二次根式 拔高训练题
最新二次根式拔高试题
二次根式拔高试题1、下列说法正确的个数是( )①2的平方根是；②是同类二次根式； ③ 互为倒数；④A 、1B 、2C 、3D 、42、下列四个算式，其中一定成立的是 ( )① ； ② ； ③④ A 、①②③④ B 、①②③ C 、①③ D 、① 3、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
4、若xx xx --=--3232成立，则x 满足____________．5______a =。
6、比较大小：－721________－341．7、x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝_________．8、设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333______.9中最大的数是 ，次大的数是 . 10、求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x xa a 2.05与21212+-与3223--的绝对值是11222+=+a a ）（a a =2）（0>⋅=ab b a ab 11)1)(1(-⋅+=-+x x x x11、化简：12、化简：()()()()()（）（）（）（）（）·10262633323464411025125522223222222->------>--+++-+-<<⎛⎝ ⎫⎭⎪------st s m m m x x x x x x a b a b a b b a()||（613、化简625①- ②627-14、已知：,x y 为实数，且13y x -+，化简：3y -15、 已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
16、试求函数ｔ＝2－－3ｘ2＋12ｘ－9 的最大值和最小值。
二次根式专题训练。(完整版)
二次根式专题训练。
(完整版)二次根式专题训练一、最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
例1：下列根式中最简二次根式的个数有（）3xy^2.y^2ab。
22/33.5(a-b)。
75xy。
x+y。
2x。
5c^2/2A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
5个二、同类二次根式：含有相同最简二次根式的一类二次根式。
例2：下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A。
24 B。
12 C。
3 D。
18例3：如果最简二次根式3a-8与17-2a是同类二次根式，则a=_____三、二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a≥0②二次根式a是非负数，即a≥0例4.要使(3-x+1)/(2x-1)有意义，则x应满足（）．A。
≤x≤3 B。
x≤3且x≠ C。
＜x＜3 D。
＜x≤3例5.（1）化简x-1+1-x=_______．2)若x-1-1-x=(x+y)^2，则x－y的值为()A。
-1 B。
1 C。
2 D。
3例6.(1)若a、b为实数，且满足|a-2|-b^2=0，则b-a的值为( )A。
2 B。
-2 C。
0 D。
以上都不是2)已知x,y是实数，且(x+y-1)与2x-y+4互为相反数，求实数y的负倒数。
四、二次根式的运算常考公式：⑴a×b=a×b(a,b≥0)⑵a/b=a/(a≥0,b>0)⑶a^2=a=a(-a)⑷(a)^2=a(a≥0)例7.(1)下列运算正确的是（）．A。
6/a^2=3a^2 B。
-2√3=(-2)^2×3C。
a^1/a=a D。
18-8=22)下列各式计算正确的是（）．A。
m^2×m^3=m^6 B。
16^(1/4)=16×(1/3) C。
32+3√3=2+3 D。
(a-1)/(a+1)=(a-1)/(a+1) 3)下列等式成立的是（）1/(1-a)=-1/(1-a)^2=-1-a/(1-a)A、a^2+b^2=a+bB、a-b=-ab/aC、a/a=1D、-a^2b^2=-ab/b^2例8．（1）若a<0，化简a-3-a^2=______.2）若整数m满足条件(m+1)^2=m+1且m<25，则m的值是．。
二次根式提高练习习题(含答案)
《二次根式》（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、ba x2-是同类二次根式．…（ ）5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．7．化简－81527102÷31225a＝ ．8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-xx －4)1(2-+xx 等于………………………（ ）（A ）x2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2)(b a +（B ）－2)(b a -（C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（235+-）（235--）；22．1145-－7114-－732+；23．（a 2mn －mab mn ＋mn nm ）÷a 2b 2mn ；24．（a ＋ba ab b +-）÷（bab a +＋aab b -－abb a +）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232yx y x y x xyx ++-的值．26．当x ＝1－2时，求2222ax x ax x+-+＋222222ax xx ax x +-+-＋221ax +的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．28．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy yx ++2－xy yx +-2的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1、【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2、【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3、【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4、【提示】31b a 3、ba x2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√．5、29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6、【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11、【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222yxy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222yxy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x1)2，(x ＋x1)2－4＝(x －x1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19、【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）计算题：（每小题6分，共24分） 21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2m n －mab mn ＋mn n m ）·221ba n m＝21bnm m n ⋅－mab1nm mn ⋅＋22bma nnm nm ⋅＝21b－ab1＋221ba ＝2221ba ab a+-．24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝b a abb ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝ba b a ++÷))((2222b a b a ab ba b ab bab a a-++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xyx++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652．【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）． 【解】原式＝)(2222x ax a x x -++－)(22222x a x x ax x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x axa xxx axx a xx a xx-++-+++-+-＝)()(22222222222222x a xa x xxaxxa xa xx x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x xax x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x xx ax a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x ax a x x-++－)(22222x a x x ax x -++-＋221ax +＝)11(2222axxax+--+－)11(22xxax --+＋221ax +＝x1．六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y yx ++2－xy yx +-2＝2)(xy yx +－2)(xy yx -＝|xy yx +|－|xy yx -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ yx ＜xy ．∴ 原式＝xy yx +－yx xy +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
《二次根式》培优试题及答案精编版
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）．22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）；【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n nm）÷a 2b 2m n ；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2mn－m ab mn ＋m n n m ）·221ba n m＝21bn m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy yx +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy yx +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴yx＜xy ．∴ 原式＝x y y x +－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
二次根式拔高测试(内附详细答案及点评)
5． ， ， 都不是最简二次根式．（ ） 是最简二次根式．【答案】×．
（二）填空题：（每小题2分，共20分）
6．当x__________时，式子 有意义．
【提示】 何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x≥0且x≠9．
（三）选择题：（每小题3分，共15分）
16．已知 ＝－x ，则………………（ ）
（A）x≤0（B）x≤－3（C）x≥－3（D）－3≤x≤0
【答案】D．
【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A）、（C）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．
17．若x＜y＜0，则 ＋ ＝………………………（ ）
【解】原式＝（a2 － ＋ ）·
＝ － ＋
＝ － ＋ ＝ ．
26．（ ＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）．
【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
【解】原式＝ ÷
＝ ÷
＝ · ＝－ ．
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．
（六）求值：（每小题7分，共14分）
27．已知x＝ ，y＝ ，求 的值．
23．（ ）（ ）；
【提示】将 看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．
【解】原式＝( )2－ ＝5－2 ＋3－2＝6－2 ．
24． － － ；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝ － － ＝4＋ － － －3＋ ＝1．
25．（a2 － ＋ ）÷a2b2 ；
【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．
【提示】(x－ )2＋4＝(x＋ )2，(x＋ )2－4＝(x－ )2．又∵0＜x＜1，
中考数学总复习《二次根式》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次根式》专项提升练习题(附答案) 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1. 已知二次根式x＋1，请回答下列问题：(1)要使该二次根式有意义，则x的取值范围为__________；(2)若该二次根式能与5进行合并，则x的值可为________；(3)该二次根式为最简二次根式，则x可取的最小整数为__________．2.计算：(1)（－3）2＝________；(2)(－0.2)2＝________；(3)34＝________；(4)18－8＝________；(5)32÷2＝________；(6)3×(2＋8)＝________．3. 北师八上P34习题改编请按要求估计下列各数的值：(1)11在相邻的整数________和________之间；(2)17－3的值在相邻的整数________和________之间；(3)与15最接近的整数为________．知识逐点过考点1 二次根式的相关概念及性质相关概念1. 二次根式定义：形如 a (a≥0)的式子；2. 有意义的条件：被开方数①________；3. 最简二次根式必须同时满足的两个条件：(1)被开方数中不含分母(即分母中不含根号)；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；4. 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式性质1. 双重非负性： a ≥0且a≥0；2. ( a )2＝a(a②________)；3. a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧③（a≥0）④（a＜0）；4. ab ＝⑤________(a≥0，b≥0)；5.ab＝⑥________(a≥0，b＞0)考点2 二次根式的运算加减法先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并乘法 a ·b ＝⑦______(a≥0，b≥0)除法ab＝ab(a≥0，b＞0)考点3 无理数的估值估值确定无理数的值在哪两个相邻整数之间：1. 先对无理数平方，如(7)2＝7；2. 找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；3. 对以上两个整数开方，如4＝2，9＝3；4. 确定这个无理数的值在开方后所得的两个整数之间，即2＜7＜3确定无理数的整数部分和小数部分要确定a±b 的整数部分和小数部分，先对a±b 进行估值，如1＋7的整数部分是3，则它的小数部分是1＋7－3，即7－2【温馨提示】牢记常见的无理数的近似值：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，π≈3.142，5－12≈0.618真题演练命题点1 二次根式的相关概念及性质1. 若式子2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A. x≠2B. x≥2C. x≤2D. x≠－22. 化简42的结果是()A. －4B. 4C. ±4D. 2命题点2 二次根式的运算3. 计算：3×12＝________．命题点3 无理数的估值4. 设6－10的整数部分为a，小数部分为b，则(2a＋10)b的值是()A. 6B. 210C. 12D. 910基础过关1. 下列二次根式是最简二次根式的是()A. 8B. 13 C. 18 D. 72. 若a－4有意义，则a的值可以是()A. －1B. 0C. 2D. 63. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有 a ·b ＝ab .该运算法则成立的条件是()A. a>0，b>0B. a<0，b<0C. a≤0，b≤0D. a≥0，b≥04.如图，数轴上表示实数7的点可能是()第4题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S5. 下列计算正确的是()A. (2)0＝2B. 23＋33＝56C. 8＝42D. 3(23－2)＝6－236. 墨迹覆盖了等式“9－■＝1”中的一部分，则覆盖的部分可以是()A. 80B. 8C. 38 D. 237. 若a＝2，b＝7，则14a2b2＝()A. 2B. 4C. 7D. 28. 最简二次根式m－1与33可以合并，则m＝__________．9. 计算：2－8＝__________．10.计算：20×5＝__________．11. 已知x，y为正整数，且x<6<y，则y x的值可以是__________．12. 请写出一个正整数m的值使得8m 是整数：m＝__________．13. 计算：27÷32×22－62.综合提升14. 已知k＝2(5＋3)(5－3)，则与k最接近的整数为()A. 2B. 3C. 4D. 5二次根式（参考答案）1. (1)x ≥－1； 【解析】根据二次根式的非负性可得x ＋1≥0，解得x ≥－1.(2)4(答案不唯一)； 【解析】∵x ＋1 能与5 进行合并，∴x ＋1的值可以为5，解得x ＝4(答案不唯一).(3)1.2. (1)3；(2)0.2；(3)32；(4)2 ；(5)4；(6)36 . 3. (1)3，4；(2)1，2；(3)4； 【解析】∵9＜15＜16，∴9 ＜15 ＜16 ，3＜15 ＜4，∵3.52＝12.25，即9＜12.5＜16，∴与15 最接近的整数为4. 知识逐点过①大于或等于0 ②≥0 ③a ④－a ⑤ a ·b ⑥a b⑦ab 真题演练 1. B 【解析】∵2x －4 在实数范围内有意义，∴2x －4≥0，解得x ≥2. 2. B 【解析】∵a 2 ＝|a |，∴42 ＝4. 3. 6 【解析】原式＝3×12 ＝36＝6.4. A 【解析】∵9＜10＜16，∴3＜10 ＜4，∴－4＜－10 ＜－3，∴2＜6－10 ＜3，∴6－10 的整数部分是2，小数部分是6－10 －2＝4－10 ，即a ＝2，b ＝4－10 ，∴(2a ＋10 )b ＝(2×2＋10 )×(4－10 )＝6.基础过关1. D2. D 【解析】 ∵二次根式a －4 有意义，∴a －4≥0，解得a ≥4，∴a 的值可以是6.3. D 【解析】 根据二次根式有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0b ≥0ab ≥0，∴a ≥0，b ≥0. 4. B 【解析】∵4 <7 <9 ，∴7 位于2和3之间，∴数轴上表示实数7 的点可能是点Q.5. D【解析】A.(2)0＝1，故该选项不正确，不符合题意；B.23＋33＝53，故该选项不正确，不符合题意；C.8＝22，故该选项不正确，不符合题意；D.3(23－2)＝6－23，故该选项正确，符合题意．6. C【解析】9－38＝3－2＝1.7. A【解析】∵a＝2，b＝7，∴14a2b2＝14×（2）2（7）2＝14×27＝4＝2.8. 4【解析】∵最简二次根式m－1与33可以合并，∴m－1＝3，∴m＝4.9. －2【解析】2－8＝2－22＝－2.10. 10【解析】原式＝100＝10.11. 3(答案不唯一)【解析】∵4<6<9，∴2<6<3.∵x，y为正整数，∴x＝1或2，y≥3，∴y x的值不唯一，只要符合要求即可，可以是3，4，9，16等．12. 2(答案不唯一)【解析】当m＝2时，则8m ＝16＝4，符合题意，∴m的值可以为2(答案不唯一).13. 解：原式＝33×23×22－62＝122－62＝62.14. B【解析】k＝2(5＋3)(5－3)＝22＝8，∵4<8<9，9－8<8－4，∴与8最接近的整数为3.。
二次根式拔高试题
二次根式拔高试题1、下列说法正确的个数是( )①2的平方根是；②是同类二次根式; ③ 互为倒数；④A 、1B 、2C 、3D 、42、下列四个算式，其中一定成立的是 ( ）① ; ② ; ③④ A 、①②③④ B 、①②③ C 、①③ D 、① 3、若1a b -+互为相反数,则()2005_____________a b -=.4、若xx xx --=--3232成立，则x 满足____________．5______a =。
6、比较大小：－721________－341．7、x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝_________．8、设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333______。
9中最大的数是 ，次大的数是 . 10、求下列各式有意义的所有x 的取值范围。
（）；（）；（）；（）；（）；（）13221312411521645332-++-++-----x x x x x xx x x xa a 2.05与21212+-与3223--的绝对值是11222+=+a a ）（a a =2）（0>⋅=ab b a ab 11)1)(1(-⋅+=-+x x x x11、化简：()（）（）1424422242242222a ba ba ab ba a a a a a--÷++++++++-12、化简：()()()()()（）（）（）（）（）·10262633323464411025125522223222222->------>--+++-+-<<⎛⎝ ⎫⎭⎪------st s m m m x x x x x x a b a b a b b a()||（6）--+a a a 324413、化简625①- ②627-14、已知：,x y 为实数,且13y x -+,化简：3y -15、 已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值.16、试求函数ｔ＝2－错误!的最大值和最小值.17、已知实数a 满足，求a -20052的值18、已知，且x 为偶数，求（1+x ）的值．192440x y y y --+=，求xy 的值。
完整版八年级数学二次根式提高题常考题与培优题含解析
二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)一．选择题〔共13小题〕1．二次根式中x的取值范围是〔〕A．x＞3 B．x≤3且x≠0C．x≤3D．x＜3且x≠02．计算：﹣，正确的选项是〔〕A．4 B．C．2 D．3．如图，在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，那么图中空白局部的面积为〔〕cm2．A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣24．假设1＜x＜2，那么的值为〔〕A．2x﹣4 B．﹣2C．4﹣2x D．25．以下计算正确的选项是〔〕A．=2 B．= C．=x D．=x6．以下各式变形中，正确的选项是〔〕A．x2?x3=x6B．= |x|C．〔x2﹣〕÷x=x﹣1D．x2﹣x+1=〔x﹣〕2+7．以下二次根式中，与是同类二次根式的是〔〕A．B．C．D．8．化简+﹣的结果为〔〕A．0B．2C．﹣2D．29．，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是〔〕A．B．C．﹣D．﹣.10．a的小数局部，b的小数局部．的〔〕A．+ 1 B．+1 C．1D．++111．把中根号外面的因式移到根号内的果是〔〕A．B．C．D．12．如果=2a 1，那么〔〕A．a B．a≤C．a D．a≥13．：a=，b=，a与b的关系是〔〕A．ab=1B．a+b=0 C．a b=0D．a2=b2二．填空〔共17小〕14．如果代数式有意，那么x的取范．15．在数上表示数 a的点如所示，化+|a 2|的果．16．算：=．17．察以下等式：第1个等式：a1=，=1第2个等式：a2=，=第3个等式：a3=2，=第4个等式：a4=，=2按上述律，答复以下：〔1〕写出第n个等式：a n=；2〕a1+a2+a3+⋯+a n=．18．算2的果是．19．算〔+〕〔〕的果等于．.20．化简：〔0＜a＜1〕=．21．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是．22．a，b是正整数，且满足是整数，那么这样的有序数对〔a，b〕共有对．23．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，假设2*x=6，那么x=．．x+y=，x﹣y=4﹣y4=．24，那么x 25．=﹣〔x，y为有理数〕，那么x﹣y=．26．是正整数，那么实数n的最大值为．27．三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣=．28．假设实数m满足=m+1，且0＜m＜，那么m的值为．29．计算以下各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=．30．观察以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜测：=．三．解答题〔共10小题〕31．计算〔1〕﹣4+÷〔2〕〔1﹣〕〔1+〕+〔1+〕2．32．假设1＜a＜2，求+的值．33．x，y都是有理数，并且满足，求的值．34．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣〔π﹣3〕0．.35．〔1〕|2021﹣x|+=x，求x﹣20212的值；〔2〕a＞0，b＞0且〔+〕=3〔+5〕．求的值．36．观察以下各式及其验证过程：〔1〕按照上述两个等式及其验证过程的根本思路，猜测的变形结果并进行验证；2〕针对上述各式反响的规律，写出用n〔n为任意自然数，且n≥2〕表示的等式，并说明它成立．37．先化简，再求值：〔+〕÷，其中a=+1．38．求不等式组的整数解．39．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的?度量?一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式〞：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，那么三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式〞〔三斜求积术〕：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积S=．〔1〕假设一个三角形的三边长分别是5，6，7，那么这个三角形的面积等于．〔2〕假设一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．.40．：y=++，求﹣的值．.二次根式提高题与常考题型压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题〔共13小题〕1．〔2021春?启东市月考〕二次根式中x的取值范围是〔〕A．x＞3B．x≤3且x≠0C．x≤3D．x＜3且x≠0【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出3﹣x≥0且x≠0，求出即可．【解答】解：要使有意义，必须3﹣x≥0且x≠0，解得：x≤3且x≠0，应选B．【点评】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件等知识点，能根据题意得出3﹣x≥0且x≠0是解此题的关键．2．〔2021春?萧山区校级月考〕计算：﹣，正确的选项是〔〕A．4B．C．2D．【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．【解答】解：﹣=2﹣=．应选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．3．〔2021春?嵊州市月考〕如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，那么图中空白局部的面积为〔〕cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2.【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白局部的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为=4cm，=2 cm，AB=4cm，BC=〔2+4〕cm，∴空白局部的面积=〔2+4〕×4﹣12﹣16，=8 +16﹣12﹣16，=〔﹣12+8〕cm2．应选B．【点评】此题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．4．〔2021?呼伦贝尔〕假设1＜x＜2，那么的值为〔〕A．2x﹣4 B．﹣2C．4﹣2x D．2【分析】1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵1＜x＜2，x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式=|x﹣3|+=|x﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．应选D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如〔a≥0〕的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式〔假设根号下为负数，那么无实数根〕．2、性质：=|a|．.5．〔2021?南充〕以下计算正确的选项是〔〕A．=2B．=C．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；应选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．6．〔2021?杭州〕以下各式变形中，正确的选项是〔〕A．x2?x3=x6B．=|x|C．〔x2﹣〕÷x=x﹣1D．x2﹣x+1=〔x﹣〕2+【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法那么和分式的混合运算法那么分别化简求出答案．【解答】解：A、x2?x3=x5，故此选项错误；B、=|x|，正确；C、〔x2﹣〕÷x=x﹣，故此选项错误；D、x2﹣x+1=〔x﹣〕2+，故此选项错误；应选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法那么是解题关键．7．〔2021?巴中〕以下二次根式中，与是同类二次根式的是〔〕A．B．C．D．.【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解：A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；应选：B．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．8．〔2021?营口〕化简+﹣的结果为〔〕A．0B．2C．﹣2D．2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，应选：D．【点评】此题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．9．〔2021?安徽校级自主招生〕，ab＞0，化简二次根式 a的正确结果是〔〕A．B．C．﹣D．﹣【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．【解答】解：∵ab＞0，∴a=a×=﹣．应选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键．10．〔2021?邯郸校级自主招生〕设a为﹣的小数局部，b为.﹣的小数局部．那么﹣的值为〔〕A． +﹣1B．﹣+1 C．﹣﹣1D．++1【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数局部，然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣==，∴a的小数局部=﹣1；∵﹣==，∴b的小数局部=﹣2，∴﹣====．应选B．【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法那么来分析、判断、解答．11．〔2021?柘城县校级一模〕把中根号外面的因式移到根号内的结果是〔〕A．B．C．D．【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方后移到根号内约.分即可得解．【解答】解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，解得a＜0，﹣a==．应选A．【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，先根据被开方数大于等于0求出a的取值范围是解题的关键，也是此题最容易出错的地方．12．〔2021?杨浦区三模〕如果=2a﹣1，那么〔〕A．a B．a≤C．a D．a≥【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．【解答】解：∵=|1﹣2a|=2a﹣1，1﹣2a≤0，解得：a≥．应选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解此题的关键．13．〔2021?临朐县一模〕：a=，b=，那么a与b的关系是〔〕A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0D．a2=b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：a===2+，b===2﹣，A、ab=〔2+〕×〔2﹣〕=4﹣3=1，故本选项正确；B、a+b=〔2+〕+〔2﹣〕=4，故本选项错误；.C、a﹣b=〔2+〕﹣〔2﹣〕=2，故本选项错误；D、∵a2=〔2+〕2=4+4+3=7+4，b2=〔2﹣〕2=4﹣4+3=7﹣4，a2≠b2，故本选项错误；应选A．【点评】此题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．二．填空题〔共17小题〕14．〔2021?静安区一模〕如果代数式有意义，那么x的取值范围为x＞﹣．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+2＞0，解得，x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．【点评】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．15．〔2021?乐山〕在数轴上表示实数a的点如下图，化简+|a﹣2|的结果为3．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，那么+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．.16．〔2021?聊城〕算：=12．【分析】直接利用二次根式乘除运算法化求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案：12．【点】此主要考了二次根式的乘除运算，正确化二次根式是解关．17．〔2021?黄石〕察以下等式：第1个等式：a1==1，第2个等式：a2==，第3个等式：a3=2，=第4个等式：a4=，=2按上述律，答复以下：〔1〕写出第n个等式：a n==；；〔2〕a123⋯n1．+a+a++a=【分析】〔1〕根据意可知，a1==，2=，3=2 1a=a=，a4==，⋯由此得出第n个等式：n=；2a=〔2〕将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：〔1〕∵第1个等式：a1=，=1第2个等式：a2=，=第3个等式：a3=2，=第4个等式：a4=，=2 .∴第n个等式：a n==；2〕a1+a2+a3+⋯+a n=〔1〕+〔〕+〔2〕+〔2〕+⋯+〔〕1．故答案=；1．【点】此考数字的化律以及分母有理化，要求学生首先分析意，找到律，并行推得出答案．18．〔2021?哈〕算2的果是2．【分析】先将各个二次根式化成最二次根式，再把同二次根式行合并求解即可．【解答】解：原式=2×33= 2，故答案：2．【点】本考了二次根式的加减法，解答本的关在于掌握二次根式的化与同二次根式合并．19．〔2021?天津〕算〔+〕〔〕的果等于2．【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性算可得．【解答】解：原式=〔〕2〔〕2=53=2，故答案：2．【点】本考了二次根式的混合运算的用，熟掌握平方差公式与二次根式的性是关．.20．〔2021?博野县校级自主招生〕化简：〔0＜a＜1〕=﹣a．【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可．【解答】解：==|a﹣|．0＜a＜1，∴a2﹣1＜0，∴a﹣=＜0，∴原式=|a﹣|=﹣〔a﹣〕=﹣a．故答案为：﹣a．【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，解答此题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简．21．〔2021?绵阳校级自主招生〕如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是x≤10．【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得a 的值，根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由最简二次根式与可以合并，得3a﹣8=17﹣2a．解得a=5．由有意义，得20﹣2x≥0，解得x≤10，故答案为：x≤10．【点评】此题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a的方程是解题关键．.22．〔2021?温州校级自主招生〕a，b是正整数，且满足是整数，那么这样的有序数对〔a，b〕共有7对．【分析】A，B只能是15n2，然后分别讨论及的取值，最终可确定有序数对的个数．【解答】解：15只能约分成3，5那么A，B只能是15n2先考虑A这边：①，那么B可以这边可以是1或者，此时有：〔15，60〕，〔15，15〕，〔60，15〕，②，只能B这边也是，此时有：〔60，60〕，③，那么B这边也只能是，∴2×〔+〕=1，此时有：〔240，240〕④的话，那么B这边只能是，那么2〔+〕=1，此时有：〔135，540〕，〔540，135〕．综上可得共有7对．故答案为：7．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，关键是根据题意分别讨论及的取值．23．〔2021?福州自主招生〕对正实数a，b作定义a*b=﹣a，假设2*x=6，那么x=．【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．【解答】解：.∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】此题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．24．〔2021?黄冈校级自主招生〕x+y=，x﹣y=，那么x4﹣y4=．【分析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得x2﹣y2，可求得答案．【解答】解：∵x+y=，x﹣y=，∴〔x+y〕22+2xy+y2〔〕2+，〔﹣〕22﹣2xy+y2=x==x y=x=〔〕2=﹣，∴x2+y2=，又x2﹣y2=〔x+y〕〔x﹣y〕=〔〕〔〕==1，∴x4﹣y4〔2+y2〕〔x2﹣y2〕=，=x故答案为：．【点评】此题主要考查二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和x2﹣y2的值是解题的关键．25．〔2021?黄冈校级自主招生〕=﹣〔x，y为有理数〕，那么x﹣y=1．【分析】把条件两边平方，整理可得到x+y﹣2，结合x、y均为有理数，可求得x、y的值，可求得答案．【解答】解：.∵=，∴〔〕2=〔〕2，即23= x+ y 2，∴x+y 2=2= +2，∵x，y有理数，x+y=+，xy=×，由条件可知x＞y，x=，y=，xy=1，故答案：1．【点】本主要考二次根式的化，由条件求得x、y的是解的关．26．〔2021春?固始期末〕是正整数，数n的最大 11．【分析】根据二次根式的意可知12n≥0，解得n≤12，且12n开方后是正整数，符合条件的12n的有1、4、9⋯，其中1最小，此n的最大．【解答】解：由意可知12n是一个完全平方数，且不0，最小1，所以n的最大121=11．【点】主要考了二次根式有意的条件，二次根式的被开方数是非数．27．〔2021?山西模〕三角形的三分3、m、5，化=2m 10．【分析】先利用三角形的三关系求出m的取范，再化求解即可．【解答】解：∵三角形的三分3、m、5，2＜m＜8，∴=m 2〔8 m〕=2m 10．故答案：2m 10．【点】本主要考了二次根式的性与化及三角形三关系，解的关是熟三角形的三关系．.28．〔2021?武侯区模拟〕假设实数m满足=m+1，且0＜m＜，那么m的值为．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出关于m的等式即可得出答案．【解答】解：∵=m+1，且0＜m＜，2﹣m=m+1，解得：m=．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．29．〔2021?龙岩模拟〕计算以下各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得=102021．【分析】直接利用数据计算得出结果的变化规律进而得出答案．【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；=10000=104，可得=102021．故答案为：102021．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题关键．30．〔2021?丹东模拟〕观察以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜测：=20212+3×2021+1．.【分析】根据题意得出数字变换规律进而得出答案．【解答】解：由题意可得：=20212+3×2021+1．故答案为：20212+3×2021+1．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题关键．三．解答题〔共10小题〕31．〔2021春?临沭县校级月考〕计算〔1〕﹣4+÷〔2〕〔1﹣〕〔1+〕+〔1+〕2．【分析】〔1〕先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；2〕利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：〔1〕原式=3﹣2+=3 ﹣2+2=3；〔2〕原式=1﹣5+1+2+5=2+2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．32．〔2021春?沂源县校级月考〕假设1＜a＜2，求+的值．【分析】根据a的范围即可确定a﹣2和a﹣1的符号，然后根据算术平根的意义进行化简求值．【解答】解：∵1＜a＜2，a﹣2＜0，a﹣1＞0．那么原式=+.+=﹣1+1=0．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=|a|是关键．33．〔2021春?启东市月考〕x，y都是有理数，并且满足，求的值．【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将等式变形：，x，y都是有理数，可得，求解并使原式有意义即可．【解答】解：∵，∴．x，y都是有理数，∴x2+2y﹣17与y+4也是有理数，∴解得∵有意义的条件是x≥y，∴取x=5，y=﹣4，∴．【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为值的式子，然后整体代入求解．34．〔2021?锦州〕先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣〔π﹣3〕0．【分析】先根据分式混合运算的法那么把原式进行化简，再把化简后x的值代入进.行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣〔π﹣3〕0，×4﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，﹣1．把x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】此题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．35．〔2021?湖北校级自主招生〕〔1〕|2021﹣x|+=x，求x﹣20212的值；〔2〕a＞0，b＞0且〔+〕=3〔+5〕．求的值．【分析】〔1〕由二次根式有意义的条件可知x≥2021，然后化简得=2021，由算术平方根的定义可知：x﹣2021=20212，最后结合平方差公式可求得答案．〔2〕根据单项式乘多项式的法那么把〔+〕=3〔+5〕进行整理，得出a﹣2﹣15b=0，再进行因式分解得出〔﹣5〕〔+3〕=0，然后∴根据a＞0，b＞0，得出﹣5=0，求出a=25b，最后代入要求的式子约分即可得出答案．【解答】解：〔1〕∵x﹣2021≥0，x≥2021．x﹣2021+=x．.∴=2021．x﹣2021=20212．x=20212+2021．x﹣20212=20212﹣20212+2021=﹣〔2021+2021〕+2021=﹣2021．〔2〕∵〔+〕=3〔+5〕，∴a+=3+15b，a﹣2﹣15b=0，∴〔﹣5〕〔+3〕=0，a＞0，b＞0，∴﹣5=0，∴a=25b，∴原式===2．【点评】此题主要考查的是二次根式的混合运算，用到的知识点是二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第〔1〕题求得x﹣2021=20212，第〔2〕求出a=25b是解题的关键．36．〔2021?山西模拟〕观察以下各式及其验证过程：〔1〕按照上述两个等式及其验证过程的根本思路，猜测的变形结果并进行验证；.2〕针对上述各式反响的规律，写出用n〔n为任意自然数，且n≥2〕表示的等式，并说明它成立．【分析】根据观察，可得规律，根据规律，可得答案．【解答】解：〔1〕5=验证：5====；〔2〕n=，证明：n====．【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，运用n=的规律是解题关键．37．〔2021?仙游县校级模拟〕先化简，再求值：〔+〕÷，其中a=+1．【分析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入a的值即可得出结论．【解答】解：原式=〔+〕÷，=?，=?，．当a= +1时，原式==．【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原式化简成．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是关键．.38．〔2021?高邮市一模〕求不等式组的整数解．【分析】首先解不等式组，注意系数化“1时〞，这两个不等式的系数为负数，不等号的方向要改变．还要注意题目的要求，按要求解题．【解答】解：整理不等式组，得∴∴∴；∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法．要注意系数化“1时〞，系数是正还是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变．还要注意审题，根据题意解题．39．〔2021?太原一模〕阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的?度量?一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式〞：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，那么三角形的面积S=．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式〞〔三斜求积术〕：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积S=．〔1〕假设一个三角形的三边长分别是5，6，7，那么这个三角形的面积等于6．〔2〕假设一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．.【分析】〔1〕把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；〔2〕把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．【解答】解：〔1〕p===9，S===6．答：这个三角形的面积等于6．2〕S====．答：这个三角形的面积是．故答案为：6．【点评】此题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．40．〔2021春?饶平县期末〕：y=++，求﹣的值．【分析】首先根据二次根式中的被开方数必须是非负数，求出x的值是多少，进而求出y的值是多少；然后把求出的x、y的值代入化简后的算式即可．【解答】解：∵+有意义，.∴，解得x=8，∴y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣﹣=【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数必须是非负数，否那么二次根式无意义．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，到达内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
二次根式提高练习题(含答案)
一.盘算题：1．(235+-）（235--）;2.1145-－7114-－732+;3.（a2mn －m abmn ＋mn nm ）÷a 2b2mn ;4.（a ＋ba abb +-）÷（bab a +＋a ab b-－abb a +）（a ≠b ）． 二.求值：x ＝2323-+,y ＝2323+-,求32234232yx y x y x xy x ++-的值．x ＝1－2时,求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x ax x +-+-＋221ax +的值．三.解答题：1．盘算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．x ,y 为实数,且y ＝x41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xy y x +-2的值．盘算题： 1.【提醒】将35-算作一个整体,先用平方差公式,再用完整平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．2.【提醒】先分离分母有理化,再归并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．3.【提醒】先将除法转化为乘法,再用乘法分派律睁开,最后归并同类二次根式．【解】原式＝（a2mn －mab mn ＋mn n m ）·221ba n m＝21b nmm n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n m n m ⋅＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 4.【提醒】本题应先将两个括号内的分式分离通分,然后分化因式并约分．【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝ba b a ++÷))((2222b a b a ab ba b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－ba +．【点评】本题假如先分母有理化,那么盘算较烦琐． 求值：1．.【提醒】先将已知前提化简,再将分式化简最后将已知前提代入求值．【解】∵x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26,y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10,x －y ＝46,xy ＝52－(26)2＝1．32234232yx y x y x xyx ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652．【点评】本题将x .y 化简后,依据解题的须要,先分离求出“x ＋y ”.“x －y ”.“xy ”．从而使求值的进程更简捷． 2.【提醒】留意：x 2＋a 2＝222)(a x +,∴x 2＋a 2－x22ax +＝22ax +（22ax +－x ）,x 2－x22ax +＝－x（22ax +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x ax x -++-＋221ax +＝)(()2(22222222222x a x a x x ax x a x x a x x -+++++-+- ＝)()(22222222222222x a x a x x xa x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x ax x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时,原式＝211-＝－1－2．【点评】本题假如将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更轻便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222ax xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221ax +＝x1．解答题：1.【提醒】先将每个部分分母有理化后,再盘算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不合分母,不成能通分．这里采取的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种办法也叫做裂项相消法．2.【提醒】要使y 有意义,必须知足什么前提？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴x ＝41．当x ＝41时,y ＝21．又∵xyy x ++2－xyy x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x -＝|xy yx +|－|x yyx -|∵x ＝41,y ＝21,∴yx ＜xy ．∴ 原式＝xy y x +－yx x y +＝2yx 当x ＝41,y ＝21时,原式＝22141＝2．【点评】解本题的症结是应用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y 的值．。
二次根式经典习题(拔高题-适合成绩提高者)
二次根式习题一、选择题1．下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是 （ ） A ．a≥2 B ．a ＞2 C ．a≠2 D ．a≠－23、已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤04．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是 （ ）A ．它是一个正数B ．是一个无理数C ．是最简二次根式D ．它的最小值是35．把ab a123分母有理化后得 （ ）A ．b 4B ．b 2C ．b 21 D ． b b 2 6．若ba 是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0≥b a 7．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ）A ．23aB ．31 C ．153 D ．143 8、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x9．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a10．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---11．的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A ．且 B ． C ．且 D ．且二、填空题 11、当x___________时，x 43-在实数范围内有意义． 12．比较大小：23-______32-． 13、若2a =－a,则实数a_________14、已知最简二次根式2-+b a 和b a -2能够合并，则a-b=16、使式子13x -有意义的x 的取值范围是_____________ 17．若x x xx --=--3232成立，则x 满足_____________________． 18、把aa 1-中根号外面的因式移到根号内的结果是________________ 19、如果，那么的值为___________．20、已知xy ＜02x y = ；比较大小：－721_________－341。
二次根式提高习题(含答案及基本讲解)
《二次根式》提高习题（一）判断题：1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：6．当x __________时，式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（三）选择题：16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-xx －4)1(2-+xx 等于………………………（ ） （A ）x 2 （B ）－x2（C ）－2x （D ）2x 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：21．（235+-）（235--）；22．1145-－7114-－732+；23．（a 2mn －m ab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn ；24．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（五）求值：25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、解答题：27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）28．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分）1、2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2、231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3、2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4、31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分）6、x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．7、－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9、x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10、把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11、22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12、27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小． 13、 (－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15、∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1， ∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19、【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --． 【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）计算题：（每小题6分，共24分）21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）·221b a nm ＝21b n m m n ⋅－mab 1nmm n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）． 【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x ax x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1．六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--） ＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy y x +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x＜x y ．∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
二次根式提高练习题(含答案)
一.计算题：1． (235+-）（235--）；2. 1145-－7114-－732+；3.（a2mn－mab mn ＋mn nm ）÷a 2b2mn ；4.（a ＋ba ab b +-）÷（b ab a +＋aab b-－ab b a +）（a ≠b ）．二.求值：1.已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xyx ++-的值．2.当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．三.解答题：1．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．2.若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a2mn－m ab mn＋mnnm）·221b a nm＝21bnm m n ⋅－mab 1nmmn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-．4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝ba ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 求值： 1．、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 2、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22ax +＝22ax +（22ax +－x ），x 2－x22ax +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+- ＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222ax x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．解答题： 1、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．2、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21． 又∵xyy x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x+－2)(xy y x - ＝|xy y x+|－|x yyx -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ yx ＜xy ．∴ 原式＝xy y x +－yx xy +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
2021年八年级数学《二次根式》拔高培优训练(一)
八年级下册数学目标单元检测题（一）《 二 次 根 式 》【试卷满分：100分 考试时间：90分钟】考生姓名： 考试成绩：一、选择题：（每小题2分，共26分）1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）A、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、—2、在二次根式， 中，x 的取值范围是（ ）A 、x ≥1B 、x ＞1C 、x ≤1D 、x ＜13、已知（x －1）2＋ =0，则（x ＋y ）2的算术平方根是（ ）A 、1B 、±1C 、－1D 、0 4、下列计算中正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、5、化简 =（ ）A 、B 、C 、D 、6、下列二次根式： ， ， ， ， ， ， 其中是最简二次根式的有（ ）A 、2个B 、3个C 、1个D 、4个7、若等式 成立，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≥B 、m ＞3C 、 ≤m ＜3D 、m ≥38n 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9、把二次根式 化简，得（ ）A 、x 2＋xyB 、C 、D 、 10、下列各组二次根式中，属于同类二次根式的为（ ）A 、 和B 、 和C 、 和D 、 和 11、如果a ≤1，那么化简 =（ ）A 、B 、C 、D 、 12、下列各组二次根式中，x 的取值范围相同的是（ ）A 、 与B 、（ ）2与C 、 与D 、 与13、化简 －（ ）2，得（ ） A 、2 B 、4－ 4x C 、4x －4 D 、－2 二、填空题：（每小题3分，共36分）14、用“＞”或“＜”符号连接：（1） ；（2） ； （3） 15、 的相反数是 ，绝对值是 ，（ ）2= 16、如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么a 的值是 17、计算： = ；（ ）2= ； =18、当x 时，二次根式 有意义；当x 时，代数式 有意义19、若1＜x ＜2，则化简 =20、化简下列二次根式：（1） = ；（2）= 21、如果等式 成立，那么x 的取值范围是 22、若 有意义，则x 的值是 23、化简： = ； = ； =24、计算： = ； = 25、如果x ＋y=5,xy=1,那么 = 4-3x -1-a 2-11--x 2+y 532=+y x y x -=-2)(a a 11=3243=3121+561306156306a 5.03a b a 221-a 411222y x +n m 2312312--=--m m m m 2121224y x x +y x x +xy x +1222y x x +2b a 222ab 1+a 1-a 12213)1(a -1)1(--a a aa --1)1(1)1(--a a a a --1)1(x 1+x x 2x12+x 22+x 1-x x11442+-x x 32-x 5333-62-37-53-53-53-33-a a 27-248•312)5(-13+x xx 1+22)1()2(x x ---2318y x mx 421112-+=-•x x x x x -+-33224211+yx yx --2385÷ab a 22183÷yx y x 22x y+三、解答题：（26～30题各4分，31～33题各6分，共38分） 26、计算：27、计算：28、计算：29、计算：30、计算：31、若x ，y 是实数，314114+-+-=x x y ，求)25()4932(3xy x xy x x +-+的值。
完整版二次根式拔高训练题chan
二次根式A例1 .已知a= J2 +1, b=——，贝U a 与b 的关系是（）V 2 1例7.设a 、b 、c 是厶ABC 的三边的长，化简 （a - b - c ）+ （b - c - a ）+.(^-_a -_b _) 2 的结果是 .r jz例8 .设a 、b 为实数，且满足 a 2+b 2 — 6a — 2b+10=0 ,求「a 的值掐V b例9 .设等腰三角形的腰长为a,底边长为b ，底边上的高为h .（1）如果 a=6+ /3 , b=6+4 3，求 h ; (2)如果 b=2 (2万+1 )，h=2 J7 — 1，求 a .19x 2+36xy+19y 2的值为1 998?若存在，求出n ；若不存在，请说明理由.例12.如图，一艘轮船在40海里/时的速度由西向东航行， 上午8时到达A 处，测得灯塔P 在北偏东60°方向上；10时到达B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上；当轮船到达灯塔P 的正南时，轮船距灯塔P多远？A . a=bB . ab=1C . a= — bD . ab=— 1例2 .若a w 1,则...（1 a ）3化简后为（）A .( a — 1) 、, a 1 B.(1 a) . 1 a C.(a 1) .1 a 例3 .已知实数a 满足|1992 aJ a 1993 a ，则a 19922f -例4 .化简一=;v'2 V3 躬D.(1 a)、a 1 _______________ ;例5 .已知■. xja ，则x __________________设,39 . 432的整数部分为a ，小数部分为b ，则11 a b11 a 4 b例10.已知a 、b 是实数，且.1 a 2b 2 b1，问a 、b 之间有怎样的关系？请推导。
例11.已知1K3 、、n 1 n3,y （n 为自然数） ，问：是否存在自然数n ，使代数式例13 •按要求解决下列问题(1)化简下列各式2 旦18 so =1 ，-2 ，3 '、、5 ，(2 )通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明.例14•设a=*1 2 2 .1 2 2・1 2一2 gg0、1 ------ 2 2，问与a最接近的整V 1222V 2232Y 3242V 2000220012数是多少？答案:1.分析：题中来解决问题.a和b的值是通过一个二兀方程给出的，一个二兀方程求两个未知数，往往要利用非负性解：••• a2+b2—6a—2b+10=0,.•.( a2—6a+9) + ( b2—2b+1) =0. 即(a —3) 2+ (b—1) 2=0,a=3, b=1 .a 、b a . b 3 1=2+ .3.3 1点拨：应用偶次方的非负性是解本题的关键.2•分析：利用正方形的面积公式S=a2列出比例式.解：设第一个正方形的边长为a,第二个正方形的边长为a248 a 48 4 3 _.孑Tb w T=4.答：第一个正方形的边长是第二个正方形的边长的4倍.点拨：求第一个正方形边长是第二个正方形的边长的几倍，实际上就是求它们的边长之比.3•分析：本题给出了等腰三角形、底边及高，？利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解.1解：(1)由a2= ( b) 2+h2，得2(6+3 ) 2= — (6+4、、3 ) 2+h2.4_ 1 ―36+12 .3 +3= - (36+48 ..3 +48) +h2.439+12 .3=9+12、、3+12+h2.h2=18, h=、“18=3 2.(2) 由a2=1 (尹)代得a2=[ 1x 2 (2 -1 +1) ]2+ ( 2、~l—1)2a2=58, . a=，58 .点拨：构造一个直角三角形应用勾股定理是解本题的要点.4. 分析：假设存在，将已知条件化简，求出x+y=2 (2n+1 ),xy=?1 , ?代入19x2+36xy+19y2=1998中看是否有符合条件的2n.解：不存在.b,贝U S i=a2=48 , S2=b2=3._ ~1 v n y/n ~i v nV n~1 T n V n~1 V n(.,n 1 、、n)2(、、n 1、. n)2=n+1 —2 .. n(n 1)+n+n+1+n+2 . n(n 1)=4n+2.、、n 1 、n 、n 1 、. n乂『=亦丁9亦育=1假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998. 即19x2+36xy+19y2=1998.2 2 22、196219x2+19y2=1 962 , (x2+y2)=—19由已知条件，得x+y=2 （2n+1）.•••n为自然数，••• 2 （2n +1 ）为偶数,x+y= 20_95 不为整数.19•不存在这样的自然数n.5. 解：由已知条件，得/ PAB=30。
初二数学二次根式提高题与常考题和培优题
二次根式提升题与常考题型压轴题(含分析)一．选择题（共13 小题）1．二次根式中x 的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且x≠ 0C． x≤ 3D．x＜3 且x≠02．计算：﹣，正确的选项是（）A．4B． C．2D．223．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm和 12cm的两张正方形2纸片，则图中空白部分的面积为（）cm．A．16﹣8 B．﹣ 12+8 C．8﹣4D．4﹣24．若 1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 25．以下计算正确的选项是（）A．=2 B．=C．=x D．=x6．以下各式变形中，正确的选项是（）A．x2? x3 =x6B．=|x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣x+1=（x﹣）2+7．以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．8．化简 +﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣ 2 D．29．已知， ab＞0，化简二次根式 a 的正确结果是（）A． B． C．﹣D．﹣10．设 a 为﹣的小数部分， b 为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1B．﹣ +1C．﹣﹣ 1 D．++111．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A． B． C． D．12．假如 =2a﹣1，那么（）A．a B．a≤ C．a D．a≥13．已知： a=， b=，则 a 与 b 的关系是（）A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0 D．a2=b2二．填空题（共17 小题）14．假如代数式存心义，那么x 的取值范围为．15．在数轴上表示实数 a 的点如下图，化简+|a ﹣2| 的结果为．16．计算： =．17．察看以下等式：第 1 个等式： a1==﹣ 1，第 2 个等式： a2==﹣，第 3 个等式： a3==2﹣，第 4 个等式： a4==﹣ 2，按上述规律，回答以下问题：（ 1）请写出第 n 个等式： a n=；（2） a1+a2+a3+ +a n=．18．计算 2﹣的结果是．19．计算（ +）（﹣）的结果等于．20．化简：（ 0＜ a＜1）=．21．假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的x 的取值范围是．22．已知 a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有对．23．对正实数 a，b 作定义 a*b=﹣ a，若 2*x=6 ，则 x=．24．已知 x+y=， x﹣ y=，则 x4﹣y4=．25．已知 =﹣（ x，y 为有理数），则 x﹣ y=．26．已知是正整数，则实数 n 的最大值为．27．三角形的三边长分别为 3、m、5，化简﹣ =．28．若实数 m知足 =m+1，且 0＜m＜，则 m的值为．29．计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得=．30．察看以下各式： =11+3×1+1， =22+3×2+1，=32+3×3+1，猜想： =．三．解答题（共10 小题）31．计算（1）﹣ 4+÷（2）（1﹣）（1+）+（ 1+）2．32．若 1＜ a＜2，求 +的值．33．已知 x，y 都是有理数，而且知足，求的值．35．（ 1）已知 |2012 ﹣ x|+=x ，求 x﹣20132的值；（ 2）已知 a＞0，b＞0 且（ +）=3（ +5）．求的值．36．察看以下各式及其考证过程：（1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．37．先化简，再求值：（+）÷，此中 a=+1．38．求不等式组的整数解．39．阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为a、b、 c，则三角形的面积 S=．（ 1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（ 2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．40．已知： y=++，求﹣的值．二次根式提升题与常考题型压轴题(含分析 )参照答案与试题分析一．选择题（共13 小题）1．（2017 春?启东市月考）二次根式中x 的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且x≠ 0C． x≤ 3D．x＜3 且x≠0【剖析】依据二次根式存心义的条件和分式存心义的条件得出3﹣x≥ 0 且求出即可．【解答】解：要使存心义，一定3﹣x≥0 且 x≠0，解得： x≤3 且 x≠0，应选 B．【评论】本题考察了二次根式存心义的条件和分式存心义的条件等知识点，据题意得出 3﹣x≥0 且 x≠ 0 是解本题的重点．x≠0，能根2．（2017 春? 萧山区校级月考）计算：﹣，正确的选项是（）A．4B． C．2D．【剖析】直接化简二次根式从而归并求出答案．【解答】解：﹣ =2﹣=．应选： D．【评论】本题主要考察了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题重点．3．（ 2017 春? 嵊州市月考）如图，在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为2 16cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（2和 12cm） cm．A．16﹣8B．﹣ 12+8 C．8﹣4D．4﹣2【剖析】依据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再依据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．22【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 和 12cm，∴它们的边长分别为 =4cm，=2cm，∴AB=4cm，BC=（2+4）cm，∴空白部分的面积 =（ 2+4）× 4﹣12﹣16，=8+16﹣12﹣ 16，2=（﹣ 12+8） cm．应选 B．【评论】本题考察了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的重点在于依据正方形的面积求出两个正方形的边长．4．（2016? A．2x﹣4呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 2）【剖析】已知 1＜x＜2，可判断 x﹣3＜0，x﹣1＞0，依据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜x＜2，∴x﹣ 3＜ 0， x﹣ 1＞0，原式 =|x ﹣3|+=|x ﹣ 3|+|x ﹣1|=3﹣x+x﹣1 =2．应选 D．【评论】解答本题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞ 0 时，表示a 的算术平方根；当a=0 时， =0；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质： =|a| ．5．（2016? 南充）以下计算正确的选项是（）A．=2 B．=C．=x D．=x【剖析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x，故此选项错误；D、=|x| ，故此选项错误；应选： A．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题重点．6．（2016?杭州）以下各式变形中，正确的选项是（）236A．x ? x=xB．=|x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣x+1=（x﹣）2+【剖析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法例和分式的混淆运算法例分别化简求出答案．235【解答】解： A、x ? x =x ，故此选项错误；B、=|x| ，正确；C、（x2﹣）÷ x=x﹣，故此选项错误；D、x2﹣ x+1=（x﹣）2+，故此选项错误；应选： B．【评论】本题主要考察了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混淆运算等知识，正确掌握有关运算法例是解题重点．7．（2016? 巴中）以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【剖析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解： A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；应选： B．【评论】本题主要考察了同类二次根式，正确化简二次根式是解题重点．8．（2016? 营口）化简 +﹣的结果为（）A．0B．2C．﹣ 2 D．2【剖析】依据根式的开方，可化简二次根式，依据二次根式的加减，可得答案．【解答】解： +﹣=3+﹣2=2，应选： D．【评论】本题考察了二次根式的加减，先化简，再加减运算．9（．2016? 安徽校级自主招生）已知，ab＞0，化简二次根式 a 的正确结果是（）A． B． C．﹣D．﹣【剖析】直接利用二次根式的性质从而化简得出答案．【解答】解：∵ ab＞0，∴a=a×=﹣．应选：D．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题重点．10．（ 2016? 邯郸校级自主招生）设a 为﹣的小数部分， b 为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1B．﹣ +1C．﹣﹣ 1D．++1【剖析】第一分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b 对应的小数部分，而后辈、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣===，∴ a 的小数部分 =﹣1；∵﹣===，∴b 的小数部分 =﹣2，∴﹣ ====．应选 B．【评论】该题主要考察了二次根式的化简与求值问题；解题的重点是灵巧运用二次根式的运算法例来剖析、判断、解答．11．（2016? 柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A． B． C． D．【剖析】先依据被开方数大于等于0 判断出 a 是负数，而后平方后移到根号内约分即可得解．【解答】解：依据被开方数非负数得，﹣＞0，解得 a＜0，﹣ a==．应选 A．a 【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，先依据被开方数大于等于0 求出的取值范围是解题的重点，也是本题最简单犯错的地方．12．（ 2016?杨浦区三模）假如=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【剖析】由二次根式的化简公式获得1﹣ 2a 为非正数，即可求出 a 的范围．【解答】解：∵ =|1 ﹣ 2a|=2a ﹣1，∴1﹣ 2a≤0，解得： a≥．应选 D【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，娴熟掌握二次根式的化简公式是解本题的重点．13．（ 2016? 临朐县一模）已知： a=，b=，则 a 与 b 的关系是（）A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0 D．a2=b2【剖析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、 a+b、 a﹣ b、 a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解： a===2+，b===2﹣，A、ab=（ 2+）×（ 2﹣） =4﹣ 3=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2﹣） =4，故本选项错误；C、a﹣b=（2+）﹣（ 2﹣） =2，故本选项错误；D、∵ a2=（ 2+）2 =4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣ 4+3=7﹣4，∴a2≠b2，故本选项错误；应选 A．【评论】本题考察了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解本题的重点．二．填空题（共17 小题）14．（2017? 静安区一模）假如代数式存心义，那么 x 的取值范围为 x＞﹣2 ．【剖析】依据二次根式存心义的条件、分式存心义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得， x+2＞0，解得， x＞﹣ 2，故答案为： x＞﹣ 2．【评论】本题考察的是二次根式存心义的条件，掌握二次根式中的被开方数一定是非负数是解题的重点．15．（ 2016? 乐山）在数轴上表示实数 a 的点如下图，化简 +|a ﹣2| 的结果为3．【剖析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a﹣5＜0，a﹣2＞0，则 +|a ﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案为： 3．【评论】本题主要考察了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握有关性质是解题重点．16．（ 2016? 聊城）计算： = 12．【剖析】直接利用二次根式乘除运算法例化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案为： 12．【评论】本题主要考察了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题重点．17．（ 2016? 黄石）察看以下等式：第 1 个等式： a1==﹣ 1，第 2 个等式： a2==﹣，第 3 个等式： a3==2﹣，第 4 个等式： a4==﹣ 2，按上述规律，回答以下问题：（ 1）请写出第 n 个等式： a n= =﹣；；（ 2） a1+a2+a3+ +a n= ﹣ 1 ．【剖析】（1）依据题意可知， a1==﹣1，a2==﹣， a3==2﹣， a4==﹣2，由此得出第 n 个等式： a n==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a1==﹣ 1，第 2 个等式： a2==﹣，第 3 个等式： a3==2﹣，第 4 个等式： a4==﹣ 2，∴第 n 个等式： a n==﹣；（2） a1+a2+a3+ +a n=（﹣ 1） +（﹣） +（2﹣） +（﹣ 2） ++（﹣）=﹣1．故答案为 =﹣；﹣ 1．【评论】本题考察数字的变化规律以及分母有理化，要修业生第一剖析题意，找到规律，并进行推导得出答案．18．（ 2016? 哈尔滨）计算 2﹣的结果是﹣2．【剖析】先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行归并求解即可．【解答】解：原式 =2×﹣ 3=﹣3=﹣2，故答案为：﹣ 2．【评论】本题考察了二次根式的加减法，解答本题的重点在于掌握二次根式的化简与同类二次根式归并．19．（ 2016? 天津）计算（ +）（﹣）的结果等于2．【剖析】先套用平方差公式，再依据二次根式的性质计算可得．【解答】解：原式 =（）2﹣（）2=5﹣3=2，故答案为： 2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算的应用，娴熟掌握平方差公式与二次根式的性质是重点．20．（ 2016? 博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）=﹣a．【剖析】联合二次根式的性质进行化简求解即可．【解答】解：==|a ﹣ | ．∵0＜ a＜ 1，∴a2﹣1＜0，∴ a﹣ =＜ 0，∴原式 =|a ﹣ |= ﹣（ a﹣） =﹣a．故答案为：﹣ a．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，解答本题的重点在于娴熟掌握二次根式的性质及二次根式的化简．21．（ 2016? 绵阳校级自主招生）假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的 x 的取值范围是 x≤10 ．【剖析】依据二次根式可归并，可得同类二次根式，依据同类二次根式，可得 a 的值，依据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由最简二次根式与能够归并，得3a﹣8=17﹣2a．解得 a=5．由存心义，得20﹣2x≥ 0，解得 x≤10，故答案为： x≤10．【评论】本题考察了同类二次根式，利用同类二次根式得出对于 a 的方程是解题重点．22．（2016? 温州校级自主招生）已知 a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（ a，b）共有 7 对．【剖析】 A， B 只好是 15n2，而后分别议论及的取值，最后可确立有序数对的个数．【解答】解： 15 只好约分红 3， 52先考虑 A 这边：①，那么 B 能够这边能够是 1 或许，此时有：（15，60），（ 15，15），（60，15），②，只好 B 这边也是，此时有：（60，60），③，那么 B 这边也只好是，∴2×（ +）=1，此时有：（240， 240）④的话，那么 B 这边只好是，那么 2（+）=1，此时有：（135， 540），（540，135）．综上可得共有 7对．故答案为： 7．【评论】本题考察二次根式的化简求值，难度较大，重点是依据题意分别议论及的取值．23．（2016? 福州自主招生）对正实数 a，b 作定义 a*b=﹣a，若 2*x=6，则 x= 32．【剖析】依据定义把 2*x=6 化为一般方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣ a，∴2*x=﹣ 2，∴方程 2*x=6 可化为﹣ 2=6，解得 x=32，故答案为： 32【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用新定义把方程化为一般方程是解题的重点．24．（ 2016? 黄冈校级自主招生）已知x+y=，x﹣y=，则 x4﹣ y4 =．【剖析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得 x2﹣ y2，可求得答案．【解答】解：∵ x+y=， x﹣ y=，∴（ x+y）2=x2+2xy+y2=（）2=+，（x﹣y）2=x2﹣ 2xy+y2=（）2 =﹣，∴ x2+y2=，又 x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=（）（） ==1，∴ x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣ y2）=，故答案为：．【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和 x2﹣ y2的值是解题的重点．25．（ 2016? 黄冈校级自主招生）已知 =﹣（ x，y 为有理数），则 x﹣y= 1．【剖析】把已知条件两边平方，整理可获得x+y﹣ 2，联合 x、y 均为有理数，可求得 x、y 的值，可求得答案．【解答】解：∵ =﹣，∴（）2=（﹣）2，即 2﹣3=x+y﹣2，∴x+y﹣2=2﹣=+﹣2，∵ x， y 为有理数，∴x+y=+，xy=×，由条件可知 x＞y，∴x=，y=，∴x﹣ y=1，故答案为： 1．【评论】本题主要考察二次根式的化简，由条件求得x、 y 的值是解题的重点．26．（ 2016 春? 固始县期末）已知是正整数，则实数n 的最大值为11．【剖析】依据二次根式的意义可知 12﹣ n≥ 0，解得 n≤12，且 12﹣n 开方后是正整数，切合条件的 12﹣ n 的值有 1、4、9，此中 1 最小，此时 n 的值最大．【解答】解：由题意可知 12﹣ n 是一个完整平方数，且不为 0，最小为 1，所以 n 的最大值为 12﹣ 1=11．【评论】主要考察了二次根式存心义的条件，二次根式的被开方数是非负数．27．（ 2016? 山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣ = 2m﹣10．【剖析】先利用三角形的三边关系求出m的取值范围，再化简求解即可．【解答】解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，∴2＜ m＜ 8，∴﹣ =m﹣ 2﹣（ 8﹣m） =2m﹣10．故答案为： 2m﹣ 10．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的重点是熟记三角形的三边关系．28．（ 2016? 武侯区模拟）若实数 m知足 =m+1，且 0＜ m＜，则 m的值为．【剖析】直接利用二次根式的性质化简从而得出对于m的等式即可得出答案．【解答】解：∵ =m+1，且 0＜m＜，∴2﹣ m=m+1，解得：m=．故答案为：．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题重点．29．（ 2016? 龙岩模拟）计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得= 102016．【剖析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律从而得出答案．234【解答】解： =10；=100=10； =1000=10； =10000=10，可得 =102016．故答案为： 102016．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题重点．12230．（ 2016? 丹东模拟）察看以下各式：=1 +3×1+1， =2 +3×2+1，=3 +3× 3+1，2猜想： = 2011 +3× 2011+1．【剖析】依据题意得出数字变换规律从而得出答案．【解答】解：由题意可得：=20112+3× 2011+1．故答案为： 20112+3×2011+1．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题重点．三．解答题（共10 小题）31．（ 2017 春? 临沭县校级月考）计算（1）﹣ 4+÷（2）（1﹣）（1+）+（ 1+）2．【剖析】（1）先进行二次根式的除法运算，而后化简后归并即可；（2）利用完整平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式 =3﹣2+=3﹣2+2=3；（2）原式 =1﹣5+1+2+5 =2+2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，而后进行二次根式的乘除运算，再归并即可．32．（ 2017 春? 沂源县校级月考）若1＜a＜2，求 +的值．【剖析】依据 a 的范围即可确立a﹣ 2 和 a﹣ 1 的符号，而后依据算术平根的意义进行化简求值．【解答】解：∵ 1＜a＜2，∴a﹣ 2＜ 0， a﹣ 1＞0．则原式=+ =+ =﹣1+1 =0．【评论】本题考察了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解 =|a|是重点．33．（ 2017 春? 启东市月考）已知x，y 都是有理数，而且知足，求的值．【剖析】察看式子，需求出x，y 的值，所以，将已知等式变形：， x， y 都是有理数，可得，求解并使原式存心义即可．【解答】解：∵，∴．∵x， y 都是有理数，∴ x2 +2y﹣17 与 y+4 也是有理数，∴解得∵存心义的条件是 x≥y，∴取 x=5， y=﹣4，∴．【评论】此类问题求解，或是变换式子，求出各个未知数的值，而后辈入求解．或是将所求式子转变为已知值的式子，而后整体代入求解．34．（ 2016? 锦州）先化简，再求值：，此中 x=﹣3﹣（π﹣ 3）0．【剖析】先依据分式混淆运算的法例把原式进行化简，再把化简后 x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣ 3）0，=×4﹣﹣ 1，=2﹣﹣ 1，=﹣1．把 x=﹣ 1 代入获得： ==．即 =．【评论】本题考察的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵巧应用．235．（ 2016? 湖北校级自主招生）（1）已知 |2012 ﹣x|+=x ，求 x﹣2013 的值；【剖析】（1）由二次根式存心义的条件可知 x≥2013，而后化简得 =2012，由算术平方根的定义可知： x﹣2013=20122，最后联合平方差公式可求得答案．（2）依据单项式乘多项式的法例把（ +）=3（+5）进行整理，得出 a﹣ 2﹣ 15b=0，再进行因式分解得出（﹣ 5）（+3）=0，而后依据 a＞0，b＞0，得出﹣ 5=0，求出a=25b，最后辈入要求的式子约分即可得出答案．【解答】解：（1）∵ x﹣2013≥0，∴x≥ 2013．∴x﹣ 2012+=x．∴=2012．∴x﹣ 2013=20122．∴x=20122+2013．∴x﹣ 20132=20122﹣20132+2013=﹣（ 2012+2013）+2013 =﹣2012．（ 2）∵（ +）=3（+5），∴a+=3+15b，∴a﹣ 2﹣ 15b=0，∴（﹣ 5）（+3） =0，∵ a＞ 0， b＞ 0，∴﹣ 5=0，∴a=25b，∴原式 ===2．【评论】本题主要考察的是二次根式的混淆运算，用到的知识点是二次根式存心义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得 x﹣2013=20122，第（ 2）求出 a=25b 是解题的重点．36．（ 2016? 山西模拟）察看以下各式及其考证过程：（1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．【剖析】依据察看，可得规律，依据规律，可得答案．【解答】解：（1）5=考证： 5====；（2） n=，证明： n====．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，运用 n=的规律是解题重点．37．（ 2016? 仙游县校级模拟）先化简，再求值：（+）÷，此中 a=+1．【剖析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入 a 的值即可得出结论．【解答】解：原式 =（ +）÷，=? ，=? ，=．当 a=+1 时，原式 ==．【评论】本题考察了分式的化简求值，解题的重点是将原式化简成．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是重点．38．（ 2016? 高邮市一模）求不等式组的整数解．【剖析】第一解不等式组，注意系数化“ 1”时，这两个不等式的系数为负数，不等号的方向要改变．还要注意题目的要求，按要求解题．【解答】解：整理不等式组，得∴∴∴；∴不等式组的整数解为﹣2，﹣ 1，0．【评论】本题考察了一元一次不等式组的解法．要注意系数化“ 1”时，系数是正仍是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变．还要注意审题，依据题意解题．39．（ 2016? 太原一模）阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为 a、b、c，设 p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为a、b、 c，则三角形的面积 S=．（1）若一个三角形的三边长分别是 5，6，7，则这个三角形的面积等于6 ．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．2【剖析】（1）把 a、 b、 c 的长代入求出 S ，再开方计算即可得解；2（ 2）把 a、b、c 的长代入求出 S ，再开方计算即可得解．【解答】解：（1）p===9，S===6．答：这个三角形的面积等于6．（2） S=====．答：这个三角形的面积是．故答案为： 6．【评论】本题考察了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．40．（ 2016 春?饶平县期末）已知：y=++，求﹣的值．【剖析】第一依据二次根式中的被开方数一定是非负数，求出x 的值是多少，进而求出 y 的值是多少；而后把求出的x、 y 的值代入化简后的算式即可．【解答】解：∵ +存心义，∴，解得 x=8，∴y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=【评论】本题主要考察了二次根式存心义的条件，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：二次根式中的被开方数一定是非负数，不然二次根式无心义．。
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二次根式
例1．已知+1，
a 与
b 的关系是（ ）
A ．a=b
B ．ab=1
C ．a=－b
D ．ab=－1
例2．若a ≤1 ）
A ．（a －1.(1.(.(1
B a
C a
D a ---例3．已知实数a 满足a a a =-+-19931992，则=-21992a __________________； 例4．化简
=
++5
3262____________________；
例5．已知a a
x -=1，则=+24x x __________________
例6．设43239-的整数部分为a ，小数部分为b ，则=-++
+b
a b
a 411
11_____________；
例7．设a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，化简(a – b – c )2
+ (b – c – a )2
+ (c – a – b )2
的结果是 .
例8．设a 、b 为实数，且满足a 2+b 2－6a －2b+10=0的值
例9．设等腰三角形的腰长为a ，底边长为b ，底边上的高为h ．
（1）如果，，求h ；
（2）如果b=2（+1），－1，求a ．
例10．已知b a 、是实数，且
()()1112
2
=++++b b a
a
，问b a 、之间有怎样的关系？请推导。
例11．已知
y n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy+19y 2
的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．
例12．如图，一艘轮船在40海里/时的速度由西向东航行，上午8时到达A 处，测得灯塔P 在北偏东60°方向上；10时到达B 处，测得灯塔P 在北偏东30°方向上；当轮船到达灯塔P 的正南时，轮船距灯塔P 多远？
30︒
60︒
C
P
B
A
例13．按要求解决下列问题: （1）化简下列各式:
====________，… （2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．
例14． 设
12000++问与a 最接近的整数是多少？。