江苏专转本高等数学 第八章 第七节 方向导数与梯度
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1/29
第七节
方向导数与梯度
一、问题的提出
二、方向导数的定义
三、梯度的录 上页 下页 返回 结束
2/29
一、问题的提出
【回顾】
一元函数
dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向增大 dx dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向减小 dx
y f ( x)
z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向增大 二元函数 x z f ( x , y ) z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向减小 x
PP0 t
z f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) 考虑 , PP0 t 当P沿l趋于P0 (即t 0 )时的极限是否存在？
1.【定义】函数增量f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )与P 到 P0 间的距离| PP0 | 之比值, 当P 沿着 l 趋于P0 时, 若此比的极限存在 , 则称这极限为函数 在 P0 点沿方向l 的方向导数. 记为 f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim t 0 l t
( 3) 但反之，若方向导数存在 、而偏导数未必存在
【反例】
圆锥面 z x y 在顶点O(0,0)沿l i 方向的
2 2
z z 方向导数 1，而偏导数 不存在 l ( 0,0 ) x ( 0,0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 【方向导数的存在及计算】
8/29
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z f ( x, y)
3/29
P ( x0 , y0 )
二元函数
z f ( x, y)
z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿y轴方向增大 y z 0函数值在点P(x0 , y0)处沿y轴方向减小 y
它射线方向的变化率如何？
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【说明】(1)对方向导数,以下两种定义方式等价 f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim t 0 l t f f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim 0 l ( ( x )2 ( y )2 ) (2) 若 f ( x, y )在点P0的偏导数存在 ①依定义，f ( x, y )沿x轴正向 el i (1,0)的方向导数为 (此时 cos 1, cos 0) f f ( x0 t , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) l ( x 0 , y 0 ) t o t f ( x, y )沿x轴负向 el i (1,0)的方向导数为 (此时cos 1, cos 0) f f ( x0 t , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) t o l ( x 0 , y 0 ) t
【证明】 由假设 z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( (x )2 ( y )2 )
由于x t cos , y t cos , ( x )2 ( y )2 t
（如图） —— l 的参数方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
设z f ( x , y )在点P0 ( x0 , y0 )的某邻域 U ( P0 )内有定义， P ( x0 t cos , y0 t cos )为l上另一点 , P U ( P0 )
5/29
z f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )
【问题】 二元函数 z f ( x , y )在点P(x0 , y0)处沿其
4/29
二、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点P 沿某一方 向的变化率问题．
设l是xoy面上以P0 ( x0 , y0 )为始 点的一射线，el (cos , cos ) 是与l同向的单位向量 x x0 t cos 且 y y0 t cos ( t 0)
6/29
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7/29
②同理，在P0点沿 y轴正向、负向的方向导 数 分别为 f y ( x0 , y0 )、 f y ( x0 , y0 ) （自己推导）
综上①②可知：若某点偏导数存在，能保证该点 沿x、y 轴的四个射线方向的方向导数分别存在.其
它方向的方向导数是否存在不能保证.
方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理 (1)【定理】若 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微，则函数在 P0 点沿任意方向 l 的方向导数都存在，且有 f f x ( x 0 , y 0 ) cos f y ( x 0 , y 0 ) cos ， l ( x0 , y0 ) cos 是方向 l 的方向余弦． 其中 cos ，
f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) 则 tlim 0 t f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第七节
方向导数与梯度
一、问题的提出
二、方向导数的定义
三、梯度的录 上页 下页 返回 结束
2/29
一、问题的提出
【回顾】
一元函数
dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向增大 dx dy 0 函数值在点x0处沿x轴方向减小 dx
y f ( x)
z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向增大 二元函数 x z f ( x , y ) z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿x轴方向减小 x
PP0 t
z f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) 考虑 , PP0 t 当P沿l趋于P0 (即t 0 )时的极限是否存在？
1.【定义】函数增量f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )与P 到 P0 间的距离| PP0 | 之比值, 当P 沿着 l 趋于P0 时, 若此比的极限存在 , 则称这极限为函数 在 P0 点沿方向l 的方向导数. 记为 f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim t 0 l t
( 3) 但反之，若方向导数存在 、而偏导数未必存在
【反例】
圆锥面 z x y 在顶点O(0,0)沿l i 方向的
2 2
z z 方向导数 1，而偏导数 不存在 l ( 0,0 ) x ( 0,0 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 【方向导数的存在及计算】
8/29
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z f ( x, y)
3/29
P ( x0 , y0 )
二元函数
z f ( x, y)
z 0 函数值在点P(x0 , y0)处沿y轴方向增大 y z 0函数值在点P(x0 , y0)处沿y轴方向减小 y
它射线方向的变化率如何？
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【说明】(1)对方向导数,以下两种定义方式等价 f f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim t 0 l t f f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) lim 0 l ( ( x )2 ( y )2 ) (2) 若 f ( x, y )在点P0的偏导数存在 ①依定义，f ( x, y )沿x轴正向 el i (1,0)的方向导数为 (此时 cos 1, cos 0) f f ( x0 t , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) l ( x 0 , y 0 ) t o t f ( x, y )沿x轴负向 el i (1,0)的方向导数为 (此时cos 1, cos 0) f f ( x0 t , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) t o l ( x 0 , y 0 ) t
【证明】 由假设 z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( (x )2 ( y )2 )
由于x t cos , y t cos , ( x )2 ( y )2 t
（如图） —— l 的参数方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
设z f ( x , y )在点P0 ( x0 , y0 )的某邻域 U ( P0 )内有定义， P ( x0 t cos , y0 t cos )为l上另一点 , P U ( P0 )
5/29
z f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 )
【问题】 二元函数 z f ( x , y )在点P(x0 , y0)处沿其
4/29
二、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点P 沿某一方 向的变化率问题．
设l是xoy面上以P0 ( x0 , y0 )为始 点的一射线，el (cos , cos ) 是与l同向的单位向量 x x0 t cos 且 y y0 t cos ( t 0)
6/29
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7/29
②同理，在P0点沿 y轴正向、负向的方向导 数 分别为 f y ( x0 , y0 )、 f y ( x0 , y0 ) （自己推导）
综上①②可知：若某点偏导数存在，能保证该点 沿x、y 轴的四个射线方向的方向导数分别存在.其
它方向的方向导数是否存在不能保证.
方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理 (1)【定理】若 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微，则函数在 P0 点沿任意方向 l 的方向导数都存在，且有 f f x ( x 0 , y 0 ) cos f y ( x 0 , y 0 ) cos ， l ( x0 , y0 ) cos 是方向 l 的方向余弦． 其中 cos ，
f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) 则 tlim 0 t f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
机动 目录 上页 下页 返回 结束