围成的矩形的两个顶点．若M ，N 是椭圆C 上的两个动点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于直线OA ，OB 的斜率之积，试探求OM N V 的面积是否为定值，并说明理由．【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线28y x =上各点向x 轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为Γ.(1)求Γ的轨迹方程；(2),,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，①若//AC DF ，求BDBF的值；②证明：三角形ABC 与三角形DEF 的面积之比为定值.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，M 在椭圆E 上，且12MF F △(1)求椭圆E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于P ，Q 两点，且22434k m +=，求证：OPQ △（O 为坐标原点）的面积为定值.【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ^；（ii ）记PMQ V ，HNQ V ，MNQ V 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知()1,0A -，()10B ,，平面上有动点P ，且直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为1.(1)求动点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与Ω交于点M （M 在第一象限），过点B 的直线与Ω交于点N （N 在第三象限），记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，且124k k =.试判断AMN V 与BMN V 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.题型二：向量数量积定值【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ l ×+×uuu r uuu r uuu r uuu r为定值？若存在，求出l 的值；若不存在，说明理由.【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点12F F 、分别为椭圆22:12x y G +=的左､右焦点，直线:l y kx t =+与椭圆G 有且仅有一个公共点，直线12,F M l F N l ^^，垂足分别为点M N 、.(1)求证：2221t k =+；(2)求证：12F M F N ×uuuu r uuuu r为定值，并求出该定值；【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P æççè，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C 的方程；(2)设5,04M æöç÷èø，过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点，试问：MA MB ×uuu r uuu r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线b y x a =-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a=-于R ，若△OMQ ，V ONR 的面积之和为2ab．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ×uuu r uuu r为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ^，连接CM ，交椭圆E 于点P .(1)求椭圆E 的方程；(2)求证：OM OP ×uuuu r uuu r为定值.【变式2-4】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，且3AF =uuu r ，以F为圆心，OF 为半径的圆F 经过点B .(1)求C 的方程；(2)过点A 且斜率为()0k k ¹的直线l 交椭圆C 于P ，（ⅰ）设点P 在第一象限，且直线l 与y x =-交于HHAO Ð，求k 的值；（ⅱ）连接PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，且QT BT ×为定值，已知点Q 在定直线上，求Q 所在定直线方程.题型三：斜率和定值【典例3-1】已知椭圆()222:11x M y a a +=>与双曲线222:1y N x a-=的离心率的平方和为234.(1)求a 的值；(2)过点1,02Q æöç÷èø的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ，B ，C ，D ，在x 轴上是否存在一点T ，直线TA ，TB ，TC ，TD 的斜率分别为TA k ，TB k ，TC k ，TD k ，使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【典例3-2】（2024·河南·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设()3,P t ，过点P 的两条直线1l 和2l 分别交椭圆C 于点,D E 和点,M N （1l 和2l .不重合），直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k .若PM PN PD PE =，判断12k k +是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.【变式3-1】椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-（0k ¹）与C 交于A ，B 两点（异于点P ）.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值.【变式3-2】（2024·宁夏银川·一模）已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，左顶点为A ，则上顶点为1B ，且1AB 20y -+=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是直线3x =上一点，过点P 的两条不同直线分别交C 于点D ，E 和点M ，N ，且PD PMPN PE=，求证：直线DE 的斜率与直线MN 的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值【典例4-1】（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左顶点为E ，虚轴的上端点为P ，且3PF =，PE =(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设M N 、是双曲线C 上不同的两点，Q 是线段MN 的中点，O 是原点，直线MN OQ 、的斜率分别为12k k 、，证明：12k k ×为定值．【典例4-2】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E右焦点，π3AFB Ð=.(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-1】已知椭圆22122:1(0)22x y C a b a b +=>>左右焦点12,F F 分别为椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，过点1F 且斜率不为零的直线与椭圆1C 相交于,A B 两点，交椭圆2C 于点M ，且2ABF △与12BF F △的周长之差为4-(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；(2)若直线2MF 与椭圆1C 相交于,D E 两点，记直线1MF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【变式4-2】（2024·湖南长沙·二模）如图，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点1F ，2F 分别为双曲线22222:144x y C a b -=的左､右顶点，过点1F 的直线分别交双曲线1C 的左､右两支于,A B 两点，交双曲线2C 的右支于点M （与点2F 不重合），且12BF F △与2ABF △的周长之差为2.(1)求双曲线1C 的方程；(2)若直线2MF 交双曲线1C 的右支于,D E 两点.①记直线AB 的斜率为1k ，直线DE 的斜率为2k ，求12k k 的值；②试探究：DE AB -是否为定值？并说明理由.【变式4-3】已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)过点((1)求双曲线C 的标准方程；(2)设过点()2,0P 且斜率不为0的直线l 与双曲线C 的左右两支交于A ，B 两点.问：在x 轴上是否存在定点Q ，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.题型五：斜率比定值【典例5-1】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0M p ，过点F 且斜率存在的直线交C 于不同的,A B 两点，当直线AM 垂直于x 轴时，3AF =.(1)求C 的方程；(2)设直线,AM BM 与C 的另一个交点分别为,D E ，设直线,AB DE 的斜率分别为12,k k ，证明：（ⅰ）12k k 为定值；（ⅱ）直线DE 恒过定点.【典例5-2】如图所示，已知点()1,0K ，F 是椭圆22195x y+=的左焦点，过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，直线,AK BK 分别与椭圆交于,P Q 两点．(1)证明：直线PQ 过定点．(2)证明：直线PQ 和直线AB的斜率之比为定值．【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）如图，DM x ^轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且||1||2DP DM =．(1)点M 在圆224x y +=上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P 的轨迹为,(0,1)A G ，过点10,2æöç÷èø作一条直线与G 相交于,B C 两点，与直线2y =交于点Q ．记,,AB AC AQ 的斜率分别为123,,k k k ，证明：123k k k +是定值．【变式5-2】（2024·云南·二模）已知椭圆EO ，焦点在x 轴上，右焦点为F ，A 、B 分别是E 的上、下顶点.E 的短半轴长是圆O 的半径，点M 是圆O 上的动点，且点M 不在y 轴上，延长BM 与E 交于点,N AM AN ×uuuu r uuu r的取值范围为(0,4).(1)求椭圆E 、圆O 的方程;(2)当直线BM 经过点F 时，求AFN V 的面积;(3)记直线AM 、AN 的斜率分别为12k k 、，证明:21k k 为定值.【变式5-3】（2024·河南·三模）已知点())A B ,，动点V 满足直线VA 与直线VB 的斜率之积为13，动点V 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程：(2)直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，且BP BQ BM PQ ^^,交PQ 于点M ，求定点N 的坐标，使MN 为定值；(3)过（2）中的点N 作直线交曲线C 于,G H 两点，且两点均在y 轴的右侧，直线,AG BH 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值．题型六：斜率差定值【典例6-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，D 为椭圆C 的右顶点，且124DF DF ×=uuu u r uuuu r.(1)求椭圆C 的方程；(2)设()4,2M -，过点()4,0Q -的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），直线AM 与直线2x =-交于点N ，设直线NA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k -为定值.【典例6-2】已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点æççè，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【变式6-1】已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，1F 为左焦点，且1ABF V P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，点()3,1-在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M -，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P -，直线AP 交直线2x =-于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k -为定值．题型七：线段定值【典例7-1】（2024·高三·山西·期末）已知椭圆E ：()2221024x y b b +=<<.(1)若椭圆E 22y x =-与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：OM ON ^；(2)P 为直线l ：4x =上的一个动点，A ，B 为椭圆E 的左、右顶点，PA ，PB 分别与椭圆E 交于C ，D 两点，证明CA PD PC BD××为定值，并求出此定值.【典例7-2】如图，已知圆22:210T x y ++-=，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为)，线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA AH l =uuu r uuur ，CB BH m =uuur uuur ，试探究l m +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)过点()2,1M 作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得1MP MQ k k ×=.且MD PQ ^，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得DF 为定值.【变式7-1】已知点N 在曲线22:11612x y C +=上，O 为坐标原点，若点M 满足2ON OM =uuu r uuuu r ，记动点M 的轨迹为G ．(1)求G 的方程；(2)设,C D 是上G 的两个动点，且以CD 为直径的圆经过点O ，证明：2211OCOD+为定值．【变式7-2】（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 满足=，点P 的轨迹为C ，过点(2,0)F 作直线l ，与轨迹C 相交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)求OAB △面积的取值范围；(3)若直线l 与直线1x =交于点M ，过点M 作y 轴的垂线，垂足为N ，直线NA ，NB 分别与x 轴交于点S ，T ，证明：||||SF FT 为定值．【变式7-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F --，动点P 满足34PA PB k k ×=-，动点P 的轨迹为曲线1,PF t 交t 于另外一点2,Q PF 交t 于另外一点R .(1)求曲线t 的标准方程;(2)已知1212PF PF QF RF +是定值，求该定值;题型八：坐标定值【典例8-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，122AF AF AF -=uuur uuuu r uuuu r ，12AF F △(1)求C 的方程；(2)B 是C 上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线l 过点2F 且与C 交于M ，N 两点（均异于点B ），点P 在l 上，设直线BM ，BP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若2312k k k -=，问点P 的横坐标是否为定值？若为定值，求出点P 的横坐标；若不为定值，请说明理由.【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，012P PP V ，ABC V 分别为抛物线y 2=2px(p >0)的切线三角形和切点三角形，F 为该抛物线的焦点．当直线AB 的斜率为1-时，AB 中点的纵坐标为2-．(1)求p ．(2)若直线AC 过点F ，直线,AB BC 分别与该抛物线的准线交于点,D E ，记点,D E 的纵坐标分别为,D E y y ，证明：D E y y 为定值．(3)若,,A B C 均不与坐标原点重合，证明：012FA FB FC FP FP FP ××=××【变式8-1】（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点P 与两定点()11,0A -，()21,0A 连线的斜率之积为3．(1)求动点P 的轨迹E 的方程：(2)过点()2,0的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，点A ，B 均在y 轴右侧，且点A 在第一象限，直线2AA 与1BA 交于点M ，证明：点M 横坐标为定值．题型九：角度定值【典例9-1】抛物线C ：()20x py p =>的焦点为()0,1F ，直线l 的倾斜角为a 且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于两点A ，B .（1）若16AB =，求角a ；（2）分别过A ，B 作抛物线C 的切线1l ，2l ，记直线1l ，2l 的交点为E ，直线EF 的倾斜角为b .试探究a b -是否为定值，并说明理由.【典例9-2】（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于B ，D （异于点A ）两点，直线AB ，AD 分别与直线4x =交于M ，N 两点，试问MFN Ð是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy¢=+ìí¢=+î①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点(,)P x y 变换为点(),P x y ¢¢¢的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d æöç÷èø唯一确定，我们将a b c d æöç÷èø称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转a 角得到点(),P x y ¢¢¢（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4（到原点距离不变）得到的双曲线方程C ；(3)已知由（2）得到的双曲线C ，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T ö÷÷ø.设直线DA ，DB 的倾斜角分别为a ，b ，求证：a b +为定值.【变式9-2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：MQN Ð为定值.题型十：直线过定点【典例10-1】（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M 经过定点1(F ，且与圆222:(16F x y +=内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B 的动点，设直线PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交轨迹C 于点Q ；直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ×为定值；（ii ）设直线:PQ x ty n =+，证明：直线PQ 过定点.【典例10-2】（2024·广西·模拟预测）已知圆E 恒过定点()1,0，且与直线=1x -相切，记圆心E 的轨迹为G ，直线11:10l x m y --=与G 相交于A ，B 两点，直线22:10l x m y --=与G 相交于C ，D 两点，且121m m =-，M ，N 分别为弦,AB CD 的中点，其中A ，C 均在第一象限，直线AC 与直线BD 的交点为G ．(1)求圆心E 的轨迹G 的方程；(2)直线MN 是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．【变式10-1】（2024·江西·二模）已知()12,0F -，()22,0F ，M 是圆O ：221x y +=上任意一点，1F 关于点M 的对称点为N ，线段1F N 的垂直平分线与直线2F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设(),0E t （0t >）为曲线C 上一点，不与x 轴垂直的直线l 与曲线C 交于G ，H 两点（异于E 点）.若直线GE ，HE 的斜率之积为2，求证：直线l 过定点.【变式10-2】在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M ：()22616x y -+=外切，又与圆N ：(223x y +-=外切．(1)求椭圆C 的方程．(2)已知A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，连接AF ，BF 并分别延长交椭圆C 于D ，E 两点，证明：直线DE 过定点．题型十一：动点在定直线上【典例11-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，A ，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ，N ．(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；(2)若AB 4=，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【典例11-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2H æö-ç÷èø，离心率12e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点()4,3P 且倾斜角为135o 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，点R 为椭圆C 上任意一点，求RMN V 面积的最小值.(3)如图，过点()4,3P 作两条直线,AB CD 分别与椭圆C 相交于点,,,A B C D ，设直线AD 和BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上.【变式11-1】已知A ，B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点，P 是C 上异于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，且12||4k k AB ==.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点(4,0)的直线:4l x my =+，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线AD 与直线BE 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.【变式11-2】已知椭圆G ：()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交椭圆G 于点3(1,)2P ．过点P 作椭圆G 的切线，交x 轴于点Q ．(1)求点Q 的坐标；(2)过点Q 的直线（非x 轴）交椭圆G 于A 、B 两点，过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D ，求证：线段AD 的中点在定直线上．【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴，A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，M ，N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点，直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直．点M 关于原点的对称点为S ，若直线1A S 与直线2A N 相交于点T ．（i ）设直线1MA 的斜率为1k ，直线2MA 的斜率为2k ，求12k k -的最小值；（ii ）证明：直线OT 与直线MN 的交点在定直线上．题型十二：圆过定点【典例12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 、B 分点是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上不同于A 、B 的一点，ABP V 面积的最大值是2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)记直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，且直线AP 、BP 与直线6x =分别交于D 、E 两点．①求D 、E 的纵坐标之积；②试判断以DE 为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【典例12-2】（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的两点,A B 的横坐标分别为4,8,AB -=.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点()0,8Q 的直线l 与抛物线C 交于点,M N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.【变式12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ¢过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B ．(1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB 为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．【变式12-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线2:2(0)E x py p =>，焦点为F ，点(2,1)C 在E 上，直线1l ∶1y kx =+(0)k ¹与E 相交于,A B 两点，过,A B 分别向E 的准线l 作垂线，垂足分别为11,A B .(1)设1111,,FA B FAA FBB V V V 的面积分别为123,,S S S ，求证：21234S S S =×；(2)若直线AC ，BC 分别与l 相交于,M N ，试证明以MN 为直径的圆过定点P ，并求出点P 的坐标.1．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点Z 对应的复数z 满足2297z z --=，设点Z 的运动轨迹为W ．点O 对应的数是0．(1)证明W 是一个双曲线并求其离心率e ；(2)设W 的右焦点为1F ，其长半轴长为L ，点Z 到直线Lx e=的距离为d （点Z 在W 的右支上），证明：1ZF ed =；(3)设W 的两条渐近线分别为12l l ，，过Z 分别作12l l ，的平行线34l l ，分别交21l l ，于点P Q ，，则平行四边形OPZQ 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．2．（2024·湖南常德·三模）已知O 为坐标原点，椭圆C ：2221(1)x y a a +=>的上、下顶点为A 、B ，椭圆上的点P 位于第二象限，直线PA 、PB 、PO 的斜率分别为123,,k k k ，且312114k k k =-+.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过原点O 分别作直线PA 、PB 的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.3．已知一张纸上画有半径为4的圆E ，在圆E 内有一个定点F ，且EF =，折叠纸片，使圆上某一点F ¢刚好与F 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当F ¢取遍圆上所有点时，所有折痕与EF ¢的交点形成的曲线为C ．(1)若曲线C 的焦点在x 轴上，求其标准方程；(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线C 恒有两个交点,A B ，且OA OB ^，（O 为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；(3)在（1）的条件下，P 是曲线C 上异于上顶点1A 、下顶点2A 的任一点，直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ，若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出定值．4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的一个动点，12PFF V 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)求12PF PF ×uuu r uuu u r的取值范围；(3)过椭圆的左顶点A 作直线l x ^轴，M 为直线l 上的动点，B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点Q ．试判断数量积AQ OM ×uuu v uuuu v ，OQ OM ×uuu v uuuu v是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上下焦点分别为()10,F c ，()20,F c -. 已知点(e 和(都在双曲线上， 其中e 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P .(i) 若122AF BF -=，求直线1AF 的斜率；(ii) 求证：12PF PF +是定值.6．已知椭圆22142x y +=，设动点P 满足OP OM ON =+uuu r uuuu r uuu r ，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-．问：是否存在两个点1F ，2F ，使得21PF PF +为定值？若存在，求1F ，2F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2，设F 为C 的右焦点，T 为C 的左顶点，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当直线AB 斜率不存在时，TAB △的面积为9．(1)求C 的方程；(2)当直线AB 斜率存在且不为0时，连接TA ，TB 分别交直线12x =于P ，Q 两点，设M 为线段PQ 的中点，记直线AB ，FM 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(,2)M m 是抛物线C 上一点，且||2MF =．(1)求抛物线C 的方程．(2)若()()004,0P y y >是抛物线C 上一点，过点(1,4)Q -的直线与拋物线C 交于,A B 两点（均与点P 不重合），设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．9．（2024·河南新乡·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是12,A A ，椭圆C 的焦距是2，P （异于12,A A ）是椭圆C 上的动点，直线1A P 与2A P 的斜率之积为34-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，Q 是12PFF V 内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点,M N ，使得QM QN +为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.10．（2024·江苏盐城·一模）已知抛物线O ：2x y =，圆C ：()2221x y +-=，O 为坐标原点.(1)若直线l ：()0y kx m k =+¹分别与抛物线O 相交于点A ，B （A 在B 的左侧）、与圆C 相交于点S ，T （S 在T 的左侧），且OAT !与OBS V 的面积相等，求出m 的取值范围；(2)已知1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中12A A ，13A A 均与圆C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.11．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，C 上的点到1F 的最小距离为1，P是C 上一点，且12PFF V 的周长为6．(1)求C 的方程；(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ，N 两点，过原点且与l 平行的直线与C 交于A ，B 两点，求证：2ABMN为定值．12．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点P 为圆()22:24C x y -+=上任意一点，()2,0A -，线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程；(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ，T 两点，且M 为线段ST 的中点.（i ）证明：直线l 与曲线H 有且仅有一个交点；（ii ） 求证：OS OT ×是定值.13．（2024·湖北·模拟预测）已知F 为抛物线G ：()20y mx m =>的焦点，A ，B ，C 是G 上三个不同的点，直线AB ，BC ，AC 分别与x 轴交于F ，D ，E ，其中AB 的最小值为4.(1)求G 的标准方程；(2)ABC V 的重心G 位于x 轴上，且D ，G ，E 的横坐标分别为d ，g ，e ，32g d e --是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.14．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹G 交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG V 的重心的横坐标为定值．。

圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)

圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)

圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一 、 圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法： （1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．题型二、圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e −+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．例6、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB 为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．.思路分析 (1)根据已知条件，求出a ，b 的值，得到椭圆C 2的标准方程．(2)①对直线OP 斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，并与椭圆C 1的方程联立，解得点A 横坐标，同理求得点P 横坐标，再通过弦长公式，求出PAPB 的表达式，化简整理得到定值．②设P(x 0，y 0)，写出直线l 1的方程，并与椭圆C 1联立，得到关于x 的一元二次方程，根据直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0，同理得到(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0，从而说明k 1，k 2是关于k 的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值．二、达标训练1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）如图，已知椭圆22:14x C y +=，F 为其右焦点，直线()0:k y x m l m k +<=与椭圆交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，点,A B 在l 上，且满足,,PA PF QB QF OA OB ===.(点,,,A P Q B 从上到下依次排列)(I )试用1x 表示PF ：(II )证明：原点O 到直线l 的距离为定值.2、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．3、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD 为定值．4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴的交点除外)，直线PC 交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2) ①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值；5、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0).设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q .圆锥曲线中的定点、定值问题解析一、题型选讲例1【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3.由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +−=−，可得121227(3)(3)y y x x =−++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219x y +=得222(9)290.m y mny n +++−=所以12229mn y y m +=−+，212299n y y m −=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +−−++++=解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.例2、【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =−.由2,22,p y x y px ⎧=−⎪⎨⎪=⎩得22304p x px −+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =−（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=−⎨=⎩得()22224840k x k x k −++=，()22222484464640k k k k ∆=+−⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a −=−，()222PNk x k x a−=−. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+−−+−−=−+++=−=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =−时，此时()2,0P −.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P −，使直线PM ，PN 关于x 轴对称. 例3、【解析】（1）由抛物线2:2C x py =−经过点(2,1)−，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =−，其准线方程为1y =.（2）抛物线C 的焦点为(0,1)F −. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =−≠.由21,4y kx x y=−⎧⎨=−⎩得2440x kx +−=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =−. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =−，得点A 的横坐标11A x x y =−. 同理得点B 的横坐标22B x x y =−. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=−−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++ 24(1)n =−++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n −++=，则1n =或3n =−. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)−.例4、【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a −=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++−=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k −+=−=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−=，可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++−−++−+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k−+−−−+−+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++−=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +−≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =−−≠.所以直线MN 过点21(,)33P −.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y −.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y −−+−−−=.又2211163x y +=，可得2113840x x −+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P −.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP =. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.例5、【解析】（1）由2220e −+=解得2e =或e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a −−==−a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =−，设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +−+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k −−⨯⨯+=216240k −> 232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k −+=+−=+，()()121222y y kx kx =−−()21212=24k x x k x x −++=224221k k −+， 直线BP 的方程为1111y y x x −=+，令0y =解得111x x y =−，则11,01x M y ⎛⎫⎪−⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪−⎝⎭， 12123411BOMBCNx x SSy y ∴=−−=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =−−−++=22226321444212121k k k k +−++++=12， BOM BON S S∆∴为定值12． 例6、 (1) 规范解答 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝22，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，因此椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2)①1°当直线OP 斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PAPB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分) 2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P ＝84k 2＋1.(6分)所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，从而PAPB＝|x P－x A||x P－x B|＝|x P－x A||x P＋x A|＝2－12＋1＝3－2 2.所以PAPB＝3－22为定值．(8分)②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0，记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k1t)2－4(4k21＋1)(4t2－4)＝0，即4k21－t2＋1＝0，将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，(x20－4)k21－2x0y0k1＋y20－1＝0，(12分)同理可得，(x20－4)k22－2x0y0k2＋y20－1＝0，所以k1，k2为关于k的方程(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－1＝0的两根，从而k1·k2＝y20－1x20－4.(14又点在P(x0，y0)椭圆C2：x28＋y22＝1上，所以y20＝2－14x20，所以k1·k2＝2－14x20－1x20－4＝－14为定值．(16分)二、达标训练1、【解析】(I) 椭圆22:14xC y+=，故)F，1 ||22FP x ====−.(II)设()33,A x y，()44,B x y，则将y kx m=+代入2214xy+=得到：()222418440k x kmx m+++−=，故2121222844,4141km mx x x xk k−−+==++，21241x xk−=+，OA OB=，故()3434343421k x x my yx x x x k+++==−++，得到34221kmx xk−+=+，PA PF=13122x x−=−42222x x−=−，由已知得：3124x x x x<<<或3124x x x x>>>，)()123421x x x x x+−+=−，2228241141km kmk k k−+=+++，化简得到221m k=+.故原点O到直线l的距离为1d==为定值.2、【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由241y xy kx⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x+−+=．依题意22(24)410k k∆=−−⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）知12224kx xk−+=−，1221x xk=．直线P A的方程为1122(1)1yy xx−−=−−．令x=0，得点M的纵坐标为1111212211My kxyx x−+−+=+=+−−．同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx−+=+−．由=QM QOλ，=QN QOμ得=1Myλ−，1Nyμ=−．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M Nkx x x x x x k ky y k x k x k x x kk λμ−+−−−++=+=+=⋅=⋅−−−−−−．所以11λμ+为定值．3、规范解答(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，ca＝32，则a2c－c＝33，c2＝a2－b2，(3分)解得a＝2，b＝1，c＝3，(5分)所以椭圆E的标准方程是x24＋y2＝1.(6分)(2) 解法1 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，因为PA ＝1＋k 21|x 1－t|，PB ＝1＋k 21|x 2－t|，(10分)所以PA·PB ＝(1＋k 21)|x 1－t||x 2－t|＝(1＋k 21)|t 2－(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2| ＝(1＋k 21)|t 2－8k 21t 21＋4k 21＋4k 21t 2－41＋4k 21|＝（1＋k 21）|t 2－4|1＋4k 21，(12分) 同理，PC ·PD ＝（1＋k 22）|t 2－4|1＋4k 22，(14分) 所以PA·PB PC·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)解法2 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －t)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分) 则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，同理则x 3＋x 4＝8k 22t1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，PA →·PB →＝(x 1－t ，y 1)(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t)(x 2－t)＋k 21(x 1－t)(x 2－t)＝(x 1－t)(x 2－t)(1＋k 21)， PC →·PD →＝(x 3－t ，y 3)(x 4－t ，y 4)＝(x 3－t)(x 4－t)＋k 22(x 3－t)(x 4－t)＝(x 3－t)(x 4－t)(1＋k 22)．(12分) 因为P ，A ，B 三点共线，所以PA →·PB →＝PA·PB ，同理，PC →·PD →＝PC ·PD.PA ·PB PC ·PD ＝PA →·PB →PC →·PD →＝（x 1－t ）（x 2－t ）（1＋k 21）（x 3－t ）（x 4－t ）（1＋k 22）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·（x 1－t ）（x 2－t ）（x 3－t ）（x 4－t ）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·x 1x 2－t （x 1＋x 2）＋t 2x 3x 4－t （x 3＋x 4）＋t 2.代入x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，x 3＋x 4＝8k 22t 1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，化简得PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21），(14分)因为是定值，所以PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)4规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍)，即M ⎝⎛⎭⎫837，17.(2分)连结BF ，则直线BF ：x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0，而BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37.故S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(4分)(2) 解法1(点P 为主动点) ①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1m ， 则直线PM 的方程为y ＝－1m x －1，联立⎩⎨⎧y ＝－1m x －1，x 24＋y 2＝1化简得⎝⎛⎭⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，(6分)所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，(8分)所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值．(10分)5、规范解答 (1) 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(4分)(2) 设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x24＋y 2＝1得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，(8分) 所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y Px P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(10分) (3) 设直线AC 方程为y ＝k 2(x －2)，当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝⎛⎭⎫－65，－85，则P －65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝⎛⎭⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q .(16分) (不考虑直线与x 轴垂直的情形扣1分)。

圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法(原卷版)

圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法(原卷版)

圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法一、常用方法技巧1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。

2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =；第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定.三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。

四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=；五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b +=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一手电筒模型恒过定点问题【例1】已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =.（1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【变式1-3】已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数)，过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ，1l 交曲线E 于,A B 两点，2l 交曲线E 于,C D 两点，点,M N 分别是线段,AB CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点.题型二切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．题型三相交弦中恒过定点问题2:2(0)C x py p =>上.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC 的内切圆的半径为4-．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【变式3-3】已知M ⎝，N ⎫⎪⎪⎝⎭是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线5x =上的动点，直线AP ，BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．题型四动圆恒过定点问题【例4】已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上，直线AP ，BP 分别与直线4x =相交于点M ，N .当点P 运动时，以M ，N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【变式4-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．。

求解圆锥曲线中定值、定点问题的思路

求解圆锥曲线中定值、定点问题的思路

学考方略定值、定点问题在圆锥曲线中比较常见，这两类问题较为复杂，且综合性较强，很多同学在遇到这两类问题时常常会束手无策.对此，笔者重点探究了求解圆锥曲线中定值、定点问题的思路.一、求解定值问题的思路解析几何中的有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等和动点的坐标或动线中的参变量无关，这类问题称为定值问题.解答定值问题，需首先根据问题条件选取恰当的参数，如斜率、截距、角度等，建立方程或函数，利用等量关系进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例1.已知椭圆C ：x 24+y 2=1与直线l 有且只有一个交点，是否存在以原点O 为圆心的圆，此圆与直线l 交于P 1,P 2两点()两点均不在坐标轴上，且OP 1,OP 2斜率之积为定值？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.解：设圆的方程为x 2+y 2=r 2，若直线的斜率存在，设直线l 方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0，所以Δ=(8km )2-4(1+4k 2)(4m 2-4)=0,即m 2=1+4k 2,联立直线与圆的方程得(1+k 2)x 2+2kmx +m 2-r 2=0，Δ=()2km 2-4(1+4k 2)(m 2-r 2)=0，设P 1()x 1,y 1、P 2()x 2,y 2，则x 1+x 2=-2km 1+k 2，x 1x 2=m 2-r 21+k 2，设直线OP 1，OP 2斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=(4-r 2)k 2+14k 2+(1-r 2)，若k 1k 2为定值，则有4-r 24=11-r 2，即r 2=5时，k 1k 2=-14，当直线斜率不存在时，由题意可得直线x =±2，OP 1,OP 2的斜率之积为-14，故存在满足题意的圆x 2+y 2=5，使OP 1,OP 2斜率之积为定值.解答本题的关键在于认真审题，理清条件与所求目标之间的关系，借助一元二次方程的判别式以及韦达定理建立关系式，通过消元求得定值.二、求解定点问题的思路定点问题是指圆锥曲线中一个点（或几个点）的坐标与参数、变量无关的问题.求解定点问题，常常需要设出问题中定点的坐标或者与定点相关的量，根据题目中的条件建立与这个量相关的关系式，如f ()x ,y +λg ()x ,y =0()λ为参数，然后通过解方程、不等式等求得定点的坐标.例2.已知抛物线C ：y 2=2px ()0<p <8的焦点为F ，点Q 是抛物线C 上的一点，点Q 的纵坐标为4，点Q 到焦点的距离为5，设直线l 不经过点Q 且与抛物线C 交于A ,B 两点，直线QA ,QB 斜率分别为k 1，k 2，问直线l 上是否存在定点使k 1k 2=-2，若存在，求出具体定点；若不存在请说明理由.解：由题意可得Q æèçöø÷8p ,4，可知p 8+p 2=5，解方程得p =2，所以抛物线C 的方程为：y 2=4x ，设直线AB 的方程为x =my +b ，点A ()x 1,y 1，点B ()x 2,y 2，联立直线AB 与抛物线的方程，可得ìíîx =my +b ，y 2=4x ，整理可得y 2-4my -4b =0，则Δ=16m 2+16b ＞0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4b ，因为k 1k 2=y 1-4x 1-4∙y 2-4x 2-4=-2，所以()b -52=(1+4m )2，所以b =6+4m 或b =4-4m ，①当b =6+4m 时，直线AB 方程为x =my +6+4m ，此时直线经过定点()6,-4；②当b =4-4m 时，直线AB 方程为x =my +4-4m ，此时直线经过定点()4,4，因为直线l 不经过点Q ()4,4，所以直线恒过定点()6,-4.我们需首先根据题意求出抛物线的方程，引入变量m ，设出直线AB 的方程，然后将直线的方程与抛物线的方程联立，得到一元二次方程，再根据韦达定理求得k 1k 2的表达式，建立关于m 的关系式，最后根据直线AB 的方程，求出定点的坐标.我们仔细观察可以发现，解答定值、定点问题的思路有些相似，都是要求设出某个变量，然后根据题意建立关系式，合理进行推理运算，消去变量，进而得到一个与变量无关的值或者坐标点.同学们熟练掌握求解圆锥曲线的定值、定点问题的思路，便能从容应对这两类问题.（作者单位：江苏省沭阳如东中学）49Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

圆锥曲线中的定点, 定值问题

圆锥曲线中的定点, 定值问题

(2) 当点 P 异于点 B 时，求证：OP OQ 为定值.
2
2
即kx1＋m＋kx2＋m＝0. x1－1 x2－1
化简得 2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，
所以 2k·2m2－2－4kmm－k－2m＝0， 2k2＋1 2k2＋1
整理得 m＝－2k.
故直线 MN 的方程为 y＝k(x－2)，
因此直线 MN 过定点，该定点的坐标为(2,0).
x2 2.如图，椭圆 E： a2

y2 b2
1(a b 0) 的左焦点为 F1 ，右焦点为 F2 ，离心率 e
1 2
，
过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点，且 △ABF2 的周长为 8．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程．
（Ⅱ）设动直线 l：y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x 4 相交于点 Q．试
解得 n＝2k 或 n＝2k. 7
当 n＝2k 时，直线 MN 的方程为 y＝k(x＋2)，过点 A，与题意不符，舍去；
当
n＝2k
பைடு நூலகம்
时，n2－4k2－3<0，直线
MN
的方程为 y＝k
x＋2 7
，显然过点
Q
－2，0 7
.
7
综上，直线 MN 一定经过 x 轴上一定点 Q
－2，0 7
.
例 2.
已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e＝
其中 c＝ a2－b2，
椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．
又∵点 F2 在线段 PF1 的中垂线上， ∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝( 3)2＋(2－c)2， 解得 c＝1，∴a2＝2，b2＝1. ∴椭圆的方程为x2＋y2＝1.

圆锥曲线中的定点、定值问题(教师)

圆锥曲线中的定点、定值问题(教师)

圆锥曲线中的定点、定值问题【方法归纳】定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．如：定点问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②根据条件化为恒等式，求出定点.【典例分析】【定点问题】【例1】（2012.福建卷）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2 ∵e=，∴c=1 ∴b2=a2-c2=3 ∴椭圆E的方程为．法一：法二：取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），y kx m=+,k m22221(b0)x yaa b+=>>12以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）解法3：(导数求切线斜率)【定直线问题】【例2】（2013.安徽卷）设椭圆的焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.解: (Ⅰ).(Ⅱ) .由.12-32523445162222:11x yEa a+=-xE E12,F F P E2F P y Q11F P F Q⊥a p13858851,12,122222222=+=⇒+-==->xxacaacaa，椭圆方程为：),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF-=-=-（则设)1,0(),1,0()1,0(12∈∈⇒∈⇒>-yxaa⎩⎨⎧=++=-⊥=+=)()(,//).,(),,(112211mycxcycxcmQFPFQFPFmcQFycxPF得：由所以动点P 过定直线.【定曲线问题】【例3】（2014·福建卷） 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1­6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为x 24－y216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x y x y x y x y x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 01=-+y x即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x 得y 1＝2t 1－2m ， 同理得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0， 因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin∠AOB ＝8，又易知sin∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0， 即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.【定量问题】【例4】（2014·江西卷） 如图1­7所示，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)． (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －c 2＝3a .又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．【例5】（2013.江西卷）如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为. (1) 求椭圆的方程;(2) 是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.解:(1)由在椭圆上得, ①依题设知,则 ②②代入①解得.故椭圆的方程为.(2)方法一:由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 ③代入椭圆方程并整理,得,设,则有④在方程③中令得,的坐标为.从而. 注意到共线,则有,即有.2222+=1(>>0)x y C a b a b ：3(1,),2P 1=2e l =4x C AB F P AB l M ,,PA PB PM 123,,.k k k λ123+=.k k k λλ3(1,)2P 221914a b +=2a c =223bc =2221,4,3c a b ===C 22143x y +=AB k AB (1)y k x =-223412x y +=2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=1122(,),(,)A x yB x y 2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++4x =M (4,3)k 121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----,,A F B AFBF k k k ==121211y ykx x ==--所以⑤④代入⑤得, 又,所以.故存在常数符合题意. 方法二:设,则直线的方程为:,令,求得, 从而直线的斜率为,联立 ,得,则直线的斜率为:,直线的斜率为:,所以,故存在常数符合题意.【突破提高】1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++312k k =-1232k k k +=2λ=000(,)(1)B x y x ≠FB 00(1)1y y x x =--4x =003(4,)1y M x -PM 0030212(1)y x k x -+=-0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩0000583(,)2525x y A x x ---PA 00102252(1)y x k x -+=-PB 020232(1)y k x -=-00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---2λ=1.若AB 是过椭圆中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM ,BM 与坐标轴不平行,,分别表示直线AM ,BM 的斜率,则=( )A. B. C. D.【解析】本题可用特殊值法．不妨设弦AB 为椭圆的短轴．M 为椭圆的右顶点，则A (0，b )，B (0，－b )，M (a ，0)．所以．故选B ．2．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足1·2＝0，则e 21＋e 22e 1e 22的值为________． 解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ， 由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22. 又∵1·2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22e 1e 22＝2.3.过抛物线：（＞0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）．A ．B ．C ．D ．解法1：（特殊值法） 令直线与轴垂直，则有：，所以有解法2：（参数法） 如图1，设，且，分别垂直于准线于．，抛物线（＞0）的焦点，准线．∴ ：又由，消去得， ∴，22221(b 0)x y a a b +=>>PFPF PF PF m 2y ax =a F l ,P Q PF FQ ,p q 11p q --+2a 12a 4a 4a l x l 14y a =12p q a ⇒==114p q a --+=11(,)P x y 22(,)Q x y PM QN ,M N 114p PM y a ==+214q QN y a ==+2y ax =a 1(0,)4F a 14y a =-l 14y kx a =+l m x 222168(12)10a y a k y -++=212122121,216k y y y y a a ++==∴∴．4.已知点P 是双曲线 (a ＞0,b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，H 为△PF 1F 2的内心。

圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．二、解题秘籍(一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F x ,y =0的联系，得到有关k 与x ,y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点x 0,y 0 ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与x ,y 的等式进行变形，直至易于找到x 0,y 0.常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“k ⋅ ”的形式，从而x 0,y 0只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，x 0,y 0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】(2023届河南省顶级名校高三上学期月考)设F 1,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点，M 是C 上一点，MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为24.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设D 0,1 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ，B 两点，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)由题意知，点M 在第一象限，∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x =c 时，y =b 2a ，即M c ,b 2a.又直线MN 的斜率为24，所以tan ∠MF 1F 2=b 2a2c =b 22ac =24，即b 2=22ac =a 2-c 2，即c 2+22ac -a 2=0,则e 2+22e -1=0，解得e =22或e =-2(舍去)，即e =22.(2)已知D 0,1 是椭圆的上顶点，则b =1，由(1)知e =22=1-b a 2，解得a =2，所以，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=2可得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-1 =0* ，所以x 1+x 2=-4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2-1 1+2k 2，又DA =x 1,y 1-1 ,DB=x 2,y 2-1 ，DA ⋅DB=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =x 1x 2+kx 1+m -1 kx 2+m -1 =k 2+1 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +(m -1)2=k 2+1 ⋅2m 2-1 1+2k 2+k m -1 ⋅-4km 1+2k2+(m -1)2=2m 2-1 k 2+1 -4k 2m 2-m +1+2k 2 (m -1)21+2k 2=0，化简整理有3m 2-2m -1=0，得m =-13或m =1.当m =1时，直线AB 经过点D ，不满足题意；.当m =-13时满足方程* 中Δ>0，故直线AB 经过y 轴上定点G 0,-13.【例2】椭圆C 的焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，且点M 2,1 在椭圆C 上．过点P 0,1 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D (不同于点A )．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知得c =2,2a =MF 1 +MF 2 =2-2 2+1+2+2 2+1=4.所以a =2，b 2=a 2-c 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0)．由x 24+y 22=1y =kx +1得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (-x 2,y 2)，则Δ=16k 2+82k 2+1 >0x 1+x 2=-4k2k 2+1x 1x 2=-22k 2+x，特殊地，当A 的坐标为(2，0)时，k =-12，所以2x 2=-43，x 2=-23，y 1=43，即B -23,43 ，所以点B 关于y 轴的对称点为D 23,43，则直线AD 的方程为y =-x +2.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为x =0.如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点Q (0，2)，k QA =y 1-2x 1=y 1-1-1x 1=k -1x 1，k QD =y 2-2-x 2=-k +1x 2，又因为k QA -k QD =2k -1x 1+1x 2 =2k -x 1+x 2x 1x 2=2k -2k =0.所以k QA =k QD ，即A ,D ,Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0，2)．【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点Q (0，2)，然后再根据A ,D ,Q 三点共线，判断直线AD 恒过定点，(二)直线过定点问题1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y =kx +b ，然后利用题中条件整理出k ,b 的关系，若b =km +n m ,n 为常数 ，代入y =kx +b 得y =k x +m +n ，则该直线过定点-m ,n .【例3】(2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测(一))已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点A -2,0 ．右焦点为F ，纵坐标为32的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程：(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)设点F c ,0 ，其中c =a 2-b 2>0，则M c ,32，因为椭圆C 过点A -2,0 ，则a =2，将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，可得c 2a 2+94b 2=1可得4-b 24+94b2=1，解得b =3，因此，椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明：由对称性可知，若直线PQ 过定点T ，则点T 必在x 轴上，设点T t ,0 ，设点P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠0 ，则k PA =y 0x 0+2，所以，直线PA 的垂线的斜率为k =-x 0+2y 0，故直线FQ 的方程为y =-x 0+2y 0x -1 ，在直线FQ 的方程中，令x =-2，可得y =3x 0+2 y 0，即点Q -2,3x 0+2y 0，所以，直线PQ 的方程为y -y 0=y 0-3x 0+2y 0x0+2x -x 0 ，因为点T 在直线PQ 上，所以，-y 0=y 0-3x 0+2 y 0x 0+2t -x 0 ，即y 20t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，①又因为x 204+y 203=1，所以，y 20=3-3x 204，②将②代入①可得3-3x 204t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，即t -2 x 0+2 2=0，∵x 0≠-2，则t =2，所以，直线PQ 过定点2,0 .(三)圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P ，求解思路是把问题转化为PA ⊥PB ，也可以转化为PA ⋅PB =0【例4】(2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，与x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AB =3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线x =4于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.【解析】(1)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，则半焦距c =1，当l ⊥x 轴时，弦AB 为椭圆的通径，即|AB |=2b 2a ，则有2b 2a =3，即b 2=32a ，而a 2=b 2+c 2，于是得a 2-32a -1=0，又a >0，解得a =2，b =3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1.(2)依题意，直线AB 不垂直于y 轴，且过焦点F (1,0)，设AB 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12x =my +1 得3m 2+4 y 2+6my -9=0，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，因点P (-2,0)，则直线PA 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4，得M 4,6y 1x 1+2 ，同理可得N 4,6y 2x 2+2 ，于是有FM =3,6y 1x 1+2 ,FN =3,6y 2x 2+2 ，则FM ⋅FN =9+6y 1x 1+2⋅6y 2x 2+2=9+36y 1y 2my 1+3 my 2+3 =9+36y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9+36⋅-93m 2+4-9m 23m 2+4+-18m 23m 2+4+9=9+36×(-9)36=0，因此，FM ⊥FN ，即F 在以MN 为直径的圆上，所以以MN 为直径的圆过定点F (1,0).(四)确定定点使某个式子的值为定值求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例5】(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1((a >b >0)，|A 1B 1|=7，F 1是椭圆C 的左焦点，A 1是椭圆C 的左顶点，B 1是椭圆C 的上顶点，且A 1F 1 =F 1O ，点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点，过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0)，使得QA ⋅QB 为定值，若存在，试求出定点Q 的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7a -c =c a 2=b 2+c 2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，QA =(x 1-x 0,y 1),QB=(x 2-x 0,y 2)，①当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y =k (x -n )，代入x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3，x 1x 2=4k 2n 2-124k 2+3QA ⋅QB=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 20+k 2n 2=k 2+1 4k 2n 2-124k 2+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 20+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 20-124k 2+3 (*)(*)式是与k 无关的常数，则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 20-12)解得x 0=12n +7n 8，此时QA ⋅QB =x 20-4=12n +7n 82-4为定值；②当直线l 与x 垂直时，l :x =n ，A n ,31-n 24 ，B n ,-31-n 24，QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 82-4也成立，所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ，使得QA ⋅QB =12n +7n 82-4为定值．(五)与定点问题有关的基本结论1.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则OA ⊥OB ⇔直线l 过定点P 2p ,0 ；2.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则k OA ⋅k OB =m ⇔直线l 过定点P p +m +p 2,0 ；3.设点P 2pt 02,2pt 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则PM ⊥PN ⇔直线MN 过定点Q 2p +2pt 02,-2pt 0 .4.设点A x 0,y 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则k AM ⋅k AN =m ⇔直线MN 过定点P x 0-2pm ,-y 0 ；5.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2-b 2a 2+b 2,0；6.过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2+b 2a 2-b 2,0；7.设点P m ,n 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一定点，点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n -2b 2ma 2λ；8.设点P m ,n 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一定点，点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n +2b 2ma 2λ .【例6】(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P 1,32 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，且点P 到椭圆右顶点M 的距离为132．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M )且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．【解析】(1)点P 1,32 ，在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上代入得：1a 2+94b2=1，点P 到椭圆右顶点M 的距离为132，则132=a -1 2+94，解得a =2，b =3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y =kx +m (k ≠0)，M 2,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．联立y =kx +m3x 2+4y 2=12得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0．Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =484k 2-m 2+3 >0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2，∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14，∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ． 化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0，∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2 -8km 3+4k 2+4m -4=0， 化简得m 2-2km -8k 2=0，解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时，直线AB 方程为y =k x +4 ，过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中，解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时，直线AB 的方程为y =k x -2 ，过定点2,0 ，不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【例7】(2022届海南华侨中学高三上学期月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M 0,-1 是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点，设两直线的斜率分别为k 1,k 2，且k 1+k 2=4，求证：直线AB 过定点12,1.【解析】(1)由题意可得b =1c =b a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m ，联立y =kx +mx 22+y 2=1得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0.由Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-2 =82k 2-m 2+1 >0，得2k 2+1>m 2.所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1⋅x 2=2m 2-22k 2+1．所以k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+m +1x 1+kx 2+m +1x 2=2k +m +1 x 1+x 2x 1x 2=4，即2k -2km m -1=4，所以kmm -1=k -2，即km =k -2 m -1 =km -k -2m +2，所以m =1-k 2，所以y =kx +m =kx +1-k 2=k x -12 +1，所以直线AB 过定点12,1 .②当直线AB 斜率不存在时，A x 1,y 1 ,B x 1,-y 1 ，则k 1+k 2=y 1+1x 1+-y 1+1x 1=2x 1=4，所以x 1=12，则直线AB 也过定点12,1 .综合①②，可得直线AB 过定点12,1 .三、跟踪检测1.(2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考)在一张纸上有一个圆C ：x +5 2+y 2=4，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T ．(1)求证：TC -TM 为定值，并求出点T 的轨迹C 方程；(2)设A -1,0 ，M 为曲线C 上一点，N 为圆x 2+y 2=1上一点(M ，N 均不在x轴上)．直线AM ，AN 的斜率分别记为k 1，k 2，且k 2=-14k 1，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．【解析】(1)由题意得TM =TM 1 ，所以TC -TM =TC -TM 1 =2<25=CM ，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C：x 2-y 24=1；(2)由已知得l AM ：y =k 1x +1 ，l AN ：y =k 2x +1 ，联立直线方程与双曲线方程y =k 1x +1x 2-y 24=1⇒4-k 21 x 2-2k 21x -k 21-4=0，由韦达定理得x A x M =-k 21-44-k 21，所以x M =k 21+44-k 21，即y M =k 1x M +1 =8k 14-k 21，所以M k 21+44-k 21,8k 14-k 21，联立直线方程与圆方程y =k 2x +1 x 2+y 2=1⇒1+k 22 x 2+2k 22x +k 22-1=0，由韦达定理得x A x N =k 22-11+k 22，所以x N =-k 22+11+k 22，即y N =k 2x N +1 =2k 21+k 22，因为k AN =-14k AM ，即k 2=-14k 1，所以N -k 21+1616+k 21,-8k 116+k 21，若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点T t ,0 ，由三点共线得k MT =k NT ，即8k 14-k 21k 21+44-k 21-t =-8k 116+k 21-k 21+1616+k 21-t ⇒k 21+4+k 21-4 t =k 21-16+k 21+16 t ⇒t =1，所以直线MN 过定点T 1,0 ．2.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部，半径为63．P ，Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，由圆的性质，|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时|PO |最小，故|PQ |≥|PO |-63≥b -63，即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c2，解得a =2b =1c =1，所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上，所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A 63,63，B 63,-63 ，此时OA ⋅OB=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63，即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0，所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1，OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=1+k 2 2m 2-22k 2+1 +km -4km2k 2+1+m 2=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1=3m 2-2k 2-22k 2+1=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .综上，以AB 为直径的圆过点O .3.(2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P )，k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率，满足k 1k 2=32，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72，解出，a =2,b =3，所以，双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时，则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ，代入x 24-y 23=1，得y 02=34n 2-3，则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32，即9n 2-48n +48=0，解得n =43或n =4，当n =4时，y 0=±3，A ,B 其中一个与点P 4,3 重合，不合题意；当n =43时，直线AB 的方程为x =43，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1，整理得，3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2，由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2，所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以，2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0，即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k 2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0，即3m +4k +3 m +4k -3 =0，所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0，若3m +4k +3=0，则m =-4k +33，直线AB 化为y =k x -43 -1，过定点43,-1 ；若m +4k -3=0，则m =-4k +3，直线AB 化为y =k x -4 +3，它过点P 4,3 ，舍去综上，直线AB 恒过定点43,-1 4.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，|FM |=4，∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ，分别交C 于A ，B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°，可得M p2+2,±23 ，代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍)，所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2)，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x =my +n ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由y 2=4x x =my +n，得y 2-4my -4n =0，从而Δ=16m 2+16n >0，则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ，x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2，∵QA ⊥QB ，∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0，故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0，整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2，从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1)，即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1，则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合；若n =2m +5，则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5，过定点(5,-2)．综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．5.(2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右顶点是M(2，0)，离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T (4，0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由右顶点是M (2，0)，得a =2，又离心率e =12=ca，所以c =1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)设A x1,y1，B x2,y2，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为y=k x-4，联立方程组y=k x-4, 3x2+4y2=12消去y得4k2+3x2-32k2x+64k2-12=0，由Δ>0，得-12<k<12，所以x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2-124k2+3．因为点D x2,-y2，所以直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+k x1-4．又y1+y2=k x1+x2-8，所以直线AD的方程可化为y=24kx2-x14k2+3x+kx1x1+x2-8x2-x1+k x1-4x2-x1x2-x1，即y=24kx2-x14k2+3x-24kx2-x14k2+3=24kx2-x14k2+3x-1，所以直线AD恒过点(1，0)．(方法二)设A x1,y1，B x2,y2，直线l的方程为x=my+4，联立方程组x=my+4,3x2+4y2=12消去x得3m2+4y2+24my+36=0，由Δ>0，得m>2或m<-2，所以y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4．因为点D x2,-y2，则直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+y1．又x1-x2=my1+4-my2-4=m y1-y2，所以直线AD的方程可化为y=-y1+y2m y2-y1x-my1-4+y1=-y1+y2m y2-y1x+y1+y2my1+4+y1m y2-y1m y2-y1=-y1+y2m y2-y1x+2my1y2+4y1+y2m y2-y1=243m2+4y2-y1x-1，此时直线AD恒过点(1,0)，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0，也过点(1，0)．综上，直线AD恒过点(1，0)．6.(2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考)设直线x=m与双曲线C:x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3．(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M ，F为C的右焦点，若M ，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．【解析】(1)双曲线C:x2-y23=m(m>0)的渐近线方程为y=±3x，则不妨令点A(m,3m),B(m,-3m)，|AB|=23m，而点O到直线AB的距离为m，因此S△OAB=12⋅23m⋅m=3m2=3，解得m=1，所以m=1．(2)由(1)知，双曲线C 的方程为C :x 2-y 23=1，右焦点F (2,0)，因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(t ,0)，直线l 的方程为y =k (x -t )(k ≠0)，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则Mx 1,-y 1 ，由y =k (x -t )x 2-y 23=1消去y 并整理得3-k 2 x 2+2tk 2x -k 2t 2+3 =0，显然有3-k 2≠0且Δ=2tk 2 2+43-k 2 k 2t 2+3 >0，化简得k 2≠3且t 2-1 k 2+3>0，则x 1+x 2=-2tk 23-k 2,x 1x 2=-k 2t 2+33-k 2，FM=(x 1-2,-y 1),FN =(x 2-2,y 2)，而M，F ，N 三点共线，即FM ⎳FN，则-y 1x 2-2 =y 2x 1-2 ，因此-k x 1-t x 2-2 =k x 2-t x 1-2 ，又k ≠0，有x 1-t x 2-2 +x 2-t x 1-2 =0，整理得2x 1x 2-(t +2)x 1+x 2 +4t =0，于是得2⋅-k 2t 2+33-k 2 -(t +2)-2tk 23-k 2+4t =0，化简得t =12，即直线l ：y =k x -12 ，k ≠0过定点12,0 ，所以直线l 经过x 轴上的一个定点12,0 ．7.(2023届江西省智慧上进高三上学期考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS 长度的最小值为2，C 的离心率为22．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，P (2,0)，且总存在实数λ∈R ，使得PF=λPA PA +PB PB，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【解析】(1)由线段RS 长度的最小值为2，得2b 2a=2，又c a =22，所以a 2-b 2a 2=12，解得a 2=2,b 2=1, 所以C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)由PF =λPA PA +PBPB ，可知PF 平分∠APB ，∴k PA +k PB =0．设直线AB 的方程为x =my +t ，A my 1+t ,y 1 ，B my 2+t ,y 2 ，由x =my +t x 2+2y 2=2得m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，Δ=8m 2-t 2+2 >0，即m 2>t 2-2，∴y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2，∴k PA +k PB =y 1my 1+t -2+y 2my 2+t -2=0，∴2my 1y 2+t -2 y 1+y 2 =0，∴2m t 2-2 -t -2 ⋅2mt =0，整理得4m t -1 =0，∴当t =1时，上式恒为0，即直线l 恒过定点Q 1,0 ．8.(2023届山西省高三上学期第一次摸底)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1-1,0 ，F 21,0 ，点A 0,b ，若△AF 1F 2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 1作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN =0，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)由题设c =1，又|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=|A 1F 2|=a ，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以12r ×2(a +c )=12×2c ×b ，即r (a +c )=bc ，c 2+(2r -b )2=4r 2，而a 2=b 2+c 2，即a 2=4rb ，综上，a 2(a +c )=4b 2c ，即a 2(a +1)=4b 2=4a 2-4，可得a =2，所以a 2=4，b 2=3，则C :x 24+y 23=1.(2)当直线斜率都存在时，令DE 为x =ky -1，联立C :x 24+y 23=1，整理得：(3k 2+4)y 2-6ky -9=0，且Δ=144(k 2+1)>0，所以y D +y E =6k 3k 2+4，则x D +x E =k (y D +y E )-2=-83k 2+4，故P -43k 2+4,3k3k 2+4，由DE ⋅MN =0，即DE ⊥MN ，故MN 为x =-y k-1，联立C :x 24+y 23=1，所以3k 2+4 y 2+6k y -9=0，有y M +y N =-6k 3+4k 2，则x M +x N=-y M +y N k -2=-8k 23+4k 2，故Q -4k 23+4k 2,-3k3+4k 2 ，所以k PQ =7k 4(k 2-1)，则PQ 为y -3k 3k 2+4=7k 4(k 2-1)x +43k 2+4，整理得k (7x +4)=4(k 2-1)y ，所以PQ 过定点-47,0 ；当一条直线斜率不存在时P ,Q 对应O ,F 1，故PQ 即为x 轴，也过定点-47,0 ；综上，直线PQ 过定点．9.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ，证明：存在定点H ，使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标，解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时，设EF :y =kx +m ，设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ，联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1，化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0，Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0，即4k 2-m 2-1<0，则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简，得3m 2+16km +20k 2=0，即3m +10k m +2k =0，所以m 1=-2k ,m 2=-103k ，且均满足4k 2-m 2-1<0，当m 1=-2k 时，直线l 的方程为y =k x -2 ，直线过定点2,0 ，与已知矛盾，当m 2=-103k 时，直线l 的方程为y =k x -103 ，过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：y =x -2，与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103，此时EF 也过点M 103,0 ，综上，直线EF 过定点M 103,0 .由于DG ⊥EF ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.10.(2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA ⋅TB为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为F p 2,0 ,P 0,2 ，且点A 恰好为线段PF 中点，所以A p4,1 ，又因为A 在抛物线上，所以12=2p ⋅p4，即p 2=2，解得P =2(2)设T m ,n ，可知直线l 斜率存在；设l ：y =kx +2，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 联立方程得：y 2=22xy =kx +2 ，所以k 2y 2-22y +42=0，所以y 1+y 2=22k ,y 1y 2=42k，又：TA ⋅TB =x 1-m x 2-m )+(y 1-n y 2-n=24y 21-m 24y 22-m +y 1-n y 2-n=18y 21y 22-24m y 21+y 22 +m 2-n y 1+y 2 +n 2=4k 2-24m 8k 2-82k +m 2+42k -22n k +n2=4-22m k 2+4m +42-22n k +m 2+n 2，令4m +42-22n =04-22m =0，解之得：m =2n =4 ，即T 2,4 ，此时TA ⋅TB =m 2+n 2=1811.(2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试)设F 为椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当BF=2FA 时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使k QAk QB为定值(其中k QA ，k QB 分别为直线QA ，QB 的斜率)？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +1x 2+2y 2=2，得m 2+2 y 2+2my -1=0，又因为BF=2FA ，所以y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+2y 2=-2y 1，解得m 2=27，y 1 =2m m 2+2=148，所以FA =1+m 2y 1 =328，即FA =328.(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点Q t ,0 t ≠1 ，使得k QAk QB为定值.设直线AB 的方程为x =my +1，联立x 22+y 2=1x =my +1，得m 2+2 y 2+2my -1=0，则y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-1m 2+2，所以y 1+y 2=2my 1y 2.所以k QA k QB =y 1x 1-t y 2x 2-t=y 1⋅x 2-t y 2⋅x 1-t =y 1my 2+1-t y 2my 1+1-t =my 1y 2+(1-t )y 1my 1y 2+(1-t )y 2=2my 1y 2+2(1-t )y 12my 1y 2+2(1-t )y 2=(3-2t )y 1+y 2y 1+(3-2t )y 2.要使k QA k QB为定值，则3-2t 1=13-2t ，解得t =2或t =1(舍去)，此时k QAk QB=-1.故在x 轴上存在异于F 的定点Q 2,0 ，使得k QAk QB为定值.12.(2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点M (x 0,4)在C 上，且MF =5p2．(1)求点M 的坐标及C 的方程；(2)设动直线l 与C 相交于A ,B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出x 0，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x =my +n ，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据k MA ⋅k MB =1求解.【解析】(1)抛物线C :y 2=2px 的准线：x =-p 2，于是得MF =x 0+p 2=5p 2，解得x 0=2p ，而点M 在C 上，即16=4p 2，解得p =±2，又p >0，则p =2，所以M 的坐标为4,4 ，C 的方程为y 2=4x .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线l 的方程为x =my +n ，由x =my +ny 2=4x消去x 并整理得：y 2-4my -4n =0，则Δ=16m 2+n >0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，因此，k MA ⋅k MB =y 1-4x 1-4⋅y 2-4x 2-4=y 1-4y 214-4⋅y 2-4y 224-4=4y 1+4⋅4y 2+4=1，化简得y 1y 2+4y 1+y 2 =0，即n =4m ，代入l 方程得x =my +4m ，即x -m y +4 =0，则直线l 过定点0,-4 ，所以直线l 过定点0,-4 .13.(2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2.离心率等于63，点P 在y 轴正半轴上，△PF 1F 2为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.【解析】(1)根据题意，由对称性得△PF 1F 2为等腰直角三角形，且∠F 1PF 2=90°，因为△PF 1F 2的面积等于2，所以F 1F 2 =22，即c =2，因为椭圆C 的离心率等于63，即e =63=2a，解得a =3，所以b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 23+y 2=1.(2)由(1)得P 0,2 ，设直线l 的方程为y =kx +m k ≠0 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即k PB +k PA =0，因为k AP =y 1-2x 1,k BP =y 2-2x 2，所以y 1-2x 1+y 2-2x 2=0，整理得x 2(y 1-2)+x 1(y 2-2)=0又因为y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ，所以2kx 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，由y =kx +m x 2+3y 2=3消去y 得(3k 2+1)x 2+6km x +3m 2-3=0,所以Δ>0，即m 2<3k 2+1，x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1x 2=3m 2-33k 2+1,所以2k ⋅3m 2-33k 2+1+(m -2)⋅-6mk3k 2+1 =0，整理得2k ⋅(3m 2-3)-6mk (m -2)=0,由于k ≠0，故解方程得m =22，此时直线l 的方程为y =kx +22，过定点0,22 所以直线l 恒过定点0,22 .14.(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b 为正常数)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【解析】(1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 、Q 在双曲线上，所以x 12a 2-y 12b 2=1，x 22a 2-y 22b2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2，即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2，即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12，所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =t ，代入x 2a 2-y 2b2=1得，y =±bt 2a 2-1，由|t -a |=b t 2a2-1得，(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0，即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0，得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍)，故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，代入x 2a 2-y 2b2=1，得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0，Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2，x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ，所以AP ·AQ=0，即(x 1-a ，y 1)·(x 2-a ，y 2)=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0，即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0，即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0，即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0，所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时，直线l 的方程为y =-ma x +m ，此时经过A ，舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时，直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ，恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0，经检验满足题意；综上①②，直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0．15.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，AB=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：S △QAF ⋅S △QBF 为定值.【解析】(1)当l ⊥x 轴时，易得AB =2p ，所以2p =2，解得p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=2x ；(2)①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +12m ≠0 ，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，并整理得y 2-2my -1=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由根与系数的关系得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.所以x 1+x 22=my 1+my 2+12=2m 2+12，所以线段AB 的中点N 的坐标为2m 2+12,m ，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，易知D 0,-12m ，因此P 18m2,-12m ，设直线PQ 的方程为x =ty +12，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，整理得y 2-2ty -1=0，所以y P y Q =-12m ⋅y Q=-1， 故y Q =2m ，因此Q 2m 2,2m ，故可得x M =2m 2+12×2-2m 2=1，y M =2m -2m =0，故点M 的坐标为M 1,0 ，因此存在定点M 1,0 ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点Q2m2,2m到直线l:x=my+12的距离d=2m2-m⋅2m-12m2+1=12m2+1，由A x1,y1，F12,0，可得AF =m2+1y1 ，因此S△QAF=12AF⋅d=14y1 ，同理可得S△QBF=14y2 ，所以S△QAF⋅S△QBF=116y1y2=116，为定值.。

高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题

高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题

高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
定点定值方法归纳
一、研究定点、定值问题的基本思路
解析几何中的定点、定值及探索性问题主要以解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大.解决问题时注意代数方程是解决定点定值问题的桥梁。

二、定点问题基本有一下两种思考方式
（1）引进参数法：引进动点坐标或者动线中的系数作为参数，表示变化量，再通过条件，构造变化量对应的方程，研究变化量方程的关系（特别是变化量任意改变对应方程恒成立问题），找到定点。

（2）探索法：根据动点或动线的一些特殊情况，先探索出定点，再证明该定点与变量无关。

三、解决定值问题也有如下类似的思考方式
（1）引进参数法：引进参数作为变化量，最后利用代数式说明所求定值的代数式与参数无关。

（2）探索法：用特殊情况探索出定值，最后再利用代数式证明定值。

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参考答案
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圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题

圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线的定值、定点问题

圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

39 圆锥曲线定点与定值(解答题)专项训练

39 圆锥曲线定点与定值(解答题)专项训练

专题39 圆锥曲线定点与定值（解答题）专项训练【方法总结】定点问题的常用方法(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．定值问题的常用方法(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．【高考真题】1．(2022·全国乙卷) 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫32，－1两 点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【题型突破】1．(2020·全国卷一)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．2．已知点F (2，0)为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，椭圆上异于A ， B 的任意一点P 与A ，B 两点连线的斜率之积为－12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点(1,0)的两条弦PQ ，MN 相互垂直，若PQ →＝2PS →，MN →＝2MT →，求证：直线ST 过定点．3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，O 为坐标原点，点A (4，0)是x 轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于|OA |， 离心率为32． (1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 交于两个不同点M ，N ，已知M 关于y 轴的对称点为M ′，点N 关于原点O 的对称点为N ′，若M ′，N ′满足OA →＝λOM ′→＋μON ′→(λ＋μ＝1)，求证：直线l 过定点．5．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为22，它的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为23． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P ⎝⎛⎭⎫13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点．若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2 ＝60°，且S △F 1AF 2＝3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．请问在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P ⎝⎛⎭⎫1，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且S △PF 1F 2 ＝32． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M (4，0)的直线l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且y 1y 2≠0，问在x 轴上是否存在定点N ，使得直线NA ，NB 与y 轴围成的三角形始终为底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．9．设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33． (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，一顶点坐标为A (0，－22)． (1)求椭圆的标准方程；(2)已知M ，N 为椭圆上异于A 的两点，且AM →⊥AN →，判断直线MN 是否过定点？若过定点，求出此点坐标．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1)． (1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为12，并且经过P 点(0，3)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点P 的直线与x 轴交于N 点，与椭圆的另一个交点为B ，点B 关于x 轴的对称点为B ′，直线PB ′交x 轴于点M ，求证：|OM |·|ON |为定值．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆上有两点A ，B ，O 为坐标原点，且AO ⊥BO ，证明存在定点M ，使得M 到直线AB 的距离为定值，并求出定值．14．如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，F 为其右焦点，直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与椭圆交于P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)两点，点A ，B 在l 上，且满足|P A |＝|PF |，|QB |＝|QF |，|OA |＝|OB |(点A ，P ，Q ，B 从上到下依次排列)．(1)试用x 1表示|PF |；(2)证明：坐标原点O 到直线l 的距离为定值．15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E 上，点A (a ，0)，B (0，b )，△AOB 的 面积为32，O 为坐标原点． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．16．已知O 为坐标原点，过点M (1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作直线l ′⊥l 交抛物线C 于P ，Q 两点，记△OAB ，△OPQ 的面积分别为S 1，S 2，证明：1S 21＋1S 22为定值． 17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的离心率为22，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .(1)若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；(2)设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且AQ ∥BM .求证：∠PFQ 为定值．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 2⊥F 1F 2， 且|AF 2|＝83． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N 为定值．19．设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2， 已知△MF 1F 2的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值．20．已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．。

圆锥曲线专题(定点、定值问题)

圆锥曲线专题(定点、定值问题)

圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。

(完整版)圆锥曲线定点问题

(完整版)圆锥曲线定点问题

[解] (1)如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|， 当 O1 不在 y 轴上时，过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，
∴|O1M|＝ x2＋42，
又|O1A|＝ x－42＋y2， ∴ x－42＋y2＝ x2＋42， 化简得 y2＝8x(x≠0)． 又当 O1 在 y 轴上时，O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足 方程 y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x. (2)证明：由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，P(x1， y1)，Q(x2，y2)，
练习：如图，已知椭圆 C：xa22＋y2＝1(a>1)的上顶点为 A， 右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：x2＋y2－6x－2y＋7＝ 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点， 且A→P·A→Q＝0，求证：直线 l 过定点，并求出该定点 N 的坐标.
(1)解 因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，
所以p2＝1，所以 p＝2.所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)证明 ①当直线 AB 的斜率不存在时，设 At42，t， Bt42，－t.因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12， 所以tt2·－t2t＝－12，化简得 t2＝32.
圆锥曲线中的定点问题
基本思想： 设直线为y kx b 方法一：找到k与b的关系, 例如b 2k 则直线过（2,0） 方法二：通过计算可以求出b的值. 方法三：通过特殊位置找到定点，再证 明对任意情况都成立
【例 1－1】 已知抛物线 C：y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2px(p>0)的焦点 F(1，0)，O 为坐 标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若直线 OA，OB 的斜率之积为－12，求证：直线 AB 过 x 轴上 一定点.

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版)

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版)

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.题型一：定值问题解答圆锥曲线定值问题的策略：1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法是“方程铺路、参数搭桥”，解题的关键是对问题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，恰当引参，巧妙化归.2、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关，即特殊到一般的思想.1、两点间的距离为定值例1：（2021·广东中山市高三期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x y a b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 解题思路：设动点()00,P x y ，由题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可.2、求某一代数式为定值例2：（2021·全国高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，离心率2e =，焦距为4. （1）求双曲线C 的方程；（2）设M 是双曲线C 上任意一点，且M 在第一象限，直线MA 与MF 的倾斜角分别为1α，2α，求122αα+的值.【答案】（1）2213y x -=；（2）π. 【详解】（1）由242c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，得12a c =⎧⎨=⎩，所以2223b c a =-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）由（1）知双曲线C 的方程为2213y x -=，所以左顶点()1,0A -，右焦点()2,0F .设()()0000,0,0M x y x y >>，则22013y x -=.当02x =时，03y =，此时1MA k =，1π4α=，2π2α=， 所以122παα+=；当02x ≠，010tan 1MA y k x α==+，020tan 2MF yk x α==-.因为()220031y x =-，所以()()()()()00000001222220000000221211tan 22113111y x y x y x y x x y x x y x α+++-====-+-+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭，又由点M 在第一象限，易知1π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πα∈，所以122παα+=. 综上，122αα+的值为π.解题思路：利用点在双曲线上，满足22013y x -=，利用整体代换思想求出1tan 2α和2tan α相反.例3：（2021·安徽安庆市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆左焦点F 的直线0x -+=与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA ､MB 交椭圆分别于A ､B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证∶直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）直线0x -+=过左焦点F ，所以()F ，c =又由124OMF M S y ∆==可知1=2M y从而椭圆经过点12M ⎫⎪⎭由椭圆定义知1242a =+=，即2a = 故椭圆的方程为22:14x C y +=.（2）由条件知，直线MA MB 、斜率存在，且两直线斜率互为相反数，设直线(12MA y k x -=：交椭圆于点()11,A x y ，直线(12MB y k x -=--：交椭圆于点()22,B x y ，由(221244y k x x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得()()22224141230k x k x k +-++--=1=1x =，112y =+故1)2A +，同理可得221)2B +，k ===即证直线AB. 解题思路：将直线(12MA y k x -=：与椭圆方程联立求出交点221)2A +的坐标，再将A 中的k 用k -替换，即可求出B 点坐标，，再利用斜率公式，化简，即可.例4.（2021·河南高三月考（理））已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34-，记动点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒. ①求证：点P 在定直线上；②求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）解：由题意，得()32224y y x x x ⋅=-≠±+-， 化简，得()221243x y x +=≠±，所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点. （2）证明：①由题设知，直线MA ，NB 的斜率存在且均不为0. 设直线AM 的方程为()20x ty t =-≠，由AM AN ⊥，可知直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t=--.由2212,{3412,x y t x y =--+=得()2243120t y ty ++=， 解得21243N ty t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线NB 的斜率为222120343684243NBtt k t tt --+==--+， 则直线BN 的方程为()324y x t =-，将()324y x t=-代入2x ty =-，解得14x =-， 故点P 在直线14x =-上.②由（1），得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，所以3394416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.结合1NA MA k k ⋅=-，得916MB NB k k ⋅=-为定值.即直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.解题思路：①设直线AM 的方程，由AM AN ⊥，可得直线AN 方程，与椭圆联立可求点N 坐标，进而可求得直线BN 方程，与AM 联立即可得证点P 在定直线上；②由（1）得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，又AM AN ⊥，进而可得直线NB与直线MB 的斜率之积.例5、（2021·江苏南通市高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMBAMNS S △△为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）53. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22911,214c a a b +==，又222a b c =+，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，因为点M 为线段OA 的中点，所以11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，因为B ，M ，N 三点共线，所以BN BM λ=， 所以()()3123121,122x x x y y y λλλλ=+-=+-，又因为A ，B 点在椭圆上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 又因为直线OA ，OB 的斜率之积为34-，所以1212340x x y y +=， 因为点N 在椭圆上，所以2233143x y +=，即()()()()()12122222221122341341482261x y x y x x y y λλλλ++-+-+=+，所以()22114λλ+-=，解得85λ=，所以85BN BM =,则53BM MN =，所以152132BOMB B AMNN N OM d BM Sd Sd MN AM d ⋅⋅====⋅⋅为定值.解题思路：设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，根据M 为线段OA 的中点和B ，M ，N 三点共线，由BN BM λ=，表示点N 的坐标，再根据A ，B ，N 在椭圆上，结合直线OA ，OB 的斜率之积为34-，求得λ，从而得到BM 与MN 的比值，然后由1212BOMB B AMNN N OM d BM S dSd MN AM d ⋅⋅===⋅⋅求解. 例6、（2021·山东泰安市高三期末）已知椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为)(2,0A -，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过橢圆C 的右焦点F 作斜率为)(0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与直线2b x c=交于点P ，Q ，则FP FQ ⋅是否为定值？请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，94-. 【详解】（1）∵2a =，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上，∵219144b +=，∵23b =，∵椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）是定值94-，理由如下：设)(11,M x y ，)(22,N x y ，直线l 的方程为)()(10y k x k =-≠，由)(221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得)(22224384120k x k x k +-+-=，∵2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，则11322P y y x =++，∵)(111151522P k x y y x x -==++， 同理可得)(22512Q k x y x -=+，∵)(11512,2k x FP x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝，)(22512,2k x FQ x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝， ∵)()()()()()(212121221212122511144252224k x x x x x x FP FQ kx x x x x x ---++⋅=+=++++++222222222412819434342541216444343k k k k k k k k k --+++=+=--++++，∵FP FQ ⋅为定值94-．解题思路：设直线l 的方程，与椭圆方程联立，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，由三点共线可得P y ，Q y ，结合韦达定理坐标表示FP FQ ⋅可得.3、求某一个量为定值例7、（2021·江苏盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值.【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故C 的标准方程为22195x y +=. （2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ， 设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，由010133TA PA y yk k x x =⇒=++'①， 020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++， 又2211195x y +=，故2211195x y -=-，所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+.所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③ 由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点， 所以设直线PQ 的方程为2x my =+，（直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率）代入22195x y +=整理，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=解得092x =. 所以点T 横坐标为定值92. 解题思路：设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据TA PA k k =，TB QB k k =可得0126123333x y x x x y --=⋅++，根据11(,)P x y 在椭圆C 上，代入方程化简整理可得0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---，设直线PQ 的方程为2x my =+，与椭圆C 联立，得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,y y y y +⋅的表达式，代入上式即可.例8、（2021·湖北武汉市高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，43PD BD ==. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AP ，AQ 和直线l ：x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）29t =-或103t =.【详解】（Ⅰ）由43BD =，得24233a =+=，故C 的方程为22214x y b+=，此时24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.代入方程2116199b +=，解得22b =，故C 的标准方程为22142x y +=. （Ⅱ）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立.得()224322039m m y y ++-=.设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()()1221224323292m y y m y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.①此时直线AP 方程为11(2)2y yxx ，与x t =联立.得点11(2),2t y M t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理，点22(2),2t y N t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.由MD ND ⊥，1MD ND k k ⋅=-.即()()1212(2)(2)1222233t y t y t x t x ++⋅=-⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以221212288(2)0333t y y t my my ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()2221212122864(2)0339m t y y t m y y y y ⎛⎫⎡⎤++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 将①代入得：()()()222222232(2)2323264039929292t m m t m m m ⎡⎤-+-⎛⎫⎢⎥+--+= ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 化简得：()22222232(2)323264203t t m m m ⎛⎫⎡⎤-++---++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 即222(2)403t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.2223t t ⎛⎫+=±- ⎪⎝⎭.解得29t =-或103t =.解题思路：设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理得1212,y y y y +，再联立AP 方程得M 同理得N 坐标，结合MD ND ⊥恒成立得1MD ND k k ⋅=-，化简计算可得参数t 值.例9、（2021·陕西榆林市高三一模（理））已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)C x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且1AB =.（1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F 为圆心，F 交于M ，N 两点，求证：MN 为定值.【答案】（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a可得焦点(，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p =①，由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得22214p x a +=，解得x =，所以1AB ==②，由①②可得：24a =，p =所以椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F的方程为：22(5+-=x y ，所以直线MN的方程为：(10+--=mx n y ， 设点F 到直线MN 的距离为d ，则2d ====.||2MN ==. 所以MN 为定值.解题思路：设(,)P m n ，则2214+=n m ，写出圆P 和圆F 的方程，两个圆的方程相减可得直线MN 的方程，计算点F 到直线MN 的距离为d ，再利用||MN =.题型二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题解答圆锥曲线的定点问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.1、直线过定点问题例10、（2020·江西吉安市高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎭，且离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =所以22221b e a =-=⎝⎭，即224a b =， 又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点12P ⎫⎪⎭，代入椭圆方程可得223114a b +=， 联立方程组可得222231144a b a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+， 122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，AQ BQ k k +===，即()()1221kx m x kx m x ⎛⎛+++ ⎝⎭⎝⎭()121220kx x m x x ⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭得()()22244814033k m km m m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得m =，直线l 的方程为(y k x =-，所以，直线l 恒过定点).解题思路： 设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，又因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，将韦达定理代入得出答案.例11、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解题思路：设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点.例12、（2021·山东德州市高三期末）已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=，所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线，所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mk km k m k k --+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）.解题思路：先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）."设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.2、动点在定直线上的问题例13、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅= 解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=. 显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x =故点M 在定直线4x =上.解题思路：设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线BO 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.例14、（2021·福建高三模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，12P ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于AB 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T .求证：点T 恒在一定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为点1,24P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，所以222141a b ⎝⎭+=， 又12c e a ==，222a b c =+，所以24a =，23b =， 故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(10x ≠，20x ≠).()222214388034120y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩， 122843kx x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +=. 1122::AEBFy l y x x y l y x x ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(10x ≠，20x ≠) 11111y kx x x +====，故1y ⎤=⎥⎦2kx x xx x x +++-=3x x x x +-=3=故点T 恒在一定直线3y =上.解题思路：设出直线1y kx =+，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理求出,AE BF 的直线方程，联立求出交点纵坐标为3，进而可得结果.3、圆过定点问题例14、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，证明见解析，定点为(1,0),(1,0)-. 【详解】解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=，解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--. 在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.解题思路： 设00(,)P x y ，设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，与椭圆方程联立由0∆=，求出切线的斜率0034x k y =-，得出切线方程000334x x y y y =-+，由条件求出12,B B 坐标，在x 轴上取点(),0M t ，由120MB MB ⋅=得出答案.【巩固训练】1、（2020·广东高三一模）已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．【答案】（1）22163x y +=，离心率为2；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题设，得22411a b+== 由①②解得26a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=，椭圆C 的离心率为2c e a ===． （2）直线AB 的斜率为定值1.证明：设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 记11(,)A x y ，22(,)B x y ．设直线PA 的方程为1(2)y k x +=+，与椭圆C 的方程联立，并消去y 得()()222212848840k x k k x k k ++-+--=，则2-，1x 是该方程的两根，则212884212k k x k ---=+，即21244212k k x k-++=+． 设直线PB 的方程为1(2)y k x +=-+，同理得22244212k k x k --+=+．因为()1112y k x +=+，()2212y k x +=-+，所以()()()212121212121228224121812ABkk x k x k x x y y k k k x x x x x x k +++++-+=====---+，因此直线AB 的斜率为定值．2、（2021·山西阳泉市高三期末（理））已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）12S S +是否为定值，为54π．证明过程见解析．【详解】（1）设(,)D x y ，则有(,2)P x y ，又P 在已知不上，∴2244x y +=，所以曲线E 的方程为2214x y +=；（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x ktx t +++-=，2222644(14)(44)0k t k t ∆=-+->， ∴122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+， 111y k x =，222y k x =，∵1k ､k ､2k 成等比数列，∴2121212y y k k k x x ==，∴2221212121212()()()kx t kx t k x x kt x x t k x x x x +++++==，212()0kt x x t ++=，又0t ≠，∴12()0k x x t ++=，228014k tt k -+=+，解得12k =±．1228414kt x x kt k +=-=-+，22122442214t x x t k-==-+， 22222222121212()2162(22)4444x x x x x x k t t t t +=+-=--=-+=，22222222121122()()2244OM ON S S OM ON x y x y ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222222222211221212124()()4()2()2x y x y kx t kx t k x x kt x x t +++=++++=+++++222244825k k t t =+-+=，∴1254S S π+=为定值． 3、（2021·湖北宜昌市高三期末）已知点A 、B坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-．（1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P 的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上， 由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，()12422m y m -=+，()22422m y m +=+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+2222(4)3)2222x x m m my my +-+++==++ ∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-.4、（2021·安徽池州市高三期末（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点、右焦点分别为A ，F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，直线AD ，AE 斜率分别为1k ，2k ，证明：12kk kk +为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意可得2222222312112a b c a a b c ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可知()1,0F ，则直线l 的方程为()1y k x =-.联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=.设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，所以()()1212121212112222k x k x y yk k x x x x --+=+=+++++12331122k x x ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭()()()()()12121212123434222224x x x x k k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=-=-⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦2222228344324128244343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222223816122412161612k k k k k k ⎡⎤++⎢⎥=--+++⎢⎥⎣⎦ 222112k k k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭， 所以1211kk kk k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭（定值）.5、（2021·安徽蚌埠市高三二模（理））已知圆()22:224E x y ++=，动圆N 过点()2,0F 且与圆E 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个动点，且OP OQ ⊥，记PQ 中点为M ，OP OQ t OM ⋅=，证明：t 为定值.【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）点()2,0F 在圆()22:224E x y ++=内，∴圆N 内切于圆E，∴NE NF EF +=>，所以N 点轨迹是以E ，F为焦点的椭圆，且a =2c =，从而b =故点N 的轨迹C 的方程为：22162x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，联立22162y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222136360k x kmx m +++-=，122613km x x k -+=+，21223613m x x k-=+ 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，即12220x x y y +=.化简得：()()22121210k x x km x x m ++++=，即()22222366101313m km k km m k k--+⋅+⋅+=++， 从而，222330m k --=，①因为OP OQ ⊥，且M 为PQ 中点，所以2PQ OM =， 在直角ABC 中，记原点O 到直线PQ 的距离为d ，则2OP OQ d PQ d OM ⋅==，由①知，原点O 到直线l的距离为d ===所以t.若直线PQ 斜率不存在，设直线PQ 方程为x n =，联立22162x n x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得p n ⎛ ⎝，,n ⎛ ⎝ 由OP OQ ⊥得n =t = 综上，t.6、（2021·江苏无锡市高三月考）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标； （2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）(4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析.【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-可得22411a b +=且2c e a ==，又由222c a b =-， 解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭， 联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,x y ==当5,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；当5,,(1,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-； 所以直线MN的方程为4)y x =-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+， 设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=，所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-， 又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---， 交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.7、（2021·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值； （3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，， 可得(0,)(,0)P km Q m -，， 由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111xm x λ=-，同理222xm x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 8、（2020·湖北高三月考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若平面上一点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7. （1）求抛物线C 的方程；（2）又已知点P 为抛物线C 上任一点，直线PA 交抛物线C 于另一点M ，过M 作斜率为43k =的直线MN 交抛物线C 于另一点N ，连接.PN 问直线PN 是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）过定点，1,34⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】(1)由已知，定点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7.272p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4p =，即抛物线的方程28y x =(2)设11(,)P x y ，22(,)M x y ，33(,)N x y ，则121211212222888PM y y y y k y y x x y y ++=-=+=-，同理：238MNk y y =+，138PN k y y =+， 由23843MN k y y ==+知：236y y +=，即236y y =- ① 直线11128:()PM y y x x y y -=-+，即1212()8y y y y y x +-=过(2,3)A 求得1211633y y y -=- ② 同理求直线PN 方程1313()8y y y y y x +-= ③ 由①②得13133()2y y y y =+- 代入③得1313()3()28y y y y y x +-++=13()(3)280y y y x +-+-=故3y =且280x -=时，直线PN 恒过点1,34⎛⎫⎪⎝⎭. 9、（2021·北京高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+， 直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上. ②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120kx k x k+-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+. 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162=+y y x . 直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-. 所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦. ()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦ ()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭. 所以点Q 在直线4x =上.10、（2021·安徽高三月考（理））已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点． （ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率； （ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）12-；（ii ）证明见解析．【详解】解：（1）由题意得：222221a b c ba ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2,1,a b c ===得椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=。

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。

三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。

四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。

难点10 “设参—用参—消参”解决圆锥曲线中的定点、定值问题

难点10 “设参—用参—消参”解决圆锥曲线中的定点、定值问题

难点10 “设参—用参—消参”解决圆锥曲线中的定点、定值问题1.定点问题解决圆锥曲线中的定点问题有两种策略:(1)引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量,与参数没有关系,找到定点,即“设参—用参—消参”三步法.(2)根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量的关系,在进行一般性证明时,“设参—用参—消参”这一思维模式仍然融透其中.典例1 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线OA,OB的斜率之积为-,求证:直线AB过定点.解析(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以=1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明:①当直线AB的斜率不存在时,设A,B.因为直线OA,OB的斜率之积为-,所以·=-,化简得t2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8.②当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(xA ,yA),B(xB,yB),联立化简得ky2-4y+4b=0,根据根与系数的关系得yA yB=,因为直线OA,OB的斜率之积为-,所以·=-,即x A xB+2yAyB=0,即·+2yAyB=0,解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32.所以yA yB==-32,即b=-8k,所以y=kx-8k=k(x-8).综上所述,直线AB过定点(8,0).对点练若直线l:y=kx+m与椭圆C:+=1相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.解析由题意设椭圆C的右顶点为A2,则A2(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则A2A⊥A2B,联立方程得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1x2=,x1+x2=,所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+4+m2=-+4+m2=0,整理得=0,解得m=-k或m=-2k.当m=-k时,y=kx-k=k,过定点;当m=-2k时,y=kx-2k,过定点(2,0),即过椭圆右顶点,与题意矛盾.所以直线l过定点.2.定值问题解答定值问题的基本策略有两种:(1)先用变量(参数)表示出要证明的量,然后利用已知条件通过推导消去变量,得到定值.即“设参—用参—消参”三步法;(2)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关,即“特殊引路,一般证明”法.在进行一般性证明定值与变量无关时,“设参—用参—消参”这一高效思维模式依然融透其中.典例2 如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A,B 和C,D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,证明:k 1k 2=1;(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)由题意易求得椭圆的标准方程为+=1,双曲线的标准方程为-=1.(2)证明:设点P(x 0,y 0),则k 1=,k 2=,∴k 1·k 2=·=,又点P(x 0,y 0)在双曲线上,∴-=1,即=-4,∴k 1·k 2==1.(3)假设存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立,由(2)知k 1·k 2=1,∴设直线AB 的方程为y=k(x+2),则直线CD 的方程为y=(x-2),由消去y,得(2k 2+1)x 2+8k 2x+8k 2-8=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=,x 1x 2=,∴|AB|=·=,用替换上式中的k,得|CD|==,∵|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|,∴λ=+=+=,∴存在常数λ=,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.点拨第(3)小题对目标稍加变形即得λ=+,不就是一道很常见的弦长计算题嘛,只需用斜率参数表示出弦长就好啦!而从(2)小题知直线AB,CD的斜率之积为1,因此,若设AB的斜率为k表示出弦长|AB|,则用代换k可快速得到弦长|CD|,这种“类比替换”求弦长的技巧耐人回味!对点练已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴上有一顶点到两个焦点的距离分别为3+2,3-2. (1)求椭圆的方程;(2)若P在椭圆上,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且满足·=t,直接写出实数t的取值范围;(3)过点Q(1,0),作直线l(与x轴不垂直)与椭圆交于M,N两点,与y轴交于点R,若=λ,=μ,求证:λ+μ为定值.解析(1)由题意易得椭圆方程为+y2=1.(2)实数t的取值范围为[-7,1].(3)依题意得,直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),R(0,y3),由消去y,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,所以x1+x2=①,x1x2=②,因为=λ,所以(x1,y1-y3)=λ(1-x1,-y1),即因为l与x轴不垂直,所以x≠1,则λ=,1又=μ,同理可得μ=,所以λ+μ=+=,将①②代入上式,得λ+μ=-.。

圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学

圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
得： AB的方程为化为： 即 由得 即当时，即直线AB恒过定点( ).
七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论：“若圆锥曲线为圆，直线AB交C于A、B两点，的斜率分别为，当时，为定值，”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下：设点是圆上的一定点，过点P作x轴的
2. 当 时， 【1】化为： 。即 时，为定值，,
3.当)时，,得， ，，即 ，
，即 。 得：
； 【2】
即： 或 (因为直线AB不过点P，舍去)AB的方程为化为： 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时， 由 【2】化为： ， ， ， 即：。(因为直线AB不过点P，舍去)或；，即 为定值.
1.当时，， ， ，
，即： ， ，
化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。， ； 【6】AB的方程为化为： 即 由得 即当时，直线AB恒过定点( )。
2.当 时， 【6】化为：； 即当时，为定值，。
3.当时， 即， ，，即 ，
， ； 【7】 ，化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。由，
2.当时，直线AB恒过定点(
3.当时，为定值
4.当时，即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点，过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论：
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时，为定值，
2.当时，直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人：某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)

2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)

圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题（解析版）3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程；(2)已知M,N是C上不同的两点，MN中点的横坐标为2，且MN的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b，AF=1，点M在线段AB上，且满足BM=3MA，直线OM的斜率为1，O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF =0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的左顶点，C 的离心率为2．设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点，其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点，证明：MF 2 ⋅NF 2 为定值；(3)是否存在常数λ，使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ，圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2，切点分别为A ,B ，证明：直线AB 恒过定点．2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点，且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程；(2)动点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB ，证明点N 在定直线上，并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点，且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.4在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1)，且与直线y=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)P为直线l：y=y0y0<0上一个动点，过点P作曲线Γ的切线，切点分别为A，B，过点P作AB的垂线，垂足为H，是否存在实数y0，使点P在直线l上移动时，垂足H恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y0的值，并求定点H的坐标．5已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ，直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =1分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，短轴长为23．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且与直线y =-34x 相交于点Q ，如果AQ =λAP ，QB =μPB ，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．2在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点，定点F 1-1,0 ，F 21,0 ，圆O :x 2+y 2=2，M 是圆内或圆上一动点，圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为曲线E ，若直线l 与曲线E 相切，过点F 2作直线l 的垂线，垂足为N ，证明：ON 为定值.4设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆E 的方程；(2)△ABC 内接于椭圆E ，过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD =AQ PD ，证明：△PBC 面积为定值，并求出该定值．5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0)，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点.求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中，圆F1：x+22+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：ABF2H为定值．2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1k2是定值吗？证明你的结论．3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点，定点M (2,0)，线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ，记点T 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点，且l 与直线l 1:y =33x ，l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±34x ，焦距为10，A 1，A 2为其左右顶点．(1)求C 的方程；(2)设点P 是直线l ：x =2上的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ，A 2Q ⊥MN ，垂足为Q ，求证：存在定点R ，使得QR 是定值．5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P2,26在C上，且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切．(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，Q为x轴上一点，满足QA=QB，试问AF1+BF1-4QF2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2，点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点，过P作圆C2:x-2，-1,32+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.3已知点F是抛物线C：y2=2px p>0的焦点，纵坐标为2的点N在C上，以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D，E，DE=23.(1)求抛物线C的方程；(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A，B，求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ:x 2=2py ，其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；(3)如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |．5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点，过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ，设线段AF 的中点为B ，设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ，设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2，若1k 1+1k 2=2，请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ，B ，试问：△MAB 的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ，且离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时，在线段AB 上取点M ，满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ，证明：点M 总在某定直线上．5椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为A-2,0，B2,0，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．八、双曲线定直线问题1如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=-34，AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2，且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0；②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上．(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S 是定值；(2)已知点P12,1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PMPN=MHHN，证明：点H恒在一条定直线上．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ，直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线，过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2，直线l 1交x 轴于点M ，直线l 2交y 轴于点N ，且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点，过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点，直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ，证明：点G 在定直线上.5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ，N 两个不同的点(异于顶点)．(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点)；(2)若A ，B 为双曲线的左右顶点，且AB =4，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ，如图所示，连接AC ,BD 延长交于点Q ，当P 为焦点并且AB ⊥CD 时，四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点P 1,1 ，证明Q 在定直线上运动，并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ，过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点．当l 1的斜率为12时，AB =210．(1)求E 的标准方程；(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 在定直线上．3已知抛物线C 1：x 2=2py (p >0)和圆C 2：x +1 2+y 2=2，倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切．(1)求p 的值：(2)点M 在C 1的准线上，动点A 在C 1上，C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ，设MN =MA +MB，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．4已知拋物线x 2=4y ，P 为拋物线外一点，过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于M ，N 两点.(1)若P -1,-2 ，设△OAB 的面积为S 1，△PMN 的面积为S 2，求S 1S 2的值；(2)若P x 0,y 0 ，求证：△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线l:y=2x+1与C交于A，B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E ：x +1 2+y 2=16，点F 1,0 ，G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程；(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l ：x =4交于P ，Q ，已知点A 2,0 ，且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点，定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为：x =my +n ，与椭圆方程联立，根据韦达定理列出x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系，再利用两点式写出直线MA 的方程，求出点P 4,2y 1x 1-2 ，Q 4,2y 2x 2-2，再写出以PQ 为直径的圆的方程，根据圆的方程经过点T 7,0 ，得到关系式，进而求得n 为定值，从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示，∵HE +HF =HE +HG =4，且EF =2<4，∴点H 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1，则2a =4，c =1，∴a =2，b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为：x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为：x =my +n ，由x 24+y 23=1x =my +n ，得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4，x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为：y =y 1x 1-2x -2 ，令x =4，得y P =2y 1x 1-2，所以，P 4,2y 1x1-2 ，同理可得Q 4,2y 2x 2-2，以PQ 为直径的圆的方程为：x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0，即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，因为圆过点7,0 ，所以，9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0，得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0，代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0，化简得，9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ，解得n =1或n =2(舍去)，所以直线MN 经过定点1,0 ，当直线MN 的斜率为0时，此时直线MN 与x 轴重合，直线MN 经过点1,0 ，综上所述，直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0)，B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程；(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B )，过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ，当P 是CQ 中点时，证明．直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；(2)设出CD 方程，结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件，找到直线CD 中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2，又椭圆经过B -65,-45 ，代入可得14-652+1b2-452=1，解得b 2=1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1(2)由题意知，当l ⊥x 轴时，不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0，即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2)，令x =x 1得P x 1,x 1-24 ，AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2，由P 是CQ 中点，得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2，即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12，即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ，即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0，即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0，所以(m +2k )(m +2k +2)=0，得m =-2k -2或m =-2k ，当m =-2k -2，此时由Δ>0，得k <-38，符合题意；当m =-2k ，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2，即y =k (x -2)-2，所以l 过定点(2,-2).3如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ．左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点M (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 是椭圆C 上两动点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，k 1=2k 2．过点B 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】(1)C :x 24+y 22=1；(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值，理由见解析.【分析】(1)根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ，即可得椭圆方程；(2)根据题意设BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立椭圆方程求P ,Q 坐标，判断直线PQ 过定点，结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹，进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，可得a 2=4b 2=c 2=2 ，则椭圆方程为C :x 24+y 22=1；(2)若直线BQ 斜率为k ，则直线AP 斜率为2k ，而A (-2,0),B (2,0)，所以BQ :y =k (x -2)，AP :y =2k (x +2)，联立BQ 与椭圆C ，则x 2+2k 2(x -2)2=4，整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0，所以2x Q =8k 2-41+2k 2，则x Q =4k 2-21+2k 2，故y Q =-4k1+2k 2，联立AP 与椭圆C ，则x 2+8k 2(x +2)2=4，整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0，所以-2x P =32k 2-41+8k 2，则x P =2-16k 21+8k 2，故y P=8k 1+8k 2，综上，x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2)，y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2，当64k 4-4≠0，即k ≠±12时，k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2，此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2)，所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2)，即直线PQ 过定点-23,0 ；当64k 4-4=0，即k =±12时，若k =12，则x Q =-23且y Q =-43，x P =-23且y P =43，故直线PQ 过定点-23,0 ；若k =-12，则x Q =-23且y Q =43，x P =-23且y P =-43，故直线PQ 过定点-23,0 ；综上，直线PQ 过定点M -23,0 ，又BH ⊥PQ 于H ，易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上，故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值，所以，所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛：第二问，设直线BQ ，AP 联立椭圆，结合韦达定理求点P ,Q 坐标，再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 分别是C 的右、上顶点，且AB =7，D 是C 上一点，△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程；(2)C 的弦DE 过F 1，直线AE ，AD 分别交直线x =-4于M ，N 两点，P 是线段MN 的中点，证明：以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图形的对称性可得定点在x 轴上，代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意，a 2+b 2=7，△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ，当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立，故4a =8，所以a 2=4,b 2=3，所以C 的方程x 24+y 23=1；(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ，直线DE :x =my -1，代入x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ，令x =-4，得N -4,-6y 1x 1-2 ，同得M -4,-6y 2x 2-2，从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2，以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0，由对称性可知，定点必在x 轴上，令y =0得，x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0，y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ，所以x +4 x -x 1 +3my 1=0，即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0，因为x 1=my 1-1，所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0，即x +1 x -my 1+4 =0，解得x =-1，所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2，x 1x 2(或y 1+y 2，y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3．(1)求△APQ 的内心坐标；(2)是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于M ,N ，交PQ 于点R ，且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意，根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2，列出等式即可求出椭圆C 的方程，判断△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于点T ，此时T 为△APQ 的内心，进行求解即可；(2)设直线l 方程为y =k (x -t )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程与椭圆方程联立，得到根的判别式大于零，由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上，得到MR ⋅ND =MD ⋅RN，此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0，结合韦达定理求出t =4，可得存在定点D (4,0)满足题意．【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0)，则AP =352,PF =32；因为△APQ 中，AP =AQ ，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分∠APQ ，交x 轴于T ，则T 为△APQ 的内心，且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ，所以AT =355+1，则T 7-354,0 ；(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称．若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时，设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1，消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0，则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1，M 、R 、N 、D 均在直线l 上，MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0，整理得t =4，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在．∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点，E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点，若直线PA ，PB 的斜率和为1，证明：直线y =kx +t 过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析，定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3，再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4，可得双曲线E 的标准方程；(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2，再根据斜率和为1列式，推出t =2k +3，从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ，即bx -ay =0的距离为3，则3=|-bc |b 2+a2，结合a 2+b 2=c 2得b =3，又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上，所以16a2-93=1，得a 2=4，所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1，消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0，则3-4k 2≠0，Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0，即t 2+3>4k 2，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=8kt 3-4k 2，x 1x 2=-4t 2+123-4k 2，则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1，所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16，所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0，所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0，整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0，所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0，所以t -3-2k t -3+4k =0，因为直线y =kx +t 不过P (4,3)，即3≠4k +t ，t -3+4k ≠0，所以t -3-2k =0，即t =2k +3，所以直线y =kx +t =kx +2k +3，即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛：利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2，且MN 的中垂线为直线l ，是否存在半径为1的定圆E ，使得l 被圆E 截得的弦长为定值，若存在，求出圆E 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质，结合△ABD 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即可求解双曲线方程；(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点，即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意，∠BAD =90°，焦半径c =2，当x =c 时，c 2a 2-y 2b 2=1，得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2，即y =±b 2a ，所以BF =b 2a ，由AF =BF ，得a +c =b 2a，得a 2+2a =22-a 2，解得：a =1(其中a =-2<0舍去)，所以b 2=c 2-a 2=4-1=3，故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点，MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0，当k MN 存在时，k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0，因为MN 的中垂线为直线l ，所以y -y 0=-y 06x -2 ，即l :y =-y 06x -8 ，所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时，M ,N 关于x 轴对称，MN 的中垂线l 为x 轴，此时l 也过T 8,0 ，所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1，使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，右顶点分别为F ，A ，B 0,b ，AF =1，点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，E 12,0 【分析】(1)由AF =1，BM =3MA ，直线OM 的斜率为1，求得a ,b ,c 之间的关系式，解得a ,b 的值，进而求出双曲线的方程；(2)设直线PQ 的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF 为∠PEQ 的角平分线，可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E 的坐标．【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ，所以F c ,0 ，A a ,0 ，B 0,b ，因为点M 在线段AB 上，且满足BM =3MA ，所以点M 33+1a ,13+1b，因为直线OM 的斜率为1，所以13+1b 33+1a =1，所以ba=3，因为AF =1，所以c -a =1，解得a =1，b =3，c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ；当直线l 的斜率存在且不为0时，设E t ,0 ，直线l 的方程为x =ky +2，直线l 与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，则-33<k <33且k ≠0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由x 2-y 23=1x =ky +2 ，得3k 2-1 y 2+12ky +9=0，3k 2-1≠0，Δ=36k 2+36>0，所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1，y 1y 2=93k 2-1，因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ，即EP EQ=FP FQ，所以EF 平分∠PEQ ，k EP +k EQ =0，有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0，即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0，得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0，所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0，由k ≠0，解得t =12.综上所述，存在与F 不同的定点E ，使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立，且E 12,0.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点D (2,0)，E ，F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ·DF=0，DG ⊥EF 于点G ，证明:存在定点H ，使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件，设出双曲线C 的方程，再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时，设出其方程并与双曲线C 的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.【详解】(1)依题意，设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0)，而点A (22,-1)在双曲线C 上，于是λ=(22)212-(-1)23=13，双曲线C 的方程为x 212-y 23=13，即x 24-y 2=1，所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为：y =kx +m ，设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ，由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0，有4k 2-1≠0，且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0，即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0，有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2)，由DE ·DF =0，得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简得3m 2+16km +20k 2=0，即(3m +10k )(m +2k )=0，解得m =-2k 或m =-103k ，均满足条件，当m =-2k 时，直线EF 的方程为y =k (x -2)，直线EF 过定点(2,0)，与已知矛盾，当m =-103k 时，直线EF 的方程为y =k x -103 ，直线EF 过定点M 103,0 ；当直线EF 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE 的方程为：y =x -2，。

圆锥曲线的解题方法

圆锥曲线的解题方法

圆锥曲线的解题方法导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。

过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。

第一、圆锥曲线的解题方法：一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。

例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2、求动点P的轨迹方程。

解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。

（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。

上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。

（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。

例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。

解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。

解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。

二、圆锥曲线最值问题（1）化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。

例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。

解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。

（2）利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。

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寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【基础知识】1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题法一：特殊探求，一般证明；法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。

例1 设点A 和B 是抛物线«Skip Record If...»上原点以外的两个动点，且«Skip Record If...»，求证直线«Skip Record If...»过定点。

解：取«Skip Record If...»写出直线«Skip Record If...»的方程；再取«Skip Record If...»写出直线«Skip Record If...»的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为«Skip Record If...»。

设«Skip Record If...»，直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»， 由题意得«Skip Record If...»两式相减得 «Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»，整理得«Skip Record If...» ①又«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»OAB«Skip Record If...»直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»②把«Skip Record If...»代入直线«Skip Record If...»得方程恒成立，所以直线«Skip Record If...»过定点«Skip Record If...»解：由上得«Skip Record If...»②又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»代入②得«Skip Record If...»，整理得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»直线«Skip Record If...»过定点«Skip Record If...»【变式演练1】已知椭圆«Skip Record If...»的中心在坐标原点，焦点在«Skip Record If...»轴上，椭圆«Skip Record If...»上的点到焦点距离的最大值为«Skip Record If...»，最小值为«Skip Record If...»．（Ⅰ）求椭圆«Skip Record If...»的标准方程；（Ⅱ）若直线«Skip Record If...»与椭圆«Skip Record If...»相交于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»两点（«Skip Record If...»不是左右顶点），且以«Skip Record If...»为直径的圆过椭圆«Skip Record If...»的右顶点，求证：直线«Skip Record If...»过定点，并求出该定点的坐标．题型二定值问题解题方法 （1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.（2）进行一般计算推理求出其结果。

例2：过抛物线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»＞0）的焦点«Skip Record If...»作直线«Skip Record If...»交抛物线于«Skip Record If...»两点，若线段«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的长分别为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值必等于（ ）．A ．«Skip Record If...»B ．«Skip Record If...»C ．«Skip Record If...»D ．«Skip Record If...»抛物线«Skip Record If...»（«Skip Record If...»＞0）的焦点«Skip Record If...»，准线«Skip Record If...»． ∴ «Skip Record If...»：«Skip Record If...» 又由«Skip Record If...»，消去«Skip Record If...»得 «Skip Record If...» ∴«Skip Record If...»，«««««««∴«Skip Record If...» ∴«Skip Record If...»．例3．B 是经过椭圆2222 1.x y a b+=(0)a b >> 右焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦//MN AB ，求证：2||MN：||AB 是定值解析：对于本题，MN ,AB 分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有22||4MN a =，||2AB a =,2||:||2MN AB a =（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN 、AB 的倾斜角为α，则斜率tan k α=，MN 的方程为(tan )y x α= 代入椭圆方程，又∵212||(1)||MN k x x =+-即得2222224||sin a b MN b c α=+ ○1，另一方面，直线AB 方程为tan ()y x c α=-．同理可得222222||sin ab AB b c α=+ ○2 由○1○2可知2||:||2MN AB a =（定值） 关于②式也可直接由焦点弦长公式得到． 例4．设上的两点，已知向量，,若m ·n =0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB 的面积是否为定值如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【答案】 解：（Ⅰ）由题意知椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为由已知得：(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由m·n=0得又在椭圆上，所以，所以S =所以三角形AOB的面积为定值（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b,由所以三角形的面积为定值.【高考精选传真】1．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c-，，2(0)F c，．已知(1)e，和3e⎛⎫⎪⎪⎝⎭，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P．【解析】（1）由题设知，222==ca b c ea+，，由点(1)e，在椭圆上，得2222222222222222111=1===1e cb c a b a a b ba b a a b+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22=1c a-。

由点32e⎛⎝⎭，在椭圆上，得22222422 2244331311144=0=214e c aa a aa b a a-⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒∴椭圆的方程为2212xy+=。

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