湖南省湘潭市2014年中考数学试卷解析版
湖南省湘潭市初中中考试题及答案
湖南省湘潭市初中中考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，没有错别字的一项是（）A. 明察秋毫风驰电掣金榜提名B. 再接再励汗流夹背一愁莫展C. 滥竽充数揠苗助长滥芋充数D. 黄粱美梦滥竽充数揠苗助长答案：D2. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 通过这次活动，使我们认识到了团结协作的重要性。
B. 为了防止这类事故不再发生，我们必须采取有效措施。
C. 他不仅学习成绩优秀，而且乐于助人，深受同学们的喜爱。
D. 由于他刻苦学习，因此取得了优异的成绩。
答案：C3. 下列关于文学常识的表述，正确的一项是（）A. 《岳阳楼记》的作者是宋代文学家范仲淹。
B. 《红楼梦》的作者是清代文学家曹雪芹。
C. 《水浒传》的作者是元代文学家施耐庵。
D. 《西游记》的作者是明代文学家吴承恩。
答案：A4. 下列关于历史事件的表述，正确的一项是（）A. 鸦片战争发生在1840年，标志着中国近代史的开端。
B. 辛亥革命发生在1911年，结束了中国两千多年的封建帝制。
C. 五四运动发生在1919年，是中国新民主主义革命的开端。
D. 抗日战争胜利于1945年，是中国近代史上的一次伟大胜利。
答案：A5. 下列关于地理知识的表述，正确的一项是（）A. 长江是中国最长的河流，也是亚洲最长的河流。
B. 黄河是中国第二长的河流，发源于青藏高原。
C. 珠穆朗玛峰是世界上最高的山峰，位于中国和尼泊尔的边界。
D. 长城是中国最著名的古代防御工程，全长超过2万公里。
答案：C6. 下列关于数学公式的表述，正确的一项是（）A. 圆的周长公式为C=2πr。
B. 圆的面积公式为S=πr²。
C. 长方体的体积公式为V=abh。
D. 所有上述公式都是正确的。
答案：D7. 下列关于物理现象的表述，正确的一项是（）A. 光在真空中的传播速度是3×10⁸米/秒。
B. 声音在空气中的传播速度是340米/秒。
C. 电流的单位是伏特。
湖南省湘潭市中考数学试卷及答案(Word解析版)
湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）（•湘潭）﹣5的相反数是（）A．5B．C．﹣5 D．考点：相反数．专题：计算题．分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．解答：解：﹣5的相反数是5．故选A．点评：本题主要考查相反数的概念和意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．2．（3分）（•湘潭）一组数据1，2，2，3．下列说法正确的是（）A．众数是3 B．中位数是2 C．极差是3 D．平均数是3考点：极差；算术平均数；中位数；众数．分析：根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、众数为2，故本选项错误；B、中位数是2，故本选项正确；C、极差为2，故本选项错误；D、平均数为2，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题，难度一般．3．（3分）（•湘潭）如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．析：解答：解：从上面看易得两个横向排列的正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的知识，属于基础题，要求同学们掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）（•湘潭）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．正五边形C．等腰梯形D．直角三角形考点：中心对称图形分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．点评：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．5．（3分）（•湘潭）一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1•x2=（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据题意得x1•x2==﹣2．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（3分）（•湘潭）下列命题正确的是（）A．三角形的中位线平行且等于第三边B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．四条边都相等的四边形是菱形D．相等的角是对顶角考点：命题与定理分析：利用三角形中位线的性质，等腰梯形、菱形、对顶角的性质分别进行判断，即可得出答案．解答：解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项错误；B、正方形，矩形对角线均相等，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；D、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；故选C．点评：此题考查了命题与定理，熟练掌握各特殊四边形的判定和性质是解答此类问题的关键．7．（3分）（•湘潭）如图，点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析式（）A．B．C．D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：把P点坐标代入反比例函数解析式即可算出k的值，进而得到答案．解答：解：∵点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，∴k=﹣3×2=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=，故选：D．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点必能满足解析式．8．（3分）（•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．B D=CE B．A D=AE C．D A=DE D．B E=CD考点：等腰三角形的性质分析：根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）（•湘潭）|﹣3|=3．考点：绝对值分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．解答：解：|﹣3|=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．10．（3分）（•湘潭）如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A=55°．考点：平行线的性质专题：计算题．分析：由AB与CD平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，求出∠EFD的度数，而∠EFD为三角形ECF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数，即为∠A的度数．解答：解：∵∠EFD为△ECF的外角，∴∠EFD=∠C+∠E=55°，∵CD∥AB，∴∠A=∠EFD=55°．故答案为：55°点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．11．（3分）（•湘潭）到底，湘潭地区总人口约为3020000人，用科学记数法表示这一数为 3.02×106．考点：科学记数法—表示较大的数分科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，析：要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．故答案为：3.02×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（•湘潭）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为2x+16=3x．考点：由实际问题抽象出一元一次方程分析：根据“送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完”表示出牛奶的总盒数，进而得出答案．解答：解：设敬老院有x位老人，依题意可列方程：2x+16=3x，故答案为：2x+16=3x．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据已知表示出牛奶的总盒数是解题关键．13．（3分）（•湘潭）“五一”假期，科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑，则恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是．考点：概率公式分析：由在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，∴恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）（•湘潭）函数：中，自变量x的取值范围是x≠﹣1．考点：函数自变量的取值范围专计算题．题：分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．解答：解：根据题意可得x+1≠0；解可得x≠﹣1；故答案为x≠﹣1．点评：求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．15．（3分）（•湘潭）计算：=2．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=×+1=1+1=2．故答案为2．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算．16．（3分）（•湘潭）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为2．考点：函数值；估算无理数的大小专题：图表型．分析：根据＞1选择左边的函数关系式进行计算即可得解．解答：解：∵x=＞1，∴y=2﹣1=3﹣1=2．故答案为：2．点评：本题考查了函数值的计算，比较简单，准确选择函数关系式是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）17．（6分）（•湘潭）解不等式组．．考点：解一元一次不等式组分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即可．解答：解：，由①得：x≥2，由②得：x≤4，不等式组的解集为：2≤x≤4．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．（6分）（•湘潭）先化简，再求值：，其中x=﹣2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=×=，当x=﹣2时，原式=﹣=﹣1．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）（•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：分别在Rt△ACD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案．解答：解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=×60=30海里，∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BC=30×=60海里，60÷60=1（小时）．答：从B处到达C岛需要1小时．点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．20．（6分）（•湘潭）4月20日8时，四川省芦山县发生7.0级地震，某市派出抢险救灾工程队赶芦山支援，工程队承担了2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区，实际施工速度比原计划每小时多修40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修道路多少米？考点：分式方程的应用分析：首先设原计划每小时抢修道路x米，则实际施工速度为每小时抢修道路（x+40）米，根据题意可得等量关系：原计划修2400米道路所用时间﹣实际修2400米道路所用时间=2小时，根据等量关系，列出方程即可．解答：解：设原计划每小时抢修道路x米，由题意得：﹣=2，解得：x1=200，x2=﹣240，经检验：x1=200，x2=﹣240，都是原分式方程的解，x=﹣240不合题意，舍去，答：原计划每小时抢修道路200米．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意解出分式方程后要进行检验．21．（6分）（•湘潭）6月5日是世界环境日，今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，旨在释放和传递：建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息，小文积极学习与宣传，并从四个方面A：空气污染，B：淡水资源危机，C：土地荒漠化，D：全球变暖，对全校同学进行了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题（每人限选一项）．以下是他收集数据后，绘制的不完整的统计图表：关注问题频数频率A 24 0.4B 12 0.2C n 0.1D 18 m合计 a1请你根据图表中提供的信息解答以下问题：（1）根据图表信息，可得a=60；（2）请你将条形图补充完整；（3）如果小文所在的学校有1200名学生，那么你根据小文提供的信息估计该校关注“全球变暖”的学生大约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．分析：（1）根据空气污染的频数除以对应的频率即可求出a的值；（2）由a的值，减去其它频数求出n的值，补全条形统计图即可；（3）求出表格中m的值，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：24÷0.4=60，即a=60；故答案为：60；（2）根据题意得：n=60﹣（24+12+18）=6，补全条形统计图，如图所示；（3）由表格得：m=0.3，根据题意得：该校关注“全球变暖”的学生大约有1200×0.3=360（人）．点评：此题考查了条形统计图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）（•湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．考点：一次函数的应用分析：（1）由图象可知y与x是一次函数关系，又由函数图象过点（11，10）和（15，2），则用待定系数法即可求得y与x的函数关系式；（2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得求超市每天销售这种商品所获得的利润．解答：解：（1）设y=kx+b（k≠0），由图象可知，，解得，故销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=﹣2x+32；（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：W=（﹣2x+32）（13﹣10）=﹣6x+96．点评：此题考查了一次函数的应用问题，此题综合性较强，难度一般，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．23．（8分）（•湘潭）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．考点：一元一次不等式组的应用分析：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，根据条件建立不等式组，运用分类讨论思想求出其解即可．（2）当小明先购买一张2元的祝福卡，小明购花的钱就只有28元了，求出能够购花的方案，就可以求出实现愿望的概率．解答：解：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得，∵x、y为正整数，当x=1时，y=6，7，8符合题意，当x=2时，y=5，6符合题意，当x=3时，y=4，5符合题意，当x=4时，y=3符合题意，当x=5时，y=1舍去，当x=6时，y=0舍去．共有8种购买方案，方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支；（2）由题意，得，，购花的方案有：方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案，∴小明能实现购买愿望的概率为P=．点评：本题考查了列不等式组及运用分类讨论思想解答方案设计的运用，概率在实际问题中的运用，解答时根据不等式组及分类讨论思想求出购买方案是关键．24．（8分）（•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．解答：解：（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF，在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．25．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D 点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．考相似形综合题点：分析：（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；（2）证△PCO∽△CBO，得出=，求出OP=即可；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出=，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出=，求出R即可．解答：解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y 轴，垂足分别为A、C两点，∴DC=5，OC=4，OB=3，∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，∴DC∥BP，∵PC∥DC，∴四边形DBPC是平行四边形，∴DC=BP=5，∴OP=5﹣3=2，2÷1=2，即当t为2秒时，PC∥BD；（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，∴∠CPO=∠BCO，∴△PCO∽△CBO，∴=，∴=，∴OP=，÷1=，即当t为秒时，PC⊥BC；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，则PM=OC=4=OP，4÷1=4，即t=4；②如图2，当⊙P与BC相切时，∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，∴△COB∽△PBM，∴=，∴=，R=12，12÷1=12，即t=12秒；③根据勾股定理得：BD==2，如图3，当⊙P与DB相切时，∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，∴△ADB∽△MPB，∴=，∴=，R=6+12；（6+12）÷1=6+12，即t=（6+12）秒．点评：本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力．26．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．由题意得：S△CEF=S△ABC，即：EF•h=S△ABC，∴（﹣x）•（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．（3）存在．如答图2所示，过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．。
湖南省湘潭市中考数学试卷word解析版
最大最全最精的教育资源网2015 年湖南省湘潭市中考数学试卷分析（本试卷满分100 分，考试时间120 分钟）江苏泰州鸣午数学工作室编写一、选择题（本大题共8 个小题，每题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的地点上，每题 3 分，满分24 分）．（2015 年湖南湘潭3分）在数轴上表示 2 的点与表示3的点之间的距离是【】1A. 5B. 5C. 1D. 1【答案】 A.【考点】数轴．【剖析】依据正负数的运算方法，用 3 减去 2 ，即可求出在数轴上表示 2 的点与表示 3 的点之间的距离：32 5 .应选 A.2．（2015年湖南湘潭3 分）下边四个立体图形中，三视图完好同样的是【】A. B. C. D.【答案】 B．【考点】简单几何体的三视图．【剖析】从正面看获取的视图是主视图，从左侧看获取的视图是左视图，从上边看获取的视图是俯视图．所以，A 、主视图、左试图是矩形，俯视图是圆，应选项 A 错误；B、主视图、左视图、俯视图都是圆，应选项 B 正确；C、主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，应选项 C 错误；D、主视图、俯视图都是矩形，左视图是三角形，应选项 D 错误．应选 B ．最大最全最精的教育资源网3．（ 2015 年湖南湘潭 3 分） 以下计算正确的选项是【】A. 52 3B. 3 13C. a 4 2a 8 D. a 6 a 2 a 3【答案】 C ．【考点】 二次根式的加减法；负整数指数幂；幂的乘方；同底数幂的除法．【剖析】 依据二次根式的加减法， 负整数指数幂， 幂的乘方，同底数幂的除法运算法例逐个计算作出判断：A. . 5 与 2 不是同类二次根式，不可以归并，故本选项计算错误；B. 依据“负整数指数幂的积的定义得3 113 ，故本选项计算错误；3C. 依据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法例得a 4 2a 4 2a 8 ，故本选项计算正确；D. 根 据 “ 同 底 数 幂 相 除 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 减 ” 的 除 法 法 则 得 ：a 6 a 2 a 6 1 a 4 a 3 ，故本选项计算错误 .应选 C ．4．（ 2015 年湖南湘潭 3 分） 在△ ABC 中， D 、 E 为边 AB 、 AC 的中点，已知△ ADE 的面积为 4，那么△ ABC 的面积是【】 21*cnjy*comA. 8B. 12C. 16D. 20【答案】 C ．【考点】 三角形中位线定理；相像三角形的判断和性质．【剖析】 ∵ D 、 E 分别是 AB 、AC 的中点，∴ DE 是△ ABC 的中位线 .DE 1 SADE21 2∴DE ∥ BC ，DE 1 BC. ∴△ ADE ∽△ ABC. ∴BC2.2SABC4∵△ ADE 的面积为 4，∴4 1SABC. ∴ S △ABC =16 ．4应选 C ．5．（ 2015 年湖南湘潭 3 分） 以下四个命题中，真命题是【】A. “意四边形内角和为任 360 °”是不行能事件B. 湘“潭市明日会下雨 ”是必定事件C. 预“计此题的正确率是 95%”表示 100 位考生中必定有 95 人做对1 D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率是2【答案】 D ．【考点】 命题与定理．【剖析】 A 、 “随意四边形内角和为 360°”是必定事件，错误；B 、 “湘潭市明日会下雨 ”是随机事件，错误；C 、 “估计此题的正确率是 95%”表示 100 位考生中不必定有 95 人做对，错误；D 、投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率是1，正确．2应选 D ．6．（ 2015 年湖南湘潭 3 分）如图，已知直线 AB ∥ CD ，且直线 EF 分别交 AB 、CD 于 M 、N 两点， NH 是∠ MND 的角均分线． 若∠ AMN=56°，则∠ MNH 的度数是 【】】【根源： 21cnj*y.co*mA. 28 °B. 30 °C. 34 °D. 56 °【答案】 A ．【考点】 平行线的性质．【剖析】 ∵直线 AB ∥ CD ，∠ AMN =56°，∴∠ MND =∠ AMN=56°．∵NH 是∠ MND 的角均分线，∴∠MNH = 1∠ MND=28°．2应选 A ．7．（ 2015 年湖南湘潭 3 分） 如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，若∠DAB =60 °，则∠BCD 的度数是【】A. 60 °B. 90 °C. 100 °D. 120 °【答案】 D．【考点】圆内接四边形的性质．【剖析】∵四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形，∴∠DAB+∠ DCB=180°．∵∠ DAB =60°，∴∠ BCD=180°﹣ 60°=120°．应选 D ．8．（2015年湖南湘潭3 分）如图，察看二次函数y ax2bx c 的图象，以下结论：① a b c > 0 ，② 2 a b > 0 ，③b24ac > 0 ，④ac > 0．此中正确的选项是【】A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】 C．【考点】二次函数图象与系数的关系．【剖析】由图象可知当x=1 时， y＜ 0，∴ a+b+c＜ 0. 故①不正确 .由图象可知0＜b b＜ 1，∴> 1 . 2a2a又∵张口向上，∴a＞ 0，∴ b＞﹣ 2a. ∴ 2a+b＞ 0. 故②正确 .由图象可知二次函数与x 轴有两个交点，∴方程 ax2bx c 0 有两个不相等的实数根. ∴△＞ 0，即b24ac >0 .故③正确.∴ ac＜ 0. 故④不正确 .综上可知正确的为②③.应选 C．二、填空题（此题共 8 个小题，请将答案写在答题卡相应的地点上，每题 3 分，满分 24 分）9．（2015年湖南湘潭 3 分）1的倒数是▲．2【答案】 2．【考点】倒数 .【剖析】依据两个数乘积是 1 的数互为倒数的定义，所以求一个数的倒数即用 1 除以这个数．所以，1的倒数为1 1 2 .【根源：21·世纪·教育·网】2 210．（2015年湖南湘潭 3 分）计算：23 2 = ▲．【答案】 10．【考点】有理数的乘方；有理数的减法．【剖析】依占有理数的混淆计算解答即可：23 2 8 2 10 .11．（2015年湖南湘潭3 分）在今年的湘潭市“党和人民满意的好老师”的评比活动中，截止到 5 月尾，王老师获取网络点赞合计183000 个，用科学记数法表示这个数为▲21·世．纪 *教育网【答案】 1.83 ×105. 【考点】科学记数法 .【剖析】依据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，此中1≤|a＜ 10，n 为整数，表示时重点要正确确立 a 的值以及 n 的值 . 在确立 n 的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1. 当该数大于或等于 1 时， n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－ n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0） . 所以，∵183000 一共 6 位，∴ 183000=1.83×105 .12．（2015年湖南湘潭3分）高一重生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为： 5、 7、 9、 10、 7，则这组数据的众数是▲．【答案】 7．【考点】众数．【剖析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中7 出现 2 次，出现的次数最多，故这组数据的众数为7.13．（2015年湖南湘潭3 分）湘潭盘龙大观园开园啦！此中杜鹃园的门票售价为：成人票每张 50 元，少儿票每张30 元．假如某日杜鹃园售出门票100 张，门票收入共4000 元．那么当天售出成人票▲张．【答案】 50．【考点】一元一次方程的应用．【剖析】设当天售出成人票x 张，少儿票（ 100﹣ x）张，可得： 50x+30 （ 100﹣x） =4000，解得： x=50．∴当天售出成人票50 张．14．（2015年湖南湘潭3 分）已知菱形ABCD 的面积为24cm2，若对角线AC=6cm ，则这个菱形的边长为▲cm．【答案】 5．【考点】菱形的性质；勾股定理．【剖析】依据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD 的长．而后依据勾股定理即可求得边长：2-1-c-n-j-y菱形 ABCD 的面积 = 1AC?BD，2∵菱形 ABCD 的面积是 24cm2，此中一条对角线AC 长 6cm，∴另一条对角线 BD 的长 =8cm.28 2∴菱形的边长是： 6 5 cm．2 215．（2015年湖南湘潭 3 分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°获取△ AED ，若线段 AB=3，则BE=▲．【答案】 3．【考点】旋转的性质；等边三角形的判断和性质．【剖析】∵将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转60°获取△ AED ，∴∠ BAE=60°， AB=AE.∴△ BAE 是等边三角形 . ∴ BE=3．16．（2015年湖南湘潭3 分）小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，假如纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽起码需要彩色纸板的面积为▲cm2．（结果保存π）【答案】 200π．【考点】圆锥的计算．【剖析】依据公式“圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2”计算：∵底面半径为8cm，∴底面周长=16πcm.又∵母线长为25cm，∴侧面面积 = 12．2 × 16π× 25=200 π cm三、解答题（本大题共10 个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应地点上，满分72 分）21·cn·jy·com17．（2015年湖南湘潭x 5 > 36 分）解不等式组：．x 6 > 4x 3【答案】解：由 x 5 > 3 得， x＞﹣ 2，由 x 6 > 4x 3 得， x＜ 3．∴不等式组的解集为﹣2＜ x＜ 3．【考点】解一元一次不等式组．【剖析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）.．（年湖南湘潭x x2 2x 1，此中 x5 1．2015 6 分）先化简，再求值： 118 x 1 x2 12x1 x 1【答案】 解：原式 =x1 x x 11 1 .x 1 x 12x 1 x 1x 1 x 1当 x5 1 时，：原式 =1 1 51 15.5 5【考点】 分式的化简求值；二次根式化简．.【剖析】 第一将小括号内的部分进行通分、计算， 而后将除法转变为乘法， 接下来再进行分解、约分，最后辈数进行二次根式化简求值即可．19．（ 2015 年湖南湘潭 6 分）“东方之星 ”客船出事以后， 本着 “关爱生命， 救人第一 ”的主旨． 搜救部门紧迫差遣直升机到出事地址进行搜救，搜救过程中，假定直升机飞到A 处时，发现前面江面上 B 处有一飘荡物， 从 A 测得 B 处的俯角为30°，已知该直升机向来保持在距江面100 米高度飞翔搜寻，飞翔速度为 10 米每秒，求该直升机沿直线方向朝飘荡物飞翔多少秒可抵达飘荡物的正上方？（结果精准到0.1， 3 1.73 ）【答案】 解：如答图，过点 A 作 AD ⊥ BD 于点 D ，由题意得：∠ ABC=30°， AD=100 米， 在 Rt △ ABD 中，tan ABC AD ，BDAD 1003 米 . ∴ BD100 tan ABC33∵飞翔速度为 10 米每秒，∴飞翔时间为 1003 10 10 3 17.3 秒 .∴该直升机沿直线方向朝飘荡物飞翔17.3 秒可抵达飘荡物的正上方．【考点】 解直角三角形的应用 （仰角俯角问题） ；锐角三角函数定义； 特别角的三角函数值．【剖析】作协助线“过点 A 作 AD ⊥BD 于点 D ”，结构直角三角形 ABD ，由题意得：∠ ABC=30°，AD =100 米，在 Rt △ ABD 中，应用正切函数求得 BD 的长后除以速度即可获取时间．20．（2015年湖南湘潭6 分）2015年湘潭市中考招生政策发生较大改变，此中之一是：省级示范性高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校（有先后次序），我市某地区的初三毕业生可填报的省级示范性高中有A、 B、 C、D 四所．（1）请列举出该地区学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；（2）求填报方案中含有 A 学校的概率．【答案】解：（ 1）该地区学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果以以下图所示：（2）依据树状图可知：该地区学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果共有 12 种，此中含有 A 的共有 6 种，∴填报方案中含有 A 学校的概率 = 61 ．12 2【考点】列表法与树状图法；概率．【剖析】（ 1）第一依据题意画出树状图或列表，从而可获取所有可能结果.（2）依据树状图或表找出所有含有 A 的结果，而后再利用概率公式计算即可．21．（2015年湖南湘潭 6 分）水利部确立每年的 3 月 22 日至 28 日为“中国水周”（ 1994 年以前为 7 月 1 日至 7 日），从 1991 年起，我国还将每年 5 月的第二周作为城市节俭用水宣传周．某社区为了进一步提升居民珍惜水、保护水和水忧患意识，倡导节俭用水，从本社区5000 户家庭中随机抽取100 户，检查他们家庭每个月的均匀用水量，并将检查的结果绘制成以下的两幅不完好的统计图表：用户月用水量频数散布表均匀用水量（吨）频数频次3～6 吨10 0.16～9 吨m 0.29～12 吨36 0.3612～15 吨25 n15～18 吨9 0.09请依据上边的统计图表，解答以下问题：（1）在频数散布表中：m=▲，n=▲；（2）依据题中数据补全频数直方图；（3）假如自来水企业将基本月用水量定为每户每个月12 吨，不超出基本月用水量的部分享受基本价钱，高出基本月用水量的部分推行涨价收费，那么该社区用户中约有多少户家庭可以所有享受基本价钱？【答案】解：（ 1） 20；0.25.（ 2）补全频数直方图如图：（ 3）（10+20+36 ）×5=330（户）．答：该社区用户中约有 330 户家庭可以所有享受基本价钱．【考点】频数（率）散布表；频数散布直方图；频数、频次和老是的关系．【剖析】（1）依据频率=频数÷数据总数，可获取 m÷100=0.2 ，可求得 m=20 ，而后利用频次=频数÷数据可求得 n=25 ÷100=0.25. 21教育网（2）依据（ 1）中的结果画出统计图即可 .（3）求得 100 户家庭中可以所有享受基本价的频数，而后再乘 5 即可．22．（2015 年湖南湘潭 6 分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点 E 处．（1）求证：△ BDE ∽△ BAC；（2）已知 AC=6， BC=8，求线段 AD 的长度．【答案】解：（ 1）证明：∵∠ C=90°，△ ACD 沿 AD 折叠，∴∠ C=∠ AED =90°.∴∠ DEB=∠C=90 °.∵∠ B=∠B，∴△ BDE ∽△ BAC.（ 2）由勾股定理得，AB=10 ．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE =CD，∠ AED=∠ C=90°．∴BE=AB﹣ AE=10﹣ 6=4 ，在 Rt△ BDE 中，由勾股定理得，2 2 2 2 2 2 DE +BE =BD ，即 CD +4 =（ 8﹣ CD），解得： CD=3.在 Rt△ ACD 中，由勾股定理得2 2 2，即 32 2 2AC +CD =AD +6 =AD ，解得：A D= 3 5．【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠对称的性质；相像三角形的判断和性质；勾股定理. 【剖析】（ 1）依据折叠的性质得出∠C=∠ AED =90°，利用∠ DEB =∠ C，∠ B=∠ B 证明三角形相像即可 .（2）由折叠的性质知CD=DE， AC=AE，依据题意在Rt△ BDE 中运用勾股定理求DE ，从而得出AD 即可．23．（2015年湖南湘潭8 分）如图，已知一次函数y x b 与反比率函数y k的图象交于xA、 B 两点，此中点 A 的坐标为（ 2， 3）．21世纪教育网版权所有（1）求一次函数与反比率函数的分析式；（2）求点 B 的坐标；（3）请依据图象直接写出不等式x b > k的解集．x【答案】 解：（ 1）把点 A （ 2， 3）代入一次函数的分析式中，可得：3=2+b ，解得： b=1，∴一次函数的分析式为：y x 1.把点 A （ 2， 3）代入反比率函数的分析式中，可得：k=6，∴反比率函数的分析式为：y6.x（ 2）把一次函数与反比率函数的分析式联立得出方程组，y x 1x 13 x 2 2可得： 6，解得：y 1 ，y 2.y x23∴点 B 的坐标为（﹣ 3，﹣ 2） . （ 3）﹣ 3＜ x ＜ 0 或 x ＞ 2．【考点】 反比率函数与一次函数的交点问题； 曲线上点的坐标与方程的关系； 方程思想和数形联合思想的应用．【剖析】（ 1）把 A 的坐标代入一次函数与反比率函数的分析式即可求出分析式.（ 2）把一次函数与反比率函数的分析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；（ 3）∵ A （ 2， 3），B （﹣ 3，﹣ 2），∴使一次函数值大于反比率函数值的x 的范围是：直线 y x 1 在双曲线y6上方时， x 的范围﹣ 3＜ x ＜0 或 x ＞2． x24．（ 2015 年湖南湘潭 8 分） 阅读资料：用配方法求最值．已知 x ， y 为非负实数，∵ x y 2 xy2y 2x y 2x 2 x y 0∴ xy 2 xy ，当且仅当 “x=y ”时，等号建立．示例：当 x ＞0 时，求 y x1 的最小值．4 x14 2 14 6 ，当x1，即 x 1 时， y 的最小值为 6．解： y x xx x x（1）试试：当 x＞ 0 时，求y x2 x 1x的最小值．（2）问题解决：跟着人们生活水平的迅速提升，小轿车已成为愈来愈多家庭的交通工具，假定某种小轿车的购车花费为10 万元，每年应缴保险费等各种花费合计0.4 万元， n 年的保养、保护花费总和为n2 n万元．问这类小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的10年均匀花费最少，年均匀花费所有花费之和年数）？最少年均匀花费为多少万元？n【答案】解：（ 1）∵y x2 x 1 x 1 1 2 x 11 3 ，x x x∴当 x 1，即 x 1 时， y 的最小值为 3．x（ 2）∵年均匀花费n2 n0.4nn 10 1 n 10 1= 10 nn 22 2.510 10 10 n 2∴当n10 ，即 n=10 时，最少年均匀花费为 2.5 万元．10 n【考点】阅读理解型问题；配方法的应用．【剖析】（ 1）第一依据y x2 x 1 11，而后应用配方法，求出当x＞ 0 ，可得 y xx xx2 x 1时， y 的最小值是多少即可．x（ 2）第一依据题意，求出年均匀花费= n2 n 0.4n 10 n n 10 1，而后10 10 n 2应用配方法，求出这类小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年均匀花费为多少万元即可．【版权所有： 21 教育】25．（2015年湖南湘潭10分）如图，已知 AB 是⊙ O 的直径，过点 A 作⊙ O 的切线 MA， P 为直线 MA 上一动点，以点 P 为圆心， PA 为半径作⊙ P，交⊙ O 于点 C，连结 PC、OP、BC．（1）知识研究（如图 1）：①判断直线PC 与⊙ O 的地点关系，请证明你的结论；②判断直线OP 与 BC 的地点关系，请证明你的结论．（2）知识运用（如图2）：当 PA＞OA 时，直线PC 交 AB 的延伸线于点D，若 BD=2AB，求 tan∠ ABC 的值．【答案】解：（ 1）① PC 与⊙ O 相切．证明以下：如答图，连结OC，OA OC在△ PAO 和△ PCO 中，∵PO PO ，PA PC∴△ PAO≌△ PCO（SSS） .∴∠ PAO=∠PCO .∵PA 是⊙ O 的切线， AB 是⊙ O 的直径，∴∠ PAO=∠PCO =90°. ∴PC 与⊙ O 相切．② OP∥ BC．证明以下：∵△ PAO≌△ PCO，∴∠ POA =∠POC .∴∠ B=∠POA. ∴ OP∥BC．（ 2）如题图2，∵ BD =2AB，∴ BD=4OB，AD =6OA. ∴BD4 ，OD 5∵OP∥ BC，∴CD BD 4. ∴PD=5 PC. PD OD 5设PA=PC =R， OA=r，∴ AD =6r， PD=5R.∵ PA2+AD2=PD 2，∴ R2+（ 6r）2=（ 5R）2，解得：R 6r ，2PA 6 r6 2∴ tan POA tan ABCr ．OA 2【考点】圆的综合题；单动点问题；全等三角形的判断和性质；切线的判断和性质；圆周角定理；平行的判断和性质；勾股定理；锐角三角函数定义．2·1·c·n·j·y【剖析】（ 1）① PC 与⊙ O 相切．易证明△ PAO≌△ PCO，则∠ PAO=∠PCO ，由 PA 是⊙ O 的切线，可知∠ PAO=∠ PCO =90°，即可证明结论 . 21*cnjy*com② OP∥ BC．由①可知∠ POA =∠ POC，依据圆周角定理可知∠B=∠ POA，根据同位角相等可证明 OP∥ BC．www-2-1-cnjy-com（2）依据 OP∥BC，可知CDBD4，由 BD =2AB，可知 AD =6OA， OD=5OB ，PD OD 5所以 PD=5 PC，设设 PA=PC=R，OA=r，依据勾股定理列方程求出R 与 r 的数目关系，即可在 Rt△ PAO 中求出 tan∠ ABC，从而依据 tan POA tan ABC 得出结果 .【出处：21教育名师】26．（2015年湖南湘潭10分）如图，二次函数y x2 bx c 的图象交x轴于A 1，0 、B 3，0 两点，交y轴于点C，连结BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从 A 向 B 运动，动点 Q 以每秒2个单位长度的速度从 B 向C 运动， P、Q 同时出发，连结PQ，当点 Q 抵达 C 点时， P、 Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒．（1）求二次函数的分析式；（2）如图1，当△ BPQ 为直角三角形时，求t 的值；（3）如图2，当 t＜ 2 时，延伸 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上能否存在一点N，使得 PQ的中点恰为MN 的中点？若存在，求出点N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明原因．【答案】解：（ 1）∵二次函数y x2 bx c 的图象经过 A 1，0 、B 3，0 两点，∴ 1b c 0 ，解得 b 2．9 3b c 0 c 3∴二次函数的分析式是：y x2 2x 3 ．（ 2）∵y x2 2x 3 ，∴点C的坐标是（0，﹣3）.∴ BC 32 32 3 2 .设 BC 所在的直线的分析式是：y mx n ，则 3m n 0，解得m 1 ．n 3 n 3∴BC 所在的直线的分析式是：y x 3 .∵经过 t 秒， AP= t， BQ= 2t ，∴点P 的坐标是（ t﹣ 1，0） . 设点 Q 的坐标是（ x， y），∵OB=OC=3 ，∴∠ OBC=∠ OCB=45°，则 y 2t sin45 2t 2t ，2∴ BP 2t com45 2t2t . 2∴x=3﹣ t. ∴点 Q 的坐标是（ 3﹣ t，t ） .①如答图 1，当∠ QPB=90°时，点 P 和点 Q 的横坐标同样，∵点 P 的坐标是（ t﹣ 1， 0），点 Q 的坐标是（ 3﹣t， t），∴t﹣ 1=3﹣ t，解得 t=2.∴当 t=2 时，△ BPQ 为直角三角形．②如答图 2，当∠ PQB=90°时，∵∠ PBQ=45°，∴BP 2BQ .∵ BP 3 t 1 4 t， BQ 2t ，∴ 4 t 2 2t ，即4 t 2t 4，解得 t.3∴当 t 4时，△ BPQ 为直角三角形．3综上所述，当△ BPQ 为直角三角形， t=2 或4．3（ 3）如答图3，延伸 MQ 交抛物线于点 N， H 是 PQ 的中点，设 PQ 所在的直线的分析式是y cx d ，∵点 P 的坐标是（ t﹣ 1，0），点 Q 的坐标是（3﹣t，t），c t 1d 0 ct4 2t∴t d ，解得．c 3 tdt t 2 4 2t∴PQ 所在的直线的分析式是ytxt t24 4.2t 2t最大最全最精的教育资源网∴点 M 的坐标是（ 0，tt2 ） .4 2t∵ t1 3 t 1, t 0 t ，2 2 2∴PQ 的中点 H 的坐标是（ 1，t） .2假定 PQ 的中点恰为 MN 的中点，∵1×2﹣ 0=2，t2 t t2 3t t 2 ，∴点 N 的坐标是（ 2，3tt 2 ） .2 4 2t 4 2t 4 2t又∵点 N 在抛物线上，∴3t t2 =2 2﹣ 2×2﹣ 3=﹣ 3.4 2t57 3 57 3 解得 t 或 t2 （舍去） .2∵57 3 > 7 3 2 ，2 2∴当 t ＜2 时，延伸 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上不存在一点N，使得 PQ 的中点恰为MN 的中点．【考点】二次函数综合题；双动点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特别角的三角函数值；中点坐标；分类思想和方程思想的应用．21 教育名师原创作品【剖析】（ 1）依据二次函数y x2bx c 的图象经过 A 1，0 、B 3，0 两点，应用待定系数法，求出二次函数的分析式即可．（ 2）第一依据待定系数法，求出BC 所在的直线的分析式，再分别求出点P、点 Q 的坐标各是多少；而后分两种状况：①当∠QPB=90°时；②当∠ PQB=90°时；依据等腰直角三角形的性质，求出t 的值各是多少即可．（ 3）第一延伸MQ 交抛物线于点 N，H 是 PQ 的中点，再用待定系数法，求出PQ 所在的直线的分析式，而后 PQ 的中点恰为MN 的中点，判断出能否存在知足题意的点N 即可．。
2014年湖南省长沙市中考数学试卷解析版
2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、12D、－12考点：倒数．分析：根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．解答：解：12的倒数是2，故选：A．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥考点：简单几何体的三视图．分析：找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．解答：解：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A 选项不符合题意；B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；故选C．点评：考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4考点：中位数；算术平均数．分析：根据中位数及平均数的定义求解即可．解答：解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数==4．故选B．点评：本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．4．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．解答：解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）A．+=B．（ab2）2=ab4C．2a+3a=6a D．a•a3=a4考点：幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据二次根式的加减，可判断A，根据积的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据同底数幂的乘法，可判断D．解答：解：A、被开方数不能相加，故A错误；B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故B错误；C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、底数不变指数相加，故D正确；故选：D．点评：本题考查了积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm考点：两点间的距离．分析：由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD 的长．解答：解：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=AC=43m，答：AD的长为3cm．故选：B．点评：本题考查了两点间的距离，利用线段差及中点性质是解题的关键．7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据不等式组的解集是大于大的，可得答案．解答：解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞3．故选：C．点评：本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是大于大的．8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．2考点：菱形的性质．分析：利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．解答：解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．考点：旋转对称图形．分析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．解答：解：A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选A．点评：本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解．解答：解：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．点评：本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）110度．11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：直线a∥b，直线c分别与a，b相交，根据平行线的性质，以及对顶角的定义可求出．解答：解：∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣70°=110°．故填110．点评：本题考查两直线平行，同位角相等及邻补角互补．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解答：解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为：（2，5）．故答案为：（2，5）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理即可直接求解．解答：解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故答案是：50．点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．考点：一元二次方程的解．分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．解答：解：依题意，得2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，解得，k=2．故答案是：2．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．考点：概率公式．分析：由100件外观相同的产品中有5件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵100件外观相同的产品中有5件不合格，∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．解答：解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案为：18．点评：本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质．17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．解答：证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF=6．故答案是：6．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．解答：解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），∴C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：解得．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，解得：x=﹣1，∴P点的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是能找出P点，题目具有一定的代表性，难度适中．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1+2﹣3+1=1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=•=，当x=3时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．考点：条形统计图；用样本估计总体；列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可；（2）求出喜欢“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到结果；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：2000××100%=560（人），则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；（3）列表如下：A B C DA （A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B （A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C （A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D （A，D）（B，D）（C，D）（D，D）所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=．点评：此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E 处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，∴AB=AE，∠B=∠E，∴AE=CD，∠D=∠E，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（AAS）；（2）解：∵△AOE≌△COD，∴AO=CO，∵∠OCD=30°，AB=，∴CO=CD÷cos30°=÷=2，∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．点评：本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；（2）设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额建立不等式求出其解即可．解答：解：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得200x+300（400﹣x）=90000，解得：x=300，∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得200a≥300（400﹣a），解得：a≥240．答：至少应购买甲种树苗240棵．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键．24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．考点：切线的性质．分析：（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；（2）利用△ADE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．解答：（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△ADE，∴，设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=．点评：本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可；（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b ﹣1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1•x2=，则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，则t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．解答：解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m=2，∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上，∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=；当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，∴x1+x2=，x1•x2=，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4•==4，∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴﹣4＜x2＜4，∴﹣8＜x1•x2＜8，∴﹣8＜＜8，∵a＞0，∴a＞∴（2a+1）2+＞+=，∴t＞．点评：本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，形如ax=b的方程的解的情况，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等知识，综合性较强，有一定难度．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．点评：此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据题意利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．。
2014年湖南省长沙市中考数学试卷解析版
2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－12．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）=44．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）+=B6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）AC=43m7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）=90°=180°=72°10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）y=的函数图象位于第一三象限，y=的函数图象位于第二四象限，二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=∠AOB=×14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=故答案为：16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．==17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．的坐标代入得：．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．••=．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．2000××．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD 相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．，÷=2=AO•CD=2×．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．x=ACB=六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．（y=k≠时，解得；，k=k≠的坐标为（，，，，）4•=4==．＜+＞=，＞26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，a=±，x，，xr=＞a PA=，PM=PN=PH=aAM=，，=时，=4（负数舍去）a；=4（负数舍去），则2或2。
中考数学试题及解析 湖南湘潭-解析版
湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）1、（•湘潭）下列等式成立是（ ）A 、|﹣2|=2B 、﹣（﹣1）=﹣1C 、1÷（﹣3）=13D 、﹣2×3=6考点：有理数的混合运算。
分析：A ，﹣2的绝对值为2，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．解答：解：A 、﹣2的绝对值为2，故本选项正确；B 、负负得正，得数应为1，故本选项错误；C 、正负乘除得正，故本选项错误；D 、同选项C ，故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了有理数的混合运算，选项A ，负数的绝对值为正数，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．本题很容易选得A ．2、（•湘潭）数据：1，3，5的平均数与极差分别是（ ）A 、3，3B 、3，4C 、2，3D 、2，4考点：极差；算术平均数。
专题：计算题。
分析：根据极差和平均数的定义即可求得．解答：解：x =1+3+53=3， 由题意可知，极差为5﹣1=4．故选B ．点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．3、（•湘潭）不等式组{x ＞1x ≤2的解集在数轴上表示为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题：存在型。
分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可． 解答：解：不等式组{x ＞1x ≤2在数轴上表示为：故选A ．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4、（•湘潭）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ）A 、球B 、圆柱C 、长方体D 、圆锥考点：由三视图判断几何体。
2014年湖南省湘潭市中考数学试卷含答案
湖南省湘潭市2014年中考数学试卷一、选择题+=23．（3分）（2014•湘潭）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米．4．（3分）（2014•湘潭）分式方程的解为（）5．（3分）（2014•湘潭）如图，所给三视图的几何体是（）6．（3分）（2014•湘潭）式子有意义，则x的取值范围是（）（8．（3分）（2014•湘潭）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）二、填空题9．（3分）（2014•湘潭）﹣3的相反数是3．10．（3分）（2014•湘潭）分解因式：ax﹣a=a（x﹣1）．则这两种电子表走时稳定的是甲．12．（3分）（2014•湘潭）计算：（）2﹣|﹣2|=1．13．（3分）（2014•湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足∠1=∠2，则a、b平行．14．（3分）（2014•湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=4．PA=15．（3分）（2014•湘潭）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为2x+56=589﹣x．16．（3分）（2014•湘潭）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．三、综合解答题17．（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．18．（2014•湘潭）先化简，在求值：（+）÷，其中x=2．=[]••=，=．19．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）CD=40020．（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．21．（2014•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1）该企业有几种购买方案？（2）哪种方案更省钱，说明理由．22．（2014•湘潭）有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？23．（2014•湘潭）从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7小时．统计结果制成了如图统计图：（1）参加调查的学生有200人；（2）请将条形统计图补全；（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．÷=200×24．（2014•湘潭）已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；（2）直线经过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．25．（2014•湘潭）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．===m×mm﹣×m．m（（+3＜3（（其中3，．==tan60=xEF=AE==．。
2014年数学中考试题及答案word版
16．在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按图8所示的位置已放置了两枚棋子，
若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直
角三角形的概率为_______．
17．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报（+1），第2位同学报（+1），第1位同学报（+1）……这样得到的20个数的积为___________．
C．必有5次正面向上D．不可能有10次正面向上
7．如图3，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，FG是（）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
8．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）
2014数学中考复习资料
数学试卷
卷Ⅰ（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共12个小题；1～6小题，每小题2分，7～12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，为负数的是（）
A．0B．-2C．1D．
2．计算(ab)3的结果是（）A．ab3B．a3bC．a3b3D．3ab
19．（本小题满分8分）
计算：|-5|-(-3)0+6×(-)+(-1)2．
20．（本小题满分8分）
如图10，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中CD∥AB，AB︰AD︰DC=10︰5︰2．
专题 压轴题--湖南省2014-2017年中考数学试题分项解析(解析版)
一、选择题1.（2014年，湖南省长沙市，3分）函数y=ax与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【考点】1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．2.（2014年湖南省株洲市，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）3．（2016年湖南省娄底市，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【答案】C．考点：锐角三角函数的增减性．4．（2016年湖南省永州市，4分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：3根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，②log 525=5，③log 2=﹣1．其中正确的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】B. 【解析】试题分析：根据表格中的规律可得:①因为24=16，此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1=21，所以此选项正确；故答案选B ． 考点：实数的运算．5. （2016年湖南省岳阳市，3分）对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b]=b ；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x 的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】考点：分段函数6．（2016年湖南省长沙市，3分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx+c+2=0无实数根； ③a ﹣b+c ≥0； ④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D ．考点：二次函数的图象与系数的关系.1．（2014年，湖南省衡阳市，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为▲ ．2．（2015·湖南常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1。
2014年湖南省株洲市中考数学试卷解析
2014年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）下列各数中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【考点】绝对值M113；有理数大小比较M115【难度】容易题【分析】根据绝对值的定义：绝对值是数轴上的点到原点的距离，可得|﹣3|＞|﹣2|＞|1|＞|0|，故选：A．【解答】A【点评】本题考查了绝对值的定义：绝对值是数轴上的点到原点的距离．属于基础概念性题目，比较容易。
2．（3分）x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】二次根式有意义的条件M118；解一元一次不等式（组）M12L【难度】容易题【分析】根据二次根式有意义的条件，得：x﹣3≥0，解得，x≥3．故选：D．【解答】D【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。
这道题比较容易，考生仔细审题既可。
3．（3分）下列说法错误的是（）A．必然事件的概率为1B．数据1、2、2、3的平均数是2C．数据5、2、﹣3、0的极差是8D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖【考点】概率的意义M222；算术平均数M215；极差M218【难度】容易题【分析】A．根据必然事件和概率的意义判断即可；概率值反映了事件发生的机会的大小，必然事件是一定发生的事件，所以概率为1，本项正确；B．根据平均数的求法判断即可；数据1、2、2、3的平均数是=2，本项正确；C．根据极差公式计算即可；这些数据的最大值为5，最小值为-3，其极差为5﹣（﹣3）=8，故本项正确；D．根据概率的意义判断即可；概率为刻画某个事件发生可能性大小的数值，某种游戏活动的中奖率为40%，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故本说法错误故选：D．【解答】D【点评】本题主要考查了概率的意义、求算术平均数以及极差的方法，比较简单．考生熟练掌握相关概念和求法即可。
2014wudaan年湖南省长沙市中考数学试卷解析版
2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、12D、－122．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥+=6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）C9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转C D10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）C D二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E 处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．。
2014年数学答案定稿
2014年湖南省普通高中学业水平考试数学参考答案及评分标准11．6； 12．32； 13．4； 14．2； 15．45（或4π）． 三、解答题（满分40分）16．解（1）函数)(x f 的大致图象如图所示； ………………………………2分 （2）由函数)(x f 的图象得出，)(x f 的最大值为2， …………………4分其单调递减区间为[]42，．…………………6分 17．解 (1)355030=⨯（人），255020=⨯（人）， 所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人； ………………………………………4分 (2) 用A 表示事件“选出的2名同学中恰有1名男同学”，把抽出的3名男同学记为321,,a a a ,把抽出的2名女同学记为21,b b ，则选取两名同学的基本事件有：()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,22123221113121b a b a a a b a b a a a a a ()()()212313,,,,,b b b a b a ，共有1 0种， ………………………………………………………5分 其中恰有一名男同学的基本事件有()()()()()()231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a ， 共6种， ……………………………………………………………………………………6分 由古典概型得所求概率为()53106==A P ． ……………………………………………8分18．解（1）由已知得1413128,141,2a a a a a a =+=+=，又()42312a a a +=+ ，所以11182)14(2a a a +=+ ，解得11=a ，………………2分所以1112--=⋅=n n n qa a ； ……………………………………………………………4分 （2）因为nb n n +=-12，所以543215b b b b b S ++++=()()4615312515212115=+=+⋅+--⋅=．……………………………………………8分 19．解（1）因为6πθ=，所以a ⎪⎭⎫⎝⎛=21,1，所以向量2a +b =()()24122112，，，=+⎪⎭⎫⎝⎛； ………………………………………………4分 （2）因为a ∥b ，所以1sin 2=θ，从而21sin =θ， …………………………………5分 又因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20πθ，，所以23cos =θ， …………………………………………………6分 所以4624sincos 4cossin )4sin(+=+=+πθπθπθ． ……………………………8分 20．解（1）配方得()4122=++y x ，则圆心C 的坐标为()01，- ，…………………2分 圆的半径长为2 ； …………………………………………4分（2）设直线l 的方程为kx y =，联立方程组⎩⎨⎧==-++,,03222kx y x y x 消去y 得()032122=-++x x k ，……………5分则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+.13,12221221k x x kx x …………………………………………6分所以3211212121=+=+x x x x x x 为定值；…………………………………7分（3）解法一 设直线m 的方程为b x y +=，则圆心C 到直线m 的距离21-=b d ，所以222422d dR DE -=-=， ……………………………………………8分()224421222=+-≤⋅-=⋅=∆d d d d d DE S CDE， 当且仅当24d d -=，即2=d 时，CDE ∆的面积最大，…………………………9分从而221=-b ，解之得3=b 或1-=b ，故所求直线方程为03=+-y x 或01=--y x ． ………………………………10分 解法二 由（1）知2===R CE CD ，所以2sin 2sin 21≤∠=∠⋅⋅=∆DCE DCE CE CD S CDE ， 当且仅当CE CD ⊥时，CDE ∆的面积最大，此时22=DE ， …………………8分设直线m 的方程为b x y +=，则圆心C 到直线m 的距离21-=b d ，………………9分由222422d dR DE -=-=22=，得2=d ，由221=-b ，得3=b 或1-=b ，故所求直线方程为03=+-y x 或01=--y x ． ………………………………10分说明：解答题如有其它解法，酌情给分．。
2014年湖南省湘潭市中考数学试卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共28页） 数学试卷 第2页（共28页）绝密★启用前湖南省湘潭市2014年初中毕业学业考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共24分)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各数中,是无理数的是( ) AB .2-C .0D .13 2.下列计算正确的是( ) A .23a a a +=B .112-=C .(2)(3)6a a a =D .2+=3.如图,A ,B 两点位于一个池塘的两端,冬冬想用绳子测量A ,B 两点间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A ,B 的点C ,找到AC ,BC 中点D ,E ,并且测得DE 的长为15m ,则A ,B 两点间的距离为 ( )A .7.5mB .15mC .22.5mD .30m 4.分式方程532x x=+的解为( ) A .1B .2C .3D .4 5.如图,所给的三视图表示的几何体是( )主视图 左视图 俯视图A .球B .圆柱C .圆锥D .三棱锥 6.,则x 的取值范围是( ) A .1x ＞B .1x ≥C .1x ＜D .1x ≠ 7.下列四个命题中正确的是( )A .任意三点确定一个圆B .菱形的对角线相等C .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D .平行四边形的四条边都相等 8.如图,点A ,B 是双曲线4y x=上的点,分别经过A ,B 两点向x 轴、y 轴作垂线段,且1S =阴影,则12S S +=( ) A .3 B .4 C .5 D .6第Ⅱ卷(非选择题 共96分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案填写在题中的横线上)9.3-的相反数是 .10.因式分解：ax a -= .11.为了比较市场中甲、乙两种电子表每天走时误差的情况,从这两种电子表中,各随机抽取15则这两种电子表每天走时较稳定的是 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共28页） 数学试卷 第4页（共28页）12.计算：2|2|--= .13.如图,直线a 与直线b 被直线c 所截,若满足 条件(只写一种),则a b ∥.14.如图,O 的半径为3,P 是CB 延长线上一点,5PO =,PA 切O 于点A ,那么O的切线PA 的长为 .15.某校组织七、八年级学生共589人进行爱国主义教育活动,七年级学生前往雷锋纪念馆,八年级学生前往毛主席故居,到毛主席故居的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍少56人.设七年级学生为x 人,请列出满足题意的方程： . 16.观察下面数表：依此规律：第6行最后一个数字是 ；第 行最后一个数字是2014. 三、解答题(本大题共10小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分6分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,AOB △的三个顶点均在格点上. (1)点B 关于y 轴对称的点的坐标为 ； (2)将AOB △向左平移3个单位得到111AO B △,请直接在网格中画出111AO B △；(3)在(2)的条件下,点1A 的坐标为 .18.(本小题满分6分) 先化简,再求值：26432()11x x x x x ++÷---,其中2x =.19.(本小题满分6分)如图,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道,为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C 在山这一侧的公路AB (看成一条直线段)的延长线上,设想过C 点作直线AB 的垂线l ,过点B 作一直线(在山的旁边经过),与l 相交于D 点,经过测量,135ABD ∠=,800m BD =,求在直线l 上距离D 点多远的C处开挖？1.414≈,精确到1m )20.(本小题满分6分)数学试卷 第5页（共28页） 数学试卷 第6页（共28页）如图,将矩形ABCD 沿BD 对折,点A 落在E 处,BE 与CD 相交于点F ,若3AD =,6BD =.(1)求证：EDF CBF △≌△； (2)求EBC ∠的度数.21.(本小题满分6分)某企业新增了一个化工项目,为了节约资源,保护环境,该企业决定购买A ,B 两种新经预算,企业最多支出89万元购买污水处理设备,且要求新设备月处理污水总量不低于1380吨.(1)该企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？请说明理由.22.(本小题满分6分)如图,两个构造完全一样(除表面数字外)的转盘A ,B .游戏规定：转动A ,B 转盘各一次,箭头指向较大数字的转盘获胜(如图所示：A 胜.箭头停留在分隔线上时此转盘重转一次).现由你和小明各选择一个转盘进行游戏,你会选择哪个？请用概率知识说明理由.AB23.(本小题满分8分)心理专家的调查显示,青少年网络成瘾症发病率呈上升趋势,为了解学生上网情况,某实验中学开展了“净化网络环境,控制上网时间”的活动,对同学们每周上网时间进行调查.从全校1200人中随机选取一部分进行问卷调查,调查内容为四种情况：A .上网时间1≤小时；B .1小时＜上网时间4≤小时；C .4小时＜上网时间7≤小时；D .上网时间7＞小时.根据收集的信息进行了统计,并绘制了下面不完整的统计图,根据统计图所提供的信息解答下列问题：(1)参加问卷调查的学生有 人； (2)请将条形统计图补充完整；(3)估计全校每天上网时间不超过7小时的学生有多少人？24.(本小题满分8分)定义：已知直线l ：(0)y kx b k =+≠,则k 叫直线l 的斜率. 性质：直线1l ：11y k x b =+,2l ：22y k x b =+(两直线斜率存在且均不为0),若直线-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共28页） 数学试卷 第8页（共28页）12l l ⊥,则121k k =-.(1)应用：若直线21y x =+与1y kx =-互相垂直,求斜率k 的值；(2)探究：一直线经过(2,3)A ,且与直线133y x =-+互相垂直,求该直线的解析式.25.(本小题满分10分)边长为a 的等边ABC △中,D 是BC 上的一动点(不与B ,C 重合),过点D 作AB ,AC 的垂线,分别交AB ,AC 于点E ,F .(1)证明：C BDE DF ∽△△；(2)当4a =时,设BD m =,四边形AEDF 的面积为S ,请写出S 与m 之间的函数关系式,并求出当m 为何值时,四边形AEDF 面积最大？最大面积是多少？ (3)已知：A ,E ,D ,F 四点在同一圆上,连接EF ,AD .若1BD =,tan DEF ∠,求该圆的直径.26.(本小题满分10分)过原点的抛物线2y x bx c =-++的对称轴为2x =,直线4y kx =+与y 轴、抛物线依次交于点D ,E ,F .(1)求该抛物线的解析式；(2)若13OED OEF S S =△△,求出k 的值；(3)是否存在实数k ,使得以EF 为直径的圆恰好经过原点？若存在,求出k 的值；若不存在,请说明理由.(参考公式：若1x ,2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根,则12b x x a+=-,12c x x a=)5 / 14湖南省湘潭市2014年初中毕业学业考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A是无理数；2-是整数，是有理数；0是整数，是有理数；13是分数，是有理数，故选A. 【考点】无理数的定义. 2.【答案】B【解析】A 中原式不能合并，股错误；B 中原式12=，故正确C 中原式26a =，故错误；D 中原式不能合并，故错误，故选B.【考点】整式，二次根式的运算. 3.【答案】D【解析】∵D ，E 分别是AC ，BC 的中点，15m DE =，∴230m AB DE ==，故选D. 【考点】三角形中位线的实际应用. 4.【答案】C【解析】去分母得536x x =+，移项合并得26x =，解得3x =，经检验，3x =是分式方程的解，故选C. 【提示】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.【考点】解分式方程. 5.【答案】C【解析】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，又由俯视图为圆可得此几何体为圆锥，故选C.【考点】由三视图判断几何体. 6.【答案】B【解析】根据题意得10x -≥，解得1x ≥，故选B. 【考点】二次根式的意义和性质. 7.【答案】C【解析】不在同一直线上的三点确定一个圆，故A 错误；菱形的对角线垂直但不一定相等，故B 错；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，C 正确；平行四边形的四条边不一定相等，故D 错误，故选C.数学试卷 第11页（共28页）数学试卷 第12页（共28页）【考点】命题，定理. 8.【答案】D【解析】∵点A ，B 是双曲线4y x=上的点，分别经过A ，B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于||4k =，1244126S S ∴+=+-⨯=，故选D. 【考点】反比例函数的图像与性质.第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】3【解析】(3)3--=，故3-的相反数是3. 【考点】相反数. 10.【答案】(1)a x - 【解析】(1)ax a a x -=-. 【考点】多项式的因式分解. 11.【答案】甲【解析】∵甲的方差是0.026，乙的方差是0.137，0.0260.137<，∴ 这两种电子表走时稳定的是甲. 【提示】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立. 【考点】方差. 12.【答案】1【解析】原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果，原式321=-=.【考点】实数的运算.13.【答案】13∠=∠或23∠=∠或24180∠+∠=°或14180∠+∠=°（任选一种）【解析】∵13∠=∠，∴a b ∥（同位角相等，两直线平行），同理可得23∠=∠或24180∠+∠=°或14180∠+∠=°时，a b ∥.【考点】平行线的判定. 14.【答案】4【解析】∵PA 切O e 于A 点，∴OA PA ⊥，在Rt OPA △中，5OP =，3OA =，∴4PA =. 【考点】切线的性质，勾股定理. 15.【答案】256589x x +-=【解析】依题意到雷锋纪念馆的人数为x 人，则到毛泽东故居的人数为(589)x -人，由题意得7 / 14256589x x -=-，即256589x x +-=.【考点】实际问题抽象出一元一次方程. 16.【答案】16672【解析】每一行的最后一个数字为1，4，7，10，⋅⋅⋅，则第n 行的最后一个数字为13(1)32n n +-=-，∴第6行最后一个数字是36216⨯-=；令322014n -=，解得672n =.因此，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数字是2014. 【考点】数字排列规则. 三、解答题17.【答案】（1）(1,3)-（2）（3）(0,2)【考点】利用平移变换作图，关于y 轴对称点的坐标求解.18.【答案】2x1【解析】原式6432[](1)(1)1x x x x x x x +=+÷---2(32)1(1)32x x x x x +-=⨯-+2x=当2x =时，原式212== 【考点】分式的化简求值. 19.【答案】566m 【解析】∵135ABD ∠=°，数学试卷 第15页（共28页）数学试卷 第16页（共28页）45CBD ∠=°. 又800m BD =，在Rt BCD △中，sin 45=CDBD°，800CD=，∴800566m CD ==≈.答：点C 应在直线l 上距离D 点约为566m 处开挖. 【考点】解直角三角形，勾股定理.20.【答案】（1）证明：由题意知ABD EBD △≌△， ∴90A E ∠=∠=°，AD ED =. 又∵矩形ABCD ， ∴90C ∠=°，BC AD =， ∴90E C ∠=∠=°，ED CB =. 在DEF △和BCF △中，,,,DFE BFC E C DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EDF CBF △≌△（2）矩形ABCD 中，3AD =，6BD =， ∴30ABD ∠=°又∵将矩形ABCD 沿BD 对折， ∴30ABD EBD ∠=∠=°，∴30EBC ABC ABD EBD ∠=∠-∠-∠=°. 【考点】折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质.21.【答案】（1）设购买A 型污水处理器x 台，则B 型污水处理器为(8)x -台.由题意得1210(8)89,200160(8)1380,x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩得2.5 4.5x ≤≤. ∵x 是正整数， ∴ 3.4x =.答：购买方案有两种：买A 型设备3台，B 型设备5台；或买A 型设备4台，B 型设备4台. （2）当3x =时，31251086⨯+⨯=（万元）；9 / 14当4x =时，41241088⨯+⨯=（万元）. 答：买A 型设备3台，B 型设备5台更省钱. 【考点】一元一次不等式的应用. 22.【答案】A 转盘 【解析】树状图如下：可能出现的情况共9种，5()=9P A 获胜，4()=9P B 获胜，()()P A P B >获胜获胜，选择A 转盘，A 转盘获胜概率较大. 【考点】用列表法或树状图法求概率. 23.【答案】（1）200（2）（3）解法一：2080601200960200++⨯=人.解法二：40(1)1200960200-=g 人. 【考点】条形统计图，扇形统计图.数学试卷 第19页（共28页）数学试卷 第20页（共28页）24.【答案】（1）12k =-（2）33y x =-【解析】（1）由题意得21k =-，解得12k =-.（2）设直线解析式为(0)y kx b k =+≠，1()13k -=-g ，解得3k =.∵点(2,3)A 在直线上， ∴332b =⨯+， ∴3b =-，∴直线解析式为33y x =-.【考点】新定义问题，当两直线垂直，两直线斜率乘积为1-. 25.【答案】（1）证明：等边三角形ABC 中，B C ∠=∠， 又∵DE AB ⊥，DF AC ⊥， ∴90DEB DFC ∠=∠=°. ∴BDE CDF △∽△.（2）在Rt BED △中，BD m =，60B ∠=°，∴12BE m =，ED =.∴211==22BED S BE DE m =△g g .同理可得2)CFD S m =-△，∴ABC S =△ABC BED CFD S S S S =--△△△22)m =-2=+，即24S m =+2S =++22)4)m m =-+<<，∴当2m =时取最大值为（3）解法一：A ，E ，D ，F 点在同一圆上，∴FAD DEF ∠=∠，∴tan tan DAF DEF ∠=∠=. 1BD =，则1CD a =-，1)2DF a =-， ∴1AF a =-. 又1(1)2CF a =-， 即1(1)(1)2a a a -+-=， ∴3a =.DF =2AF =.AD = 解法二：过F 作ED 延长线的垂线，垂足为H ，FH 交DC 于点G .1BD =，∴ED =，12a FG FC CG -===.Rt DHG △中，12a DG -=，14a HG -=，DH =.Rt EHF △中，tan 2FH FG GH FEH EH ED DH +∠===+， 得3a =.又DF =2AF =，∴AD =.【考点】相似三角形的判定，二次函数的最值，三角函数，解直角三角形，圆周角定理，等边三角形的性质.26.【答案】（1）24y x x =-+数学试卷 第23页（共28页）（2）19k =21k =-（3）54k =- 【解析】（1）依题意得0,2,2(1)c b =⎧⎪⎨-=⎪⨯-⎩得0c =，4b =.∴抛物线解析式为24y x x =-+.（2）解法一：由24,4y x x y kx ⎧=-+⎨=+⎩得2(4)40x k x +-+=，∴1x =，2x =，其中8k >或0k <. ∵13OED OEF S S =△△， ∴14OED ODF S S =△△， ∴12||1||4x x =. 因为1x ，2x 同号，14=， 化简得2890k k --=，得19k =，21k =-.解法二：由24,4y x x y kx ⎧=-+⎨=+⎩得2(4)40x k x +-+=. ∴124x x =，12||1||4x x =，得121,4x x =⎧⎨=⎩或121,4.x x =-⎧⎨=-⎩124x x k +=-+，得19k =，21k =-.（3）解法一：（几何法）过点E ，F 作y 轴的垂线分别交于M ，N 点，11(,4)E x kx +，22(,4)F x kx +.OME FNO △∽△， 则ME MO ON NF =，得1122x y y x =-，即12120x x y y +=.∵2(4)40x k x +-+=，∴124x x k +=-+，124x x =g .即1212(4)(4)0x x kx kx +++=， 得54k =-.解法二：（代数法（1））直线OE 为y k x '=，114kx k x +'=；直线OF 为y k x ''=，224kx k x +'=.设OE OF ⊥，由24题得1k k '''=-， ∴1212441kx kx x x ++=-g ，21212124()161k x x k x x x x +++=-， 得54k =-.数学试卷 第27页（共28页）（代数法（2））由勾股定理222EF OE OF =+得22222212121122()()()()x x y y x y x y -+-=+++，即12120x x y y +=.∵2(4)40x k x +-+=，∴124x x k +=-+，124x x =g ，即1212(4)(4)0x x kx kx +++=， 得54k =-. 【考点】函数图像交点的性质，三角形相似的性质，一元二次方程，圆.。
2014-2015学年湖南省湘潭市高一上学期期末数学试卷和解析
2014-2015学年湖南省湘潭市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5.00分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5}2．（5.00分）下列区间中，函数f（x）=2x﹣3有零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）3．（5.00分）直线x﹣y+8=0的倾斜角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．135°4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，且a=f（﹣1），b=f（log24），则实数a，b的大小关系时（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能比较5．（5.00分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1 C．D．6．（5.00分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AC⊥面SBDD．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角7．（5.00分）已知直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，则圆半径为（）A．2 B．C．6 D．8．（5.00分）已知函数f（x）=x3﹣2x，若f（a）+f（b）=0，则a+b的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．不能确定二、填空题（每小题5分，共25分）9．（5.00分）函数f（x）=的定义域是．10．（5.00分）已知52x=25，则5﹣x=．11．（5.00分）已知点A（4，﹣2）和点B（2，4），则线段AB的垂直平分线方程为．12．（5.00分）一个高为2的圆锥，底面半径为1，该圆锥的体积为．13．（5.00分）已知幂函数y=x m﹣3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=．三、解答题14．（12.00分）（1）log363﹣2log3（2）÷a2．15．（11.00分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．16．（12.00分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：（3a﹣4）x﹣y﹣2=0，且l1∥l2（1）求a的值（2）求以N（1，1）为圆心，并且与l2相切的圆的方程．四、选择题（每小题5分）17．（5.00分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4五、填空题（每小题5分）18．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是．六、解答题19．（12.00分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足下列某函数关系：①p=at+b②p=alog b t③p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，（1）根据这三次实验数据，请选用合适的函数模型，并说明理由（2）利用你选取的函数，求出最佳的加工时间．20．（14.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1∥平面PAC（2）求证：直线PB1⊥平面PAC．21．（14.00分）已知函数f（x）=的图象经过点（2，﹣）（1）求实数p的值，并写出函数f（x）的解析式（2）若x≠0，判断f（x）的奇偶性，并证明（3）求函数f（x）在[，t]上的最大值．2014-2015学年湖南省湘潭市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5.00分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5}【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，∴M∩N={2，3}，故选：B．2．（5.00分）下列区间中，函数f（x）=2x﹣3有零点的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣3，∴函数在R上单调递增，∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，∴根据零点存在性定理判断：（1，2）上有1个零点．故选：C．3．（5.00分）直线x﹣y+8=0的倾斜角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：由x﹣y+8=0，得y=x+8，∴直线的斜率为1，设其倾斜角为α（0°≤α＜180°），由tanα=1，得α=45°．故选：B．4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，且a=f（﹣1），b=f（log24），则实数a，b的大小关系时（）A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能比较【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴a=f（﹣1）=f（1），b=f（log24）=f（2），∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，∴f（1）＞f（2），即a＞b，故选：C．5．（5.00分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1 C．D．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；该正方体的俯视图是正方形ABCD，其面积为1，侧视图是矩形BDD1B1，其面积为；∴正视图是矩形ACC1A1，其面积为S=AA1•AC=1×=．故选：A．6．（5.00分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AC⊥面SBDD．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解答】解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵SD∩DB=D．∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB．B．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，又AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD．C．由A可知：AC⊥平面SDB．D．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB．∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；故选：D．7．（5.00分）已知直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，则圆半径为（）A．2 B．C．6 D．【解答】解：由题意，弦心距d==．∵直线x+y+2=0截圆x2+y2=z2所得弦的长度为4，∴由弦长公式可得2=4，∴|z|=；故选：D．8．（5.00分）已知函数f（x）=x3﹣2x，若f（a）+f（b）=0，则a+b的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．不能确定【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣2x，f（﹣x）=﹣x3+2x=﹣（x3﹣2x）=﹣f（x），∴函数f（x）的奇函数，∵f（a）+f（b）=0，∴f（a）=﹣f（b），f（a）=f（﹣b），即a=﹣b，也可能不是，运用图象可判断：a+b的值不确定故选：D．二、填空题（每小题5分，共25分）9．（5.00分）函数f（x）=的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1．∴函数f（x）=的定义域是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．10．（5.00分）已知52x=25，则5﹣x=．【解答】解：∵52x=25=52，∴2x=2，x=1，∴5﹣x=5﹣1=，故答案为：．11．（5.00分）已知点A（4，﹣2）和点B（2，4），则线段AB的垂直平分线方程为x﹣3y=0．【解答】解：∵点A（4，﹣2）和点B（2，4），∴AB的中点为（3，1），由斜率公式可得k AB==﹣3，∴由垂直关系可得所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣3）化为一般式可得x﹣3y=0故答案为：x﹣3y=012．（5.00分）一个高为2的圆锥，底面半径为1，该圆锥的体积为．【解答】解：∵圆锥的高h=2，底面半径r=1，故圆锥的体积V===，故答案为：13．（5.00分）已知幂函数y=x m﹣3（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则m=1．【解答】解：幂函数y=x m﹣3的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，∴m﹣3＜0，且m﹣3是偶数由m﹣3＜0得m＜3，又由题设m是正整数，故m的值可能为1或2验证知m=1时，才能保证m﹣3是偶数故m=1即所求．故答案为：1．三、解答题14．（12.00分）（1）log363﹣2log3（2）÷a2．【解答】解：（1）原式==log39=2．（2）原式==a2．15．（11.00分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，则圆柱的上底面为中截面，可得r=1 （2分）∴2，∴．（6分）16．（12.00分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：（3a﹣4）x﹣y﹣2=0，且l1∥l2（1）求a的值（2）求以N（1，1）为圆心，并且与l2相切的圆的方程．【解答】解：（1）∵l1∥l2，k1=﹣a，k2=3a﹣4，k1=k2，b1≠b2∴﹣a=3a﹣4，∴a=1；（2）l2：x+y+2=0又l2与圆相切r==2，∴所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8．四、选择题（每小题5分）17．（5.00分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．五、填空题（每小题5分）18．（5.00分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（0，1] ．【解答】解：由题意可得，关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根即为函数f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是（0，1]，故答案为：（0，1]．六、解答题19．（12.00分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足下列某函数关系：①p=at+b②p=alog b t③p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，（1）根据这三次实验数据，请选用合适的函数模型，并说明理由（2）利用你选取的函数，求出最佳的加工时间．【解答】解：（1）由题意，函数有增也有减，故选用p=at2+bt+c，将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，（2）由（1）知对称轴为t=3.75，即最佳的加工时间是3.75分钟．20．（14.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1∥平面PAC（2）求证：直线PB1⊥平面PAC．【解答】证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点连接AC和BD，相较于O，连接OP，所以：OP∥BD1BD1⊄平面PAC，OP⊂平面PAC所以：直线BD1∥平面PAC（2）连接OB1，由于四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BDBB1⊥平面ABCD所以：AC⊥平面BB1D1D则：AC⊥PB1由于：所以：PB1⊥OP直线PB1⊥平面PAC21．（14.00分）已知函数f（x）=的图象经过点（2，﹣）（1）求实数p的值，并写出函数f（x）的解析式（2）若x≠0，判断f（x）的奇偶性，并证明（3）求函数f（x）在[，t]上的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=的图象经过点（2，﹣），则f（2）=﹣，即=﹣，解得p=2，则f（x）=；（2）若x≠0，f（x）为奇函数．理由如下：定义域{x|x≠0}关于原点对称，f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）为奇函数；（3）f′（x）=﹣（1﹣），当＜t≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[，t]上递增，f（t）最大，且为；当t＞1时，当≤x＜1，f′（x）＞0，f（x）递增；当1＜x＜t时，f′（x）＜0，f （x）递减．则x=1时f（x）取得最大值，且为﹣．综上可得，当＜t≤1时，f（x）的最大值为；当t＞1时，f（x）的最大值为﹣．。
2014学年湖南省湘潭中考数学年试题答案
数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前天津市2014年初中毕业生学业考试数 学本试卷满分120分,考试时间100分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算(6)(1)-⨯-的结果等于( )A .6B .6-C .1D .1- 2.cos60的值等于( )A .12BC. D3.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是( )ABCD4.为让市民出行更加方便,天津市政府大力发展公共交通.2013年天津市公共交通客运量约为1608000000人次.将1608000000用科学记数法表示应为( )A .7160.810⨯B .816.0810⨯C .91.60810⨯D .100.160810⨯ 5.如图,从左面观察这个立体图形,能得到的平面图形是( )ABCD6.则该正六边形的边长是( )AB .2C .3D.7.如图,AB 是O 的弦,AC 是O 的切线,A 为切点,BC 经过圆心.若25B ∠＝,则C ∠的大小等于( )A .20B .25C .40D .508.如图,在□ABCD 中,点E 是边AD 的中点,EC 交对角线BD 于点F ,则:EF FC 等于( ) A .3:2 B .3:1 C .1:1D .1:29.已知反比例函数10y x =,当12x ＜＜时,y 的取值范围是( )A .05y ＜＜B .12y ＜＜C .510y ＜＜D .10y ＞10.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x 个队参赛,则x 满足的关系式为( )A .1(1)282x x += B .1(1)282x x -= C .(1)28x x +=D .(1)28x x -=11.某公司欲招聘一名公关人员,对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试,他们的如果公司认为,作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要,并分别赋予它们6和4的权.根据四人各自的平均成绩,公司将录取( )A .甲B .乙C .丙D.丁12.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,且关于x的一元二次方程20ax bx c m ++-=没有实数根,有下列结论： ①240b ac -＞；②0abc ＜； ③2m ＞.其中,正确结论的个数是( )A .0B .1C .2D .3毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共8页） 数学试卷 第4页（共8页）第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请把答案填在题中的横线上) 13.计算52x x ÷的结果等于 . 14.已知反比例函数ky x=(k 为常数,0k ≠)的图象位于第一、第三象限,写出一个符合条件的k 的值为 .15.如图是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌.将它们洗匀后正面向下放在桌子上,从中任意抽取一张,则抽出的牌点数小于9的概率为 .16.抛物线223y x x =-+的顶点坐标是 .17.如图,在Rt ABC △中,,D E 为斜边AB 上的两个点,且,BD BC AE AC ==,则DCE ∠的大小为 (度).18.如图,将ABC △放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A ,点B ,点C 均落在格点上.(1)计算22AC BC +的值等于 ；(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB 为一边的矩形,使该矩形的面积等于22AC BC +,并简要说明画图方法(不要求证明) .三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分8分)解不等式组21,21.x x +⎧⎨+⎩≥-1①≤3②请结合题意填空,完成本小题的解答. (1)解不等式①,得 ； (2)解不等式②,得 ；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为 . 20.(本小题满分8分)为了推动阳光体育运动的广泛开展,引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下,积极参加体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用.现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘制出如下的统计图1和图2,请根据有关信息,解答下列问题：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图1中m 的值是 ； (2)求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；(3)根据样本数据,若学校计划购买200双运动鞋,建议购买35号运动鞋多少双？数学试卷 第5页（共8页） 数学试卷 第6页（共8页）21.(本小题满分10分)已知O 的直径为10,点A ,点B ,点C 是在O 上,CAB ∠的平分线交O 于点D .(1)如图1,若BC 为O 的直径,6AB ＝,求,,AC BD CD 的长； (2)如图2,若60CAB ∠＝,求BD 的长.22.(本小题满分10分)解放桥是天津市的标志性建筑之一,是一座全钢结构的部分可开启的桥梁.(1)如图1,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB 等于47m ,从AB 的中点C 处开启,则AC 开启至A C ''的位置时,A C ''的长为 m ；(2)如图2,某校兴趣小组要测量解放桥的全长PQ ,在观景平台M 处测得=54P M Q ∠,沿河岸MQ 前行,在观景平台N 处测得73PNQ ∠＝.已知PQ MQ ⊥,=40m MN ,求解放桥的全长PQ (tan54 1.4,tan73 3.3≈≈,结果保留整数).毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共8页） 数学试卷 第8页（共8页）23.(本小题满分10分)“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg .如果一次购买2kg 以上的种子,超过2kg 的部分的种子的价格打8折.(3)若小张一次购买该种子花费了30元,求他购买种子的数量.24.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,O 为原点,点(2,0)A -,点(0,2)B ,点E ,点F 分别为,OA OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转,得正方形OE D F ''',记旋转角为α.(1)如图1,当90α=时,求,AE BF ''的长；(2)如图2,当135α＝时,求证：AE BF ''＝,且AE BF ''⊥；(3)若直线AE '与直线BF '相交于点P ,求点P 的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).25.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,O 为原点,直线:1l x ＝,点(2,0)A ,点E 、点F 、点M 都在直线l 上,且点E 和点F 关于点M 对称,直线EA 与直线OF 交于点P .(1)若点M的坐标为(1,1)-.①当点F 的坐标为(1,1)时,如图,求点P 的坐标；②当点F 为直线l 上的动点时,记为(,)P x y ,求y 关于x 的函数解析式；(2)若点(1,)M m ,点(1,)F t ,其中0t ≠.过点P 作PQ l ⊥于点Q ,当=OQ PQ 时,试用含t 的式子表示m .。
2014年湖南省湘潭市中考数学试卷(含解析版).doc
2014年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题1．（3分）（2014•湘潭）下列各数中是无理数的是（）1A．B．﹣2 C．0D．32．（3分）（2014•湘潭）下列计算正确的是（）A．a+a2=a3B．2﹣1= C．2a•3a=6a D．2+=23．（3分）（2014•湘潭）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米．A．7.5 B．15 C．22.5 D．304．（3分）（2014•湘潭）分式方程的解为（）A．1B．2C．3D．45．（3分）（2014•湘潭）如图，所给三视图的几何体是（）A．球B．圆柱C．圆锥D．三棱锥6．（3分）（2014•湘潭）式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤17．（3分）（2014•湘潭）以下四个命题正确的是（）A．任意三点可以确定一个圆B．菱形对角线相等C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．平行四边形的四条边相等8．（3分）（2014•湘潭）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A．3B．4C．5D．6二、填空题9．（3分）（2014•湘潭）﹣3的相反数是．10．（3分）（2014•湘潭）分解因式：ax﹣a=．11．（3分）（2014•湘潭）未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计平均数方差甲0.4 0.026乙0.4 0.137则这两种电子表走时稳定的是．12．（3分）（2014•湘潭）计算：（）2﹣|﹣2|=．13．（3分）（2014•湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行．14．（3分）（2014•湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=．15．（3分）（2014•湘潭）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为．16．（3分）（2014•湘潭）如图，按此规律，第6行最后一个数字是，第行最后一个数是2014．三、综合解答题17．（2014•湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为．18．（2014•湘潭）先化简，在求值：（+）÷，其中x=2．19．（2014•湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）20．（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．21．（2014•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格（万元/台）12 10月污水处理能力（吨/月）200 160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1）该企业有几种购买方案？（2）哪种方案更省钱，说明理由．22．（2014•湘潭）有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？23．（2014•湘潭）从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7小时．统计结果制成了如图统计图：（1）参加调查的学生有人；（2）请将条形统计图补全；（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．24．（2014•湘潭）已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；（2）直线经过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．25．（2014•湘潭）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．26．（2014•湘潭）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．2014年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1A．B．﹣2 C．0D．3考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、正确；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是整数，是有理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．故选A．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．A．a+a2=a3B．2﹣1= C．2a•3a=6a D．2+=2考点：单项式乘单项式；实数的运算；合并同类项；负整数指数幂．专题：计算题．分析：A、原式不能合并，错误；B、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式不能合并，错误．解答：解：A、原式不能合并，故选项错误；B、原式=，故选项正确；C、原式=6a2，故选项错误；D、原式不能合并，故选项错误．故选B．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）（2014•湘潭）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米．。
2014年湖南省长沙市中考数学试题及答案解析
2014年湖南省长沙市中考数学试题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2014年）-2的倒数是（）A．-2 B．12-C．12D．22．（2014年）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（2014年）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和44．（2014年）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）5．（2014年）下列计算正确的是（）A=B．（ab2）2=ab4C．2a+3a=6a D．a•a3=a46．（2014年）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm7．（2014年）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥38．（2014年）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1 B C．2 D．9．（2014年）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．10．（2014年）函数y=ax与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题11．（2014年）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=__________．12．（2014年）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____．13．（2014年）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=________度．14．（2014年）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=_______ 15．（2014年）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是_______16．（2014年）如图，△ABC 中，DE ∥BC,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为_____17．（2014年）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________18．（2014年）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1），在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是________．三、解答题19．（2014年）计算：（﹣1）2014﹣（13）﹣1sin45° 20．（2014年）先简化，再求值：（1+12x -）÷22214x x x -+-，其中x=3 21．（2014年）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的我最喜爱的某某小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．22．（2014年）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE 与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AOC的面积．23．（2014年）为建设“秀美幸福之市”，某某市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（2014年）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．25．（2014年）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数y=n x （n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s ﹣1（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax 2+bx+1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），且满足﹣2＜x 1＜2，|x 1﹣x 2|=2，令t=b 2﹣2b+15748，试求出t 的取值范围．26．（2014年）如图，抛物线2(0,,,y ax bx c a a b c =++≠为常数）的对称轴为y 轴，且经过(0，0)，116)两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A (0，2)， （1）求,,a b c 的值；（2）求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M 1(,0)x ，N 2(,0)x (1x ＜2x )两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．参考答案1．B【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-1 2故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握2．C【解析】试题分析：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图．3．B【解析】试题分析：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数=2334845++++=．故选B．考点：1.中位数；2.算术平均数．4．B【解析】试题分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．解：平行四边形的对角线互相平分，故选B．考点：平行四边形的性质．5．D【详解】解：A、被开方数不能相加，故A错误；B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，（ab2）2=a2b4故B错误；C、系数相加字母部分不变，2a+3a=5a故C错误；D、底数不变指数相加，故D正确；故选D．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；同底数幂的乘法．6．B【详解】试题分析：由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD=12AC=3cm．故选B．考点：两点间的距离7．C【解析】试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞3．故选C．考点：在数轴上表示不等式的解集．8．C【解析】试题分析：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选C．考点：菱形的性质．9．A【解析】试题分析：A、最小旋转角度=3603=120°；B、最小旋转角度=3604=90°；C、最小旋转角度=3602=180°；D、最小旋转角度=3605=72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选A．考点：旋转对称图形．10．D【详解】试题分析：a＞0时，y=ax的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=ax的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．11．110°【解析】试题分析：直线a∥b，直线c分别与a，b相交，根据平行线的性质，以及对顶角的定义可求出．试题解析：如图：∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣70°=110°．考点：1.平行线的性质；2.对顶角、邻补角．12．（2，5）．【解析】试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为：（2，5）．故答案为（2，5）．考点：二次函数的性质．13．50.【详解】∠ACB=12∠AOB=12×100°=50°．考点：圆周角定理．14．k=2．【解析】试题分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．试题解析：依题意，得2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，解得，k=2．考点：一元二次方程的解．15．1 20．【解析】试题分析：由100件外观相同的产品中有5件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案． 试题解析：∵100件外观相同的产品中有5件不合格，∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：5110020=． 考点：概率公式．16．18.【解析】∵在△ABC 中，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ． ∵23DE BC =， ∴2224()()39ADE ABC SDE S BC ===， ∴9184ABC ADE S S ==．17．6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．18．（﹣1，0）．【解析】试题分析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．试题解析: 作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），∴C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：21 {23k bk b-+=+=-解得1 {1 kb=-=-．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，解得：x=﹣1，∴P点的坐标是（﹣1，0）．考点：1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质．19．1.【详解】试题分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：原式=1+2﹣． 考点：1.实数的运算；2.负整数指数幂；3.特殊角的三角函数值． 20．52. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=221(2)(2)2(1)x x x x x -++-⨯-- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⨯-- =21x x +-， 当x=3时，原式=522331=-+． 考点：分式的化简求值．21．(1)补图见解析；（2）560；（3）116． 【解析】试题分析：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：2000××100%=560（人），则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人； （3）列表如下：所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A ”的情况有1种，则P=．考点：①条形统计图；②用样本估计总体；③列表法与树状图法． 22．（1）证明见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）根据矩形的对边相等可得AB=CD ，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE ，∠B=∠E ，然后求出AE=CD ，∠D=∠E ，再利用“角角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO ，解直角三角形求出CO ，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=CD ，∠B=∠D=90°，∵矩形ABCD 沿对角线AC 折叠点B 落在点E 处， ∴AB=AE ，∠B=∠E ， ∴AE=CD ，∠D=∠E ， 在△AOE 和△COD 中，{D EAOE COD AE CD∠=∠∠=∠=， ∴△AOE ≌△COD （AAS ）； （2）解：∵△AOE ≌△COD ， ∴AO=CO ，∵∠OCD=30°，∴CO=CD ÷cos30°，∴△AOC 的面积=12AO •CD=12×2 考点：翻折变换（折叠问题）23．(1) 购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；(2)240. 【解析】试题分析：（1）设购买甲种树苗x 棵，则购买乙种树苗（400﹣x ）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；（2）设至少应购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗（400﹣a ）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额建立不等式求出其解即可．试题解析: （1）设购买甲种树苗x 棵，则购买乙种树苗（400﹣x ）棵，由题意，得 200x+300（400﹣x ）=90000， 解得：x=300，∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设至少应购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗（400﹣a ）棵，由题意，得 200a ≥300（400﹣a ）， 解得：a ≥240．答：至少应购买甲种树苗240棵．考点：1.一元一次不等式的应用；2.二元一次方程组的应用． 24．（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接OD ，可以证得DE ⊥OD ，然后证明OD ∥AC 即可证明DE ⊥AC ； （2）利用△ADE ∽△CDE ，求出DE 与CE 的比值即可． 试题解析: （1）证明：连接OD ， ∵D 是BC 的中点，OA=OB ， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△ADE，∴，设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=．考点：切线的性质．25．（1）y=4x；（2）当k≠13时，“梦之点”的坐标为（131sk--，131sk--）；当k=13，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=13，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）t＞1716．【分析】（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=nx，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）假设函数y=3kx+s ﹣1（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”（x ，x ），则有x=3kx+s ﹣1，整理得（3k ﹣1）x=1﹣s ，再分三种情况进行讨论即可；（3）先将A （x 1，x 1），B （x 2，x 2）代入y=ax 2+bx+1，得到ax 12+（b ﹣1）x 1+1=0，ax 22+（b ﹣1）x 2+1=0，根据方程的解的定义可知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x 1+x 2=1b a-，x 1•x 2=1a ，则（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=22214b b a a-+-=4，整理得出b 2﹣2b=（2a+1）2﹣2，则t=b 2﹣2b+15748=（2a+1）2+6148．再由﹣2＜x 1＜2，|x 1﹣x 2|=2，得出﹣4＜x 2＜4，﹣8＜x 1•x 2＜8，即﹣8＜1a＜8，又a ＞0，解不等式组得出a ＞18，进而求出t 的取值范围． 【详解】解：（1）∵点P （2，m ）是“梦之点”， ∴m=2，∵点P （2，2）在反比例函数y=nx（n 为常数，n ≠0）的图象上， ∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4x； （2）假设函数y=3kx+s ﹣1（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”（x ，x ）， 则有x=3kx+s ﹣1，整理，得（3k ﹣1）x=1﹣s ，当3k ﹣1≠0，即k ≠13时，解得x=1s3k 1--；当3k ﹣1=0，1﹣s=0，即k=13，s=1时，x 有无穷多解；当3k ﹣1=0，1﹣s ≠0，即k=13，s ≠1时，x 无解；综上所述，当k ≠13时，“梦之点”的坐标为（1s 3k 1--，1s3k 1--）；当k=13，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=13，s ≠1时，不存在“梦之点”；（3）∵二次函数y=ax 2+bx+1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），∴x 1=ax 12+bx 1+1，x 2=ax 22+bx 2+1，∴ax 12+（b ﹣1）x 1+1=0，ax 22+（b ﹣1）x 2+1=0，∴x 1，x 2是一元二次方程ax 2+（b ﹣1）x+1=0的两个不等实根， ∴x 1+x 2=1b a-，x 1•x 2=1a ，∴（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=（1b a -）2﹣4×1a =22214b b aa-+-=4， ∴b 2﹣2b=4a 2+4a ﹣1=（2a+1）2﹣2， ∴t=b 2﹣2b+15748=（2a+1）2﹣2+15748=（2a+1）2+6148．∵﹣2＜x 1＜2，|x 1﹣x 2|=2， ∴﹣4＜x 2＜0或0＜x 2＜4， ∴﹣4＜x 2＜4， ∴﹣8＜x 1•x 2＜8， ∴﹣8＜1a＜8， ∵a ＞0， ∴a ＞18∴（2a+1）2+6148＞2516+6148=1716， ∴t ＞1716． 考点：二次函数综合题．26．（1）a=14，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P 的纵坐标为0或4﹣． 【分析】（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a ，b ，c 的值即可； （2）设P （x ，y ），表示出⊙P 的半径r ，进而与14x 2比较得出答案即可； （3）分别表示出AM ，AN 的长，进而分别利用当AM=AN 时，当AM=MN 时，当AN=MN 时，求出a 的值，进而得出圆心P 的纵坐标即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）116）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴116=a）2，解得：a=±14，∵图象开口向上，∴a=14，∴抛物线解析式为：y=14x2，故a=14，b=c=0；（2）设P（x，y），⊙P的半径，又∵y=14x2，则，化简得：14x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设P（a，14a2），∵作PH⊥MN于H，则又∵PH=14a2，则=2，故MN=4，∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴，，当AM=AN，解得：a=0，当AM=MN=4，解得：a=2±，则14a 2；当AN=MN =4，解得：a=﹣2±，则14a 2=4﹣；综上所述，P 的纵坐标为0或4﹣。
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2014年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题1．（3分）（2014年湖南湘潭）下列各数中是无理数的是（）A．B．﹣2 C．0D．考点：无理数．菁优网版权所有分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、正确；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是整数，是有理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．故选A．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）（2014年湖南湘潭）下列计算正确的是（）A．a+a2=a3B．2﹣1=C．2a•3a=6a D．2+=2考点：单项式乘单项式；实数的运算；合并同类项；负整数指数幂．菁优网版权所有专题：计算题．分析：A、原式不能合并，错误；B、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式不能合并，错误．解答：解：A、原式不能合并，故选项错误；B、原式=，故选项正确；C、原式=6a2，故选项错误；D、原式不能合并，故选项错误．故选B．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）（2014年湖南湘潭）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=（）米．A．7.5 B．15 C．22.5 D．30考点：三角形中位线定理．菁优网版权所有专题：应用题．分析：根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案．解答：解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=15米，∴AB=2DE=30米，故选D．点评：本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（3分）（2014年湖南湘潭）分式方程的解为（）A．1 B．2C．3D．4考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x+6，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．（3分）（2014年湖南湘潭）如图，所给三视图的几何体是（）A．球B．圆柱C．圆锥D．三棱锥考点：由三视图判断几何体．菁优网版权所有分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选C．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．6．（3分）（2014年湖南湘潭）式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1D．x≤1考点：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x 的取值范围．解答：解：根据题意，得x﹣1≥0，解得，x≥1．故选C．点评：此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（3分）（2014年湖南湘潭）以下四个命题正确的是（）A．任意三点可以确定一个圆B．菱形对角线相等C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．平行四边形的四条边相等考点：命题与定理．菁优网版权所有分析：利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个选项判断后即可确定答案．解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；C、正确；D、平行四边形的四条边不一定相等．故选C．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般．8．（3分）（2014年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A．3 B．4C．5D．6考点：反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有分析：欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．解答：解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．故选D．点评：本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．二、填空题9．（3分）（2014年湖南湘潭）﹣3的相反数是3．考点：相反数．菁优网版权所有分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．解答：解：﹣（﹣3）=3，故﹣3的相反数是3．故答案为：3．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．10．（3分）（2014年湖南湘潭）分解因式：ax﹣a=a（x﹣1）．考点：因式分解－提公因式法．菁优网版权所有分析：提公因式法的直接应用．观察原式ax﹣a，找到公因式a，提出即可得出答案．解答：解：ax﹣a=a（x﹣1）．点评：考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．要求灵活运用各种方法进行因式分解．该题是直接提公因式法的运用．11．（3分）（2014年湖南湘潭）未测试两种电子表的走时误差，做了如下统计平均数方差甲0.4 0.026乙0.4 0.137则这两种电子表走时稳定的是甲．考点：方差；算术平均数．菁优网版权所有分析：根据方差的意义判断，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，找出方差较小的即可．解答：解：∵甲的方差是0.026，乙的方差是0.137，0.026＜0.137，∴这两种电子表走时稳定的是甲；故答案为：甲．点评：本题考查方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．12．（3分）（2014年湖南湘潭）计算：（）2﹣|﹣2|=1．考点：实数的运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=3﹣2=1．故答案为：1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（3分）（2014年湖南湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足∠1=∠2，则a、b平行．考点：平行线的判定．菁优网版权所有专题：开放型．分析：根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时，a∥b．解答：解：∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等两直线平行），故答案为：∠1=∠2．点评：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．14．（3分）（2014年湖南湘潭）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，P A 切⊙O于A点，则P A=4．考点：切线的性质；勾股定理．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先根据切线的性质得到OA⊥P A，然后利用勾股定理计算P A的长．解答：解：∵P A切⊙O于A点，∴OA⊥P A，在Rt△OP A中，OP=5，OA=3，∴P A==4．故答案为4．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．15．（3分）（2014年湖南湘潭）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为2x+56=589﹣x．考点：由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有分析：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．列方程即可．解答：解：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，由题意得，2x+56=589﹣x．故答案为：2x+56=589﹣x．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，列出方程．16．（3分）（2014年湖南湘潭）如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．考点：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有分析：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第6行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是2014在哪一行．解答：解：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16；3n﹣2=2014解得n=672．因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．故答案为：16，672．点评：此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．三、综合解答题17．（2014年湖南湘潭）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．考点：作图－平移变换；关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有专题：作图题．分析：（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．解答：解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；（2）△A1O1B1如图所示；（3）A1的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．点评：本题考查了利用平移变换作图，关于y轴对称点的坐标，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．18．（2014年湖南湘潭）先化简，在求值：（+）÷，其中x=2．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=[+]•=•=，当x=2时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2014年湖南湘潭）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）考点：勾股定理的应用．菁优网版权所有分析：首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．解答：解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（米），答：直线L上距离D点566米的C处开挖．点评：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（2014年湖南湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，，∴△DEF≌△BCF（AAS）；（2）解：在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6，∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．21．（2014年湖南湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：A型B型价格（万元/台）12 10月污水处理能力（吨/月）200 160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．（1）该企业有几种购买方案？（2）哪种方案更省钱，说明理由．考点：一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有分析：（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．解答：解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据题意，得，解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5．∵x是整数，∴x=3或x=4．当x=3时，8﹣x=5；当x=4时，8﹣x=4．答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备；（2）当x=3时，购买资金为12×1+10×5=62（万元），当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）．因为88＞62，所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台．答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转化为求不等式组的整数解问题，通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组是解决这类问题的关键．22．（2014年湖南湘潭）有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B，游戏规定，转动两个转盘各一次，指向大的数字获胜．现由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？考点：列表法与树状图法．菁优网版权所有分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：选择A转盘．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，A大于B的有5种情况，A小于B的有4种情况，∴P（A大于B）=，P（A小于B）=，∴选择A转盘．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（2014年湖南湘潭）从全校1200名学生中随机选取一部分学生进行调查，调查情况：A、上网时间≤1小时；B、1小时＜上网时间≤4小时；C、4小时＜上网时间≤7小时；D、上网时间＞7小时．统计结果制成了如图统计图：（1）参加调查的学生有200人；（2）请将条形统计图补全；（3）请估计全校上网不超过7小时的学生人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有分析：（1）用A的人数除以所占的百分比求出总人数；（2）用总人数减去A、B、D的人数，再画出即可；（3）用总人数乘以全校上网不超过7小时的学生人数所占的百分比即可．解答：解：（1）参加调查的学生有20÷=200（人）；故答案为：200；（2）C的人数是：200﹣20﹣80﹣40=60（人），补图如下：（3）根据题意得：1200×=960（人），答：全校上网不超过7小时的学生人数是960人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（2014年湖南湘潭）已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；（2）直线经过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．考点：两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有分析：（1）根据L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，可得出k的值即可；（2）根据直线互相垂直，则k1•k2=﹣1，可得出过点A直线的k等于3，得出所求的解析式即可．解答：解：（1）∵L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，∴2k=﹣1，∴k=﹣；（2）∵过点A直线与y=x+3垂直，∴设过点A直线的直线解析式为y=3x+b，把A（2，3）代入得，b=﹣3，∴解析式为y=3x﹣3．点评：本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k值的乘积为﹣1．25．（2014年湖南湘潭）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m 为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有专题：综合题；探究型．分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=a．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．26．（2014年湖南湘潭）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC 解析式为y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求k；（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有分析：（1）由对称轴为x=﹣，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C 对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C 横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，∴﹣=2，0=0+0+c，∴b=4，c=0，∴y=﹣x2+4x．（2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，∵=，∴=，∴=，∵EB∥FC，∴==．∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，∴x=，或x=，∵x B＜x C，∴EB=x B=，FC=x C=，∴4•=，解得k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．∴k=﹣1．（3）∵∠BOC=90°，∴∠EOB+∠FOC=90°，∵∠EOB+∠EBO=90°，∴∠EBO=∠FOC，∵∠BEO=∠OFC=90°，∴△EBO∽△FOC，∴，∴EB•FC=EO•FO．∵x B=，x C=，且B、C过y=kx+4，∴y B=k•+4，y C=k•+4，∴EO=y B=k•+4，OF=﹣y C=﹣k•﹣4，∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），整理得16k=﹣20，∴k=﹣．点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．。