1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. 解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3 ＝18x2－8x＋9. 解： (2)法二： ∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
由法则2:
C f ( x) C ' f ( x) C f ( x) C f ( x)
法则1:可以推广到有限个可导函数的和的情
形,即
( u1 u2 un ) u1 u u . 2 n
例1 解
1 求函数 y 2 sin x 3 的导数. x 1 x y ( 2 sin x 3) x 1 x ( 2 ) ( ) (sin x ) ( 3) x
2
sin xcos x＋x ＝ . cos2x
练习：求下列函数的导数 x＋3 1 1 2 x (1)y＝x(x ＋ ＋ 3)； (2)y＝e sin x； (3)y＝ 2 . x x x ＋3 1 1 1 2 3 解：(1)∵y＝x(x ＋ ＋ 3)＝x ＋1＋ 2， ∴y′＝3x2－ 23. x x x x
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
题型三：导数的综合应用
例 1：已知直线 l1 为曲线 y＝x ＋x－2 在点(1,0)处的切线， l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积．
2
解：(1)y′＝2x＋1. ∴直线 l1 的方程为 y＝3x－3.
曲线在P (1,1)处的切线的斜率为 y | x 1 3, k 从而切线方程为 1 3( x 1), 即3 x y 4 0. y
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ( 4 ) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
例用导数公式求下列函数的导数. . (1) f ( x) x
5
1 (2) f ( x) x (4) f ( x) x
5 3
(3) f ( x) wk.baidu.com x (5) f ( x) 1 x
2
x
(6) f ( x) 3x 1 (8) f ( x) x 2 (10) f ( x) lg x
练习： 求下列函数的导数： x－1 (3)y＝ ； (4)y＝x· x. tan x＋1 xsin x 解：(4)y′＝(x· x)′＝( tan )′ cos x xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x
sin x＋xcos xcos x＋xsin x ＝ cos2x
所以
f (1) 4.
a x , 求 y . 例3 设函数 y a x
解
根据除法法则，有
(a x )(a x ) (a x )( a x ) y (a x ) 2
(a x ) (a x ) (a x ) 2
2a . 2 (a x )
3 f ( ) sin . 3 3 2 1
若直线y=4x+b是函数y=x2图象 例7
的切线,求b以及切点坐标.
解 : 设切点P( x0 , y0 ) f ( x) ( x ) 2 x
2
2 x0 4, x0 2, y0 2 4
2
即切点坐标(2,4), 由题意得此点也在直线y 4 x b上 4 4 2 b, b 4
－x2－6x＋3 ＝ . 2 2 x ＋3
例5
的切线的直线方程.

1 , 求在曲线y=cosx上点P( ) 3 2
解： f ( x) cos x, f ( x) sin x,
3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为 ， 3 2 2 1 3 所求的直线方程为y ( x ), 2 2 3 3 即 3x 2 y 1 0. 3
2 2
(4) y
(5) y
1 ; 2 cos x
1 x
2
6 x3 x
;
1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
(6) y (7) y
4 ; 5 x
3 x; 2
练习： 求下列函数的导数： 5 3 2 2 (1)y＝x －3x －5x ＋6； (2)y＝(2x ＋3)(3x－2)； x－1 (3)y＝ ； (4)y＝x· x. tan x＋1
y＝3x－3，
得
1 x＝ ， 6 5 y＝－2
.
1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 ( ，－ )． 6 2
22 l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－ ，0)． 3
1 25 5 125 所以所求三角形的面积为 S＝ × ×|－ |＝ . 2 3 2 12
练习：已知抛物线 y＝ax ＋bx＋c 通过点(1,1)，且在点 (2，－1)处与直线 y＝x－3 相切，求 a、b、c 的值．
所以 a＋b＋c＝1. 解：因为 y＝ax ＋bx＋c 过点(1,1)，
2
2
y′＝2ax＋b，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)， 所以 4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， 由4a＋b＝1， 4a＋2b＋c＝－1，
a＝3， 解得b＝－11， c＝9.
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函 数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平 方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
1.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
导数及其应用
基本初等函数的导数公式:
1、若f ( x) c , 则 f ( x) 0 n 1 n 2、若f ( x) x , 则 f ( x) n x 3、若f ( x) sin x , 则 f ( x) cos x 4、若f ( x) cos x , 则 f ( x) sin x
设直线 l2 过曲线 y＝x ＋x－2 上的点 B(b，b ＋b－2)，
2 2
则 l2 的方程为 y＝(2b＋1)x－b －2.
1 2 因为 l1⊥l2， 则有 2b＋1＝－ ，b＝－ . 3 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y＝－ x－ . 3 9
2
(2)解方程组 1 22 y＝－3x－ 9 ，
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
例 2：点 P 是曲线 y＝e 上任意一点，求点 P 到直线 y ＝x 的最小距离．
x
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 x y＝e 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
x
指数函数
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1: (C ) ' 0; 公式2 : ( x n ) ' nx n 1 ; 公式3 : (sin x) ' cos x; 公式4 : (cos x) ' sin x; 公式5 : (a x ) ' a x ln a (a 0); 公式6 : (e x ) ' e x ; 1 公式7 : (log a x) ' ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8 : (ln x) ' ; x
例8 若直线y=3x+1是曲线y=ax3的
切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=－1/2.
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
1 1 2.求函数y 的图象上点(2, )处的切线方程. x 2
3.曲线y x 的一条切线方程为6 x y 9 0,
2
求切点的坐标.
4.求曲线y 3上过点(1,3)的切线方程.
例3.已知y log 2 x，求曲线在点 5. x 2处的切线方程.
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x
＝ex(sin x＋cos x)．
x＋3 x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ 解：(3)y′＝( 2 )′＝ x ＋3 x2＋32
x2＋3－x＋3×2x ＝ x2＋32
∴y′＝18x2－8x＋9.
练习： 求下列函数的导数： x－1 (3)y＝ ； (4)y＝x· x. tan x＋1 x－1 解：(3)法一：y′＝( )′ x＋1 x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12 2 x＋1－x－1 ＝ 2. ＝ 2 x＋1 x＋1 2 x－1 x＋1－2 ＝1－ ， 解：(3)法二：∵y＝ ＝ x＋1 x＋1 x＋1 2 ∴y′＝(1－ )′＝(－ 2 )′ x＋1 x＋1 2 2′x＋1－2x＋1′ ＝ 2. ＝－ 2 x＋1 x＋1
例4.已知y cos x，求曲线在点 6. 5 x 处的切线方程. 6
1 2 y ( x 2) 2 2 ln 2
3 1 5 y (x ) 2 2 6
1 y 3 x 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 例:已知曲线
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 解：y 3 , y ( 3 ) ( x 3 ) 3 x 4 ; x x
(7) f ( x) 3
x
(9) f ( x) log 3 x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差), 即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
( x) a x ln a 5、若f ( x) a , 则 f
x x
常函数 幂函数 三角函数
6、若f ( x) e , 则 f ( x) e 1 x 7、若f ( x) log a , 则 f ( x) x ln a 1 对数函数 8、若f ( x) ln x , 则 f ( x) x
即 y′|x＝x0＝1.
∴e ＝1，得 x0＝0， ∵y′＝(e )′＝e ，
x
1 = 2 ln 2 + 2 + cos x . x
x
例2
1 设 f ( x ) (1 x )(1 2 ), 求 f (1). x
2
解 根据乘法法则，有
1 1 2 f ( x ) (1 x )(1 2 ) (1 x )(1 2 ) x x
2
1 2 2 2 x(1 2 ) (1 x ) 3 x x 2 2x 3 x
题型一：导数公式及导数运算法则的应用
例1:求下列函数的导数:
(1) y x 2 x 3
3
答案: (1) y 3x2 2;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
1 2 (2) y 2 ; x x x (3) y ; 2 1 x (4) y tan x; (5) y (2 x 3) 1 x ;