识别桥梁断面18个颤振导数的梯度下降算法
桥梁颤振气动导数识别的迭代法
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国家 自然科 学基金资助项 目（ 编号 ５ ７８４ ） ９７０ ３ 收稿 日期 ：０ １ ８—２ 修改稿 收到 日期 ：０ １ １ ６ ２０ —０ ５ ２０ —１ —０ 第一作者 黄 方林 男 ， 博士 ， 副教授 ，９ ４年 ｌ １６ Ｏ月生
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【 ＋ ２ 拿 ＋ ２ ＝ Ａ１ ＋ Ａ２ ＋ Ａ ａ ＋ Ａ４ ａ 。 。 ａ ｈ ａ ３ ｈ
获取 的气 动导 数有 ８个 。 目前 ， 主要 采 用 自由振 动 法 和强 迫 振 动 法 两 种 类 型 方 法 来 进 行 气 动 导 数 识 别 。
并 由此 衍 生 出 了不 同 的 方 法 ＿ ４。从 自 由振 动 法 来 ｌＪ Ｉ
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第 ２ 卷第 ２期 １
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Ｊ ＯＵＲＮＡ ＯＦＶＩ Ｌ ＢＲＡ Ｉ Ｔ ＯＮ ＮＤ Ｓ Ａ ＨＯＣＫ
桥 梁 颤 振 气 动导 数 识 别 的 迭 代 法
黄方林 陈政 清
４ ０７ ） １０５
（ 中南大学铁 道校 区土木 建筑学 院 ， 长沙
取解 析 表达 式 中 参 数 的最 优 估 计 值 。 牛顿 一拉 夫 逊
式 （） １ 自由振 动 响 应 可写 成
ｆ ：２￣ ∑ｉ ） ｈ （ａ ｝ ｅ
Ｌ口 Ｊ Ｉ １ ：
（ ２ ）
式 中 （ ｉ：１２ 为 系统 第 ｉ 复模 态振 型 ， （ ，） 阶 ｉ＝１ ，
便 于 工 程实 际 采用 。
数字 仿 真 例 子 与 实 物 试 验 结 果 表 明 了本 文 提 出
的方 法 切实 可 行 、 效 。 有
基于EMD处理信号的桥梁颤振导数识别
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第２ ７卷第 ５期
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基于 Ｅ ＭＤ 处理 信 号 的桥 梁颤 振 导数 识 别
许福友 陈艾荣 刘剑锋 王达磊 ， ， ，
（ ．大 连 理 工 大 学 １ 土 木 水利 学 院 ， 连 大 ｌ６ ２ ；． １０ ４ ２ 同济 大 学 土 木 工 程 防 灾 国家 重 点 实 验 室 ， 海 上 ２０ ９ ） ０ ０２
数需 要满 足两 个条 件 ：）整 个 时 间序列 极 值个 数 与 穿 １ 过零 点个 数相 同或 其 差值 为 一 ；）极 大值 包 络线 与 极 ２ 小值 包络 线关 于零 轴 对称 。事 实 表 明 ， 件 １ 很 容 易 条 ） 而且 也 必 需 满 足 ， 而条 件 ２ 是 理 想 条 件 ， 法 严 格 满 ） 无
识别结果差异不容忽略。分 析结果表 明 ， 经验模态分解是提高桥梁颤振导数识 别精 度的一种行之有效 的方法 。 关键词 ：经验模态分解方法 ； 颤振导数 ； 参数识别 ； 苏通大桥
中 图分 类 号 ：Ｖ １ ． ＋ ２５３ ４ 文 献 标 识 码 ：Ａ
桥梁 颤振导 数识 别是 桥 梁颤 抖振 分 析 的一 个 基 础 环节， 其识 别 精 度直 接 影 响后 续 颤抖 振 计 算 精 度 和 可 信 度 。采 用数 值 方 法 ¨ 可 以识 别 桥 梁 颤 振 导 数 ， 其 优 点是不像 物理 风 洞 试 验 那样 费 用 昂 贵 ， 易 实 现 参 容
摘 要 ：桥梁风洞试验采集信号都不可避免地被噪声污染 ， 并且具有一定的非平稳性， 因此导致桥梁颤振导数识
别精度降低。为了提高识别精度 ， 基于经验模态 分方法分 离信号 固有模态 函数 ， 消除 了高频噪声 和低频非平 稳趋势 项。
桥梁断面的气动导数和颤振临界风速的数值计算
桥梁断面的气动导数和颤振临界风速的数值计算3曹丰产 项海帆 陈艾荣同济大学土木工程防灾国家重点实验室,上海 200092摘要 选取有代表性的大海带东桥、南京二桥流线型闭口箱梁断面和荆沙桥钝头开口板梁断面,用动网格法考虑流体和结构的耦合作用,用有限单元法求解原始变量二维不可压粘性流体的N 2S 方程,计算其气动导数,并用半逆解法确定颤振临界风速。
计算结果和实验值相当吻合。
关键词 桥梁断面;N 2S 方程;动网格法;气动导数中图分类号 U441+.2 文章标识码:A 文章编号:025821825(2000)01200262080 引 言 桥梁断面的气动导数和颤振临界风速的确定在桥梁抗风设计中有着十分重要的地位。
气动导数一般通过节段模型风洞试验来测定,测定方法可分为自由振动法和强迫振动法两类。
自由振动法实验量很大,并且在提取交叉导数的过程中要求模型的竖向运动和扭转运动在所有的风速下都有相同的频率和阻尼比,这个要求在实验室中很难达到。
强迫振动法利用计算机控制的激励装置使模型分别在竖向和扭转方向产生一定频率的正弦运动,同时通过分布在模型表面的测压孔测出这些点的压力,再沿模型表面积分得到升力和力矩相对于运动的幅值和相位,从而获得8个气动导数。
采用强迫振动法需要复杂的激励设备和测量动压的装置。
随着计算机性能的提高,用计算机数值模拟研究这类气动弹性问题已经成为可能,Walther [1](1994)在其博士论文中用离散涡法求解N 2S 方程计算了大海带东桥基本断面的气动导数,Larsen [2](1998)给出了用这种方法计算的5种基本断面的气动导数。
数值模拟计算气动导数的关键在于计算运动物体所承受的气动力,难点在于流体运动和结构运动的描述方法的不同所带来的问题。
流体运动一般用欧拉方法描述,而结构运动一般用拉格朗日方法描述,因此在直接求解流体和结构的耦合运动方程时,在每一计算时步上至少要移动靠近结构表面的计算网格。
梯度下降算法的流程
梯度下降算法的流程梯度下降算法是一种常用的优化算法，它主要用于求解损失函数的最小值或最大值。
在机器学习和深度学习中，梯度下降算法被广泛应用于参数优化的过程中。
本文将从算法的原理、流程、优化方法、收敛性、应用场景等方面进行详细介绍。
一、梯度下降算法的原理梯度下降算法的原理基于函数的梯度。
所谓梯度，即函数在某一点的导数，它指出了函数在这一点的变化率和变化的方向。
梯度下降算法的目标就是通过不断迭代，找到函数的最小值点或最大值点。
对于一个函数f(x)，梯度下降算法的更新规则可描述为：x_{t+1} = x_t - \alpha \nabla f(x_t)其中，x_t表示第t次迭代的参数值，\alpha表示学习率，\nabla f(x_t)表示函数f(x)在点x_t的梯度。
通过不断迭代更新参数值，最终达到函数的最小值或最大值。
二、梯度下降算法的流程梯度下降算法的流程可以分为批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）、小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）三种，下面将对这三种流程进行详细介绍。
1.批量梯度下降（Batch Gradient Descent）批量梯度下降是最基本的梯度下降算法，它的核心思想是利用所有样本的梯度来更新参数值。
其具体流程如下：Step 1:随机初始化参数值x_0Step 2:计算损失函数的梯度\nabla f(x_t)Step 3:更新参数值x_{t+1} = x_t - \alpha \nabla f(x_t)Step 4:重复Step 2和Step 3，直到收敛或达到迭代次数批量梯度下降算法的优点是能够全局搜索，但由于每次迭代都要使用所有样本的梯度，所以计算成本比较高，并且对大数据集不太适用。
2.随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）随机梯度下降是一种每次随机选择一个样本来计算梯度更新参数值的算法。
桥梁主梁断面18个颤振导数识别的三自由度强迫振动法_牛华伟_陈政清
第47卷第4期2014年4月土木工程学报CHINA CIVIL ENGINEEＲING JOUＲNALVol．47Apr．No．42014基金项目：国家自然科学基金青年基金项目（50908085），国家自然科学基金重大课题项目（91215302）作者简介：牛华伟，博士，高级工程师收稿日期：2012-11-22桥梁主梁断面18个颤振导数识别的三自由度强迫振动法牛华伟陈政清（湖南大学风工程试验研究中心，湖南长沙410082）摘要：利用开发的全数控三自由强迫振动装置，发展桥梁断面18个颤振导数识别的三自由度强迫振动法。
强迫振动装置的驱动系统由伺服电机、数字驱动器和独特的耦合运动机构共同组成，实现由电脑调节振动频率等参数及控制其各个自由度单独或耦合运动；采用时域最小二乘识别算法，通过单自由度、竖向和扭转两自由耦合以及三自由度耦合三种运动方式分别对宽厚比为1/22．5的平板断面以及两种典型的桥梁断面进行颤振导数识别。
试验结果表明，该方法识别的平板断面颤振导数与Theodorsen 理论值非常接近；桥梁断面颤振导数曲线比较光滑，与阻力有关的颤振导数也具有良好的趋势性，而且模型运动方式对桥梁断面颤振导数的影响很小。
关键词：桥梁；颤振导数；强迫振动；三自由度中图分类号：U441+．3文献标识码：A 文章编号：1000-131X （2014）04-0075-09Three degrees-of-freedom forced vibration method for identifyingeighteen flutter derivatives of bridge decksNiu HuaweiChen Zhengqing（Wind Engineering Ｒesearch Center ，Hunan University ，Changsha 410082，China ）Abstract ：A three degrees-of-freedom （3-DOFs ）identification method was developed to extract 18flutter derivatives of bridge decks by utilizing the digitally-controlled forced vibration device．The developed forced vibration device consisted of servo motors ，digital drivers and a special coupled motion mechanism．The frequency of motions and the motion patterns in terms of single DOF vibration or coupled multi-DOFs vibration were simply controlled by computers．Based on the measured model displacements and the aerodynamic forces exerted on the model ，the flutter derivatives of a thin-plate section with a thickness to width ratio of 1/22．5and other two typical bridge deck sections were identified in time domain．The effect of motion patterns on identification results was discussed．The results show that the identified flutter derivatives of the thin-plate section agree rather well with the theoretical values of thin airfoil given by Theodorsen．The identified major flutter derivatives of the two typical bridge decks demonstrate regular variation patterns with the reduced wind speed．Moreover ，the flutter derivatives associated with drag forces generally show good trends ，and the motion pattern of the models has little effect on the flutter derivatives of bridge decks．Keywords ：bridge ；flutter derivative ；forced vibration ；three degrees-of-freedom E-mail ：niuhw@hnu．edu．cn引言目前，我国已经迈入超大跨度桥梁建设阶段，已建成的苏通长江公路大桥和中国香港昂船洲大桥两座斜拉桥主跨分别为1088m 和1018m ，西堠门悬索桥主跨达1650m ，而跨度超过2000m 的悬索桥方案也已经多次出现在我国大型跨海工程的规划方案中。
梯度下降法——精选推荐
梯度下降法
梯度下降法(gradient descent)或最速下降法(steepest descent)是求解⽆约束最优化问题的⼀种最常⽤的⽅法。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
假设f(x)是R n上具有⼀阶连续偏导数的函数，要求解的⽆约束最优化问题是
x*表⽰⽬标函数f(x)的极⼩点。
提梯度下降法是⼀种迭代算法。
选取适当的初值x(0)，不断迭代，更新x值，进⾏⽬标函数的极⼩化，直到收敛。
由于负梯度⽅向是使函数值下降最快的⽅向，在迭代的每⼀步，以负梯度⽅向更新x的值，从⽽达到减少函数值的⽬的。
由于f(x)具有⼀阶连续偏导数，若第k次迭代值为x(k)，则可将f(x)在x(k)附近进⾏⼀阶展泰勒开：
这⾥，为f(x)在x(k)的梯度。
求出第k+1次迭代值x(k+1)：
其中，p k是搜索⽅向，取负梯度⽅向，λk是步长，由⼀维搜索确定，即λk使得：
梯度下降算法如下：
输⼊：⽬标函数f(x)，梯度函数，计算精度ε；
输出：f(x)的极⼩点x*
（1）取初值x(0)∈R n ，置k=0
（2）计算f(x(k))
（3）计算梯度g k=g(x(k)),当||g k||<ε时，停⽌迭代，令x*=x k；否则，令p k=-g(x(k))，求λk，使
（4）置x(k+1)=x(k)+λk p k，计算f(x(k+1))
当||f(x(k+1))-f(x(k))||<ε或||x(k+1)-x(k)||<ε时，停⽌迭代，令x*=x(k+1)
（5）否则，置k=k+1,转（3）。
桥梁断面18个颤振导数自由振动识别
陈 艾 荣 ， 海 帆 ， 究飞 ，丁泉 顺 项 何
同 济大 学 土 术 防 灾国 家 重 电实 驻 室 ， 海 上 ２０９ ） ０ ０ ２
摘 要 ： 梁 断 面 的 自激 振 动 力 可 以用 １ 个 颤 振导 数 来 表 述 ． 现有 的 两 自 由 度 体 系 总 体 晟 小 二 乘 法 基 础 上 ， 桥 ８ 在 发 展 了用 于识 别桥 梁 断面 三 自由 度 体 系 １ ８个 颤 振 导 数 的 方 法 和 试 验装 置 利 用 设 方 法 对 箱 梁 断 面 进 行 节 段 模 型 试 验 ， 到 了全 部 １ 得 ８个 颤振 导数 将 三 自 由度 试 验 结 果 与 Ｃ Ｄ（ Ｆ ｍｍｐ ｔ ｉｎ［ ｕｄｄｍ ｍｉ ） 法 得 到 的颤 振 导 ｕａｏ ａ ｆ ｉ ！ａ ｃ 方 ｔ ｌ ， ｓ 数 进 行 了分 析 比较 ， 时对 准 定 常 理论 的估 算 公 式 进 行 了考 证 同 关 键 词 ： 段 模 型 ；颤 振 自激 力 ； 振 导 数 ； 数 识 别 节 颤 参
Ａ ｓｒ ｃ ： ｅａ ｒ ｄ ｎ ｍｉ ｅｆ ｘ ｉ ｄｆｒｅ ａ ｅｄ ｓｒｂ ｄ ｉ ８ ｆ ｔｅ ｅｉａｉｅ ａ ｅ Ｆｔ ｅｅ ｉｔ ｇ ｂ ｔａ ｔＴｈ ｅｏ ｙ ａ ｃｓ ｌ—ｅ ｃｔ ｃ ｓ ｎｈ ｅ ｃ ｉｅ １ ｌ ｔｒｄ ｒ ｔ ｓ Ｂ ｓｄＯ ｔｈ ｘ ｓｉ ｅ ｏ ｃ ｎ ｕ ｖ ｖ ｎ
梯度下降辨识算法
梯度下降辨识算法梯度下降辨识算法是一种常用的参数辨识方法，它通过迭代优化的方式，逐步调整模型参数，使得模型输出与观测数据尽可能接近。
本文将介绍梯度下降辨识算法的原理、步骤和应用。
一、原理梯度下降辨识算法基于最小化模型输出与观测数据之间的误差来确定模型参数。
其原理是通过计算参数的梯度，确定参数更新的方向和步长，使得模型输出逐渐接近观测数据。
二、步骤梯度下降辨识算法的步骤如下：1. 初始化参数：给定模型的初始参数值。
2. 计算模型输出：使用当前参数值计算模型的输出。
3. 计算误差：将模型输出与观测数据进行比较，计算误差。
4. 计算梯度：计算误差对参数的梯度，即误差对每个参数的偏导数。
5. 更新参数：根据梯度和学习率确定参数的更新方向和步长，更新参数值。
6. 判断停止条件：判断是否达到停止条件，如误差小于某个阈值或达到最大迭代次数。
7. 若未达到停止条件，返回步骤2；若达到停止条件，输出最优参数值。
三、应用梯度下降辨识算法广泛应用于参数辨识领域，特别是在机器学习和信号处理中常被使用。
以下是一些应用场景的例子：1. 机器学习中的线性回归：梯度下降辨识算法可以用于求解线性回归模型的最优参数，使得模型的预测值与真实值尽可能接近。
2. 信号处理中的系统辨识：梯度下降辨识算法可以用于估计信号处理系统的参数，从而更好地理解和控制信号的传输和变换过程。
3. 控制系统中的参数辨识：梯度下降辨识算法可以用于识别控制系统的参数，从而优化控制算法，提高系统的稳定性和性能。
四、优缺点梯度下降辨识算法具有以下优点：1. 简单易实现：梯度下降辨识算法的原理简单，实现相对容易。
2. 广泛适用：梯度下降辨识算法适用于各种类型的模型和数据。
3. 可并行计算：梯度下降辨识算法可以通过并行计算加速参数更新过程。
然而，梯度下降辨识算法也存在一些缺点：1. 收敛速度慢：梯度下降辨识算法的收敛速度较慢，特别是在参数空间复杂或误差曲面非凸的情况下。
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第25卷第6期 V ol.25 No.6 工 程 力 学 2008年 6 月June 2008ENGINEERING MECHANICS81———————————————收稿日期：2006-11-01；修改日期：2007-08-23基金项目：国家自然科学基金资助项目(50708012，50478109)；高等学校博士点专项科研基金(20040247026，20070141073) 作者简介：*许福友(1976―)，男，山东聊城人，讲师，博士，从事桥梁结构抗风研究(E-mail: fuyouxu@)； 陈艾荣(1963―)，男，贵州凤岗人，教授，博士，博导，从事桥梁工程研究(E-mail: a.chen@)； 文章编号：1000-4750(2008)06-0081-07识别桥梁断面18个颤振导数的梯度下降算法*许福友1，陈艾荣2，张 哲1(1. 大连理工大学土木水利学院，大连 116024；2. 同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)摘 要：桥梁断面颤振导数识别问题可转化为最小二乘优化问题，提出了梯度下降算法求解该优化问题，提取桥梁主梁断面18个颤振导数。
梯度下降算法在随机搜索过程中引入反馈机制，能够快速搜索到最优解，可用于系统参数识别，并且能够保证精度。
采用该算法识别了苏拉马都大桥主梁断面18个颤振导数，并且与随机子空间方法识别结果进行对比分析。
给出了现有弹簧悬挂系统自由振动方法识别桥梁断面颤振导数高风速时稳定性较差、侧向颤振导数识别精度相对较低的原因。
试验方法是影响颤振导数识别精度的决定性因素，识别方法是相对次要因素。
关键词：桥梁；梯度下降算法；苏拉马都大桥；颤振导数；识别精度 中图分类号：U448.21+3 文献标识码：AIDENTIFICATION OF 18 FLUTTER DERIV ATIVES OF BRIDGE DECKSUSING GRADIENT DECLINING ALGORITHM*XU Fu-you 1 , CHEN Ai-rong 2 , ZHANG Zhe 1(1. School of Civil & Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: The flutter-derivative identification of bridge decks can be converted into a least-square optimization problem. This problem is solved using the presented gradient declining algorithm (GDA). The 18 flutter derivatives of bridge deck are extracted subsequently. For GDA, the feedback mechanism is introduced into the stochastic search progress, by which the optimum solution can be searched rapidly. The GDA is applicable to the system parameter identification, and the satisfactory precision can be ensured. The 18 flutter derivatives of Suramadu Bridge deck are identified using GDA, and compared with the results extracted by stochastic subspace identification (SSI) technique. The reasons for poor stability of flutter derivatives at higher wind speed and relative unsatisfactory precision of lateral flutter derivatives extracted from the free vibration method with the existent spring suspension system are offered. For the identification precision of flutter derivatives, experiment procedure is more important than the extraction approach.Key words: bridge; gradient declining algorithm; Suramadu bridge; flutter derivatives; identification precision颤振导数表征结构在均匀流场中运动时引起周围流场变化而导致气流反作用到结构上的自激力特性，是桥梁颤振分析的必备参数。
桥梁主梁断面18个颤振导数是自激力(升力、阻力和升力矩)关于不同方向(竖向、侧向和扭转)运动位移、速度的变化率，即不同方向发生单位位移和速度引起的自激力的变化。
自由振动测试方法是颤振导数识别的常用方法，众多文献对其进行了研究，提出了具体的识别技术。
采用系统辨识理论识别模态参数，进而可以82 工程力学识别桥梁断面颤振导数[1―3]。
将加权总体迭代技术引入扩展卡尔曼滤波方法，从耦合振动时域曲线中可以同时识别颤振导数，并且速度较快[4]，但需要同时知道位移和速度的时程曲线及初始信息。
采用随机减量方法对紊流风场中桥梁节段模型的紊态抖振响应进行处理，在此基础上基于最小二乘原理可以识别桥梁断面8个颤振导数[5]。
结合特征系统实现算法和随机减量方法也可以识别紊流场中颤振导数[6]。
采用基于输出协方差估计的随机子空间方法可以更好地剥离信号中的噪声，进而识别紊流场中的桥梁断面颤振导数[7]。
最小二乘方法[8]及其修正方法[9―10]是识别桥梁断面颤振导数的实用方法。
该方法具有以下特点：计算模型要求竖弯、扭转信号长度相等；采用交叉迭代方法求解。
采用具有随机性和遍历性的随机搜索方法可替代交叉迭代方法，用于桥梁主梁节段模型2自由度8个颤振导数识别[11]，并且适用于竖弯和扭转信号长度不相等场合。
随着桥梁跨径的增大，侧向颤振导数对颤振分析影响越来越大。
对于钝体主梁断面，其阻力系数一般相对大于流线型断面，侧向颤振导数*iP相对流线型断面*iP更为重要。
Sarkar利用MITD法对具有3自由度节段模型18个颤振导数进行了识别[12]，结果表明竖弯和侧弯之间的气动耦合作用很小。
总体最小二乘方法也可以用于识别桥梁断面18个颤振导数[13]，结果表明：当断面比较钝时，2自由度和3自由度识别颤振导数结果有一定差别。
由自由衰减位移时程采用迭代状态空间法可识别机翼和桥梁断面18个颤振导数[14]。
本文将随机搜索方法[11]推广用于3自由度18个颤振导数识别，并对随机搜索过程加以改进，提出梯度下降算法(Gradient Declining Algorithm, GDA)，使其搜索效率更高。
通过数值算例验证了该算法的可靠性和计算精度。
采用梯度下降算法对具有开口Π形叠合梁钝体断面的苏拉马都大桥节段模型进行18个颤振导数识别，并与随机子空间识别方法(Stochastic Subspace Identification, SSI)识别结果进行了对比分析。
基于弹簧悬挂节段模型自由振动方法采集信号识别高风速时的颤振导数和侧向颤振导数精度相对较差，详细分析了各种影响因素。
1 识别18个颤振导数的数学模型在仅考虑自激力作用下，具有竖弯、侧弯和扭转3自由度桥梁主梁节段模型的运动方程为：22**12(2)h h hh Bm h h h U B KH KHU Uαξωωρ⎡++=++⎢⎣2*2**2*3456h p pK H K H KH K HB U Bα⎤+++⎥⎦(1)222**12(2)h BI U B KA KAU Uαααααξωαωαρ⎡++=++⎢⎣2*2**2*3456h p pK A K A KA K AB U Bα⎤+++⎥⎦(2)22**12(2)p p ph Bm p p p U B KP KPU Uαξωωρ⎡++=++⎢⎣2*2**2*3456h p pK P K P KP K PB U Bα⎤+++⎥⎦(3)式中：m为质量；I为质量惯矩；U为均匀来流风速；ρ为空气密度；B为宽度；hξ、αξ和pξ分别为竖弯、扭转和侧弯振动阻尼比；/K B Uω=为折算频率；,,h pαωωωω=分别为竖弯、扭转和侧弯振动圆频率；h、α、p、h 、α 、p 、h 、α 、p分别为竖弯、扭转和侧弯位移、速度和加速度；iH∗、iA∗、iP∗(i=1―6)为颤振导数，即气动升力、升力矩和阻力分别关于竖弯运动速度、扭转运动速度、扭转运动位移、竖弯运动位移、侧弯运动速度和侧弯运动位移的变化率。
方程(1)―方程(3)可分别写为：22h h hh h hξωω++=123456H h H H H h H p H pαα+++++(4)22ααααξωαωα++=123456A h A A A h A p A pαα+++++(5)22p p pp p pξωω++=123456Ph P P P h P p P pαα+++++(6)式中：2*11hBH Hmρω=，3*22BH Hmαρω=，32*33BH Hmαρω=，22*44hBH Hmρω=，2*55pBH Hmρω=，22*66pBH Hmρω=，3*11hBA AIρω=，4*22BA AIαρω=，42*33BA AIαρω=，32*44hBA AIρω=，3*55pBA AIρω=，32*66pBA AIρω=，工 程 力 学 832*11hB P P m ρω=，3*22B P P m αρω=，32*33B P P mαρω=，22*44h B P P m ρω=，2*55p B P P mρω=，22*66p B P P m ρω=。