第2讲 基本初等函数、函数的应用

(2)∵f(x)在12，＋∞上为减函数，且
y＝log1t 2
在(0，＋∞)上为减函数，∴t＝x2－ax
＋a 在12，＋∞上为增函数，且 t＞0.因此－－2a≤12，且122－a2＋a≥0，解得 a≤1
且 a≥－12，则 a 的取值范围为－12，1. 答案 (1)D (2)B
探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、对数 函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围. 2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如本例(2)中易只考虑 y＝log1t
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，
∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.
(2)函数 y＝|log2x|－12x的零点，即方程|log2x|－12x＝0 的根，即函数 y＝|log2x|与 y＝12x 图象的交点，画出 y＝|log2x|与 y＝12x的图象，易知交点有 2 个.选 C. 答案 (1)B (2)C
当 k＞0 时，如图③，由 y＝kx－2 与 y＝x2 联立，得 x2－kx＋2＝0，令 Δ＞0，得 k2 －8＞0，解得 k＞2 2或 k＜－2 2(舍去)，此时 y＝|kx－2|与 h(x)＝f（|xx|）的图象有 3 个交点. 综上，k 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).故选 D.
法二 由法一知 y＝|kx－2|与 h(x)＝f（|xx|）的图象有 3 个交点，令 k＝－12，检验知符 合题意，可排除选项 A，B；令 k＝1，检验知不符合题意，可排除选项 C.故选 D. 答案 D
答案 B
3.(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根
据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：
I(t)＝1＋e－0K.23（t－53），其中 K 为最大确诊病例数.当 I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏
第2讲 基本初等函数、函数的应用
高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与 性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理； 3.能利用函数解决简单的实际问题.
真题感悟
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
制疫情，则 t*约为(ln 19≈3)( )
A.60
B.63
C.66
D.69
解析
因为
I(t)
＝
K 1＋e－0.23（t－53）
，
所
以
当
I(t*) ＝ 0.95K
时
，
K 1＋e－0.23（t*－53）
＝
0.95K⇒1＋e－0.123（t*－53）＝0.95⇒1＋e－0.23(t*－53)＝0.195⇒e－0.23(t*－53)＝0.195－1⇒e0.23(t*－53)
角度 2 根据函数的零点数形结合求参数
【例 3】 (1)已知函数 f(x)＝elnx，x，x≤x>00，，g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是( )
A.[－1，0) C.[－1，＋∞)
B.[0，＋∞) D.[1，＋∞)
(2)(2019·天津卷)已知函数
2 x，0≤x≤1，
f(x)＝1x，x>1.
若关于
x
的方程
f(x)＝－14x＋
a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为( )
A.54，94
B.54，94
C.54，94∪{1}
D.54，94∪{1}
解析 (1)函数 g(x)＝f(x)＋x＋a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f(x)＝－x－a 有 2 个 不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 y＝－x－a 有 2 个交点，作出直线 y＝－x－a 与函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得 a≥－1.
2 与 t＝x2－ax＋a 的单调性，而忽视 t＞0 恒成立的限制条件.
【训练 1】 (1)(2020·天津卷)设 a＝30.7，b＝13－0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大小关
系为( ) A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
(2)(2020·济南模拟)已知函数 f(x)＝l|xo＋gax2，|，x－＞30≤，x≤0(a＞0 且 a≠1)，若函数 f(x)的
观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点. 答案 (1)C (2)2
探究提高 判断函数零点个数的主要方法： (1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理； (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为 两个能画出的函数图象交点问题.
反馈
文字语言⇒数学语言⇒数学应用⇒检验作答.
热点一 基本初等函数的图象与性质 【例 1】 (1)在同一直角坐标系中，函数 y＝a1x，y＝logax＋12(a>0，且 a≠1)的图象可
能是( )
(2)(2020·百校联盟考试)已知函数 f(x)＝log12(x2－ax＋a)在12，＋∞上为减函数，则实
图象上有且仅有两个点关于 y 轴对称，则 a 的取值范围是( )
A.(0，1)
B.(1，3)
C.(0，1)∪(3，＋∞)
D.(0，1)∪(1，3)
解析 (1)因为 a＝30.7＞30＝1，b＝13－0.8＝30.8＞30.7，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，所 以 b＞a＞c.故选 D. (2)y＝logax的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝loga(－x)，函数f(x)的图象上 有且仅有两个点关于y轴对称，等价于y＝loga(－x)与y＝|x＋2|，－3≤x≤0的图象 有且仅有一个交点.当0＜a＜1时，显然符合题意(图略).当a＞1时，只需loga3＞1， ∴1＜a＜3，综上所述，a的取值范围是(0，1)∪(1，3). 答案 (1)D (2)D
考点整合 1.指数式与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)logaMN ＝logaM－logaN； (5)logaMn＝nlogaM； (6)alogaN＝N； (7)logaN＝llooggbbNa(注：a，b>0 且 a，b≠1，M>0，N>0).
A.a<b<c C.b<c<a
B.b<a<c D.c<a<b
解析
∵log53
－
log85
＝
log53
－
1 log58
＝
log53·log58－1 log58
<
log53＋2 log582－1 log58
＝
log2l5o2g4582－1<log2l5o2g5582－1＝0，∴log53<log85.∵55<84，134<85，∴5log85<4log88＝4＝
________.
解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数.f12＝ log212－11＝－1－2＝－3＜0，f(1)＝log21－11＝0－1＜0，f(2)＝log22－12＝1－12＝12＞
2
0，f(3)＝log23－13＞1－13＝23＞0，即 f(1)·f(2)＜0，∴函数 f(x)＝log2x－1x的零点在区 间(1，2)内.
解析 法一 注意到 g(0)＝0，所以要使 g(x)恰有 4 个零点，只需方程|kx－2|＝f（|xx|） 恰有 3 个实根即可.令 h(x)＝f（|xx|），即 y＝|kx－2|与 h(x)＝f（|xx|）的图象有 3 个交点. h(x)＝f（|xx|）＝x12，，xx＜＞00. ， 当 k＝0 时，此时 y＝|kx－2|＝2，如图①，y＝2 与 h(x)＝f（|xx|）的图象有 1 个交点， 不满足题意； 当 k＜0 时，如图②，此时 y＝|kx－2|与 h(x)＝f（|xx|）的图象恒有 3 个交点，满足题意；
【训练2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
(2)函数 y＝|log2x|－12x的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 (1)令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcos x＝0，
2.指数函数与对数函数的图象和性质
指 数 函 数y＝ ax(a>0 ，a≠1) 与 对数 函 数 y ＝logax(a>0， a≠1) 的图 象 和 性质 ， 分 0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两 函数在定义域内都为减函数.
3.函数的零点问题
(2)f(x)＝4cos22xsin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·2cos22x－1－|ln(x＋1)|＝sin 2x －|ln(x＋1)|，令 f(x)＝0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数 y ＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.
热点二 函数的零点与方程
角度 1 确定函数零点个数或范围
【例 2】 (1)函数 f(x)＝log2x－1x的零点所在的区间为(
)
A.0，12
B.12，1
C.(1，2)
D.(2，3)
(2)(2020·武 汉 二 模 ) 函 数
f(x)
＝
4cos2
x 2
cos
π2－x
－
2sin
x － |ln(x ＋ 1)| 的 零 点 个 数 为
(2)如图，分别画出两函数 y＝f(x)和 y＝－14x＋a 的图象. ①当 0≤x≤1 时，直线 y＝－14x＋a 与 y＝2 x的图象只有一个 交点的情况. 当直线 y＝－14x＋a 过点 B(1，2)时，则 a＝94. 所以 0≤a≤94.
②当 x>1 时，直线 y＝－14x＋a 与 y＝1x的图象只有一个交点的情况：
4log1313<5log138，∴log85<log138，∴log53<log85<log138，即 a<b<c.故选 A.
答案 A
2.(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A.a>2b
Leabharlann Baidu
B.a<2b
C.a>b2
D.a<b2
解析 由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)， ∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b. 故选B.
＝19⇒0.23(t*－53)＝ln 19⇒t*＝l0n.2139＋53≈0.323＋53≈66.故选 C. 答案 C
4.(2020·天津卷)已知函数 f(x)＝x－3，x，x≥x＜0，0.若函数 g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有 4 个 零点，则 k 的取值范围是( ) A.－∞，－12∪(2 2，＋∞) B.－∞，－12∪(0，2 2) C.(－∞，0)∪(0，2 2) D.(－∞，0)∪(2 2，＋∞)
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形 结合，利用两个函数图象的交点求解.
4.应用函数模型解决实际问题的一般程序
读题
建模
求解
数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，1]
B.－12，1
C.－12，1
D.－12，＋∞
解析 (1)当 a>1 时，y＝a1x是减函数，y＝logax＋12是增函数，且 y＝logax＋12的图
象过定点12，0，则选项 A，B，C，D 均不符合.从而 0<a<1，此时 y＝a1x是增函数，
y＝logax＋12是减函数，且 y＝logax＋12的图象过定点12，0，只有选项 D 适合.
ⅰ相切时，由 y′＝－x12＝－14，得 x＝2，此时切点为2，12，则 a＝1.