上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(理)试题
2013届静安区高三一模数学理
静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷（理科）（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2013.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知函数)722sin(21)(π+=ax x f 的最小正周期为π4，则正实数a = .2．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=a ，215=a ，则=12a .3．两条直线0943:1=+-y x l 和03125:2=-+y x l 的夹角大小为 . 4．设圆过双曲线116922=-yx的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .5．某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有 种游览选择．6．求和：nn n n n nC C C C ++++ 32132= .（*N n ∈）7．设数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21)1(+>+n a n 成立．下列四个命题：（1）若93≤a ，则164≤a ． （2）若103=a ，则255>a ．（3）若255≤a ，则164≤a ．（4）若2)1(+≥n a n ，则21n a n >+．其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）8．已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+⋅=⋅=23,2t y t x （t为参数），则此直线l 被曲线C 截得的线段长度为 . 9．请写出如图的算法流程图输出的S 值 .理第9题10．已知α、β为锐角，且2sin cos sin 1sin cos sin 1=-+⋅-+βββααα，则βαtan tan = .11．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西1312arcsin方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上．则在以圆心O 为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为 .12．过定点)0,4(F 作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使QP TQ =，则P 点的轨迹方程是 .13．已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 .14．在复平面内，设点A 、P 所对应的复数分别为i π、)32sin()32cos(ππ-+-t i t （i 为虚数单位），则当t 由12π连续变到4π时，向量AP所扫过的图形区域的面积是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．若复数021≠z z ，则2121z z z z =是12z z =成立的（ ）(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件16．等差数列}{n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则数列}{n a 前n 项和n S （*N n ∈）中最小的是（ ）(A) 7S 或8S (B) 12S (C)13S (D)14S17．函数])5,3[(2126)(2∈-+-=x x x x x f 的值域为（ ）(A) ]3,2[ (B) ]5,2[ (C) ]3,37[ (D) ]4,37[18．已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若AO m AC BC AB CB ⋅=+2sin cos sin cos ，则m 的值为 （ ）南理第11题(A) 1 (B) A sin (C) A cos (D) A tan三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分．某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，a ，b ，c 成等比数列． （1）求B 的取值范围；（2）若x = B ，关于x 的不等式cos2x -4sin(24x +π)sin(24x-π)+m ＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列}{n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有 33231221)(n n a a a a a a +++=+++ ．（1）当3=n 时，求所有满足条件的三项组成的数列1a 、2a 、3a ；（2）试求出数列}{n a 的任一项n a 与它的前一项1-n a 间的递推关系.是否存在满足条件C（理19题）的无穷数列}{n a ，使得20122013-=a ？若存在，求出这样的无穷数列}{n a 的一个通项公式；若不存在，说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知椭圆12222=+by ax 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程；（2）点P 是椭圆上一动点，定点)2,0(1A ，求△11PA F 面积的最大值；（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．函数)(x f y =，D x ∈，其中≠D ∅．若对任意D x ∈，)()(x f x f =，则称)(x f y =在D 内为对等函数．（1）指出函数x y =，3x y =，xy 2=在其定义域内哪些为对等函数；（2）试研究对数函数x y alog=（0>a 且1≠a ）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使x y alog =在所给集合内成为对等函数；（3）若{}D ⊆0，)(x f y =在D 内为对等函数，试研究)(x f y =（D x ∈）的奇偶性．上海市静安区2013届高三一模数学试题（理科）参考答案说明1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．41=a ； 2．64； 3． 6533arccos；4．316； 5．13； 6．12-⋅n n ；7．（2）（3）（4）； 8．4； 9．91093；10．1； 11．22522=+y x ； 12．x y 162=； 13．),3[+∞-； 14．6π；.15． D ； 16．C ；； 17．A ；18． B 19解：（1）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动， 即0＜x ≤1时，△EMN 的面积S =x ⨯⨯221=x ；···························· 1分②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动， 即1＜x ＜31+时，如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3. 又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ． ∴GFGH DCMN =，即M N=． ······················· 4分EC图2N故△EMN 的面积S＝12x＝x x )331(332++-；············································· 6分综合可得：()(20111133x x S x x x ⎧⎪=⎛⎫⎨-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，＜≤．＜＜ ·························································· 7分（2）①当MN 在矩形区域滑动时，x S =，所以有10≤<S ；······································· 8分②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )331(332++-.因而，当231+=x （米）时，S 得到最大值，最大值S =3321+（平方米）.∵13321>+，∴ S 有最大值，最大值为3321+平方米. ··································································12分20解：（1）∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac ································································· 1分 则cos B =acbca2222-+=ac acca222-+ ················································································ 3分而a 2+c 2≥2ac ∴cos B =acacca222-+≥212=acac ，等号当且仅当a =c 时取得，即21≤cos B ＜1，得到30π≤<B ． ········································································································· 7分（2）cos2x -4sin(24x π+)sin(24x π-)=cos2x -4sin(24x π+)cos(24x π+)=2cos x 2-2cos x -1=2(cos x -21)2-23 ·················································································· 11分∵x =B ∴21≤cos x ＜1∴2(cos x -21)2-23≥-23则由题意有：-m ＜-23即m ＞23 ···················································································14分（说明：这样分离变量1cos 2cos 22cos cos 22++-=->x x x x m 参照评分）21解：（1）当1=n 时，3121a a =，由01≠a 得11=a ． ············································ 1分当2=n 时，32221)1(a a +=+，由02≠a 得22=a 或12-=a ．当3=n 时，33322321)1(a a a a ++=++，若22=a 得33=a 或23-=a ；若12-=a 得13=a ； 5分综上讨论，满足条件的数列有三个： 1，2，3或1，2，-2或1，-1，1． ············································································ 6分 （2）令n n a a a S +++= 21，则332312n n a a a S +++= （*N n ∈）．从而313323121)(++++++=+n n n n a a a a a S ．······················································· 7分 两式相减，结合01≠+n a ，得1212++-=n n n a a S ． ····················································· 8分 当1=n 时，由（1）知11=a ；当2≥n 时，)(221--=n n n S S a =)()(2121n n n n a a a a ---++，即0)1)((11=--+++n n n n a a a a ，所以n n a a -=+1或11+=+n n a a ． ··························12分 又11=a ，20122013-=a ，所以无穷数列{}n a 的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为-2012，公比为-1的等比数列．故⎩⎨⎧>-⋅≤≤=)2012()1(2012)20121(n n n a nn ． ···········································································14分 （说明：本题用余弦定理，或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得，请参照评分）22．解：（1）在椭圆中，由已知得222222b a b ac +=-= ·········································· 1分过点),0(b A -和)0,(a B 的直线方程为1=-+by ax ，即0=--ab ay bx ，该直线与原点的距离为23，由点到直线的距离公式得：2322=+ba ab ··········································· 3分解得：1,322==b a ；所以椭圆方程为11322=+yx···················································· 4分 （2）)0,2(1-F ，直线11A F 的方程为22+=x y ，611=A F ，当椭圆上的点P 到直线11A F 距离最大时，△11PA F 面积取得最大值 ······························································ 6分设与直线11A F 平行的直线方程为d x y +=2，将其代入椭圆方程11322=+yx得：01223722=-++dx dx ，0=∆，即0328328822=+-dd，解得72=d，当7-=d 时，椭圆上的点P 到直线11A F 距离最大为372+，此时△11PA F 面积为21422372621+=+························································································· 9分（3）将t kx y +=代入椭圆方程，得0336)31(222=-+++t ktx x k ，由直线与椭圆有两个交点，所以0)1)(31(12)6(222>-+-=∆t k kt ，解得3122->t k························· 11分设),(11y x C 、),(22y x D ，则221316kkt x x +-=+，222131)1(3kt x x +-=⋅，因为以CD 为直径的圆过E 点，所以0=⋅ED EC ，即0)1)(1(2121=+++y y x x ， ······························13分 而))((2121t kx t kx y y ++==221212)(t x x tk x x k +++，所以01316)1(31)1(3)1(22222=++++-+-+t kkt tk kt k ，解得tt k 3122-=······························14分如果3122->t k对任意的0>t 都成立，则存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．09)1(31)312(2222222>+-=---ttt t tt ，即3122->t k ．所以，对任意的0>t ，都存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点． ···········································································16分 23解：（1）x y =，3x y =是对等函数； ·································································· 4分 （2）研究对数函数x y a log =，其定义域为),0(+∞，所以x x aaloglog=，又0l og ≥x a，所以当且仅当0log≥x a时)()(x f x f =成立．所以对数函数x y alog=在其定义域),0(+∞内不是对等函数．····························································································· 6分 当10<<a 时，若]1,0(∈x ，则0log ≥x a ，此时x y alog=是对等函数；当1>a 时，若),1[+∞∈x ，则0log≥x a，此时x y alog=是对等函数；总之，当10<<a 时，在]1,0(及其任意非空子集内x y alog =是对等函数；当1>a 时，在),1[+∞及其任意非空子集内x y alog=是对等函数． ···············································10分（3）对任意D x ∈，讨论)(x f 与)(x f -的关系． 1）若D 不关于原点对称，如x y =虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数； ··········· 11分2）若{}0=D ，则0)0()0(≥=f f ．当0)0(=f 时，)(x f 既是奇函数又是偶函数；当0)0(>f 时，)(x f 是偶函数． ···················································································13分 3）以下均在D 关于原点对称的假设下讨论． 当0>x 时，0)()()(≥==x f x f x f ；当0<x 时，)()()(x f x f x f =-=，若)()(x f x f =，则有)()(x f x f =-；此时，当0>x 时，0<-x ，令t x =-，则t x -=，且0<t ，由前面讨论知，)()(t f t f =-，从而)()(x f x f -=；综上讨论，当0<x 时，若0)(≥x f ，则)(x f 是偶函数． ··········································15分若当0<x 时，0)(≤x f ，则)()()()(x f x f x f x f -==-=；此时，当0>x 时，0<-x ，令t x =-，则t x -=，且0<t ，由前面讨论知，)()(t f t f -=-，从而)()(x f x f --=； 若0)0(=f ，则对任意D x ∈，都有)()(x f x f -=-．综上讨论，若当0<x 时，0)(≤x f ，且0)0(=f ，则)(x f 是奇函数．若0)0(≠f ，则)(x f 不是奇函数也不是偶函数．··························································································18分。
高考数学一模考试2013学年静安一模(理)
静安区2013学年高三年级第一学期期末数学理试卷（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}01|),(=-+=y x y x A ，{}1|),(2-==x y y x B ，则=B A I .2．已知1312cos -=α ，),2(ππα∈，则)4tan(απ+的值是 . 3．当0>x 时，函数xa y )8(-=的值恒大于1，则实数a 的取值范围是 .4．关于未知数的实系数一元二次方程02=+-c bx x 的一个根是i 31+（其中i 为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .5．某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况 有 种. （结果用数值表示） 6．不等式12|3|-<-x x 的解集是 .7．若2)21(6b a +=+（其中a 、b 为有理数），则=+b a .8．已知方程12cos 2sin =+θθ，则当),(ππθ-∈时，用列举法表示方程的解的集合是 . 9．如图平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°， 2==OB OA 34=OC ，若OC =λ+μ(R ∈μλ,)，则μλ+的值为 . 10．设某抛物线mx y =2的准线与直线1=x 之间的距离为3，则该抛物线的方程为 . 11．已知a x =-)4cos(π，且40π<<x ，则)4cos(2cos x x +π的值用a 表示为 .12．已知椭圆142:22=+y x C 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆C 上一点)2,1(P 作倾斜角互补的 两条直线PA 、PB ，分别交椭圆C 于A 、B 两点.则直线AB 的斜率为 . 13．若圆6)()(:22=-+-b y a x M 与圆5)1()1(:22=+++y x N 的两个交点始终为 圆5)1()1(:22=+++y x N 的直径两个端点，则动点),(b a M 的轨迹方程为 . 14．已知不等式b x x a ≤+-≤43432的解集为[]b a ,，则=b ，且b a +的值为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 互相垂直”的( ) A ．充要条件； B ．充分不必要条件；C ．必要不充分条件；D ．既不充分也不必要条件.16．已知命题α：如果3<x ，那么5<x ；命题β：如果3≥x ，那么5≥x ；命题γ：如果5≥x ， 那么3≥x .关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )① 命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题. ① 命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题. ① 命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题. A ．①①； B ．①； C ．①① D ．①①①17．已知函数x x x f 4)(2+-=，]5,[m x ∈的值域是]4,5[-，则实数m 的取值范围是( )A ．)1,(--∞；B ．]2,1(-；C ．]2,1[-；D ．)5,2[.18．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的以2为周期的偶函数，当10≤≤x 时，2)(x x f =.若直线a x y +=与函数)(x f y =的图像在]2,0[内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．41-或21-； B ．0； C ．0或21-； D ．0或41-.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表. 其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=21（弦⨯矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少 平方米？（结果保留两位小数）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（1）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222y x +与xy x +2的大小；（2）设c b a ,,为正数，且1222=++c b a ，求证：3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a .21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知双曲线222a y x =-（其中0>a ）.（1）若定点)0,4(A 到双曲线上的点的最近距离为5，求a 的值；（2）若过双曲线的左焦点1F ，作倾斜角为α的直线l 交双曲线于M 、N 两点，其中)43,4(ππα∈，2F 是双曲线的右焦点. 求①MN F 2的面积S .22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和为n S （*N n ∈），且点),(1n n S S -，)2,(*≥∈n N n在直线033)32(=+-+t ty x t 上（t 为与n 无关的正实数）． （1）求证：数列{}n a （*N n ∈）为等比数列；（2）记数列{}n a 的公比为)(t f ，数列{}n b 满足11=b ，)1(1-=n n b f b ，)2,(*≥∈n N n ， 设122212+--=n n n n n b b b b c ，求数列{}n c 的前项和n T ；（3）若（1）中无穷等比数列{}n a （*N n ∈）的各项和存在，记......)(21++++=n a a a t S ，求函数)(t S 的值域.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.已知函数11log )(+-=x x x f a（其中0>a 且1≠a ），)(x g 是)(x f 的反函数.（1）已知关于x 的方程)()7)(1(log x f x x ma=-+在区间]6,2[上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当10<<a 时，讨论函数)(x f 的奇偶性和增减性； （3）设pa +=11，其中1≥p . 记)(n g b n =，数列{}n b 的前n 项的和为n T （*N n ∈）， 求证：4+<<n T n n .2013学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准2014、11．{})0,1(),3,2(-； 2．177； 3．9>a 4．01022=+-x x ； 5．58905436=C ； 6．),34(+∞； 7．169； 8．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,0,43ππ； 9．12=+μλ； 10．x y 82=或x y 162-= 11．a 2； 12．2； 13．1)1()1(22=+++b a ； 14．4=b ，4=+b a ； 15．B 16．A ． 17．C 18．D 19．解：(1) 扇形半径33=r ，……………………… 2分 扇形面积等于ππα9)33(32212122=⨯⨯=r ……………………… 5分 弧田面积等于4327932sin 212122-=-ππαr r （m 2）……………………… 7分 （2）圆心到弦的距离等于r 21，所以矢长为r 21.按照上述弧田面积经验公式计算得 21（弦⨯矢+矢2）=)213(427)4272339(21+=+⨯.………………………10分 52.15166.1827432743279≈=---π平方米……………………… 12分 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少52.1平米. 20.（1）解法1：222222243)2()(2y y x xy y x xy x y x +-=-+=+-+………………3分 因为x 、y 是不全为零的实数，所以043)2(22>+-y y x ，即xy x y x +>+2222…………… 6分 解法2：当0<xy 时， 22222y x x xy x +<<+；……………………… 2分 当0>xy 时，作差：02)(222222>=-≥-+=+-+xy xy xy xy y x xy x y x ； 因为x 、y 是不全为零的实数，所以当0=xy 时，xy x y x +>+2222。
静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试文理科数学试...
静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试文理科数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量ji +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .（文）若),(ππ-∈x ，则方程12cos 2sin 3=-x x 的解是_____________. 理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .（文）满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______.10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．（文）在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3，且它的一个顶点与抛物线24y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .（文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．13.（理）已知定义在)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）（文）若三个数c a ,1,成等差数列（其中c a ≠），且22,1,c a 成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值为 ．14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .（文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]- （文） 不等式12x x->的解集为……………………………………………（ ）. )(A }01|{>-<x x x 或 )(B }1|{-<x x )(C }1|{->x x )(D }01|{<<-x x16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（文）已知向量a ，b 满足：1||||==b a ，且||3||b k a b a k -=+（0>k ）．则向量a 与向量b 的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.)(A 3π )(B 32π )(C 6π )(D 65π三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面A B C ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、PAD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm ）如图所示．设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ，求cos θ的值． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；(第20题图)1A 1D 1Q 1 A 正视图侧视图俯视图（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.（文）已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（１）当2=c 时，求n a ； （２）当1=c 时，求2014a 的值；（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =．（1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α文1．2； 2．2 3．35； 4．π12 5．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．22 9．37； 10. 4111. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；文A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r，又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴. （文）由//PQ CD ，且PQ CD =，可知//PD QC ，故1AQC ∠为异面直线1AQ 、PD 所成的角（或其补角）． 由题设知2222111126AQ A B B Q =+==，12AC == 取BC 中点E ，则QE BC ⊥，且3QE =，222223110QC QE EC =+=+=．由余弦定理，得2221111cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QCθ+-=∠=⋅== 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=.又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.（文）（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以21b =. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++.若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅x x x ，93=x ，2=x （2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . （文）（1）46)1(62-=-+=n n a n （2） 21=a ，82=a ，63=a ，24-=a ，85-=a ，66-=a ，27=a ，88=a ，69=a ，210-=a ，811-=a ，612-=a ，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由n n n a a a =+-+11有n n n n a a a a -=-=+++123，n n n n a a a a =-==++++3336．……8分(理由和结论各2分)因为 463352014+⨯=，所以242014-==a a ．（3）假设存在常数c ，使n n a a =+3恒成立．由n n n ca a a =+-+11 ○1，及n n a a =+3，有1112+-++=+⇒=+n n n n n n ca a a ca a a ○2 ○1式减○2式得0)1)((1=+-+c a a n n ． 所以01=-+n n a a ，或01=+c ．当*N n ∈，01=-+n n a a 时，数列｛n a ｝为常数数列，不满足要求．由01=+c 得1-=c ，于是n n n a a a -=+-+11，即对于2≥∈n N n 且，都有11-+--=n n n a a a ，所以 nn n n n n a a a a a a --=--=+++++12123,，从而n n n n n n n a a a a a a a =-+=--=+++++11123, )1(≥n ．所以存在常数1-=c ，使n n a a =+3恒成立． 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得 14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）同理科22（3）．。
上海市2013年高三第二次模拟考试四区联考数学理科试卷
2012 学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（理科）2013.04.（满分 150 分，答题时间 120 分钟）一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．1．已知全集U R ，集合A x x 22x30，则C U A.2．若复数z满足z i (2z) （i是虚数单位），则 z.3．已知直线2x y10的倾斜角大小是，则 tan 2.mx y30有唯一一组解，则实数 m 的取值范围4．若关于x、y的二元一次方程组1) x y 4(2m0是.开始5 ．已知函数y f ( x) 和函数y l o g2( x1) 的图像关于直线输入 px y0 对称，则函数y f (x) 的解析式为n=1 .S=0x 2y 2n=n+16．已知双曲线的方程为1，则此双曲线的焦点到渐近线的距- n3S=S+2n<p？是离为.否7．函数f ( x)sin x cosx cos(x)的最小正周期输出 S2 sin x cos x sin x结束T.（第 9 题图）8．若(12x)n展开式中含x3项的系数等于含x 项系数的8 倍，则正整数n. 9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7 ，则输出 S 的值是.10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm．11．某中学在高一年级开设了 4 门选修课，每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙 3 名学生，这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是(结果用最简分数表示 )．12．各项为正数的无穷等比数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 lim S n 1 ， 则其公比 q 的取值范nS n 1围是 .13．已知两个不相等的平面向量，(0)满足||＝2，且与－的夹角为 120 °，则|| 的最大值是.1 5 9 13 117510 15 20 150 14．给出 30 行 30 列的数表 A ：915 21 27183 13202734，其特点是每行每列都构216117 150 183 2161074成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34， ，1074 按顺序构成数列b n ，存在正整数s 、t (1 s t) 使 b 1 ,b s , b t 成等差数列，试写出一组 (s,t) 的值.二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5 分，否则一律得零分 .15．已知( , ) ， sin3，则 tan() 的值等于 ,,,,,,,,, （）254（A ）1．（ B ）1 ． （C ） 7．（D ） 7．7716．已知圆 C 的极坐标方程为asin ，则“ a2 ”是“圆 C 与极轴所在直线相切”的 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（）（ A ）充分不必要条件． （ B ）必要不充分条件． （C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件．17． 若直线 axby 2 经过点 M (cos, sin ) ，则 ,,,,,,,,,,（）（ A ） a2b24 ． （ B ） a2b24． （C ）11 4 ．（D ） 11 4 ．a 2b 2a 2b 218．已知集合M( x, y) y f ( x) ，若对于任意 ( x1 , y1 )M ，存在 (x2 , y2 )M ，使得 x1 x2y1 y20成立，则称集合M 是“集合” .给出下列4 个集合：①M( x, y) y1② M(x, y) y e x2x③M( x, y) y cosx④M( x, y) y ln x其中所有“集合”的序号是 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（）（A）②③．（B ）③④．（ C）①②④．（D ）①③④．三、解答题（本大题满分74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 5 分，第2 小题满分 7 分．在棱长为 2 的正方体ABCD A1 B1C1 D1中，E, F分别为 A1 B1 ,CD 的中点．（1）求直线EC与平面B1BCC1所成角的大小；（2）求二面角 E AF B的大小．20．（本题满分14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分8 分．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB的大小等于，半径为 2 ，在半径OA上有一动点 C ，3过点C 作平行于OB的直线交弧AB 于点P ．（ 1）若C 是半径OA的中点，求线段PC的大小；（ 2）设COP，求△POC面积的最大值及此时的值．21．（本题满分14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分7 分，第 2 小题满分 7 分．已知函数 f (x)x2a2（ 1）若F ( x) f ( x)bx 1．是偶函数，在定义域上 F ( x) ax 恒成立，求实数 a 的取值范围；（ 2）当a 1时，令( x) f ( f (x)) f ( x) ，问是否存在实数，使(x) 在, 1 上是减函数，在1,0上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分16分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分.已知点 A(1,0) ，P、P、P是平面直角坐标系上的三点，且1、AP2、AP3成等差数123AP 列，公差为 d ， d0 ．（ 1）若P坐标为1,1， d 2 ，点P在直线 3x y18 0上时，求点 P 的坐标；133（ 2）已知圆C的方程是(x3) 2( y 3)2r 2(r0)，过点 A 的直线交圆于P1、 P3两点，P2是圆C上另外一点，求实数 d 的取值范围；（ 3）若P1、P2、P3都在抛物线y24x 上，点 P2的横坐标为3，求证：线段 PP13的垂直平分线与 x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8分.已知数列a n的前n项和为 S n，且满足a1 a (a 3 )，a n1S n3n，设b n S n 3 n，n N ．（1）求证：数列b n是等比数列；（2）若 a n 1≥ a n， n N ，求实数a的最小值；（ 3 ）当a 4 时，给出一个新数列e n，其中e n 3 ,n 1n 项和b n ,n，设这个新数列的前2为 C n，若 C n可以写成t p( t, p N 且t 1, p 1 )的形式，则称C n为“指数型和”．问C n 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．四区联考 2012 学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3 ．第 19 题至第 23 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4 ．给分或扣分均以 1 分为单位．一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．1． [ 1,3] ；44．m15． y 2x 1 ；2．2；3．3； 3 ；6．1；63C411P437 ．（文、理）；8．（文） 4（理）5；9．64；10．17 ；11．（文）42 4 （理） 4312．0,1； 13．（文）(1,)（理）43(17,25) ．②3； 14．（文）②③⑤（理）二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分 .15． D；16．（文） B （理） A ； 17． B； 18．（文） C（理） A三、解答题（本大题满分74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分 12 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分7 分．1.5 米，高是 0.85 米S(文 )解：（ 1）如图正四棱锥底面的边长是V 1sh1 1.5 1.50.850.6375m3E 33O0.6375m31.5所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点 E ，连接SE，3 8；0.85SE SO2EO 20.8520.752S侧 41 1.5 SE41 1.5 0.8520.752 3.40m 2 22答：制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板．（理）19．（ 1）（理）解法一：建立坐标系如图平面B1BCC1 的一个法向量为n1(0,1,0)因为 E(2,1,2) C( 0,2,0) ， EC(2,1,2) ，可知直线EC的一个方向向量为d(2,1,2) ．设直线 EC 与平面B1BCC1成角为， d 与 n1所成角为，则sinn1d11 cos9 13n1d故EC与平面 B1 BCC 1成角大小为 arcsin1319（1）解法二：EB1平面B1BCC1，即B1C为EC在平面B1BCC1内的射影，故ECB1 为直线 EC 与平面B1BCC1所成角，故 tan ECB1EB112在Rt EB1C 中， EB1 1, B1C 2 2,B1C 2 242故 EC与平面 B BCC 成角大小为a rctan(理科共 4页)19（ 2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为 n 1(0,0,1)设平面 AEF 的一个法向量为n2( x, y, z) ，因为 AF( 2,1,0) ， AE (0,1,2)2x y 0所以y 2 z 0，令x1，则y2, z1n 2 (1,2, 1)cosn 1 n 21 6n 1 n 21 4 16由图知二面角E AFarccos6B为锐二面角，故其大小为6 ．19（ 2）解法二：过 E 作平面ABC的垂线，垂足为E ，EG E即为所求E AB ，过 E 作 AF 的垂线设垂足为G ， ADF ∽AGEG EADGE22AEAF1GE5 即5tan EGEEE 5在 Rt EE Q 中 GE所以二面角 EAFB 的大小为 arctan 5 ．20．（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 ．OCP2解 :（ 1）在△POC中，3 ，OP2, OC1OP2OC2PC22OC PC cos2由3113得 PC2PC 3PC2，解得．（2）∵CP∥OB，∴ CPOPOB3，2CPOP CPsin2sin 在△ POC 中，由正弦定理得sin PCO sin3，即4OC CP4sin(CP sin sin()sin 2OC3)∴3,又333．（文）记△ POC 的周长为C ( )，则C( )CP OC24sin4)2 3sin(33431sin24sin232cos233 =6时，C()取得最大值为432∴3.S()1CP OC sin2（理）解法一：记△POC 的面积为S( )，则2 3 ，14sin4sin()34sin sin() 23332334sin(3cos1sin )2sin cos2sin 2 3223sin 23323(sin 2)3 cos2333 366时，S()取得最大值为3∴ 3 .2OC 2PC 241cos2OC PC2解法二：3即OC2PC 2OC PC4，又 OC 2PC 2OC PC3OC PC 即3OC PC 4当且仅当 OCPC 时等号成立 ,S1 2143 32 CP OC sin23 23所以36时，S()取得最大值为3 OCPC ∴3 .21．（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 ．（文）解： (1)依题意，a2 3， C(23,0) ，x 2y 21214由yx，得y3 ，设 A( x 1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ，OC 23S ABC1OC y 1y 21 2 3 2 36∴22；y kx 2x 2 y 2 1 得 (3k21)x 2 12kx 0 ，(12k) 2(2)如图，由124依题意，k0 ，设P( x 1， y 1)，Q( x 2，y 2)，线段 PQ 的中点 H ( x 0， y 0 )，x 0x 1 x 26ky 0kx 02 223k 2 1 ，3k 21，D (0， 2)，则2 23k21k16k3由kDHkPQ1，得3k 2 1k，∴3F ( x) x 2a2 1是偶函数，b（理）解 :（1）bx即 F ( x)x 2a 2 ， x R又 F ( x) ax 恒成立即 x2 a 2 ax a( x 1) x 22当x1 时a Rax 22(x1)3当 x x 12， a 2 3 21 时，x 1a x 22(x1)3当xx 12a 2 3 21时，x 1，综上： 2 32a 2 32（ 2）( x) f ( f ( x)) f ( x)x 4(2) x2( 2)( x)是偶函数，要使( x) 在,1上是减函数在1,0上是增函数，即( x)只要满足在区间1,上是增函数在0,1上是减函数．令tx 2，当x0,1时t0,1；x1,时 t 1,，由于x0,时，t x 2是增函数记( x)H (t)t 2(2)t(2) ，故( x)与H (t)在区间 0,上有相同的增减性，当二次函数H (t )t 2(2)t(2) 在区间 1,上是增函数在0,1 上是214t1减函数，其对称轴方程为2．22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6 分 .（文）解 :（1）y f ( f ( x)) x42ax 2a2a过原点， a 2 a 0a 0或 a 1 得f ( x) x2或f ( x) x21(2)(3) 同理 21（理）解（1）AP11，所以AP35，设P3x, yx12225y则 3x y180，消去 y ，得x211x300，,（ 2 分）解得x15 ，x 26,所以P 3的坐标为5, 3或6,0（ 2）由题意可知点 A 到圆心的距离为 t (3 1)2(3 0) 213,（ 6 分）（ⅰ）当 0r13 时，点A 1,0在圆上或圆外，2dAP 3AP 1P 1P3 ，又已知d0 ，P 1P 32r，所以 rd0 或 0 dr（ⅱ）当 r13 时，点A1,0在圆内，所以2dmax13 r r 132 13 ，又已知d0 ，2d2 13 ，即13 d0或 0 d13结 论 ： 当0 r13 时，r d0 或 0 dr ； 当 r13时，13d 0 或0 d 13（ 3）因为抛物线方程为 y 2 4x ，所以 A1,0是它的焦点坐标，点P2 的横坐标为 3，即 AP 281， P 3 x 3 , y 3 ，则AP 1 x 1 1 AP 3x 3 1132设 P x 1, y 1，，AP AP2AP ，所以x1x 3 2x 2 6PPky 3 y 14PPk ly 3 y 1x 3 x 1y 3 y 1 ，则线段4直线13的斜率13的垂直平分线 l的斜率yy 3y 1y 3y1x 3则线段PP 13的垂直平分线 l 的方程为24直线 l与 x轴的交点为定点5,023．（本题满分 18 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8 分 .1 a2 a 11 22 （文）解：（ 1）令na 2 a 11得3，即3 ；8(理科共 4页)na n 1S nn(n 1) ,3a 2 a 12 ( n 1) a n Sn 1n(n 1)3 和3（ 2）由na n 1(n 1)a n2nan 1a n2a n3 ，3所以数列{ a n }是以 2 为首项，2a n2( n 2)3为公差的等差数列，所以3．{ a }{ a k }a 2 8解法一： 数列 是正项递增等差数列， 故数列n的公比q1，若k22，则由3 得nqa 24a k 3 2 (4)232 32 2( n 2)n 10 N *a 1，所以k 22 ，3，此时39，由93解得3同 理 k 23； 若 k 2 4， 则 由 a 44得 q 2， 此 时 ak n2 2n 1组成等比数列，所以2 2n 12(m2)m2，对任何正整数n ，只要取m3 2n2 ，即a kn是数3， 3 2n 11列{ a n }的第32n 1 2 项．最小的公比q2 ．所以kn3 2n 12．,,, （10 分）解法二:数 列{ a n } 是正项递增等差数列，故数列{ ak n} 的 公 比 q 1，设存在a k 1, a k 2,, a k n,(k 1k 2k n){ a k n }2a k 1ak 3组成的数列是等比数列，则ak 2，2222)22)k 2 2 23 k 32(k 2(k 3即33因为 k 2、k 3N * 且k 21所以k 22必有因数 3 ，即可设k22 3t ,t 2,tN，当数列{ a k n}的公比 q最小时，即k24 ，q2最小的公比q2 ．所以 kn3 2n 12 ．（ 3）由（ 2）可得从{ a n } 中抽出部分项 a k 1 , a k 2 , , a k n , (k 1k 2k n) 组成的数列{ a k n }是 等 比 数 列 ， 其 中 k 11 ， 那 么{ a k n}qk 223的公比是，其中由解法二可得k 2 3t 2,t2,t N ．ak n3 ( k 22) n 1 2(k n2)k n 3 (k 22 )n 12k n3 ( 3t 2 2) n 123333k n 3 t n 12， t2, t N所以 k 1 k 2k n 3(1 tt 2t n1 )2n 3 t n2n3（理）解：（ 1） an 1S n 3nSn 12S n3n bnS 3n， n N ，当a3时，，n b n 1 S n 13n 1 2S n 3n 3n 1b nS n 3nS n 3n=2，所以 b n 为等比数列．b 1 S 13 a 3， b n ( a 3) 2n 1．（ 2） 由（ 1）可得S n3n( a 3)2 n 1a n S n S n 1 ,n 2, n Na nan 12 3n 1(a 3) 2n 2n 2 ；a 2a 1an 1a n ，an 1a n n 2，a9所以a9 ，且 a3．所以a的最小值为（ 3）由（ 1）当 a4 时，bn2n 1当n2时， Cn 3 242n2n1，C13 ，所以对正整数 n 都有Cn2n 1 ．由 tp2n1 ， tp1 2 n， ( t, pN 且 t1, p1)， t只能是不小于 3 的奇数．pp①当 p 为偶数时， tp1 (t2 1)(t 21) 2 n，p p因为 t 2 1 和 t 2 1 都是大于1 的正整数，p所以存在正整数g, h，使得 t 2 1 2g， tp212h，2 g2h2, 2h ( 2 g h1) 2 ，所以2h 2 且2g h 1 1h1, g 2，相应的n 3，即有C332，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，tp1 (t 1)(1 t t 2t p 1 ) ，由于1t t 2t p 1是p个奇数之和，仍为奇数，又t1为正偶数，所以(t1)(1t t 2t p 1 )2n不成立，此时没有“指数型和”.。
上海市杨浦区2013年高三数学一模试卷(理)
杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理) 2013.1考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 若函数()xx f 3=的反函数为()x f1-，则()=-11f．2．若复数iiz -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 .4. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211321，则该线性方程组的解是 ．5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 .6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．7. 若圆椎的母线cm 10=l ,母线与旋转轴的夹角030=α,则该圆椎的侧面积为 2cm . 8. 设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013 项的和=2013S ______________．9. 下列函数：① xx f 3)(=, ②3)(x x f =, ③x x f 1ln)(= ， ④ ⑤1)(2+-=x x f 中,既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减函数为 （写出符合要求的所有函数的序号）.10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b 和c ，则函数c bx x x f ++=2)(2图像与x 轴无公共点的概率是____ ___ .11.若函数1)23(log )(+-=xa x f (1,0≠>a a )的图像过定点P ,点Q 在曲线022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是 ． 12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上.2cos )(x x f π=A MEPDCBNF则矩形BNPM 面积的最大值为____ 平方米. 13 在ABC ∆中，若4π=∠A ，7)tan(=+B A ，23=AC ，则ABC ∆的面积为___________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线mx y 23+=与圆222n y x =+相切，其中m n ∈*N 、，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈，则=k ________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． “3=a ”是“函数22)(2+-=ax x x f 在区间[)+∞,3内单调递增”的………（ ）)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．16．若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ） )(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．18. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n ∈*N ）. 对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”. 现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ………（ ）)(A ①②． )(B ③④． )(C ①②④． )(D ②③④ ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC ,E D 、分别是AP BC 、的中点，（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成角的大小为θ，求θtan 的值.PABCDE20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知 x x x f 2sin 22sin 3)(-=，（1）求)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，求)(x f 的最大值及取得最大值时对应的x 的取值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知函数)0(121)(>-=x x x x f 的值域为集合A ，（1）若全集R U =，求A C U ； （2）对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x ，不等式()0≥+a x f 恒成立，求实数a 的范围； （3）设P 是函数()x f 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A B 、，求⋅的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≠==+.0,0,0,1,11n n n n a a a a a a 其中⋅⋅⋅=,3,2,1n . （1）若2=a ，求数列{}n a ；（2）当41>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ． （3）若a 是有理数，设qpa =（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，并证明你的结论．杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)参考答案一．填空题:1. 0；2．2；3．2；4. ⎩⎨⎧==11y x （向量表示也可）；5．2arctan ；6. 33±；7. π50；8. 2013；9.③⑤；10.367；11. x x y 222-=；12． 48；13． 221；14． 0； 二、选择题:15．)(A ；16．)(D ；17．)(B ；18. )(C ．三、解答题19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (1)由已知得，,32,2==AB AC ………2分 所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //， 所以EDF ∠就是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ………7分由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥,Θ. ………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ，所以，315tan =θ. ………12分 (其他解法，可参照给分)20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ． 解：（1）因为x x x f 2sin 22sin 3)(-=12cos 2sin 3-+=x x ………2分1)62sin(2-+=πx ………4分所以,，即函数的最小正周期为 ………5分 πππππk x k 2236222+≤+≤+，)(,326Z k k x k ∈+≤≤+ππππ 所以)(x f 的单调递减区间为)(],32,6[Z k k k ∈++ππππ………7分 （2）因为36ππ≤≤-x ，得65626πππ≤+≤-x ， 所以有1)62sin(21≤+≤-πx ………8分 由2)62sin(21≤+≤-πx ，即11)62sin(22≤-+≤-πx ………10分所以，函数的最大值为1.………12分 此时，因为65626πππ≤+≤-x ，所以，262ππ=+x ，即6π=x . ………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．22T ππ==()f x π()f x方法2、(可参照方法1给分)(1)由已知得，0>x Θ ，则22)(≥+=xx x f ………1分 当且仅当xx 2=时，即2=x 等号成立， [)∞+=∴,22M ………3分所以，()22,∞-=M C U ………4分 (2)由题得 ⎪⎭⎫⎝⎛+-≥x x a 2 ………5分 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x y 2在⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 的最大值为29- ………9分 29-≥∴a ………10分(3)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+002,x x x P ，则直线PA 的方程为()0002x x x x y --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即0022x x x y ++-=， ………11分 由⎪⎩⎪⎨⎧++-==0022xx x y xy 得)1,1(0000x x x x A ++ ………13分又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+002,0x x B ， ………14分 所以)1,1(00x x -=，)0,(0x -=，故1)(100-=-=⋅x x ………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 解：（1）11a ==，21111a a ==， ………2分12-=k a ，则121211-=+==+kk a a所以1n a . ………4分 （2）1a a a ==，所以114a <<，所以14a1<<， ①当112a <<，即12a 1<<时，211111a a a a a===-=，所以210a a +-=，解得a =1(1)2a =，，舍去）. ………6分②当1132a <≤，即123a <≤时，211112a a a a a===-=，所以2210a a +-=，解得1a ==（111(]32a =∉，，舍去）. ………7分 ③当1143a <≤，即134a <≤时，211113a a a a a===-=，所以2310a a +-=，解得a =（11(]43a =，，舍去）. ………9分综上，{a =，1=，a =}. ………10分 （3）成立. ………11分 （证明1）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设nnn q p a =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且nnq p 既约）. ………12分①由111q p q pa ==，可得q p <≤10； ………13分 ②若0≠n p ，设βα+=n n p q （n p <≤β0，βα,是非负整数）则nn n p p q βα+= ，而由n n n q p a =得n n n p q a =1 nn n n n p p q a a β===+11，故β=+1n p ，n n p q =+1，可得n n p p <≤+10 ………14分 若0=n p 则01=+n p ， ………15分 若q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1-q 个，矛盾. ………17分 故q a a a a ,,,,321⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在)1(q m m ≤≤，使得0=m a .从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大q 于的自然数n ，都有0=n a . （证法2，数学归纳法） ………18分（其它解法可参考给分）。
【VIP专享】2013杨浦、青浦、静安、宝山高三二模数学试卷(理)有答案
9．执行如图所示的程序框图，若输入 p 的值是 7 ，则输出 S 的值是
10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，
那么这个圆锥的母线长为
.
的最小正周期T
cm ．
11．某中学在高一年级开设了 4 门选修课，每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门，对于该年级的
示)．
甲、乙、丙 3 名学生，这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是
12．各项为正数的无穷等比数列 an
的前
n
项和为
13．已知两个不相等的平面向量 ， ( 0 )满足| |＝2，且 与 － 的夹角为 120°，
则| |的最大值是
.
Sn
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
上海黄浦2013年4月高三数学二模(理科)
黄浦区2013年高考模拟考数学试卷(理科) 2013年4月11日考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟. 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.2．函数()lg(42)f x x =-的定义域为___________.3．若直线l 过点(1,3)A -，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方 程为___________.4．等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________. 5．执行右边的程序框图，则输出的a 值是___________.6．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+，若()f x a +在[0,)+∞上是增函 数，则a 的取值范围是___________.7．在极坐标系中，直线:cos 1l ρθ=被圆:4cos C ρθ=所截得的线段长 为___________.8．已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.9．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=，则AB BD ⋅=___________. 10．已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠=，若球心O 到平面ABC的距离为__________3cm .11．在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===，则sin sin BC的值为___________. 12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+-(3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++，则lim4nnn A →∞=___________.13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检 以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要 检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品， 按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 14．已知1()4f x x =-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得 {}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为 A ．2425- B. 247± C. 247- D. 24716．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是A ．3)y x =≤< B. 3)y x =>C ．3)y x =≤< D. 3)y x =>17．下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件；②“0a >” 是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序是A ．③ B. ②③ C. ①② D. ①③18．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞- D. [1,0](1,)-+∞A BCDA 1B 1ED 1C 1三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编的规定区域内写出必要的步骤19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，1A D =. （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知复数12sin ,(sin )z x i z x x i λ=+=-(,,x R i λ∈为虚数单位) （1）若122z z i =，且(0,)x π∈，求x 与λ的值；（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ ，若12OZ OZ ⊥，且()f x λ=，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足211(01)2(1)41x x axx x ay a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+， 其对应曲线（如图所示）过点16(2,)5. （1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值 时对应的x 值）； （2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若2()OE OA OB =+(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线l 倾斜角； （3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证： 当0k 为定值时，12k k +也为定值.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.一、填空题1. 3i ±2. [)1,2-3. 21y x =-+4. 125. 1216. [)2,+∞7. 8. 2213y x -= 9. 3- 10. 64π 11.35 12. 4313.271014. []3,4二、选择题15. C 16. D 17. B 18. A三、解答题【题目19】【解析】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥， 又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322EF AA == 在Rt AFB ∆中BF =∴3tan 210EBF ∠==∴EBF ∠=【题目20】【解析】⑴∵122z z i =，∴2sin 21(sin )x i x x i λ+=++∴2sin 12sin x x xλ=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∵(0,)x π∈，∴6x π=或56π∴1λ=或12λ=-⑵根据题意可知：12(sin ,),(sin ,1),OZ x OZ x x λ==- ∵12OZ OZ ⊥，∴120OZ OZ ⋅=∴2sin cos 0x x x λ-=∴2sin cos x x x λ=+，∴11(1cos22)sin(2)262x x x πλ=-+=-+ ∴最小正周期：22T ππ==∵sin x 在3[2,2],22k k k Z ππππ++∈上单调减∴根据复合函数的单调性：32[2,2],622x k k k Z πππππ-∈++∈ ∴5[,],36x k k k Z ππππ∈++∈∴()f x 在5[,],36k k k Z ππππ++∈上单调减【题目21】【解析】将16(2,)5代入函数可得：8a =，∴2218,011()2,141x x xx x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+⑴当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x==++ ∵12x x+>，∴0()4f x << 当[1,)x ∈+∞时，221242424()1142412114244x x x x x x x x f x +-⋅⋅====+⨯+++ ∵22x≥ ∴112142x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤ ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==⑵∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4 ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解 当(0,1)x ∈时，28()11xf x x ==+，解得：4x = 当[1,)x ∈+∞时，212()141x x f x +-==+，解得：2log (8x =+∴当2[4(8x ∈+时，为有效时间区间∴有效的持续时间为：2log (8(4 3.85+-≈小时【题目22】设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线与11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且124y y =-；⑴求抛物线的方程；⑵若2()OE OA OB =+（O 为坐标原点），且点E 在抛物线C 上，求直线l 的倾斜 角；⑶若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k ， 求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值。
2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(理)试卷(含答案)
2013年上海部分重点中学高考模拟考试数学(理)试卷考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数21x y =+的反函数为 . 2. 平面上的点(3,4)A 绕原点顺时针旋转π2后, 所得点B 的坐标为 . 3. 设m 是实数. 若复数1iim +-的实部为0(i 表示虚数单位), 则m = . 4. 若复数z 是方程2240x x -+=的一个根, 则||z = . 5. 在右边所示流程图中, 若输入的x 值是3, 则最后输出的n的值为 .6. 设m 是正实数. 若椭圆2221691x y m ++=的焦距为8, 则 m = . 7. 设k 是实数. 若方程22144x y k k -=-+表示的曲线是双曲线, 则k 的取值范围为 .8. 已知命题“a A ∈”是命题“132110111aa =”的充分非必要条件, 请写出一个满足条件的非空集合A , 你写的非空集合A 是 .9. 设全集U R =. 若集合11A xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭, 则U A =ð . 10. 设A 是三角形的内角. 若1sin cos 5A A -=, 则tan 2A = . 11. 设a 是实数. 若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数, 但不是偶函数, 则函数()f x 的递增区间为 . 12. 在数列{}n a 中, 10a ≠, 当*n N ∈时, 111n n a a n +⎛⎫=+⎪⎝⎭. 数列{}n a 的前n 项和为n S , 则2limnn nS S →∞= .13. 若平面向量,a b满足||2a = , (2)12a b b +⋅= , 则||b 的取值范围为 .14. 设1,,,,ab S a bcd b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭, 2,,,,0a b S a b c d a d b c c d R ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈==+=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭. 已知矩阵2468A B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 其中1A S ∈, 2B S ∈. 那么A B -= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案. 考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分. 15. 根据以下各组条件解三角形, 解不唯一．．．的是 [答] ( )(A) 60A ︒=, 75B ︒=, 1c =.(B) 5a =, 10b =, 15A ︒=.(C) 5a =, 10b =, 30A ︒=. (D) 15a =, 10b =, 30A ︒=.16. 对于数列{}n a , 如果存在正实数M , 使得数列中每一项的绝对值均不大于M , 那么称该数列为有界的, 否则称它为无界的. 在以下各数列中, 无界的数列为 [答] ( )(A) 12a =, 123n n a a +=-+. (B) 12a =, 112nn a a +=+.(C) 12a =, 1arctan 1n n a a +=+.(D) 12a =, 11n a +=.17. 设,,a b k 是实数, 二次函数2()f x x ax b =++满足: (1)f k -与()f k 异号, (1)f k +与()f k 同号. 在以下关于()f x 的零点的命题中, 假命题的序号为[答] ( )① 该二次函数的两个零点之差一定大于2; ② 该二次函数的零点都小于k ; ③ 该二次函数的零点都大于1k -. (A) ①②.(B) ②③.(C) ①③.(D) ①②③. 18. 将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体1111ABCD A B C D -, 不同的标字母方式共有[答] ( )(A) 24种. (B) 48种.(C) 72种.(D) 144种.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知a 是实数, 三条直线250x y -+=, 40x y a -++=, 0x a +=中任意两条的交点均不在椭圆22211x y +=上, 求a 的取值范围.20. (本题满分12分)某学生解下面的题目时, 出现了错误. 指出该学生从哪一个步骤开始犯了第一个错误, 并从该步骤开始改正他的解答.【题目】有一块铁皮零件, 它的形状是由边长为40cm 的正方形CDEF 截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE , 其中AF 长等于12cm, BF 长等于10cm, 如图所示. 现在需要截取矩形铁皮, 使得矩形相邻两边在,CD DE 上. 请问如何截取, 可以使得到的矩形面积最大? (图中单位: cm)【错解】在AB 上取一点P , 过P 作,CD DE 的平行线, 得矩形PNDM . 延长,NP MP , 分别与,EF CF 交于点,Q S .设PQ x =cm(010x ≤≤), 则40PN x =-. 由APQ ∽ABF , 得1.2AQ x =,28 1.2PM EQ EA AQ x ==+=+.……………步骤①如果矩形PNDM 的面积用y cm 2表示, 那么(40)(28 1.2)y PN PM x x =⋅=-+,其中010x ≤≤.因为PN , PM 均大于零, 所以由基本不等式, 得222PN PM PN PM +⋅≤,因此y PN PM =⋅的最大值为222PN PM +.……………步骤②y 取到最大值, 即等号成立当且仅当PN NM =, 即4028 1.2x x -=+, 解得6011x =. ……………步骤③当60[0,10]11x =∈时, 144400(40)(28 1.2)121y x x =-+=, 所以当6011x =cm 时, 面积的最大值为144400121cm 2.……………步骤④21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数1π()sincos sin 2222x x f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (1) 写出()f x 的最小正周期以及单调区间; (2) 若函数5π()cos 4h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 求函数22log ()log ()y f x h x =+的最大值, 以及使其取得最大值的x 的集合.22. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.可以证明, 对任意的*n N ∈, 有2333(12)12n n +++=+++ 成立. 下面尝试推广该命题:(1) 设由三项组成的数列123,,a a a 每项均非零, 且对任意的{1,2,3}n ∈有23331212()n na a a a a a +++=+++ 成立, 求所有满足条件的数列; (2)设数列{}n a 每项均非零, 且对任意的*n N ∈有23331212()n n a a a a a a +++=+++ 成立, 数列{}n a 的前n 项和为n S . 求证: 2112n n na a S ++-=, *n N ∈; (3) 是否存在满足(2)中条件的无穷数列{}n a , 使得20122011a =-? 若存在, 写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()2f x x x m =-, 常数m R ∈. (1) 设0m =. 求证: 函数()f x 递增;(2) 设0m >. 若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值为2m , 求正实数m 的取值范围; (3) 设20m -<<. 记1()()f x f x =, 1()(())k k f x f f x +=, *k N ∈. 设n 是正整数, 求关于x 的方程()0n f x =的解的个数.一．（第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测数学理试题
上海市浦东新区2013届高三下学期4月高考预测数学理试题注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知复数z 满足i z i -=⋅1（其中i 为虚数单位）2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝}1,a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 . 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生.4．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .5．把三阶行列式13104302--x x x中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x 的不等式0)(<x f 的解集为 .6．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的标准方程是 .7．若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点，则实数m 的取值范围是 .8．记直线n l ：01)1(=-++y n nx （*N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ，则=++++∞→)(lim 321n n S S S S Λ .9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、，若41cos ,7,2-==+=B c b a ，则=b .10．若等式55443322105)1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a a x ++++++++++=对一切R x ∈都成立，其中，，，…，为实常数，则4a ＝ .11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为 .13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义，函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是 .14．数列}{n a 满足1241+-=+n n n a a a （*∈N n ）． ①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列；②“数列}{n a 中存在某一项6549=k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件； ③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,(Y --∞；④只要k k k k a 232311--≠+，其中*∈N k ，则n n a ∞→lim 一定存在； 其中正确命题的序号为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 （ ）)(A 充分不必要条件)(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件 )(D 既不充zxxk 分也不必要条件16．已知,3=a ,4=b ,33)3()(=+⋅+b a b a 则a 与b 的夹角为 （ ）)(A 6π)(B 3π)(C 32π )(D 65π 17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x x x x m x f π，其中0>m 。
2013年上海市高考数学模拟试卷(含答案)题目和答案和评分要点
2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。
2.本试卷共有31道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =- ，。
若//a b ，则实数 k = 6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。
11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，D 1C 1B 1A 1D C AB选对得3分，否则一律得0分。
13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）（A ）a bd c (B)acb d(C)a d bc(D)b a dc14.设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x-=的大致图像是（）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
(word完整版)2013届上海市17区县高三一模(数学理科)分类汇编专题三解析几何,推荐文档
专题三 解析几何2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）17．若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为 ………（ ）)(A． )(B ． )(C ． )(D ． 17．)(B ；（青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ D ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±= D . x y 22±=（嘉定区2013届高三一模 理科）9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 9．2412+=x y （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =，则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………（ ）AB ．C ．4D ．817、C（黄浦区2013届高三一模 理科）13．已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C上，则m 的值为 ． 13．3+；（松江区2013届高三一模 理科）7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 7．24y x =（虹口区2013届高三一模）14、设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ． 14、427； （松江区2013届高三一模 理科）14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C L ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ▲ ． 14． ③④（杨浦区2013届高三一模 理科）3．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为 . 3．2；（黄浦区2013届高三一模 理科）11．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为 ．11．165；（奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为____________．文4（青浦区2013届高三一模）3．抛物线22x y =的焦点坐标是____)81,0( ．（奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________． 文23a（杨浦区2013届高三一模 理科）5．若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 . 5．2arctan ；（金山区2013届高三一模）11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．11．14422=-y x（虹口区2013届高三一模）4、双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 4、3π；（嘉定区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b ab a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（黄浦区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O C的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F ． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围；（3）在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断12,l l 是否垂直？并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知c =a ==，可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <<，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r， 故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r2244343()332m m m =-+=-, …………………………8分又m <<，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,7+． …………………………10分（3）设(,)P s t ，则224s t +=．当s =时，1t =±，则12,l l 其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有12l l ⊥．当s ≠(,)P s t 且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ， 则l 的方程为()y t k x s -=-，代入椭圆C 方程可得223[()]3x kx t ks ++-=，即222(31)6()3()30k x k t ks x t ks ++-+--=，由222236()4(31)[3()3]0k t ks k t ks ∆=--+--=， …………………………13分 可得222(3)210s k stk t -++-=，其中230s -≠， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是上述方程的两个根，故22122211(4)133t s k k s s ---===---，即12l l ⊥．综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有12l l ⊥． …… …………………………16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ． （1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．21、（14分）解：（1）圆心)0,0(O 到直线0323=-+y x 的距离3=d ．圆的半径2=r ，∴2222=-=d r AB ．………………4分 （2）),(11y x M ，),(22y x P ，则),(111y x M --，),(112y x M -，42121=+y x ，42222=+y x ．………………8分1PM ：))(())((212212y y x x x x y y -+=-+，得121221x x y x y x m +-=．2PM ：))(())((212212y y x x x x y y --=-+，得121221x x y x y x n ---=．…………12分∴4)4()4(212222212122212222212122=----=--=⋅x x x x x x x x y x y x n m ………………14分（金山区2013届高三一模）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分 在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分(2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-u u u u r u u u u r ，所以 212122)2)(2(y y x x Q B P B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅u u u u r u u u u r=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514kk y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=.设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分（宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =r ，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分(2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=， 2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d =……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ． 点A 、B 、M 的坐标为11222pA(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分 又2112y px =，2222y px =，因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++ (14)分 而30222m mk p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分） 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．23、解：（122=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+=求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。
上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编8：直线与圆
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ,则（ ）A ．422≤+b a .B ．422≥+b a .C ．41122≤+b a . D ．41122≥+ba . 2 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是 （ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-D ．[1,0](1,)-+∞3 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）若点)1,(b a M 和)1,(cb N 都在直线l :1=+y x 上,则点)1,(a c P ,),1(b cQ 和l 的关系是 （ ）A ．P 和Q 都在l 上B ．P 和Q 都不在l 上C ．P 在l 上,Q 不在l 上D ．P 不在l 上,Q 在l 上二、填空题4 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）若直线l 过点(1,3)A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为___________.5 ．（2013届浦东二模卷理科题）若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点,则实数m 的取值范围是____________.三、解答题6 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知点)0,1(A ,1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点,且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列,公差为d ,0≠d .(1)若1P 坐标为()1,1-,2d =,点3P 在直线3180x y --=上时,求点3P 的坐标; (2)已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ,过点A 的直线交圆于31P P 、两点,2P 是圆C 上另外一点,求实数d 的取值范围;(3)若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上,点2P 的横坐标为3,求证:线段13P P 的垂直平分线与x轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆参考答案一、选择题 1. B 2. A 3. A 二、填空题 4. 21y x =-+5. ]10,0[ 三、解答题6. 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.解(1)11AP =,所以35AP =,设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩,消去y ,得211300x x -+=, 解得15x =,26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0(2)由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t(ⅰ)当130<<r 时,点()1,0A 在圆上或圆外,31132P P AP AP d =-=, 又已知0≠d ,r P P 2031≤≤,所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 (ⅱ)当13≥r 时,点()1,0A 在圆内,所以13213132max=--+=r r d,又已知0≠d ,13220≤<d ,即013<≤-d 或130≤<d结论:当130<<r 时,0<≤-d r 或 r d ≤<0;当13≥r 时,013<≤-d 或130≤<d(3)因为抛物线方程为x y 42=,所以()1,0A 是它的焦点坐标,点2P 的横坐标为3,即82=AP设()111,P x y ,()333,P x y ,则111+=x AP ,133+=x AP ,1322AP AP AP +=, 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+,则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=-则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,0。
上海2013届高三静安、杨浦、宝山、青浦四区二模数学-文--含答案
2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ． 11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+.（D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ）（A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a .（C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+b a .18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米． （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式；（2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板． （理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图 平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． （文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 22223πθθθ⎛⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2. （理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，， 由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴k = （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. （文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=， 又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=，所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ； 又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． （3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ． （2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ， 所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n pt，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得g p t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p ptt t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.（满分150分，答题时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称，则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 . 7．函数xx x x x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)． 12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．①函数)(x f y =一定是偶函数；②函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数)(x f y =可以是奇函数；④函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ） （A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-. 16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于 ………………………………………………（ ） （A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ） （A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a . （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+ba . 18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0米，底面的边长是5.1米． （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：. （1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式； （2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学（文理）参考答案及评分标准 2013.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=xy ； 6．1； 7．（文、理）π；8．（文）4（理）5；9．6463；10．17；11．（文）414214=C （理）834334=P ；12．(]1,0；13．（文）(1,)+∞（理）334；14．（文）②③⑤（理）)25,17(． ② 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C （理）A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． (文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米 sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ．(2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板． （理）19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图 平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴EC ， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31arcsin BCC B 11成角大小为与平面故EC19（1）解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC 19（2）（理科）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．19（2）解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． （文）记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin 2223πθθθ⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2.（理）解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． （文）解：(1)依题意，32=a ，)0,32(C ，由221124x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =设),(11y x A ),(22y x B ，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆y y OC S ABC ； (2)如图，由2221124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx ++=，0)12(2≥=∆k 依题意，0k ≠，设1122()()P x y Q x y ，，，，线段PQ 的中点00()H x y ，，则12026231x x k x k +-==+，0022231y kx k =+=+，D (0 2)-，，由1-=⋅PQ DH k k ，得2222311631k k k k ++⋅=--+，∴3k =± （理）解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.（文）解:（1）a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点，02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f(2)(3)同理21（理）解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=， 又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max=--+=r r d，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d （3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=， 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314ly y k +=- 则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. （文）解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ； 又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n nn32)1(1na a n na n n n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分）解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． （3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232． )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k nn n（理）解：（1）⇒+=+nn n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时，1111323333n n n n n n n nn n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列．3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S*-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n，31=C ，所以对正整数n 都有12+=nn C ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数．①当p 为偶数时，n p p pt t t 2)1)(1(122=-+=-，因为12+p t 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得gp t 212=+，h p t 212=-，222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--hg 2,1==⇒g h ，相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．。
上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(理)试题
2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（理科） 2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x 7．函数xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T 8．若nx )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的89．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，β(≠α)满足|β|＝2，且与β－的夹角为120°，则||的最大值是 .14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，， 按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ）（A ）71． （B ）71- ． （C ） 7． （D ）7-．16．已知圆C 的极坐标方程为θρsin a =，则“2=a ”是“圆C 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件．17．若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（ ）（A ） 422≤+b a ． （B ） 422≥+b a ． （C ）41122≤+b a ． （D ）41122≥+ba ． 18． 已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ② {}2),(-==xe y y x M ③ {}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(==其中所有“Ω集合”的序号是……………………………………………………（ ） （A ）②③ ． （B ）③④ ． （C ）①②④． （D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD B A ,11的中点．（1）求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小； （2）求二面角B AF E --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知函数a x x f +=2)(． （1）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A ，1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点，且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列， 公差为d ，0≠d ．（1）若1P 坐标为()1,1-，2d =，点3P 在直线3180x y --=上时，求点3P 的坐标； （2）已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ，过点A 的直线交圆于31P P 、两点，2P 是圆C 上另外一点，求实数d 的取值范围；（3）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为3，求证：线段13PP 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值；（3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e nn ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．四区联考2012学年度第二学期高三数学参考答案及评分标准 2013.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1； 7．π；8．5；9．6463；10．17；11． 834334=P ；12．(]1,0；13．334；14．)25,17(．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15． D ； 16． A ； 17． B ；18． A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． （1）解法一：建立坐标系如图平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31a r c s i n B C C B 11成角大小为与平面故EC解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC （2）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n 设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G 在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ． （2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． 解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b 即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）（ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=，又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max =--+=r r d ，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d（3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=， 所以13226x x x +==直线13PP 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13PP 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=- 则线段13PP 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y y y x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）⇒+=+n n n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时， 1111323333n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S *-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a 所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n ，31=C ，所以对正整数n 都有12+=n n C ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数． ①当p 为偶数时，n p p p t tt 2)1)(1(122=-+=-， 因为12+pt 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得g pt 212=+，h p t 212=-， 222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ， 相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；● ②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，● 仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．●。
2013学年杨浦高考数学汇编一模(理)
上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim nnn ． 2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21xy =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=xx f 的反函数为()x f1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 ()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b +=_________.9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω_________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元， 若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ． 13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ． 14．已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应 编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直 16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的 ………（ ）. )(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件． 17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x =，()ax a 21,-=，其中0>a .函数()x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()xx g x f =. （1）求实数a 的值； （2）若不等式()033≥-xxk f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的 两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． （1）求抛物线Γ方程；（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分， 第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=.（1）椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且3m ≠ ① 证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ② 若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；（2）若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线，其中1l 交圆ψ于T 、R 两点， 2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分, 第②问8分.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ； （2）当1k =，0b =，0p =时，① 若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；② 设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”. 如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠， 且12311111111218n S S S S <++++<．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值构成的集合； 若不存在，说明理由．杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2 一．填空题（本大题满分56分）1. 1 ；2.3arctan ；3.2；4. ()0,∞- ；5. 3 ；6. 1 ；7. π；8. 2；9. 1±； 10. 30 ； 11. 01062=+-x x ； 12. 15 ；13.95， 14.②、③，二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18.B ； 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. …2分 又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60.……6分 （2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯. ……12分 20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122 ……4分 又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4，()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==xx x x g x f ……8分 令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-xxk f 可化为kt t f ≥)(,即tt f k )(≤恒成立，…9分 2)11()(-=tt t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0， ……13分 0≤∴k ……14分21. 【解】（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα， [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S ， 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8 ……14分22. 【解】（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-，直线BM 斜率为k 2=m23，∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m ， ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分 据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +-∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭,令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分 ②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=, 直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=, ……12分 所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242kk d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以 418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以 13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:12l y x =±-……16分 23【解】（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()p a a b kn S n n +++=12得n n S a a 24)(31=-+ ① 用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， ……2分 在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S =312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++， ④④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， …….8分 ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分 易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“Ω数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分 又由已知，111111218S <<，故1181211a <<一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈， 都有123111111112n S S S S S ++++≥> .…….13分 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+， 则1231111111n S S S S n ++++=-+， 取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++1118<， …….15分 当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111111111111()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++， …….16分 又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分 所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分 （其他解法,可根据【解】的评分标准给分）。
上海市17区县2013届高三一模(数学理科)分类汇编：专题十 二项式定理
专题十 二项式定理 2013年2月 （杨浦区2013届高三一模 理科）6. 若7)(a x +的二项展开式中，5x 的系数为7，则实数=a ．6. 3
3±； （松江区2013届高三一模 理科）10．若二项式7()+x a 展开式中5x 项的系数是
7，则)(lim 242n n a a a +++∞
→ = ▲ ． 10． 21 （浦东新区2013届高三一模 理科）10．二项式12n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式前三项系数成等差数列，则n = 8 .
（黄浦区2013届高三一模 理科）5．91()x x
+的展开式中5x 的系数是 （用数字作答）． 5．36；
（宝山区2013届期末）9．二项式103
)1(x x -展开式中的常数项是 (用
具体数值表示) 210)1(6106=-C （长宁区2013届高三一模）4、
8)2(x -展开式中含4x 项的系数为 . 4、1 （崇明县2013届高三一模）6、251()x x
-展开式中4x 的系数是 .（用数字作答）6、10
（金山区2013届高三一模）7．在62()x x
的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 7．–160。
数学_2013年上海市宝山区高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2013年上海市宝山区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1. 在复数范围内，方程x 2+x +1=0的根是________．2. 已知[1−231]X =[32−5−1]，则二阶矩阵X =________． 3. 设A(2, 3)，B(−1, 5)，且AD →=3AB →，则点D 的坐标是________．4. 已知复数(x −2)+yi(x, y ∈R)的模为√3，则y x 的最大值是________．5. 不等式|x 3−72|≤92的解集是________．6. 执行如图所示的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________．7. 将函数f(x)=|√3sinx 1cosx|的图象向左平移a(a >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为________．8. 设函数f(x)是定义在R 上周期为3的奇函数，且f(−1)=2，则f(2011)+f(2012)=________．9. (√x −√x 3)10展开式中的常数项是________． 10. 在△ABC 中，若B =60∘，AB =2，AC =2√3，则△ABC 的面积是________．11. 若数列{a n }的通项公式是a n =3−n +(−2)−n+1，则 lim n →∞(a 1+a 2+⋯+a n )=________． 12. 已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于πR 3，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R ＝________．13. 我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①________；②________．14. 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B 的曼哈顿距离L(A, B)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|．若点A(−1, 1)，B 在y 2=x 上，则L(A, B)的最小值为________．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15. 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ）A A 53⋅A 33B A 88−A 66⋅A 33C A 63⋅A 55D A 88−A 6416. 在△ABC 中，有命题①AB →−AC →=BC →；②AB →+BC →+CA →=0→；③若(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →⋅AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是( )A ①②B ①④C ②③D ②③④17. 函数f(x)=x|arcsinx +a|+barccosx 是奇函数的充要条件是 （ ）A a 2+b 2=0B a +b =0C a =bD ab =018. 已知f(x)={x +1,x ∈[−1,0)x 2+1，x ∈[0,1]，则下列四图中所作函数的图象错误的是（ ） Af(x −1)的图象 Bf(−x)的图象 Cf(|x|)的图象 D|f(x)|的图象三、解答题（本大题共5小题，共74分）19. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为8，且AB =AC =2，∠BAC=90∘，E是AA1的中点，O是C1B1的中点．求异面直线C1E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的图象与y轴的交点为(0, 1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0, 2)和(x0+2π, −2)．（1）求f(x)的解析式及x0的值；（2）若锐角θ满足cosθ=13，求f(4θ)的值．21. 已知函数f(x)=log2(4x+b⋅2x+4)，g(x)=x．（1）当b=−5时，求f(x)的定义域；（2）若f(x)>g(x)恒成立，求b的取值范围．22. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；（2）若直线AB的方向向量为n→=(1,2)，当焦点为F(12，0)时，求△OAB的面积；（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．23. 已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1+x)=f(1−x)，直线g(x)=4(x−1)被f(x)的图象截得的弦长为4√17，数列{a n}满足，(a n+1−a n)g(a n)+f(a n)= 0(n∈N∗)．(1)函数f(x)；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n=3f(a n)−g(a n+1)，求数列{b n}的最值及相应的n．2013年上海市宝山区高考数学一模试卷（理科）答案1. −12±√32i2. [−10−2−1]3. (−7, 9)4. √35. {x|−1≤x≤2}．6. 47. 56π8. 09. 21010. 2√311. 7612. 2√313. 若a|b，b|c，则a|c,若a|b，c|d，则ac|bd14. 7415. C16. C17. A18. D19. 解：由V=S⋅AA1=8得AA1=4，…3分取BC的中点F，连接AF，EF，则C1F // BO，所以∠EC1F即是异面直线C1E与BO所成的角，记为θ．…5分∵ C1F2=18，C1E2=8，EF2=6，…8分∴ cosθ=C1F2+C1E2−EF22C1F⋅C1E =56，…11分因而θ=arccos56...12分20. 解：（1）由题意可得：A=2,T2=2π，即2πω=4π∴ ω=12，f(x)=2sin(12x+φ)，f(0)=2sinφ=1，由|φ|<π2，∴ φ=π6．f(x0)=2sin(12x0+π6)=2，所以12x0+π6=2kπ+π2，x0=4kπ+2π3(k∈Z)，又∵ x0是最小的正数，∴ x0=2π3；（2）f(4θ)=2sin(2θ+π6)=√3sin2θ+cos2θ，∵ θ∈(0,π2)，cosθ=13，∴ sinθ=2√23，∴ cos2θ=2cos2θ−1=−79，sin2θ=2sinθcosθ=4√29，∴ f(4θ)=√3⋅4√29−79=4√69−79．21. 解：（1）∵ 函数f(x)=log2(4x+b⋅2x+4)，b=−5，∴ 4x−5⋅2x+4>0，…3分解得x <0，或x >2．∴ f(x)的定义域为(−∞, 0)∪(2, +∞)．…6分（2）∵ f(x)=log 2(4x +b ⋅2x +4)，g(x)=x ，∴ 由f(x)>g(x)，得4x +b ⋅2x +4>2x ，即b >1−(2x +42x )…9分令ℎ(x)=1−(2x +42x )，则ℎ(x)≤−3，…12分∴ 当b >−3时，f(x)>g(x)恒成立．故b 的取值范围是(−3, +∞)．…14分．22. 解：（1）设A(x 0, y 0)，M(x, y)，焦点F(1, 0)，则由题意{x =x 0+12y =y 02，即{x 0=2x −1y 0=2y…2分 所求的轨迹方程为4y 2=4(2x −1)，即y 2=2x −1...4分（2）y 2=2x ，F(12，0)，直线y =2(x −12)=2x −1，…5分 由{y 2=2x y =2x −1得，y 2−y −1=0，|AB|=√1+1k 2|y 1−y 2|=52...7分 d =√5…8分S △OAB =12d|AB|=√54...9分 （3）显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为k 1、k 2、k 3．点A 、B 、M 的坐标为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)、M(−p2,m)． 设直线AB:y =k(x −p 2)，代入抛物线得y 2−2p k y −p 2=0，…11分所以y 1y 2=−p 2，…12分又y 12=2px 1，y 22=2px 2， 因而x 1+p 2=y 122p +p 2=12p (y 12+p 2)，x 2+p 2=y 222p +p 2=p 42py 12+p 2=p2y 12(y 12+p 2) 因而k 1+k 2=y 1−m x 1+p 2+y 2−m x 2+p 2=2p 2(y 1−m)p(y 12+p 2)+2y 12(−p 2y 1−m)p(y 12+p 2)=−2m p ...14分 而2k 3=0−m p 2−(−p 2)=−2m p ，故k 1+k 2=2k 3．…16分．23. 解：(I)设f(x)=a(x −1)2(a >0)，则直线g(x)=4(x −1)与y =f(x)图象的两个交点为(1, 0)，(4a +1，16a )∵ √(4a )2+(16a )2=4√17(a >0)∴ a =1，f(x)=(x −1)2… (II)∵ (a n+1−a n )⋅4(a n −1)+(a n −1)2=0∴(a n −1)(4a n+1−3a n −1)=0∵ a 1=2，∴ a n ≠1，4a n+1−3a n −1=0∴ a n+1−1=34(a n −1)，a 1−1=1数列{a n −1}是首项为1，公比为34的等比数列∴ a n −1=(34)n−1，a n =(34)n−1+1… (III)b n =3(a n −1)2−4(a n+1−1)=3[(34)n−1]2−4(34)n =3{[(34)n−1]2−(34)n−1} 令b n =y ，u =(34)n−1则y =3{(u −12)2−14}=3(u −12)2−34∵ n ∈N ∗， ∴ u 的值分别为1,34，916，2764…，经比较916距12最近， ∴ 当n =3时，b n 有最小值是−189256，当n =1时，b n 有最大值是0．…。
上海黄浦2013年4月高三数学二模(理科)
黄浦区2013年高考模拟考数学试卷(理科) 2013年4月11日考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟. 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.2．函数()lg(42)f x x =-的定义域为___________.3．若直线l 过点(1,3)A -，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方 程为___________.4．等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________. 5．执行右边的程序框图，则输出的a 值是___________.6．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+，若()f x a +在[0,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是___________.7．在极坐标系中，直线:cos 1l ρθ=被圆:4cos C ρθ=所截得的线段长 为___________.8．已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.9．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=，则AB BD ⋅=___________. 10．已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠=，若球心O 到平面ABC 的距离为__________3cm .11．在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===，则sin sin BC的值为___________. 12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+-(3)n n a x ++-()n N *∈且012n n A a a a a =++++，则lim4nnn A →∞=___________.13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检 以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要 检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品， 按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 14．已知1()4f x x =-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得 {}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为 A ．2425- B. 247± C. 247- D. 24716．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是A ．3)y x ≤< B. 3)y x =>C ．3)y x =≤< D. 3)y x =>17．下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件；②“0a >” 是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是A ．③ B. ②③ C. ①② D. ①③18．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞- D. [1,0](1,)-+∞A BCDA 1B 1ED 1C 1三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，1AD . （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知复数12sin ,(sin )z x i z x x i λ=+=-(,,x R i λ∈为虚数单位) （1）若122z z i =，且(0,)x π∈，求x 与λ的值；（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ ，若12OZ OZ ⊥，且()f x λ=，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足211(01)2(1)41x x axx x ay a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+， 其对应曲线（如图所示）过点16(2,5. （1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值 时对应的x 值）； （2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效， 那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时 间？（精确到0.01小时）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若2()OE OA OB =+(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线l 倾斜角； （3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证： 当0k 为定值时，12k k +也为定值.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+； （3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.一、填空题1. 3i ±2. [)1,2-3. 21y x =-+4. 125. 1216. [)2,+∞7. 8. 2213y x -= 9. 3- 10. 64π 11.35 12. 4313.271014. []3,4二、选择题15. C 16. D 17. B 18. A三、解答题【题目19】【解析】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA∥， 又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322EF AA == 在Rt AFB ∆中BF ===∴3tan 2EBF ∠==∴arctan 10EBF ∠=【题目20】【解析】⑴∵122z z i =，∴2sin 21(sin )x i x x i λ+=+∴2sin 12sin x x xλ=⎧⎪⎨=+⎪⎩， ∵(0,)x π∈，∴6x π=或56π∴1λ=或12λ=-⑵根据题意可知：12(sin ,),(sin ,1),OZ x OZ x x λ==- ∵12OZ OZ ⊥，∴120OZ OZ ⋅=∴2sin cos 0x x x λ-=∴2sin cos x x x λ=，∴11(1cos 22)sin(2)262x x x πλ=-+=-+ ∴最小正周期：22T ππ== ∵sin x 在3[2,2],22k k k Z ππππ++∈上单调减 ∴根据复合函数的单调性：32[2,2],622x k k k Z πππππ-∈++∈ ∴5[,],36x k k k Z ππππ∈++∈∴()f x 在5[,],36k k k Z ππππ++∈上单调减【题目21】【解析】将16(2,)5代入函数可得：8a =，∴2218,011()2,141x x xx x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+⑴当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x==++ ∵12x x+>，∴0()4f x << 当[1,)x ∈+∞时，221242424()1142412114244x x x x x x x x f x +-⋅⋅====+⨯+++ ∵22x≥ ∴112142x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤ ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==⑵∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4 ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解 当(0,1)x ∈时，28()11xf x x ==+，解得：4x =当[1,)x ∈+∞时，212()141x x f x +-==+，解得：2log (8x =+∴当2[4(8x ∈+时，为有效时间区间∴有效的持续时间为：2log (8(4 3.85+-≈小时【题目22】设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线与11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且124y y =-；⑴求抛物线的方程；⑵若2()OE OA OB =+（O 为坐标原点），且点E 在抛物线C 上，求直线l 的倾斜 角；⑶若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k ， 求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（理科） 2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan . 4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x 7．函数xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T 8．若nx )21(+展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的89．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S的值是 .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→n nn S S ， 则其公比q 的取值范围是 .13．已知两个不相等的平面向量，β(≠α)满足|β|＝2，且与β－的夹角为120°，则||的最大值是 .14．给出30行30列的数表A ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，， 按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ）（A ）71． （B ）71- ． （C ） 7． （D ）7-．16．已知圆C 的极坐标方程为θρsin a =，则“2=a ”是“圆C 与极轴所在直线相切”的 ………………………………………………………………………………（ ） （A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既不充分又不必要条件．17．若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（ ）第3页（A ） 422≤+b a ． （B ） 422≥+b a ． （C ）41122≤+b a ． （D ）41122≥+ba ． 18． 已知集合{})(),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈),(11，存在M y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1),( ② {}2),(-==xe y y x M ③ {}x y y x M cos ),(== ④ {}x y y x M ln ),(==其中所有“Ω集合”的序号是……………………………………………………（ ） （A ）②③ ． （B ）③④ ． （C ）①②④． （D ）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD B A ,11的中点． （1）求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小； （2）求二面角B AF E --的大小．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设θ=∠COP ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．已知函数a x x f +=2)(． （1）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．第5页22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A ，1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点，且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列， 公差为d ，0≠d ．（1）若1P 坐标为()1,1-，2d =，点3P 在直线3180x y --=上时，求点3P 的坐标； （2）已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ，过点A 的直线交圆于31P P 、两点，2P 是圆C 上另外一点，求实数d 的取值范围；（3）若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上，点2P 的横坐标为3，求证：线段13PP 的垂直平分线与x 轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值； （3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e nn ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．第7页四区联考2012学年度第二学期高三数学参考答案及评分标准 2013.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1； 7．π；8．5；9．6463；10．17；11． 834334=P ；12．(]1,0；13．334；14．)25,17(．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15． D ； 16． A ； 17． B ；18． A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ． （1）解法一：建立坐标系如图平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ，)2,1,2(--=∴， 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴．设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ，与1n 所成角为ϕ，则31191cos sin =⨯===ϕθ31a r c s i n B C C B 11成角大小为与平面故EC解法二：⊥1EB 平面11BCC B ，即C B 1为EC 在平面11BCC B 内的射影，故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角，在C EB Rt 1∆中，22,1EB 11==C B ,42221tan 111===∠C B EB ECB 故 42arctanBCC B 11成角大小为与平面故EC （2）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n 设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =，因为)0,1,2(-=AF ，)2,1,0(=AE 所以⎩⎨⎧=+=+-0202z y y x ，令1=x ，则1,2-==z y )1,2,1(2-=⇒n661411cos =++-==θ由图知二面角B AF E --为锐二面角，故其大小为66arccos．解法二：过E 作平面ABC 的垂线，垂足为E '，E EG '∠即为所求AB E ∈'，过E '作AF 的垂线设垂足为G ，ADF ∆∽AGE ∆521='⇒=''E G AF AD E A E G 即52='E G 在Q E E Rt '∆中5tan =''='∠E G E E E EG所以二面角B AF E --的大小为5arctan ．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ．（2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，第9页在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． 解法一：记△POC 的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=， 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 解法二：212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ，又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时，)(θS 取得最大值为33. 21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）12)(2+++=bx a x x F 是偶函数，0=∴b 即2)(2++=a x x F ，R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x 当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a （2）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数，即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数．令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解（1）11AP =，所以35AP =，设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，消去y ，得211300x x -+=，…（2分） 解得15x =，26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0（2）由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t …（6分）第11页 （ⅰ）当130<<r 时，点()1,0A 在圆上或圆外，31132P P AP AP d =-=，又已知0≠d ，r P P 2031≤≤，所以0<≤-d r 或 r d ≤<0 （ⅱ）当13≥r 时，点()1,0A 在圆内，所以13213132max =--+=r r d ，又已知0≠d ，13220≤<d ，即013<≤-d 或130≤<d结论：当130<<r 时，0<≤-d r 或 r d ≤<0；当13≥r 时，013<≤-d 或130≤<d（3）因为抛物线方程为x y 42=，所以()1,0A 是它的焦点坐标，点2P 的横坐标为3，即82=AP设()111,P x y ，()333,P x y ，则111+=x AP ，133+=x AP ，1322AP AP AP +=， 所以13226x x x +==直线13PP 的斜率3131314y y k x x y y -==-+，则线段13PP 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=- 则线段13PP 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y y y x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,023．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）⇒+=+n n n S a 31n n n S S 321+=+，n n n S b 3-=，*∈N n ，当3≠a 时， 1111323333n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-==--=2，所以{}n b 为等比数列． 3311-=-=a S b ，12)3(-⨯-=n n a b ．（2） 由（1）可得12)3(3-⨯-=-n n n a S *-∈≥-=N n n S S a n n n ,2,1212)3(3221≥=⎩⎨⎧⨯-+⨯=--n n a a a n n n ； n n a a ≥+1，2112>⎩⎨⎧>>+n a a a a n n ，9-≥a 所以9-≥a ，且3≠a ．所以a 的最小值为（3）由（1）当4=a 时，12-=n n b当2≥n 时，n n C 2423++++= 12+=n ，31=C ，所以对正整数n 都有12+=n n C ．由12+=n p t ，n p t 21=-，(*∈N p t ,且1,1>>p t )，t 只能是不小于3的奇数． ①当p 为偶数时，n p p p t tt 2)1)(1(122=-+=-， 因为12+pt 和12-p t 都是大于1的正整数，所以存在正整数h g ,，使得g pt 212=+，h p t 212=-， 222=-h g ,2)12(2=--h g h ，所以22=h 且112=--h g 2,1==⇒g h ， 相应的3=n ，即有233=C ，3C 为“指数型和”；● ②当p 为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ，由于121-++++p t t t 是p 个奇数之和，● 仍为奇数，又1-t 为正偶数，所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，此时没有“指数型和”．●。