矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。
这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。
这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。
在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。
例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。
这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。
矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。
在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。
在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。
矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。
这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。
因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。
矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。
在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。
分块矩阵运算公式
分块矩阵运算公式
分块矩阵运算是一种改进性的矩阵运算方法，其目的是将大型矩阵分割成小型矩阵，易于
使用算法进行处理。
大型矩阵由于其计算量庞大，尤其是在有限的空间和时间条件下，计
算速度明显受到影响。
分块矩阵运算技术可以有效地提高大型矩阵的计算效率，使其计算
更加高效。
分块矩阵运算分为两种：“operand-partition”和“op-partition”。
前者用于多操作数矩阵的
运算，即将每一步的操作数矩阵拆分成不同大小的块，分块矩阵运算可以加快矩阵运算速度。
其中，“op-partition”分为两种，第一种是将操作符内部拆分，即将其置于操作符之间，第二种是将操作数矩阵内部拆分，使拆分后的每个矩阵放在对应的地方。
总的来说，通过结合分块矩阵运算的两种方式，可以将大型矩阵的计算任务分解为多个较小的矩阵，从而大大提高矩阵的计算效率，尤其是某些复杂的运算任务。
最后，分块矩阵是一种提高矩阵计算效率的先进计算技术，可以有效解决大型矩阵计算中
特征复杂度较大的问题，帮助算法快速计算并找出最优解。
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块法求矩阵开题报告
分块法求矩阵开题报告分块法求矩阵开题报告一、引言矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
而求解矩阵的问题一直是一个热门的研究方向。
本文将介绍一种求解矩阵的方法——分块法。
二、分块法的基本原理分块法是一种将大规模的矩阵分解成多个较小规模矩阵的方法。
通过将矩阵按照一定的规则进行分块，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。
分块法的基本原理是将矩阵划分为多个子矩阵，然后利用这些子矩阵之间的关系来求解原始矩阵。
三、分块法的应用1. 线性方程组的求解分块法在求解线性方程组时发挥了重要作用。
通过将系数矩阵和常数向量分块，可以将大规模的线性方程组转化为多个较小规模的子方程组。
然后，通过求解这些子方程组，最终得到原始线性方程组的解。
2. 特征值和特征向量的计算求解矩阵的特征值和特征向量是许多科学和工程问题中常见的任务。
分块法可以将大规模的特征值问题转化为多个较小规模的子问题。
通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的特征值和特征向量。
3. 矩阵的乘法和逆矩阵的计算矩阵的乘法和逆矩阵的计算是线性代数中常见的操作。
利用分块法，可以将大规模的矩阵乘法和逆矩阵的计算转化为多个较小规模的矩阵操作。
通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的乘积和逆矩阵。
四、分块法的优势和挑战1. 优势分块法可以将大规模的矩阵问题转化为多个较小规模的子问题，从而简化了计算的复杂度。
通过合理地选择分块方式，可以充分利用矩阵的结构特点，提高计算效率。
2. 挑战分块法在实际应用中面临一些挑战。
首先，选择合适的分块方式是一个关键问题。
不同的分块方式可能会导致不同的计算效果。
其次，分块法需要处理子矩阵之间的边界问题，这对于算法的实现和优化提出了一定的要求。
五、总结分块法是一种求解矩阵的方法，通过将矩阵分解为多个较小规模的子矩阵，可以简化计算的复杂度，提高计算效率。
分块法在线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算以及矩阵的乘法和逆矩阵的计算等方面有广泛的应用。
§4 矩阵分块法
o
o
若 Ai ≠ 0 ( i = 1, 2,L , s ) , 则 A ≠ 0,
A1−1 −1 A2 −1 . A = O −1 As
并有
o
o
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
1010
第二章 矩阵及其运算
1 0 0 1 , 4 1 2 0
A,B分快成 把A,B分快成
1 10 0 0 0 0 0 01 1 0 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 11 0 0
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
6 6
第二章 矩阵及其运算
（2 ）设
A11 L A1r A= M M , A L A sr s1
为数， λ为数，那么
λ A11 L λ A1 r λA= M M . λA L λ Asr s1
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
矩阵分块法
1 1 O Байду номын сангаас 1 E 1
0 2 0 1
1 0 4 2
0 1 B11 1 B 21 0
E , B22
§4
(4)设
矩阵分块法
A11 A A s1 A1r , Asr
A11T T A A1r T
2 A11 2A 2 A21
2 A12 2 A22
2 1 2 2 2 3 2 4 6 2 4 2 5 2 6 8 10 12 . 2 7 2 8 2 9 14 16 18
§4
矩阵分块法
主要内容：
一、分块矩阵的定义
二、分块矩阵的运算法则
§4
矩阵分块法
引言:对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 定义:将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每 一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵.
§4
例
矩阵分块法
§4
例
2 2 0 A 0 0 0 0
矩阵分块法
5 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 6 7 0 0 0 2 4 4 0 0 0 7 5 3 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 6 0
A1 O O
定义:对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
amn xn bn ,
x1 b1 a11 x b a21 2 2 A aij , x ,b ,B xn bn am1
§4 矩阵分块法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Ams , Bsn ,Cmn
k 1 n
AT: AT 的第i行是A的第i列.
|A|= detA ,A必须是方阵.
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子 式构成的矩阵
0 E
B11 E B B 22 21
所以
AB＝
E B B 21 22
B11 E AB B A B 1 11 21 1 22
其中
1 A1 B11 B21 1 3 0 1 A1 B22 1
伴 随 矩 阵
A
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
概 念
如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩 阵 用伴随矩阵 A 求 法
1
1 A A
0 1 B
分块对 A 角矩阵 0
记
ij ) mn , ( a A=
x1 x2 x= , x n
b1 b2 b= , b m
B=
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 . a a m1 m 2 amn bm
将A按列分块,得
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列.
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
§4 矩阵分块法
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 1 C 3 C4 b
19 June 2018
即
1 a 1 1
0 0 1 1
0 B1 0 B2 b B 3 b
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
19 June 2018
3 3
第二章 矩阵及其运算
a 0 又如 A 1 0
19 June 2018
9 9
第二章 矩阵及其运算
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A1 6设 A A2 , As
o
o
A21
若 Ai 0 i 1, 2,
A11 A 1
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中 A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
5 5
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
第四节 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、矩阵分块的运算法则
1
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的
运算. 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线
分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2.3 分块矩阵(《线性代数》闫厉 著)
A
7
2
3
3
5
1
求逆矩阵 A 。
解
将矩阵A划分成分块对角矩阵 A diag A1 , A2 , A3 ，其中
8 5
A1
,
3 2
A2 7 ,
2 3
A3
3
5
由公式计算出
2 5
A
,
3 8
T
A22
A2Tt
A1t
A2 t
Ast
AsT1
AsT2
T
Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序
号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
五、分块对角矩阵
8 5
3
2
A
7
2
3
3
5
五、分块对角矩阵
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零
E
A1 B22
而
1
A1 B11 B21
1
3
0
2 1 0 1 0
1 1 2 1 1
4 1 0 2 4
2 1 1 1 1
1 2 4 1 3 3
a
31
a12
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
大学线性代数课程 第七节 矩阵的分块法 课件
2
1
0
0
0 0 1 2
0
0
1
1
1 2 0
A
2
5
0
1
A1
O
0 0
O A2
,
A1
A11 O
O
A2
1
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1 3
1 1
2
1
,
0 0 1 3 2 3
0
0
1 3
1
3
6、设 B 1 2 L s , 则 AB A1 2 L s A1 A2 L As .
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
k 0 k 3k
kI
kA
kO
kC
kI
0
0
0
k 0 0
2k k 0
4k
0kLeabharlann A1r M.
Asr
3、乘法 设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
b01
注： 分块时首先满足 I，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.
1、矩阵的加法 设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
矩阵的分块和分块矩阵的定义
引言为了研究行数、列数较高的矩阵,常常对矩阵采用分块的方法.类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。
而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵,将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵.对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法.A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵,其中为阶方阵（）,其余位置全是小块零矩阵。
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
矩阵分块法
以对角矩阵 Λm 左乘 A 的结果是 A 的每一行乘以 Λ 中与该行对应的对角元. 中与该行对应的对角元
以对角矩阵 Λn 左乘矩阵 Am × n 时，把 A 按列 分块， 分块，有
λ1 λ2 AΛn = (a1 , a2 ,L, an ) O λm = (λ1α1 , λ2α 2 ,L, λnα n ) ,
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j , …, Btj 的行数 那么 的行数,那么
C 11 AB = M C s1
t
L L
C 1r M , C sr
其中
Cij = ∑Aik Bkj (i = 1,L,s; j = 1,L,r) .
的行数相同、列数相同, 其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同 那么
A11 + B11 L A1r + B1r A+ B = M M . A + B L A + B s1 sr sr s1
2. 数乘运算
A11 L A1r 设 A= M M , A L A sr s1
即
x 1a 1 + x 2 a 2 + … + x n a n = b .
（4） ）
）、（3）、（ （2）、（ ）、（ ）是线性方程组（1）的 ）、（ ）、（4）是线性方程组（ ） 各种变形. 今后，它们与（ ） 各种变形 今后，它们与（1）将混同使用而不加 区分，并都称为线性方程组或线性方程 区分，并都称为线性方程组或线性方程.
α1Tb1 α1Tb2 L α1Tbn α T T T α α2 b1 α2 b2 L α2 bn AB = (b1, b2 ,L, bn ) = M M M M α T α Tb α Tb L α Tb m m n m1 m2
线性代数 §4 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
(Block matrix)
0 1 1 b
1b0
二、分块矩阵的运算
(1)(加)法 设矩 A 与 B 阵 的行数 ,列相 数,同 相 采用相同 ,有 的分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A
, B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
a 0 1
0 b 1
0 1 b
B E
CO,其中OBEA ab10001
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
A11B11 A1r B1r
AB
.
As1Bs1 AsrBsr
(2)
(数乘)
设A
A11
A1r
,为数,那末
As1 Asr
A11 A1r
A
.
As1 Asr
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A,B分块成 11 00 00 00
2-4 矩阵分块法
§4 矩阵分块法本节我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧——矩阵的分块，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵时常常被用到。
一、分块矩阵的概念设A 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上一些直线，把这个矩阵分成若干个小块，例如，设A 是一个43⨯矩阵111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 我们可以把它分成如下的四块111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用这种方法被分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵，每一个小块称为A 的一个子块。
在一个分块矩阵中，每一个小块也可以看成是一个矩阵。
例如，上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的111121a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1213122223a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 312141a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3233224243a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们可以把A 简单地写成11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭对一个矩阵来讲，可以有各种不同的分法。
二、分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（1）分块矩阵的加法设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，采用同样的分块方法得1111r s sr A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r s sr B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数与列数都相同，则11111111r r s s sr sr A B A B A B A B A B ++⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭（2）数乘分块矩阵设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，λ为实数，则1111r s sr A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）分块矩阵的乘法设()ij m l A a ⨯=，()ij l n B b ⨯=，分别分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r t tr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,i i it A A A （1,2,,i s = ）的列数分别等于12,,,j j t j B B B （1,2,,j r = ）的行数，则1111r s sr C C AB C A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1tij ik kj k C A B ==∑（1,2,,i s = ，1,2,,j r = ）例1 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭， 1010120110411120B ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求乘积AB解 为了求乘积AB ，我们可以对A 、B 进行如下的分块1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1E O A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1010120110411120B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭112122B E B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭按分块矩阵的乘法可得11111212211121122E O B E B EAB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 11121121010111211A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2411-⎛⎫= ⎪-⎝⎭122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1010120124331131AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）分块矩阵的转置设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则1111T T s T T T r srA A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（5）分块对角阵在n 阶方阵A 的分块矩阵中，如果只有在主对角线上有非零的小方阵，而其余子块均为零矩阵，即12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 称为分块对角阵。
计算行列式常用的7种方法
计算行列式常用的7种方法行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有多种方法可供选择，下面将介绍行列式的常用计算方法。
1.代数余子式展开法代数余子式展开法是计算行列式的最常用方法之一、对于n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列展开。
选择一行展开时，可以使用代数余子式，即将每一元素乘以其代数余子式后再求和。
例如，对于3阶行列式\(\begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h &i\end{bmatrix}\)选择第一行展开，计算行列式的值为\(aA_{11} - bA_{12} +cA_{13}\)，其中\(A_{ij}\)表示第i行第j列元素的代数余子式。
类似地，可以选择列展开，使用代数余子式计算行列式的值。
2.初等变换法初等变换法是计算行列式的另一种常用方法。
通过一系列的行变换或列变换，将行列式转化为三角形矩阵或对角矩阵。
对于三角形矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积；对于对角矩阵，行列式的值即为对角线上元素的乘积。
初等变换包括行交换、行缩放和行加减，可以有效地简化行列式的计算过程。
3.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式的一种常用方法，适用于任意阶的行列式。
选择其中的一行或一列展开，将行列式拆解为一系列子行列式的乘积。
每个子行列式的阶数比原行列式小1，可以继续进行递归的计算。
拉普拉斯展开法可以使用代数余子式进行计算，也可以利用构造矩阵的方式计算。
4.三对角矩阵法三对角矩阵法适用于计算特殊形式的行列式，即矩阵中除了对角线和相邻对角线上的元素外，其他元素都为0的情况。
计算三对角矩阵的行列式可以通过逐步化简为二阶或一阶行列式进行计算。
这种方法可以加速计算过程，特别适用于较大阶数的行列式。
5.特殊行列式法对于特殊形式的行列式，例如范德蒙行列式、希尔伯特行列式等，可以利用其特殊性质进行计算。
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A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
A2 1
1 2
31.
所以
1 0 0
A1
5 0
1
1
0
2
3
例3 设 A 的伴随矩阵
1 0 0 0
A
0
1
0
0
0 0 1 0
0 0 1 8
且ABA－1 = BA－1 + 3E, 求矩阵B.
解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2.在 ABA－1 = BA－1 + 3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得
a13 a24
a31
a32
a33
a34
A11
a11
4
a21
a31
A12
a12
a22
a32
A13 A14
a13 a23
a14 a24
A11 A21
a33
a34
A31
二、分块矩阵的运算
1、分块矩阵的加法： 同型矩阵,分法相同,对应子块相加.
设 A 和 B 均为 m×n矩阵,分法下:
a21x1 a22x2
a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm
记
A = (aij )mn ,
x1
x=
xxn2 ,
b1
b=
bbm2 ,
a11 a12
B=
a21
am1
a22 am2
a1n b1
a2n amn
bbm2 .
其中 A 称为系数矩阵, x 称为未知向量 , b 称为 常数项向量 , B称为增广矩阵, 记为:
显然
A A1 A2 As .
若 Ai 0(i＝1,2, , s), 则 A 0,
所以
A11
A1
A2 1
. AS 1
例2 设
5 0 0
A 0
3
1
,
求A
1
0 2 1
解
5 0 0
A 0
0
3 2
1 1
A1 0
0 A2
A1 5,
A11
1 5
;
A2
3 2
11,
B
Bi1
Bij
Bir
A st
Bt1
Btj
Btr
其中Ai1, Ai2 , , Ait列数分别等于
B1 j , B2 j , , Btj的行数，那么
C11 C12
AB
C21 C s1
C22 Cs2
C1r
C2r
Csr
其中
Cij Ai1B1 j Ai2B2 j Ait Btj
A11 A1r
B11 B1r
A
B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数 相同, 那末
A11 B11 AB
As1 Bs1
A1r B1r
Asr Bsr
其运算律与矩阵的加法相同.
2.分块矩阵的数乘 设分块矩阵
A11 A
B ( A b),
或 B = ( A,b ) = ( β1, β2,… , β n , b )
利用矩阵的乘法,此方程可记为:
Ax = b
按行分块矩阵, Ax = b又可写成:
1T
T 2
mT
x
b1
b2
,
M
bm
即 αi Tx = bi ( i = 1, 2, … , m ) .
(i 1,2, ,s;j 1,2, ,r)
例1.设
1 0 0 0
1 0 1 0
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
100 ,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
求AB.
解 把A,B分块成
1 0 0 0
1 0 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
100 ,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
E 0
A1
E
B11 B21
E B22
所以
E
AB＝
A1
0
E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
其中
1 2 1 0 1 0 A1B11 B21 1 1 1 2 1 1
3 0
24
1 1
01
2 1
14,
1 2 4 1 3 3 A1 B22 1 1 2 0 3 1
按列分块矩阵, Ax = b又可写成
x1
1 ,2 ,L
n
x2 xn
b
即 x1β1+ x2 β2 + … + xn βn = b
矩阵 主 要 知 识网 络图
2B = A*B + 6E
即
( 2E － A* )B = 6E
故
B = 6 (2E－A* )－1
1 0 0 0
由于
2E－A*
＝
0 0
1 0
0 1
0
0
0 0 1 6
所以
1 0 0 0
(2E－A*)－1
=
0 0
1 0
0 1
0
0
0
0
1 6
1 6
因此
6 0 0 0
B
0
6
0
0
0 0 6 0
1 0 1 0
于是
AB
1 2 1
2 4 1
0 3 3
113 .
4.分块矩阵的转置 设分块矩阵
A11 A1r
A
As1 Asr
则
AT11 ATs1
AT
.
AT1r
AT
sr
5.分块对角矩阵（准对角矩阵）. 设
A1
A
A2
As
其中
Ai (i＝1,2, , s)都是方子块.