物理竞赛专题十四：近似法
浅析中学物理中一种常见的科学方法-近似处理法
浅析中学物理中常见的科学方法—近似处理法江苏省如皋市丁堰中学张毕生近似处理法作为一种解决个别问题的算法，在中学物理教学中应用较为广泛。
由于它不是物理学科所特有的科学方法，常被不少人所忽视，现就此法在中学物理应用中的广泛发兵和重要性谈一些粗浅认识，敬请各位同仁指教。
一、模型建立和应用中含近似实际物理现象和过程一般都是十分复杂的，物理模型的建立排除了非本质因素的干扰，穿出反映事物的本质特征，从而使物理现象或过程得到简化和理想化。
中学物理涉及的模型常有：质点、单摆、理想气体、点电荷、理想变压器、原子模型等等，这些化模型的建立和应用中无不包含了近似处理的观点。
在建立质点模型时，忽略了研究对象的形状、线度，而抓住了其质量这一本质特征。
这样的近似处理研究问题大大简化。
当然，能否作这样的近似处理是有一定的条件的，即物体本身的形状、线度研究问题无影响或影响不大。
如研究地球的公转，地球可看成质点，但在研究地球自转时则不能作这样的近似处理；足球运动员踢出去的足球的运动轨迹，在旋转程度不大时常可看成质点，而常见的“香蕉球”则不能作这样的近似处理。
另外，实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下可近似地看成理想气体；实际变压器在忽略了其铜损、铁损、磁损时可以看成理想变压器等，这些都合理地运用了近似处理的方法。
在理想模型的应用中能否作近似处理一定要根据其条件把握好其“度”，才能不失其科学性。
二、规律和应用中显近似 物理规律是在实验或假说及数学演绎的基础上建议起来的，与自然规律相比它总是显得不够精细。
物理规律的近似来源于两个方面，首选来源于物理实验仪器的精度限制和实验环境的影响一方面来源于物理实验仪器的精度限制和实验环境蝗影响另一方面来源于对实际物理过程的理想化。
天空自由落体运动时，我们认为物体自由下落时，作初速度为零，加速度为ｇ的匀加速直线运动。
但试想一下，我们如果不断提升物体下落的高度，若我们有足够精密的仪器测量其加速度，它还能作匀加速运动吗？对其受力分析不难得到：ｍｆ－＋ｈ）（＝ｍ－ｆａ＝R M G F （其中：G —重力常数；M —地球质量；R —地球半径；ｈ—物体高度；f —空气阻力；m —物体质量）。
物理解题创新方法之估算(近似)法
√ 一・ × ０光 ， 宇 半 至 为 ４３ １ 年 即 宙的 径 少 ２
４２ ． ３×１ 光 年 ． ０
进行 精 确 的计 算 …… 在 这些 情 况 下 ， 算 就 成 为 一 估 种科学 而 又具有 实用价值 的特 殊计 算方法 ．
经典题 析 ：
（） 逸 速 度 大 于 真 空 中光 速 Ｃ的天 体 叫做 黑 １逃
洞 ， 某 黑 洞 的 质 量 等 于 太 阳 的 质 量 Ｍ 一 １ ９ 设 ．８ ｘ
法等 ； 学方 法 ， 数 如估 算方 法 、 函数 应 用等． 本刊 特邀 一 线名 师讲 解“ 理 解题 方 法” 物 ， 每期 一 个方法 ， 个 方法分“ 法简介 、 每 方 经典题析 、 法指 点 、 学 用法操 练 ” 四个板 块 ， 以 新课 程标 准 为要 求， 以课 改 、 改 精神 为主 导 ， 考 以轻松 学 习为 目的 ， 思路 新 ， 题 精 ， 选
１ ｋ ／ ， 果 认为 我 们 的 宇宙 是 这样 一个 均 匀 ０ ｇ ｍ。 如 大 球体 ， 其密 度 使 得 它 的 逃 逸 速 度 大 于 光 在 真 空 中
ｌ Ｎ ・ ｎ ／ ｇ ， Ｏ ｒ ｋ 由此可 以估 算 出该 行 星 的平 均 密
度为 （ ） ．
Ａ． ． １ ８×１ 。ｋ ／ ０ ｇ ｍ。 Ｂ ５ ６ １ 。ｋ ／ ． ． × ０ ｇ ｍ。 Ｃ． ． × １ ｋ ／ １ １ ０ ｇ ｍ。
１ 如ｋ ， 它 的可能最 大半 径． Ｏ ｇ求
（ ） 目前 天 文 观 测 范 围 内 ， 质 （Ｏ ９・ 国 理 综 Ｉ） 文 学 家 新 发 现 了 ２０ 全 天 太 阳系外 的一颗 行星． 颗行 星 的体 积是 地球 的 ４ ７ 这 ．
用近似处理法分析解答物理问题
球心 Ｃ 的光线 Ｐ 通 过顶点 ０， 向不 变 ， 入空气 Ｏ， 方 进
中 ； Ｐ 发 出 的与 Ｐ 成 ａ角 的 另 一 光线 Ｐ 在 Ａ 处 由 Ｏ Ａ 折 射 ， 入 射 角 为 ｉ折 射 角 为 ｒ半 径 Ｃ 与 Ｐ 的夹 其 ， ， Ａ Ｏ 角 为 ０ 由折 射定 律 和 几何 关 系 易 知 ，
利 用 数 学 中 的 近 似 公 式 ， 简 化 物 理 研 究 的 过 可 程 ， 时也 可 以减 少 计 算 的 复 杂 程 度 ． 同 中学 物 理 中 常 用的近似公式主要有 ： ｌ ｌ 小时 ， 当 很
（ ）ａ ≈ ｓｒ ≈ ；２ （ １ ｔｎｒ ｉ ｒ Ｌ （ ） １土 －） ≈ １ ｒ ± ； ３ （ （ ）１
素， 进行近似处理． 善于对 实际 问题进行 合 理的 近似
处 理 ， 化 物 理 过 程 ， 到 简 明 的解 决 问题 的 方 法 ， 简 找 是
科 学素质和综合 能力 的体 现． 历年 的中学生物理 竞赛
试题 ， 比较 注 重 对 学 生 近 似 处 理 能 力 的 考 查 ． 文 都 本
ｌ ｉｉ ｎ ｉ ｒ 一 ｉ ａ ｎ＝ ｏ ｎ ， ｓ ｓ ＋ ．
【 １ 有 一 种 高脚酒 杯 ， 图 １ 例 】 如 所 示 ． 内底 面 为 一 凸 起 的 球 面 ， 心 杯 球
在顶点 ０下方玻 璃中的 ｃ点 ， 球面 的半
径 ｒ １５ ｍ， 到 杯 口平 面 的 距 离 为 一 ．０ｃ ０ ８ ０ｃ ． 杯 脚 底 中心 处 Ｐ 点 紧 贴 一 张 ． ｎ 在 ｒ 画 片 ， 点 距 ０ 点 ６ ３ｃ ． 种 酒 杯 未 Ｐ ． ｒ 这 ｎ 斟酒 时 ， 在 杯 口处 向杯底 方 向观 看 ， 若 看 不 出 画 片 上 的 景 物 ， 如 果 斟 满 了 但 酒 ， 在 杯 口处 向 杯 底 方 向 观 看 ， 看 再 将
物理竞赛——小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的。
这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有θθ=sin ，1cos =θ；在研究一个普通量时，可以忽略小量。
一、欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：μθe F F 12=，其中F 1代表我们所用的力，F 2代表我们所要对抗的力，e 代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。
若取2.0=μ，πθ12=，则2000188112≈=F F 。
所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。
下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧l ∆为研究对象，受力分析如图所示，F 和F F ∆+为小弧两端所受张力，N F 为柱体对绳的压力，f 为静摩擦力。
根据平衡方程，得：()2sin2sinθθ∆∆++∆=F F F F N （1） ()f F F F +∆=∆∆+2cos 2cos θθ （2）临界情况N F f μ= （3）θ∆很小，有22sin θθ∆=∆，12cos =∆θ所以 θ∆=F F Nf F =∆即 θμ∆=∆F F 或θμ∆=∆FF两边求和θμ∆∑=∆∑FFθμ∑∆=∑∆F lnμθ=-12ln ln F F或 μθ=12lnF F 故 μθeF F 12=即两张力之比按包角呈指数变化。
儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。
不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。
他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟。
结构力学专题十四(近似法求自振频率)
T(t)
1 2
m2Y 2(x)
cos 2 (
t
)dx
Tmax
1 2
2
mY
2
(x)dx
U(t)
EI 2
Y ( x)2
sin 2 (
t
)dx
Umax
EI 2
Y ( x)2dx
2
EI Y ( x)2 dx mY ( x)2 dx
m, EI
l
13.54(1/ s)
精确解 1 13.36(1/ s) 误差 1.35%
（四）、位移曲线的确定
（2）只有均布质量时
位移曲线Y (x)由荷载q mg产生;
动能 :
Tmax
1 2
m[Y (x)]2 2dx
应变能(荷载作功) :
U max
1 2
mgY (x)dx
2
mgY ( x)dx
（三）、分布质量与集中质量同时存在
设: y(t, x) Y(x)sin( t )
T(t)
1 2
m2Y 2 (x) cos2 ( t )dx
n
1 2
2
miYi2 cos2 ( t )
i 1
Tm a x
1 2
2
mY
2 ( x)dx
1 2
2
n
miYi
2
i 1
U(t)
EI 2
Y ( x)2
mY 2 ( x)dx
例3：用能量法求图示体系的频率。
设y(x)由q mg产生
m, EI
l
Y ( x)
1 24EI
mg(x4
2Lx3
高二物理竞赛课件：近似方法
解析解基态能量： 波函数：无微扰 有微扰时：
与二阶微扰结果一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ！
(H0 V ) n() En n()
或简单写成： H n (H0 V ) n En n
λ~[0,1]. λ=1是真正要求的微扰问题。引入λ可了解微 扰作用的特点，且使我们能通过比较λ不同幂次的系 数而方便地求得微扰展开序列。当然，这意味着本征 态与本征值在λ的复平面上，对应于λ =0附近是解析 连续的。此外，如果微扰法在实用上可行，则要求取 少数几项展开便应是较好的近似。
一、两能态问题 先讨论两能态严格解的的级数展开特点
严格解：
若 则有
(微扰小于能级差的一半)，
注：1)在
时级数才能快速收敛
2）能级不因微扰而交叉
3）并非微扰足够小便能级数展开,还需满足收敛条件
二、微扰理论 记 可见 定义
有 和 可解得：
，有
因 取 有相应解
利用
（|n>暂不归一化
近似方法
近似方法
大部分量子力学问题需用近似方法及数值解法. 数值解常比解析近似精确,解析性更有助于理解 基本物理.
§5.1 不含时微扰理论：非简并情况
已知：H0 n(0) En0 n(0) , 求 H n (H0 V ) n En n 的近似解 V为微扰势。
非简并定态微扰理论的起点通常是：
得：
求解精确至N阶的能量修正， 只需精确至N-1阶的态矢修正
本征矢方程为： 比较解得：
3n n(0) V n(2)
归纳得解：
这里 微扰使不同未微扰态有所混合，但混入部分不含|n0>
能级不因Vij而交叉
三、微扰态矢的归一化
记
由于<n(0)|n>=1,
合理运用近似法——以一道物理竞赛题为例
合 理地 运 用 近似法 ， 能 够使 所 研 究 的问 题 大 大
地 简 化． 但 近 似法 也不 能滥 用 ， 不适 当地 运 用近 似法
提示： 当半 径为 Ｒ， 长 度 为 ｌ的一 段 圆弧 导 线通
有 电流 Ｊ时 ， 圆弧 电流 在 圆心处 产 生 的磁感 应 强 度
丁，
不 仅不 能 突 出问题 的 主要 方 面 ， 反 而会 使 物 理 问题
Ｂ
１
（ ７）
￡ 一 ‘ 一 Ａ 一
ｔ
Ａｔ
（ １ ６）
Ｂ 方 向竖 直 向上 ， Ｂ 方 向竖直 向下 ．
由式 （ ４ ）～ （ ７ ）可 知整 个 大 圆环 电 流在 圆心 处 产 生 的磁感 应 强度 为
Ｂ。一 Ｂ２一 Ｂｌ一 ０ （ ８）
生 的磁场 均 可视 为 匀 强 磁场 ． 试 求 在 上 述 滑 动 过 程 中通 过小 圆环导 线横 截 面 的电荷 量．
流， 方 向如 图 ２ 所示 ， 以 欧 姆定 律有
表示 ， ｂ 两 端 的电压 ， 由
Ｕｓ ｌ ＝ Ｊ 】 Ｚ 】
（ ４ ）
作者简 介： 李小 丽（ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 女， 在读研究生 ， 课 程 与教 学 论 专 业 ， 研 究 方 向为 中学 物 理 敖胜美 （ １ ９ ５ ９一 ） ， 女， 博士 ， 教授 ， 主 要 从 事 电磁 学 教 学 及 研 究 ．
经为 Ｒ ， 小 圆环 表 面 绝 缘 半经为 Ｒ （ Ｒ 《 Ｒ ） ． 两 圆
＋
×
的感 应 电动势 为
￡一 ＢＬ （ １ ）
ｌ ｘ
×
一
环 导 线 每 单 位 长 度 电 阻 均
合理运用近似法——以道物理竞赛题为例(一)
合理运用近似法——以道物理竞赛题为例(一)合理运用近似法——以道物理竞赛题为例道物理竞赛是一项能够提高学生物理素养的比赛，在其中，我们需要灵活运用物理知识来解决一些复杂的问题，其中使用近似法可以起到很好的帮助作用。
本文将通过讲解竞赛中的两个小例子来说明合理运用近似法的重要性。
一、近似法在分析锐角三角形中的应用在某一道道物理竞赛的题目中，我们需要使用近似法来计算一个锐角三角形的边长。
如果使用传统的正弦公式等方法，将会让计算过程倍感复杂。
而使用近似法，我们可以通过以下方法进行计算。
首先，我们可以将该锐角三角形的一个角度近似为 37 度。
这样，锐角三角形的另一个角度就是 53 度。
接着，我们可以通过三角函数表，找到角度为 37 度和 53 度的正弦值。
根据正弦值的比值，我们可以得出该锐角三角形的两条边的比例。
最后，通过已知一条边的长度，就可以求出另一条边的长度了。
通过这样的近似计算，虽然得到的结果可能不是非常精确，但是在竞赛的时间限制下，我们可以省去计算复杂正弦公式的时间，使计算变得更加简单、快捷。
二、近似法在求解电路中的应用在电学竞赛中的一道让学生出手即是最好的题目，就是让我们用多用电器对电路进行模拟，找到其中的一些关键的参数，例如电流强度、电压大小等。
在电路极其复杂的情况下，我们可以使用近似法，高效地解决问题。
例如，我们需要求解一个电路的电压值，我们可以将多个电路元件的值看做近似。
在求取电压的时候，我们可以把所有的元件看作为理想电阻，再把它们串联起来来计算。
虽然这种计算方法的精确度可能不如实际电路的数据，但是其计算速度快、精度足够、易于理解。
结语在道物理竞赛中，合理地运用近似法可以得到很好的应用。
它不仅可以极大地提升竞赛的时间效率，同时也可以提高我们的解决问题的能力。
在实际生活中，我们同样可以通过这样的近似法，来解决一些棘手的问题，提高我们的生活质量。
因此我们需要在平时就加强该方法的学习，最终把它真正运用到我们的日常生活当中。
幂级数应用于物理竞赛中的近似计算
幂级数应用于物理竞赛中的近似计算幂级数是一种重要的数学工具，它在物理竞赛中被广泛应用于近似
计算。
以下是幂级数在物理学竞赛中的几个应用：
一、光学求解
幂级数在光学中的应用非常广泛。
一些复杂的光学问题可以通过幂级
数的展开来近似解决。
例如，波导光纤的色散可以用幂级数展开来求解，获得更准确的数据和计算结果。
此外，幂级数还可以用于计算光
线的传播路径、折射和反射等问题。
二、热力学计算
幂级数也被广泛应用于热力学中的计算，例如计算气体的热容和内能。
这些计算通常需要通过幂级数展开来进行近似计算。
通过计算幂级数
的前几项，可以获得可靠的近似值。
三、量子力学计算
在量子力学中，幂级数也被广泛应用。
例如，在量子力学的微扰理论中，幂级数可以用于计算微扰对量子态的影响。
此外，在矩阵力学中，幂级数也可以用于计算能量的预测值。
四、电学计算
在电学中，幂级数主要用于电磁场的计算。
通过幂级数展开，我们可以计算电磁场的位势和磁势。
此外，幂级数也可以用于电容、电感和电阻等电学元件的计算。
五、粒子物理计算
幂级数在粒子物理中也有重要应用。
例如，幂级数可以用于计算质子的磁矩和电矩。
此外，幂级数还可以用于计算原子核的结构和性质。
总结
幂级数是物理学竞赛中重要的数学工具，它可以用于解决各种物理学问题。
通过幂级数的展开和计算，我们可以获得更准确的数据和计算结果。
在物理学竞赛中，熟练掌握幂级数的应用和计算方法，可以有效地提高竞赛成绩。
物理竞赛——小量近似方法应用两则
× × × × × × × × × B
× × × × × × × × ×
× × × × × × × × ×
图1
原解 当小球水平向右做匀速直线运动时，受力平衡
由动能定理
解以上两式得
分析 由以下分析可以看出，这个解法是错误的。
小球刚进入磁场时初速度为零，在重力与洛伦兹力的共同作用下做曲线运动；当小球运动方向水平时，竖直方向速度为零，小球在这一运动过程中的其他任一位置竖直分速度均不为零；所以小球在竖直方向上的分运动经历了由加速再到减速的过程，小球运动方向水平时仍有向上的加速度，之后运动轨迹向上偏转。因此，小球不可能做水平方向的匀速直线运动。
在匀加速上升的升降机里，人站在测力计上，观察可知测力计的示数大于人所受到的重力G。测力计显示的为人对测力计的压力F'，根据牛顿第三定律可知测力计对人的弹力 。若以升降机为参考系，则人处于平衡状态。而由作出人的受力示意图可知，人受到重力G与测力计对人的支持力F作用，但二力的合力并不为零，可见在相对于地面做匀加速运动的升降机里，牛顿运动定律不再成立。
由于，任意形状的线圈总可看成是由许多小段的弧线组合而成的，所以证明了圆形线圈的情况，也就可以进一步推广到线圈为任意形状的情况了。再以等边三角形线圈情况为例作一证明：如图6所示，边长为l的等边三角形线圈，以角速度ω在磁感应强度为B的匀强磁场中绕轴OO′作匀速转动，在图6所示位置产生的感应电动势最大。此时ac(或ab)上各点处速度各不相等，ac(或ab)上每一点处速度大小与此点到轴线的距离成正比，即 ，显然ac(或ab)上各点速度大小成线性关系变化，所以可以求得平均速度大小 ，又因此时ac与磁感强度方向有交角 ，所以线圈中最大感应电动势为：
浅谈近似法在高中物理中的应用
浅谈近似法在高中物理中的应用李建立浙江省象山县石浦中学高中阶段，由于受到学生认知结构和数学水平的限制，很多的物理问题均要做近似处理后方可被学生接受。
因而常常用到近似法，所谓近似法是指在研究物理问题时，忽略问题的次要因素，抓住问题的主要因素，采用近似处理的手段简化求解的过程。
在高中阶段，近似法是学生学习和处理物理问题时最常用的一种方法。
一近似法在物理模型构建中的应用解决物理问题，无不联系着一定的物理模型，对这些模型的数字描述，不可能也没必要追求“精确”，可以运用近似处理的方法，通过简化的运算和描述来反映基本的物理特征，即要用理想条件下的模型代替实际研究对象，从而使得研究的过程和方法得以简化，在高中阶段学生常见的模型有：1．研究对象的模型化研究某一具体的物理过程时，首先要选择研究对象，而现实世界中物体的形状千奇百怪，当我们研究它们时，必须排除它们的次要因素，从实际情况中把物体抽象出来，如单摆、光线、质点、点电荷、光滑平面、轻质弹簧、理想变压器、点光源、电场线、磁感线等。
2．研究条件的模型化将研究对象抽象后，接下来要分析物体的运动过程，而影响物体运动的因素有很多，所以仍要将一些次要因素予以排除，如：绝对光滑、匀强电场、空气阻力不计等。
当然很多的条件模型要分清适应的场所，如带电粒子在电场运动中重力是否可忽略不计，要看具体情况。
3．运动过程的模型化做好以上两点后，接下来应具体分析物体的运动过程。
很多的物理过程均比较复杂，因此要对相关的过程加以分解，利用熟悉的物理情景和掌握的数学方法加以处理。
如匀速直线运动、匀变速直线运动、匀速圆周运动等。
例1，光滑水平面AB长l＝0.134m，与光滑的圆弧轨道BC相连，图1所示BC所对圆心角为，圆弧半径R＝1m，在C处有一质量为m1的小球甲由静止下滑，滑至B点与质量为m2的静止小球乙正碰，碰撞后甲球以原来速率的反向弹回，乙球滑至A点与挡板弹性碰撞（动能不变），要使甲乙两球再次相遇于B点，则两球的质量之比应为多少？解析：要使甲乙两球经碰撞以后再次在B点相遇，应求得碰撞后甲球往返所需时间，而甲球在圆弧上运动的时间是很难用运动学知识得到的。
14.近似法
十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬 以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处， 猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速 度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变， 故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r ra ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度 的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加 速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度 =a R22υ其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，R=L 2υ/1υ所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？图14—1图14—2—甲解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率. 设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有 L ∆=θcos x ∆ 两边同除以t ∆得：θcos txt L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船=因此船的速率为θυυcos =船例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈， 以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张 力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ∆=∆；因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m代入上式得绳中的张力为πω22Rm T =例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道 ABC ，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到 端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自 由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨 道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由图14—3图—14—3—甲若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值. 解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为 1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间 记为1T ，再从B 到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5， 由此能得1T 与2T 的关系.因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.m ax t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.35121T T T =+2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联：αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ，即得：.37cot 111max T T T t =+=α这样:max t min t =7:5例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧， 它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端 点A 、B 固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状 态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A 、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？ 解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）. 以AB 中点为原点，过中点且垂直于AB 的直线为x 轴，如图14—5—甲所示，取x 轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：θsin )(20l l k F x --= ①其中k 为弹簧的劲度系数，0l 为弹簧的自由长度，l 为弹簧伸长后的长度，θ为弹簧伸长后与AB 直线的夹角.由几何知识可得 lx=θsin ② 220x l l += ③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2l kxx l x k x x l l k F x -=---=+--== 由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动. 例6 三根长度均为m 2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动. 解析 松鼠在AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道 给它的水平力F ′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F 作用， 设在某一时刻，松鼠离杆AB 的中点O 的距离为x ，如图14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 为松鼠的质量.以C 点为轴，要使框架平衡，必须满足 条件FL FL mgx 2360sin =︒=，松鼠对AB 杆的水平力为 )3/(2L mgx F =，式中L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB 的作用力为F ′，由牛顿第三定律可知F ′=F ，即kx L mgx F =-=')3/(2其中Lm k 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力F ′作用下的运动应是以O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322s g L kmT ===ππ当松鼠运动到杆AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m. 由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB 上的运动是以AB 的中点O 为平衡位置，振幅不大于1m 、周期为2.64s 的简谐运动. 例7 在一个横截面面积为S 的密闭容器中，有一个质量 为m 的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩 擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p ，体积分别 是V 1和V 2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平 衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动. 容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p 、V 1、V 2、m 和S 表示；（2）求气体温度0=t ℃时的周期τ与气体温度τ'=30℃时的周期τ'之比值. 解析 （1）活塞处于平衡时的位置O 为坐标原点.0=x 当活塞运动到右边距O 点x 处时，左边气体的体积由V 1变为V 1+Sx ，右边气体的体积由V 2变为V 2Sx -，设此时两边气体的压强分别为1p 和2p ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pV Sx V p pV Sx V p =-=+而以上两式解出：)1(2,)1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+=①按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11x V S p p -≈ )1(22x V S p p +≈，于是活塞受的合力为.)11()(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的运动方程是x V V V V pS x V V pS ma 21212212)11(+-=+-=其中a 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221V V pS V mV +=πτ （2）设温度为t 时，周期为τ，温度为t '时，周期为τ'.由于T p T p ''=，得出 T T T T V V pS V mV V V S p V mV '='⋅+=+'='τππτ)(2)(22122121221 所以TT '='ττ，将数值代入得95.0:='ττ例8 如图14—8所示，在边长为a 的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电量为Q 的正点电荷，在其中 三条中线的交点O 上放置一个质量为m ，电量为q 的带正 电质点，O 点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某 一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求 其振动周期.解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明 该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复 力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键 是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表 达式.以O 为坐标原点，以AOD 中线为坐标x 轴，如图 14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x ，A 处Q 对其作用力为1F ，B 、C 处两个Q 对其作用的合力为2F ，取x 轴方向为正方向. 有2221)1()(---=--=r x r kQq x r kQq F因为a OC OB OA r 33==== ++=--r xr x 21)1(2当x 很小时可忽略高次项所以)361(321ax a Qq k F +-= 232222222])()2)[((2))()2()()2((2-+++=+++⋅++=x h ax h kQq x h ax h x h akQq F2322)24)((2-+++=hx h a x h kQq （略去2x 项）232)333)((2-++=ax a x h kQq23232)31()3)((2--++=x a a x h kQq)3231(363x a a x h kQq-+=)233(363x hx a h aQq k+-= （略去2x 项） )2331(363h x x a h a Qq k+-=)231(33x a aQq k+= 因此带电质点所受合力为qx a Qk x a ax q a Q kF F F x 3221239)2336(3-=--=+=由此可知，合外力x F 与x 大小成正比，方向相反.即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqama k m T 32322ππ== 例9 欲测电阻R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与 电流计并联的电阻r 为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二 次r 为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r 为10.00Ω， 同时将待测电阻R 换成一个20.00k Ω的标准电阻，结果电流计的 示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻 R 的阻值.解析 在测试中，除待求量R 外，电源电动势E ，电源内阻r ，电流计内阻g R 以及电流计每偏转一格的电流0I ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解.设电源电动势为E ，电流计内阻为g R ，电流计每偏转一格的电流为0I ，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：09.3150505050I R R R r R R R E gg g g g =⋅+⋅+++ 02.51100100100100I R R R r R R R Egggg g =⋅+⋅+++ 08.711010200001010I R R R rR R Eggggg =⋅+⋅+++ 从第三次测量数据可知，当用20k Ω电阻取代R ，而且r 阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R 的阻值明显大于20k Ω，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R 相比，电流计内阻g R 与r 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：09.35050I R R E g=+⋅ ①02.5100100I R R E g=+⋅ ②图14—908.7101020000I R E g=+⋅ ③待测电阻R=120k Ω解①、②、③三式，可得g R =50Ω例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷 A 、B 带电量均为Q ，固定放在x 轴上的两处，离原 点都等于r .若在原点O 放另一正点电荷P ，其带电量 为q ，质量为m ，限制P 在哪些方向上运动时，它在 原点O 才是稳定的？解析 设y 轴与x 轴的夹角为θ，正电点电荷P 在原点沿y 轴方向有微小的位移s 时，A 、B 两处的点电荷对P 的库仑力分别为A F 、B F ，方向如图14—10所示，P 所受的库仑力在y 轴上的分量为βαcos cos B A y F F F -= ①根据库仑定律和余弦定理得θcos 222rs s r kqQF A ++=② θcos 222rs s r kqQF B +-=③θθαcos 2cos cos 22rs s r s r +++=④θθβcos 2cos cos 22rs s r s r ++-=⑤将②、③、④、⑤式代入①得：23222322)cos 2()cos ()cos 2()cos (θθθθrs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+--+++=因为s 很小，忽略2s 得：])cos 21(cos )cos 21(cos [23233θθθθrssr rss r r kqQF y ---++=又因为1cos 2,<≤θrsr s所以利用近似计算x x 231)1(23≈±-得图14—10)]cos 31)(cos ()cos 31)(cos [(3θθθθr ss r r s s r r kqQ F y +--++≈忽略2s 得)1cos 3(23--=θrkqQs F y当（0)1cos 32>-θ时y F 具有恢复线性形式，所以在31cos 2>θ范围内，P 可围绕原点做微小振动，所以P 在原点处是稳定的. 例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看， 水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ） 解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源， 在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线， 由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光 线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小， 进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深.由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因irn sin sin = 所以视深n h h /='针对训练1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U 形管压强 计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度 为5.7=ρ×102kg/m 3的液体.开始时左、右两气室的体积都为 V 0=1.2×10－2m 3，气压都为0.40=ρ×103Pa ，且液体的液面处在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在 U 形管中的高度差h =40cm.求此时左、右气室的体积V 1、V 2.假 定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U 形管和连接管道中气体的体积.取g =10m/s 2.2．一汽缸的初始体积为V 0，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡 时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的 水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加 倍，试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电.当海水下降时，阀门S 1关闭，S 2打开，设每次吸入压强为1.0×106Pa 、温度为7℃的空气0.233m 3（空气可视为理想气体），当海上升时，S 2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105Pa 时，阀门S 1才打开.S 1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S 1后，活塞附近的压强近似保持不 变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知 空气从压强为1ρ、体积为V 1的状态绝热的改变到压强为2ρ、体积为V 2的状态过程中， 近似遵循关系式1ρ/2ρ=（V 2/V 1）5/3，1mol 理想气体温度升高1K 时，内能改变为 3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]4．如图14—14所示，在O x 轴的坐标原点O 处，有一固定的电量为)0(>Q Q 的点电荷，在L x -=处，有一固定的、电量为Q 2-的点电荷，今有一正试探电荷q 放在x 轴上0>x 的位置，并设斥力为正，引力为负.（1）当q 的位置限制在O x 轴上变化时，求q 的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；（2）试定性地画出试探电荷q 所受的合力F 与q 在O x 轴上的位置x 的关系图线.5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条 鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.6．如图14—16所示，天空中有一小鸟B ，距水面高m h 31=，其正下方距水面深m h 42=处 的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看 到鸟距离自己又是多远？图14—13图14—14参考答案十一、图象法1．A 2．A 、D 3．C4．5．21t t > 6．乙图中小球先到底端 7．)21(2-+=n n n sa v B =)13(n as - 8．13.64s9．2:1 10．D 11．FG f F gfs v f f F g sFG t m )(2)(2-=-=十二、类比法1．223/32Gt LR 2．2222)(R a aR kQ - 3．22222)()(R a aR kQ a q Q a R kQ --+ 4．F C AB μ9.2= 5．F C AB μ6=6．（1）C C 215-=' （2）C C '=总 （3）C C 215-=' 7．])([)(2tf f t H t H L N --+∆=λ（注：将“两块半透镜移开一小段距离”后加“L ∆”.在“f t > 处放置一个”与“单色点光源”之间加“波长为λ的”.）8．（1）m a 3105.0-⨯= （2）m d 4=十三、降维法1．0.288×103N ≤F ≤0.577×103N 2．(1)7.2N （2）0.8m/s 23．5N 沿斜面指向右上方水平方向的夹角为53 °4．2R R AB =5．R R AB 94= 6．（1）r R AG 65= （2）r R AD 127=十四、近似法1．V 1=0.8×10－2m 3 ，V 2=1.6×10－2m 3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的 （2）5．应在鱼的右上方6．6m ，8m。
物理解题中的近似方法
作者： 贾克钧
作者机构： 江苏苏州市28中学
出版物刊名： 物理教师
页码： 34-36页
主题词： 物理解 物理现象 物理模型 物理竞赛 实验器材 次要因素 计算技巧 比较测量 中学物理 高考试题
摘要： 由于自然因素的复杂多样性,一个物理问题的结果往往受到诸多因素的影响。
近似方法、或称近似处理方法的实质就是摒弃那些次要因素,从而揭示和突出物理现象的本质。
虽属近似,但由于抓住了事物的本质属性,其结果仍不失真实性和科学性。
近似方法,不仅仅是一种有效的计算技巧,而且是一种重要的研究物理问题的方法。
它在物理模型的确定,物理实验的设计,实验器材的选用以及物理解题中有着广泛的应用。
纵览近几年的物理竞赛及高考试题,愈来愈多的注重考生这方面能力的考察。
现分析数例,以飨读者。
一、比较测量数据,忽略次要因素。
高二物理竞赛课件：定态问题的常用近似方法
4
k
( 0 ) n
cii , 1,2,, k
i 1
相应的一级近似能量为
En
E
(0) n
E (1) n
如果
E
(1) n
有重根，则某个能态仍是简并的，相应
的0级近似波函数仍不能确定。
因而求解一级近似能量和0级近似波函数的关键 仍是求 Hˆ ' 在简并态 i (i 1,2,, k) 中的矩阵元
H 'k1
H '12 H '22 En(1)
H 'k2
H '1k c1
H
H '2k
'k
k
E (1) n
c2
ck
0
由久期方程可得E
(1) n
E (1) n1
,
E
(1) n2
,,
E
(1) nk
，并分别代入
上式可得一组系数{ci ()} 从而给出
E (1) n
(
1,2,, k)
所对应的0级近似波函数：
E (0) 1
E (0) 3
E (0) 1
| a |2
E (0) 1
E (0) 3
E2
E (0) 2
H '22
| H '12 |2
E (0) 2
E (0) 1
| H '32 |2
E (0) 2
E (0) 3
E (0) 2
| b |2
E (0) 2
E (0) 3
E3
E (0) 3
H '33
| H '13 |2
E1(0)
1
高二物理竞赛课件：量子力学之Born近似
2
0 1
1 0
；Sˆ
y
2
0 i
i 0
；Sˆ z
2
1 0
01
相应的Pauli 矩阵表示(Pauli 表象)为：
ˆ x
0 1
1 0
；ˆ
y
0 i
i 0
；ˆ z
1 0
01
它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志了电
子还有一个新自由度。
3.电子自旋值是 ， 而不是 的整数倍。 2
4.电子自旋的回转磁比率的定义：Msz e
Sz
e
轨道运动的回转磁比率定义为：M Lz e
Lz
2 e
可见：自旋回转磁比率等于轨道运动回转磁比率的两倍。
自旋函数是 21的矩阵，而自旋算符是作用在自旋函数上的，
U0 E
)1/
2
]
，
当粒子能量很高时， E U 0 ，则
(1 U 0 )1/ 2 1 U 0 ，
E
2E
则
ka(1 U 0 )1/ 2 ka kaU0
E
2E
kctg(ka
0
)
kctg[ka
kaU0 2E
]
，
0
kaU0 2E
1。
（ 0 1 U(r) 得影响很小 把U(r) 作为微扰越合理 微扰
法算的结果越准确 玻恩近似法越合用。） E 2k 2 k v ，速度大能量就高。（对势阱的情况就不讲了）
2 2
7
举例 对
粒子的高能散射：
把U (r) ZZ 'es2 er / a 代入微分散
r
射截面有
q(
)
4 2
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37届物理竞赛预赛第14题另一解法
37届物理竞赛预赛第14题另一解法在解决问题时，有时候会有多种方法和角度来思考。
在37届物理竞赛预赛的第14题中，也存在另一种解法，让我们一起来了解一下。
该题目要求计算一个质量为m的金属球在单位质量条件下，从高度为H自由落下与水面发生碰撞后的速度v。
我们可以使用能量的观点来解决这个问题。
当金属球自由落下与水面发生碰撞时，能量守恒，可以得到以下方程式：mgh = (m + m')gh' + (m + m' - m)·v²/2其中，m为金属球的质量，g为重力加速度，h为金属球的高度，m'为水的质量，h'为水的水平方向的速度，v为金属球与水面碰撞后的速度。
我们可以注意到，题目中明确指出质量为单位质量，即m = 1。
因此，上述方程可以简化为以下形式：gh = (1 + m')gh' + m'·(v²/2)我们可以进一步处理上述方程，整理之后得到以下方程：m'·(v²/2) = (1 + m')·(gh - gh')接下来，我们可以将上述方程进行化简，及得到v² = 2(1 + m')·(gh - gh')/m'继续简化：v² = 2(gh - gh') + 2ghv² = 2gh - 2gh' + 2ghv² = 4gh - 2gh'最后，我们可以得到以下公式：v = √(4gh - 2gh')通过这个公式，我们就可以方便地计算出金属球自由落下与水面发生碰撞后的速度v。
通过另一种角度的思考，我们不仅可以解决问题，还可以更好地理解物理原理与概念。
在解题过程中，我们应该多角度思考，跳出固定的思维模式，寻找更多的解法与灵感。
总结来说，37届物理竞赛预赛第14题，我们可以使用能量的观点进行解答。
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高中奥林匹克物理竞赛解题方法十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度1υ沿着直线AB 逃跑，一只猎犬 以不变的速率2υ追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处， 猎犬在D 处，FD ⊥AB ，且FD=L ，如图14—1所示，求猎犬的加速 度的大小. 解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变， 故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度r ra ,22υ=为猎犬所在处的曲率半径，因为r 不断变化，故猎犬的加速度 的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D 处的加 速度大小，由于2υ大小不变，如果求出D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了. 猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t ∆内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，则加速度 =a R22υ其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t ∆时间内，设狐狸与猎犬分别 到达D F ''与，猎犬的速度方向转过的角度为=α2υt ∆/R而狐狸跑过的距离是：1υt ∆≈L α 因而2υt ∆/R ≈1υt ∆/L ，R=L 2υ/1υ图14—1图14—2—甲所以猎犬的加速度大小为=a R22υ=1υ2υ/L例2 如图14—2所示，岸高为h ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率. 设船在θ角位置经t ∆时间向左行驶x ∆距离，滑轮右侧的绳长缩短L ∆，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有 L ∆=θcos x ∆ 两边同除以t ∆得：θcos txt L ∆∆=∆∆，即收绳速率θυυcos 船=因此船的速率为θυυcos =船例3 如图14—3所示，半径为R ，质量为m 的圆形绳圈， 以角速率ω绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张 力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角θ∆很小时，有近似关系式.sin θθ∆≈∆若取绳圈上很短的一小段绳AB=L ∆为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为θ∆，这段绳两端所受的张力分别为A T 和B T （方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以A T 和B T 的大小相等，均等于T . A T 和B T 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ∆，根据牛顿第二定律有：R m T 22sin 2ωθ∆=∆；因为L ∆段很短，它所对应的圆心角θ∆很小所以22sin θθ∆=∆将此近似关系和πθπθ22∆=⋅∆⋅=∆m R m R m代入上式得绳中的张力为πω22Rm T =图14—2 图14—2—甲图14—3图—14—3—甲例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道 ABC ，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到 端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止出发自 由地经两直角边轨道滑到端点C 处所需的时间.这里假设铅垂轨 道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有极小的圆弧，可确保小 球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A 点出发到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析 直角三角形AB 、BC 、CA 三边的长分别记为 1l 、2l 、3l ，如图14—4—甲所示，小球从A 到B 的时间 记为1T ，再从B 到C 的时间为2T ，而从A 直接沿斜边到C所经历的时间记为3T ，由题意知321T T T =+，可得1l ：2l ：3l =3：4：5， 由此能得1T 与2T 的关系.因为21121121T gT l gT l ==所以21212T T l l = 因为1l ：2l =3：4，所以 1232T T =小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11T t =，经各水平段所需时间之和记为2t ，则从A 到C 所经时间总和为21t T t +=，最短的2t 对应t 的下限min t ，最长的2t 对应t 的上限.max t小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC 重合）时2t 最短，其值即为2T ，故min t =.35121T T T =+2t 的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l ∆，便接一段水平小量2l ∆，这两个小量之间恒有αcot 12l l ∆=∆，角α即为∠ACB ，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l ∆、2l ∆均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1i t ∆与)(2i t ∆之间有如下关联：αcot )()(1212=∆∆=∆∆l l i t i t于是作为)(2i t ∆之和的2t 上限与作为)(1i t ∆之和的1T 之比也为.cot α故2t 的上限必为1T αcot ，即得：.37cot 111max T T T t =+=α这样:max t min t =7:5例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧， 它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端 点A 、B 固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状 态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于A 、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？ 解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）. 以AB 中点为原点，过中点且垂直于AB 的直线为x 轴，如图14—5—甲所示，取x 轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：θsin )(20l l k F x --= ①其中k 为弹簧的劲度系数，0l 为弹簧的自由长度，l 为弹簧伸长后的长度，θ为弹簧伸长后与AB 直线的夹角.由几何知识可得 lx=θsin ② 220x l l += ③将②、③代入①式得：203202212200)]211(1[2])(1[2l kxx l x k x x l l k F x -=---=+--==由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动. 例6 三根长度均为m 2，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动. 解析 松鼠在AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道 给它的水平力F ′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F 作用， 设在某一时刻，松鼠离杆AB 的中点O 的距离为x ，如图 14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 为松鼠的质量.以C 点为轴，要使框架平衡，必须满足 条件FL FL mgx 2360sin =︒=，松鼠对AB 杆的水平力为 )3/(2L mgx F =，式中L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水平方向受到杆AB 的作用力为F ′，由牛顿第三定律可知F ′=F ，即kx L mgx F =-=')3/(2其中Lm k 32-=即松鼠在水平方向受到的作用力F ′作用下的运动应是以O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为.64.22/322s g L kmT ===ππ当松鼠运动到杆AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m. 由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB 上的运动是以AB 的中点O 为平衡位置，振幅不大于1m 、周期为2.64s 的简谐运动.例7 在一个横截面面积为S 的密闭容器中，有一个质量 为m 的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中无摩 擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是p ，体积分别 是V 1和V 2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平 衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动. 容器保持静止，整个系统可看做是恒温的.（1）求活塞运动的周期，将结果用p 、V 1、V 2、m 和S 表示；（2）求气体温度0=t ℃时的周期τ与气体温度τ'=30℃时的周期τ'之比值. 解析 （1）活塞处于平衡时的位置O 为坐标原点.0=x 当活塞运动到右边距O 点x 处时，左边气体的体积由V 1变为V 1+Sx ，右边气体的体积由V 2变为V 2Sx -，设此时两边气体的压强分别为1p 和2p ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：222111)()(pV Sx V p pV Sx V p =-=+而以上两式解出：)1(2,)1(22221111V Sx V pV p V Sx V pV p +=+=①按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：),1(11x V Sp p -≈ )1(22x V Sp p +≈，于是活塞受的合力为.)11()(21221x V V pS S p p +-=-所以活塞的运动方程是x V V V V pS x V V pS ma 21212212)11(+-=+-=其中a 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为)(221221V V pS V mV +=πτ （2）设温度为t 时，周期为τ，温度为t '时，周期为τ'.由于T p T p ''=，得出 T T T T V V pS V m V V V S p V m V '='⋅+=+'='τππτ)(2)(22122121221 所以TT'='ττ，将数值代入得95.0:='ττ 例8 如图14—8所示，在边长为a 的正三角形三个顶点A 、B 、C 处分别固定电量为Q 的正点电荷，在其中 三条中线的交点O 上放置一个质量为m ，电量为q 的带正 电质点，O 点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某 一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求 其振动周期.解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明 该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复 力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键 是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表 达式.以O 为坐标原点，以AOD 中线为坐标x 轴，如图 14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x ，A 处Q 对其作用力为1F ，B 、C 处两个Q 对其作用的合力为2F ，取x 轴方向为正方向. 有2221)1()(---=--=r x rkQq x r kQq F 因为a OC OB OA r 33==== ++=--r x r x 21)1(2当x 很小时可忽略高次项所以)361(321ax a Qq k F +-=232222222])()2)[((2))()2()()2((2-+++=+++⋅++=x h ax h kQq x h ax h x h akQq F2322)24)((2-+++=hx h a x h kQq （略去2x 项）232)333)((2-++=ax a x h kQq23232)31()3)((2--++=x a a x h kQq)3231(363x a a x h kQq-+=)233(363x hx a h aQq k+-= （略去2x 项） )2331(363h x x a h a Qq k+-=)231(33x a aQq k+= 因此带电质点所受合力为qx a Qk x aa x q a Q kF F F x 3221239)2336(3-=--=+= 由此可知，合外力x F 与x 大小成正比，方向相反. 即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为kQqam a k m T 32322ππ== 例9 欲测电阻R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与 电流计并联的电阻r 为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二 次r 为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r 为10.00Ω， 同时将待测电阻R 换成一个20.00k Ω的标准电阻，结果电流计的 示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻 R 的阻值.解析 在测试中，除待求量R 外，电源电动势E ，电源内阻r ，电流计内阻g R 以及电流计每偏转一格的电流0I ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解.设电源电动势为E ，电流计内阻为g R ，电流计每偏转一格的电流为0I ，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：09.3150505050I R R R r R R R E gg g g g =⋅+⋅+++ 02.51100100100100I R R R r R R R Egggg g =⋅+⋅+++ 08.711010200001010I R R R rR R Eggggg =⋅+⋅+++ 从第三次测量数据可知，当用20k Ω电阻取代R ，而且r 阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R 的阻值明显大于20k Ω，因此电源内阻完全可以忽略不计，与R 相比，电图14—9流计内阻g R 与r 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：09.35050I R R E g=+⋅ ①02.5100100I R R E g=+⋅ ②08.7101020000I R E g=+⋅ ③待测电阻R=120k Ω解①、②、③三式，可得g R =50Ω例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷 A 、B 带电量均为Q ，固定放在x 轴上的两处，离原 点都等于r .若在原点O 放另一正点电荷P ，其带电量 为q ，质量为m ，限制P 在哪些方向上运动时，它在 原点O 才是稳定的？解析 设y 轴与x 轴的夹角为θ，正电点电荷P 在原点沿y 轴方向有微小的位移s 时，A 、B 两处的点电荷对P 的库仑力分别为A F 、B F ，方向如图14—10所示，P 所受的库仑力在y 轴上的分量为βαcos cos B A y F F F -= ①根据库仑定律和余弦定理得θcos 222rs s r kqQF A ++=②θcos 222rs s r kqQF B +-=③θθαcos 2cos cos 22rs s r s r +++=④θθβcos 2cos cos 22rs s r s r ++-=⑤将②、③、④、⑤式代入①得：23222322)cos 2()cos ()cos 2()cos (θθθθrs s r s r kqQ rs s r s r kqQ F y -+--+++=图14—10因为s 很小，忽略2s 得：])cos 21(cos )cos 21(cos [23233θθθθrssr rss r r kqQF y ---++=又因为1cos 2,<≤θrsr s所以利用近似计算x x 231)1(23≈±-得 )]cos 31)(cos ()cos 31)(cos [(3θθθθr ss r r s s r rkqQ F y +--++≈ 忽略2s 得)1cos 3(23--=θrkqQs F y当（0)1cos 32>-θ时y F 具有恢复线性形式，所以在31cos 2>θ范围内，P 可围绕原点做微小振动，所以P 在原点处是稳定的. 例11 某水池的实际深度为h ，垂直于水面往下看， 水池底的视深为多少？（设水的折射率为n ） 解析 如图14—11所示，设S 为水池底的点光源， 在由S 点发出的光线中选取一条垂直于面MN 的光线， 由O 点垂直射出，由于观察者在S 正方，所以另一条光 线与光线SO 成极小的角度从点S 射向水面点A ，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小， 进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S ′，该点即为我们看到水池底光源S 的像，像点S ′到水面的距离h '，即为视深.由几何关系有,/tan ,/tan h AO i h AB r ='=所以h h i r '=/tan /tan ，因为r 、i 均很小，则有i i r r sin tan ,sin tan ≈≈，所以h h i r '≈/sin /sin 又因irn sin sin = 所以视深n h h /='针对训练1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U 形管压强 计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U 形管内盛有密度为5.7=ρ×102kg/m 3的液体.开始时左、右两气室的体积都为V 0=1.2×10－2m 3，气压都为0.40=ρ×103Pa ，且液体的液面处 在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在U 形管中的高度差h =40cm.求此时左、右气室的体积V 1、V 2.假定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U 形管和连接管道中气体的体积.取g =10m/s 2.2．一汽缸的初始体积为V 0，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡 时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的 水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加 倍，试计算此时：（1）汽缸中气体的温度；（2）汽缸中水蒸气的摩尔数；（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理）3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发电.当海水下降时，阀门S 1关闭，S 2打开，设每次吸入压强为1.0×106Pa 、温度为7℃的空气0.233m 3（空气可视为理想气体），当海上升时，S 2关闭，海水推动活塞绝热压缩空气，空气压强达到32×105Pa 时，阀门S 1才打开.S 1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S 1后，活塞附近的压强近似保持不 变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知 空气从压强为1ρ、体积为V 1的状态绝热的改变到压强为2ρ、体积为V 2的状态过程中， 近似遵循关系式1ρ/2ρ=（V 2/V 1）5/3，1mol 理想气体温度升高1K 时，内能改变为 3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]4．如图14—14所示，在O x 轴的坐标原点O 处，有一固定的电量为)0(>Q Q 的点电荷，在L x -=处，有一固定的、电量为Q 2-的点电荷，今有一正试探电荷q 放在x 轴上0>x 的位置，并设斥力为正，引力为负.（1）当q 的位置限制在O x 轴上变化时，求q 的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性；（2）试定性地画出试探电荷q 所受的合力F 与q 在O x 轴上的位置x 的关系图线.5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条 鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.图14—13图14—146．如图14—16所示，天空中有一小鸟B ，距水面高m h 31=，其正下方距水面深m h 42=处 的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看 到鸟距离自己又是多远？参考答案十一、图象法1．A 2．A 、D 3．C4．5．21t t > 6．乙图中小球先到底端 7．)21(2-+=n n n s a v B =)13(nas - 8．13.64s 9．2:1 10．D 11．FGf F gfs v f f Fg sFG t m )(2)(2-=-=十二、类比法1．223/32Gt LR 2．2222)(R a aR kQ - 3．22222)()(R a aR kQ a q Q a R kQ --+ 4．F C AB μ9.2= 5．F C AB μ6=6．（1）C C 215-=' （2）C C '=总 （3）C C 215-=' 7．])([)(2tf f t H t H L N --+∆=λ（注：将“两块半透镜移开一小段距离”后加“L ∆”.在“f t > 处放置一个”与“单色点光源”之间加“波长为λ的”.）8．（1）m a 3105.0-⨯= （2）m d 4=十三、降维法1．0.288×103N ≤F ≤0.577×103N 2．(1)7.2N （2）0.8m/s 23．5N 沿斜面指向右上方水平方向的夹角为53 °4．2R R AB =5．R R AB 94= 6．（1）r R AG 65= （2）r R AD 127=十四、近似法1．V 1=0.8×10－2m 3 ，V 2=1.6×10－2m 3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压 3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的（2）5．应在鱼的右上方6．6m ，8m。