第12讲 复数的运算与几何意义(含详解)
复数的几何意义课件
量子力学波函数描述及演化
波函数描述
在量子力学中，波函数是描述粒子状 态的数学函数，可以用复数表示。波 函数的模平方表示粒子在空间中的概 率分布，波函数的相位表示粒子的动 量等信息。
波函数演化
波函数随时间演化遵循薛定谔方程， 该方程是一个复数微分方程。通过求 解薛定谔方程，可以得到波函数随时 间的演化规律，进而预测粒子的行为 。
复数与矩阵的关系
复数在其他领域的应用
阐述复数与矩阵之间的联系，如矩阵的特 征值、特征向量与复数的关系等。
简要介绍复数在信号处理、量子力学、流 体力学等领域中的应用。
06
课后作业布置及下一讲 预告
课后作业布置
练习题
要求学生完成教材上与复 数几何意义相关的练习题 ，以巩固所学知识。
思考题
布置几道与复数几何意义 相关的思考题，要求学生 进行深入思考，加深对知 识点的理解。
04
典型例题解析及互动环 节
例题一：利用几何意义求解方程根
复数平面上的点表示
将复数表示为平面上的点，便于直观理解复数运算的几何意义。
复数方程根的几何意义
通过复数平面上的点的运算，求解复数方程的根，并理解其几何意 义。
根的分布与稳定性
分析复数根在平面上的分布规律，探讨系统稳定性与根位置的关系 。
例题二：电路分析问题中阻抗匹配
。
Hale Waihona Puke 乘法运算设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i，则 z1×z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i
。
除法运算
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i且z2≠0，则 z1÷z2=((a1a2+b1b2)/(a
详解复数的运算和几何意义
详解复数的运算和几何意义复数是一种能够表示虚数单位 i 的数，它由实部和虚部组成，通常用 a+bi 的形式表示。
在现实生活中，复数的应用非常广泛，从电阻电容电感电路的计算到信号处理和量子计算，都少不了复数。
本文将详解复数的运算和几何意义。
一、基本概念首先，让我们来了解一些复数的基本概念。
实部和虚部是构成复数的两个基本元素，实部记为 Re(z)，虚部记为 Im(z)。
在复平面上，实部沿着 x 轴正半轴方向，虚部沿着 y 轴正半轴方向，因此复数可以看做一个有序对 (a,b)，a 是实部，b 是虚部。
复数的加减运算与实数的加减运算类似，只需将其实部和虚部分别相加减即可。
例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则z1+z2=(2+4)+(3+5)i=6+8i，z1-z2=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。
复数的乘法运算也是有许多规律的。
例如，设 z1=2+3i，z2=4+5i，则 z1*z2=(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i。
从几何上讲，复数乘法的效果是将一个复数旋转了一个角度，并将其尺寸拉伸了一定的倍数。
具体来讲，设z1=r1(cos θ1+isin θ1)，z2=r2(cosθ2+isin θ2)，则z1*z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))。
二、复数的除法复数的除法运算比较复杂，它涉及到两个复数的逆元的求解。
我们可以将除法转化为乘法，即 z1/z2=z1*1/z2。
因此，只要求出z2 的逆元即可。
设 z2=a+bi，则 z2 的逆元为 1/z2=(a-bi)/(a^2+b^2)。
将其带入上式，则可得到z1/z2=r1/r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))。
三、复数的共轭复数的共轭是指改变虚部的符号，即将 z=a+bi 的共轭记为z_bar=a-bi。
共轭的作用很广泛，它可以用来求模长、求逆元等。
例如，设 z=a+bi，则|z|^2=z*z_bar=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2，1/z=z_bar/|z|^2=(a-bi)/(a^2+b^2)。
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部两个部分。
在复平面中，复数可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a为实部，b为虚部。
复数运算的几何意义可以通过复平面的几何解释来理解。
首先，复数可以用来表示平面上的点。
复平面以实轴为x轴，以虚轴为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点。
实部表示该点在x轴上的位置，虚部表示该点在y轴上的位置。
例如，复数z=3+4i表示平面上的一个点，该点在x轴上的位置是3，在y轴上的位置是4加法运算是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相加得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部之和，虚部等于两个复数的虚部之和。
在几何上，两个复数的加法可以理解为将两个平面上的点进行向量相加，得到一个新的点。
减法运算也是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相减得到的结果是一个新的复数，其实部等于第一个复数的实部减去第二个复数的实部，虚部等于第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部。
在几何上，两个复数的减法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
乘法运算是复数运算中的另一种基本操作。
两个复数相乘得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部的乘积减去两个复数的虚部的乘积，虚部等于第一个复数的实部与第二个复数的虚部之积加上第一个复数的虚部与第二个复数的实部之积。
在几何上，两个复数的乘法可以理解为将两个平面上的点进行相乘得到一个新的点。
除法运算是复数运算中的一种特殊操作。
两个复数相除得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数相乘的实部之和除以两个复数相乘的模的平方，虚部等于两个复数相乘的虚部之差除以两个复数相乘的模的平方。
在几何上，两个复数的除法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的模平方等于复数实部的平方加上虚部的平方。
复数的几何意义以及运算公式
复数的几何意义以及运算公式知识就是力量，在于平时不断的积累，想要了解复数的小伙伴赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“复数的几何意义以及运算公式”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！复数的几何意义是什么1、复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。
2、我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a 称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
3、当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
4、复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数的运算公式（1）加法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。
（2）乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
（3）除法运算复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi （x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
拓展阅读：复数与向量的关系是什么向量是复数的一种表示方式，而且只能是二维向量，即平面向量。
复数仅仅限制在二维平面上。
复数和复平面上以原点为起点的向量一一对应。
1、向量：在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，亦称矢量，在数学中与之相对应的是数量，在物理中与之相对应的是标量。
7.1.2 复数的几何意义课件ppt
即-6a+4=0,解得 a= .
3
(2)①若复数z的对应点P在虚轴上,
则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.
此时,z=6i或z=0.
②若复数z的对应点P在实轴负半轴上,
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究三
复数的模及其应用
例3若复数z=(a+2)-2ai的模等于 5 ,求实数a的值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为5的点的集合,即以原点O为圆心,以5为半径的圆.
方法点睛 复数的模的几何意义是复平面内表示复数对应的点到原点的距
离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深
理解.
当堂检测
1．已知z＝(m－3)＋(m＋1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第二象限，
则实数m的取值范围是
(
A．(－3,1)
2023
人教版普通高中教科书·数学
第七章
必修
7.1.2 复数的几何意义
第二册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解复平面的概念.(数学抽象)
2.理解复数、复平面内的点、复
平面内的向量之间的对应关
系.(逻辑推理)
3.掌握复数模和共轭复数的概念,
会求复数的模和共轭复数.(数学
)
素养形成
复数模的意义
典例已知|x|=5,x对应的点为X,对于下列条件,点X对应的图形各是什么?
(1)在数轴上;
(2)在复平面内,x∈C.
分析分别利用绝对值、复数的模的几何意义解答.
综合算式复数的运算与几何意义
综合算式复数的运算与几何意义复数是由实部和虚部组成的数，可以以 a+bi 的形式表示，其中 a 表示实部，b 表示虚部，而 i 表示单位虚数。
在复数运算中，我们可以进行加减乘除等操作，并且将复数与几何意义相结合，这为我们解决实际问题提供了便利。
本文将探讨综合算式复数的运算规则，并且介绍复数在几何中的应用。
一、复数的基本运算规则1. 复数的加减运算复数的加减运算就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，对于复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，它们的和为 z = z1+z2 =(a1+a2)+(bi1+bi2)。
同理，它们的差为 z = z1-z2 = (a1-a2)+(bi1-bi2)。
2. 复数的乘法运算复数的乘法运算可以使用分配律进行计算。
令 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，它们的乘积为 z = z1*z2 = (a1+bi1)(a2+bi2)。
根据分配律展开计算可得 z = (a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
3. 复数的除法运算复数的除法运算需要借助共轭复数进行计算。
假设 z1 = a1+bi1 和z2 = a2+bi2，首先计算 z2 的共轭复数 z2* = a2-bi2。
然后，利用公式 z = z1/z2 = z1 * z2* / (a2^2 +b2^2) 计算得到 z 的值。
二、复数与几何意义1. 笛卡尔坐标系中的表示复数在几何中可以表示为平面上的点，即复平面。
以复数 a+bi 为例，可以将实部 a 看作是横坐标，虚部 b 看作是纵坐标，将复数表示为平面上的一个点。
这个点与原点之间的距离称为模，可以用来表示复数的大小；与实轴之间的夹角称为幅角，可以用来表示复数的方向。
2. 复数的加法与减法在复平面上，复数的加法与减法可以通过平移向量的方式进行表示。
假设有复数 z1 和 z2，我们将 z1 表示为平面上的一个点 A，z2 表示为平面上的一个点 B。
复数的几何意义与运算规则
复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。
复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。
本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。
一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。
我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。
实部和虚部决定了复数在平面上的位置。
二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。
2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。
减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。
3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。
两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。
4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。
除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。
三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。
解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。
解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
复数的概念及四则运算(含答案详解)
复数的概念及四则运算[基础巩固]1．复数(1＋i)2(2＋3i)＝( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.答案 D2．复数(1＋2i )23－4i＝( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析 (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1. 答案 A3．(多选题)(2021·东莞高一期末)已知复数z (z ≠0)，z －是z 的共轭复数，则下列结论正确的是( )A ．若z ＝z －，则z ∈RB ．若|z |＝1，则z ·z －＝1C ．若z z －∈R ，则z ∈RD ．若z 2＋z 2＝0，则z ＝0 解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入计算，根据复数的定义判断，也可举反例说明． 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z ＝z －，即a ＋b i ＝a －b i ，所以b ＝－b ＝0，z ＝a ∈R ，A 正确；若|z |＝1，则a 2＋b 2＝1，所以z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝1，B 正确；若z ＝2i ，则z z －＝2i －2i ＝－1∈R ，C 错误； 若z ＝1＋i ，则z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，D 错误．故选A ，B. 答案 AB4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.答案 －35．已知2－3i z＝－i ，则复数z ＝________. 解析 因为2－3i z＝－i ， 所以z ＝2－3i －i＝(2－3i)i ＝3＋2i. 答案 3＋2i6．计算(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i. 解析 (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋i (3－2i )3－2i＝i 6＋i ＝－1＋i.[能力提升]7．(2022·全国乙卷)已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析 由题设，z ＝1－2i ，z ＝1＋2i ，所以a ＋b ＋1＋(2a －2)i ＝0，故a ＝1，b ＝－2，选择A ．答案 A8．(多选题)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为复数，z －是z 的共轭复数，则下列命题一定正确的是( )A ．z ·z －＝|z |2B ．若1z∈R ，则z ∈R C ．若z 2为纯虚数，则a ＝b ≠0D ．若|z －i|＝1，则|z |的最大值为2解析 根据共轭复数的定义、复数的运算、复数的定义和复数模的三角不等式计算求解后判断各选项．对于A ，z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2，所以A 正确；对于B ，1z ＝1a ＋b i ＝a －b i (a ＋b i )(a －b i )＝a a 2＋b 2－b a 2＋b 2i ， 因为1z∈R ，所以b ＝0，从而z ∈R ，所以B 正确； 对于C ，z 2＝(a ＋b i)2＝()a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，2ab ≠0，即a ＝±b ≠0，所以C 错误；对于D ，由复数模的三角不等式可得|z |＝|(z －i)＋i|≤|z －i|＋|i|＝2，所以D 正确．故选A ，B ，D.答案 ABD9．写出一个虚数z ，使z 2的实部为0，则z ＝________.解析 设复数z ＝a ＋b i ，()b ≠0，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，使z 2的实部为0，得a ＝±b ，即可得解．设复数z ＝a ＋b i ，()b ≠0，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，因为z 2的实部为0，所以a 2－b 2＝0，即a ＝±b ，所以答案可为1－i 或1＋i.答案 1－i 或1＋i(答案不唯一，凡符合a ＋a i 或a －a i(a ∈R 且a ≠0)形式的均正确)10．已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.解析 因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得a ＝－2或a ＝－4，对应得b ＝－1或b ＝2，所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.[探索创新]11．复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析 z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
复数的四则运算及其几何意义分析总结
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复数三角形式：a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚 数单位
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几何意义：复数三角形式可以表示为平面上的一个点， 其中a是横坐标，b是纵坐标
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复数三角形式的加法：两个复数三角形式的和，可以 表示为两个点在平面上的连线的中点
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复数三角形式的乘法：两个复数三角形式的积，可以 表示为两个点在平面上的连线的斜率
复数乘法的几何意义：复数乘法的几何意义是旋转和平移。
复数乘法的应用：复数乘法在工程、物理、计算机科学等领域有广泛应用。
• 复数除法：将两个复数相除，得到另一个复数
• 除法公式：a/b=c/d，其中a、b、c、d为复数
• 除法运算的几何意义：将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数两部分组成的数，它可用于代表平面上的点或向量，因此具有一定的几何意义。
在复数运算中，加法和乘法可以在几何上进行解释。
首先，我们来讨论复数的几何表示。
对于一个复数 z=a+ib，其中 a是实部，b 是虚部，可以将其看作平面上的一个点 P(x,y)，其中 x 为 a 的值，y 为 b 的值。
这个点位于一个坐标系中的复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数 z 在几何上可以理解为复平面上的点 P。
1.加法：复数的加法可以表示为 (a+ib) + (c+id) = ((a+c) + i(b+d))。
在几何上，这个运算可以理解为将两个复数的点在复平面上相应方向上的平移，并将这两个复数的实部和虚部分别相加。
可以看出，加法运算实际上是将两个向量相加，得到一个新的向量。
这个向量从第一个向量指向第二个向量的尖端。
换句话说，复数加法相当于将两个复数所代表的向量进行平移。
2.乘法：复数的乘法可以表示为 (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)。
在几何上，这个运算可以理解为将一个复数的点绕原点旋转，并将两个复数的实部和虚部形成一个新的复数。
乘法运算实际上是将两个向量相乘，并按照一定的规则得到新的向量。
具体而言，复数的模长是两个向量的模长的乘积，而复数的辐角是两个向量的辐角的和。
因此，复数乘法可以理解为将一个复数代表的向量绕原点旋转一定角度，并按照一定比例进行缩放。
除此之外，复数的运算还具有以下几何意义：3.模长：一个复数的模长可以表示为，z，=√(a^2+b^2)。
在几何上，复数的模长表示了对应向量的长度，也可以理解为复平面上原点到点P的距离。
模长的平方等于复数的实部平方加上虚部平方，可以通过勾股定理来计算。
因此，复数的模长也可以理解为一个向量的长度。
4.共轭：一个复数的共轭可以表示为 z* = a-ib。
在几何上，一个复数和其共轭代表了复平面上关于 x 轴的对称点。
复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)
复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。
复数的几何意义课件
量子力学的波函数
波函数的复数表示
在量子力学中，波函数通常采用复数形式表示。通过复数波函数，可以描述微观粒子的状态和行为。
薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学的基本方程，其解即为波函数。复数形式下的薛定谔方程可以更方便地求解， 得到微观粒子的运动状态。
05
复数在实际问题中的 应用
信号处理中的频谱分析
总结词
06
复数与实数的关系
实数在复平面上的表示
01
02
03
实数轴
在复平面中，实数轴对应 于复数中的实部，表示为 水平的直线。
虚数轴
虚数轴对应于复数中的虚 部，表示为垂直的直线。
单位圆
以原点为中心，半径为1 的圆，表示单位复数。
复数与实数的相互转化
实数可以视为复数的特殊情况，即虚 部为0的复数。
任意复数可以转化为实数形式，即实 部和虚部的和。
控制系统中的稳定性分析
总结词
稳定性分析是控制系统设计中的关键环节，它决定了系统的性能和稳定性。复数在稳定 性分析中发挥着重要作用，因为它们能够描述系统的极点和零点，从而分析系统的动态
行为。
详细描述
在控制系统中，系统的动态行为通常由微分方程或差分方程描述。通过将这些方程转化 为复数形式，可以方便地计算系统的极点和零点。极点和零点的位置和数量决定了系统
的稳定性和动态响应特性。因此，在控制系统设计中，复数是非常重要的数学工具。
金融领域中的复利计算
总结词
复利计算是金融领域中评估投资回报的重要 方法。通过复利计算，可以计算出投资在未 来某个时间点的预期价值。复数在这个计算 过程中扮演着关键角色。
详细描述
在复利计算中，本金和利息都按照一定的利 率进行复利增长。复数的指数幂可以方便地 计算出未来价值的预期值。通过使用复数， 可以简化计算过程并得到精确的结果。在金 融领域中，复利计算广泛应用于评估投资回 报、贷款还款和养老金规划等方面。
复数的几何意义 课件
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由有序实 数对 (a,b)
确定
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
类比实数的表示， 可以用直角坐标 系中的点的点来
表示复数
一.复平面
复数z=a+bi （数）
z=a+bi Z(a,b)
a
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
（形）
Y
建立了平面直角
坐标系平面 (简称复平面)
x轴------实轴
o
x
y轴（除原点）---虚轴
例1、在复平面内表示下列复数 1）z1=3-2i 2)z2=-3+３iy 3)z3=i
Z2
4)z4=2
Z3
1 Z4
0
x
Z1
例2、写出复平面内点所对应的复数
y A
1
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点 Z（a，b）到原点的距离
2
0
,
得
m m
2或m 0
1
m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
初中数学教案复数的基本运算与几何意义
初中数学教案复数的基本运算与几何意义初中数学教案：复数的基本运算与几何意义一、引言复数是数学中的一个重要概念，它在代数和几何中都有广泛的应用。
本教案将重点介绍复数的基本运算和几何意义，以帮助初中学生深入理解和掌握复数的相关知识。
二、复数的定义复数由实数部分和虚数部分组成，一般表示为a + bi，其中a和b都是实数，i表示虚数单位，它满足i² = -1。
实数部分a与虚数部分bi分别称为复数的实部和虚部。
三、复数的加减运算1. 加法：设有两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和记作z = z₁+ z₂，按照实部和虚部分别相加得到z的实部和虚部，即z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i。
2. 减法：设有两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的差记作z = z₁- z₂，按照实部和虚部分别相减得到z的实部和虚部，即z = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
四、复数的乘法与除法1. 乘法：设有两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积记作z = z₁ * z₂，按照分配律和i² = -1进行展开计算，得到z 的实部和虚部，即z = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i。
2. 除法：设有两个非零复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的商记作z = z₁ / z₂，在分子和分母同时乘以z₂的共轭复数z₂' = a₂ - b₂i，然后利用乘法的运算规则，得到z的实部和虚部，即z = [(a₁a₂ + b₁b₂) / (a₂² + b₂²)] + [(a₂b₁ - a₁b₂) / (a₂² + b₂²)]i。
五、复数的几何意义1. 复数平面：将复数z = a + bi看作是平面上的一个点P(x, y)，其中x = a，y = b。
数学知识点归纳复数的解析几何与运算
数学知识点归纳复数的解析几何与运算复数是数学中的一个重要概念，它在解析几何与运算中具有广泛的应用。
本文将对复数的定义、解析几何中的复数运算以及一些相关的数学知识点进行归纳和总结。
一、复数的定义与表示在复数领域，定义了一个虚数单位i，它满足 i^2 = -1。
基于虚数单位i，可以构成形如a + bi的复数，其中a和b分别表示复数的实部和虚部。
例如，复数3 + 4i中，实部为3，虚部为4。
复数可以通过直角坐标系表示。
实部a对应坐标系的x轴，虚部b 对应坐标系的y轴。
因此，复数3 + 4i在坐标系中对应于一个坐标为(3,4)的点。
这样的坐标系称为复平面。
二、复数的运算1. 复数的加法：将两个复数的实部相加，虚部相加。
例如(3 + 4i) +(1 + 2i) = (4 + 6i)。
2. 复数的减法：将两个复数的实部相减，虚部相减。
例如(3 + 4i) - (1 + 2i) = (2 + 2i)。
3. 复数的乘法：将两个复数按照分配律展开并结合虚数单位i的平方性质进行化简。
例如(3 + 4i) * (1 + 2i) = (-5 + 10i)。
4. 复数的除法：将两个复数相乘的结果化简为标准形式，并依据实数的除法规则进行运算。
例如(3 + 4i) / (1 + 2i) = (2 + i)。
5. 复数的共轭：将复数的虚部取负即可得到其共轭复数。
例如，(3 + 4i)的共轭复数为(3 - 4i)。
三、解析几何中的复数运算在解析几何中，复数可以用来表示平面上的点、向量和线段等。
1. 复数表示点：设复数z = a + bi，其对应复平面上的点可以用坐标(a, b)表示。
例如，复数3 + 4i对应于复平面上的点(3, 4)。
2. 复数表示向量：复数的减法可以表示向量的减法，即两个点之间的差向量。
例如，在复平面上，点(3, 4)和点(1, 2)之间的差向量可以用复数(3 + 4i) - (1 + 2i)表示为(2 + 2i)。
复数及其运算的几何意义
复数及其运算的几何意义目标：理解复数及其运算的几何意义，会正确运用几何意义解决问题；能根据复数Z 满足的条件求对应点的轨迹。
重点：几何意义的理解及应用，求复数轨迹。
教程：一、 基础知识：1、 复数的几何表示：2、 复数运算的几何意义：复数加、减法的几何意义即为向量的合成与分解（平行四边形法则，可简化为三角形法则）；复数的乘法、乘方、除法的几何意义即为向量的旋转变换及伸缩变换；复数的开方的几何意义可概括为圆内接正多边形法则。
3、 几个重要结论：（1） 若021≠z z ,则⇔≠∈=⇔-=+0,,212121λλλR i z z z z z z 对应两个向量21OZ OZ ⊥；（2） 复数中中点坐标公式和重心公式：4、 复平面上的基本轨迹：设动点Z ，定点Z 1、Z 2分别复数z 、1z 、2z , r 1、r 2、a>0,Z 0为定点,对应复数为z 0(1) 复平面上两点Z 1、Z 2的距离公式：(2) 方程r z z =-0表示：(3) 式子r z z <-0表示：(4) 式子r 1<20r z z <-表示：(5) 方程a z z z z 221=-+-表示：(6) 方程a z z z z 221±=---表示：(7) 方程21z z z z -=-表示：(8) Re(z)=m 表示： Im(z)=n 表示：Im(z)=Re(z) 表示：Im(z)<0表示：(9) arg(z-z 0)=θ表示：5、求复数满足条件的轨迹的基本方法：二、 基本训练：1、 已知非零复数1z 、2z 分别对应于复平面上的A 、B ，且03222121=+-z z z z ，则∆AOB 是2、 设向量OZ 对应的复数是 -1+i,把OZ 按逆时针方向旋转1200，得到向量1OZ ,则向量1ZZ 对应的复数是：3、 在等腰直角∆ABC 中∠C ＝900，M 为AB 的中点，A 、B 对应的复数分别是2+5i 和-i ，则OM 对应的复数是 MA 对应的复数是 MC 对应的复数是4、 把复数1+3i 对应的复数绕原点逆时针方向旋转θ角，所得的向量对应复数-2i,则θ角的最小正值为5、 复平面内满足0432=-+z z 的复数z 对应的点的轨迹是6、 设M=}{622=-++z z z ，N ＝}{11=+z z ，则M 与N 的关系是（ ）（A ） M ⊃N （B ）M ⊂N （C ）M ∪N ＝M （D ）M ∩N ＝φ三、 例题分析与解答：1、 已知z ＝2，arg(z+2)=3π，（1）求复数z ；（2）在复平面内，把复数z 3对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转3π，求所得向量对应的复数。
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数学高考综合能力题选讲12
复数的运算与几何意义
题型预测
从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题．
范例选讲
例1 若复平面内单位圆上三点所对应的复数321,,z z z ，满足312
2
z z z =且032=-+i iz z ，求复数321,,z z z ．
讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题．
解1： 设ααsin cos 1i z +=，ββsin cos 2i z +=，γγsin cos 3i z +=，则由
032=-+i iz z 可得：
⎩
⎨
⎧=-+=+01cos sin 0
sin cos γβγβ 利用1sin cos 2
2=+ββ，可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
±==23sin 21cos γγ，
所以，2
313i
z ±=
． 当2
313i
z +=时，()23132i
z i z +=
--=，13
2
21==z z z ； 当2313i z -=时，()23132i z i z +-=--=，13
2
21==z z
z ．
若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解2． 解2：由题可知321,,z z z 都等于1，又由032=-+i iz z 得：()132--=z i z ，所以，1123==-z z ，
所以，3z 所对应的点的轨迹为圆122=+y x 与圆()1122
=+-y x 的交点．
解之得：2
313i
z ±=
． 以下同解1．略．
用复数的代数形式去解本题也未尝不可．
解3：设fi e z di c z bi a z +=+=+=321,,，其中R f e d c b a ∈,,,,,，则由题可得：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-=-=+=+=+)7(01)6(0
)5(2)4()3(1)2(1
)1(12
2222
222e d f c be af cd bf
ae d c f e d c b a 解这个6元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、（7）只与f e d c ,,,相关，则可将此四个方程联立，解得：2
1
=
e ，所以，23±=
f ．
下略．
点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的3大支柱．
例2 设复数21,z z 满足：()
014
12
222121=++-z a z z z ，()0>a ，它们在复平
面内分别对应于不同的点A 、点B ，O 为坐标原点，若412
2a z -=，求使得△
AOB 有最大面积时的a 的值，并求出最大面积．
讲解：由于AOB z z AOB OB OA S AOB ∠⋅⋅=∠⋅⋅=∆sin 21
sin 2121，所以，首先
应结合题目条件，考虑1z 与2z 的关系．
首先，02≠z ，所以，()
01412
212
21=++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a z z z z ，解这个关于21z z 的方程，得：
2
121ai
z z ±=．
所以，2
121221a ai z z +=
±=，a AOB ±=∠tan ， 所以，2
1sin a
a AOB +=∠．
所以，AOB z z AOB OB OA S AOB ∠⋅⋅=∠⋅⋅=
∆sin 2
1
sin 2121 222
1412
121a a
a a +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅+⋅=
()
2
24
4a a -= ()()
2
2224
2442⋅--=
a a a
()(
)3
2
2234422161
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-+-+⋅≤a a a
9
3
=．
等号当且仅当2242a a -=，即3
3
2=
a 时取得．此时，△AOB 取得最大面积，为
9
3． 点评： 正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键．。