第七章 平行线的证明 检测题(含答案)
第七章 平行线的证明单元测试卷（含解析）
第七章平行线的证明单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列命题：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程=1.2中的分母化为整数，得=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AO平分∠BAC，AO⊥BC，DE⊥BC，GH⊥BC，垂足分别为O、E、H，且DO∥AC，∠B=43°，则图中角的度数为47°的角的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°4．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（）A．40°B．36°C．20°D．18°5．如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于（）A．10°B．15°C．5°D．7.5°6．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5，则DE等于（）A．7 B．6 C．5 D．47．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（）A．34°B．40°C．42°D．46°9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）10．已知，如图AB∥CD，∠1=∠2，EP⊥FP，则以下错误的是（）A．∠3=∠4 B．∠2+∠4=90°C．∠1与∠3互余D．∠1=∠3二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．用推理的方法判断为正确的命题叫做．12．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．第n次操作，分别作∠ABE n﹣1若∠E n=1度，那∠BEC等于度13．将一副直角三角尺如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°），点E在AC上，ED∥BC，则∠AEF的度数是．14．如图，∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D．探索∠A与∠F的数量关系为．15．说理解答题在空白处填上适当的内容（理由或数学式）解：在ABC中∠B+∠ACB+∠BAC=180°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣（等式的性质）=180°﹣36°﹣110°=∵AE是∠BAC的平分线（已知）∴∠CAE=∠BAC=17°∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）∴∠D=∵∠AC E是△ACD的外角（已知）∴∠ACE=∠CAD+∠D∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）=110°﹣90°═20°∴∠DAE=∠CAD+=20°+17°=．16．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC=，，则BB1=．17．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．18．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=α，则在玩跷跷板时，横板AB绕点O上下转动的最大角度为°．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）如图，∠ACD=2∠B，CE平分∠ACD，求证：CE∥AB．20．（8分）补全解题过程．如图，在△ABC中∠ABC平分线BP和外角平分线CP交于点P，试猜想∠A与∠P之间的关系，并说明理由．解：∠A=2∠P理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）∴∠ABC=∠1，∠ACD=2∠2 （）∵∠ACD为△ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠=∠A+2∠1（三角形外角的性质）即：2∠2=∠A+2∠1同理：∠2=∠P+∴∠A=2∠P．21．（8分）如图：在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，DM⊥AB且DE=BC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：ME=AB．22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R．（1）求证：PQ=BQ；（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当x为何值时，PR∥BC．23．（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°；（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=°，若∠1=40°，则∠3=°；（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n 平行，请说明理由．24．（10分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．25．（12分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=；若∠A=a°，则∠BEC=．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=；（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A 有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．参考答案与试题解析1．解：①错误，﹣1的平方是1；②正确；③错误，方程右应还为1.2；④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条直线了．故选：A．2．解：∵AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∠AOB=∠AOC=90°，∴∠B=∠C，∵DO∥AC，∴∠BOD=∠C，∴∠B=∠BOD，∴DB=DO，又∵DE⊥BO，∴ED平分∠BDO，∵∠B=43°，∴∠BDE=47°，∴∠BAO=∠EDO=∠AOD=∠CAO=∠CGH=47°，故选：A．3．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．4．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，∴∠ACD﹣∠ABC=36°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD=∠EBC+∠E，∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠ACD﹣∠ABC=18°．故选：D．5．解：∵AB∥CD，MP∥AB，∴AB∥CD∥MP，∵∠A=40°，∠D=30°，∴∠AMP=∠A=40°，∠DMP=∠D=30°，∴∠AMD=40°+30°=70°，∵MN平分∠AMD，∴∠AMN=∠AMD=×70°=35°，∴∠NMP=∠AMP﹣∠AMN=40°﹣35°=5°．故选：C．6．解：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB．又∵∠B，∠C的平分线相交于点O，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO．∴DB=DO，EC=EO，又∵BD+EC=5，DO+EO=DE，∴DE=5．故选：C．7．解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK ﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选：B．8．解：设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，解得：①+②：3x+3y=138°，∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，故选：C．9．解：2∠A=∠1+∠2，理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2．故选：B．10．解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠3=∠HPF，∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，∠HPF+∠EPH=90°，∴∠3=∠4，故A正确；∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，故B正确；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∠1与∠3互余，故C正确；故选：D．11．解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．12．解：如图①，过E作EF∥AB，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…以此类推，∠E n=∠BEC．∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．故答案为：2n ．13．解：∵ED∥BC，∴∠DEC=∠C=30°，∴∠FEC=15°，∴∠AEF=180°﹣15°=165°，故答案为：165°．14．解：∵∠1=52°，∠2=128°，∴∠1+∠2=180°，∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．15．解：在ABC中，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°（三角形内角和定理）∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠BCA（等式的性质）=180°﹣36°﹣110°=34°∵AE是∠BAC的平分线（已知）∴∠CAE=∠BAC=17°∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）∴∠D=90°，∵∠AC E是△ACD的外角（已知）∴∠ACE=∠CAD+∠D（三角形外角的性质）∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）=110°﹣90°=20°∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=20°+17°=37°．故答案为：三角形内角和定理；∠BAC；34°；；90°；三角形外角的性质；∠CAE；37°．16．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴平移后∠PB1C=∠CB=45°，∴△PB1C是等腰直角三角形，∴S=B1C•（B1C）=2，△PB1C解得B1C=2，∴BB1=BC﹣B1C=3﹣2=．故答案为：．17．解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB=48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°18．解：如图所示，作DE∥AC，则有∠1=∠A=α，则上下最大可以转动的角度为2α．故答案为：2α．19．证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠DCE，∵∠ACD=2∠B，∴∠DCE=∠B，∴AB∥CE．20．解：∠A=2∠P理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2 （角平分线的定义）∵∠ACD为△ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠1（三角形外角的性质）即：2∠2=∠A+2∠1，∴∠A=2∠P．故答案为：2，角平分线的定义，ABC，∠1．21．证明：∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，∵DM⊥AB，∴∠MDE=90°，∴∠MDE=∠C=90°，在△ABC和△MED中，，∴△ABC≌△MED（ASA），∴ME=AB．22．（1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1∴∠B=∠C=45°又∵PQ⊥BQ∴∠BPQ=45°∴△BPQ是等腰三角形∴PQ=BQ．（2）解：在等腰直角△BPQ中，∵BP=x∴BQ=在Rt△ABC中，BC==在等腰直角三角形CQR中，CR=y∴CQ=y∵CQ=BC﹣BQ即y=﹣所以y=﹣x+1．又∵△BPQ为等腰三角形，∴PQ=∵PR∥BC∴∠PRQ=∠RQC=45°∴PR=∠A=∠A，∠APR=∠B，∠ARP=∠C∴△APR∽△ABC∴即解得：x=．23．解：（1）100°，90°．∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠6，根据邻补角的定义可得∠7=180°﹣∠1﹣∠4=80°，根据m∥n，所以∠2=180°﹣∠7=100°，所以∠5=∠6=（180°﹣100°）÷2=40°，根据三角形内角和为180°，所以∠3=180°﹣∠4﹣∠5=90°；（2）90°，90°．由（1）可得∠3的度数都是90°；（3）90°（2分）理由：因为∠3=90°，所以∠4+∠5=90°，=360°﹣2∠4﹣2∠5，=360°﹣2（∠4+∠5），=180°．由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．24．解：∠AED=∠ACB．理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．∴∠2=∠4．∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．∵∠3=∠B（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．25．解：∵∠A=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣82°=98°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×98°=49°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣49°=131°；由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=90°﹣a°，故答案为：131°，90°+a°；探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=120°﹣a°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣a°）=60°+a°；故答案为：60°+a°；（2）∠BOC=∠A．理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），∴∠A=2∠BOC，∴∠BOC=∠A；（3）∠BOC=90°﹣∠A．理由如下：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。
(典型题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测题(含答案解析)
一、选择题1．下列命题是真命题的个数为（ ）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A ．2B ．3C ．4D ．52．下列语句正确的有（ ）个．①“对顶角相等”的逆命题是真命题．②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．③立方根等于它本身的数是非负数．④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒．⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是9cm 或12cm ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．一个三角形的三个内角中（ ）A ．至少有一个等于90°B ．至少有一个大于90°C ．不可能有两个大于89°D ．不可能都小于60°4．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等5．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（ ）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23°6．在下列条件中：①A C B ∠=∠-∠，②::2:3:5A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④90B C ∠-∠=︒中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A -∠B =∠CB ．∠A ：∠B ：∠C =3：4：7 C ．∠A =2∠B =3∠CD ．∠A =9°，∠B =81°8．如图，O 是直线AB 上一点，OE 平分∠BOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝110°，添加一个条件，仍不能判定AB ∥CD ，添加的条件可能是（ ）A ．∠BOE ＝55°B ．∠DOF ＝35°C ．∠BOE +∠AOF ＝90°D ．∠AOF ＝35°9．如图，已知四边形ABCD 中，98B ∠=︒,62D ∠=︒,点E 、F 分别在边BC 、CD 上.将CEF △沿EF 翻折得到GEF △，若GE AB ∥，GF AD ∥，则C ∠的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒10．如图，现给出下列条件：①1B ∠=∠，②25∠=∠，③34∠=∠，④180BCD D ︒∠+∠=．⑤180B BCD ︒∠+∠=，其中能够得到//AB CD 的条件有（ ）A ．①②④B ．①③⑤C ．①②⑤D ．①②④⑤ 11．如图，给出下列条件中的一个：①12∠=∠；②180D BAD ∠+∠=︒；③34∠=∠；④BCE D ∠=∠．则一定能判定//AD BC 的条件是（ ）A ．①②④正确B ．①③正确C ．②③④正确D ．①④正确 12．下列说法正确的是（ ）A ．无限小数都是无理数B ．有最小的正整数，没有最小的整数C ．a ，b ，c 是直线，若 a ⊥b ，b ⊥c ，则 a ⊥cD ．内错角相等二、填空题13．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 14．如图，已知12∠=∠，求证：A BCH ∠=∠．证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（______）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （______）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（______）15．如图，A α∠=，,ABC ACD ∠∠的平分线相交于点1P ，11,PBC PCD ∠∠的平分线相交于点2P ，2P BC ∠，2P CD ∠的平分线相交于点3P ……以此类推，则n P ∠的度数是___________（用含n 与α的代数式表示）．16．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，3C ∠∠＝，试说明：12∠∠＝．请将以下不完整的推理过程补充完整：解：因为AD BC ⊥，EF BC ⊥，所以90ADC EFC ∠∠︒＝＝，根据“同位角相等，两直线平行”，所以//AD EF ，根据“ ”，所以1CAD ∠∠＝．因为3C ∠∠＝，根据“ ”，所以//DG ，根据“ ”，所以2CAD ∠∠＝．所以12∠∠＝．17．如图，AE 平分,BAC BE AE ∠⊥于,//E ED AC ，,BAC a ∠=则BED ∠的度数为________________．(用含α的式子表示)18．如图，AB ∥CD ，EF 交AB 、CD 于点G 、H ，GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，GM 、HM 交于点M ，则∠GMH ＝_________．19．命题“若11a b=，则a b =”，这个命题是_____命题．（填“真”或“假”） 20．在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE =___．三、解答题21．如图，178∠=︒，2102∠=︒，C D ∠=∠．求证：//AC DF ．22．如图，ABC 中，D 为BC 上一点，C BAD ∠=∠，ABC 的角平分线BE 交AD 于点F ．（1）求证：AEF AFE ∠=∠；（2）G 为BC 上一点，当FE 平分AFG ∠且30C ∠=︒时，求CGF ∠的度数． 23．已知，如图，ADE B ∠=∠，12∠=∠，GF AB ⊥．求证：CD AB ⊥；下面是证明过，请你将它补充完整证明：∵ADE B ∠=∠∴ // （ ）∴13∠=∠又∵12∠=∠∴23∠∠=∴ // （ ）∴FGB ∠=∵FG AB ⊥∴FGB ∠=∴CDB ∠=∴CD AB ⊥24．如图，12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，求证：//CE BF ．25．在数学课上，学习了角平分线后，王老师给同学们出了如下题目：已知直线MN ⊥直线PQ ，垂足为O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图①，AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，点A 、B 在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求AEB ∠的大小．王老师又让各小组经过认真思考后，改编题目中的条件，提出问题，并解答．以下是两个小组提出的问题，请同学们继续解答．（2）创新小组：如图②，点F 是BAP ∠和ABM ∠的角平分线的交点，点A 、B 在运动过程中，F ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由．并求出F ∠的大小．（3）探索小组：如图③，点F 是平面内一点，连接AF 、BF ，将F ∠沿直线CD 翻折后与E ∠重合，已知AB 与CD 不平行，问E ∠、BCE ∠，ADE ∠存在怎样的数量关系（直接写出结论，不必证明）．26．如图，AB DB =，ABD ACD ∠=∠，AC 与BD 交于点F ，点E 在线段AF 上，AE DC =，6DBE ∠=︒，108BCD ∠=︒．（1）求证：BCD BEA ≅△△；（2）求AFD ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．【详解】解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，∴①错误；∵三角形的内角和是180°，∴②正确；∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；∴真命题为②③⑤，故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题是真命题还是假命题是解题关键．2．D解析：D【分析】先写出逆命题，进而即可判断；根据补角的性质，即可判断②；根据立方根的性质，即可判断③；根据反证法的定义，即可判断④根据等腰三角形的定义和三角形三边长关系，即可判断⑤．【详解】①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故该小题错误； ②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，故该小题错误；③立方根等于它本身的数是0，±1，故该小题错误；④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒，故该小题正确；⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是12cm ，故该小题错误． 故选D ．【点睛】本题主要考查补角的性质，真假命题，反证法以及等腰三角形的定义，掌握反证法的定义，等腰三角形的定义是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．【详解】A、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；B、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；︒︒︒，此项错误；C、反例：一个三角形的三个内角分别为89.5,89.5,1D、因为三角形的内角和等于180︒，所以不可能都小于60︒，此项正确；故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．4．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．C解析：C【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE，只要求出∠DAC，∠CAE即可．【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=31°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．6．C解析：C【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C=2：3：5，设∠A=2x，则2x+3x+5x=180，x=18°，∠C=18°×5=90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠B﹣∠C=90°，则∠B=90°+∠C，所以三角形为钝角三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；理解三角形内若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．7．C解析：C【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否大于90°，进而得出结论．【详解】解：A．∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠B+∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；B．∵∠A：∠B：∠C=3：4：7，∴∠C=180°×714=90°，∴该三角形是直角三角形；C．∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠A=180°×611＞90°，∴该三角形是钝角三角形；D．∵∠A=9°，∠B=81°，∴∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算．8．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理判断即可．【详解】解：∵OE 平分∠BOD ，∠BOE=55°，∴∠BOD=2∠BOE=110°，∵∠D=110°，∴∠BOD=∠D ，∴CD ∥AB ，故A 不符合题意；∵OF ⊥OE ，∴∠FOE=90°，∠DOF=35°，∴∠DOE=55°，∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOB=2∠DOE=110°，∵∠D=110°，∴∠DOB=∠D ，∴AB ∥CD ，故B 不符合题意；∵∠BOE+∠AOF=90°，∴∠EOF=90°，但不能判断AB ∥CD ，故C 符合题意；∵OF ⊥OE ，∴∠FOE=90°，∠AOF=35°，∴∠BOE=55°，∵OE 平分∠BOD ，∴∠DOB=2∠BOE=110°，∵∠D=110°，∴∠DOB=∠D ，∴AB ∥CD ，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论．9．C解析：C【分析】已知GE AB ∥，GF AD ∥，98B ∠=︒,62D ∠=︒,根据平行线的性质可得98B GEC ∠=∠=︒,62D GFC ∠=∠=︒；因CEF △沿EF 翻折得到GEF △，由折叠的性质可得1492GEF CEF GEC ∠=∠=∠=︒,1312GFE CFE GFC ∠=∠=∠=︒；在△EFC 中，由三角形的内角和定理即可求得∠C=00°.【详解】∵GE AB ∥，GF AD ∥，98B ∠=︒,62D ∠=︒,∴98B GEC ∠=∠=︒,62D GFC ∠=∠=︒,∵CEF △沿EF 翻折得到GEF △， ∴1492GEF CEF GEC ∠=∠=∠=︒,1312GFE CFE GFC ∠=∠=∠=︒, 在△EFC 中，由三角形的内角和定理可得，∠C=180°-∠FEC-∠CFE=180°-49°-31°=100°.故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质及三角形的内角和定理，熟练运用相关知识是解决问题的关键.10．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】①∵∠1=∠B ，∴AB ∥CD ，故本小题正确；②∵∠2=∠5，∴AB ∥CD ，故本小题正确；③∵∠3=∠4，∴AD ∥BC ，故本小题错误；④∵∠BCD+∠D=180°，∴AD ∥CB ，故本小题错误；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB ∥CD ，故本小题正确．综上，正确的有①②⑤．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．11．D解析：D【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．【详解】解：①∵∠1=∠2，∴BC ∥AD ，本选项符合题意；②∵∠B+∠BAD=180°，∴AB ∥CD ，本选项不符合题意；③∵∠3=∠4，∴AB∥CD，本选项不符合题意；（4）∵∠BCE=∠D，∴AD∥BC，本选项符合题意．一定能判定AD∥BC条件是①④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．12．B解析：B【分析】A、根据无理数的定义即可判定；B、根据整数的定义可以判断；C、根据在同一平面内，垂直同一直线的两直线互相平行可判断；D、根据平行线的性质可以判断．【详解】解：A、无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，无限不循环小数才是无理数，故选项错误；B、有最小的正整数是1，没有最小的整数，故选项正确；C、在同一平面内，a，b，c 是直线，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c，故选项错误；D、两直线平行，内错角相等，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查数、直线、角的若干基本概念，深刻理解有关基本概念是解题关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．真【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换找到原命题的题设为等边三角形结论为每个内角都是60°互换即可判断命题是真是假；【详解】∵原命题为：等边三角形的每个内角都是60°∴逆命题为：三个内角都是60解析：真【分析】逆命题就是原命题的假设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为每个内角都是60°，互换即可判断命题是真是假；【详解】∵原命题为：等边三角形的每个内角都是60°，∴逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形∴ 逆命题为真命题；故答案为：真．【点睛】本题考查了命题的真假，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键；14．对顶角相等AG 两直线平行同位角相等【分析】根据对顶角的定义可得再根据平行线的判定可得CH//AG 最后由两直线平行同位角相等即可证明【详解】解：证明：∵（已知）（对顶角相等）∴（等量代换）∴（AG ）（解析：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【分析】根据对顶角的定义可得23∠∠=，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．【详解】解：证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（对顶角相等）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （AG ）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故答案为：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【点睛】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质和判定定理等知识，灵活应用平行线的性质和判定定理是解答本题的关键．15．【分析】由∠P1CD ＝∠P1＋∠P1BC ∠ACD ＝∠ABC ＋∠A 而P1BP1C 分别平分∠ABC 和∠ACD 得到∠ACD ＝2∠P1CD ∠ABC ＝2∠P1BC 于是有∠A ＝2∠P1同理可得∠P1＝2∠P2即 解析：12n α⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由∠P 1CD ＝∠P 1＋∠P1BC ，∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，而P 1B 、P 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，得到∠ACD ＝2∠P 1CD ，∠ABC ＝2∠P 1BC ，于是有∠A ＝2∠P 1，同理可得∠P 1＝2∠P 2，即∠A ＝22∠P 2，因此找出规律．【详解】∵P 1B 、P 1C 分别平分∠ABC 和∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠P 1CD ，∠ABC ＝2∠P 1BC ，而∠P 1CD ＝∠P 1＋∠P 1BC ，∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∴∠A ＝2∠P 1，∴∠P 1＝12∠A ， 同理可得∠P 1＝2∠P 2，即∠A ＝22∠P 2，∴∠A ＝2n ∠P n ，∴∠P n ＝12n α⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：12nα⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中． 16．两直线平行同位角相等；同位角相等两直线平行；AC ；两直线平行内错角相等【分析】根据平行线的判定和性质解题【详解】解：因为AD ⊥BCEF ⊥BC 所以∠ADC ＝∠EFC ＝90°根据同位角相等两直线平行所以解析：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；AC ；两直线平行，内错角相等.【分析】根据平行线的判定和性质解题．【详解】解：因为AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，所以∠ADC ＝∠EFC ＝90°，根据“同位角相等，两直线平行”，所以AD//EF ，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1＝∠CAD ．因为∠3＝∠C ，根据“同位角相等，两直线平行”，所以DG//AC ，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠2＝∠CAD ．所以∠1＝∠2．故答案为：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；AC ；两直线平行，内错角相等.【点睛】本题考查平行线的判定和性质，根据题目已知条件灵活运用平行线的判定和性质求解是解题关键．17．【分析】由ED//AC 可以得到所以由三角形内角和定理可以得到的值再次利用三角形内角和定理就可以得到的度数【详解】解：由已知得：又ED//AC ∴∴∴∠BED=故答案为【点睛】本题考查三角形内角和定理和 解析：1902a + 【分析】由ED//AC 可以得到EDB C ∠=∠，所以由三角形内角和定理可以得到EDB EBD ∠+∠的值，再次利用三角形内角和定理就可以得到BED ∠的度数．【详解】 解：由已知得：1909022a ABE BAC ∠=︒-∠=︒-， 又ED//AC ，∴EDB C ∠=∠， ∴180180909022a a EDB EBD BAC ABE a ⎛⎫∠+∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒- ⎪⎝⎭ ∴∠BED=180909022a a ⎛⎫︒-︒-=︒+ ⎪⎝⎭ 故答案为902a ︒+． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的综合应用，灵活运用三角形内角和定理是解题关键． 18．90°【分析】由平行线性质可得到再由角平分线定义可得到【详解】解：∵AB ∥CD ∴∠BGH+∠GHD=180（两直线平行同旁内角互补）又GMHM 分别平分∠BGH ∠GHD ∴∠MGH+∠GHM=90（角平解析：90°【分析】由平行线性质可得到180BGH GHD ∠+∠=︒，再由角平分线定义可得到90GMH ∠=︒．【详解】解：∵AB ∥CD∴∠BGH+∠GHD=180︒（两直线平行，同旁内角互补）又GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，∴∠MGH+∠GHM=90︒（角平分线的定义）∴ ∠GMH=180︒-（∠MGH+∠GHM ）=180︒-90︒=90︒（三角形内角和定理）． 故答案为 90°．【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线及平行线的综合应用，熟练掌握有关性质、定义和定理是解题关键．19．真【分析】根据题意判断正误即可确定是真假命题【详解】解：命题若则a=b 这个命题是真命题故答案为：真【点睛】本题考查了命题与定理的知识解题的关键是当判断一个命题为假命题时可以举出反例难度不大解析：真【分析】根据题意判断正误即可确定是真、假命题．【详解】解：命题“若11a b=，则a=b”，这个命题是真命题， 故答案为：真．【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是当判断一个命题为假命题时可以举出反例，难度不大．20．5【分析】设∠BCE=4x ∠CBF=5x 设∠ADE=∠EDC=y 构建方程组求出xy 证明∠CFB=90°再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题【详解】解：∵∴可以假设∠BCE=4x 则∠CBF=5x解析：5【分析】设∠BCE=4x ，∠CBF=5x ，设∠ADE=∠EDC=y ，构建方程组求出x ，y ，证明∠CFB=90°，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【详解】解：∵54CBF BCE ∠=∠， ∴可以假设∠BCE=4x ，则∠CBF=5x ，∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠DCB ，∴∠ADE=∠EDC ，∠ECD=∠ECB=4x ，设∠ADE=∠EDC=y ，∵AD ∥BF ，∴∠A+∠ABF=180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°，∴2y+13x=180°①，∵∠DEC=115°，∴∠EDC+∠ECD=65°，即y+4x=65° ②，联立①②解得x=10°，y=25°，∴∠BCF=40°，∠CBF=50°，∴∠CFB=90°，∴BF ⊥EC ，∴CE=2BF ，设BF=m ，则CE=2m ，12524∆=⨯⨯=BCE S EC BF ， ∴125224⨯⨯=m m ， 解得52m =(负值舍去)， ∴CE=2m =5，故答案为5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组组解决问题．三、解答题21．证明见解析【分析】先根据已给的角度判断BD//CE ，从而可得∠ABD=∠C ，再根据等量代换可得∠ABD=∠D ，从而可证//AC DF ．【详解】证明：∵178∠=︒，2102∠=︒，∴∠1+∠2=78°+102°=180°，∴BD//CE ，∴∠ABD=∠C ，∵C D ∠=∠，∴∠ABD=∠D ，∴//AC DF ．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质和判定定理，并能正确识别同位角、同旁内角是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）150°．【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE=∠CBE ，再根据三角形的外角性质得∠AEF=∠AFE ；（2）由角平分线定义得∠AFE=∠GFE ，进而得∠AEF=∠GFE ，由平行线的判定得FG ∥AC ，再根据平行线的性质求得结果．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠∠=∠C BAD∴∠+∠=∠+∠ABF BAD CBE CAFE ABF BAD ∠=∠+∠，AEF CBE C ∠=∠+∠AEF AFE ∴∠=∠（2）FE 平分AFG ∠，∴∠=∠AFE GFE∵AEF AFE ∠=∠∴∠=∠AEF GFE//∴AC GF180∴∠+∠=︒C FGC30C ∠=︒180150∴∠=︒-∠=︒CGF C ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题．23．DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90【分析】根据平行线、垂线的性质分析，即可将证明过程补充完整．【详解】证明：∵ADE B ∠=∠∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴13∠=∠（两直线平行 ，内错角相等）又∵12∠=∠∴23∠∠=∴//GF CD （同位角相等，两直线平行）∴FGB CDB ∠=∠∵FG AB ⊥∴ 90FGB ∠=∴90CDB =∠∴CD AB ⊥故答案为：DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90．【点睛】本题考查了平行线、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理，从而完成求解．24．见解析【分析】根据平行线的判定得出//BC DF ，再根据平行线的性质定理即可得到结论．【详解】证明：∵34∠=∠，∴//BC DF ，∴236180∠+∠+∠=︒，∵56∠=∠，12∠=∠，∴135180∠+∠+∠=︒，∴//CE BF ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 25．（1）AEB ∠的大小不变，理由见解析；135AEB ∠=︒；（2）AFB ∠的大小不变，理由见解析；45F ∠=︒；（3）2ADE BCE E ∠+∠=∠．【分析】（1）根据三角形内角和定理结合角平分线性质解题；（2）由邻补角的定义结合三角形内角和定理解得270BAP ABM ∠+∠=︒，由角平分线的性质得到12EAB OAB ∠=∠，12EBA OBA ∠=∠，据此整理解题； （3）由翻折的性质，得到F E ∠=∠，FDC EDC ∠=∠，FCD ECD ∠=∠，再由三角形内角和定理结合角的和差解题即可.【详解】解：（1）结论：AEB ∠的大小不变，理由：∵90AOB ∠=︒，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线， ∴12EAB OAB ∠=∠，12EBA OBA ∠=∠， ∴1()452EAB EBA OAB OBA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴18045135AEB ∠=︒-︒=︒．（2）结论：AFB ∠的大小不变，理由：∵90AOB ∠=︒，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∴270BAP ABM ∠+∠=︒，∵AF 、BF 分别是BAP ∠和ABM ∠的平分线， ∴12FAB PAB ∠=∠，12FBA MBA ∠=∠， ∴1()1352FAB FBA PAB MBA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴180()18013545F FAB FBA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒； （3）2ADE BCE E ∠+∠=∠，理由如下：∵将F ∠沿直线CD 翻折后与E ∠重合，∴F E ∠=∠，FDC EDC ∠=∠，FCD ECD ∠=∠，∵180E ECD EDC ∠+∠+∠=︒，∴180ECD EDC E ∠+∠=︒-∠，又∵1802ADE EDC ∠=︒-∠，1802BCE ECD ∠=︒-∠，∴3602()ADE BCE ECD EDC ∠+∠=︒-∠+∠()36021802E E =︒-︒-∠=∠．【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.26．（1）见解析；（2）78︒【分析】（1）根据ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠得出D A ∠=∠，然后利用SAS 即可证明三角形全等；（2）由（1）可知BCD BEA ∆≅∆，由题意知108BCD ∠=︒，即可得出 BEF ∠的度数，然后由AFD BEF DBE ∠=∠+∠求值即可；【详解】解：（1）证明：ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠，D A ∴∠=∠．在BCD ∆和BEA ∆中，CD EA D A BD BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCD BEA SAS ∴∆≅∆．（2）BCD BEA ∆≅∆，108BCD ∠=︒，108BEA BCD ∴∠=∠=︒，18010872BEF ∴∠=︒-=︒．6DBE ∠=︒，72678AFD BEF DBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的内角和，正确理解知识点是解题的关键；。
北师大版八年级上册数学第七章 平行线的证明含答案
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于( )A.360°B.720°C.540°D.240°2、将—副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )。
A.60°B.65°C.75°D.85°3、△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝（）A.36°B.45°C.60°D.90°4、如图，△ABC绕点A旋转得到△ADE，∠B=28°，∠E=95°，∠EAB=20°，则∠BAD的度数为（）A.75°B.57°C.55°D.77°5、如图,在等腰△ABC中,AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论:①∠APO-∠OBD=30° ;②△BPO是正三角形;③AB-AP=AO;④，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（）A. B. C. D.7、有下列两个命题：①若两个角是对顶角，则这两个角相等；②若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形。
说法正确的是（）。
A.命题①、②都正确B.命题①正确，命题②不正确C.命题①不正确，命题②正确D.命题①、②都不正确8、如图，四边形的外接圆为⊙O，，，，则的度数为（）A. B. C. D.9、如图，△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=80°，∠C=70°，则∠F=（）A.30°B.80°C.70°D.60°10、如图，是的平分线，是的平分线，与交于点．若，，则的度数为（）A. B. C. D.11、如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数是（）.A.105°B.110°C.115°D.120°12、如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE．则∠CDE＝（）A.10°B.20°C.30°D.40°13、如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是( )A.∠B=48°B.∠AED=66°C.∠A=84°D.∠B+∠C=96°14、如图，在△ABC中，将△ABC在平面内绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，连结CC′，使CC′∥AB．若∠CAB=65°，则旋转的角度为（）A.65°B.50°C.40°D.35°15、下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞na2；②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；③如果△ABC的三个内角满足∠A=∠C﹣∠B，那么△ABC一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A.1个B.2个C.3个D.4 个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF=15°，则∠COF=________°．17、如图，△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且BC=BD，若∠CBD=44°，则∠A=________°.18、把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C分别在M，N的位置上，若∠EFG=56°，则∠1=________，∠2=________．19、如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72º，则∠2=________；20、如图，已知△OAB≌△OCD，∠A＝30°，∠AOB＝105°，则∠D＝________°.21、如图所示，，若，，则________．22、已知数组：，，，…记第一个数为a1，第二个数为a2，第n个数为a n，若a n是方程＝1的解，则n等于________．23、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为________°．24、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角的度数分别________.25、如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：数的积（－5）＝－60三个角上三个数的和1＋（－1）＋2＝2（－3）＋（－4）+（－5）＝－12积与和的商－2÷2＝－1（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.27、如图，已知，，试说明的理由.28、如图所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度数．29、如图，已知直角△ABC中，∠BAC=90°，∠B=56°，AD⊥BC，DE∥CA．求∠ADE的度数．30、如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是高，AE是角平分线，求∠EAD的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、C4、D5、C6、A7、A8、C9、C10、B11、B12、B13、B14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。
(典型题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若270，则1∠的大小是（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．40︒2．下列说法正确的有（ ）①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③假命题没有逆命题；④真命题的逆命题是真命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒， AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是ACB ∠的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（ ） ①ABE △的面积是ABC 的面积的一半；②BH CH =；③AF AG =；④FAG FCB ∠=∠．A ．①②③④B ．①②C ．①③D ．①④ 4．下列命题中，真命题的是（ ） A ．同旁内角互补，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．同位角相等D ．直角三角形两个锐角互补5．如图，在ABC 中，100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，将ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．55° 6．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A ．∠A -∠B =∠CB ．∠A ：∠B ：∠C =3：4：7 C ．∠A =2∠B =3∠CD ．∠A =9°，∠B =81°7．下列各命题中，属于假命题的是（ ）A ．若0a b -＞，则a b ＞B ．若0a b -=，则0ab ≥C ．若0a b -＜，则a b ＜D ．若0a b -≠，则0ab ≠8．如图，已知四边形ABCD 中，98B ∠=︒,62D ∠=︒,点E 、F 分别在边BC 、CD 上.将CEF △沿EF 翻折得到GEF △，若GE AB ∥，GF AD ∥，则C ∠的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒9．下列六个命题：①有理数与数轴上的点一一对应；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中假命题的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．如图，能判定AD ∥BC 的条件是（ ）A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠3C ．∠1＝∠4D ．∠3＝∠4 11．如图，现给出下列条件：①1B ∠=∠，②25∠=∠，③34∠=∠，④180BCD D ︒∠+∠=．⑤180B BCD ︒∠+∠=，其中能够得到//AB CD 的条件有（ ）A ．①②④B ．①③⑤C ．①②⑤D ．①②④⑤ 12．在ABC 中，若+,A B C ∠=∠∠那么这个三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 二、填空题13．如图所示，在ABC 中，80A ∠=︒，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点，依此类推，4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的度数是_________．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，将点D 分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ，根据图中标示的角度，可求得∠EAF 的度数为___________．15．如图，△ABC 中,∠B=60°，∠C=80°，点D,E 分别在线段AB ，BC 上， 将△BDE 沿直线DE 翻折，使B 落在B′ 处, B′ D, B′E 分别交AC 于F,G. 若∠ADF=70°，则∠CGE 的度数为______.16．如图，下列能判定//AB CD 的条件有_______个．①180B BAD ∠+∠=°；②12∠=∠；③34∠=∠；④5BAD ∠=∠．17．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设：_____________________________．18．如图，12∠=∠，4120︒∠=，则3∠=____．19．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠O＝120°，则∠A＝_____．20．如图，C是线段AB上一点，∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，AO平分∠DAC，BO平分∠EBC．若∠DCE＝40°，则∠O＝______°．三、解答题21．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．22．如图，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=310°，CF 平分∠DCB ，FC 的延长线与五边形ABCDE 外角平分线相交于点P ，求∠P 的度数23．如图所示，已知，A F ∠=∠，C D ∠=∠．（1）求证： //BD CE ；（2）已知:2:3ABD DEC ∠∠=，求DEC ∠的度数．24．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 延长线上的点，连接EF ，分别交AD 、BC 于点G 、H ．若12∠=∠，A C ∠=∠，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．补全解答过程．猜想：AB 与CD 的位置关系是 ① ．证明：∵12∠=∠（已知），1AGH ∠=∠（②），∴2AGH ∠=∠（③）． ∴ ④ （同位角相等，两直线平行）．∴ADE C ∠=∠（⑤），∵A C ∠=∠（已知），∴ ⑥ （等量代换）．∴ ⑦ （⑧）．25．如图，已知直线//AB CD ，100A C ∠=∠=︒，E 、F 在CD 上，且满足DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠．（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．（2）求DBE ∠的度数．（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，存在使BEC ADB ∠=∠的情况，求ADB ∠的度数．26．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ＝DE ，FB ＝CE ，AB ∥ED ．求证：AC ∥FD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图：由题意得：∠4＝180°−90°−30°＝60°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠1＝180°−∠3-∠4=180°−70°−60°＝50°.故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．A解析：A【分析】根据逆定理的定义，某一定理的条件和结论互换所得命题是真命题是这个定理的逆定理可以判断①，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，可判断②，利用命题分类分为真命题与假命题都是命题，都有逆命题，可判断③，真命题是正确的命题，真命题的逆命题有真假命题之分，可判断④即可．【详解】解：①每个定理都有逆命题，看根据逆命题的条件能否推出正确的结论，能推出，由逆定理，不能推出，没有逆定理，故①不正确；②每个命题都有逆命题；故②正确；③假命题也是命题，命题都有逆命题，故③不正确；④真命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，根据条件能否推出正确的结论有关，能推出，由是真命题，不能推出，是假命题，故④不正确．正确的说法只有一个②．故选择：A．【点睛】本题考查命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理，掌握命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理的定义，以及它们的区别是解题关键．3．C解析：C【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB ，再判断④即可．【详解】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE=CE 12=AC ， ∵△ABE 的面积12=×AE×AB ，△ABC 的面积12=×AC×AB ， ∴△ABE 的面积等于△ABC 的面积的一半，故①正确；根据已知不能推出∠HBC=∠HCB ，即不能推出HB=HC ，故②错误；∵在△ACF 和△DGC 中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB ，∴∠AFG=90°-∠ACF ，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB ，∴∠AFG=∠AGF ，∴AF=AG ，故③正确；∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∴∠FAG=∠ACB ，∵CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACF=∠FCB ，∠ACB=2∠FCB ，∴∠FAG=2∠FCB ，故④错误；即正确的为①③，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．4．A解析：A【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；B 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；C 、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；D 、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．5．C解析：C【分析】先求出60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，得出ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒．【详解】∵100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，∴60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，∴ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．C解析：C【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否大于90°，进而得出结论．【详解】解：A ．∵∠A-∠B=∠C ，∴∠A=∠B+∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；B ．∵∠A ：∠B ：∠C=3：4：7，∴∠C=180°×714=90°，∴该三角形是直角三角形； C ．∵∠A=2∠B=3∠C ，∴∠A=180°×611＞90°，∴该三角形是钝角三角形； D ．∵∠A=9°，∠B=81°，∴∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算． 7．D解析：D【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】A 、正确，符合不等式的性质；B 、正确，符合不等式的性质．C 、正确，符合不等式的性质；D 、错误，例如a=2，b=0；故选D ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．8．C解析：C【分析】已知GE AB ∥，GF AD ∥，98B ∠=︒,62D ∠=︒,根据平行线的性质可得98B GEC ∠=∠=︒,62D GFC ∠=∠=︒；因CEF △沿EF 翻折得到GEF △，由折叠的性质可得1492GEF CEF GEC ∠=∠=∠=︒,1312GFE CFE GFC ∠=∠=∠=︒；在△EFC 中，由三角形的内角和定理即可求得∠C=00°.【详解】∵GE AB ∥，GF AD ∥，98B ∠=︒,62D ∠=︒,∴98B GEC ∠=∠=︒,62D GFC ∠=∠=︒,∵CEF △沿EF 翻折得到GEF △， ∴1492GEF CEF GEC ∠=∠=∠=︒,1312GFE CFE GFC ∠=∠=∠=︒, 在△EFC 中，由三角形的内角和定理可得，∠C=180°-∠FEC-∠CFE=180°-49°-31°=100°.故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质及三角形的内角和定理，熟练运用相关知识是解决问题的关键.9．C解析：C【分析】分别根据有理数、平行线的判定与性质以点到直线的距离分别判断得出即可．【详解】①实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题；②两条平行线线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；⑤垂直于同一平面内的同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题；故选：C ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的定理与性质是解题关键．10．B解析：B【分析】根据平行线的判定方法进行分析即可．【详解】A 、∠1＝∠2不能判定AD ∥BC ，故此选项错误；B 、∠2＝∠3能判定AD ∥BC ，故此选项正确；C 、∠1＝∠4可判定AB ∥CD ，不能判定AD ∥BC ，故此选项错误；D 、∠3＝∠4不能判定AD ∥BC ，故此选项错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行．11．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】①∵∠1=∠B ，∴AB ∥CD ，故本小题正确；②∵∠2=∠5，∴AB ∥CD ，故本小题正确；③∵∠3=∠4，∴AD ∥BC ，故本小题错误；④∵∠BCD+∠D=180°，∴AD ∥CB ，故本小题错误；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB ∥CD ，故本小题正确．综上，正确的有①②⑤．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．12．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理得到180A B C ∠+∠+∠=︒，则180B C A ∠+∠=︒-∠，变形得180A A ︒-∠=∠，解得90A ∠=︒，即可判断△ABC 的形状．【详解】解：∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴180B C A ∠+∠=︒-∠，又∵+A B C ∠=∠∠，∴180A A ︒-∠=∠，解得：90A ∠=︒，∴△ABC 为直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考察了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．二、填空题13．5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC∠ACD=∠ABC+∠A而A1BA1C分别平分∠ABC和∠ACD得到∠ACD=2∠A1CD∠ABC=2∠A1BC于是有∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A解析：5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此推出∠A=25∠A5，而∠A=80°，即可求出∠A5．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，…，∴∠A=25∠A5，∵∠A=80°，∴∠A5=80°÷32=2.5°．故答案为：2.5°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质．14．130°【分析】连接AD利用轴对称的性质三角形的内角和定理解答即可【详解】连接AD∵D点分别以ABAC为对称轴画出对称点EF∴∠EAB＝∠BAD∠FAC ＝∠CAD∵∠B＝63°∠C＝52°∴∠BAC解析：130°【分析】连接AD，利用轴对称的性质、三角形的内角和定理解答即可．【详解】连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，∵∠B＝63°，∠C＝52°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝180°−63°−52°＝65°，∴∠EAF＝2∠BAC＝130°，故答案为：130°．【点睛】此题考查轴对称的性质等知识点，关键是利用轴对称的性质解答．15．500【分析】连接BB由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DBE=60°再根据三角形外角性质即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°进而得出∠CEG=50°再根据三角形内角和定理即可得到△C解析：500【分析】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，进而得出∠CEG=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°．【详解】如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，∵∠ADF是△BDB'的外角，∠CEG是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，又∵∠ADF=70°，∴∠CEG=50°，又∵∠C=80°，∴△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．16．1【分析】利用判定平行的条件分别判断各个条件是否满足即可【详解】①仅能判断BC∥AD错误；②仅能判断BC∥AD错误；③可通过内错角相等判断AB∥CD正确；④无法判断平行错误故答案为：1个【点睛】本题解析：1【分析】利用判定平行的条件，分别判断各个条件是否满足即可．【详解】①仅能判断BC∥AD，错误；②仅能判断BC∥AD，错误；③可通过内错角相等，判断AB∥CD，正确；④无法判断平行，错误故答案为：1个．【点睛】本题考查平行的判定，需要注意题干中告知的条件到底能判定哪一组线段平行．17．这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中第一步是假设结论不成立反面成立可据此进行判断【详解】解：反证法证明：在一个三角形中如果两个角不相等那么这两个角所对的边也不相等证明时可以先假设这两个角所对的解析：这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，故答案为：这两个角所对的边相等．【点睛】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．18．60°【分析】本题首先利用证明直线与平行继而利用对顶角性质以及两直线平行同旁内角互补求解【详解】如下图所示：∵∠1=∠5∠2=∠6又∵∠1=∠2∴∠5=∠6∴∥∵∠4=120°∴∠7=∠4=120°解析：60°【分析】∠=∠证明直线1l与2l平行，继而利用对顶角性质以及两直线平行，同旁本题首先利用12∠．内角互补求解3【详解】如下图所示：∵∠1=∠5，∠2=∠6，又∵∠1=∠2，∴∠5=∠6，∴1l ∥2l ．∵∠4=120°，∴∠7=∠4=120°，又∵∠3+∠7=180°，∴∠3=60°．故填：60°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，需要灵活运用两直线平行，内错角、同位角相等、同旁内角互补．19．60°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB 的度数再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB 的度数然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解【详解】解：∵∠ABC+∠A解析：60°．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC +∠ACB 的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12（180°﹣∠A）＝90°﹣12∠A，∴在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+12∠A＝120°，∴∠A＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．125【分析】利用平角的定义可得由角平分线的性质易得由三角形的内角和定理可得结果【详解】解：平分平分故答案为：125【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：125【分析】利用平角的定义可得180********ACD BCE DCE，由角平分线的性质易得11()1105522OAB OBA DAC CBE，由三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：40DCE，180********ACD BCE DCE，DAC D，EBC E∠=∠，221802140220DAC CBE，110DAC CBE，AO平分DAC∠，BO平分EBC∠，∴11()1105522OAB OBA DAC CBE，180()18055125O OAB OBA，故答案为：125．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用定理是解答此题的关键．三、解答题21．EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC，见解析【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．【详解】解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，又∠EOD＋∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠OBF，∴EC∥BF；∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵EC∥BF，∴∠ECB＝∠CBF，∴∠DBC＝∠CBF，又∵∠DBC＝∠G，∴∠CBF＝∠G，∴DG∥BF；∵EC∥BF，DG∥BF，∴DG∥EC．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键．22．∠P=25°．【分析】延长ED，BC相交于点G．由四边形内角和可求∠G=50°，由三角形外角性质可求∠P度数．【详解】解：延长ED，BC相交于点G．在四边形ABGE中，∵∠G=360°-（∠A+∠B+∠E）=50°，∴∠P=∠FCD-∠CDP=12（∠DCB-∠CDG）=12∠G=12×50°=25°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线性质，外角的性质，熟练运用外角的性质是本题的关键．23．（1）见解析；（2）∠D EC =108°【分析】（1）由AC //DE 可得∠D=∠ABD ，根据等量代换得到∠C=∠ABD ，从而可证BD//C E ； （2）设∠ABD=2x ， ∠D EC=3x ，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】（1）证明∵∠A=∠F ，∴AC //DE ，∴∠D=∠ABD ，∵∠D=∠C ，∴∠C=∠ABD ，∴BD//C E ；（2）∵BD//C E ，DF//BC ，∴∠ABD =∠C ，∠D EC +∠C=180°，∵∠ABD ：∠DEC=2:3，∴设∠ABD=2x ，∠D EC=3x ，则2x+3x=180°，∴x=36°，∴∠D EC =3x=108°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．24．①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD ∥BC ，进而得到∠ADE=∠C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB ∥CD ．【详解】猜想：AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠AGH （对顶角相等）∴∠2=∠AGH （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）∴∠ADE=∠C （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C （已知）∴∠ADE=∠A （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）故答案为：①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．25．（1）直线AD 与BC 互相平行，理由见解析；（2）40DBE ∴∠=︒（3）存在，60BEC ADB ∠=∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明180ADC C ∠+∠=︒，即可证得//AD BC ； （2）由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得ABC ∠的度数，又由12DBE ABC ∠=∠，即可求得DBE ∠的度数． （3）首先设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒，由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得BEC ∠与ADB ∠的度数，又由BEC ADB ∠=∠，即可得方程：4080x x ︒+︒=︒-︒，解此方程即可求得答案．【详解】解：（1）直线AD 与BC 互相平行，理由：//AB CD ，180A ADC ∴∠+∠=︒，又A C ∠=∠180ADC C ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴；（2）//AB CD ，18080ABC C ∴∠=︒-∠=︒，DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠，11140222DBE ABF CBF ABC ∴∠=∠+∠=∠=︒； （3）存在．设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒．//AB CD ，40BEC ABE x ∴∠=∠=︒+︒；//AB CD ，18080ADC A ∴∠=︒-∠=︒，80ADB x ∴∠=︒-︒．若BEC ADB ∠=∠，则4080x x ︒+︒=︒-︒，得20x ︒=︒．∴存在60BEC ADB ∠=∠=︒．【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．26．见解析【分析】由“SAS ”可证△ABC ≌△DEF ，可得∠ACB ＝∠DFE ，可得结论．【详解】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠E ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB ＝∠DFE ，∴AC ∥FD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．。
北师大八年级数学上《第七章平行线的证明》综合测评(含答案)
第七章 平行线的证明综合测评时间90分钟 满分120分班级：_________姓名：__________得分：________一、精心选一选(每小题3分，共24分) 1.下列命题是真命题的是( ) A.若a 2=b 2，则a=bB.若∠1+∠2=90º，则∠1与∠2互余C.若∠α与∠β是同位角，则∠α=∠βD.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c2.下列命题中，是公理的是( )A.等角的补角相等B.内错角相等，两直线平行C.两点之间线段最短D.三角形的内角和等于180º 3.如图1，下列条件能判定AB ∥CD 的是( )A.∠1+∠2=180ºB.∠3=∠2C.∠2=∠1D.∠1+∠3=180º4.如图2，已知AB ∥CD ，能得到∠1=∠2的依据是( )A.两直线平行，同位角相等B.同位角相等，两直线平行C.两直线平行，内错角相等D.内错角相等，两直线平行5.已知在△ABC 中，∠A ，∠B 的外角分别是120º，150º，则∠C 等于( ) A.60º B.90º C.120º D.150º6.下列选项中，可以用来证明命题“若a 2＞1，则a ＞1”是假命题的反例是( ) A.a=－3 B.a=－1 C.a=1 D.a=37.如图3，已知∠2是△ABC 的一个外角，那么∠2与∠B+∠1的大小关系是( ) A.∠2＞∠B+∠1 B.∠2=∠B+∠1 C.∠2＜∠B+∠1 D.无法确定8.现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中.已知：①每所学校至少有他们中的一名学生；②在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；③乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；④丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（ ）A.三中B.二中C.一中D.不能确定 二、细心填一填（每小题4分，共32分)9.把命题“直角三角形的两锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿. 10.如图4所示，添加一个条件＿＿＿＿＿＿，可使AC ∥DE.图1 3 2DC BA 1 BA1 2 图2 CD E A BCD 21 图311.如图5，已知直线a ∥b ，小杜把直角三角尺的直角顶点放在直线b 上，若∠1=18°，则∠3的度数为____________.12.如图6，点D 为BC 延长线上的一点，∠A=∠ACB ，∠A=2∠B ，则∠ACD 的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿.13.下列几个命题:①若两个实数相等，则它们的平方相等；②若三角形的三边长a ，b ，c 满足(a －b)(a+b)+c 2=0；则这个三角形是直角三角形；③有两边和一角分别相等的两个三角形全等.其中是假命题的有_________(填序号). 14.如图7，把一个长方形ABCD 纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ＇，C ＇的位置，若∠AED ＇=30º， 则∠CFE=_____________°.15. 如图8，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角尺ABC 的直角顶点放在长方形桌面CDEF （CD ∥EF ）的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F 与三角尺斜边相交于点F ，如果∠1=40°，那么∠AFE=________°.16.小明同学连续观察了太原市2014年8月份某几天的天气情况，他的观察结果是：①共有5个下午是晴天；②共有7个上午是晴天；③共有8个半天是雨天；④下午下雨的那天上午是晴天，则该学生观察的天数为_________.三、耐心做一做（共64分) 17．（8分）读句画图：如图9，直线CD 与直线AB 相交于点C ，根据下列语句画图：（1）过点P 作PQ ∥CD ，交AB 于点Q ； （2）过点P 作PR ⊥CD ，垂足为R ；（3）若∠DCB =120°，猜想∠PQC 是多少度？并说明理由．18.(10分)如图10，已知点B ，D ，G 在同一条直线上，AB ∥CD ，∠1=∠2，请问BE 与DF 平行吗？为什么？A B C D E F 图4 2 b 1 a 3图5A B C 图6 D 图7A B CD E F D ＇C ＇图9 1 2 A BCD E F 图10G19．（10分）已知：如图11，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝120°，求∠DAC 的度数．20.(10分)阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”.解答问题：⑵ 一个角为60º的直角三角形＿＿＿＿＿＿(填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是＿＿＿＿＿．⑵已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．21.(12分) 如图12已知四边形ABCD 中，BC ⊥AB ，CF 平分∠DCB ，∠DCF ＋∠BAE ＝90°，试判断AE 与CF 的位置关系，并说明理由．22.(14分)数学活动课上，老师提出了一个问题：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：如图13所示，已知∠DBC 和∠BCE 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 和∠DBC ，∠BCE 之间的数量关系. 解：⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 和CF ，交于点F （如图14所示），那么∠A 与∠F 之间有何数量关系？请写出解答过程.AB D EC 图13 A B DEC 图11 图12（拟题张华）第七章平行线的证明综合测评（一）一、1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.A二、9.如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两锐角互余10.答案不唯一，如∠A=∠BDE11.72º12.108º13. ③14.105 15.1016.10天提示：由题意知，小明同学每天测两次，共测的次数为7+5+8=20.因此他共测了20÷2=10（天）.三、17．解：（1）（2）如图所示.（3）∠PQC=60°.理由：因为PQ∥CD，所以∠DCB+∠PQC=180°.因为∠DCB=120°，所以∠PQC=180°-120°=60°．18.解：BE∥DF.理由：因为AB∥CD，所以∠ABG=∠CDG .因为∠1=∠2，所以∠ABG－∠2=∠CDG－∠1，即∠EBG=∠FDG.所以BE∥DF.19．解：因为∠BAC＝120°，所以∠2＋∠3＝60°.①因为∠1＝∠2，所以∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2.②把②代入①，得3∠2＝60°，所以∠2＝20°. 所以∠1=∠2＝20°.所以∠DAC＝∠BAC-∠1＝120°－20°＝100°.20.解：⑴是90º⑵因为这个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，所以另一个角为108º÷3=36º，第三个内角为180º－108º－36º=36º.即这个“智慧三角形”各个角的度数分别为108°，36°，36°.21.调北八13~14学年第一学期20期3版22题答案.22.解：⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180º.证明：∠DBC+∠BCE =180º-∠ABC+180°-∠ACB=360º-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A.即∠DBC+∠BCE－∠A=180º.⑵∠A+∠F=90º.证明：因为BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，所以∠CBF=∠CBD，∠BCF=∠BCE.所以∠CBF+∠BCF=(∠CBD+∠BCE).因为∠CBF+∠BCF=180º－∠F，由(1)知，∠DBC+∠BCE=180º+∠A.所以180º－∠F=∠CBF+∠BCF=（∠DBC+∠BCE）=(180º+∠A).所以∠A+∠F=90º.。
八年级上册第七章 平行线的证明单元检测题(含答案)
第七章平行线的证明检测题时间：100分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列语句中，是命题的为()A．垂线段最短B．延长线段AB到CC．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．下列命题是真命题的是()A．同旁内角互补B．三角形的一个外角大于内角C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D．直角三角形的两锐角互余3．命题“同角的余角相等”的条件是()A．两个角是同角B．两个角是余角C．两个角是同角的余角D．两个角相等4．已知△ABC的三个内角度数比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．如图，已知∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠4；②AB∥CD；③AD∥BC.其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个第5题图第6题图第7题图6．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝40°，则∠D的度数是()A．40°B．140°C．160°D．60°7．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD的度数为() A．50°B．65°C．80°D．95°8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°第8题图 第9题图 第10题图9．如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数是( )A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°10．如图，AB ∥EF ，∠C ＝90°，则α，β，γ的关系为( )A ．β＝α＋γB ．α＋β＋γ＝180°C ．β＋γ－α＝90°D ．α＋β－γ＝90°二、填空题(每小题3分，共24分)11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式___________________________．12．已知假命题“两个锐角的和是直角”，请举出一个反例：_____________________________．13．如图，∠1＋∠2＝180°，若∠3＝50°，则∠4＝___________．第13题图 第16题图 第18题图14．在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B －∠C ＝40°，则∠C ＝_________，∠B ＝__________．15．△ABC 的三个外角的度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为________________．16．如图，AB ∥EF ∥CD ，且∠B ＝∠1，∠D ＝∠2，则∠BED 的度数为___________．17．过△ABC 的顶点C 作AB 的垂线，如果该垂线将∠ACB 分为40°和20°的两个角，则∠A ，∠B 中较大的角的度数是_________．18．如图，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点P ，若∠A ＝60°，则∠P ＝__________．三、解答题(共66分)19．(6分)判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举反例说明．(1)相等的角是对顶角； (2)如果a ＞b ，那么a 2＞b 2.20．(7分)如图，已知直线AB∥CD，EH，FH分别是∠FEB，∠EFD的角平分线．求证：EH⊥FH.21．(7分)如图，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数．22．(8分)如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝50°，求∠EDC的度数．23．(8分)如图，∠1＝∠C，∠2和∠D互余，BE⊥DF，求证：AB∥CD.24．(9分)求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．(画出图形，写出已知、求证、证明)25．(9分)在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．26．(12分)(1)如图①，∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？(2)把图①的△ABC沿DE折叠，得到图②，当∠A＝40°时，求∠B＋∠C＋∠1＋∠2.(3)如图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，求∠BDA＋∠CEA的度数，并猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系，并说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列语句中，是命题的为(A)A．垂线段最短B．延长线段AB到CC．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．下列命题是真命题的是(D)A．同旁内角互补B．三角形的一个外角大于内角C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D．直角三角形的两锐角互余3．命题“同角的余角相等”的条件是(C)A．两个角是同角B．两个角是余角C．两个角是同角的余角D．两个角相等4．已知△ABC的三个内角度数比为2∶3∶4，则这个三角形是(A)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．如图，已知∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠4；②AB∥CD；③AD∥BC.其中正确的有(B) A．0个B．1个C．2个D．3个第5题图第6题图第7题图6．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝40°，则∠D的度数是(B)A．40°B．140°C．160°D．60°7．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD的度数为(C) A．50°B．65°C．80°D．95°8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°第8题图第9题图第10题图9．如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数是(B)A．180°B．360°C．540°D．720°10．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α，β，γ的关系为(D)A．β＝α＋γB．α＋β＋γ＝180°C．β＋γ－α＝90°D．α＋β－γ＝90°二、填空题(每小题3分，共24分)11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式__如果两个角是对顶角，那么它们相等__．12．已知假命题“两个锐角的和是直角”，请举出一个反例：__∠A＝30°，∠B＝45°，但∠A ＋∠B＝75°≠90°__．13．如图，∠1＋∠2＝180°，若∠3＝50°，则∠4＝__50°__．第13题图第16题图第18题图14．在△ABC中，∠A＝90°，∠B－∠C＝40°，则∠C＝__25°__，∠B＝__65°__．15．△ABC的三个外角的度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为__90°，120°，150°__．16．如图，AB∥EF∥CD，且∠B＝∠1，∠D＝∠2，则∠BED的度数为__90°__．17．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果该垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，则∠A，∠B中较大的角的度数是__70°__．18．如图，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P，若∠A＝60°，则∠P＝__30°__．三、解答题(共66分)19．(6分)判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举反例说明．(1)相等的角是对顶角；(2)如果a＞b，那么a2＞b2.解：(1)假(2)假反例略20．(7分)如图，已知直线AB ∥CD ，EH ，FH 分别是∠FEB ，∠EFD 的角平分线．求证：EH ⊥FH .解：∵AB ∥CD ，∴∠FEB ＋∠EFD ＝180°，又∵EH 平分∠FEB ，∴∠2＝12∠FEB ，又∵FH 平分∠EFD ，∴∠1＝12∠EFD ，∴∠1＋∠2＝12∠EFD ＋12∠FEB ＝12×180°＝90°，∴∠FHE ＝180°－90°＝90°，∴EH ⊥FH21．(7分)如图，已知直线AB ∥CD ，FH 平分∠EFD ，FG ⊥FH ，∠AEF ＝62°，求∠GFC 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠EFD ＝62°，∵FH 平分∠EFD ，∴∠HFD ＝12×62°＝31°，∴∠GFC ＝180°－90°－31°＝59°22．(8分)如图，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，∠AED ＝50°，求∠EDC 的度数．解：∵DE ∥BC ，∠AED ＝50°，∴∠ACB ＝∠AED ＝50°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝12∠ACB ＝25°，∴∠EDC ＝∠BCD ＝25°23．(8分)如图，∠1＝∠C，∠2和∠D互余，BE⊥DF，求证：AB∥CD.解：∵BE⊥FD，∴∠EGD＝90°，∴∠1＋∠D＝90°，又∠2和∠D互余，即∠2＋∠D ＝90°，∴∠1＝∠2，又∵∠C＝∠1，∴∠C＝∠2，∴AB∥CD24．(9分)求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．(画出图形，写出已知、求证、证明)解：已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：EP∥QF，证明：∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠1＝2∠3，即∠1＝∠3，∴EP∥FQ25．(9分)在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABE＝∠EBC＝30°，∴∠C＝180°－∠EBC －∠BEC＝180°－30°－75°＝75°，又∵∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－75°＝15°26．(12分)(1)如图①，∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？(2)把图①的△ABC沿DE折叠，得到图②，当∠A＝40°时，求∠B＋∠C＋∠1＋∠2.(3)如图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，求∠BDA＋∠CEA的度数，并猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系，并说明理由．解：(1)根据三角形内角和是180°，可知：∠1＋∠2＝180°－∠A，∠B＋∠C＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C(2)∵∠1＋∠2＋∠BDE＋∠CED＝∠B＋∠C＋∠BDE＋∠CED＝360°，∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝140°×2＝280°(3)如果∠A＝30°，则∠BDA＋∠CEA＝360°－(∠B＋∠C＋∠1＋∠2)＝360°－300°＝60°，∴∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为：∠BDA＋∠CEA＝2∠A。
北师大版八年级上册数学第七章 平行线的证明 含答案
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC中，∠A = 70°，⊙O在△ABC的三条边上所截得的弦长都相等，则∠BOC的度数是（）；A.140°B.135°C.130°D.125°2、如图,A,B,C,D是⊙O上四个点,且弧AB=弧BC=弧CD,BA和CD的延长线相交于P,∠P=40°,则∠ACD的度数是（）A.15°B.20°C.40°D.50°3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A. B. C. D.4、如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则的度数等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°5、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A.180 oB.270 oC.360 oD.540 o6、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A.30°B.45°C.60°D.90°7、在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，则tanC的值是( )A. B. C.1 D.8、将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A.50°B.110°C.130°D.150°9、如图，AB∥CD，AD，BC相交于O，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是（）A.31°B.35°C.41°D.76°10、如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A.120°B.110°C.115°D.130°11、在△ABC中，∠A=30°,∠B=75°,则△ABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形12、在中，∠A+∠B+∠C的度数为（）A.100°B.90°C.180°D.200°13、在锐角中，，则（）A.30°B.45°C.60°D.75°14、如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（）A.75°B.45°C.30°D.15°15、已知△ABC中，∠A与∠C的度数比为5:7，且∠B比∠A大10°，那么∠B 为( )A.40°B.50°C.60°D.70°二、填空题(共10题，共计30分)16、观察下列各式：┉┉请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是________.17、如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是________．18、如图，三角形纸片ABC中∠A=63°，∠B=77°，将纸片一角折叠，使点C 落在△ABC的内部，若∠2=50°，则∠1=________.19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为________.20、如图所示，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则旋转角度为________.(注：等腰三角形的两底角相等)21、如图，若AB∥CD，∠1=65°，则∠2的度数为________°．22、如图，已知，，垂足为E，若，则的度数为________．23、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=50°,BD∥AC,则∠CBD的度数是________｡24、如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x 的值为________ ．25、观察下列有规律的数：1，，，，，，则第n个数表示为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律（n表示前一个圆圈中的数字，a、b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数字，求“？”代表的数．27、如图，在△ABC 和△DEF 中，点 B、F、C、E 在同一直线上，BF=CE，AC∥DF 且 AC=DF. 求证：AB∥DE.28、如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠D，OE∥AC，且OE平分∠BOC.求证：AC∥BD.29、如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝20°，∠C＝80°，求∠AED的度数.30、如图，DE⊥AB，EF∥AC，∠A=24°,求∠DEF的度数.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、B4、B5、A7、B8、C9、C10、B11、D12、C13、D14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
北师大版八年级上册数学第七章 平行线的证明含答案(附答案)
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B=40°，∠C=60°，那么∠DAE为（）A.10 °B.15°C.20°D.25°2、如图，直线a∥b，则∠A的度数是（）A.28°B.31°C.39°D.42°3、已知△ABC中，∠A与∠C的度数比为5:7，且∠B比∠A大10°，那么∠B 为( )A.40°B.50°C.60°D.70°4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120 ，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A.1.5cmB.2cmC.2.5cmD.3cm5、△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3cm，则最长边AB的长为（）A.9cmB.8 cmC.7 cmD.6 cm6、如图,☉O内切于Rt△ABC,∠ACB=90°,若∠CBO=30°,则∠A等于( )A.15°B.30°C.45°D.60°7、根据下列条件，能画出唯一的三角形的是( )A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8、如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A.60°B.65°C.70°D.75°9、在△ABC中，∠C=60°．两条角平分线AD，BE所在直线所成的角的度数是( )A.60°B.120°C.150°D.60°或120°10、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（）A.80°B.82.5°C.90°D.85°11、如图，已知等边和等边，点在的延长线上，的延长线交于点M，连，若，则（）A. B. C. D.12、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=25°，∠C的大小等于（）A.20°B.25°C.40°D.50°13、如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点O，且∠FOE=121°，则∠A的度数是（）A.52°B.62°C.64°D.72°14、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A.90°﹣αB.90°+ αC.D.360°﹣α15、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A.∠A＋∠B=∠CB.∠A－∠B=∠CC.∠A︰∠B︰∠C =1︰2︰3 D.∠A=∠B=3∠C二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，中，，边上有一点P（不与点重合），I为的内心，若的取值范围为，则________.17、如图，已知直线a//b，∠1=50°，∠2=115°，则∠3=________18、计算+ + +…+ 的结果为________.19、如图，超市里的购物车，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的倍，∠2的度数是________．20、（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．证明：过点E引一条直线EF∥AB∴∠B=∠BEF，（________ ）∵AB∥CD，EF∥AB∴EF∥CD（________ ）∴∠D=________（________ ）∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED即∠B+∠D=∠BED．（2）如图2，AB∥CD，请写出∠B+∠BED+∠D=360°的推理过程．________ （3）如图3，AB∥CD，请直接写出结果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=________21、下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位，对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前200位的所有数字之和是________.22、观察算式：；；；；；；…….则的个位数字是________.23、如图，过正五边形ABCDE的顶点D作直线l∥AB，则∠1的度数是________．24、如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B=71°，则∠BAC=________．25、如图，平分，，，则________ .三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数．27、如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．（1）求∠DOF的度数；（2）试说明OD平分∠AOG．28、如图，内接于，，动点，分别在边，上，且.求证：.29、如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，A 岛在C岛北偏西40°方向．从A岛看B、C两岛的视角∠BAC是多少？30、如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、C4、B5、D6、B7、C8、B9、D10、B11、A12、C13、B14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
(典型题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试题(含答案解析)
一、选择题1．如图，BE ，CF 都是△ABC 的角平分线，且∠BDC =110°，则∠A 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°2．下列命题是真命题的是（ ）A ．平行于同一直线的两条直线平行B ．两直线平行，同旁内角相等C ．同旁内角互补D ．同位角相等 3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等 4．一个三角形的三个内角中（ ）A ．至少有一个等于90°B ．至少有一个大于90°C ．不可能有两个大于89°D ．不可能都小于60° 5．如图，AD ，AE 分别为△ABC 的高线和角平分线，DF ⊥AE 于点F ，当∠ADF ＝69°，∠C＝65°时，∠B 的度数为（ ）A ．21°B ．23°C ．25°D ．30° 6．如图，△CEF 中，∠E=70°，∠F=50°，且AB ∥CF ，AD ∥CE ，连接BC ，CD ，则∠A 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°7．如图，//AB CD ，一副三角尺按如图所示放置，18AEG ∠=︒，则HFD ∠为（ ）A ．23B ．33C ．36D ．38 8．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝50°，则∠C =（ ） A ．130°B ．50°C ．40°D ．20° 9．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．BD ∠=∠D ．12180B ∠+∠+∠=︒ 10．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6811．如图，现给出下列条件：①1B ∠=∠，②25∠=∠，③34∠=∠，④180BCD D ︒∠+∠=．⑤180B BCD ︒∠+∠=，其中能够得到//AB CD 的条件有（ ）A ．①②④B ．①③⑤C ．①②⑤D ．①②④⑤ 12．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，80A ∠=︒，40ABC ∠=︒，那么BDC ∠=（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，BE 平分∠ABC ，CE 平分外角∠ACD ，则∠E 的度数为________．14．如图，65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 外，若218∠=︒，则1∠的度数为________________．15．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:6，则其最大内角的度数是________． 16．如图所示，在ABC 中，80A ∠=︒，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点，依此类推，4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的度数是_________．17．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．18．已知直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为___________．19．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B'处，设∠B'EC＝∠1，∠B'DA ＝∠2．若∠B＝25°，则∠2﹣∠1＝_____°．20．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为_____．三、解答题21．阅读感悟：如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形内角和定理的证明今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：动手实践操作类①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；……任务：（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；A ．方程B ．类比C ．转化D ．分类（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．22．已知，//AB CD ，点P 在AB 、CD 之间，连结AP 、CP ．（1）如图1，求A C P ∠+∠+∠的度数（提供两种作辅助线的方法：方法一：过点P 作AB 的平行线；方法二：连结AC ）；（2）已知100APC ∠=︒，PAB ∠和PCD ∠的角平分线AO 、CO 交于点0，请你画出草图，并直接写出AOC ∠的度数．23．已知，如图，ADE B ∠=∠，12∠=∠，GF AB ⊥．求证：CD AB ⊥；下面是证明过，请你将它补充完整证明：∵ADE B ∠=∠ ∴ // （ ）∴13∠=∠又∵12∠=∠∴23∠∠=∴ // （ ）∴FGB ∠=∵FG AB ⊥∴FGB ∠=∴CDB ∠=∴CD AB ⊥24．如图1，AD //BC ，BAD ∠的平分线交BC 于点G ，90BCD ∠=︒．（1）求证：BAG BGA ∠=∠（2）如图2，若50ABC ∠=︒，BCD ∠的平分线交AD 于点E ，交射线GA 于点F ，AFC ∠的度数．（3）如图3，线段AG 上有一点P ，满足2ABP PBG ∠=∠，过点C 作CH //AG ． 若在直线AG 上取一点M ，使PBM DCH ∠=∠，请求:ABM GBM ∠∠的值．25．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O 重合，边CD 与边AB 重合，试求AOC ∠的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）解：∵45OCD ∠=︒，60OBC ∠=︒∴BOC ∠=__________（___________________）又∵90AOB ∠=︒，∴AOC ∠=__________．（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O 逆时针旋转DOC △，当DC AO //时，求得AEO ∠的度数．（请你写出解答过程）（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O 逆时针旋转DOC △，使点B 落在边DC 上，此时发现1∠与2∠之间的数量关系．以下是他的解答过程，请补充完整解：在AOE △与BCE 中，∵12AEO A CEB C ∠+∠+∠=∠+∠+∠又∵AEO CEB ∠=∠（___________________）A ∠=__________，C ∠=__________，∴12A C ∠+∠=∠+∠12∠-∠=__________．26．已知在DEF ∆中，70E F ∠+∠=︒，现将DEF ∆放置在ABC ∆上，使得D ∠的两条边DE ，DF 分别经过点B 、C ．（1）如图①所示，若50A ∠=︒，且//BC EF 时，ABC ACB ∠+∠= 度，DBC DCB ∠+∠= 度，ABD ACD +=∠∠ 度；（2）如图②，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆内，且BC 与EF 不平行时，请探究ABD ACD ∠+∠与A ∠之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图③，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆外，且BC 与EF 不平行时，请探究ABE ∠、ACF ∠、A ∠之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∵BE 、CF 都是△ABC 的角平分线，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，=180°-2(∠DBC+∠BCD)∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)，∴∠A=180°-2(180°-∠BDC)∴∠BDC=90°+12∠A ， ∴∠A=2(110°-90°)=40°．故答案为：A ．本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．2．A解析：A【分析】对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.【详解】∵平行于同一直线的两条直线平行，∴选项A正确；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项B错误；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项C错误；∵两直线平行，同位角相等，∴选项D错误；故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键.3．C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A3的逆命题是：3的平方根，是假命题；BC、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．4．D解析：D【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．A 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；B 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；C 、反例：一个三角形的三个内角分别为89.5,89.5,1︒︒︒，此项错误；D 、因为三角形的内角和等于180︒，所以不可能都小于60︒，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．5．B解析：B【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF 和∠CAD 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BAC 的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵DF ⊥AE ，∠ADF ＝69°∴∠DAF ＝21°，∵AD ⊥BC ，∠C ＝65°，∴∠CAD ＝25°，∴∠CAE ＝∠DAF+∠CAD ＝21°+25°＝46°，又∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠CAE ＝92°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝180°﹣92°﹣65°＝23°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．6．D解析：D【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．【详解】连接AC 并延长交EF 于点M ．∵AB CF ， ∴31∠=∠， ∵AD CE ， ∴24∠∠=，∴3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵180180705060FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴60BAD FCE ∠=∠=︒，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．7．B解析：B【分析】过点G 作AB 平行线交EF 于P ，根据平行线的性质求出∠EGP ，求出∠PGF ，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：过点G 作AB 平行线交EF 于P ，由题意易知，AB ∥GP ∥CD ，∴∠EGP=∠AEG=18°，∴∠PGF=72°，∴∠GFC=∠PGF=72°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=33°．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．8．B解析：B【分析】直接利用三角形内角和定理得到∠C 的度数即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题的关键．9．B解析：B【解析】A 不可以；∵∠1=∠3，∴AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB ∥CD ，∴A 不可以；B 可以；∵∠2=∠4，∴AB ∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B 可以；C 、D 不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB ∥CD ；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD ∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB ∥BC ；∴C 、D 不可以；故选B.10．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．11．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；④∵∠BCD+∠D=180°，∴AD∥CB，故本小题错误；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本小题正确．综上，正确的有①②⑤．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．12．D解析：D【分析】根据三角形的内角和得出∠ACB的度数，再根据角平分线的性质求出∠DCA的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=30°（角平分线的性质），∴∠ACD＝12∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°（三角形外角的性质）．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的知识，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，难度适中．二、填空题13．25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC∠ACD＝2∠DCE根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC求出∠A＝2∠E即可求出答案【详解】解：∵BE平分∠ABCCE平分∠A解析：25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E ＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【详解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．14．98°【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5解析：98°【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=82°，然后利用平角的定义即可求出∠1．【详解】∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=18°，∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°，∴∠3+∠4=82°，∴∠1=180°-82°=98°．【点睛】本题综合考查了三角形内角和定理、外角定理以及翻折变换的问题，而翻折变换实际上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，明确各个角之间的等量关系，是解决本题的关键．15．108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比可以设一份为x°根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数确定最大的内角的度数【详解】解：设一份为x°则三个内角的度数分别为x°3x°6x°根据解析：108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．【详解】解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，解得x＝18．所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．故答案为108°【点睛】此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算．16．5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC∠ACD=∠ABC+∠A而A1BA1C分别平分∠ABC和∠ACD得到∠ACD=2∠A1CD∠ABC=2∠A1BC于是有∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A解析：5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此推出∠A=25∠A5，而∠A=80°，即可求出∠A5．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，…，∴∠A=25∠A 5，∵∠A=80°，∴∠A 5=80°÷32=2.5°．故答案为：2.5°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质．17．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛 解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=． 【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠， 又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠， ∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 18．40°【分析】如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD 根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案【详解】解：如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD ∴∠1＝∠3∠2＝∠4∵∠3+∠4＝180°－9解析：40°【分析】如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案．【详解】解：如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝180°－90°－30°=60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．50【分析】由折叠性质求得∠B′由三角的外角性质用∠1表示∠2进而求得∠2﹣∠1【详解】如图：∵∠B＝25°∴∠B′＝∠B＝25°∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+解析：50【分析】由折叠性质求得∠B′，由三角的外角性质，用∠1表示∠2，进而求得∠2﹣∠1．【详解】如图：∵∠B＝25°，∴∠B′＝∠B＝25°，∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°，∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+25°，∴∠2﹣∠1＝50°，故答案为：50．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，折叠的性质，关键是根据三角形的外角性质表示出∠1与∠2的关系式．20．100°20°或90°30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题【详解】解：在△ABC中不妨设∠A＝60°①若∠A＝3∠C则∠C＝20°∠B＝100°②若∠C＝3∠A则∠C＝180°（不合题意）③解析：100°，20°或90°，30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．①若∠A＝3∠C，则∠C＝20°，∠B＝100°．②若∠C＝3∠A，则∠C＝180°（不合题意）．③若∠B＝3∠C，则∠B＝90°，∠C＝30°，综上所述，另外两个角的度数为100°，20°或90°，30°．故答案为：100°，20°或90°，30°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题21．（1）平角为180︒；（2）C ；（3）见解析【分析】（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明； （2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；（3）过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，由角度的关系，得到A EDF ∠=∠，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．【详解】解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；故答案为：平角为180︒；（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立； 故选：C ；（3）证明：如图，过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，,,180,180FDC B EDB C A AED EDF AED ∴∠=∠∠=∠∠+∠=︒∠+∠=︒． A EDF ∴∠=∠，180A B C EDF FDC EDB CDB ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒．∴三角形的内角和为180︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．22．（1）360︒；（2）130AOC ∠=︒或50︒【分析】(1)连结AC ，根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PAC+∠PCA=180°，再根据AB//CD 得到∠BAC+∠DCA=180°即可求得．(2)分两种情况，点P 在AC 的左侧，点P 在AC 的右侧，由（1）中的得到的结论，∠P+∠PAB+∠PCD=360°，再由平行线的性质和角平分线的定理，可以得到∠AOC 的度数．【详解】（1）连结AC∴180P PAC PCA ∠+∠+∠=︒，∵//AB CD∴180BAC DCA ∠+∠=︒，∴360PAB PCD P ∠+∠+∠=︒，（2）如图a ，点P 在AC 的左侧，130AOC ∠=︒，∵∠P+∠PAB+∠PCD=360° ，又∠APC=100° ，∴∠PAB+∠PAC=260° ，又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠PAO+∠PCO=12×260° =130° ， ∴∠AOC=360° -100° -130° =130° ， 如图b ，点P 在AC 的右侧，50AOC ∠=︒，过点P 作MN ∥AB ，∵MN ∥AB ，CD ∥AB ，∴MN ∥CD ，∵MN ∥AB ，∴∠APM=∠BAP ，∵MN ∥CD ，∴∠CPM=∠PCD ， ∴∠BAP+∠PCD=∠APM+∠CPM=∠APC=100°， 又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠BAO+∠DCO= 12×100° =50°， ∴∠AOC=∠BAO+∠DCO=50° ，∴∠AOC=130° 或50°．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，以及角平分线定理，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用平行线的性质和角的平分线的定理求角的度数．23．DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90【分析】根据平行线、垂线的性质分析，即可将证明过程补充完整．【详解】证明：∵ADE B ∠=∠∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴13∠=∠（两直线平行 ，内错角相等）又∵12∠=∠∴23∠∠=∴//GF CD （同位角相等，两直线平行）∴FGB CDB ∠=∠∵FG AB ⊥∴ 90FGB ∠=∴90CDB =∠∴CD AB ⊥故答案为：DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90．【点睛】本题考查了平行线、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理，从而完成求解．24．（1）见解析；（2）20︒；（3）1:5或7:5．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等证得DAG AGB ∠=∠，再由角平分线的性质得到12BAG DAG BAD ∠=∠=∠，据此解题； （2）由等腰三角形的性质结合三角形内角和解得65BGA ∠=︒，再由补角的定义解得115AGC ∠=︒，接着由角平分线的性质解得ECB ∠的度数，最后根据三角形内角和180°解题；（3）设,1802AGB BAG ABG αα∠=∠=∠=︒-，根据题意，解得ABP PBG ∠∠、的度数，再根据两直线平行，同位角相等解得HCB AGB α∠=∠=，继而解得DCH PBM ∠∠、的度数，接着分两种情况讨论：当M 在BP 上方时，或当M 在BP 下方时，分别解得ABM GBM ∠∠、的度数，即可解题．【详解】解：（1）//AD BCDAG AGB ∴∠=∠AC 平分BAD ∠ 12BAG DAG BAD ∴∠=∠=∠ ∴∠=∠BAG BGA ；（2）50ABC ∠=︒1(180)652BGA ABG ∴∠=︒-∠=︒ 180115AGC AGB ∴∠=︒-∠=︒CE 平分DCB ∠1452ECB DCB ∴∠=∠=︒ 18020AFC AGC ECB ∴∠=︒-∠-∠=︒；（3）设,1802AGB BAG ABG αα∠=∠=∠=︒-2ABP PBG ∠=∠2412033ABP ABG α∴∠=∠=︒- 126033PBG ABG α∠=∠=︒- //CH AGHCB AGB α∴∠=∠=90DCH α∴∠=︒-PBM DCH ∴∠=∠90PBM α∴∠=︒-90α<︒160902αα∴︒-<︒- 4120903αα∴︒->︒- PBG PBM ABP ∴∠<∠<∠当M 在BP 上方时，1303ABM ABP PBM α∠=∠-∠=︒-51503GBM PBG PBM α∠=∠+∠=︒- :1:5ABM GBM ∠∠=当M 在BP 下方时，72103ABM ABP PBM α∠=∠+∠=︒- 51503GBM PBG PBM α∠=∠+∠=︒- 7:5ABM GBM ∠∠=:综上所述，:1:5ABM GBM ∠∠=或7:5ABM GBM ∠∠=:．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．25．（1）75︒；三角形内角和是180︒；15︒；（2）105︒；见解析；（3）对顶角相等；30；45︒；15︒【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；（3）在△AOE 与△BCE 中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C ，计算即可求解．【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC ∥AO ，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；（3）在△AOE 与△BCE 中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C ，又∵∠AEO=∠CEB （对顶角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C ，∠1−∠2=15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．（1）130；70；60；（2）110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠，见解析；（3）110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出ABC ACB ∠+∠的度数，根据平行线的性质可得到DBC DCB ∠+∠的度数，利用角度的和差关系即可求出ABD ACD ∠+∠的度数；（2）同（1）分别求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠和ABD ACD ∠+∠的度数，故可求解；（3）先求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠，再根据平角的性质即可计算求解．【详解】（1）∵50A ∠=︒，在△ABC 中，ABC ACB ∠+∠=180°-50°=130°，∵//BC EF∴DBC E ∠=∠,DCB F ∠=∠∴DBC DCB ∠+∠=70E F ∠+∠=︒∴ABD ACD +=∠∠（ABC ACB ∠+∠）-()DBC DCB ∠+∠=60°故答案为：130；70；60；（2）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒所以18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴()()18070110ABD ACD ABC ACB DBC DCB A A ∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒=︒-∠即110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠（3）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒∴18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴360ABE ACF ∠+∠=︒-（DBC DCB ∠+∠）-（ABC ACB ∠+∠）=110A ︒+∠ 即110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．。
第七章 平行线的证明单元测试(解析版)
第七章平行线的证明单元测试一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列语句中，是命题的为（）A．延长线段AB到C B．垂线段最短C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．下列命题中真命题是（）A．两个锐角之和为钝角B．两个锐角之和为锐角C．钝角大于它的补角D．锐角小于它的余角3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（）A．两条直线B．交点C．两条直线相交D．只有一个交点4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（）A．相等B．互余或互补C．互补D．相等或互补5．三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（）A．45°，45°，90°；B．30°，60°，90°； C．25°，25°，130°；D．36°，72°，72°6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=30°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列四个命题中，真命题有（）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；（3）一个角的余角一定小于这个角的补角；（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，∠B=∠C，则∠ADC和∠AEB的大小关系是（）A．∠ADC＞∠AEB B．∠ADC=∠AEBC．∠ADC＜∠AEB D．大小关系不能确定(第8题) (第9题) (第10题)9．如下图，在△ABC中，AD平分外角∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（）A．50°B．65°C．80°D．95°10．如图AB∥CD，AD、BC交于点O，∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（）A．42°B．58°C．80°D．100°二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11．如图所示，∠1=∠2，∠3=80°，那么∠4=．(第11题) (第12题) (第13题)12．如图所示，∠ABC=36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于F，则∠D=．13．如图所示，AB∥CD，∠1=115°，∠3=140°，∠2=°．14．如果一个三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是三角形．15．一个三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则与此对应的三个内角的比为．16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=度．(第16题) (第18题)17．命题：“同角的余角相等”的题设是，结论是．18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED的度数为°．19．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于度．20．过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较大的角的度数是．三、解答题（本大题共5小题，共30分）21．如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．22．如图所示，BF∥DE，∠1=∠2，求证：GF∥B C．23．如图所示，已知AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数．24．已知，如图所示，直线AB∥CD，∠AEP=∠CFQ．求证：∠EPM=∠FQM．25．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC=60°，∠BEC=75°，求∠DAC的度数．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列语句中，是命题的为（）A．延长线段AB到C B．垂线段最短C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义对各个选项进行分析从而得到答案．【解答】解：A，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；B，是，因为能够判断真假，故是命题；C，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；D，不是，不能判定真假且不是陈述句，故不构成命题；故选B．【点评】此题主要考查学生对命题与定理的理解及掌握情况．2．下列命题中真命题是（）A．两个锐角之和为钝角B．两个锐角之和为锐角C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角【考点】命题与定理．【分析】根据补角、余角的定义结合反例即可作出判断．【解答】解：A、两个30°角的和是60°，是锐角，不正确；B、两个80°的角之和是160°，是钝角，不正确；C、钝角大于90°，它的补角小于90°，正确；D、80°锐角的余角是10°，不正确．故选C．【点评】可以举具体角的度数来证明．3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（）A．两条直线 B．交点 C．两条直线相交 D．只有一个交点【考点】直线、射线、线段．【分析】本题考查两直线相交，有且只有一个交点的命题，题设和结论要搞清楚．【解答】解：两条直线相交，有且只有一个交点这一命题题设是两条直线相交，结论是有且只有一个交点，故选C．【点评】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，不是很难，不过做题要仔细．4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（）A．相等 B．互余或互补C．互补 D．相等或互补【考点】平行线的性质．【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．故选D．【点评】如果两个的两条边分别平行，那么这两个角的关系是相等或互补．5．三角形的一个外角等于与它不相邻的内角的4倍，等于与它相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为（）A．45°，45°，90°B．30°，60°，90° C．25°，25°，130°D．36°，72°，72°【考点】三角形的外角性质．【专题】探究型．【分析】设这个外角为4x，则与它不相邻的内角的度数为x，则与它相邻的一个内角为2x，再由2x+4x=180°即可求出x的值，故可得出各内角的度数．【解答】解：设这个外角为4x，则与它不相邻的内角的度数为x，则与它相邻的一个内角为2x，另一个内角为4x﹣x=3x，∵2x+4x=180°，∴x=30°，∴2x=60°，4×30°﹣30°=90°，∴三角形各角的度数为30°，60°，90°．故选B．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，难度适中．6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=30°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】平行线的判定与性质．【分析】利用平行线的性质进行求解．【解答】解：∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD，∴∠FCD=∠A，∵∠1=∠F=30°，∴BG∥AF，∴∠A=∠ABG；故选B．【点评】考查了平行线的判定以及平行线的性质，需要熟练掌握．7．下列四个命题中，真命题有（）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等（2）如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2（3）一个角的余角一定小于这个角的补角（4）如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角．【分析】根据常用知识点对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数．【解答】解：（1）不正确，应该是两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；（2）正确，因为对顶角相等；（3）正确，因为一个角的补角比它的余角大90°；（4）正确，因为∠3的余角即∠1，则∠1与∠2互补．所以正确有的三个，故选：C．【点评】此题主要考查学生对命题与定理的理解及对常用知识点的综合运用能力．8．如图，∠B=∠C，则∠ADC和∠AEB的大小关系是（）A．∠ADC＞∠AEB B．∠ADC=∠AEBC．∠ADC＜∠AEB D．大小关系不能确定【考点】三角形的外角性质．【分析】利用三角形的内角和为180度计算．【解答】解：在△ADC中有∠A+∠C+∠ADC=180°，在△AEB有∠AEB+∠A+∠B=180°，∵∠B=∠C，∴等量代换后有∠ADC=∠AE B．故选B．【点评】本题利用了三角形内角和为180度．9．如下图，在△ABC中，AD平分外角∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（）A．50°B．65°C．80°D．95°【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．【分析】利用平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质计算．【解答】解：由题意可得，∠CAE=130°，∴∠BAC=50°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°+50°=80°．故选C．【点评】此题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角的性质．10．如图AB∥CD，AD、BC交于点O，∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（）A．42°B．58°C．80°D．100°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】由AB∥CD，可得∠B=∠C=58°，根据三角形的内角和为180°即可求得∠AOB的值．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C=58°；∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠A=42°，∴∠AOB=80°．故选C．【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．还考查了三角形的内角和为180°．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11．如图所示，∠1=∠2，∠3=80°，那么∠4=80°．【考点】平行线的判定与性质．【专题】计算题．【分析】由∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行得到a∥b，然后根据平行线的性质得∠4=∠3=80°．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠4=∠3=80°．故答案为80°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．12．如图所示，∠ABC=36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于F，则∠D=53°20′．【考点】平行线的性质；垂线．【专题】计算题．【分析】由平行线的性质可得出∠ABC=∠DAF=36°40′，再由DF⊥AB于F，可得出∠D的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠DAF=36°40′，又∵DF⊥AB，∴∠D=90°﹣∠DAF=53°20′．【点评】本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．13．如图所示，AB∥CD，∠1=115°，∠3=140°，∠2=75°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠2的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠3=140°，∴∠4=180°﹣140°=40°，∵∠1=115°，∴∠2=∠1﹣∠4=115°﹣40°=75°．【点评】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．14．如果一个三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和等于180°和已知求出三角形的最大角的度数，即可得出答案．【解答】解：∵一个三角形三个内角的比是1：2：3，∴这个三角形的最大内角的度数是：180°×=90°，∴这个三角形是直角三角形，故答案为：直角．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．15．一个三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则与此对应的三个内角的比为5：3：1．【考点】三角形的外角性质．【分析】设设三个外角的度数分别为2x、3x、4x，根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程即可求出三个外角的度数，得到与此对应的三个内角的度数，计算即可．【解答】解：设三个外角的度数分别为2x、3x、4x，由题意得，2x+3x+4x=360°，解得，x=40°，则三个外角分别为80°、120°、160°则对应的三个内角分别为：100°、60°、20°，∴与此对应的三个内角的比为5：3：1．故答案为：5：3：1．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的外角和等于360°是解题的关键．16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=122.5度．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求得．【解答】解：∵在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°．∴∠EBC+∠ECB==57.5°，∴∠BEC=180°﹣57.5°=122.5°．【点评】此题考查了三角形内角和定理，属简单题目．17．命题：“同角的余角相等”的题设是如果是同角的余角，结论是那么这两个角相等．．【考点】命题与定理．【专题】计算题．【分析】命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论，因此可正确找出题设和结论．【解答】解：“同角的余角相等”可写成是“如果是同角的余角，那么这两个角相等”．故答案为：如果是同角的余角；那么这两个角相等．【点评】本题考查命题的题设和结论，命题一般都能够写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面就是题设，“那么”后面就是结论．18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED的度数为90°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，又知∠B=∠1，∠D=∠2，可得出∠1+∠2=∠DEF+∠DEF，由平角的定义，求出∠BED的值即可．【解答】解：∵AB∥EF∥CD，∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，又∵∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠1=∠BEF，∠2=∠DEF，又∵∠1+∠BEF+∠2+∠DEF=180°，∴∠BED=×180°=90°．【点评】本题主要考查运用平行线的性质的能力，主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）以及等量代换等知识点．19．如果等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于90度．【考点】等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质，判定等腰直角三角形．【解答】解：根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的角平分线可知，高把原等腰直角三角形分成两个等腰直角三角形，顶角也就平分成两个45°，故顶角是90°，故填90．【点评】本题充分运用等腰直角三角形底边上的“三线合一”的性质解题．20．过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较大的角的度数是70°．【考点】直角三角形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余可以得到，∠A、∠B中有一个是70°，另一个是50°，因而∠A、∠B中较大的角的度数是70°．【解答】解：如图，依题意得∠ACD=40°，∠DCB=20°，而CD⊥AB于D，∴∠A=50°，∠B=70°，因而∠A、∠B中较大的角的度数是70°．故填空答案：70°．【点评】本题主要考查的是直角三角形两锐角互余的性质，比较简单．三、解答题（本大题共5小题，共30分）21．如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由平行线的性质可得∠2=∠C，∠1=∠B，已知∠1=∠2，从而推出∠B=∠C，根据等角对等边可得到AB=AC，即△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AE∥BC（已知），∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵∠1=∠2（已知），∴∠B=∠C（等量代换）．∴AB=A C．∴△ABC是等腰三角形（等角对等边）．【点评】此题主要考查平行线的性质及等腰三角形的判定；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．22．如图所示，BF∥DE，∠1=∠2，求证：GF∥B C．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠FBC，再结合已知条件和等量代换证得内错角∠FBC=∠1，从而得GF∥B C．【解答】解：∵BF∥DE（已知），∴∠2=∠FBC（两直线平行，同位角相等），∵∠2=∠1（已知），∴∠FBC=∠1（等量代换），∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的性质及判定，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．23．如图所示，已知AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF=62°，求∠GFC的度数．【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义和垂线的定义求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠AEF=62°，∴∠EFD=∠AEF=62°，∠CFE=180°﹣∠AEF=180°﹣62°=118°；∵FH平分∠EFD，∴∠EFH=∠EFD=×62°=31°；又∵FG⊥FH，∴∠GFE=90°﹣∠EFH=90°﹣31°=59°，∴∠GFC=∠CFE﹣∠GFE=118°﹣59°=59°．【点评】此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补．24．已知，如图所示，直线AB∥CD，∠AEP=∠CFQ．求证：∠EPM=∠FQM．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据题意证得∠AEF=∠CFM，再由∠AEP=∠CFQ，可得出∠PEM=∠QFM，PE∥QF，即能得出∠EPM=∠FQM．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠AEF=∠CFM（两直线平行，同位角相等）．又∵∠PEA=∠QFC（已知），∴∠AEF+∠PEA=∠CFM+∠QFC（等式性质）．即∠PEM=∠QFM．∴PE∥QF（同位角相等，两直线平行）．∴∠EPM=∠FQM（两直线平行，同位角相等）．【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．25．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC=60°，∠BEC=75°，求∠DAC的度数．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【分析】要求∠DAC的度数，只要求出∠C的度数即可．先根据角平分线的定义，可得∠EBC的度数，在△BEC中利用三角形的内角和可得∠C的度数．因AD为BC上的高，所以∠ADC=90°，在△ADC 中，再运用三角形的内角和可求∠DAC的度数．【解答】解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBC=30°，∴∠C=180°﹣∠EBC﹣∠BEC=180°﹣30°﹣75°=75°．又∵∠C+∠DAC=90°，∴∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣75°=15°．【点评】灵活运用垂直的定义和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理是解决本题的关键．特别注意“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．。
北师大版八年级上册数学第七章 平行线的证明含答案
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、等腰三角形一个角是50°，则它的底角的度数为（）A.50°B.50°或80°C.50°或65°D.65°2、三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（）A.90°B.120°C.270°D.360°3、如图，，，则等于（）A. B. C. D.4、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A等于（）A.45 °B.36°C.30°D.54°5、在下列条件中：① ② ③④ 中，能确△ABC是直角三角形的定条件有（）A.①②B.③④C.①③④D.①②③6、如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.37、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接OD，已知∠DOC＝80°，则∠B等于（）A.40°B.45°C.50°D.55°8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°9、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A.360°B.480°C.540°D.720°10、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠C的度数是（）A.30°B.35°C.40°D.50°11、如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB 的度数是（）A.15°B.30°C.50°D.65°12、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A.40°B.55°C.65°D.70°13、如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（）A.90°B.100°C.110°D.120°14、如图，AB∥CD，BE与EF垂直相交于点E，EF与CD相交于点F，∠B＝30°.则∠EFD的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.80°15、等腰三角形的顶角是，则它的底角是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在Rt△ABC中，∠B =90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于E. 已知∠BAE=10°，则∠C的度数为________度.17、在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC 于F，若AD=11，BF=5，则AB=________。
第七章 平行线的证明 四川省成都市金堂县三溪镇检测题(含答案)
第七章 平行线的证明单元检测姓名 班级 成绩A 卷（100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③三角形的一个外角大于内角；④同位角相等．其中假命题有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2.点P 是直线l 外一点，l ⊥PA ,A 为垂足，且P A =4cm ，则点P 到直线l 的距离（ ） A ．小于4 cm B ．等于4 cm C ．大于4 cm D ．不确定3.下列图形中，由A B C D ∥，能得到12∠=∠的是（ ）4.如图，点E 在CD 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是（ ） A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠5=∠B D.∠B+∠BDC =180°5.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是（ ）A.30°B.40°C.50°D. 60°6.如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ，图中相等的角共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对7.如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）A. 75°B. 55°C. 40°D. 35°8.如图，DH ∥EG ∥BC ， DC ∥EF ，那么与∠DCB 相等的角的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个9.下列条件中能得到平行线的是（ ）①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同旁内角的角平分线． A ．①② B ．②③ C ．② D ．③10.如图，直线AC ∥BD ， AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，那么∠BAO 与∠ABO 之间的大小关系一定为A CB D 1 2 AC BD1 2 A ． B ． 1 2 A C B D C ． B D C A D ．1 2 （第4题图）（第8题图） （第5题图）（第7题图） （第6题图）（第10题图）( ) A.互余 B.相等 C.互补D.不等二、填空题（每小题4分，共20分）11.命题“对顶角相等”的题设是 ，结论是 ． 12.一个三角形的两个内角是37°和108°，则另一个内角是 ． 13.如图，直线a ∥b ，∠1=125°，则∠2的度数为 °．14.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若∠1=500，则∠AEF 的度数等于 . 15.如图，直线a ∥b ，则∠ACB = ． 三.解答题（50分）16.（8分）已知如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线。
(必考题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）①OE 平分AOD ∠；②AOC BOD ∠=∠；③15AOC CEA ∠-∠=︒；④180COB AOD ∠+∠=︒ A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题是真命题的是（ ） A ．平行于同一直线的两条直线平行 B ．两直线平行，同旁内角相等 C ．同旁内角互补D ．同位角相等3．下列命题中，属于假命题的是（ ） A ．相等的角是对顶角 B ．三角形的内角和等于180° C ．两直线平行，同位角相等D ．两点之间，线段最短 4．下列选项中，可以用来证明命题“若,a b >则a b >”是假命题的反例是（ ） A ．1,0a b ==B ．1,2a b ==-C ．2,1a b =-=D ．2,1a b ==-5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A ．3的平方根是3 B ．5是无理数 C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等6．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（ ）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23°7．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．B D∠=∠D ．12180B ∠+∠+∠=︒8．已知下列命题（1）等边三角形的三个内角都相等； （2）平行四边形相邻的两个角都相等；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等； （4）底角相等的两个等腰三角形全等． 其中原命题和逆命题均为真命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．任何非负数的算术平方根是非负数D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 10．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF11．下列说法正确的是（ ） A ．同位角相等B ．相等的角是对顶角C ．内错角相等，两直线平行D ．互补的两个角一定有一个锐角 12．在ABC 中，若+,A B C ∠=∠∠那么这个三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形二、填空题13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝52°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB 为_____．14．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．15．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．16．如图，AB ∥CD ，EF 交AB 、CD 于点G 、H ，GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，GM 、HM 交于点M ，则∠GMH ＝_________．17．如图，已知：AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1＝40°，求∠2的度数．完成下面的证明过程： 证明：∵AB ∥CD （ ）， ∴∠1＝∠BCD ＝40°（ ）． ∵BD ⊥BC ， ∴∠CBD ＝ ．∵∠2+∠CBD+∠BCD ＝ （ ）， ∴∠2＝ ．18．如图，已知AD ∥BC ，∠1=∠2，∠A=112°，且BD ⊥CD ，则∠C=_____．19．如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1＋∠2＝90°，M 、N 分别是BA ，CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ．下列结论：①AB ∥CD ；②∠AEB ＋∠ADC ＝180°；③DE 平分∠ADC ；其中结论正确的有______________20．数学课上，同学提出如下问题：老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图1，我们想要证明“如果直线AB ，CD 被直线所截EF ，AB ∥CD ，那么∠EOB=EO D '∠．” 如图2，假设∠EOB≠EO D '∠，过点O 作直线A'B'，使EOB '∠=EO D '∠，可得A B ''∥CD ．这样过点O 就有两条直线AB ，A B ''都平行于直线CD ，这与基本事实_________矛盾，说明∠EOB≠EO D '∠的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO D '∠．小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．请补充上述证明过程中的基本事实：_________________________三、解答题21．如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，若1E ∠=∠，试说明：23∠∠=．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．∵AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G （已知）， ∴90ADC EGC ∠=∠=︒ ∴//AD EG （ ） ∴12∠=∠（ ） ∵1E ∠=∠（已知）， ∴E ∠=_______（等量代换） 又∵//AD EG （已证）， ∴______3=∠（ ） ∴23∠∠=（等量代换）．22．如图，//AD BC ，∠1=∠C ，∠B =60°，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ， 试说明//AB DE ．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．解：∵//AD BC ，（已知） ∴∠1=∠ =60°．（ ） ∵∠1=∠C ，（已知） ∴∠C =∠B =60°．（等量代换） ∵//AD BC ，（已知）∴∠C +∠ =180°．（ ）∴∠ =180°-∠C =180°-60°=120°．（等式的性质） ∵DE 平分∠ADC ，（已知） ∴∠ADE =12∠ADC =12×120°=60°．（ ） ∴∠1=∠ADE ．（等量代换） ∴//AB DE ．（ ）23．如图所示，已知，A F ∠=∠，C D ∠=∠．（1）求证： //BD CE ；（2）已知:2:3ABD DEC ∠∠=，求DEC ∠的度数． 24．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．（1）如图①，如果80A ∠=︒，求BPC ∠的度数；（2）如图②，作ABC 外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线，且交于点Q ，试探索Q ∠，A ∠之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段BP ，QC 交于点E 若BQE △中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A ∠的度数．25．如图已知12B C ∠=∠∠=∠,，求证：//AB CD ． 证明：∵12∠=∠（已知）， 且14∠=∠（__________），∴24∠∠=（__________）． ∴//BF _____（__________）．∴∠____3=∠（__________）． 又∵B C ∠=∠（已知）， ∴_____________（等量代换）． ∴//AB CD （__________）．26．在数学课上，学习了角平分线后，王老师给同学们出了如下题目：已知直线MN ⊥直线PQ ，垂足为O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图①，AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，点A 、B 在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求AEB ∠的大小．王老师又让各小组经过认真思考后，改编题目中的条件，提出问题，并解答．以下是两个小组提出的问题，请同学们继续解答．（2）创新小组：如图②，点F 是BAP ∠和ABM ∠的角平分线的交点，点A 、B 在运动过程中，F ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由．并求出F ∠的大小．（3）探索小组：如图③，点F 是平面内一点，连接AF 、BF ，将F ∠沿直线CD 翻折后与E ∠重合，已知AB 与CD 不平行，问E ∠、BCE ∠，ADE ∠存在怎样的数量关系（直接写出结论，不必证明）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD ；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD=180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°． 【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°， ∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB ， 即∠AOC=∠BOD ，故②正确； ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确； 如图，AB 与OC 交于点P ，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．综上，②③④正确，共3个，故选：D．【点睛】本题考查了余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．A解析：A【分析】对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.【详解】∵平行于同一直线的两条直线平行，∴选项A正确；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项B错误；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项C错误；∵两直线平行，同位角相等，∴选项D错误；故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键.3．A解析：A【分析】利用对顶角、三角形内角和、平行线的性质等分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、三角形三个内角的和等于180°，是真命题；C、两直线平行，同位角相等，是真命题；D、两点之间，线段最短，是真命题；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角、平行线的性质和三角形内角和，难度不大．4．B解析：B 【分析】需要证明一个结论不成立，可以举反例证明； 【详解】∵当1a =，2b =-时，1＜2-，∴证明了命题“若,a b >则a b >”是假命题； 故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，准确分析判断是解题的关键．5．C解析：C 【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可． 【详解】A 3的逆命题是：3的平方根，是假命题；B C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题； 故选：C ． 【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．6．C解析：C 【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE ，只要求出∠DAC ，∠CAE 即可． 【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C ，∠B=45°，∠C=73°， ∴∠BAC=62°， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠DAC=12∠BAC=31°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．B解析：B【解析】A不可以；∵∠1=∠3，∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB∥CD，∴A不可以；B可以；∵∠2=∠4，∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B可以；C、D不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB∥CD；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB∥BC；∴C、D不可以；故选B.8．B解析：B【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的判定和直线定理、平行四边形的判定和性质定理、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质定理判断即可．【详解】解：（1）等边三角形的三个内角都相等，是真命题，逆命题为：三个角相等的三角形是等边三角形，是真命题；（2）平行四边形相邻的两个角互补，但不一定相等，本说法是假命题，逆命题为：相邻的两个角都相等的四边形是平行四边形，是真命题；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题，逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；（4）底角相等的两个等腰三角形不一定全等，本说法是假命题，逆命题为：两个全等的等腰三角形的底角相等，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．C解析：C【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义逐一分析即可．【详解】解：A．对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，该项为假命题；B．两直线平行，内错角相等，该项为假命题；C．任何非负数的算术平方根是非负数，该项为真命题；D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项为假命题；故选：C．【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．【详解】解：A、∵∠1=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；B、∵∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），但不能判定AD∥BC；C、∵∠EAD=∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；D、∵∠D=∠DCF，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．11．C解析：C【分析】直接利用平行线的性质、判定以及对顶角的定义、补角的特征分别判断得出答案．【详解】A 、两直线平行，同位才能角相等，此项错误；B 、相等的角不一定是对顶角，此项错误；C 、内错角相等，两直线平行，此项正确；D 、互补的两个角不一定有一个锐角，有可能是两个直角，此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、判定以及对顶角的定义等，掌握平行线与相交线的相关知识是解题关键．12．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理得到180A B C ∠+∠+∠=︒，则180B C A ∠+∠=︒-∠，变形得180A A ︒-∠=∠，解得90A ∠=︒，即可判断△ABC 的形状．【详解】解：∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴180B C A ∠+∠=︒-∠，又∵+A B C ∠=∠∠，∴180A A ︒-∠=∠，解得：90A ∠=︒，∴△ABC 为直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考察了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．二、填空题13．14°【分析】根据∠A ＝52°可求∠B 由折叠可知∠DA′C=52°利用外角性质可求【详解】解：∵∠ACB ＝90°∠A ＝52°∴∠B=90°-52°=38°由折叠可知∠DA′C=∠A ＝52°∠A′DB解析：14°【分析】根据∠A ＝52°，可求∠B ，由折叠可知∠D A′C=52°，利用外角性质可求．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝52°，∴∠B=90°-52°=38°，由折叠可知∠D A′C=∠A ＝52°，∠A′DB=∠D A′C -∠B=52°-38°=14°，故答案为：14°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质，解题关键是灵活运用三角形的性质和轴对称性质建立角之间的联系．14．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点 解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．15．如果两个角相等那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论部分写在那么的后面即可【详解】解：命题等角的余角相等写成如果…那么…的形式为：如果两个角是相等角的余角那么这两个角相 解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．16．90°【分析】由平行线性质可得到再由角平分线定义可得到【详解】解：∵AB ∥CD ∴∠BGH+∠GHD=180（两直线平行同旁内角互补）又GMHM 分别平分∠BGH ∠GHD ∴∠MGH+∠GHM=90（角平解析：90°【分析】由平行线性质可得到180BGH GHD ∠+∠=︒，再由角平分线定义可得到90GMH ∠=︒．【详解】解：∵AB ∥CD∴∠BGH+∠GHD=180︒（两直线平行，同旁内角互补）又GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，∴∠MGH+∠GHM=90︒（角平分线的定义）∴ ∠GMH=180︒-（∠MGH+∠GHM ）=180︒-90︒=90︒（三角形内角和定理）． 故答案为 90°．【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线及平行线的综合应用，熟练掌握有关性质、定义和定理是解题关键．17．已知；两直线平行同位角相等；90°；180°；三角形内角和定理；50°【分析】由平行线的性质和垂线的定义可得∠1＝∠BCD ＝40°∠CBD ＝90°由三角形内角和定理可求∠2的度数【详解】∵AB ∥CD解析：已知；两直线平行，同位角相等；90°；180°；三角形内角和定理；50°【分析】由平行线的性质和垂线的定义可得∠1＝∠BCD ＝40°，∠CBD ＝90°，由三角形内角和定理可求∠2的度数．【详解】∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠BCD＝40°（两直线平行，同位角相等）．∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°．∵∠2+∠CBD+∠BCD＝180°（三角形内角和定理），∴∠2＝50°．故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，90°，180°，三角形内角和定理，50°．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．18．56°【解析】解：∵AD∥BC∴∠2=∠ADB又∵AD∥BC∠A=112°∴∠ABC=180°-∠A=68°∵∠1=∠2∴∠1=∠2=∠ADB=34°∵BD⊥CD∴∠2+∠C=90°∴∠C=90°﹣解析：56°【解析】解：∵AD∥BC，∴∠2=∠ADB．又∵AD∥BC，∠A=112°，∴∠ABC=180°-∠A=68°，∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ADB=34°，∵BD⊥CD，∴∠2+∠C=90°，∴∠C=90°﹣34°=56°，故答案为56°．点睛：此题综合运用了三角形的内角和定理、平行线的性质．三角形的内角和是180°；两条直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．19．①③【分析】先根据AB⊥BCAE平分∠BAD交BC于点EAE⊥DE∠1+∠2=90°∠EAM和∠EDN的平分线交于点F由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论【详解】解：∵AB⊥BCAE⊥DE解析：①③【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确，故答案为：①③．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．20．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案【详解】解：假设∠EOB≠∠EOD过点O作直线解析：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．【详解】解：假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，依据基本事实同位角相等，两直线平行，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【点睛】本题考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题的关键．三、解答题21．见解析【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=∠EGC=90°，根据平行线的判定得到AD∥EG，由平行线的性质得到∠1=∠2，等量代换得到∠E=∠2，由平行线的性质得到∠E=∠3，等量代换即可得到结论．【详解】∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠E=∠1（已知）∴∠E=∠2（等量代换）∵AD∥EG，∴∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠2=∠3（等量代换）．【点睛】考查了平行线的性质、垂直的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质．22．B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线性质；内错角相等，两直线平行．【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空．【详解】解∵//AD BC，（已知）∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠C，（已知）∴∠C=∠B=60°．（等量代换）∵//AD BC，（已知）∴∠C+∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质）∵DE平分∠ADC，（已知）∴∠ADE=12∠ADC=12×120°=60°．（角平分线性质）∴∠1=∠ADE．（等量代换）∴//AB DE．（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．23．（1）见解析；（2）∠D EC =108°【分析】（1）由AC//DE可得∠D=∠ABD，根据等量代换得到∠C=∠ABD，从而可证BD//C E；（2）设∠ABD=2x，∠D EC=3x，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】（1）证明∵∠A=∠F，∴AC//DE，∴∠D=∠ABD，∵∠D=∠C ，∴∠C=∠ABD ，∴BD//C E ；（2）∵BD//C E ，DF//BC ，∴∠ABD =∠C ，∠D EC +∠C=180°，∵∠ABD ：∠DEC=2:3，∴设∠ABD=2x ，∠D EC=3x ，则2x+3x=180°，∴x=36°，∴∠D EC =3x=108°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．24．（1）130︒；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）A ∠的度数是90°或60°或120° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE 中，由于∠Q=90°12-∠A ，求出∠E=12∠A ，∠EBQ=90°，所以如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E ；④∠E=2∠Q ；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）∵80A ∠=︒，∴100ABC ACB ∠+∠=︒，又∵点P 是ABC ∠和ACB ∠的平分线的交点，∴50PBC PCB ∠+∠=︒，∴()180********P PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）∵外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线交于点Q ， ∴12QBC MBC ∠=∠，12QCB NCB ∠=∠， ∵180ABC MBC ∠+∠=︒，180ACB NCB ∠+∠=︒，∴180MBC ABC ∠=︒-∠，180NCB ACB ∠=︒-∠， ∴()12QBC QCB MBC NCB ∠+∠=∠+∠()13602ABC ACB =︒-∠-∠ ()1360180-2A =︒-︒∠⎡⎤⎣⎦ ()11802A =︒+∠ 1902A =+∠︒， ∴()180Q QBC QCB ∠=︒-∠+∠1180902A ⎛⎫=︒-︒+∠ ⎪⎝⎭1902A =︒-∠； （3）延长BC 至F ，∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的角平分线，∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线，∴∠ACF=2∠ECF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC=2∠EBC ，∵∠ECF=∠EBC+∠E ，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E ，即∠ACF=∠ABC+2∠E ，又∵∠ACF=∠ABC+∠A ，∴∠A=2∠E ，即∠E=12∠A ， ∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC =12（∠ABC+∠A+∠ACB ） =90°．如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E ，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q ，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．25．见解析【分析】根据平行线的判定和性质解答．【详解】解：证明：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠4（对顶角相等），∴∠2=∠4（等量代换），∴BF ∥EC （同位角相等，两直线平行），∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B=∠C （已知），∴∠3=∠B （等量代换），∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 26．（1）AEB ∠的大小不变，理由见解析；135AEB ∠=︒；（2）AFB ∠的大小不变，理由见解析；45F ∠=︒；（3）2ADE BCE E ∠+∠=∠．【分析】（1）根据三角形内角和定理结合角平分线性质解题；（2）由邻补角的定义结合三角形内角和定理解得270BAP ABM ∠+∠=︒，由角平分线的性质得到12EAB OAB ∠=∠，12EBA OBA ∠=∠，据此整理解题； （3）由翻折的性质，得到F E ∠=∠，FDC EDC ∠=∠，FCD ECD ∠=∠，再由三角形内角和定理结合角的和差解题即可.【详解】解：（1）结论：AEB ∠的大小不变，理由：∵90AOB ∠=︒，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线， ∴12EAB OAB ∠=∠，12EBA OBA ∠=∠，∴1()452EAB EBA OAB OBA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴18045135AEB ∠=︒-︒=︒． （2）结论：AFB ∠的大小不变，理由：∵90AOB ∠=︒，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∴270BAP ABM ∠+∠=︒，∵AF 、BF 分别是BAP ∠和ABM ∠的平分线， ∴12FAB PAB ∠=∠，12FBA MBA ∠=∠， ∴1()1352FAB FBA PAB MBA ∠+∠=∠+∠=︒， ∴180()18013545F FAB FBA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒； （3）2ADE BCE E ∠+∠=∠，理由如下：∵将F ∠沿直线CD 翻折后与E ∠重合，∴F E ∠=∠，FDC EDC ∠=∠，FCD ECD ∠=∠，∵180E ECD EDC ∠+∠+∠=︒，∴180ECD EDC E ∠+∠=︒-∠，又∵1802ADE EDC ∠=︒-∠，1802BCE ECD ∠=︒-∠，∴3602()ADE BCE ECD EDC ∠+∠=︒-∠+∠()36021802E E =︒-︒-∠=∠．【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.。
北师大版八年级上册数学第七章 平行线的证明含答案
北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，为等边三角形，是边上一点，在上取一点，使，在边上取一点，使，则的度数为（）A. B. C. D.2、如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶5∶10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM∶∠BCN等于（）A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶43、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（）A.8个B.7个C.6个D.5个4、如图，∠B=45°，∠D=64°，AC=BC，则∠E的度数是（）A.45°B.26°C.36°D.64°5、如图，在中，，是的中点，若，则（）A.108°B.720°C.54°D.36°6、已知等腰三角形的一个外角等于70°，则底角的度数为（）A.110°B.55°C.35°D.不能确定7、三角形的内角和为（）A.540 oB.360 oC.180 oD.60 o8、如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（）A. B. C. D.9、如图，在中，是上一点，，则的度数是（）A. B. C. D.10、若等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角的度数为（）A.65°、65°B.65°、65°或50°、80°C.50°、80° D.50°、50°11、如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（）A. B. C. D.12、如图，已知与的角平分线相交于点，若，设，则的度数是（）A. B. C. D.13、如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（）A. B. C. D.14、如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC=100°，那么∠DAF的度数为（）A.40°B.30°C.20°D.10°15、等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为( )A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150°二、填空题(共10题，共计30分)16、有这么一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和，得n2，计算n22+1得a2；第三步：算出a2的各位数字之和，得n3，再计算n32+1得a3；…．依此类推，则a2017=________．17、如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC=________度.18、如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1= ；再过P1作P1P2⊥OP1且P 1P2=1，得OP2= ；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得=________．19、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于________度．20、如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第________ 行最后一个数是88．21、在平面内，若直线a与b没有公共点，则称a与b________ ，记作________ ．22、下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为________ ．23、如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为________.24、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，若∠A＝20°，则∠ADE＝________．25、如图，O是△ABC内一点，∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，若∠A=66°，则∠BOC=________度．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图所示，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，若∠B=28°，∠DAE=16°，求∠C的度数．27、如图，在中，D是BC边上一点，，，求的度数.28、请在横线上和括号内填上推导内容或依据．如图，已知，，求证：．证明：（已知），（），（）（ )．（）．（）．∵（已知），（）．（）．（）．29、如图: 是的高，为上一点，交于,且有.求证: .30、如图，已知：CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，∠1=∠2．求证：DG∥BC．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、D3、A4、B5、C6、C7、C8、D9、B10、B11、A12、C13、C14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
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第七章检测题
(满分：120分时间：120分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列语句中，是命题的是(C)
A．直线A B和CD垂直吗B．过线段A B的中点C画A B的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点
2．(2015 ·河池)如图，A B∥CD，CB⊥DB，∠D＝65°，则∠A BC的大小是( A )
A．25°B．35°C．50°D．65°
第2题图第3题图第4题图第5题图3．(2015 ·河北中考)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2等于(B)
A．90°B．100°C．130°D．180°
4．如图，已知△A BC中，点D在A C上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是( A )
A．∠DCE>∠A DB B．∠A DB>∠DBC C．∠A DB>∠A CB D．∠A DB>∠DEC 5．如图，A B∥CD，直线EF交A B于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝50°，则∠2等于(C)
A．50°B．60°C．65°D．90°
6．如图，已知直线A B∥CD，BE平分∠A BC，且BE交CD于点D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为(C)
A．150°B．130°C．120°D．100°
7．(2015 ·德阳中考)如图，直线a∥b，∠A＝38°，∠1＝46°，则∠A CB的度数是(C) A．84°B．106°C．96°D．104°
第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
8．适合条件∠A ＝12∠B ＝13
∠C 的三角形A BC 是( B ) A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C ．钝角三角形 D ．都有可能
9．(2016 ·梅州模拟)如图，在折纸活动中，小明制作了一张△A BC 纸片，点D ，E 分别在边A B ，A C 上，将△A BC 沿着DE 折叠压平，A 与A ′重合．若∠A ＝75°，则∠1＋∠2等于( A )
A ．150° B. 210° C ．105° D ．75°
10．(2016 ·荆门模拟)已知直线l 1∥l 2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于( B )
A ．30° B. 35° C ．40° D ．45°
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．命题“对顶角相等”的条件是__两个角是对顶角__，结论是__相等__．
12．如图，D A E 是一条直线，DE ∥BC ，则x ＝__64°__.
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，已知A B ∥CD ，∠DEF ＝50°，∠D ＝80°，∠B 的度数是__50°__.
14．如图，已知∠A ＝∠F ＝40°，∠C ＝∠D ＝70°，则∠A BD ＝__70°__，∠CED ＝__110°__.
15．(2015·聊城质检)已知如图，在△A BC 中，D 为BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D A C ＝100°，则∠B A C ＝__120°__.
第15题图第16题图第18题图16．用等腰直角三角板画∠A OB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线O A的夹角α为__22°__.
17．已知等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角为__50°或130°__.
18．如图所示，A B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝130°，则∠A＝__10__度．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD，求证：A B∥C D.
解：∵∠C＝∠1，∴CF∥BE，又BE⊥FD，∴CF⊥FD，∴∠CFD＝90°，则∠2＋∠BFD ＝90°，又∠2＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BFD，则A B∥CD
20．(8分)一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．
解：50°，因为∠1＝130°，所以与∠1相邻的内角为50°，所以∠3－∠2＝50°
21．(8分)如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，A B＝FD，求证：A E＝F C.
解：∵BE∥DF，∴∠A BE＝∠D，又A B＝FD，∠A＝∠F，∴△A BE≌△FDC(A S A)，∴A E＝FC
22．(10分)如图，△A BC中，∠B A C＝90°，∠A BC＝∠A CB，又∠BDC＝∠BCD，且∠1＝∠2，求∠3的度数．
解：由∠B A C＝90°，∠A BC＝∠A CB易求∠A CB＝45°，设∠1＝x，可得∠BCD＝∠2＋45°＝x＋45°＝∠3，∴x＋(x＋45°)＋(x＋45°)＝180°，x＝30，则∠3＝x＋45°＝75°
23．(10分)(2015 ·利津质检)如图，△A BC中，D，E，F分别为三边BC，B A，A C上的点，∠B＝∠DEB，∠C＝∠DF C.若∠A＝70°，求∠EDF的度数．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋∠C＝110°，∵∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC，∴∠B＋∠DEB＋∠C＋∠DFC＝220°，∵∠B＋∠DEB＋∠C＋∠DFC＋∠EDB＋∠FDC ＝360°，∴∠EDB＋∠FDC＝140°，即∠EDF＝180°－140°＝40°
24．(10分)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠A ED与∠C的大小关系，
并对结论进行证明．
解：∠A ED ＝∠C.∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠EFD ＝180°，∴∠2＝∠EFD ，∴A B ∥EF ，∴∠3＝∠A DE ，又∵∠3＝∠B ，∴∠A DE ＝∠B ，∴DE ∥BC ，∴∠A ED ＝∠C
25．(12分)(2015·顺义区质检)【问题】如图①，在△A BC 中，BE 平分∠A BC ，CE 平
分∠A CB ，若∠A ＝80°，则∠BEC ＝__130°__；若∠A ＝n °，则∠BEC ＝__90°＋12
n °__.
【探究】
(1)如图②，在△A BC 中，BD ，BE 三等分∠A BC ，CD ，CE 三等分∠A C B.若∠A ＝n °，
则∠BEC ＝__60°＋23
n °__； (2)如图③，O 是∠A BC 与外角∠A CD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系？请说明理由；
(3)如图④，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？(只写结论，不需证明)
解：(2)∠BOC ＝12∠A .理由：∠BOC ＝∠2－∠1＝12∠A CD －12∠A BC ＝12
(∠A CD －∠A BC )＝12
∠A (3)∠BOC ＝90°－12
∠A。