14.1函数
格林函数法
(14.2.12)
考虑到格林函数的齐次边界条件,由公式(14.2.9) 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r )
T
G (r , r0 ) n
dS
(14.2.13)
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f ( r0 )dV0 ( r0 )
T 中具有连续二阶导数,应用矢量分析的高斯定理
A S d
AdV =
T
divAdV (14.1.1)
T
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面 的积分化为体积分
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
T0
(14.3.1)
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
(14.3.2) (14.3.3)
14.3.1 三维球对称
对于三维球对称情形,我们选取 对(14.3.3)式两边在球内积分
r0 0
(14.2.4)
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数,在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
(14.2.4)式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】:在物体内部(T 内) r0 处放置一个单位点电荷,而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布,就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数.由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数.
14.1(2)变量与函数(共2课时)
14.1.1(2)变量与函数学习目标:1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义;2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量;3、结合实例,理解函数的概念以及自变量的意义;在理解掌握函数概念的基础上,确定函数关系式;4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。
学习重点:了解常量与变量的意义;理解函数概念和自变量的意义;确定函数关系式。
学习难点:函数概念的理解;函数关系式的确定学习过程:一、自学解决问题问题一:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.2.在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.3.试用含t的式子表示s.__s=_________________t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.二、深入探究,得出结论(一)问题探究:问题二:每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,午场售出205张,晚场售出310张,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售票x张,票房收入y元.•怎样用含x的式子表示y ?1.请同学们根据题意填写下表:2.在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.3.试用含x的式子表示y.__y=_________________x的取值范围是这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.问题三:在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm•,•每1kg•重物使弹簧伸长0.5cm,设重物质量为mkg,受力后的弹簧长度为L cm,怎样用含m的式子表示L?2.在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.3.试用含m的式子表示L.__L=_________________m的取值范围是这个问题反映了_________随_________的变化过程.问题四:圆的面积和它的半径之间的关系是什么?要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20cm2呢?30 cm2呢?怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?关系式:________2.在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.3.试用含s的式子表示r.__r=_________________s的取值范围是这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程.问题五:用10m长的绳子围成矩形,试改变矩形的长度,观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律。
北京课改版数学八下14.1《函数》ppt课件1
14.1.1 函 数
情境导入
世界上的万物都在不停地发展着、变化着,在这些发展和变化的过程中,存在 着各式各样相关联的量. 例如,从家走向学校,在商店里购物,在操场上进行百米赛跑,飞机从北京飞 往上海……在这些活动中存在着很多变化着的量.这些量在变化中有什么规律?有 什么相依关系?用什么方法来反映这些量的变化规律和它们之间的相依关系?怎 样运用这些规律和关系来解决我们生活中遇到的问题呢?
油量”都是变量.
跟踪训练
指出下列关系式中的变量与常量: (1)y = 3x -4, (2) y=x, (3) y= x2+2x-8.
解:(1)3和-4是常量,x和y是变量, (2)1是常量,x、y是变量,
(3)1、2、-8是常量,x、y是变量.
随堂检测
1、每个同学购一本代数教科书,书的单价是2元,总金额Y(元)与学生 y和n 2 数n(个)的关系式为:y=2n,则____是常量,________是变量.
y(cm),其中是变量的 t和y,常量是 a . 3、《大河报》每份0.5元,购买《大河报》所需钱数y(元)与所买份数x之间的
关系是___ y=0.5x
,其中
是常量, 是变量. 0.5 x和y
课堂探究
交流
1、在章前页所列举的每一项活动中,都存在着哪些相关联的量?这些量
中,哪些量是在不断变化的?哪些量是保持不变的? 2、在你的身边是否有这样的事物,它涉及变化的量和不变的量?
同学们思考并回答.
课堂探究
从北京到上海的飞机在飞行过程中,涉及的量有:飞行时间、飞行里程、 乘客的总人数、行李的总质量、油箱内的剩余油量……其中,飞行时间、飞行 里程、剩余油量等都是不断变化的量;乘客的总人数、行李的总质量都是不变
14.1函数
深沟初中教师全程备课稿纸当堂训练(14.1.1变量)1.分别指出下列各式中的常量与变量.(1)圆的面积公式S=πr2;(2)正方形的l=4a;(3)大米的单价为2.50元/千克,则购买的大米的数量x(kg)与金额与金额y的关系为y=2.5x.2.写出下列问题的关系式,并指出不、常量和变量.(1)某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金,按国家规定,取款时,应缴纳利息部分的20%的利息税,求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.(2)如图,每个图中是由若干个盆花组成的图案,每条边(包括两个顶点)有n盆花,每个图案的花盆总数是S,求S与n之间的关系式.当堂训练(14.1.2函数)1、设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果那么就说y是x 的函数,x 是自变量.2、油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出,1 小时流完,求油箱中剩余油量Q(kg)与流出时间t(分钟)间的函数关系式为,自变量的范围是.当Q=10kg 时,t= .3、x= 时,函数y=3x-2 与函数y=5x+1 有相同的函数值.4、已知三角形底边长为 4,高为 x,三角形的面积为y,则y 与x 的函数关系式为.5、若y与x的关系式为y=30x-6,当x=3 时,y 的值为6、汽车由北京驶往相距 120 千米/时,则汽距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系及自变量的取值范围( )A.S=120-30t(0≤t≤4)B.S=30t(0≤t≤4)C.S=120-30t(t>0)D.S=30t(t=4)7、(1)请写出弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.(2)当挂重10 千克时弹簧的总长是多少?深沟初中教师全程备课稿纸深沟初中教师全程备课稿纸(1)气温最高是_______℃,在_______是_______℃,在______时;(2)12时的气温是_______℃,_______℃;(3)气温为-2℃的是在_______时;图17.2.6通过这节课的学习,你有什么收获?见课件深沟初中教师全程备课稿纸深沟初中教师全程备课稿纸深沟初中教师全程备课稿纸深沟初中教师全程备课稿纸深沟初中教师全程备课稿纸。
数学分析14.1幂级数
第十四章 幂级数1幂级数概念:由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地,当x 0=0时,有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1:(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛,则对满足不等式|x|<|x |的任何x ,幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛;若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散,则对满足不等式|x|>|x |的任何x ,幂级数∑∞=0n n nx a发散.证:设级数∑∞=0n n n x a 收敛,从而数列{nn x a }收敛于0且有界,即存在某正数M ,使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ,可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛,∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ,幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散,若存在某一x 0,满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛,则∑∞=0nnnxa绝对收敛,矛盾!∴对满足不等式|x|>|x|的任何x,幂级数∑∞=0nnnxa发散.注:由定理14.1可知,幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度,则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时,仅在x=0处收敛;当R=+∞时,在(-∞,+ ∞)上收敛;当0<R<+∞时,在(-R,R)上收敛;对一切满足不等式|x|>R的x,发散;在x=±R处,不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2:对于幂级数∑∞=0nnnxa,若n n∞n|a|lim→=ρ,则当(1)0<ρ<+∞时,幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1;(2)ρ=0时,幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞;(3)ρ=+∞时,幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证:对于幂级数∑∞=0nnnxa,∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|,根据级数的根式判别法,当ρ|x|<1时,∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时,由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1;当ρ=0时,R=+∞;当ρ=+∞时,R=0.注:也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ,来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1:求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解:记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1,∴R=1. 又当x=±1时,2nn)1(±=2n 1,由级数∑2n 1收敛,知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2:求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证:记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1,∴R=1. 又当x=1时,级数∑n 1发散;当x=-1时,级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注:级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3:(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ,设ρ=n n ∞n|a |lim →,则 (1)当0<ρ<+∞时,R=ρ1;(2)当ρ=0时,R=+∞;(3)当ρ=+∞时,R=0.证:对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|, 根据级数的根式判别法,当ρ|x|<1时,∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时,由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1;当ρ=0时,R=+∞;当ρ=+∞时,R=0.例3:求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解:∵n n ∞n|a |lim →=21,∴R=2. 又当x=±2时,原级数都发散,∴原级数的收敛域为(-2,2).例4:求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解:方法一:∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31,∴R=3.方法二:∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1,即|x|<3时,收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时,原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0,发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4:若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0),则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证:设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R),则任一x ∈[a,b],都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛,由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5:若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0),且在x=R(或x=-R)收敛,则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证:设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛,对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛,函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界,即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证:∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时,在[-R,0]上一致收敛.例5:考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解:∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21,∴R=2.又当x-1=2时,原级数=∑n 1发散;当x-1=-2时,∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2),原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6:(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数;(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7:幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数:∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ,它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一:设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点,由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知,存在正数M 与r(<1), 对一切正整数n ,都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛,根据级数的比较原则知,∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点,知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’,使|x ’|>R ,且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛,则必有一数x ,使得|x ’|>|x |>R ,由阿贝尔定理,∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但,取n ≥|x |时,就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |,由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛,矛盾!∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛,即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a , 即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得, ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二:对于幂级数∑∞=0n n n x a ,R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ,1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a,2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证!定理14.8:设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ,x ∈(-R,R),则:(1)f 在点x 可导,且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ;(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积,且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法:由定理14.7知,∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ,使|x|<r<R ,根据定理14.4,它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证!推论1:记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数,则在(-R,R)上f 具有任何阶导数,且可逐项求导任何次,即: f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ;f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ;…;f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!;….推论2:记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数,则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系:a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义:若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数,则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9:若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等,则它们同次幂项的系数相等,即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10:若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ,则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数;记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ;⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6:几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上 逐项求导可得:f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得:⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ,从而可得: ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注:可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7:求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解:由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1, 且x=±1时,级数发散,知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1),则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x),则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+;g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+; ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域:(1)∑nnx ;(2)∑⋅n 2n2n x ;(3)∑n 2x (2n)!)(n!;(4)∑n n x r 2(0<r<1); (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ;(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑;(7)∑+⋯++n x )n1211(;(8)∑n n 2x 2. 解:(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1,∴R=1. 又当x=±1时,原级数发散,∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时,原级数收敛, ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时,|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞), ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0,∴R=+∞,收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞,收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时,n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4,原级数发散. 当x=-31,n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2,原级数发散. ∴x+1∈(-31,31),原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞),∴R=1. 又当x=±1时,n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0,∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ,211|x | 0,,,∴R=1, 且当x=±1时,原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域):(1)∑∞=++0n 12n 12n x ;(2)∑∞=1n n nx ;(3)∑∞=+1n nx )1n (n ;(4)∑∞=1n n 2x n . 解:(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1,又当x=±1时,级数∑∞=+±0n 12n 1发散; ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1),且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1,∴R=1. 又当x=±1时,原级数发散; ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1),且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-,∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1,又当x=±1时,原级数发散; ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1),且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1,∴R=1. 又当x=±1时,原级数发散; ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1),且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -,∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明:设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛,若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛,则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明:⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证:∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛,补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时,∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛,∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明:(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ;(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证:(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0,∴R=+∞,收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得:y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ;y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ;y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ;y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0,∴R=+∞,收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得:y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ;y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明:设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数,若f 为奇函数,则原级数仅出现奇次幂的项,若f 为偶函数,则原级数仅出现偶次幂的项. 证:∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R);∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数,即f(-x)=-f(x),则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时,成立;当n=2k 时,a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数,即f(-x)=f(x),则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时,成立;当n=2k-1时,a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域:(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0);(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解:(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b},又当|x|=R 时, nn n∞n b a R lim +→=1≠0,∴原级数的x=±R 发散,收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ,∴R=e 1, 又当x=±e 1时,nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0,∴原级数在x=±e 1发散, 收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径:(1)n n n x n](-1)[3∑+;(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解:(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4,∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1,∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数:(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ;(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ;(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解:(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时,原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x);f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时,S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1;当x=0时,S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ,0 1x ,10x 1x 1,1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时,原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时,S(0)=0;当x=1时,S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ,0 1x ,410x 1x 1,432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时,原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11;g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+;f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +; 又当x=0时,S(0)=0;∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0,1|x |,x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求: (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径;(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解:记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ,则a n =a 0+nd ,a n =a 0+(n+1)d ,R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-,当x=21∈(-1,1)时,S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。
14.1变量与函数练习(第三课时)
14.1变量与函数(第三课时)◆随堂检测1、对于一个函数,如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的坐标与坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点组成的图形,就是这个函数的。
2、某天小明骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续骑行,按时赶到了学校.右图描述了他上学的情景,下列说法中错误..的是()A.修车时间为15分钟B.学校离家的距离为2000米C.到达学校时共用时间20分钟D.自行车发生故障时离家距离为1000米3、小明外出散步,从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭,看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家.则下列图象能表示小明离家距离与时间关系的是()4、由于干旱,某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降.若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示,则下列说法正确的是( ).A.干旱开始后,蓄水量每天减少20万米3B.干旱开始后,蓄水量每天增加20万米3C.干旱开始时,蓄水量为200万米3D.干旱第50天时,蓄水量为1 200万米35、(贵州黔东南州)如图,在凯里一中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD,下列说法正确的是()A.乙比甲先到终点A./B.C.D.(分钟)B.乙测试的速度随时间增加而增大C.比赛过程中(除去起点终点)两人相遇两次D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快下列四个图象中,不表示某一函数图象的是( ).◆课下作业1、如图,一个蓄水桶,60分钟可将一满桶水放干.其中,水位h (cm )随着放水时间t (分)的变化而变化.放水速度恒定,h 与t 的函数的大致图像为( ).2、如图是小明从学校到家里行进的路程S (米)与时间t (分)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息:①学校离小明家1000米;②小明用了20分钟到家;③小明前10分钟走了路程的一半;④小明后10分钟比前10分钟走的快,其中正确的有___________(填序号).ABCD的边上有一动点P沿3、如图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形A B C D A →→→→运动一周,则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是( )4、星期天,小明从家里出发到图书馆去看书,再回到家.他离家的距离y (千米)与时间t (分钟)的关系如图7所示.根据图象回答下列问题: (1)小明家离图书馆的距离是____________千米; (2)小明在图书馆看书的时间为___________小时; (3)小明去图书馆时的速度是______________千米/小时.5、某校部分住校生,放学后到学校锅炉房打水,每人接水2升,他们先同时打开两个放水笼头,后来因故障关闭一个放水笼头.假设前后两人接水间隔时间忽略不计,且不发生泼洒,锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图.请结合图象,回答下列问题: (1)根据图中信息,请你写出一个结论; (2)问前15位同学接水结束共需要几分钟?(3)小敏说:“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟.”你说可能吗?请说明理由.6、小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达点A ,再走上坡路到达点B ,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程的关系如图所示.下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是多少?●体验中考1、如图1,在矩形MNPQ 中,动点R 从点N 出发,沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止.设点R 运动的路程为x ,MNR △的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则当9x 时,点R 应运动到( )A .B .C .D .(分)A .N 处B .P 处C .Q 处D .M 处2.如图,乌鸦口渴到处找水喝,它看到了一个装有水的瓶子,但水位较低,且瓶口又小,乌鸦喝不着水,沉思一会后,聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,乌鸦喝到了水。
14.1函数教学
尝试应用
下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数? 试写出用自量表示函数的式子。
(1)改变正方形的边长X,正方形的面积S随之改变。
_______是自变量,_____是______的函数,
x
s
x
S=x2 关系式是__________________。
(2)秀水村的耕地面积是106 m2 ,这个村人均占有耕 地面积y随这个村人数n的变化而变化。
y=3x+1
练习:下列各式中,x都是自变量,请判断y是不 是x的函数,为什么? 若是,求出自变量的取值范围。
1.y= 2x 3.y= + x
2.y= x 3
4.y=
1
x
对于x的每一个值 y总有唯一的值与 它对应,y才是x的 函数。
书本第98页
一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如 果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L) 随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平 均耗油量为0.1L/km。 (1)写出表示y与x的函数关系的式子。 函数解析式 (2)指出自变量x的取值范围 。 如果两个变量之间具有函 数关系,并且这个关系可以 (3)汽车行驶200 km时, 【规律总结】 用一个式子表示,这样的 自变量取值范围 油箱中还有多少油? 不仅要考虑自变 解:(1) 函数关系式为: y = 50-0.1x 式子就称作函数解析式。 量的取值必须使 函数解析式有意 (2) 由x≥0及50-0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 500 ∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
8 练习.在函数 y=-3x+5 中,当 x=-1 时,y=_______ ; 5 3 当 y=0 时,x=______.
练习:王华家新买一辆价值 52 万元欧曼车,采用分期付款形 式,首期付 18 万元,之后每个月付 2 万元. (1)求每次付款后欠款数 y(万元)与付款月数 x 的函数解析式; (2)计算付款 10 个月后的欠款数.
新人教版八年级上14.1变量与函数(第二课时)同步练习题及答案
14.1变量与函数(第二课时)◆随堂检测1、函数自变量的取值范围既要满足关系式又要满足实际问题2、在判断变量之间的关系是不是函数关系时,应满足两个特征:①必须有个变量,②给定其中一个变量(自变量)的值,另一个变量(因变量)都有与其相对应。
3. 设地面气温是20°C,如果每升高1km,气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(km)的关系是__________________,其中常量是,变量是。
对于每一个确定的h值都有的t 值与其对应;所以自变量,是因变量,是的函数4、购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元),与铅笔数n(个)的函数关系是___________.5、等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的函数关系式是_______________.◆典例分析例题:如图是一天中一段时间内气温c(摄氏度)随时间t(小时)变化而变化的情况,请问;c是t的函数吗?t是c的函数吗?分析:函数不是数函数是关系函数是变量之间的关系函数是两个变量之间的关系函数是两个变量之间一种特殊的对应关系这种特殊的对应关系:一个自变量的值对应唯一的因变量的值也可以这样理解,如果一个自变量的值对应两个或更多的因变量的值,那么这种变量间的对应关系就不称做函数了。
解:①当t是自变量,c是因变量时,一个t的值只对应一个c的值,所以c是t的函数②当c是自变量,t是因变量时,一个c的值可能对应两个c的值,(如c=15时,t=1或5)所以t不是c 的函数◆课下作业●拓展提高1、周长为10 cm 的等腰三角形,腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系为__________________.2、函数1-=x y 中,自变量x 的取值范围是______________;函数11+=x y 中,自变量x 的取值范围是______________3、一弹簧,不挂重物时,长6cm ,挂上重物后,重物每增加1kg ,弹簧就伸长0.25cm ,但所挂重物不能超过10kg ,则弹簧总长y (cm )与重物质量x (kg )之间的函数关系式为__________ _。
对教材“14.1变量与函数”的几点建议
l1 一
中 小学教予
・ 中学 版) (
初中
题.
三 、解 题 ” “ 要规 范
即在第 1 课时( 完成 ( )2 两个 问题 ) 1 () 只是 让学生
经 历 和感 觉 一 下 画 函数 图象 的方 法 和 分 析 函数 图象 问
在“4 13函数 的图象 ” 在讲完 函数 的三种表 1.. 中,
j
表、 描点 、 连线 等绘 制 出此图象 的具体 过程 , 给出 函 后
数 图 象 的 定 义 ( 9 面 一 lo面 ) 第 9 0 .
一
l
() 2 安排两个分析 图象 问题 .
① 关 于 自动 测 温 仪 的 “ 考 ” 目 , 学 生 通 过 观 思 栏 让
鼬
在 小学 “ 识 长 方 形 ” 时候 , 生 学 习过 : 方 形 认 的 学 长 中较 长 的边 叫长 方 形 的 长 . 里 的 表 示 的 是 长 方 形 这
同的长方形 的长度值 , 计算相应 的长方形面积 的值 , 探
索它们的变化规律 . 设长方形 的长 为 x 面积为 S 2 m, m,
怎 样 用 含 的式 子表 示 S ?
教 材 “4 13 函 数 的 图象 ” 一 节 的 内容 是 这 样 1 .. 这 安排的 : () 出 函数 S= ( 1画 >0 的 图 象 , 学 生 经 历 列 ) 让
示 长 方 形 的一 边 长 .
、
“ 词 ” 统 一 用 要
即将 9 4页的问题 () 5 中的“ 长方形 的长 为” 为 设 改 “ 长方形 的 ・ 长为” 9 设 边 将 6页“ 当长方 形长取定一 每 个值时” 改为“ 当长方形 的一边长 取定一 个值 时” 每 这 样为学生理解后继 的确定实 际问题 中 自变量 的取值 范
14.1变量与函数
h (4)
1 k k 1
k≤1且k ≠-1
解:自变量的取值范围是:
1.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的 自变量与函数。 (1)正方形的面积S 随边长 x 的变化
S=x2
6
(2)秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均耕 地面积y随着人数x的变化而变化
10 y x
(3)长方形的周长是18
半径 r
圆周长c
2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
探索研究 s=(n-2) ×1800 3、n边形的内角和S与边数n的关系式______________; 请同学们根据题意填写下表 边数n
3
1800
4
3600
5
5400
6
7200
﹍
内角和s
4、等腰三角形的顶角为x度,那么底角y的度数用含x的式子表 180 x y 示为 ______________. 2 请同学们根据题意填写下表 300 400 500 600 顶角x ﹍ 底角y 750 700 650 600
× 2 + 5 =
显示y(计算结果)
填表
x y
1 7
3 11
-4 -3
0 5
101 207
显示的数y是x的函数吗?为什么?
收获心得
输入x (自变量)
函数关系可以表述为: 函数关系
输出y (因变量)
y的值是唯一的
问题1:在平整的公路上,汽车紧急刹车后仍 v 2 ,其 将滑行s米,一般有经验公式 s 中v表示刹车前汽车的速度(单位:千米/时) 计算当v分别为60,100时,相应的滑行距离s是多少?
则:y=_____. 10x
14.1.2函数的概念课件ppt新人教版紧跟课本全节
变量与函数
知识目标:理解函数的概念,能准确识别出函数关系中的自变量和函数 能力目标:会用变化的量描述事物 情感目标:会用运动的观点观察事物,分析事物 重点:函数的概念 难点:函数的概念 教学媒体:多媒体电脑,计算器
复习回顾
14.1.1的每个问题中是否各有两个变量? 的每个问题中是否各有两个变量? 的每个问题中是否各有两个变量 同一个问题中的变量之间有什么联系? 同一个问题中的变量之间有什么联系?
π
(1)在计算器上按照下面的程序进行操作: )在计算器上按照下面的程序进行操作: 输入x(任意一个数) 输入 (任意一个数) 按键 × 2 显示y(计算结果) 显示 (计算结果) x y 1 7 3 11 -4 -3 0 5 101 207 + 5 =
问题:显示的数y是x的函数吗?为什么? 问题:显示的数 是 的函数吗?为什么 的函数吗 y是x的函数,因为 取定一个值时,y都有唯 的函数, 取定一个值时, 都有唯 是 的函数 因为x取定一个值时 一确定的值与其对应。 一确定的值与其对应。
问题4 问题
圆的半径r 与圆的面积s的关系式: r
=
s
π
10 计算: π S=10 时,r=_ _ _ cm
20 S=20 时,r= _ _ _ cm π
半径r 随之就确定一个值。 面积s 确定一个值时, _____确定一个值时 半径 随之就确定一个值 当 面积 确定一个值时,_____随之就确定一个值。
2、在计算器上按照下面的程序进行操作: 在计算器上按照下面的程序进行操作: 在计算器上按照下面的程序进行操作
下表中的x与 分别是输入的 分别是输入的6个数及相应的计算 下表中的 与y分别是输入的 个数及相应的计算 结果: 结果: x -2 -1 0 1 2 3 y -5 -2 1 4 7
14.1 网络函数的定义
I1 ( s ) 2s 2 + 4s + 3 H 2 (s) = = U1 ( s) 3( s 3 + 2s 2 + 2s + 1)
四、网络函数的性质
由于线性非时变电路由线性的R、 ( )、 )、C及 由于线性非时变电路由线性的 、L(M)、 及 独立电源、受控源(控制系数为常数)等元件组成, 独立电源、受控源(控制系数为常数)等元件组成, 故列出的方程为的实系数代数方程, 故列出的方程为的实系数代数方程, 所以网络函数一定是的实系数有理函数,其分子、 所以网络函数一定是的实系数有理函数,其分子、 分母多项式的根或为实数或为共轭复数 或为实数或为共轭复数。 分母多项式的根或为实数或为共轭复数。
H (S ) =
def
L [零状态响应 L [激励函数 ]
]=
L [r ( t ) ] R ( S ) = L [e ( t ) E ( S ) ]
二、网络函数的分类
由于激励E(s)可以是独立的电压源或独立的 电流源, 电流源,响应R(s)可以是电路中任意两点之间的电 压或任意一支路的电流, 压或任意一支路的电流, 故网络函数可能是: 故网络函数可能是: 1.驱动点阻抗 导纳) 驱动点阻抗( 1.驱动点阻抗(导纳) 2.转移阻抗 导纳) 转移阻抗( 2.转移阻抗(导纳) 3.电压转移函数 3.电压转移函数 4.电流转移函数 4.电流转移函数
R( s) 三、问题的简化 H ( s) = E ( s) 根据网络函数的定义, 根据网络函数的定义,若E(s) =1, , 则R(s) = H(s) ,
即网络函数就是该响应的象函数; 网络函数就是该响应的象函数 而当E(s)=1时, e(t)=δ(t), , 所以网络函数的原函数是电路的单位冲激响应, 所以网络函数的原函数是电路的单位冲激响应, 即 h(t)=L-1[H(s)]= L-1[R(s)]= r(t) 可见网络函数与激励源无关, 可见网络函数与激励源无关,可由复频域电路模型 时直接求出, 当E(s)=1时直接求出,即完全由电路的原始参数和 时直接求出 结构决定。 结构决定。
14.1.1函数教案
函
数
教学任务分析 教 学 1、了解函数概念,弄清自变量与函之间的关系。 目 标 2、经历探索函数概念的过程,感受函数的模型思想。 3、培养观察、交流、分析的思想意识,体会函数的实际应用价值。 重点 认识函数的概念。 难点 对函数中自变量取值范围的确定。 关 键 从实际出发,由具体到抽象,建立函数的模型。 点 教学流程安排 活动内容和目的 通过四个情境感知函数的变化关系,为 导出函数概念作铺垫。 通过两个实例进一步体会不同形式的 函数关系,从而提炼出函数概念。 通过具体问题的辨析,计算,体验函数 概念的本质。 通过应用函数解决例题,掌握用函数解 决实际问题的方法。 整理本节课的知识,了解函数概念的演 变史。
式。
整理本节课的知 识,巩固学习内 容。 了解函数概念的 演变史,感受数学 历史和数学文化。
设计意图 在解决学生熟悉 的实际问题中感 受函数变化的对 应关系。四个情境 包含了正比例函 数、一次函数、反 比例函数、二次函 数,为后面各种函 数的学习埋下伏 笔。
xcm,另一边为 ycm,请完成下表并 用含 x 的式子表示 y。 情境 4:变化中的圆面积 S 与半径 R 的大小密切相关,完成右图,你能 说出它们之间的关系? 【活动 2】 抽象 思考: (1)上述 4 个问情境中都各 有几个变量?(2)变量间是怎样在 变化的? 你还能列举生活中具有上面这种对 应关系的实例吗? 思考 1 观察气温变化图回答问 题: (1)图中有哪几个变量? (2)这天的 6 时、10 时和 14 时的气 温分别大约为多少度? (3)图中对于 t 的每一个确定的值, T 都有唯一确定的对应值吗? 思考 2 在下面的我国人口数统计 表中,年份与人口数可以记作两个 变量 x 与 y, 对于表中每一个确定 的年份(x) ,都对应着一个确定的 人口数(y)吗? 提炼函数和函数值概念 【活动 3】 体验 (1) 判断下面各图中的 y 是不是 x 的函数,并说明理由?
人教版数学八年级上14.1 一次函数
一次函数
怎样用描点法画函数的图像: 函数的表示方法有三种,列表法、图像法,还有解析法,在中 学都是常见而又重要的表示函数的方法,为了更深入的了解一 个函数的性质,通常我们都是利用其图像的特点来进行分析的, 因为通过图像,我们可以直观的获取函数的信息,所以函数的 图像在函数中具有举足轻重的作用. 一般来说,函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成,图 像上每一个点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横 坐标x表示自变量的某一个值,纵坐标y表示与这个自变量对应 的函数值. 用描点法画函数的图像,一般分三步:列表、描点、连线,但 在此过程中需要注意以下五点:
6.(12.0) (1)已知2x-3y=6,则y关于x的函数关系式为 ______________,x关于y的函数关系式为______________.
一次函数
(2)一个弹簧不挂物体时长10cm,挂上物体后,每挂1kg物体,弹簧 就伸长1.5cm. ①如果所挂物体的总质量是x(kg),那么弹簧伸长的长度y(cm)可表示 为______,在这个问题中,自变量是______,函数是______. ②如果所挂物体的总质量为x(kg),那么弹簧的总长度y(cm)关于x的 函数关系式为___.这其中__是自变量,__是函数. (3)列函数关系式. ①球的体积V表示半径R的函数关系式为___________. ②圆的面积S是圆的周长C的函数关系式为___________. ③已知等腰三角形的周长为18,则腰长a关于底边长b的解析式为 ___________,在这个问题中自变量的取值范围是___________. ④等腰三角形的顶角a (度)与底角b (度)之间的函数关系为 ___________,自变量的取值范围___________. ⑤等腰三角形的底角β(度)与顶角a (度)的关系为__,自变量的取值范 围是__.列函数关系式时,要分清谁是函数及要求的意义.
线性响应理论
第十四章 线性响应理论§14.1 线性响应函数对系统加上外场,或更一般地说,对系统施以某种扰动的话,则系统的一些性质,如热力学量,会产生相应的变化,这就叫响应(response).如果外场(扰动)比较小,则热力学量的变化与外场(扰动)成正比,为线性关系.这就是线性响应.其比例系数(一般是个函数)称为线性响应函数(linear response function).它可以用格林函数来表达.推导线性响应公式有两个前提:一是扰动较小,这儿较小的涵义是:由扰动引起的哈密顿可以作为微扰来处理.二是响应能够及时追随扰动.为了做到这一点,需要假定绝热条件,令扰动是缓慢加上去的.在t = -∞时,系统处于平衡态,或叫作纯态.哈密顿量为H .扰动一般是由外场引起的.现在考虑对系统加一外场F ,作为一般情况,设外场为矢量.设初始条件为(,)0t =-∞=F x (14.1.1a)如果外场本身并不含时间,为了做到这一点,可令0(,)e ()t t +=F x F x (14.1.1b) 即加上一个因子0et+使之符合条件(14.1.1a).设扰动引起的哈密顿量为311d ()(,)d ()(,)H t C F t ααα==-⋅=-∑⎰⎰xC x F x x x x (14.1.2)其中C 应是系统本身的某一个物理量.由于扰动,系统内就有一个力学量D 受到变化,变化的量为∆D .现在来推导这个变化量的表达式.注意,由于这儿的C 和D 是系统本身的物理量,因此都是算符.外场F (t )不是算符.但表现了H 1随时间的变化.举例来说,外加电磁场后引起的哈密顿量为1d (,)d (,)H t en t ϕ=-⋅-⎰⎰xj A x x x (14.1.3) 其中A 与ϕ为外场的矢势与标势,j 与n 分别为系统内的电流密度与粒子数密度算符.F 、C 和D 这三个量也可以都不是矢量,以下的推导过程不变.假设扰动之后,总的哈密顿量为T 1d ()(,)H H H H t =+=-⋅⎰xC x F x (14.1.4) 未有扰动时,系统处于平衡态,统计算符是ρ0.00e HZ βρ-= (14.1.5) 它与H 是对易的.此时物理量D 在系综内的统计平均是1000Tr[]||e ||n E n n n n nnZ βρψρψψψ--=〈〉=〈〉∑∑D D D (14.1.6)加上扰动后,系统的统计算符应是e ()TH t Zβρ-= (14.1.7)由于(14.1.1)式,有0()t ρρ=-∞= (14.1.8) 物理量D 的统计平均是()1Tr[()]()|()|()e ()||()n E t n n n n nnt t t t Z t t βρψρψψψ--=〈〉=〈〉∑∑D D D (14.1.9)我们要计算的是扰动引起的D 的变化量0Tr[()]Tr[]t ρρ∆=-D D D (14.1.10) 要注意的是,此式右边两项的求平均所用的状态是不一样的,见(14.1.6)和(14.1.9)两式.因为扰动肯定是要引起状态的变化的.现在我们假定,扰动虽然引起了状态的变化,但是不改变状态的数目与顺序.因而|()n t ψ〉与|n ψ〉是一一对应的.即,扰动时状态|n ψ〉变化成|()n t ψ〉.这就是状态随时间的演化.§8.2节中已经介绍过,可以用时间演化算符来表示这种变化.由于现在的哈密顿量是时间的函数,应该定义01T 1(,)d ()tt A t t t H t =⎰ (14.1.11)态随时间的演化如下.0i (,)/t |()e |A t t n n t T ψψ-〉=〉 (14.1.12)此式是满足薛定谔方程的.在§8.2节中,我们已经求出了相互作用表象中的时间演化算符00i (,)/i /i /I 0t (,)e [e ]e A t t Ht Ht U t t T --= (14.1.13)的近似到一级的表达式为i I 01111(,)1d ()i tt U t t t H t =+⎰ (14.1.14)见(8.2.18)式.i /i /11()e e i Ht Ht H t H -= (14.1.15)本节的H T 和H 分别对应于§8.2节的H 和H 0.D 与C 随时间变化的关系定义如下.i /i /()e e Ht Ht t -=D D ,i /i /()e e Ht Ht C t C -= (14.1.16)状态随时间的演化如下.0000i /i /i /i /i I 01111|()lim e(,)e|lim e[1d ()]e |itHt Ht Ht Ht n n n t t t U t t t H t ψψψ---∞→-∞→-∞〉=〉=+〉⎰(14.1.17)代入(14.1.6)式,00000()i /1i i /111i /i /i 111()1i i111111()11Tr[()]lim e |e [1d ()]e i1e [1d ()]e |i11e |[1d ()]()[1d ()]|i i e |(n n n tE t Ht Ht n t t ntHt Ht n t tt E t n n nE t n nt Z t H t t H t Z t H t t t H t Z t βββρψψψψψ---→-∞----∞-∞--=〈-⨯+〉=〈-+〉=〈∑⎰⎰∑⎰⎰∑D D D D i 1111)d [(),()]|i t n t H t t ψ-∞-〉⎰D (14.1.18)其中已经忽略了相互作用的二次方项.下面再做近似,把统计权重中的能级E n (t )近似为无扰动时的E n .相当于(14.1.9)式中取ρ(t )= ρ0.这要求扰动导致的能级的移动是很小的.i 01111Tr[()]|{()d [(),()]}|i tn n nt t t H t t ρψρψ-∞=〈-〉∑⎰D D D (14.1.19)上面的所有近似都要求:扰动确实是微扰.如此,线性响应的公式才有效.现在可以求得(14.1.10)的结果.i 1011i 10111111113111111113R11111()d |[(),()]|i i i d Tr{[(),()]}d d [(),(,)](,)id d ()[(),(,)](,)1d d (,)(tn n nt tC t t H t t t H t t t t t t t t t t C t F t t g t t F ααααααψρψρθ-∞-∞-∞∞-∞=∞-∞=∆=-〈〉==〈〉⋅=-〈〉=-∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰D D D D x D C x F x x D x x x 11,)t x(14.1.20)此式说明,当加上外场F 后,相应的物理量D 的变化与外场成正比,比例系数正是(9.1.2)式定义的由D 与另一物理量组成的推迟格林函数.此式称为久保(Kubo)公式,是线性响应理论中最基本的公式.它表示t 1时刻的扰动,在t >t 1时刻对D 产生的影响.经常遇到的情况是D = C .下面要讲的磁化率就是一例.我们要记住,如果是恒定的不随时间变化的外场,那么,绝热假设要求应该有一个因子0e t +,见(14.1.1b)式.把(14.1.20)的分量明确写出来,并且如果D 还是坐标的函数,有3111111(,)d d (,)D t t Z F t ββααα∞-∞=∆=-∑⎰⎰x x x (14.1.21)那么系数就是R111(,)D D Z g t t βαβα=-x x (14.1.22) 假定推迟格林函数只是时间差t -t 1的函数,那么可做傅立叶变换.为简便起见,我们忽略表示直角坐标分量的下标.i i R11111111()e d ()e d d d (,)(,)2π2πt t C D t D t t t g t t F t ωωω∞∞∞-∞-∞-∞∆=∆=-⎰⎰⎰⎰D x x (14.1.23)结果是如下的线性关系.()()()D F ωαωω∆= (14.1.24)(14.1.23)式右边计算的具体步骤是:将F (t 1)作傅立叶展开,写成11i 11d e ()2πt F ωωω∞--∞⎰,再将e 指数上的量写成ωt -ω1t 1=ω(t -t 1) -(ω1-ω)t 1,令t -t 1=τ,则对τ 的积分与t 1无关,对d t 1积分可得到δ (ω -ω1),最后得到响应系数为i i Ri ()e d ()[(),(0)]e d ()t t DC t t D t C tg t ωωαωθ∞∞-∞-∞=〈〉=-⎰⎰ (14.1.25) 此式表明响应系数α(ω)是R()DC g t 的傅立叶分量.从§9.2节已知由格林函数可求出系统的热力学量.本节则表明格林函数可求出线性响应函数.例如由电流对电场的响应可写出电导率.由磁化强度对磁场的响应可求磁导率,以及热导率,扩散系数等等.因此,利用格林函数这一手段,几乎可了解系统的所有物理性质.现在我们把响应系数写成另一表达式,以便后面与松原线性响应系数作比较.i 0i i()e d |[()(0)(0)()]|ie d ()[|()||(0)||(0)||()|]t m mt m mnt m D t C C D t m t t m D t n n C m m C n n D t m ωωαωρρθ∞∞-∞=〈-〉=〈〉〈〉-〈〉〈〉∑⎰∑⎰(14.1.26)下面再用(14.1.16)代入,H |m 〉=εm |m 〉,θ(t )用(9.1.22)式,再令〈m |D |n 〉 = D mn , 〈m |C |n 〉 = C mn , ωmn =(εm -εn ) /ħ,i i()++i e ()d d e ()2πi i0()i0mn t tmn nm n m mn mn nm n m mnmn t C D C D εωωαωερρερρωω-∞--∞-=-+-=--+∑⎰∑(14.1.27)再由e e (1e )n m mnn m n βεβεβωρρρ----=-=-,得:()(1e)i0mnnm mn n mnmn D C βωραωωω-+=---+∑(14.1.28)注意:前面的推导过程使用的哈密顿量H 和相应的本征态|m 〉是属于未微扰系统的.久保公式还有另外一个形式.1011011(,)e d d (i )(,)tt t t H t t t βλλ+-∞∂'∆=〈-〉∂⎰⎰D x D x (14.1.32) 其中在求迹号内做了算符轮换,然后把(14.1.29)式代入.此式可称为零频率公式,因为它的实部不含频率.要特别注意一个区别:(14.1.20)式右边是用推迟格林函数来表达的.而(14.1.32)是右边是用关联函数来表达的.§14.2 虚时线性响应函数上一节中利用热力学格林函数可求出线性响应函数,以了解外场对系统扰动时系统内力学量的变化.松原函数也应该能够达到这个目的.松原函数是虚时间的函数,因此只能得到虚时间的线性响应函数[1] (也称松原响应函数),再由此来求实际的响应函数.为了做到这一点,要分两步走:第一步,类似于(14.1.25)式的实时响应系数α(ω),要求出一个虚时的响应系数ατ(ζ)的公式;第二步是找出ατ(ζ)与α(ω)之间的关系.作t → -i τ的替代将实时改为虚时.这儿τ的取值范围是[-βħ, βħ].设系统受到一个微扰1()H CF τ=- (14.2.1)其中各符号的意义与上一节相同,只是以虚时间作为变量.我们用§11.1节中的公式.那儿的H -μN 和H 0 -μN 分别对应于本节的H T 和H .回顾前面介绍过的三种绘景.在薛定谔绘景中,力学量算符不随时间变化,而状态随时间变化.力学量在系综中的平均值随时间的倚赖由状态来体现.在海森伯绘景中,力学量算符随时间变化,而状态不随时间变化.力学量在系综中的平均值随时间的倚赖由算符来体现.这两种平均值是完全相等的.所以我们用海森伯绘景来计算平均值.按照(11.1.12)或者(11.1.14),一个力学量在有扰动系综中的平均值可以借助于虚时演化算符写成在无扰动系综中的平均值.00()I H ()Tr{e [()(,0)]}()Tr[e (,0)]H N H N T D U D U βμτβμτβτβ----〈〉= (14.2.2)此式的左边是在有扰动系综中的求平均,而右边是在无扰动系综中的平均值.虚时演化算符的表达式是(11.1.8)i 1I 1101(,0)1d ()(,0)U H U τττττ=-⎰ (14.2.3)我们在(14.2.2)式的分母中的U 只取到(14.2.3)式右边的第一项.那么H 0I 0I ()Tr{[()(,0)]}Tr[(,)()(,0)]D T D U U D U ττρτβρβτττ〈〉== (14.2.4) 再将其中的U 取到(14.2.3)式中的一级近似.i i H 0I11I I 220()Tr{[1()d ]()[1()d ]}D H D H βτττρτττττ〈〉=--⎰⎰ (14.2.5)其中第一项Tr[ρ0D I (τ)]=Tr[ρ0D ]=〈D 〉0移到左边成为()D τ∆.略去二阶项后成为i i 0I 11I I I 11001I 11I 1I 1I 111001I 1I 101110()Tr{[()d ()()()]}Tr{[()()()()d ()()()()d ]}Tr{d [()()]()}d [()()]()D H D D H d C F D D C F T C D F T C D F βττβββτβττρττττττρθτττττττθτττττρττττττττ∆=-+=-+-==〈〉⎰⎰⎰⎰⎰⎰(14.2.6)由此式看到,线性响应可以用松原函数来表达.E 和C 都是可测量的力学量,有经典极限,所以应按玻色子算符来处理.现在对(14.2.6)式作傅立叶变换,因τ 的取值范围有限,频率只能取分立值.又由于等式右边为一由玻色算符组成的松原函数,按§11.2节所介绍的性质,富氏展开的频率只能取偶数ζ n =2n π/βħ.作变换:i 0(i )e()d n n D D βξτξττ∆=∆⎰,i 1()(i )e n nn F F ξττξβ∞-=-∞=∑ (14.2.7)111i i 110i ()i()1101(i )ed d (i )e [()()]1d e d (i )e [()()]n m n n m n mm mm D F T C D F T C D ββξτξττββξττξξττξττξττβττξττβ∞-=-∞∞--=-∞∆=〈〉=〈〉∑⎰⎰∑⎰⎰ (14.2.8)现在令τ -τ 1=τ′,则松原函数只是“时间差”τ′的函数而与τ 1无关,对τ 1积分得δnm ,再对m 求和得到F (i ζ n ). τ 和τ 1的积分范围是0~βħ.由于T τ 的限制, τ′=τ -τ 1的积分范围仍是0~βħ.i 0(i )e d [()(0)](i )nn n D T D C F βξττ∆ξττξ=〈〉⎰ (14.2.9)响应系数为:i 0()e d ()(0)nn D C βξτταξττ=〈〉⎰ (14.2.10)由于必然有τ>0,所以编时算符T τ可去掉.现在得到了与(14.1.25)式的α(ω)相似的表达式,实现了第一步.为了实现第二步,作下述操作i 0i i 0(i )e |()|||d e 1e ed i 1e i ll nm l mn mnl m mnm mn nm m mn nmmnmnl nm n nm mnmnl mn m D n n C m D C D C D C βξττξβωββξττωβωαξρττρτρξωρξω--=〈〉〈〉-==--=--∑⎰∑∑⎰∑ (14.2.11) 其中令〈n |C |m 〉=C nm , 〈n |D |m 〉=D nm /ħ,E m -E n = ħω nm ,对d τ 积分后,得用了ζl =2l π/βħ,最后一个等号将m 和n 交换.将(14.2.11)式与(14.1.28)式比较,有()(i ),0l l l ταξαξξ=> (14.2.12)由(14.1.25)式可以看到,当ω取在虚轴的正半部分时, α(ω)是个实量,所以函数ατ(ζ l )在ζ l >0时是实函数,又从(14.2.11)式看到, ατ(-ζ l )= ατ*(ζ l )=ατ(ζ l ),故ατ(ζ l )是ζ l 的实的偶函数.将(12.4.11)作i ζ l →ω+i0+的解析延拓,就得到(14.1.28).()(i i0)l ταωαξω+==+ (14.2.13) 这与松原函数解析延拓成推迟格林函数的方式一样.。
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填写下表:
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y 1
3
6
10
…
15
问:题中有几个变量,其中对于给定的层数n ,相应的物体总数y唯一 确定吗?
有两个变量。给一个n值 ,都有唯一的y值与之对应。
问题3、如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化, 你离开地面的高度是如何变化的? 右图反映了旋转时间t(分)与摩天轮上一点的高 度h(米)之间的关系: (1)根据右图填表:
均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子; (2)县城至某乡村中学路程为50 km,该汽车从县城往返 该县乡村中学配送一次牛奶后油箱中还有多少油? (3)汽车行驶多少km时,油箱中还有15L油?
解:(1) 函数关系式为: y = 50-0.1x
表示函数关系 的式子叫函数
解析式
t/分 0 1 2 3 4 5 …
h/米 3 10 37 45 37 10 …
(2)图中共 2 个变量,分别是变量____t。 h
(3)思考:对于给定的每一个时间t,相应的高 度h确定吗?唯一吗?
3 给一个h值 ,都有唯一的s值与之对应。
归纳:
一般地,在某个变化过程中,如果有两个变量x与y,并 且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应, 那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
(3)当 x = 100时,函数 y 的值为:y=50-0.1×100=40
因此,该汽车配送一次牛奶后油箱中还有40L油.
(4)当函数y=15时,有15= 50-0.1x ,解得自变量x=350, 所以当汽车行驶350km时,油箱中还有15L油.
课堂小结
概念:函数在某个变化过程中,如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它 对应,那么x是自变量,y是x的函数.
第十九章 一次函数
19.1.1 变量与函数 第2课时 函数
学习目标:
• 1.了解函数的相关概念,会判断两个变量是否具有函数 关系.
• 2.会根据函数解析式求函数值.
合作探究 在具体实例中感受函数
问题1.在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍将 滑行s米,一般地有经验公式,其中v表示刹车
前汽车的速度(单位:千米/时)
(1)题中共 __2_个变量,计算当 v=30,s=__3__; v=60,s=__12__; v=120,s=__4_8 _。
(2)给定一个v值,你都能求出相应的s值吗? 这个S值确定吗?唯一吗?
给一个V值 ,都有唯一的s值与之对应。
问题2.如右图这样堆放的圆柱,随着层数的增加,物体的总数是如何变化 的?
方法
判断一个变量是否是另一个变量的函数,关键是看
当一个变量确定时,另一个变量有唯一确定的值与它对应.
3.为了让学生吃上放心、健康的营养午餐,某贫困县营养 办要求食品公司必须用专车定期配送.该公司的一辆配送专 车油箱中有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y
(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平
随这个村人数n的变化而变化. ____n___是自变量,___y__是___n___的函数,
关系式是 Y=ຫໍສະໝຸດ 106 n.2:下列关于变量x ,y 的关系式:y =2x+3;y =x2+3;y =2|x|;④ y x ;⑤y2-3x=10,其中表示y 是x 的函数关系的 是 .
一个x值有两个y 值 与它对应
函数
函数值
如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数 值.
例1 下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数? 试写出用自变量表示函数的式子.
(1)改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.
____x___是自变量,___S__是___x___的函数,
关系式是 S=x2
.
(2)秀水村的耕地面积是106m2 ,这个村人均占有耕地面积y