2019届高考数学一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第2节参数方程理新人教版

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2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第12章选4系列 12.2 参数方程

12.2　参数方程[知识梳理]1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >x 2a 2y 2b 2b >0)Error!(φ为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[诊断自测]1．概念思辨(1)直线Error!(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数量．( )M 0M → (3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原点，则直线OM 的斜率为.( )π33答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．教材衍化(1)(选修A4－4P 39T 1)直线Error!(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于( )A. B. C. D.12512559259105答案　B解析　直线的普通方程为x －2y ＋3＝0.圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3.∴圆心到直线的距离d ＝＝.35355∴弦长为2＝.故选B.r 2－d 21255(2)(选修A4－4P 24例2)已知点(x ，y )满足曲线方程Error!(θ为参数)，则的最小值是( )y x A. B. C. D ．132323答案　D解析　曲线方程Error!(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y －6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以为半径的圆，2∴是原点和圆上的点的连线的斜率，yx 如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，取最小值，设yx 过原点的切线方程为y ＝kx ，则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离：d ＝＝，即7k 2－24k ＋17＝0，|4k －6|k 2＋12解得k ＝1或k ＝，177∴的最小值是1.故选D.yx3．小题热身(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. B ．2 C. D ．2141422答案　D解析　由Error!消去t ，得x －y －4＝0，由ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2,0)，r ＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝＝，|2－0－4|22∴所求弦长＝2＝2.故选D.r 2－d 22(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为Error!(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案　25解析　直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4.由Error!得x 2＝，即x ＝±，1222则|AB |＝|x A －x B |＝×＝2.1＋k 2AB1＋3225题型1　参数方程与普通方程的互化 (2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C ：＋＝1，直线典例x 24y 29l ：Error!(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．(1)用公式法，代入消参法；(2)过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，当|PH |最长时，|PA |取最大值．解　(1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|，55则|PA |＝d sin30°＝|5sin(θ＋α)－6|，255其中α为锐角，且tan α＝.43当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.255方法技巧将参数方程化为普通方程的方法1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形．冲关针对训练已知直线l 的方程为y ＝x ＋4，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的交点的极坐标；(2)若P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值．解　(1)由题知直线l ：y ＝x ＋4，圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，联立Error!解得Error!或Error!其对应的极坐标分别为，.(22，3π4)(4，π2)(2)解法一：设P (2cos θ，2＋2sin θ)，则d ＝＝，|2cos θ－2sin θ＋2|2|2cos (θ＋π4)＋2|当cos ＝1时，d 取得最大值2＋.(θ＋π4)2解法二：圆心C (0,2)到直线l 的距离为＝，圆的半径为2，|2|22所以点P 到直线l 的距离d 的最大值为2＋.2题型2　参数方程的应用 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数典例方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为，求a .17(1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采用分类讨论思想求解．解　(1)曲线C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由Error!解得Error!或Error!从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，.(－2125，2425)(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝.|3cos θ＋4sin θ－a －4|17当a ≥－4时，d 的最大值为.a ＋917由题设得＝，所以a ＝8；a ＋91717当a ＜－4时，d 的最大值为.－a ＋117由题设得＝，－a ＋11717所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.方法技巧直线的参数方程在交点问题中的应用1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则||||＝|t 1t 2|，||＝|t 2－t 1|＝.M 0M 1→ M 0M 2→ M 1M 2→ (t 2＋t 1)2－4t 1t 22．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝.t 1＋t 223．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.提醒：对于形如Error!(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．冲关针对训练(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ·sin 2θ＝2cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解　(1)由ρ·sin 2θ＝2cos θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，即y 2＝2x .∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝，t 1t 2＝－，2cos αsin2α1sin2α∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝，(2cos αsin2α)2＋4sin2α2sin2α当α＝时，|AB |的最小值为2.π21．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解　(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组Error!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.2．(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM ：θ＝与(θ＋π6)3π6圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解　(1)因为圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由Error!解得ρ1＝2，θ1＝.π6设Q (ρ2，θ2)，则由Error!解得ρ2＝5，θ2＝.π6所以|PQ |＝3.[基础送分提速狂刷练]1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．π2解　(1)C 1的普通方程为＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为x 22ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝，21＋sin2α联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4sin 2α＝＋4(1＋sin 2α)－4，21＋sin2α21＋sin2α令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4t －4，当0<α<时，t ∈(1,2)．设f (t )2t π2＝＋4t －4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，2t ∴|OA |2＋|OB |2∈(2,5)．2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为P (2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，并且|PA |·|PB |＝，求tan α的值．283解　(1)将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x .经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将Error!代入y 2＝4x ，得sin 2α·t 2＋(2sin α－4cos α)t －7＝0，因为P (2,1)在直线l 上，所以|t 1t 2|＝＝，所以sin 2α＝，α＝或α＝，即|－7sin2α|28334π32π3tan α＝或tan α＝－.333．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C 1：Error!(t 为参数)，C 2：Error!(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝，Q 为C 2上的动点，求PQ π2的中点M 到直线C 3：Error!(t 为参数)距离的最小值．解　(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：＋＝1，x 264y 29C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，π2故M ，(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13|5555＝|5sin(θ－φ)＋13|，55(其中φ满足tan φ＝43)所以d 的最小值为.8554．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)．(1)若a ＝2，直线l 与x 轴的交点是M ，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；(2)直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，求a 的3值．解　(1)当a ＝2时，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.∴圆C 的圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝1.令y ＝t ＝0得t ＝0，把t ＝0代入x ＝－t ＋2得4535x ＝2.∴M (2,0)．∴|MC |＝＝.22＋125∴|MN |的最大值为|MC |＋r ＝＋1.5(2)由ρ＝a sin θ得ρ2＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝ay ，即x 2＋2＝.(y －a 2)a 24∴圆C 的圆心为C ，半径为，(0，a 2)|a 2|直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，3∴圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半．＝，解得a ＝32或a ＝.|3a2－8|42＋32|a 4|32115．(2017·锦州二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝，求直线14的倾斜角α的值．解　(1)∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4.(2)将Error!代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则Error!∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝，(t 1＋t 2)2－4t 1t 24cos2α＋12∵|AB |＝，14∴ ＝.4cos2α＋1214∴cos α＝±.22∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.π43π4∴直线的倾斜角α＝或α＝.π43π46．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝.(θ－π4)2(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.解　(1)由Error!消去参数α得＋y 2＝1，x 29即C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29由ρsin ＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)(θ－π4)2将Error!代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为.π4(2)由(1)，知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，即Error!(t 为参数)，代入＋y 2＝1并化简，得5t 2＋18t ＋27＝0，x 292Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－<0，t 1t 2＝>0，1825275所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝.1825。

(全国版)2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2讲参数方程学案

第2讲参数方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )(*)，如果对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参数．考点2 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t (t ≥1)表示的曲线为直线．( )(2)直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为1.( )(3)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos30°，y ＝1＋t sin150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2表示的曲线为椭圆．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3ρcos α－4ρsin α－9＝0，则直线与圆的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心答案 D解析圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，直线的直角坐标方程为3x －4y －9＝0.圆心(0,0)到直线的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋(－4)2＝95<2，所以直线与圆相交．显然直线不过原点(0,0)，故选D.3．[2018·安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2 答案 D解析由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.4．[2018·湖南模拟]在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，所以a ＝3.5．[2018·天津模拟]已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.答案2解析由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，p >0，可得曲线方程为y 2＝2px (p >0)． ∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形，E 的横坐标为－p2，M 的横坐标为3.∴EM 中点的横坐标为3－p22，与F 的横坐标p2相同．∴3－p22＝p 2，∴p ＝2.6．[2015·湖北高考]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 2 5解析因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t，消去t 得y 2－x2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A ⎝⎛⎭⎪⎫22，322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3222＝2 5.板块二典例探究·考向突破考向参数方程与普通方程的互化例 1 [2017·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin (θ＋φ)－a －4|17⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16. 触类旁通将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．【变式训练1】 [2018·湖南长郡中学模拟]已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．解 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55·|3sin θ－4cos θ＋13|＝55|5sin(θ－φ)＋13|⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43，所以d 的最小值为855.考向直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化例 2 [2018·宝鸡模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和2倍后得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4.(1)试写出曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的参数方程；(2)在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．解 (1)把C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，消去参数化为普通方程为x 2＋y 2＝1，故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝1.再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C 2的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即x 22＋y 24＝1.故曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4，即2x ＋y －4＝0，设点P (2cos θ，2sin θ)，则点P 到直线的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|2＋1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－23，故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d 取得最小值，此时，θ＝2k π＋π4(k ∈Z )，点P (1，2)，故曲线C 2上有一点P (1，2)满足到直线l 的距离的最小值为433－263.触类旁通参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的相互转化(1)把C 1消去参数化为普通方程为x 2＋y 2＝1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C 2的普通方程，再化为参数方程．(2)先求得直线l 的直角坐标方程，设点P (2cos θ，2sin θ)，求得点P 到直线的距离为d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－23，故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，即θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，点P到直线l 的距离最小，从而求得P 的坐标以及此最小值．【变式训练2】 [2018·宜春模拟]在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1和C 2的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求|OP |·|OQ |的最大值．解 (1)圆C 1⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，转化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，转化成极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ圆C 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，转化成直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0转化成极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.(2)射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝4|sin2α|. ∵(|sin2α|)max ＝1，∴|OP |·|OQ |的最大值为4.考向直线的参数方程例 3 [2018·泉州模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝2＋t (t 是参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为(1,2)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，试求|AB |及|PA |·|PB |的值．解 (1)直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0.ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，所以ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0(或写成(x －2)2＋(y －2)2＝8)．(2)直线l 的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′是参数)，把直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0得，t ′2＋2t ′－7＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－2，t 1′t 2′＝－7，点P (1,2)显然在直线l 上，故|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝30，故|PA |·|PB |＝|t 1′t 2′|＝7.触类旁通直线的参数方程的标准形式过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．【变式训练3】 [2018·哈尔滨模拟]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．解 (1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0，整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2 ＝4cos 2φ＋12，∵φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]．考向极坐标、参数方程的综合应用例 4 [2018·盐城模拟]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ.(1)直接写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线l 夹角为π3的直线m ，设直线m 与直线l 的交点为A ，求|PA |的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)，得l 的普通方程为2x ＋y －6＝0，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C 的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1.(2)由(1)，知直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5.由题意得|PA |＝d s in60°＝415⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－315，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为415(3＋2)15. 触类旁通极坐标与参数方程综合应用中注意的问题(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．【变式训练4】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2ρsin θ＋4＝0(ρ≥0)．(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若A 是曲线C 1上的任意一点，B 是曲线C 2上的任意一点，求线段AB 的最小值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t ，y ＝4t 2，消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为x 2＝4y .将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入到ρcos θ＋2ρsin θ＋4＝0(ρ≥0)中，得x ＋2y ＋4＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋2y ＋4＝0.(2)解法一：因为A 是曲线C 1上的任意一点，B 是曲线C 2上的任意一点，所以线段AB 的最小值，即与曲线C 2平行的直线与曲线C 1相切时，切点到曲线C 2的距离，设切线的方程为x ＋2y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＋2y ＋m ＝0，消去y 得x 2＋2x ＋2m ＝0，所以Δ＝22－4×1×2m ＝0，得m ＝12，因此切点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，其到直线C 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2×14＋412＋22＝7510，即|AB |min ＝7510. 解法二：因为A 是曲线C 1上的任意一点，B 是曲线C 2上的任意一点，所以可设点A (4t,4t 2)，线段AB 的最小值即点A 到直线C 2的距离d 的最小值，所以d ＝|4t ＋2×4t 2＋4|12＋22＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142＋785，当t ＝－14时，d min ＝7510，即|AB |min ＝7510.核心规律参数方程与普通方程互化的方法(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．满分策略参数方程应用中的注意事项(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便.板块三模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0.因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.2．[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.3．[2018·安阳模拟]已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标系方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解 (1)∵圆C 的直角坐标系方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，化简得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，即ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. ∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)，消参得：x －y ＋1＝0，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0，即ρ＝1sin θ－cos θ.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，故点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，|OQ |＝1sin 3π4－cos3π4＝122＋22＝22，故点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4， |PQ |＝|OP |－|OQ |＝22－22＝322故线段PQ 的长为322.4．[2018·长沙模拟]以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin φ，y ＝1＋t cos φ(t 为参数，0<φ<π)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当φ变化时，求|AB |的最小值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin φ，y ＝1＋t cos φ(t 为参数，0<φ<π)，消去t ，得x cos φ－y sin φ＋sin φ＝0，所以直线l 的普通方程为x cos φ－y sin φ＋sin φ＝0. 由ρcos 2θ＝4sin θ，得(ρcos θ)2＝4ρsin θ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得x 2＝4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将直线l 的参数方程代入x 2＝4y ，得t 2sin 2φ－4t cos φ－4＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos φsin 2φ，t 1t 2＝－4sin 2φ，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝16cos 2φsin 4φ＋16sin 2φ＝4sin 2φ. 当φ＝π2时，|AB |取得最小值，最小值为4.5．[2018·榆林模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，a >0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－22，得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22，化成直角坐标方程，得22(x －y )＝－22，即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P (2cos t,2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|2cos t －2sin t ＋4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π4＋42.当t ＋π4＝2k π＋π，即t ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d min ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有a cos t －2sin t ＋4>0恒成立，即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝2a 恒成立，∴a 2＋4<4，又a >0，∴0<a <2 3. 故a 的取值范围为(0,23)．6．[2018·豫南九校联考]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的直角坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B ，M 对应的参数分别为t 1，t 2，t 0. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313. (2)设直线l 上的点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 结合Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0可知tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.。

高考数学一轮总复习第12章坐标系与参数方程第2节参数方程课件理新人教版

答案：(－1,1)
3．在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆xy＝＝2c3ossinθ， θ (θ 为参数) 的右焦点，且与直线xy＝＝34－－t2t， (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．
解析
1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持一致．否则不等价．
x＝cos α， y＝m＋sin α
(α 为参数 ) ，直线
l
的参数方程为
x＝1＋ 55t，
y＝4＋2
5
5 t
(t 为参数)，
(1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，且|PQ|＝455，
求实数 m 的值．
解析
[谨记通法] 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．
解析：由xy＝＝1－＋2s＋incθos θ，
得cos sin
θ＝x＋2， θ＝y－1，
∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心坐标为(－2,1)，
故圆心到直线 x－y－1＝0 的距离 d＝ 42＝2 2，
∴直线上的点到圆上的点的最近距离是 d－r＝2 2－1.
答案：2 2－1
2．直线xy＝＝b4t＋at， (t 为参数)与圆yx＝＝2＋3sin3θcos θ， (θ 为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为 bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为 (x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为 3，从而有 3＝|2b－aa2·＋0－b24b|，即 3a2＋3b2＝4b2，所以 b＝± 3a，而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α＝ba，所以 tan α＝± 3，因此切线的倾斜角π3或23π. 答案：π3或23π

全国版2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2讲参数方程课件201805092301

x＝2cosθ， 2．已知圆的参数方程 (θ 为参数)，以坐标 y＝2sinθ
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 3ρcosα－4ρsinα－9＝0，则直线与圆的位置关系是( ) A．相切 C．直线过圆心 B．相离 D．相交但直线不过圆心
解析圆的普通方程为 x2＋y2＝4，直线的直角坐标方程为 3x － 4y － 9 ＝ 0. 圆心 (0,0) 到直线的距离 d ＝ |3×0－4×0－9| 9 2 2 ＝5<2，所以直线与圆相交．显然直线不过 3 ＋－4 原点(0,0)，故选 D.
3．[2018· 安徽模拟]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的
x＝t＋1，长度单位．已知直线 l 的参数方程是 (t 为参数)， y＝t－3
圆 C 的极坐标方程是 ρ＝4cosθ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( ) A. 14 B．2 14 C. 2 D．2 2
数为 1.( × )
x＝－2＋tcos30° ， (3)直线 (t 为参数 ) 的倾斜角 α 为 y＝1＋tsin150°
30° .( √ )
x＝2cosθ， (4) 参数方程 y＝5sinθ
π θ为参数且θ∈0，表示的 2
曲线为椭圆．( × )
(t 为参数)，其中 p>0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标 2 是 3，则 p＝________.
解析
x＝2pt2，由参数方程 y＝2pt
(t 为参数)，p>0，可得曲线方程为 y2＝2px(p>0)． ∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)，

(全国通用版)2019版高考数学一轮复习选考部分坐标系与参数方程学案理

坐标系与参数方程第1课坐标系[过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞，y ′＝μ·yμ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x4．常见曲线的极坐标方程1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π32．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．解析：把圆ρ＝2cos θ的方程化为(x －1)2＋y 2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝23．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r ＝1.因为点P (1,0)到圆心的距离d ＝－2＋－2＝2>1，所以点P 在圆外，所以|AP |的最小值为d －r ＝2－1＝1.答案：14．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ 的公共点的个数为________．解析：依题意，得4ρ⎝⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ＋1＝0，即23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0. 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，其圆心(0,1)到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|32＋22＝34<1，则直线与圆相交，故直线与圆的公共点的个数是2. 答案：25．在极坐标系中，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2引圆ρ＝8sin θ的一条切线，则切线长为________．解析：点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2的极坐标化为直角坐标为A (0，－1)，圆ρ＝8sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－8y ＝0，圆的标准方程为x 2＋(y －4)2＝16，点A 与圆心C (0,4)的距离为|AC |＝5，所以切线长为|AC |2－r 2＝3. 答案：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一点的坐标．1．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．解析：因为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0，即x 2＋y 2－2x －23y －1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．答案：(1，3)2．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．解析：将方程 ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5，5π3(答案不唯一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． [方法技巧]伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ，y ′＝μy μ的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[即时演练]1．求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 2．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.极坐标与直角坐标的互化[典例] 系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，直线与曲线C ：ρsin 2θ＝8cos θ相交于不同的两点A ，B ，求|AB |的值．[解] l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22⇒22ρcos θ－22ρsin θ＝22⇒x －y －1＝0，C 的直角坐标方程是y 2＝8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y －1＝0，可得x 2－10x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝10，x 1x 2＝1，所以AB 的长为1＋1·102－4＝8 3. [方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的非负半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ<2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．极坐标方程的应用[典例] 已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12， ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1. [方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练]在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2θ2＋3cos θ2＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2，即线段PQ 的长为2.1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.2．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.解：∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0. ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .∴圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. ∵圆心(1,0)在直线x －3y －1＝0上， ∴AB 为圆的直径，∴|AB |＝2.4．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，直线 θ＝π3即tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.5．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离．解：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为()1，3，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0. 所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|12＋32＝22＝1.1．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为 |1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 故实数a 的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. 3．(2018·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A ，B ，求△AOB 的面积．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在极坐标系中，C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝4cos θ＋2sin θ，得|OA |＝23＋1，同理：|OB |＝2＋ 3. 又∵∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝8＋534，即△AOB 的面积为8＋534.5．在坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，直线l ：ρcos θ－π3＝32，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a 的值；(2)若原点O 为极点，A ，B 为曲线C 上两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．解：(1)由已知在直角坐标系中，C ：x 2＋y 2－2ax ＝0⇒(x －a )2＋y 2＝a 2(a >0)； l ：x ＋3y －3＝0.因为C 与l 只有一个公共点，所以l 与C 相切，即|a －3|2＝a ，则a ＝1. (2)设A (ρ1，θ)，则B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π3， ∴|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2cos θ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.所以，当θ＝－π6时，(|OA |＋|OB |)max ＝2 3.6．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：3x ＋y －4＝0，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2，且曲线C 3分别交C 1，C 2于点A ，B ，求|OB ||OA |的最大值．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1：3ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，C 2：ρ＝2sin θ. (2)曲线C 3为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2，设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，ρ1＝43cos α＋sin α，ρ2＝2sin α，则|OB ||OA |＝ρ2ρ1＝14×2sin α(3cos α＋sin α) ＝142sin2α－π6＋1， ∴当α＝π3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫|OB | |OA |max ＝34. 7．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 23＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，射线OM 的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．(1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OM 平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点满足∠AOB ＝π2，求|AB |.解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，曲线C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4. (2)曲线C 2是圆心为(3，1)，半径为2的圆， ∴射线OM 的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，代入ρ2＝31＋2sin 2θ，可得ρ2A ＝2. 又∠AOB ＝π2，∴ρ2B ＝65，∴|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝ρ2A ＋ρ2B ＝455.8．已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．解：(1)作出图形如图所示，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos θ－π3＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，设M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos α2，y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.第2课参数方程[过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．[小题速通] 1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t(t 为参数)与极坐标方程ρ＝sin θ所表示的图形分别是________．解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝－1－2t 消去参数t ，得2x －y －5＝0，对应图形为直线．由ρ＝sin θ，得ρ2＝ρsin θ，即x 2＋y 2＝y ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，对应图形为圆．答案：直线、圆2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝x ＋2的交点坐标为________．解析：曲线的直角坐标方程为y ＝x 2.将其与直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ＋2，∴x 2－x －2＝0，∴x ＝－1或x ＝2.由x ＝sin θ知，x ＝2不合题意．∴x ＝－1，y ＝1，∴交点坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)3．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为________．解析：∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， ∴圆心(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点．答案：24．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2＝＋t 2－6t 21＋t 2＝4－3×2t21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t21＋t 2＝＋t 2－21＋t 2＝2－21＋t2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．答案：3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.1．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ上的点的最近距离是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋2，sin θ＝y －1，∴(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)，故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝42＝22，∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d －r ＝22－1. 答案：22－12．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3参数方程与普通方程的互化[典例] 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t ，(t 为参数)．(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．[解] (1)椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：x －3y ＋9＝0.(2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝ θ－2＋3sin θ2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.[方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [即时演练]将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2，得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，故所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．参数方程[典例] 种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋2t ，y ＝－4＋2t(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[解] 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝－4＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的方程得：12t ′2－(42＋2a )t ′＋16＋4a ＝0，则Δ>0，即a >0或a <－4.设交点M ，N 对应的参数分别为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝2(42＋2a )，t 1′t 2′＝2(16＋4a )，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则|t 1′－t 2′|2＝|t 1′t 2′|，解得a ＝1或a ＝－4(舍去)，所以满足条件的a ＝1. [方法技巧](1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [即时演练]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2，由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.[典例] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝1kx ＋消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ22θ－sin 2θ＝4，ρθ＋sin θ－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时演练]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ1－cos 2θ，直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α.(α为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线与曲线C 交于两点A ，B ，且线段AB 的中点为M (2，2)，求α.解：(1)曲线C ：ρ＝4cos θ1－cos 2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝4x .(2)法一：把x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α代入y 2＝4x ，得(2＋t sin α)2＝4(2＋t cos α)，即t 2sin 2α＋(4sin α－4cos α)t －4＝0.由AB 的中点为M (2,2)得t 1＋t 2＝0，有4sin α－4cos α＝0，所以k ＝tan α＝1. 由0≤α<π，得α＝π4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2⇒(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝4，∴k 1＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，由0≤α<π，得α＝π4.1．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.2．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为153或－153. 法二：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0. 由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得 |－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即直线l 的斜率为±153. 3．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为G 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋－2＝s －22＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M －2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.3．在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0.(1)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为普通方程；(2)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，点P 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)C 2是圆，C 2的极坐标方程ρ2－2ρcos θ－3＝0，化为普通方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4. (2)点P 的直角坐标为(1,1)，且在直线C 1上，将C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x －3＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2－2⎝⎛⎭⎪⎫1－22t －3＝0，化简得t 2＋2t －3＝0. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2＋12＝14，定点P 到A ，B 两点的距离之积|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝3.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－2t ，y ＝3－t (t 为参数)，定点P (1,1)．(1)以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA |－|PB ||的值．解：(1)依题意得圆C 的一般方程为(x －1)2＋y 2＝4，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρ2－2ρcos θ－3＝0，所以圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0.(2)因为定点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－255t ，y ＝1－55t (t 为参数)．代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2－255t －3＝0. 设点A ，B 分别对应的参数为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝255，t 1t 2＝－3.所以t 1，t 2异号，不妨设t 1>0，t 2<0，所以|PA |＝t 1，|PB |＝－t 2，所以||PA |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝255.5．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)由已知得l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3x －，x 2＋y 2＝1解得l 与C 1的交点为A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)由题意，得C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线l 的距离是 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝342sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64.6．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0，曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. (2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)， ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522. 7．平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m,0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数)．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－ 2. 8．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．解：(1)∵ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22cos θ－22sin θ， ∴ρ2＝22ρcos θ－22ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＋22y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆心的直角坐标为(2，－2)． (2)直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t ＋42＋22－4 ＝t 2＋8t ＋48＝t ＋2＋32≥42，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值为4 2.。

高考数学一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第2节参数方程课件理

第二十页，共四十一页。
【即时训练】已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为参数，求曲线 C 的参数方程．
解：将 y＝tx 代入 y2＝3x2－2x3，得 t2x2＝3x2－2x3，即 2x3＝(3－t2)x2. 当 x＝0 时，y＝0；当 x≠0 时，x＝3－2 t2，从而 y＝3t－2 t3.
θ θ
，
②设 M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，因 Q(6,0)，
∴M
的参数方程为x＝6＋22cos y＝2si2n θ
θ
，即yx＝＝s3i＋n θcos θ .
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第二十四页，共四十一页。
(2)由椭圆x32＋y2＝1 的参数方程为yx＝＝sin3cφos φ ，(φ 为参数)，故可设动点 P 的坐标为( 3cos φ，sin φ)，其中 0≤φ≤2π.
即|5k－2＋2k1|＜2，解得 k＞2210.
即直线 l 的斜率的取值范围为2210，＋∞. 解法二将圆 C 的参数方程yx＝＝－1＋1＋2co2ssiθn，θ 化成普通方程为 (x－1)2＋(y＋1)2＝4，① 将直线 l 的参数方程代入①式，得 t2＋2(2cos α＋5sin α)t＋25＝0.②
(t 为参数)
x＝x0＋Rcos θ， y＝y0＋Rsin θ
(θ 为参数)
x＝Rcos θ， y＝Rsin θ
(θ 为参数)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
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第四页，共四十一页。
3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M0(x0，y0)，倾斜角为
α
的直线
l

2019届高考数学一轮复习选考部分坐标系与参数方程第2

与曲线
C：y2＝
y＝tsinθ
2x 交于 A、B 两点，当 θ 变化时，|AB|的最小值为________．
答案 2 解析将直线 l 的参数方程代入 y2＝2x，得 t2sin2θ－2tcos θ－1＝0. 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝2sicno2sθθ，t1·t2＝－sin12θ， |AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2 ＝ 4scion4sθ2θ＋sin42θ＝sin22θ.
课前自助餐
参数方程的概念如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数xy＝＝fg（（tt）），. 反过来，对于 t 的每个允许值，由函数式xy＝＝fg（（tt）），，所确定的点 P(x，y)都在曲线 C 上，那么方程yx＝＝gf（（tt）），，叫做曲线 C 的参数方程，变量 t 是参数．
5．(2015·湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ －3cosθ )＝0，曲线 C 的参数方程为xy＝＝tt－＋11tt ，(t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|＝________．
线 C 上的点的轨迹是( ) A．直线 x＋2y－2＝0
B．以(2，0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段
答案 D 解析将曲线的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝ 0(0≤x≤2，0≤y≤1)．
4．已知直线xy＝＝xy00＋＋abtt，(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数
第2课时参数方程
…2018 考纲下载… 1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．请注意对本部分的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档题型为主，预测 2019 年高考中，在难度，知识点方面变化不大．

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程学案文含解析新人教A版选修440729156

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程学案文含解析新人教A 版选修440729156第二节参数方程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )。

①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．直线的参数方程过定点P 0(x 0，y 0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则参数t 的几何意义是有向线段P 0P →的数量。

3．圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)α∈[0,2π)。

4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)θ∈[0,2π)。

1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围。

2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离。

一、走进教材1．(选修4－4P 26T 4改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________。

2019届高考数学一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第2节参数方程训练理新人教.doc

第2节参数方程正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点R的极坐标为(2,),曲线C的参数方程为(θ为参数)(1)求点R的直角坐标;化曲线C的参数方程为普通方程;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.解:(1)点R的极坐标转化成直角坐标为R(2,2).由消参数θ,得曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设P(cos θ,sin θ)根据题意,得到Q(2,sin θ),则|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,所以矩形PQRS的周长为:2(|PQ|+|QR|)=8-4sin(θ+).由0≤θ<2π知当θ=时,sin(θ+)=1,所以矩形的最小周长为4,点P(,).C:(θ为参数)和直线l:(其中t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)当α=时,求圆上的点到直线l距离的最小值;(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.解:(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α+sin α)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cos α+sin α)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的范围是[,].·河南六市联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得到的曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,得(2x-2)2+y2=4,即(x-1)2+=1,再将所得曲线向左平移1个单位,得曲线C1:x2+=1,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).设曲线C1上任一点P(cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==≥(其中tan =-0,所以点P到直线l的距离的最小值为.·云南曲靖一中等多校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+).倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点.(1)写出直线l的参数方程的标准形式,并求曲线C的直角坐标方程;(2)求+的值.解:(1)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为:(t为参数)化为(t为参数)曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),即ρ2=2ρ×(sin θ+cos θ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x+2y.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的方程为:t2-t-1=0,t1+t2=1,t1t2=-1.所以+=+====.。

2019高考数学(理)一轮复习全套学案

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12，﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。

届高考数学一轮总复习第12章坐标系与参数方程第2节参数方程课件理新人教版

即x＝－1－ 22t，
y＝2＋
2 2t
(t 为参数)，
把它代入抛物线的方程，得 t2＋ 2t－2＝0，
由根与系数的关系得 t1＋t2＝－ 2，t1·t2＝－2，由参数 t 的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝ 10， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.
考点三极坐标、参数方程的综合应用
[即时应用] (2016·大庆模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 经过
点 P12，1，倾斜角 α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，
圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2
2cosθ－π4
.
(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的极坐标方程化为直角
Байду номын сангаас解析
[由题悟法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
2．曲线xy＝＝ssiinn2θθ， (θ 为参数)与直线 y＝x＋2 的交点坐标为 ________．
解析：曲线的直角坐标方程为 y＝x2.将其与直线方程联立得
y＝x2， y＝x＋2，
∴x2－x－2＝0，∴x＝－1 或 x＝2.由 x＝sin θ
知，x＝2 不合题意．∴x＝－1，y＝1，∴交点坐标为(－1,1)．
考点一参数方程和普通方程的互化基础送分型考点——自主练透
[题组练透]

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③错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角,而椭圆的参数方程中的参数表示对应的大圆或小圆半径的旋转角,也就是椭圆的离心角;
④正确.用参数方程解决动点的轨迹问题,若选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同. 答案:②④
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一参数方程与普通方程的互化
解:(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= | 2a | ≤4,
5 解得-2 5 ≤a≤2 5 . 即 a 的范围为[-2 5 ,2 5 ].
反思归纳 (1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:一是准确把握参数形式之间的关系;二是注意参数取值范围对曲线形状的影响. (2)已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.
跟踪训练1:已知曲线C的方程y2=3x2-2x3,设y=tx,t为参数,求曲线C的参数方程.
解:将 y=tx 代入 y2=3x2-2x3,得 t2x2=3x2-2x3,即 2x3=(3-t2)x2.当 x=0 时,y=0;
当 x≠0 时,x= 3 t2 ,从而 y= 3t t3 .
2
2
因为原点(0,0)也满足
①曲线的参数方程中的参数都有实际意义;
②参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的;
③圆的参数方程中的参数θ 与椭圆的参数方程中的参数的几何意义相同;
④普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一.
其中正确的是
.(写出所有正确命题的序号)
解析:①错误.曲线的参数方程中的参数,可以具有物理意义,可以具有几何意义,也可以没有明显的实际意义; ②正确.两方程互化后所表示的曲线相同;
x

y

a cos , bsin
(

为参数)
3.直线的参数方程的标准形式的应用
过点
M0(x0,y0),倾斜角为α
的直线
l
的参数方程是
x

y

x0 t cos, y0 t sin
(t
是参数).
若 M1,M2 是 l 上的两点,其对应参数分别为 t1,t2,则
(1)M1,M2 两点的坐标分别是(x0+t1cos α ,y0+t1sin α ),(x0+t2cos α ,y0+t2sin α ).
2cos , 1 2in
(θ
为参数)与
x

y

t, 2t
(t 为参数)交点
的个数为
.
解析:曲线
x

y
2cos , 1 2in
(θ为参数)的普通方程为
x2+(y-1)2=4,它表示以(0,1)为圆心,以
2
为半径的圆,曲线

x y

t, 2t
(t
为参数)的普通方程为
圆心在原点,半径为 R 的圆椭圆 x2 + y 2 =1(a>b>0)
a2 b2
参数方程
x

y

x0 y0
t cos, t sin
(t
为参数)
x x0 Rcos

y

y0

R
sin
, (θ
为参数)
x Rcos

y

R sin
, (θ 为参数)
x

y
| |
OP OP
| |
cos cos
1 cos 1 sin
cos, sin ,
(θ为参数)
整理得
x cos2 ,

y

sin
cos
(θ为参数).
答案:
x

y

cos2 , sin cos
(θ
为参数)
5.给出下列命题:
,
(θ
为参数)的焦距是(
B
)
(A)3 (B)6
(C)8 (D)10
解析:由曲线
x

y

5cos 4sin
,
(θ为参数),知该曲线为椭圆,且
a=5,b=4,所以
c=
a2 b2 =3,椭圆的焦距为 6,故选 B.
2.(2017·苏州模拟)已知点
P(3,m)在以
F
为焦点的抛物线
x

y

f g
(t), (t),
并且对于 t 的每一个允许值,上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式
为这条曲线的参数方程 ,其中变数 t 称为参变数,简称参数 .
2.直线、圆、椭圆的参数方程
曲线过点 M(x0,y0),倾斜角为α 的直线 l
圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R 的圆
y=2x,它表示一条斜率为
2
且过原点的
一条直线,因原点在圆 x2+(y-1)2=4 内部,故交点个数为 2.
答案:2
4.如图,以过原点的直线的倾斜角θ 为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为 .
解析:方程 x2+y2-x=0 可化为(x- 1 )2+y2= 1 ,圆的直径为 1,
2
2
圆的参数方程为

x y

3t 2
3t 择适当的参数写出直线、圆
1.了解参数方程,了解参数的意义. 和椭圆的参数方程.
知识梳理自测考点专项突破解题规范夯实
知识梳理自测
1.曲线的参数方程
把散落的知识连起来知识梳理
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t
的函数
x

4t
2
,
(t
为参数)
y 4t
上,则|PF|等于( A )
(A)4 (B)3
(C)2 (D)5
解析:由
x

4t
2
,
(t
为参数),得
y2=4x,则焦点
F
为(1,0),准线为
x=-1,故
y 4t
|PF|=3+1=4,故选 A.
3.(2017·北京大兴统测)曲线
x

y

(2)|M1M2|=|t1-t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t,则 t= t1 t2 ,中点 M 到定点 M0 的距离
2
|MM0|=|t|=| t1 t2 |. 2
(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.
双基自测
1.
x

y

5cos 4sin
【例
1】
已知直线
l
的
参数方程为

x y

a 2t, 4t
(t
为参数 ), 圆
C
的参数方程为
x

y

4cos 4sin
,
(θ
为参数).
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;
解:(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0, 圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.