2.4分块矩阵
U621-线性代数-2.4 分块矩阵
在矩阵的讨论和运算中 有时需要将一个矩阵分 成若干个“子块”(子矩阵) 使原矩阵显得结构简单 而清晰
举例
1 0 0 3
给定矩阵
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 01
如果令
1 0 0
3
I3
0 0
1 0
0 1
A1
1 0
O (0
0
0) A2(1)
1 0 0 3
则
1 01
(ε1
ε2
ε3
α)
分块矩阵的运算
分块矩阵运算时 把子块作为元素处理
如果将矩阵Amn分块为
A11 A12
A
A21
A22
As1
As2
A1t
A2t
(Apq )
Ast
设k为数 则kAk(Apq)(kApq)
分块矩阵的运算
分块矩阵运算时 把子块作为元素处理
如果将矩阵Amn Bmn分块为
如果将矩阵Aml Bln分块为
A11 A12
Aml
(Apk
)
A21
A22
As1
As2
A1r
A2r
Asr
B11 B12
Bln
(Bkq
)
B21
B22
Br1
Br 2
B1t
B2t
Brt
其中Apk的列数与Bkq的行数相同 则
C
AB
( Apk
)(Bkq
)
r k 1
Apk
Bkq
例1 设矩阵
0
4k
0 k
解 将矩阵A B分块如下
1 0 1 3
x2_4分块矩阵
A 11 A 21
A 12 就是分成两行两列四 A 22 块的分块矩阵。
a 11 其 中 ， A11 a 21
a 12 a 13 , A12 a 22 a 23 A 21 a 31
a 14 , a 24 a 34 .
A,B都是2×2分块矩阵,而且对应子块的行数与列 数都相等.因此两个分块矩阵可以相加,得
A B 2 0 2 1 0 1 3 3 2 3 5 0 0 2 2 0
例4 设
A 1， 2， 3， ， B 1， 2， 3，
0 1 ,I 0 0
0 0 ,B 1 0
3 . 1
一个矩阵可以有多种分块的方法,究竟怎么分 比较好,要看具体需要而定.
例2
A
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 2 2 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 1
1 0 B 1 0 2
0 1 1 1 0
2 0 3 1 1
现在的分 法已满足 乘法要求
B 11 , B B 21 B 31
B 12 B 22 B 32
AB=C 作为分块矩阵应该是2×2的分块矩阵,其第(i, j)块为
i=1,2; j=1,2
0 2 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 0
1 0 A 0 1
0 1 0 0
2 1 3 2
Байду номын сангаас
1 2 1 0
0 1 ， 0 1
§2.4 分块矩阵
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
线性代数2_4分块矩阵
(1). 列分块矩阵
称之为列分块矩阵， 称之为列分块矩阵，其中 β j = (a1 j , a2 j , L, amj )T 列分块矩阵 如果按行分块
a11 a12 L a1n α1 a21 a22 L a2 n α 2 A= M = M M M M am1 am 2 L amn α m
第4节 分块矩阵
1. 分块矩阵
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块， 用若干条横线和纵线把矩阵 分成若干小块，每一个小 分成若干小块 块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 的每一个子 块作为一个矩阵，称为 的子块 或子矩阵 把A的每一个子 块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵 例如
A11 A21 A= M Ar1 A12 L A1s A22 L A2s M M M Ar2 L Ars
B11 B21 B= M Br1
B12 L B1s B22 L B2 s M M M Br 2 L Brs
此时把A看作只有一块的矩阵， 有意义, 此时把 看作只有一块的矩阵，则 Aβj (j=1,2,..,n)有意义,从而有 看作只有一块的矩阵 有意义
AB = A( β1 , β 2 , L , β s ) = ( Aβ1 , Aβ 2 , L , Aβ s ) .
(验证，见下例.) 验证，见下例.
《线性代数》 返回 下页 结束
《线性代数》
1 2 3 A2 = 0 − 1 1 1 0 0
返回 下页
A3 = (2)
结束
设有两个分块对角矩阵
分块矩阵的原理和应用
分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。
分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。
这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。
分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。
1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。
在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。
1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。
在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。
这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。
2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。
2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。
通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。
2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。
2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。
通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。
3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。
线性代数 北京理工大学出版社 习题解答
第一章 行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解n 级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3. 理解n 阶行列式的概念和n 阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的n 阶行列式；4. 掌握行列式的根本性质，会利用“化三角形〞方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行〔列〕展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法那么，了解未知量个数与方程个数一样的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法那么讨论齐次线性方程组的解.§1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式： (5)22322211(1)(1)1;1x x x x x x x x x x -=-++-=--++ 2．计算三阶行列式：(2) 10135050(12)0007;041-=++----=-3．求解方程34100.01x D x x =-=解 2341043(1)(3)0,01x x x x x x x -=-+=--=由故原方程的解为.31==x x 或4．用行列式解以下方程组：(1)1212323,43 1.x x x x -=⎧⎨-+=-⎩ (2)12312312320,21,2 3.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩解(1) =D 329810,43-=-=≠-1D =32927,13-=-=-=2D333129,41=-+=-- 故所求的方程组有唯一解：127,9.x x ==(2) =D 12121122211880,112-=-+-++-=-≠-=1D 4213111120=--，=2D 4231112101=，=3D 12021112,113-=--故所求的方程组有唯一解：.23,21,21321=-=-=x x x6. 当x 取何值时，23130.123x x ≠解 223133963(1)(2)0,123x x x x x x =-+=--≠由 解得.21≠≠x x 且§1.3 n 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子3422a a 的项.解 利用n 阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子3422a a 的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为4311a a 和4113a a .又因为(1243)1τ=，(3241)4τ=，所以四阶行列式中含有因子3422a a 的项为(1243)11223443(1)a a a a τ-和(3241)13223441(1)a a a a τ-，即11223443a a a a -和13223441a a a a .3. xx x x xx f 21123232101)(=，用行列式的定义求3x 的系数.解 )(x f 的展开式中含3x 的项只有一项：(2134)3(1)1x x x x τ-⋅⋅⋅=-，故3x 的系数为1-.4. 利用行列式的定义计算以下行列式:(2)244321)1(0400000300201000)4213(=⨯⨯⨯-=τ; 解析 由n 1行只有一个非零元素1，先取114=a ，那么第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取222=a ，那么第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取331=a ，那么第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取443=a ，那么行列式的结果为244321)1(43312214)4213(=⨯⨯⨯=-a a a a τ;补充练习1. 由行列式的定义写出xxxx x x D 221321213215=的展开式中包含3x 和4x 的项.解 D 的展开式中含4x 的项只有一项4)1234(1025)1(x x x x x =⋅⋅⋅-τ，而含3x 的项有两项(2134)(1)12x x x τ-⋅⋅⋅和(4231)(1)3x x x τ-⋅⋅⋅，从而展开式中含3x 的项为：333)4231()2134(5323)1(21)1(x x x x x x x x x -=--=⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-ττ.行列式的性质1. 利用行列式的性质计算以下行列式：(2) 111111111ab ac ae bdcd de abcdef bf cf ef ------=--------2131111002022r r abcdef r r --+-+--231110224;002r r abcdef abcdef --↔---=--(3) 由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.311166661111111113111311131102006648;11311131113100201113111311130002==== (4)21312341(3)121212121212(1)(1)3011064702391204041204122241100130013r r r r r r r r +----+-+---------+-----4332121212121()(2)02390239510.005200052000130001r r r r --+-+-----=-----2. 证明以下等式：〔2〕0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ;〔3〕0111111111332313322212312111=+++++++++y x y x y x y x y x y x y x y x y x ; .证明(2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)2144690(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++; (3) 由性质4，将D 的第1列拆开，得+++++++=332332223121111111111y x y x y x y x y x y x D 332313322212312111111111y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++, 将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取1y ，得+=332332223121111y x y x y x y x y x y x D 3323332222312111111111y x y x x y x y x x y x y x x y ++++++，将第1个行列式第2、3列提取32,y y ，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，+=33221132111x x x x x x y y D 1113112112131222322222223333333233233111111111111x x x y x x y x x y x y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y x y ⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭000=+=;3. 计算以下n 阶行列式.(1)xx x111111; (2)n222232222222221;解 (1)把第n ,,3,2 列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子)1(-+n x ，提取公因子之后，再给第1行乘以)1(-加到第n ,,3,2 行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.11(1)1111111(1)111[(1)]11(1)111x x n x x n x x x n xx n xx+-+-==+-+-1111010[(1)][(1)](1)01n x x n x n x x --=+-=+---;(2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得122222222232222n=2-000010022220001-n)!2(22-000010022200001--⋅-==n n ; 4. 求方程01111111111111111=++++λλλλ的根.解 第1行乘以)1(-加到第4,3,2行，得如下行列式:111100,0000λλλλλλλ+---再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.34111000(4),000000λλλλλλ+=+即可求出根:40-==λλ或.补充练习2. 行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，求行列式332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------的值.解 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------3323132313322212221231211121113332a a a a a a a a a a a a a a a ------= +---=3323231332222212312121112a a a a a a a a a a a a 3323131332221212312111113332a a a a a a a a a a a a ------ +=2323132222122121112a a a a a a a a a 3323133222123121112a a a a a a a a a ---=11121321222331323324a a a a a a a a a -=-.§1.5 行列式按行〔列〕展开1. 求行列式204502311--中元素5与2的代数余子式. 解 元素5的代数余子式为212104(1)4,11A +=-=--元素2的代数余子式为232320(1) 2.31A +-=-=--2. 四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解 由行列式按行〔列〕展开定理，得3131323233333434313233344(1)23(1)10(1)(1)(2)(1)4830813.D a A a A a A a A ++++=++++=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯=-++= 3. 求以下行列式的值〔2〕1234101231101205---3141(1)(2)c cc c +-+-1222100031461217-----212221(1)146217+=⨯------2131(1)(1)c c c c +-+-2135239------11352(1)24;39+--=-⨯-=---〔3〕所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得231111122(21)(21)(22)(1)(2)[(2)]14418812(1)(2)(2).xx x x x xx x x -=----------=--+4. 讨论当k 为何值时，行列式11001200003003k k k≠. 解1100120003003k k k21(1)c c +-10001120003003k k k-111201(1)0303k k k+-=⨯- 113(1)(1)(1)(3)(3),3k k k k k k+=-⨯-=--+所以，当1k ≠，且3k ≠，且3k ≠-时，11001200003003k k k≠. 5. 计算n 阶行列式 (3)按第1列展开，得112111000012100012002(1)(1),000210012n n D D ++-=-+-上式右端的行列式再按第一行展开，得122,n n n D D D --=-移项，得 112n n n n D D D D ----=-， 递推，得 11223212121,12n n n n n n D D D D D D D D ------=-=-==-=-=从而得112211,1,,1,n n n n D D D D D D ---=+=+=+把上面1n -个等式相加，得1121 1.n D D n n n =+-=+-=+7．设四阶行列式4,a b c d c b da D dbca ab dc =试求14243444A A A A +++的值，其中4i A 〔1,2,3,4i =〕为行列式4D 的第4列第i 行的元素的代数余子式.解 根据行列式按行〔列〕展开定理的推论，有12142224323442440,a A a A a A a A +++=即 1424344414243444()0,bA bA bA bA b A A A A +++=+++=142434440.A A A A +++=§1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法那么解线性方程组〔3〕1234123423412321,22,233,5.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩解：2111121101231110D --=2414(1)(2)r r r r +-+-4101311310121(1)121180,0123123111+-----=--=-≠ 所以方程组有唯一解. 又11111221118,3123511D --==-22111121136,0323151D --==-32111122136,01331150D ==-42111121218,01231115D --==所以方程组的解为1118118D x D -===-， 2236218D x D -===-， 3336218D x D -===-，4418118D x D ===--.2．λ满足什么条件时，线性方程组1231231231,32,31,x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 有唯一解？解 由克莱姆法那么知，当系数行列式0D ≠，线性方程组有唯一解，1113113D λλ-=--1232(3)r r r r ++-2312012131(1)2(51),38380λλλλλ++-+--=-=-+--当0D ≠时， 2(51)0λ-+≠，即当15λ≠-时，题设的线性方程组有唯一解.3．当k 为何值时，齐次线性方程组12312312320,0,4550,x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，2111455kD k -=--12325r r r r ++232102111(1)(1)(54),5405400k k k k k k k k k ++-+--=-=-+++由0D =得：1k =，45k =-. 4．α和β为何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20,x x x x x x x x x αββ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，1111121D αββ=2131(1)(1)r r r r +-+-131111110(1)(1),1211210ααβαββααβαβ+----=-=-----由0D =得：0β=或1α=.即当0β=或1α=时，方程组有非零解.5．求二次多项式2()f x ax bx c =++，使得(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-. 解 由(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-，得2,10,42 5.a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩要求二次多项式需要求出系数,,a b c ，即要求出上述非齐次线性方程组的解. 由其系数行列式11111160,421D =-=≠121110116,521D -=-=-2121110136,451D -==--3112111018,425D -=-=-从而11D a D ==，26Db D==-，33D c D ==.即所求的二次多项式为2()63f x x x =-+.补充练习2．系数1234,,,(1,2,3,4)i i i i a a a a i =满足什么条件时，四个平面12i i a x a y ++340i i a z a +=(1,2,3,4)i =相交于一点〔000,,x y z 〕？解 把平面方程写成如下形式12340i i i i a x a y a z a t +++=，〔1t =，1,2,3,4i =〕，于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组111213142122232431323334414243440,0,0,0,a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 有一非零解〔000,,,1x y z 〕.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式0D =，即四个平面相交于一点的条件为111213142122232431323334414243440.a a a a a a a a a a a a a a a a =3．设平面曲线32y ax bx cx d =+++通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，求系数,,,a b c d .解 由平面曲线通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，得0,8422,27932,6416418.a b c d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=-⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数,,,a b c d .111184211227931641641D ==， 又101112421122931181641D -==，2101182213627231641841D -==-，3110184210279216416181D -==， 4111842224,279326416418D -==从而11D a D ==，23D b D==-，30D c D ==，42Dd D ==.第二章 矩阵学习要求1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。
第五讲矩阵的分块、矩阵的初等变换.
第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换教学目的：1. 介绍矩阵分块时的代数运算；2.讲解矩阵的初等变换及其应用;教学内容：第二章矩阵§2.3分块矩阵；§2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：§2.3 分块矩阵把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的 运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。
A11A21、矩阵的分块：定义2.9 用一些纵、 各个小矩阵称为 分块矩阵, 横虚线将矩阵 A 的子块。
A 分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为其中 A11也可以按行分块: 或按列分块: an A21A22a 21am1 a 11 a12 a 1na21 a22a2nA A 2am1am2amna 12 a 22 a m2a 1n a 2namnB B 2B n、分块矩阵的运算：对分块矩阵进行运算时, 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,但应保证运算的可行。
重点是初等变换的过程和应用A 221.分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:A 11 A 12 A1rB11B 12 B1rA21A22A 2r,B21 B22B 2r，A 21JB 21As1As2AsrBs1Bs2Bsr其中每一 A ij 与 B ij 的规格都对应相同，则规定加法为：AA 11 A21B 21B11 B21A 12B 12 A22 B22A 1rA2r B1rB 2r；；(2.26)As1Bs1As2Bs2AsrB srA11 A 12A1r设 为数，则规定数乘为：AA21A22A 2r；；(2.27)As1As2AsrA 1T 1A 2T 1A s T 1此外，规定转置为：A TA 1T 2 A 2T 2A s T 2。
(2.28)A 1T rA 2T rA s T r2.分块矩阵的乘法：定义2.11 设A 是mn 矩阵， B 是np 矩阵。
矩阵的分块 子矩阵
方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量集构成规范正交向量集．
因为 ATA = I， 所以 AAT = I 也成立，于是
AAT
b1T b2T
b1 , b2 ,
, bn
b1T b2T
b1 b1
b1T b2 b2T b2
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3. 增广矩阵的形式
AA
b
3 1
4 1
1 2
5
1
向量方程的形式
4. 向量集线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
方程组简化为 Ax = b，其中
a11
AT
a12 a13
a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
1T
T 2
T 3
T 4
分块矩阵不仅形 式上进行转置， 而且每一个子块 也进行转置．
分块对角矩阵
定义：设 A 是 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵 1. 对角线上的子块都是方阵（这意味着行和列采取相同的分法）， 2. 只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵， 那么称 A 为分块对角矩阵或拟对角阵．
第四节矩阵分块法
解: 把A, B分块成
A
1 0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
00
0 1
E A1
O E
,
B
1 1 1 1
0 2 0 1
1 0 4 2
01 01
B11 B21
E B22
则
AB
E A1
O E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
.
而
A1 B11
B21
1 1
21
.
ABA
A1 O
O A2
B1 O
O B2
A1 O
O A2
A1
B1 O
A1
A2
O B2
A2
,
而
A1B1 A1
a 0
1 a
a 1
0 a
a 0
1 a
a
3 a2
a
2aa32a1,
A2 B2 A2
b 1
1 b
b 1
b0
b 1
b1
b
3 3b
2b
2
2b b3
2 1 2b
,
所以
a3 a 2a2 1 0
子块外, 其余子块均为零矩阵, 且对角线上的子块均为
方阵, 即
A1 A
A2
O
O
, As
则称A为分块对角矩阵, 或准对角矩阵.
分块对角矩阵具有下述性质:
1.
| A | = | A1 | | A2 | ···| As |.
2. 设分块对角矩阵A, 若| Ai | 0 (i=1,2,···,s),
2-4 矩阵分块法
§4 矩阵分块法本节我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧——矩阵的分块，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵时常常被用到。
一、分块矩阵的概念设A 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上一些直线，把这个矩阵分成若干个小块，例如，设A 是一个43⨯矩阵111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 我们可以把它分成如下的四块111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用这种方法被分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵，每一个小块称为A 的一个子块。
在一个分块矩阵中，每一个小块也可以看成是一个矩阵。
例如，上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的111121a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1213122223a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 312141a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3233224243a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们可以把A 简单地写成11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭对一个矩阵来讲，可以有各种不同的分法。
二、分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（1）分块矩阵的加法设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，采用同样的分块方法得1111r s sr A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r s sr B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数与列数都相同，则11111111r r s s sr sr A B A B A B A B A B ++⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭（2）数乘分块矩阵设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，λ为实数，则1111r s sr A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）分块矩阵的乘法设()ij m l A a ⨯=，()ij l n B b ⨯=，分别分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r t tr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,i i it A A A （1,2,,i s = ）的列数分别等于12,,,j j t j B B B （1,2,,j r = ）的行数，则1111r s sr C C AB C A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1tij ik kj k C A B ==∑（1,2,,i s = ，1,2,,j r = ）例1 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭， 1010120110411120B ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求乘积AB解 为了求乘积AB ，我们可以对A 、B 进行如下的分块1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1E O A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1010120110411120B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭112122B E B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭按分块矩阵的乘法可得11111212211121122E O B E B EAB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 11121121010111211A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2411-⎛⎫= ⎪-⎝⎭122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1010120124331131AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）分块矩阵的转置设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则1111T T s T T T r srA A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（5）分块对角阵在n 阶方阵A 的分块矩阵中，如果只有在主对角线上有非零的小方阵，而其余子块均为零矩阵，即12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 称为分块对角阵。
线性代数PPT课件：矩阵 第4节 分块矩阵
(2)
(3)
x1a1 + x2a2 + … + xnan = b .
（ 4）
A11 A1t B11 B1r A ,B , A A B B st tr s1 t1
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j ,
…, Btj 的行数,那么
其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知向量，b 称为常
数项向量，B 称为增广矩阵. 按分块矩阵的记法，
可记
B=(A b),
或 B = ( A , b ) = ( a1 , a2 , … , an , b ) .
利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax = b . (1) 的解向量. (2) 方程（2）以向量 x 为未知量，它的解称为方程组
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34
分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式:
a11 a12 a13 a14 (1) a21 a22 a23 a24 , a a a a 31 32 33 34
即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为
以这些子块为元素的分块矩阵. 分法 (2) 及 (3) 的
分块矩阵可类似写出, 这里略.
2.4.2 分块矩阵的运算
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似, 分别说明如下:
1.加法运算
设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同, 采用 相同的分块法, 有
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方
程组 Ax = b 可记作
分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
2.4.4分块矩阵小结
0 0 1 b
B2
;
1 b
分块矩阵小结
A
B
A1
0
B1
0
0 A2 0 B2
A1
B1
0 ,
0
A2 B2
a 1 a 0 2a 1
A1
B1
0
a 1
a 1
, 2a
b 1 b 0 2b 1
A2
B2
1
b 1
b 2
, 2b
分块矩阵小结
A
B
A1
A1 B22
1
, 1 2 0 3 1
分块矩阵小结
于是
AB
B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
1 3
.
1
1
3
1
分块矩阵小结
a 1 0 0
例2
设
A
0
a
0
0
,
0 0 b 1
0 0 1 b
a 0 0 0
B
1 0
a 0
0 b
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵，采用相同的分块方法 (2) 数乘 数k乘矩阵A，需要k乘A的每个子块 (3) 乘法 若A与B相乘，需要A的列与B的行分法一致
分块矩阵小结
(4) 转置
A11
A
As1
A1r
Asr
A1T1
AT
A1Tr
AsT1
AsTr
0
E.
BX DW E , X B 1 ,
BZ DY O,
Y C 1,
2.4.1分块矩阵的概念
分块矩阵●分块矩阵的概念●分块矩阵的运算●准对角形矩阵分块矩阵分块矩阵的概念定义任意一个m n矩阵A，用贯穿整个矩阵的纵线和横线，按某种需要将它划分成若干个行数与列数较少的矩阵，这种矩阵称为A的子块或子矩阵，被划分的矩阵A称为分块矩阵.分块矩阵此方法的实质是把一个阶数较高的矩阵看成是由一些小矩阵组成的,这时大矩阵的元素可能不全是数量，通常是一些小矩阵.矩阵的分块是矩阵运算中的一个重要技巧,可以减少运算量使运算更为简明,而且在一些命题的证明中起着重要作用.分块矩阵注意矩阵的分块相当随意, 但在划分时纵线和横线必须贯穿整个矩阵.例如353433323125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a A 令23222113121111a a a a a a A2524151412a a a a A33323121a a a A353422a a A A 11, A 12, A 21, A 22是A 的子块,.22211211A A A A A 分块矩阵,321B B Bb b a a A 11101000001例如A 001ab a 110000b 1101B 2B 3B 即分块矩阵b b a a A 11101000001,4321C C C CA 1a 1C 002C 10010a 3C b b 11004C 即分块矩阵, B E O A ,4321A A A Ab b a a A 11010*******b b a a A 11010*******a a A 01其中0101a A 其中。
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例1
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
0 1 2
1
0 0 0 0 E O = , 1 1 0 A E 0 1
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 4 2
2 2 5
3 1 6
1 ×2 2 ×2 3 ×2 2 A = 3 ×2 2 ×2 1 ×2 4 ×2 5 ×2 6 ×2 4 4 6 = 6 4 2 . 8 10 12
A11 A21 （3）设 A = ） M A r1 AT 11 T A 12 T 则 A = M AT 1 s
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 = 1 C3 b
C2 , C4
即
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C2 = C3 C 4 1 b
0 B1 A2 0
0
0 A1 B2 0
0 A2
A1 B1 A1 = 0
, A2 B2 A2
a3 + a 2a2 + 1 , A1B1 A1 = 2 a 3 a +a b3 + 2b 2b2 + 1 A2B2 A2 = 3b2 b3 + 2b,
第四节 分块矩阵
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了 分块法， 简化运算，经常采用分块法 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
C 11 AB = M C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r M L C sr (i = 1 , L , s ; j = 1 , L , r ). L
见书中例4-5（ 见书中例 （P58） ）
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
A1 ∴ A+ B = 0
0 B1 + A2 0 0
0 B2
A1 + B1 = 0
A2 + B2
2a 1 0 0 1 2a 0 0 = . 0 0 2b 1 0 0 2 2b
A1 ABA = 0
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
设 1 0 0 0 0 1 0 0 , A= − 1 2 1 0 1 1 0 1 求 AB . 解 把A, B分块成 1 0 A = −1 1
L L B1 r M B sr
其中 Aij 与 B ij的行数相同 , 列数相同 , 那末
A11 + B 11 A+ B = M A +B s1 s1 见书中例1（ 见书中例 （P56） ）
L L
A1 r + B 1 r M . A sr + B sr
(4 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
A1−1 −1 A2 −1 A = . O −1 As
o
o
见书中例6（ 见书中例 （P59） ）
准对角矩阵的乘积
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
m ×n矩阵 的分块矩阵的一般形式为： 矩阵A的分块矩阵的一般形式为 矩阵 的分块矩阵的一般形式为：
A11 A21 A= L A r1 A12 L A1 s A22 L A2 s = ( Aij ) r×s . L L L Ar 2 L Ars
对于任意一个m ×n矩阵 ，常采用以下两种特 矩阵A， 对于任意一个 矩阵 殊的分块方法： 殊的分块方法：
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即
A1 O A2 A= , O O As
A1 O A2 A= , O O As
其中 Ai (i = 1,2,L s ) 都是方阵 , 那末称 A 为分块 对角矩阵 . 也称为准对角矩阵。 也称为准对角矩阵。
这样A可以看成由 个子矩阵 子块） 这样 可以看成由4个子矩阵（子块）为元素组 可以看成由 个子矩阵（ 成的矩阵，它是一个分块矩阵。 成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块矩阵的每 一行称为一个块行，每一列称为一个块列。 一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上 述分块矩阵A中有两个块行 两个块列。 中有两个块行、 述分块矩阵 中有两个块行、两个块列。 对于同一个矩阵可有不同的分块法。 对于同一个矩阵可有不同的分块法。采用不同 的分块方法得到的是不同的分块矩阵。 的分块方法得到的是不同的分块矩阵。
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
行向量表示法： α 1 α 2 A = ，其中 α i = ( a i 1 , a i 2 , L , a in ), i = 1 , 2 , L , m ； M α m 列向量表示法： a1j a2 j A = ( β 1 , β 2 , L β n )，其中 β i = , j = 1,2 , L , n ； M a mj
前者也称为将A按行分块，后者也称为将 按列 前者也称为将 按行分块，后者也称为将A按列 按行分块 分块。 分块。
行、列向量表示法的例子见书中第55页 列向量表示法的例子见书中第 页
二、分块矩阵的运算规则
(1 ) 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用
相同的分块法 , 有 A11 L A1 r B11 A= M M , B = M A B L A sr s1 s1
1 , a 1 ; b 0 , a 0 ; b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 0 1 , 其中 = 0 0 B2 b B2 = b 1
A1 A+ B = 0
分块对角矩阵的行列式具有下述性质: 分块对角矩阵的行列式具有下述性质
A = A A2 L As . 1
A1 (6)设 A =
A2
o
, 准对角矩阵的逆矩阵 O As
o
若 Ai ≠ 0(i = 1, 2 ,L , s ), 则 A ≠ 0 , 并有
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
B11 = A1 B11 + B21
B11 AB = A1 B11 + B21
例
a 0 A= 1 0 a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 B1 0 = B2 , 1 B3 b
即
1 a 0 1
0 0 b 1
0 B 1 0 = B2 1 B 3 b
A12 L A1 s A22 L A2 s = ( Aij ) r×s , M M Ar 2 L Ars AT 21 L AT r 1 AT 22 L AT r 2 = ( Bij ) s×r , M M AT 2 s L AT rs
见书中例2－ （ 见书中例 －3（P56－57） － ）
A1 0 B1 0 A1 0 ∴ ABA= 0 A2 0 B2 0 A2 0 A1B1 A1 = A2B2 A2 0
a 3 + a 2a 2 + 1 0 0 2 a3 + a 0 0 a = 3 2 . 0 0 b + 2b 2b + 1 0 2 3 0 3b b + 2b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
ABA.
解
将 A, B分块
1 a 0 0 0 0 b 1
a 0 A= 0 0
a 0 A1 = 0 0 A1 0 = 0 A , 其中 1 2 b A2 = b 1