14.基本初等函数(2)

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基本初等函数

基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。

（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。

基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。

因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。

特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。

当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。

(2)基本初等函数 Word版含答案

（2）基本初等函数1、下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）A.()f xB.1()f x x =C.()f x ()||f x x =D.()f x =2、在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中的元素为（）A.(3,1)-B.(1,3)C.(1,3)--D.(3,1)3、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. ()R y x x =∈B. ()R y x x =∈C. ()21R 0y x x x =∈≠且D.()3R y x x =∈4、函数()223f x x x =++的单调递减区间是（）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. (),2-∞D. ()2,+∞5、实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（） A. 111a b+= B. 212a b += C. 122a b += D. 1212a b += 6、函数221()()3x x f x +=的值域是（） A ．(,3)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(0,3] D ．[3,)+∞7、据统计,第x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量:y (只)近似满足:()3log 2y a x =+,观测发现第1年有越冬白鹤3 000只,估计第7年有越冬白鹤( )A.4 000 只B.5 000 只C.6 000 只D.7 000 只8、(多选)函数2log (5)a y a -=-中,实数a 的取值可能是( ) A.52B.3C.4D.5 9、函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（） A.52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B.(3)+∞， C.52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D.(2)-∞，10、35y x =在[]1,1-上是( )A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数11、函数3()3(15)x f x x -=<≤的值域是____________.12、函数()213log 54y x x =--的单调递减区间为__________. 13、函数()221f x ax x =-+，若()y f x =在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围为 .14、为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 ()y mg 与时间 ()t h 成正比;药物释放完毕后, y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ (a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答相关问题。

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

在 R 上是减函数
函数值的变化情况
a 变化对
图象的影响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴；在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴；在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴．在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x

基本初等函数、初等函数

（5）反三角函数(Anti-Trigonometric Function)
以上列举的5类函数统称为基本初等函数．
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(1)幂函数(Power Function) 定义1 函数y x（是常数）称为幂函数
.
幂函数y x 在 0, 总有定义当＞ 0时，y x 在0, 上是单调增加的，其图像过点 0,0 及1,1 y y x 当 0 时，y x 在 [0,) y x2 y x 1 是单调减少的，其图像 (1,1) 通过点 (1,1) o 1 x 几个常用的幂
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例 2 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的
（3） y arctan sin e
3
（1）y sin 5x ；（2）y ln 1 1 x2
3
4x
3 解：（1）y sin 5 x 是由y u , u sin v, v 5 x复合而成
值域 , ，以为周期的奇函数
（4）余切函数
y cot x
.
cos x y cot x 的定义域是 sin x D f x x R, x n , n为整数，值域 , ，以为周期的奇函数
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正切函数和余切函数的图像如下：
而构成，并能用一个解析式表示的函数，称为初等函数. 1 sin x 2 1 x2 例如y x ，y 3xe 2都是初等函数 1 sin x x, x 0, 函数f x 可用y x 2 表示，故是初等函数 x, x 0.
x 3, x 0, 函数f x 2 不是初等函数 x , x 0. 由基本初等函数经过有限次四则运算后所成的函数称为初等函数

基本初等函数知识点

4.对数的运算性质如果，那么①ห้องสมุดไป่ตู้法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质
2
1.对数函数定义一般地，函数 2.对数函数性质：函数名称定义函数对数函数且叫做对数函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域 .
图象
定义域值域过定点奇偶性单调性在上是增函数图象过定点，即当非奇非偶在上是减函数时， .
4
4.函数值域： ①y
3 2x
②y
x3 5 x
5、函数图像变换知识 ①平移变换：形如：y=f(x+a)：把函数 y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x+a)的图象。形如：y=f(x)+a：把函数 y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x)+a 的图象 ②.对称变换 y=f(x)→ y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→ y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 ③.翻折变换 y=f(x)→y=f|x|, (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近 y 轴。 6 函数的表示方法 ①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 ②图像法：如果图形 F 是函数 y f ( x) 的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法. ③如果在函数 y f ( x) ( x A) 中， f ( x) 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法 7．分段函数在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。 8 函数单调性及证明方法: ①增函数：一般地 , 设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 f(x1)< f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数。此区间就叫做函数 f(x) 的单调增区间。 ②减函数：一般地 , 设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 f(x1)> f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。此区间叫做函数 f(x) 的单调减区间。 ③证明方法第一步：设 x1、x2 是给定区间内的两个任意的值，且 x1<x2；第二步：作差 f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”；第三步：判断差式 f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性 9.函数的奇偶性 ⑴奇函数 ①设函数 y=f（x）的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有-x∈D，且 f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数。 ②奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。

高等数学第二节初等函数

余弦函数： y=cos x
函数图象关于 y 轴对称，是偶函数；
是周期函数，周期为2 ；
cos x 1，是有界函数。
正切函数： y=tan x
y
y=tan x
-
2
O
2
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为；
当 x (k - , k ), k Z 时，
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义，所以它们不能构成复合函数
例3. 指出下列复合函数的结构
（1） y cos2 x
（2） y
反正切函数 y arctan x
反正切函数图象关于原点对称，是奇函数；是单调增函数； arctan x ，是有界函数。
2
反余切函数 y arccot x
是单调减函数； 0 arccot x ，是有界函数。
二、复合函数
在实际问题中，因变量与自变量的关系不是直接的，
y 1- x2
定义: 设函数 y f (u),其中u ( x)，且(x) 的
值的全部或部分落在 f(u)的定义域内, 则称函数
y f [( x)]为 x的复合函数，而 u 为中间变量
x u f y

自变量

中间变量因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
解
y y 设通话x分钟，中国联通收费 1 元，中国移动收费 2 元
则
y1 36 0.4x, y2 0.6x

第一章基本初等函数1.1.2

第一章 1.1 1.1.2
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导学号34340042 把α＝1 690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
π 25π [解析] 1 690° ＝180×1 690＝8π＋ 18 .
第一章
1.1
1.1.2
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导学号34340045
27π 3π ∴ 4 与 4 终边相同． 3π 27π 又∵ 4 是第二象限角，∴ 4 是第二象限角．
第一章 1.1 1.1.2
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39π 3π π 39π π (2) 6 ＝6π＋ 6 ＝6π＋2，∴ 6 与2的终边相同． π 39π 又∵2是象限界角，∴ 6 也是象限界角，它不属于任何象限．
第一章 1.1 1.1.2
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3π 3 (2)∵β1＝ 5 ＝(5×180)° ＝108° ，与其终边相同的角为 108° ＋k· 360° ，k∈Z， ∴在－720° ～0° 范围内与 β1 有相同终边的角是－612° 和－ 252° . 同理，β2＝－420° 且在－720° ～0° 范围内与 β2 有相同终边的角是－60° ，－420° .
导学号34340033
[答案] B 12π [解析] ＝720° ，故选 B． 3 ＝4π＝4×180°
第一章 1.1 1.1.2
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2．(2015· 山东烟台高一期末测试)若扇形的半径为 1，圆心角为 3 弧度，则扇形的面积为( A．1 C．2

专题07函数概念与基本初等函数(第二部分)

专题07函数概念与基本初等函数（第二部分）一、单选题1．下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x =2．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞3．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称 4．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y =|x 2−2x −3|与y=f （ x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则 1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m5．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f = A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题6．若函数()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于．三、单选题7．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，8．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．89．已知函数()()1222,1{log 1,1x x f x x x --≤=-+> ，且()3f a =-，则()6f a -=A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-10．设10(){2,0x x f x x ≥=<，则((2))f f -=A ．1-B ．14C ．12D ．3211．设函数3,1(){2,1x x b x f x x -<=≥，若5(())46f f =，则b =A ．1B ．78C ．34D ．1212．设x R ∈，定义符号函数1,0,sgn {0,0,1,0.x x x x >==-< 则A ．sgn x x x =B ．sgn x x x =C ．sgn x x x =D ．sgn x x x =四、填空题13．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是.14．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f（x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是. 15．已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．五、单选题16．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+ B ．321x x y x -=+ C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1xy x =+ 17．函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．18．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．19．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．20．函数y ＝1＋x ＋2sin xx 的部分图象大致为（） A ． B ． C ．D ．21．函数y=sin x 2的图象是A ．B ．C ．D ．22．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．23．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则函数的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

基本初等函数(选择题第二部分)

A. x 1 B. x 1 C. x D. x （3）等于 A.-1 B.1

1 2
C.-2

D.2
10. 已知 f (1, 1) 1, f (m, n) N (m . n N ) ，且对任何 m. n N 都有： ① f (m, n 1) f (m, n) 2 ；② f (m 1, n) 2 f (m, n) ，给出以下三个结论：（1） f (1, 5) 9 （2） f (5, 1) 16 （3） f (5, 6) 26 ，其中正确的个数为 A.3
1 2 8. 已知 f ( x) 在 R 上是减函数，且它的反函数为 f 1 ( x) ，如果 A（－2，1）与 B（2，－3） 1 x 1 ) | 2 的解集是是 y f ( x) 图像上的两点，则不等式 | f ( x 1 1 A. { x | x } B. { x | 0 x } C. {x | x 0} D. 4 4 3 9. 设函数 f(x)的图象关于点（1，）对称，且存在反函数 f 1 ( x )，若 f（3） = 0，则 f 1 2
B. a
1 5
C. a 1或a
1 5
D. a 1
21. 二次函数 y ax b 与一次函数 y ax b(a b) 在同一个直角坐标系的图像为
y
y
O
y x
O
y x
O
x
O
x
C D
22. 定义，其中
A
x R，n N * ，例如 M
4 4
B
n Mx x( x 1)( x 2)( x 3) „( x
3 3 14. 定义的 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2 )－f(x)＝0，且函数 y＝f(x－4 )为奇函数，给出下列命 3 题：①f(x)的周期是2 ； 3 ②y＝f(x)的图象关于点（－4 ，0）对称；其中真命题的个数是 D.0

第2章基本初等函数小结

定义图象
性质
应用
定义几个常用幂函数
幂函数
图象
在第一象限的特征
回顾与思考
1．本章学习了哪三种不同类型的函数？指数函数、对数函数和幂函数
2．你能举出指数、对数概念的实际例子吗？
3．有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发，根据指数幂的运算性质，我们推出了对数运算性质. 你能自己独立推导对数运算性质吗？
(2) y loga (2 x) (a 0, 且a 1);
(3) y loga (1 x) (a 0, 且a 1).
2
课本第82页复习参考题A组5题．
巩固练习
1 1. 已知集合 A { y | y log2 x , x 1}, B { y | y , x 1}, 2 则A B ( ). 1 ( A){ y | 0 y } 2 1 (C ){ y | y 1} 2 ( B ){ y | 0 y 1} ( D )
(2) 已知log2 3 a, log3 7 b, 试用a, b表示log14 56.
课本第82页复习参考题A组3题．
例2. 求下列函数的定义域： (1) y . 2
课本第82页复习参考题A组4题．
例3. 求下列函数的定义域： 1 (1) y ; log3 (3 x 2)
x
2. 若 a , b是任意实数 , 且a b, 则(
2 2
D
).
a b
b 1 1 ( A)a b ( B ) 1(C ) lg(a b ) 0( D ) a 2 2
3.如果a>1,b<-1，那么函数f(x)=ax+b的图象在 B （） (A)第一、二、三象限 (B)第一、三、四象限 (C)第二、三、四象限 (D)第一、二、四象限

专题一第2讲基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1(1)(2022·杭州模拟)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x) x的图象可能是()log＝1b(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b>0C．a－b≤0 D．a＋b≥0规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)(2022·山东名校大联考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<c(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点个数的判断例2 已知f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8考向2 求参数的值或范围例3 (2022·河北联考)函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，则k 的取值范围是________．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2 (1)(2022·合肥模拟)若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－2e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e －x －2B ．y ＝f (x )e x ＋2C ．y ＝f (x )e x －2D ．y ＝f (－x )e x ＋2(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，若关于x 的方程f (x )＝a (x ＋1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．考点三函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4 (1)(2022·西安模拟)2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv ＝v e ln m 0m 1，其中Δv 为火箭的速度增量，v e 为喷流相对于火箭的速度，m 0和m 1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭v e 达到5公里/秒，m 0m 1从100提高到600，则速度增量Δv 增加的百分比约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A ．15%B ．30%C ．35%D ．39%(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L ＝00GG L D ，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)( )A ．11B ．22C ．227D ．481易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型．(2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)河水污染质量指数为m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝r k ＋⎝⎛⎭⎫m 0－r k e kt -v (m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝220301,010100012,10100,20tt tt+⎧<⎪⎪⎨⎪⋅⎪⎩≤，≤≤为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)() A．20小时B．25小时C．28小时D．35小时。

高中数学专题02函数的概念与基本初等函数 (2)

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津文科05】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．2．【2019年天津文科08】已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}【解答】解：作出函数f（x）的图象，以及直线y x的图象，关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y x+a的图象有两个交点，平移直线y x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a或a，考虑直线与y在x＞1相切，可得ax x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．3．【2019年新课标3文科12】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年新课标2文科06】设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，即f（x）＝﹣e﹣x+1．故选：D．5．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．7．【2018年新课标2文科12】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．8．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【解答】解：函数f（x），的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故选：D．9．【2018年新课标3文科07】下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．10．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．11．【2018年天津文科05】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵a，b，c，且5，∴，则b，∴c＞a＞b．故选：D．12．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．13．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．14．【2017年天津文科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f （20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．15．【2017年天津文科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象如图：令g（x）＝|a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．16．【2018年新课标1文科13】已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝．【解答】解：函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．17．【2018年新课标3文科16】已知函数f（x）＝ln（x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝．【解答】解：函数g（x）＝ln（x）满足g（﹣x）＝ln（x）ln（x）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数．函数f（x）＝ln（x）+1，f（a）＝4，可得f（a）＝4＝ln（a）+1，可得ln（a）＝3，则f（﹣a）＝﹣ln（a）+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．18．【2018年天津文科14】已知a∈R，函数f（x）．若对任意x∈[﹣3，+∞），f （x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y＝x上，由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，得a，综上a≤2，故答案为：[，2]．19．【2017年新课标2文科14】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，∴f（﹣2）＝﹣12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）＝12，故答案为：1220．【2017年新课标3文科16】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．21．【2017年北京文科11】已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数的图象关于y轴对称，则实数a的值为（）A．2 B．4 C．2±D．4±【答案】C【解析】f x为偶函数.由于为奇函数，故也为奇函数.而依题意，函数()，故，即，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式的解集为（）A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴∵f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴，即故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】且即a b c ∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，若()f a b =，则()4f a -=（）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -【答案】B 【解析】因为故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，则（）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】由题意知：当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误；当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；，则()f x 不关于1x =对称，C 错误；，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当01x ≤≤时，2()f x x =，则（）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】由得：()f x 的周期为4又()f x 为奇函数()11f ∴=，，，即：本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,4D ．【答案】D 【解析】解：y，画出函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4， ①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4. 故选：D ．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】在R 上递减，∴若充分性成立，若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则，必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质

指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的观点1、假如 x na, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a0 ．3 、根式的性质： ( n a )na ；当 n 为奇数时， n a na ；当 n 为偶数时，na n|a |a (a 0) ． a (a 0)（二）分数指数幂的观点mna m (a 0,m, n1、正数的正分数指数幂的意义是：a n N , 且 n1) ．0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1) nn ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负aa分数指数幂没存心义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p1/a p ( a 0； p N )4、指数幂的运算性质a r a sa r s (a 0, r , s R)( a r )s a rs (a 0, r , s R)( ab) r a r b r (a 0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。

二、指数函数的观点一般地，函数 xy a ( a 0, 且a 1) 叫做指数函数，此中 x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．三、指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义函数 ya x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1y图象y 1Oya xya xy(0,1) y 1(0,1)xOx定义域 R值域（ 0,+ ∞）过定点图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),y=1(x=0),y=1(x=0),变化状况0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近y 轴； a 越大图象越低，越凑近 y 轴；a 越小图象越低，越凑近图象影响在第二象限内，在第二象限内， x 轴． x 轴．注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)，总有 f (1) a 且（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个存心义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

基本初等函数

正增负减，
0 1
指大图高；
1
0
奇偶一致，
负双正抛.
0
1
x
知识梳理
7．几类函数模型及其增长差异
几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型反比例函数模型
二次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b 为常数，a≠0) f(x)＝k＋b (k，b 为常数且 k≠0)
x f(x)＝ax2＋bx＋c
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题型一函数性质综合考察
例3.求下列函数的单调递增区间
(1) y 2x2 , x2 (2)y ( 1 )x2 x2 2
( 3 ) 三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是 ()
A. 0.76< log0.76 < 60.7 B. 0.76 < 60.7< log0.76
质
0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1 0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数； (5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0<a<1时,在R上是减函数
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
知识梳理
5.指数函数与对数函数对比
y 0.5x
y 10x
x
1.定义域：(,)
性 2. 值域： (0,)
质 3.过点 (0,1) ,即x=0时,y=1
4.在R上是函数在R上是函数
知识梳理
（4）指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图像规律

09-第9课时基本初等函数(II)

29第9课时基本初等函数（II ）教学目标（1）掌握根式、幂指数、对数的运算性质，熟练进行相关运算；（2）了解指对数的互化（会通过取对数的方法将指数式转化）；（3）熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，能根据单调性比较大小、解简单的指对数方程和指对数不等式；（4）掌握图象平移、对称变换的相关结论．课前预习1．（1）计算：①[(3－5)2]34＝____5______；②(2n ＋1)2·(12)2n ＋14n ·8－2____(12)2n －7______；（2）化简：(x ＋3)2－3(x －3)3＝_________________．⎩⎨⎧6，x ≥－3－2x ，x ＜－3．（3）计算：①log 6432＝____56___； ②12lg 3249－43lg 8＋lg 245____12___；（4）①已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝__2_____．②已知f (x 5)＝lg x ，则f (2) ＝__15lg2_____．2．若函数f (x )＝a x －3－2（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过点P ，则点P 的坐标为__ (3，－1) __．3．60．7，0．76，log 0．76从小到大排列为______ log 0．76＜0．76＜60．7____．（用“＜”连接）4．函数y ＝log 0.5(4x 2－3x )的定义域为____ [－14，0) (34，1] __．5．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点（3，33），则f (x )＝_________________．x －12典型例题例1（1）化简：a b －4b a －2；（2）若x log 34＝1，求23x ＋2－3x2x ＋2－x 的值；（3）已知log 23＝a ，3b ＝7，试用a 、b 表示log 1256．解 (1)原式＝(a ·b －2b ·a－1)12＝(a 2b －3)12＝ab －32． (2)由x log 34＝1，得log 34x ＝1，所以4x ＝3．所以 23x ＋2－3x 2x ＋2－x ＝(2x ＋2－x )( 22x ＋2－2x －1) 2x ＋2－x ＝4x ＋4－x －1＝3＋13－1＝73． (3)因为3b ＝7，所以b log 23＝log 27，所以ab ＝log 27．所以log 1256＝log 256log 212＝log 2(7×23)log 2(3×22)＝log 27＋3log 23＋2＝ab ＋3a ＋2．例2 已知函数（1）y ＝(13)|x ＋2| （2）y ＝log 2｜x －1｜， (1)画出它的图象，并指出它们的单调区间.(2)若函数有最值，则根据图象指出当x 取什么值时函数取到最值.解：（1）由图可知单调递增区间（－∞，－2]，单调递减区间[－2，＋∞）当x =－2时，函数的最大值为1（2）由图可知单调递减区间（－∞，1］，单调递增区间[1，＋∞）例3 已知函数f (x )=log 3(x －k )(k 为常数)，A （－2k ，2）是函数y = f (x )图象上的点，（1）求实数k 的值；（2）将y ＝f (x )的图象向右平移3个单位得到函数y ＝g (x )的图象，若2f (x ＋m －3)－g (x )≥1 恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f (x )图象上的点∴log 3(－3k )=3，故k =－3（2）函数y =log 3(x ＋3) 的图象向右平移3个单位得到函数g (x )= log 3x 的图象2f (x +m －3)－g (x )≥1恒成立即2log 3(x ＋m )－log 3x ≥1恒成立，(x ＋m )2≥3x 在（0，+∞）恒成立即m ≥3x －x 在（0，+∞）恒成立而3x －x 在（0，+∞）上的最大值为34，故要使m ≥3x －x 在（0，+∞）恒成立只要m ≥34，即m ≥916即可．第9课时基本初等函数（II ）1．给出下列4个等式：①log 253＝3log 25；②log 253＝5log 23；③log 24＝4；④log 9(4＋8)＝log 936－log 93．其中正确的等式是___①③④___.2．计算：（1）lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝_________32____________；（2）(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432＝______52____________. 3．（1）设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝___10_____．（2）已知lg(1＋17)＝a ，lg(1＋149)＝b ，试用a ，b 表示lg2为___ lg2＝2a ＋2－b 7___.4．已知函数f (x )满足：x ≥4，则f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝_124__．5．若函数f (x )＝a x －(b ＋1)（a ＞0，且a ≠1）的图象在一、三、四象限内，则a ，b 的取值范围是__ a ＞1，且b ＞0 ______．6．若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为_2，2 4_．7．若log a 34＜1，则a 的取值范围是___ (0，34)∪(1，＋∞) ___．8．若log a 2＞log b 2＞0，则a ，b ，1的关系___1＜a ＜b _____．9．若关于x 的方程|a x －1|＝t （a ＞0且a ≠1）有两个不同的解，则t 的取值范围是_ (0，1)_．10．函数y ＝｜log 12x ｜的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，若定义区间[a ，b ]的长度为b －a ，则区间[a ，b ]的长度的最小值为___34____．11．(1)解下列方程： ①5x ＋1＝3x 2－1； ②lg x ＋lg(x －3)＝1；(2)解下列不等式：①3×4x －2×6 x ＞0；② log 12(x ＋3)＞3.解：(1)原方程两边取常用对数，得(x ＋1)lg5＝(x －1)lg3，所以(lg5－lg3)x ＝－(lg5＋lg3)，x ＝－lg5＋lg3lg5－lg3＝－log 5315.原方程的解为x ＝－log 5315； ②由lg x ＋lg(x －3)＝1，得lg[x (x －3)]＝1，所以x (x －3)＝10，即x 2－3x －10＝0，解得x ＝－2，x ＝5，经检验x ＝－2舍去，所以原方程仅有惟一解x ＝5；（2）①由3×4x －2×6 x ＞0，得3×4x ＞2×6 x，所以6x 4x ＜32，即(32)x ＜32，所以x ＜1；（由3×4x ＞2×6 x ，两边取常用对数得lg3＋x lg4＜lg2＋x lg6，即(lg4－lg6)x ＜lg2－lg3,所以lg 32·x ＜lg 32，因为lg 32＞0，所以x ＜1，解集为(－∞，1)； ②由log 12(x ＋3)＞3，得0＜x ＋3＜(12)3，所以－3＜x ＜－238，解集为(－3，－238).12．作出下列函数的图象的简图（保留作图痕迹）（1）y ＝2|x －1|；（2）y ＝|log 2(x ＋1)|；（3）y ＝1＋3－x ；（4）y ＝e |ln x |．13．已知f (x )＝lg(a x －k ·b x )(常数a ＞1＞b ＞0)．（1）求y ＝f (x )的定义域；（2）若k ＝1，则当a ，b 满足什么条件时，f (x )在区间(1，＋∞)上恒取正值．解：（1）由a x －k ·b x ＞0，得a x ＞k ·b x ，(a b )x ＞k ．因为a ＞1＞b ＞0，所以a b＞1．当k ≤0时，f (x )的定义域为R ；当k ＞0，则x ＞log a b k ，f (x )的定义域为（log a bk ，＋∞）．（2）因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 是(0，＋∞)上的增函数，y ＝b x 是(0，＋∞)上的减函数，所以y ＝a x －b x 是(0，＋∞)上的增函数，y ＝f (x ) 是(0，＋∞)上的增函数．当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)．当f (1)＝lg(a －b )≥0，即a －b ≥1时，f (x )＞0在(1，＋∞)上恒成立．。

基本初等函数讲义(全)

基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。

当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。

当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。

当b等于0时，函数图像经过原点。

二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。

一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。

2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。

3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。

-Δ/4a)。

当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。

-b/2a)上递增，在[-b/2a。

+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。

-b/2a]上递增，在[-b/2a。

+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。

三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。

2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。

四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。

2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。

正数的负分数指数幂没有意义。

非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。

对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。

基本初等函数有哪些

基本初等函数有哪些
基本初等函数有：
(1)常数函数y = c( c 是一个常数)
(2)幂函数y = x^a( a 是一个常数)
(3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1)
(4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1，真数x>0)
(5)三角函数与反三角函数(比如正弦函数：y =sinx 反正弦函数：y = arcsin x等。

)
初等函数的性质是什么
幂函数
像y=x^a功能，在哪里？a是一个真正的常数。

指数函数
像y=a^x功能，在哪里？a不等于1正常数。

对数函数
手指数函数反函数，记录为y=loga a x，在哪里？a不等于1正常数。

在指数函数和对数函数之间关系，loga ax=x。

三角函数
正弦函数y=sinx ，余弦函数y=cosx ，正切函数y=tanx，余切
函数y=cotx ，割线函数y=secx，余割功能y=cscx(看见三角学)。

反三角函数
三角函数反函数——反正弦函数y = arc sinx ，后面超过字符串函数 y=arc cosx (-1≤x≤1，初等函数0≤y≤π) ，后面只是切功能 y=arc tanx ，反余切函数 y = arc cotx(-∞<x<+∞，θ<y<π）等。

这些函数通常被称为基本初等函数。

14.基本初等函数(2)

基本初等函数

(2)基本初等函数 Word版含答案

高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

基本初等函数、初等函数

基本初等函数知识点

高等数学第二节初等函数

第一章基本初等函数1.1.2

专题07函数概念与基本初等函数(第二部分)

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2

基本初等函数(选择题第二部分)

第2章 基本初等函数小结

专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程

高中数学专题02函数的概念与基本初等函数 (2)

(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质

基本初等函数

09-第9课时 基本初等函数(II)

基本初等函数讲义(全)

基本初等函数有哪些

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专题一第2讲基本初等函数、函数与方程

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