识别桥梁断面18个颤振导数的梯度下降算法
桥梁颤振气动导数识别的迭代法
．
…
．
。 ，
） ｃ ）３ ，
国家 自然科 学基金资助项 目（ 编号 ５ ７８４ ） ９７０ ３ 收稿 日期 ：０ １ ８—２ 修改稿 收到 日期 ：０ １ １ ６ ２０ —０ ５ ２０ —１ —０ 第一作者 黄 方林 男 ， 博士 ， 副教授 ，９ ４年 ｌ １６ Ｏ月生
维普资讯
【 ＋ ２ 拿 ＋ ２ ＝ Ａ１ ＋ Ａ２ ＋ Ａ ａ ＋ Ａ４ ａ 。 。 ａ ｈ ａ ３ ｈ
获取 的气 动导 数有 ８个 。 目前 ， 主要 采 用 自由振 动 法 和强 迫 振 动 法 两 种 类 型 方 法 来 进 行 气 动 导 数 识 别 。
并 由此 衍 生 出 了不 同 的 方 法 ＿ ４。从 自 由振 动 法 来 ｌＪ Ｉ
维普资讯
振ห้องสมุดไป่ตู้
第 ２ 卷第 ２期 １
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡ ＯＦＶＩ Ｌ ＢＲＡ Ｉ Ｔ ＯＮ ＮＤ Ｓ Ａ ＨＯＣＫ
桥 梁 颤 振 气 动导 数 识 别 的 迭 代 法
黄方林 陈政 清
４ ０７ ） １０５
（ 中南大学铁 道校 区土木 建筑学 院 ， 长沙
取解 析 表达 式 中 参 数 的最 优 估 计 值 。 牛顿 一拉 夫 逊
式 （） １ 自由振 动 响 应 可写 成
ｆ ：２￣ ∑ｉ ） ｈ （ａ ｝ ｅ
Ｌ口 Ｊ Ｉ １ ：
（ ２ ）
式 中 （ ｉ：１２ 为 系统 第 ｉ 复模 态振 型 ， （ ，） 阶 ｉ＝１ ，
便 于 工 程实 际 采用 。
数字 仿 真 例 子 与 实 物 试 验 结 果 表 明 了本 文 提 出
的方 法 切实 可 行 、 效 。 有
基于EMD处理信号的桥梁颤振导数识别
振
第２ ７卷第 ５期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ Ｉ ＡＮＤ ＨＯＣ Ｓ Ｋ
基于 Ｅ ＭＤ 处理 信 号 的桥 梁颤 振 导数 识 别
许福友 陈艾荣 刘剑锋 王达磊 ， ， ，
（ ．大 连 理 工 大 学 １ 土 木 水利 学 院 ， 连 大 ｌ６ ２ ；． １０ ４ ２ 同济 大 学 土 木 工 程 防 灾 国家 重 点 实 验 室 ， 海 上 ２０ ９ ） ０ ０２
数需 要满 足两 个条 件 ：）整 个 时 间序列 极 值个 数 与 穿 １ 过零 点个 数相 同或 其 差值 为 一 ；）极 大值 包 络线 与 极 ２ 小值 包络 线关 于零 轴 对称 。事 实 表 明 ， 件 １ 很 容 易 条 ） 而且 也 必 需 满 足 ， 而条 件 ２ 是 理 想 条 件 ， 法 严 格 满 ） 无
识别结果差异不容忽略。分 析结果表 明 ， 经验模态分解是提高桥梁颤振导数识 别精 度的一种行之有效 的方法 。 关键词 ：经验模态分解方法 ； 颤振导数 ； 参数识别 ； 苏通大桥
中 图分 类 号 ：Ｖ １ ． ＋ ２５３ ４ 文 献 标 识 码 ：Ａ
桥梁 颤振导 数识 别是 桥 梁颤 抖振 分 析 的一 个 基 础 环节， 其识 别 精 度直 接 影 响后 续 颤抖 振 计 算 精 度 和 可 信 度 。采 用数 值 方 法 ¨ 可 以识 别 桥 梁 颤 振 导 数 ， 其 优 点是不像 物理 风 洞 试 验 那样 费 用 昂 贵 ， 易 实 现 参 容
摘 要 ：桥梁风洞试验采集信号都不可避免地被噪声污染 ， 并且具有一定的非平稳性， 因此导致桥梁颤振导数识
别精度降低。为了提高识别精度 ， 基于经验模态 分方法分 离信号 固有模态 函数 ， 消除 了高频噪声 和低频非平 稳趋势 项。
桥梁断面的气动导数和颤振临界风速的数值计算
桥梁断面的气动导数和颤振临界风速的数值计算3曹丰产 项海帆 陈艾荣同济大学土木工程防灾国家重点实验室,上海 200092摘要 选取有代表性的大海带东桥、南京二桥流线型闭口箱梁断面和荆沙桥钝头开口板梁断面,用动网格法考虑流体和结构的耦合作用,用有限单元法求解原始变量二维不可压粘性流体的N 2S 方程,计算其气动导数,并用半逆解法确定颤振临界风速。
计算结果和实验值相当吻合。
关键词 桥梁断面;N 2S 方程;动网格法;气动导数中图分类号 U441+.2 文章标识码:A 文章编号:025821825(2000)01200262080 引 言 桥梁断面的气动导数和颤振临界风速的确定在桥梁抗风设计中有着十分重要的地位。
气动导数一般通过节段模型风洞试验来测定,测定方法可分为自由振动法和强迫振动法两类。
自由振动法实验量很大,并且在提取交叉导数的过程中要求模型的竖向运动和扭转运动在所有的风速下都有相同的频率和阻尼比,这个要求在实验室中很难达到。
强迫振动法利用计算机控制的激励装置使模型分别在竖向和扭转方向产生一定频率的正弦运动,同时通过分布在模型表面的测压孔测出这些点的压力,再沿模型表面积分得到升力和力矩相对于运动的幅值和相位,从而获得8个气动导数。
采用强迫振动法需要复杂的激励设备和测量动压的装置。
随着计算机性能的提高,用计算机数值模拟研究这类气动弹性问题已经成为可能,Walther [1](1994)在其博士论文中用离散涡法求解N 2S 方程计算了大海带东桥基本断面的气动导数,Larsen [2](1998)给出了用这种方法计算的5种基本断面的气动导数。
数值模拟计算气动导数的关键在于计算运动物体所承受的气动力,难点在于流体运动和结构运动的描述方法的不同所带来的问题。
流体运动一般用欧拉方法描述,而结构运动一般用拉格朗日方法描述,因此在直接求解流体和结构的耦合运动方程时,在每一计算时步上至少要移动靠近结构表面的计算网格。
梯度下降算法的流程
梯度下降算法的流程梯度下降算法是一种常用的优化算法，它主要用于求解损失函数的最小值或最大值。
在机器学习和深度学习中，梯度下降算法被广泛应用于参数优化的过程中。
本文将从算法的原理、流程、优化方法、收敛性、应用场景等方面进行详细介绍。
一、梯度下降算法的原理梯度下降算法的原理基于函数的梯度。
所谓梯度，即函数在某一点的导数，它指出了函数在这一点的变化率和变化的方向。
梯度下降算法的目标就是通过不断迭代，找到函数的最小值点或最大值点。
对于一个函数f(x)，梯度下降算法的更新规则可描述为：x_{t+1} = x_t - \alpha \nabla f(x_t)其中，x_t表示第t次迭代的参数值，\alpha表示学习率，\nabla f(x_t)表示函数f(x)在点x_t的梯度。
通过不断迭代更新参数值，最终达到函数的最小值或最大值。
二、梯度下降算法的流程梯度下降算法的流程可以分为批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）、小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）三种，下面将对这三种流程进行详细介绍。
1.批量梯度下降（Batch Gradient Descent）批量梯度下降是最基本的梯度下降算法，它的核心思想是利用所有样本的梯度来更新参数值。
其具体流程如下：Step 1:随机初始化参数值x_0Step 2:计算损失函数的梯度\nabla f(x_t)Step 3:更新参数值x_{t+1} = x_t - \alpha \nabla f(x_t)Step 4:重复Step 2和Step 3，直到收敛或达到迭代次数批量梯度下降算法的优点是能够全局搜索，但由于每次迭代都要使用所有样本的梯度，所以计算成本比较高，并且对大数据集不太适用。
2.随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）随机梯度下降是一种每次随机选择一个样本来计算梯度更新参数值的算法。
桥梁主梁断面18个颤振导数识别的三自由度强迫振动法_牛华伟_陈政清
第47卷第4期2014年4月土木工程学报CHINA CIVIL ENGINEEＲING JOUＲNALVol．47Apr．No．42014基金项目：国家自然科学基金青年基金项目（50908085），国家自然科学基金重大课题项目（91215302）作者简介：牛华伟，博士，高级工程师收稿日期：2012-11-22桥梁主梁断面18个颤振导数识别的三自由度强迫振动法牛华伟陈政清（湖南大学风工程试验研究中心，湖南长沙410082）摘要：利用开发的全数控三自由强迫振动装置，发展桥梁断面18个颤振导数识别的三自由度强迫振动法。
强迫振动装置的驱动系统由伺服电机、数字驱动器和独特的耦合运动机构共同组成，实现由电脑调节振动频率等参数及控制其各个自由度单独或耦合运动；采用时域最小二乘识别算法，通过单自由度、竖向和扭转两自由耦合以及三自由度耦合三种运动方式分别对宽厚比为1/22．5的平板断面以及两种典型的桥梁断面进行颤振导数识别。
试验结果表明，该方法识别的平板断面颤振导数与Theodorsen 理论值非常接近；桥梁断面颤振导数曲线比较光滑，与阻力有关的颤振导数也具有良好的趋势性，而且模型运动方式对桥梁断面颤振导数的影响很小。
关键词：桥梁；颤振导数；强迫振动；三自由度中图分类号：U441+．3文献标识码：A 文章编号：1000-131X （2014）04-0075-09Three degrees-of-freedom forced vibration method for identifyingeighteen flutter derivatives of bridge decksNiu HuaweiChen Zhengqing（Wind Engineering Ｒesearch Center ，Hunan University ，Changsha 410082，China ）Abstract ：A three degrees-of-freedom （3-DOFs ）identification method was developed to extract 18flutter derivatives of bridge decks by utilizing the digitally-controlled forced vibration device．The developed forced vibration device consisted of servo motors ，digital drivers and a special coupled motion mechanism．The frequency of motions and the motion patterns in terms of single DOF vibration or coupled multi-DOFs vibration were simply controlled by computers．Based on the measured model displacements and the aerodynamic forces exerted on the model ，the flutter derivatives of a thin-plate section with a thickness to width ratio of 1/22．5and other two typical bridge deck sections were identified in time domain．The effect of motion patterns on identification results was discussed．The results show that the identified flutter derivatives of the thin-plate section agree rather well with the theoretical values of thin airfoil given by Theodorsen．The identified major flutter derivatives of the two typical bridge decks demonstrate regular variation patterns with the reduced wind speed．Moreover ，the flutter derivatives associated with drag forces generally show good trends ，and the motion pattern of the models has little effect on the flutter derivatives of bridge decks．Keywords ：bridge ；flutter derivative ；forced vibration ；three degrees-of-freedom E-mail ：niuhw@hnu．edu．cn引言目前，我国已经迈入超大跨度桥梁建设阶段，已建成的苏通长江公路大桥和中国香港昂船洲大桥两座斜拉桥主跨分别为1088m 和1018m ，西堠门悬索桥主跨达1650m ，而跨度超过2000m 的悬索桥方案也已经多次出现在我国大型跨海工程的规划方案中。
梯度下降法——精选推荐
梯度下降法
梯度下降法(gradient descent)或最速下降法(steepest descent)是求解⽆约束最优化问题的⼀种最常⽤的⽅法。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
假设f(x)是R n上具有⼀阶连续偏导数的函数，要求解的⽆约束最优化问题是
x*表⽰⽬标函数f(x)的极⼩点。
提梯度下降法是⼀种迭代算法。
选取适当的初值x(0)，不断迭代，更新x值，进⾏⽬标函数的极⼩化，直到收敛。
由于负梯度⽅向是使函数值下降最快的⽅向，在迭代的每⼀步，以负梯度⽅向更新x的值，从⽽达到减少函数值的⽬的。
由于f(x)具有⼀阶连续偏导数，若第k次迭代值为x(k)，则可将f(x)在x(k)附近进⾏⼀阶展泰勒开：
这⾥，为f(x)在x(k)的梯度。
求出第k+1次迭代值x(k+1)：
其中，p k是搜索⽅向，取负梯度⽅向，λk是步长，由⼀维搜索确定，即λk使得：
梯度下降算法如下：
输⼊：⽬标函数f(x)，梯度函数，计算精度ε；
输出：f(x)的极⼩点x*
（1）取初值x(0)∈R n ，置k=0
（2）计算f(x(k))
（3）计算梯度g k=g(x(k)),当||g k||<ε时，停⽌迭代，令x*=x k；否则，令p k=-g(x(k))，求λk，使
（4）置x(k+1)=x(k)+λk p k，计算f(x(k+1))
当||f(x(k+1))-f(x(k))||<ε或||x(k+1)-x(k)||<ε时，停⽌迭代，令x*=x(k+1)
（5）否则，置k=k+1,转（3）。
桥梁断面18个颤振导数自由振动识别
陈 艾 荣 ， 海 帆 ， 究飞 ，丁泉 顺 项 何
同 济大 学 土 术 防 灾国 家 重 电实 驻 室 ， 海 上 ２０９ ） ０ ０ ２
摘 要 ： 梁 断 面 的 自激 振 动 力 可 以用 １ 个 颤 振导 数 来 表 述 ． 现有 的 两 自 由 度 体 系 总 体 晟 小 二 乘 法 基 础 上 ， 桥 ８ 在 发 展 了用 于识 别桥 梁 断面 三 自由 度 体 系 １ ８个 颤 振 导 数 的 方 法 和 试 验装 置 利 用 设 方 法 对 箱 梁 断 面 进 行 节 段 模 型 试 验 ， 到 了全 部 １ 得 ８个 颤振 导数 将 三 自 由度 试 验 结 果 与 Ｃ Ｄ（ Ｆ ｍｍｐ ｔ ｉｎ［ ｕｄｄｍ ｍｉ ） 法 得 到 的颤 振 导 ｕａｏ ａ ｆ ｉ ！ａ ｃ 方 ｔ ｌ ， ｓ 数 进 行 了分 析 比较 ， 时对 准 定 常 理论 的估 算 公 式 进 行 了考 证 同 关 键 词 ： 段 模 型 ；颤 振 自激 力 ； 振 导 数 ； 数 识 别 节 颤 参
Ａ ｓｒ ｃ ： ｅａ ｒ ｄ ｎ ｍｉ ｅｆ ｘ ｉ ｄｆｒｅ ａ ｅｄ ｓｒｂ ｄ ｉ ８ ｆ ｔｅ ｅｉａｉｅ ａ ｅ Ｆｔ ｅｅ ｉｔ ｇ ｂ ｔａ ｔＴｈ ｅｏ ｙ ａ ｃｓ ｌ—ｅ ｃｔ ｃ ｓ ｎｈ ｅ ｃ ｉｅ １ ｌ ｔｒｄ ｒ ｔ ｓ Ｂ ｓｄＯ ｔｈ ｘ ｓｉ ｅ ｏ ｃ ｎ ｕ ｖ ｖ ｎ
梯度下降辨识算法
梯度下降辨识算法梯度下降辨识算法是一种常用的参数辨识方法，它通过迭代优化的方式，逐步调整模型参数，使得模型输出与观测数据尽可能接近。
本文将介绍梯度下降辨识算法的原理、步骤和应用。
一、原理梯度下降辨识算法基于最小化模型输出与观测数据之间的误差来确定模型参数。
其原理是通过计算参数的梯度，确定参数更新的方向和步长，使得模型输出逐渐接近观测数据。
二、步骤梯度下降辨识算法的步骤如下：1. 初始化参数：给定模型的初始参数值。
2. 计算模型输出：使用当前参数值计算模型的输出。
3. 计算误差：将模型输出与观测数据进行比较，计算误差。
4. 计算梯度：计算误差对参数的梯度，即误差对每个参数的偏导数。
5. 更新参数：根据梯度和学习率确定参数的更新方向和步长，更新参数值。
6. 判断停止条件：判断是否达到停止条件，如误差小于某个阈值或达到最大迭代次数。
7. 若未达到停止条件，返回步骤2；若达到停止条件，输出最优参数值。
三、应用梯度下降辨识算法广泛应用于参数辨识领域，特别是在机器学习和信号处理中常被使用。
以下是一些应用场景的例子：1. 机器学习中的线性回归：梯度下降辨识算法可以用于求解线性回归模型的最优参数，使得模型的预测值与真实值尽可能接近。
2. 信号处理中的系统辨识：梯度下降辨识算法可以用于估计信号处理系统的参数，从而更好地理解和控制信号的传输和变换过程。
3. 控制系统中的参数辨识：梯度下降辨识算法可以用于识别控制系统的参数，从而优化控制算法，提高系统的稳定性和性能。
四、优缺点梯度下降辨识算法具有以下优点：1. 简单易实现：梯度下降辨识算法的原理简单，实现相对容易。
2. 广泛适用：梯度下降辨识算法适用于各种类型的模型和数据。
3. 可并行计算：梯度下降辨识算法可以通过并行计算加速参数更新过程。
然而，梯度下降辨识算法也存在一些缺点：1. 收敛速度慢：梯度下降辨识算法的收敛速度较慢，特别是在参数空间复杂或误差曲面非凸的情况下。
梯度下降法的基本步骤
梯度下降法的基本步骤
梯度下降法呢，就像是你在山上找宝藏，要一步步往山下走才能找到最低点的宝藏。
那第一步呀，咱得先有个函数，就好比是这座山的地形。
这个函数能告诉我们在每个点的高度，也就是函数值啦。
比如说这个函数是关于好多变量的，像f(x,y,z)这种。
接着呢，要找这个函数的梯度。
啥是梯度呢？它就像是在这个函数的每个点上给你指个方向，告诉你往哪儿走下山最快。
这个梯度可是个向量哦，它的每个分量就是这个函数对每个变量的偏导数。
然后呀，咱得选个初始点。
这就好比你站在山上的某个位置开始找宝藏。
这个初始点可以随便选，不过有时候选得好呢，就能更快找到宝藏，也就是函数的最小值啦。
选好初始点之后呢，就按照梯度的反方向走一小步。
为啥是反方向呢？因为梯度是指向函数值增加最快的方向，咱要找最小值，就得往相反方向走呀。
走这一小步的大小呢，就由一个叫学习率的东西决定。
学习率就像是你的小碎步的大小，如果学习率太大了，就可能一下子走过头了，错过宝藏；要是太小呢，又会走得太慢，好久都找不到宝藏。
走完这一小步之后呢，就到了一个新的点啦。
然后再在这个新的点上计算梯度，再按照梯度的反方向走一小步。
就这样，不断重复这个过程，一直走呀走，直到走到一个点，在这个点附近，不管再怎么按照梯度的反方向走，函数值都变化不大了，这个时候呀，咱就差不多找到宝藏啦，也就是函数的最小值附近啦。
宝子，梯度下降法就是这么个有趣的过程，就像你在山上探索一样充满乐趣呢。
梯度下降法的主要步骤
梯度下降法的主要步骤梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解函数的最优解。
它的主要步骤可以分为初始化、计算梯度、更新参数和重复迭代四个部分。
首先，在使用梯度下降法之前，我们需要对问题进行定义并明确优化的目标。
例如，我们要优化一个损失函数，使其取得最小值。
接下来，我们需要对待优化的参数进行初始化，通常可以随机生成一组初始参数。
在初始化完成之后，就可以开始进行梯度计算了。
梯度是函数在某一点上的斜率，用于指示函数在该点上升或下降的方向。
为了计算梯度，我们可以使用偏导数来描述函数在每个参数上的变化情况，通过对每个参数求偏导数，我们就可以得到一个梯度向量。
梯度向量的方向指示了函数在当前点上升最快的方向，而梯度向量的反方向则是函数下降最快的方向。
接下来，我们需要利用计算得到的梯度来更新参数。
更新参数的过程可以通过简单的数学运算来实现，通常是用当前参数减去学习率乘以梯度。
学习率是一个超参数，用于调节参数更新的步幅。
如果学习率设置得过大，可能会导致参数更新过快而无法达到最优解；如果学习率设置得过小，可能会导致参数更新过慢而耗费过多的时间。
最后，我们需要重复迭代上述步骤，直到达到停止条件。
停止条件可以是达到最大迭代次数，或者当参数的更新幅度小于一个预设的阈值时。
通过不断地迭代更新参数，我们可以逐渐接近于函数的最优解。
总结来说，梯度下降法是一种通过计算函数梯度并不断更新参数的优化算法。
它的主要步骤包括初始化参数、计算梯度、更新参数和重复迭代。
通过不断迭代更新参数，最终可以逐渐接近函数的最优解。
在实际应用中，梯度下降法被广泛应用于机器学习、深度学习等领域，用于求解各种复杂函数的最优解，具有重要的指导意义。
梯度下降的正确步骤
梯度下降的正确步骤梯度下降是一种常用的优化算法，被广泛应用于机器学习和深度学习中。
它的基本思想是通过迭代的方式，让目标函数在每一步沿着负梯度的方向尽可能地减小，从而找到函数的最小值点。
下面是梯度下降的正确步骤：1.初始化参数：首先，我们需要初始化模型的参数，这些参数是待优化的变量。
通常，我们会将参数初始化为一个随机的初始值，以避免陷入局部最优解。
2.计算损失函数：在进行梯度下降之前，我们需要定义一个损失函数来衡量模型的预测值与真实值之间的差异。
常用的损失函数包括均方误差（MSE）和交叉熵损失等。
根据所选择的损失函数，计算出当前参数下的损失值。
3.计算梯度：在梯度下降中，我们需要计算损失函数对于每个参数的偏导数，这些偏导数组成了梯度向量。
梯度向量中的每个元素代表了相应参数在当前位置的变化方向和速度。
4.更新参数：根据梯度向量的方向，我们可以通过更新参数来使损失函数的值减小。
更新参数的公式通常为：参数=参数-学习率*梯度学习率是一个超参数，用于控制每一步更新的幅度。
学习率过大会导致震荡或发散，学习率过小会使优化过程非常缓慢。
通常，我们可以通过实验和调参来找到一个合适的学习率。
5.判断终止条件：在进行梯度下降的迭代过程中，我们需要设定终止条件，来判断迭代是否应该终止。
常见的终止条件有两种：一是达到最大迭代次数；二是当损失函数的变化量小于一个设定的阈值时，我们认为模型已经收敛，可以停止迭代。
6.迭代更新：如果终止条件不满足，那么我们就重复步骤2-5，直到满足终止条件为止。
每次迭代都会计算新的参数和损失函数的值，然后更新参数并计算新的梯度。
这个过程将持续进行，直到达到终止条件。
7.输出结果：当迭代结束后，我们就得到了优化后的参数值。
这些参数值将用于最终模型的预测和推断。
我们可以将这些参数保存下来，以备后续使用。
梯度下降算法具有较好的全局优化性能，并且可以应用于各种复杂的模型优化问题。
但是，它也存在一些问题，比如可能会陷入局部最优解、学习率选择困难等。
梯度下降法 参数辨识
梯度下降法参数辨识English response:Gradient descent is a popular optimization algorithm used to minimize a function by iteratively moving in the direction of steepest descent as determined by the negative of the gradient. In the context of parameter identification, gradient descent can be used to estimate the parameters ofa model by minimizing the difference between the model's predictions and the actual observations.There are several variations of gradient descent, including batch gradient descent, stochastic gradient descent, and mini-batch gradient descent. In batch gradient descent, the algorithm computes the gradient of the entire dataset at each iteration, making it computationally expensive for large datasets. Stochastic gradient descent, on the other hand, computes the gradient for eachindividual data point, making it faster but more noisy.Mini-batch gradient descent strikes a balance by computingthe gradient on a small random subset of the data.To apply gradient descent for parameter identification, the first step is to define a loss function that measures the difference between the model's predictions and the actual observations. This loss function is then minimized using gradient descent by updating the model parameters in the direction that reduces the loss.One challenge in using gradient descent for parameter identification is the choice of learning rate, which determines the size of the steps taken during each iteration. A learning rate that is too small may result in slow convergence, while a learning rate that is too large may cause the algorithm to overshoot the minimum.In addition to the learning rate, the choice of initialization for the model parameters and the number of iterations are also important considerations when using gradient descent for parameter identification. It is often necessary to experiment with different hyperparameters to find the optimal settings for a specific problem.Overall, gradient descent is a powerful and versatile algorithm for parameter identification, and its effectiveness depends on careful tuning of hyperparameters and understanding of the underlying problem.中文回答：梯度下降是一种常用的优化算法，通过迭代沿着由梯度的负值确定的最陡下降方向移动，以最小化函数。
识别桥梁断面颤振导数的快速相关特征系统实现算法
识别桥梁断面颤振导数的快速相关特征系统实现算法
李友祥;祝志文;陈政清
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2008(000)008
【摘要】风洞试验是获取桥梁断面颤振导数最直接和有效的方法.由于高风速下各种噪声对振动信号的污染,造成高风速下颤振导数识别的难度加大,因此合理的算法选择显得特别重要.介绍了一种基于响应数据相关的特征系统实现算法(快速相关ERA),并提出了将该算法在桥梁断面颤振导数识别上的实现.然后以具有理论解的Theodorsen理想平板为例,通过数值仿真和系统识别得到了一定折算风速范围不同噪声水平下的颤振导数.识别的理想平板颤振导数与Teodorsen理论解的合理一致性,验证了算法的可靠性和鲁棒性.
【总页数】4页(P117-120)
【作者】李友祥;祝志文;陈政清
【作者单位】湖南大学风工程试验研究中心,长沙,410082;湖南大学风工程试验研究中心,长沙,410082;湖南大学风工程试验研究中心,长沙,410082
【正文语种】中文
【中图分类】V215.3+4
【相关文献】
1.基于自由振动响应识别颤振导数的特征系统实现算法 [J], 祝志文;顾明
2.桥梁颤振气动导数识别的ERA算法及其仿真实现 [J], 王丽炜;夏江宁;宋汉文
3.桥梁断面颤振导数的分状态多频强迫振动识别 [J], 王林凯;刘志文;陈政清
4.识别桥梁断面18个颤振导数的梯度下降算法 [J], 许福友;陈艾荣;张哲
5.基于自由振动响应识别桥梁断面颤振导数的人工蜂群算法 [J], 林阳;封周权;华旭刚;陈政清
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
桥梁断面颤振导数的CFD全带宽识别法_祝志文
第24卷第9期V ol.24 No.9 工程力学2007年9 月Sep. 2007 ENGINEERING MECHANICS 80 文章编号：1000-4750(2007)09-0080-08桥梁断面颤振导数的CFD全带宽识别法*祝志文1,2，顾明2，陈政清1(1. 湖南大学风工程试验研究中心，湖南长沙 410082；2. 同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)摘要：由于需要在不同折算风速下重复进行大量试验或CFD(Computational Fluid Dynamics)模拟，现有风洞试验和CFD方法识别桥梁断面颤振导数耗时且效率低。
提出一种基于CFD离散时间气动模型，快速识别感兴趣折算风速带宽内任意折算风速下桥梁断面颤振导数的全带宽识别法。
该法基于任意拉格朗-欧拉描述的有限体积法和多层网格技术，首先计算作用在桥梁断面上的非定常气动力，CFD模拟时强迫桥梁断面以单自由度竖弯或扭转方式振动，位移模式为定义在感兴趣的频率范围内的指数脉冲时间序列。
然后利用得到的气动力和该指数脉冲输入，通过系统识别建立起反映桥梁断面气动力系统特性的离散时间气动模型。
随后利用该气动模型仿真桥梁断面在简谐位移激励下的气动力响应，并由该模型的输入和响应通过系统识别得到桥梁断面的颤振导数。
该法在竖弯和扭转方向各仅需一次CFD模拟，就可构造离散时间气动模型，使得颤振导数识别的计算量显著降低。
开展了三汊矶大桥加劲梁断面颤振导数识别和颤振临界风速计算，研究结果与风洞试验的一致性，证明了方法的可靠性和高效性。
关键词：颤振；CFD；系统识别；模型仿真；指数脉冲；桥梁断面中图分类号：TU311.3 文献标识码：AEXTRACTION OF FLUTTER DERIV ATIVES OF BRIDGE DECK AMONG FULL BANDWIDTH OF REDUCED WIND SPEEDS*ZHU Zhi-wen1,2 , GU Ming2 , CHEN Zheng-qing1(1. Research Center in Wind Engineering, Hunan University, Changsha, Hunan 410082, China;2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: Nowadays, either wind tunnel tests or CFD (Computational Fluid Dynamics) simulations are time-consuming and inefficient to identify bridge deck flutter derivatives, since a large number of tests or simulations must be performed repeatedly at various reduced wind speeds. In the work reported herein, a method, based on the CFD discrete-time model, is presented, which can effectively extract flutter derivatives of a bridge deck at arbitrary reduced wind speeds among full bandwidth of reduced wind speeds. First, unsteady aerodynamic forces acting on a bridge deck are obtained by using the Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE) descriptions in combination with finite volume method and multigrid algorithm. In CFD simulations, forced vertical or torsional displancements in form of exponential pulse time series which defined on interesting range of frequencies are applied to the bridge deck. Then, based on the obtained aerodynamic forces and the displacement inputs, discrete time aerodynamic models can be developed which can represent the unsteady aerodynamic behaviors of the———————————————收稿日期：2006-03-04；修改日期：2006-09-04基金项目：国家自然科学基金项目(50678067)；湖南省自然科学基金项目(03JJY3084)；上海市博士后基金项目(06R214148)；中国博士后基金项目(2005038452)作者简介：*祝志文(1968)，男，湖南益阳人，副教授，博士，主要从事桥梁抗风的风洞试验和CFD研究(E-mail: zwzhu@)；顾明(1957)，男，江苏兴化人，教授，博士，博导，主要从事桥梁与结构抗风研究(E-mail: minggu@)；陈政清(1947)，男，湖南湘潭人，教授，博士，博导，主要从事桥梁抗风研究(E-mail: zqchen@).工程力学 81bridge deck. Finally, the aerodynamic models are simulated to obtain unsteady aerodynamic forces tosimple-harmonic displacement inputs. With those input and obtained aerodynamic forces, bridge deck flutterderivatives can be identified through a system identification algorithm. The discrete-time aerodynamic models canbe developed by the presented method which only employs one run of CFD simulation in heaving or pitchingdirections respectively, leading to a significant decrease in computing time. Flutter derivatives and flutter onsetwind speeds of the Sanchaji Bridge are investigated. Reasonable agreements between results from the presentmethod and those from wind tunnel tests demonstrate the reliability and efficiency of the method.Key words:flutter; CFD; system identification; model simulation; exponential pulse; bridge deck大跨度桥梁的颤振稳定性研究，目前主要采用两种方法：风洞试验和基于计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics，CFD)的数值方法，这两种方法相辅相成。
（原+译）常见的梯度下降算法
（原+译）常见的梯度下降算法转载请注明出处：翻译⽹址：参考⽹址：对于凸优化问题，需要计算损失函数$L(\theta )$的极⼩值（最⼩值）。
由于梯度是函数上升最快的⽅向，因⽽梯度下降算法在更新参数$\theta $的梯度时，均是减去参数的梯度。
下⾯的$\eta $为学习率。
下⾯的均为⼀阶的梯度下降算法，⼆阶的由于要计算Hessian矩阵，计算量较⼤，因⽽原⽹址未介绍。
1. 批量梯度下降算法（batch gradient descent，BGD）BGD在整个训练集上⾯计算损失函数关于参数$\theta $的梯度：$\theta =\theta -\eta \centerdot {{\nabla }_{\theta }}J(\theta )$由于每次更新$\theta $时均需要在整个训练集上⾯计算梯度，因⽽BGD算法⽐较慢，且BGD算法⽆法处理数据太多⽽⽆法⼀次性存储在内存中的情况。
另外，BGD算法⽆法在线更新模型。
对于凸优化问题，BGD会收敛到全局最⼩值；对于⾮凸优化问题，BGD会收敛到局部最⼩值。
2. 随机梯度下降算法（stochastic gradient descent，SGD）SGD每次选择⼀个训练样本对$({{x}^{(i)}},{{y}^{(i)}})$来更新参数$\theta $：$\theta =\theta -\eta \centerdot {{\nabla }_{\theta }}J(\theta ;{{x}^{(i)}},{{y}^{(i)}})$由于SGD每次只通过⼀个训练样本对来更新参数，因⽽⽐BGD快很多，也可以⽤于在线学习。
但是SGD更新参数时很容易出现波动，因⽽⽅差很⾼。
但是这种波动也能让SGD跳出当前的局部极⼩值，调到另⼀个更好的极⼩值处。
当逐渐降低学习率时，SGD和BGD⼀样，对于⾮凸问题，会收敛到局部极⼩值；对于凸问题会收敛到全局极⼩值。
注意，在使⽤SGD时，需要对样本进⾏随机化处理。
梯度下降法详解
梯度下降法详解在学习、⽣活、科研以及⼯程应⽤中，⼈们经常要求解⼀个问题的最优解，通常做法是对该问题进⾏数学建模，转换成⼀个⽬标函数，然后通过⼀定的算法寻求该函数的最⼩值，最终寻求到最⼩值时的输⼊参数就是问题的最优解。
⼀个简单的例⼦，就是求解y=x2的最优解，也就是求当y取得最⼩值时x的取值。
这个问题初中⽣都会解，谁都知道，直接对函数求导得到导数y=2x，令y=2x=0解得x=0，这就是最优解。
然⽽，很多实际问题的⽬标函数是很复杂的，很难求出其导数表达式，这种情况下如果还想通过求导数表达式并令其等于0来求最优解就很困难了。
不过虽然导数表达式求解困难，但某⼀确定点的近似导数值还是⽐较容易求出来的，所以⼈们通常利⽤某⼀确定点的近似导数值来逼近最优解。
梯度下降法就是这样的⼀种算法，在⼀步⼀步逼近的过程中，⽬标函数值呈下降趋势，输⼊参数的值也⼀步⼀步逼近最优解，其整个迭代逼近过程如下图所⽰：下⾯将从数学的⾓度解释其原理。
假设函数f具有n个输⼊参数：x1，x2，…，x n，第k次逼近的⽬标函数值可以表达如下：对第k+1次逼近的⽬标函数进⾏泰勒展开，并忽略余项，得到下式：其中▽f为梯度向量，也即在该点处所有输⼊参数的偏导数组成的向量，△x为从第k次到第k+1次逼近时输⼊参数的变化向量。
我们知道，多维函数的偏导数的定义为：所以可以取⼀个很⼩的△x i值（⽐如0.0001）来近似计算x i的偏导数：向量的点乘可以转换为向量模与向量夹⾓的相乘：于是有：由上式可知，当向量夹⾓cosθ=-1时向量的点乘结果最⼩，也即函数值下降最多，此时向量夹⾓为180度，说明梯度向量与输⼊参数的变化向量⽅向相反。
所以要使下⼀次逼近时⽬标函数值尽可能地相对于当前次降低，也就是使⽬标函数值下降最快，就应该沿着梯度（偏导数）的负⽅向寻找下⼀个逼近点。
即：上式中，α为沿梯度负⽅向前进的步长，α取值过⼩会使逼近最优解的速度很慢，从⽽迭代次数增加，反之如果取值过⼤，则容易跳过最优解。
梯度下降法-Gradient Descent
1. 梯度下降法 (Gradient descent) 梯度下降法，通常也叫最速下降法(steepest descent)，基于这样一个事实：如果实值函数 f(x) 在点x 处可微且有定义，那么函数 f(x) 在 x 点沿着负梯度(梯度的反方向)下降最快。
假设x 是一个向量，考虑f(x) 的泰勒展开式：)(,)()())(()()()(12是方向向量为步长标量；其中k k k k k k k k k k k k k k k k d d x x x x x f x f x o x x f x f x x f αα=-=∆∆∇+≈∆+∆∇+=∆++如果想要函数值下降，则要()||()||||||cos (),0k k k k k k f x x f x x f x x ∇∆=∇⋅∆⋅<∇∆><。
如果想要下降的最快，则需要k k x x f ∆∇)(取最小值，即cos (),1k k f xx <∇∆>=-，也就是说，此时x 的变化方向(k x ∆的方向)跟梯度)(k x f ∇的方向恰好相反。
那么步长如何选取呢？的确，很难选择一个合适的固定值，如果较小，会收敛很慢；如果较大，可能有时候会跳过最优点，甚至导致函数值增大；因此，最好选择一个变化的步长，在离最优点较远的时候，步长大一点，离最优点较近的时候，步长小一点。
k α小 k α大 k α变化的一个不错的选择是||)(||k k x f ∇=αα，于是牛顿迭代公式变为：)(1k k k x f x x ∇-=+α，此时α是一个固定值，称为学习率，通常取0.1，该方法称为固定学习率的梯度下降法。
另外，我们也可以通过一维搜索来确定最优步长。
1.1 梯度下降法的一般步骤：Step1 给定初始点0x , 迭代精度0>ε，k =0.Step3 计算最优步长 )(min arg k k k d x f ααα+=；Step4 更新迭代点k k k k d x x α-=+1，令1:+=k k , 转step2。
梯度下降原理
梯度下降原理梯度下降是一种机器学习优化算法，用于确定函数局部最小值或最大值的位置。
它基于函数的梯度（导数）信息来指导搜索方向，并通过迭代更新来逐步逼近最优解。
梯度是一个向量，它指向函数在某一点上取得最大增长的方向。
因此，梯度的负方向就指向了函数在该点上取得最大减小的方向。
梯度下降算法利用这个性质，沿着梯度的负方向逐步调整参数值，以降低函数值。
具体而言，梯度下降算法按以下步骤进行迭代：1. 随机初始化参数值。
2. 计算参数值处的梯度。
3. 根据梯度的负方向和学习率确定参数的改变量。
4. 更新参数值。
5. 重复步骤2-4，直到达到停止条件（例如达到最大迭代次数或函数值变化很小）。
在每一次迭代中，梯度下降算法都会根据当前参数值计算函数的梯度。
然后，根据梯度的负方向和学习率来更新参数值。
学习率是一个超参数，控制每次迭代中参数值的改变幅度。
如果学习率过小，梯度下降算法可能需要很多次迭代才能达到最优解。
而学习率过大，可能会导致迭代过程不稳定甚至无法收敛。
梯度下降算法的收敛性和最终结果与初始参数值的选择密切相关。
不同的初始参数可能会导致不同的局部最优解。
为了解决这个问题，常常使用随机梯度下降算法，它在每次迭代中只随机选取一部分样本计算梯度，从而减少计算开销并增加算法的随机性，有助于逃离局部最优。
总的来说，梯度下降是一种基于梯度信息的优化算法，用于确定函数的最小值或最大值。
它通过计算函数的梯度并迭代更新参数值，逐步逼近最优解。
梯度下降算法的性能和结果取决于初始参数值的选择、学习率的设置以及停止条件的判断。
梯度下降优化算法原理详解
梯度下降优化算法原理详解梯度下降优化算法是一种常用的机器学习算法，其原理是通过迭代的方式更新模型参数，使得模型能够更好地拟合训练数据。
在本文中，我们将详细介绍梯度下降优化算法的原理和相关知识。
首先，我们需要了解梯度的概念。
梯度是一个向量，其方向指向函数值增加最快的方向，其大小表示函数值增加的速度。
对于一个多变量函数，其梯度是一个向量，其中每个维度表示对应变量的增加方向。
因此，在机器学习中，梯度通常指的是目标函数对模型参数的偏导数。
接下来，我们来介绍梯度下降优化算法的基本思路。
假设我们要最小化一个目标函数L(w)，其中w表示模型的参数。
我们可以通过计算目标函数的梯度来确定当前位置的下降方向，然后在该方向上移动一定的步长，直到找到一个更小的位置，进而得到更好的模型参数。
具体来说，假设我们当前在位置w，其对应的目标函数的梯度为g，我们可以使用以下公式更新参数w：w ← w - αg其中α是步长，也称作学习率。
学习率决定了每次移动的步长大小，通常情况下，学习率需要小于1，否则可能会导致参数在更新过程中震荡或者无法收敛的情况。
在实际应用中，通常需要多次迭代更新模型参数，直到达到收敛条件为止。
收敛条件可以是目标函数的变化小于某个阈值，或者迭代次数达到了预设的最大值。
需要注意的是，梯度下降优化算法有多个变种，例如批量梯度下降(Batch Gradient Descent)、随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent)、小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)等。
这些变种的主要区别在于每次更新参数时使用的样本数量不同，也就是说，它们计算梯度的方式存在差异。
总之，梯度下降优化算法是机器学习中一种常用的优化方法，其主要原理是通过迭代更新模型参数，使得模型能够更好地拟合训练数据。
在实际应用中，需要根据具体情况选择不同的变种，并调整学习率等超参数，以达到最优的效果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第25卷第6期 V ol.25 No.6 工 程 力 学 2008年 6 月June 2008ENGINEERING MECHANICS81———————————————收稿日期：2006-11-01；修改日期：2007-08-23基金项目：国家自然科学基金资助项目(50708012，50478109)；高等学校博士点专项科研基金(20040247026，20070141073) 作者简介：*许福友(1976―)，男，山东聊城人，讲师，博士，从事桥梁结构抗风研究(E-mail: fuyouxu@)； 陈艾荣(1963―)，男，贵州凤岗人，教授，博士，博导，从事桥梁工程研究(E-mail: a.chen@)； 文章编号：1000-4750(2008)06-0081-07识别桥梁断面18个颤振导数的梯度下降算法*许福友1，陈艾荣2，张 哲1(1. 大连理工大学土木水利学院，大连 116024；2. 同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)摘 要：桥梁断面颤振导数识别问题可转化为最小二乘优化问题，提出了梯度下降算法求解该优化问题，提取桥梁主梁断面18个颤振导数。
梯度下降算法在随机搜索过程中引入反馈机制，能够快速搜索到最优解，可用于系统参数识别，并且能够保证精度。
采用该算法识别了苏拉马都大桥主梁断面18个颤振导数，并且与随机子空间方法识别结果进行对比分析。
给出了现有弹簧悬挂系统自由振动方法识别桥梁断面颤振导数高风速时稳定性较差、侧向颤振导数识别精度相对较低的原因。
试验方法是影响颤振导数识别精度的决定性因素，识别方法是相对次要因素。
关键词：桥梁；梯度下降算法；苏拉马都大桥；颤振导数；识别精度 中图分类号：U448.21+3 文献标识码：AIDENTIFICATION OF 18 FLUTTER DERIV ATIVES OF BRIDGE DECKSUSING GRADIENT DECLINING ALGORITHM*XU Fu-you 1 , CHEN Ai-rong 2 , ZHANG Zhe 1(1. School of Civil & Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: The flutter-derivative identification of bridge decks can be converted into a least-square optimization problem. This problem is solved using the presented gradient declining algorithm (GDA). The 18 flutter derivatives of bridge deck are extracted subsequently. For GDA, the feedback mechanism is introduced into the stochastic search progress, by which the optimum solution can be searched rapidly. The GDA is applicable to the system parameter identification, and the satisfactory precision can be ensured. The 18 flutter derivatives of Suramadu Bridge deck are identified using GDA, and compared with the results extracted by stochastic subspace identification (SSI) technique. The reasons for poor stability of flutter derivatives at higher wind speed and relative unsatisfactory precision of lateral flutter derivatives extracted from the free vibration method with the existent spring suspension system are offered. For the identification precision of flutter derivatives, experiment procedure is more important than the extraction approach.Key words: bridge; gradient declining algorithm; Suramadu bridge; flutter derivatives; identification precision颤振导数表征结构在均匀流场中运动时引起周围流场变化而导致气流反作用到结构上的自激力特性，是桥梁颤振分析的必备参数。
桥梁主梁断面18个颤振导数是自激力(升力、阻力和升力矩)关于不同方向(竖向、侧向和扭转)运动位移、速度的变化率，即不同方向发生单位位移和速度引起的自激力的变化。
自由振动测试方法是颤振导数识别的常用方法，众多文献对其进行了研究，提出了具体的识别技术。
采用系统辨识理论识别模态参数，进而可以82 工程力学识别桥梁断面颤振导数[1―3]。
将加权总体迭代技术引入扩展卡尔曼滤波方法，从耦合振动时域曲线中可以同时识别颤振导数，并且速度较快[4]，但需要同时知道位移和速度的时程曲线及初始信息。
采用随机减量方法对紊流风场中桥梁节段模型的紊态抖振响应进行处理，在此基础上基于最小二乘原理可以识别桥梁断面8个颤振导数[5]。
结合特征系统实现算法和随机减量方法也可以识别紊流场中颤振导数[6]。
采用基于输出协方差估计的随机子空间方法可以更好地剥离信号中的噪声，进而识别紊流场中的桥梁断面颤振导数[7]。
最小二乘方法[8]及其修正方法[9―10]是识别桥梁断面颤振导数的实用方法。
该方法具有以下特点：计算模型要求竖弯、扭转信号长度相等；采用交叉迭代方法求解。
采用具有随机性和遍历性的随机搜索方法可替代交叉迭代方法，用于桥梁主梁节段模型2自由度8个颤振导数识别[11]，并且适用于竖弯和扭转信号长度不相等场合。
随着桥梁跨径的增大，侧向颤振导数对颤振分析影响越来越大。
对于钝体主梁断面，其阻力系数一般相对大于流线型断面，侧向颤振导数*iP相对流线型断面*iP更为重要。
Sarkar利用MITD法对具有3自由度节段模型18个颤振导数进行了识别[12]，结果表明竖弯和侧弯之间的气动耦合作用很小。
总体最小二乘方法也可以用于识别桥梁断面18个颤振导数[13]，结果表明：当断面比较钝时，2自由度和3自由度识别颤振导数结果有一定差别。
由自由衰减位移时程采用迭代状态空间法可识别机翼和桥梁断面18个颤振导数[14]。
本文将随机搜索方法[11]推广用于3自由度18个颤振导数识别，并对随机搜索过程加以改进，提出梯度下降算法(Gradient Declining Algorithm, GDA)，使其搜索效率更高。
通过数值算例验证了该算法的可靠性和计算精度。
采用梯度下降算法对具有开口Π形叠合梁钝体断面的苏拉马都大桥节段模型进行18个颤振导数识别，并与随机子空间识别方法(Stochastic Subspace Identification, SSI)识别结果进行了对比分析。
基于弹簧悬挂节段模型自由振动方法采集信号识别高风速时的颤振导数和侧向颤振导数精度相对较差，详细分析了各种影响因素。
1 识别18个颤振导数的数学模型在仅考虑自激力作用下，具有竖弯、侧弯和扭转3自由度桥梁主梁节段模型的运动方程为：22**12(2)h h hh Bm h h h U B KH KHU Uαξωωρ⎡++=++⎢⎣2*2**2*3456h p pK H K H KH K HB U Bα⎤+++⎥⎦(1)222**12(2)h BI U B KA KAU Uαααααξωαωαρ⎡++=++⎢⎣2*2**2*3456h p pK A K A KA K AB U Bα⎤+++⎥⎦(2)22**12(2)p p ph Bm p p p U B KP KPU Uαξωωρ⎡++=++⎢⎣2*2**2*3456h p pK P K P KP K PB U Bα⎤+++⎥⎦(3)式中：m为质量；I为质量惯矩；U为均匀来流风速；ρ为空气密度；B为宽度；hξ、αξ和pξ分别为竖弯、扭转和侧弯振动阻尼比；/K B Uω=为折算频率；,,h pαωωωω=分别为竖弯、扭转和侧弯振动圆频率；h、α、p、h 、α 、p 、h 、α 、p分别为竖弯、扭转和侧弯位移、速度和加速度；iH∗、iA∗、iP∗(i=1―6)为颤振导数，即气动升力、升力矩和阻力分别关于竖弯运动速度、扭转运动速度、扭转运动位移、竖弯运动位移、侧弯运动速度和侧弯运动位移的变化率。
方程(1)―方程(3)可分别写为：22h h hh h hξωω++=123456H h H H H h H p H pαα+++++(4)22ααααξωαωα++=123456A h A A A h A p A pαα+++++(5)22p p pp p pξωω++=123456Ph P P P h P p P pαα+++++(6)式中：2*11hBH Hmρω=，3*22BH Hmαρω=，32*33BH Hmαρω=，22*44hBH Hmρω=，2*55pBH Hmρω=，22*66pBH Hmρω=，3*11hBA AIρω=，4*22BA AIαρω=，42*33BA AIαρω=，32*44hBA AIρω=，3*55pBA AIρω=，32*66pBA AIρω=，工 程 力 学 832*11hB P P m ρω=，3*22B P P m αρω=，32*33B P P mαρω=，22*44h B P P m ρω=，2*55p B P P mρω=，22*66p B P P m ρω=。