第4章 分治策略
《数据结构与问题求解：Java语言描述》笔记
《数据结构与问题求解：Java语言描述》阅读笔记目录一、内容综述 (2)1. 本书简介与背景介绍 (3)2. 本书阅读目的与预期成果 (4)二、基础概念与预备知识 (5)1. 数据结构定义与重要性 (7)2. 算法概念及其与数据结构的关系 (9)3. Java语言基础语法回顾 (9)4. 预备知识 (11)三、数据结构概述 (13)1. 数据结构的分类与特点介绍 (14)2. 数据结构的选择与应用场景分析 (16)四、线性数据结构 (18)1. 数组的概念与应用 (20)2. 链表的概念与应用 (20)3. 队列和栈的概念与应用 (22)4. 线性数据结构的性能分析 (23)五、非线性数据结构 (25)1. 树形数据结构概述 (26)2. 二叉树及其相关操作与应用实例分析讲解 (27)3. 图论中的基本概念及图的表示方法介绍等 (28)一、内容综述《数据结构与问题求解：Java语言描述》是一本关于数据结构和算法的经典教材，作者是Robert Sedgewick和Kevin Wayne。
本书以Java语言为实现工具，详细介绍了数据结构的基本概念和常用算法，以及如何将这些概念和算法应用于实际问题。
全书共分为5章，分别是基本数据结构、排序算法、图论、动态规划和高级数据结构。
第1章主要介绍了基本数据结构，包括线性表、栈和队列等。
线性表包括顺序表、链表和树表等，讲解了它们的基本操作和应用场景。
栈和队列分别介绍了它们的抽象数据类型、操作方法和应用实例。
第2章主要介绍了排序算法，包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序和堆排序等。
每种排序算法都详细讲解了其原理、实现过程和优缺点，以及在不同场景下的应用。
第3章主要介绍了图论的基本概念和常用算法，如图的表示、遍历、最短路径算法(Dijkstra算法、FloydWarshall算法)、最小生成树算法(Kruskal算法、Prim算法)等。
还介绍了图的一些扩展概念，如带权有向图、带权无向图、加权图等。
五大常用算法
回溯法
基本概念 回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发 现原先选择并不是最优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的方 法称为回溯法。 基本思想 在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解 空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结 点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回 溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。 若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍 才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束 。
Your company slogan
贪心算法
例 在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的 话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得 只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟； 而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题 是，如何设计一个方案，让这四人尽快过桥 。
2012年林清华等人提出一种新型快速中值滤波算法，主要应用于医学图像.文中方法利 用中值滤波算法对滤波窗口内其他像素点的排列顺序不作要求的特点，将基于排序寻找中 值的过程转换为基于分治查找中值的过程。在分治查找过程中，利用医学图像未受干扰时 图像中像素值的变化是渐变的特性，优先选用中心点附近的像素值进行分治查找，以达到
图1 动态规划决策过程示意图 实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计： （1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。 （2）递归的定义最优解。 （3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值。 （4）根据计算最优值时得到的信息B→ 2 A←1 AC → 5 A←1 AD → 8 一共就是2+1+5+1+8=17分钟。
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
分治法
顾铁成
1
引例：称硬币
如果给你一个装有16枚硬币的袋子，其中有一
枚是假的，并且其重与真硬币不同。你能不能 用最少的比较次数，找出这个假币？
为了帮助你完成这个任务，将提供一台可用来 比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可
以知道两组硬币的重量是否相同。
2
引例：称硬币
常规的解决方法是先将这些硬币分成两
15
当 k = 1 时，各种可能的残缺棋盘
16
三格板的四个不同方向
17
【输入】
第一行输入棋盘 的总行数，第二 行输入残缺棋盘 的格子坐标。
【样例输入】 4
4 1
【样例输出】 2 2 3 3 2 1 1 3 4 4 1 5
【输出】
覆盖的矩阵图。
0 4 5 5
18
问题分析
很明显，当K=0时，是不需要三格板的，而当
24
【样例输入】 5 3 23 8 91 56 4 【样例输出】 1
25
问题分析
对于一组混乱无序的数来说，要找到第k
小的元素，通常要经过两个步骤才能实 现：
第一步：将所有的数进行排序； 第二步：确定第k个位置上的数。
26
问题分析
传统的排序算法（插入排序、选择排序
、冒泡排序等）大家都已经很熟悉了， 但已学过的排序方法无论从速度上பைடு நூலகம்还 是从稳定性方面，都不是最佳的。
将7作为一个参照数；
将这个数组中比7大的数放在7的左边； 比7大的数放在7的右边；
这样，我们就可以得到第一次数组的调整：
[ 4 2 6 6 1 ] 7 [ 10 22 9 8 ]
29
《数据结构、算法与应用(C++语言描述)》习题参考答案doc
第1章概论1.数据、数据元素、数据结构、数据类型的含义分别是什么？数据：对客观事物的符号表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并由计算机程序处理的符号的总称。
数据元素：数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体考虑。
数据结构：数据元素之间的关系+运算，是以数据为成员的结构，是带结构的数据元素的集合，数据元素之间存在着一种或多种特定的关系。
数据类型：数据类型是用来区分不同的数据；由于数据在存储时所需要的容量各不相同，不同的数据就必须要分配不同大小的内存空间来存储，所有就要将数据划分成不同的数据类型。
数据类型包含取值范围和基本运算等概念。
2.什么是数据的逻辑结构？什么是数据的物理结构？数据的逻辑结构与物理结构的区别和联系是什么？逻辑结构：数据的逻辑结构定义了数据结构中数据元素之间的相互逻辑关系。
数据的逻辑结构包含下面两个方面的信息：①数据元素的信息；②各数据元素之间的关系。
物理结构：也叫储存结构，是指逻辑结构的存储表示，即数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式，包括结点的数据和结点间关系的存储表示。
数据的逻辑结构和存储结构是密不可分的，一个操作算法的设计取决于所选定的逻辑结构，而算法的实现依赖于所采与的存储结构。
采用不同的存储结构，其数据处理的效率是不同的。
因此，在进行数据处理时，针对不同问题，选择合理的逻辑结构和存储结构非常重要。
3.数据结构的主要操作包括哪些？对于各种数据结构而言，他们在基本操作上是相似的，最常用的操作有：●创建：建立一个数据结构；●清除：清除一个数据结构；●插入：在数据结构中增加新的结点；●删除：把指定的结点从数据结构中删除；●访问：对数据结构中的结点进行访问；●更新：改变指定结点的值或改变指定的某些结点之间的关系；●查找：在数据结构中查找满足一定条件的结点；●排序：对数据结构中各个结点按指定数据项的值，以升序或降序重新排列。
4.什么是抽象数据类型？如何定义抽象数据类型？抽象数据类型（Abstract Data Type 简称ADT）是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章 算法引论
分治策略凸多边形的相交检测算法
分治策略凸多边形的相交检测算法1.引言1.1 概述分治策略凸多边形的相交检测算法是一种用于判断两个凸多边形是否相交的方法。
在计算机图形学和计算几何学中，相交检测是一个重要的问题，因为它可以应用于很多实际应用中，例如物体碰撞检测、路径规划等。
本文主要介绍了分治策略在凸多边形相交检测中的应用。
分治策略是一种将大问题划分为小问题并分别解决的方法，它可以有效地降低问题的复杂度。
在凸多边形相交检测中，我们可以将问题划分为多个子问题，然后通过递归地解决这些子问题来得到最终的结果。
凸多边形的定义与性质是分治策略凸多边形相交检测算法的基础。
凸多边形是指没有凹角的多边形，每条内部线段都包含在多边形内部。
凸多边形具有很多特性，例如任意两个顶点之间的线段都完全包含在多边形内部，任意两边不相交等。
在本文中，我们将详细介绍分治策略凸多边形相交检测算法的实现过程，并给出其正确性证明。
同时，我们还将进行算法的复杂度分析，通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行评估，来评判算法的效率和可行性。
总之，本文通过引言部分的概述，为读者提供了对分治策略凸多边形相交检测算法的整体认识。
接下来的正文部分将更加详细地介绍其中的关键内容和步骤。
通过阅读本文，读者将能够全面理解并应用该算法。
1.2 文章结构本文旨在介绍分治策略在凸多边形的相交检测算法中的应用。
文章分为引言、正文以及结论三个部分。
引言部分首先对文章的整体内容进行概述，介绍了本文所要解决的问题以及使用的方法。
接着，详细说明了文章的结构安排，将对分治策略和凸多边形的定义与性质进行深入探讨。
正文部分是本文的核心内容，首先详细介绍了分治策略的概念和基本原理，并阐述了其在解决凸多边形相交检测问题中的应用。
然后，对凸多边形的定义进行了详细说明，并探讨了凸多边形的一些重要性质。
通过结合分治策略和凸多边形的特性，提出了一种有效的相交检测算法。
结论部分对本文所提出的算法的有效性进行总结和评价，指出了该算法在凸多边形相交检测中的优势和适用性。
分治法
一、分治法在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
分冶策略(讲课稿)
分治策略(Divide and Conquer)一、算法思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题规模越小，解题所需的计算时间往往也越少，从而也越容易计算。
想解决一个较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的思想就是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。
为了解决一个大的问题，可以：1) 把它分成两个或多个更小的问题；2) 分别解决每个小问题；3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。
小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
1、解决算法实现的同时，需要估算算法实现所需时间。
分治算法时间是这样确定的：解决子问题所需的工作总量（由子问题的个数、解决每个子问题的工作量决定）合并所有子问题所需的工作量。
2、分治法是把任意大小问题尽可能地等分成两个子问题的递归算法3、分治的具体过程：begin ｛开始｝if ①问题不可分then ②返回问题解else begin③从原问题中划出含一半运算对象的子问题1；④递归调用分治法过程，求出解1；⑤从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2；⑥递归调用分治法过程，求出解2；⑦将解1、解2组合成整修问题的解；end;end; {结束}二、分治策略的应用（1）二分搜索（折半查找）算法思想：将数列按有序化(递增或递减)排列，查找过程中采用跳跃式方式查找，即先以有序数列的中点位置为比较对象，如果要找的元素值小于该中点元素，则将待查序列缩小为左半部分，否则为右半部分。
通过一次比较，将查找区间缩小一半。
折半查找是一种高效的查找方法。
它可以明显减少比较次数，提高查找效率。
但是，折半查找的先决条件是查找表中的数据元素必须有序。
算法步骤描述：step1 首先确定整个查找区间的中间位置：mid = （left + right ）/ 2step2 用待查关键字值与中间位置的关键字值进行比较；●若相等，则查找成功●若大于，则在后（右）半个区域继续进行折半查找●若小于，则在前（左）半个区域继续进行折半查找Step3 对确定的缩小区域再按折半公式，重复上述步骤。
分治策略
分治过程
比较过程
分析
• 从图例可以看出，当有8个金块的时候，方法1需 要比较15~16次，方法2只需要比较10次,那么形成 比较次数差异的根本原因在哪里? • 其原因在于方法2对金块实行了分组比较。 • 对于N枚金块，我们可以推出比较次数的公式： 假设n是2的次幂，c(n)为所需要的比较次数。 方法1： c(n)=2n-1 方法2：c(n) = 2c(n/2 ) + 2。 由c(2)=1, 使用迭代方法可知c(n) = 3n/2 - 2。在本 例中，使用方法2比方法1少用了2 5％的比较次数。
问题1：找出伪币
• 给你一个装有1 6枚硬币的袋子。1 6枚硬币中 有一个是伪造的，并且那个伪造的硬币比真 的硬币要轻一些。你的任务是找出这枚伪造 的硬币。 • 为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用 来比较两组硬币重量的仪器，比如天平。利 用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否 相同。
方法1
• 任意取1枚硬币，与其他硬币进行比较，若发现 轻者，这那枚为伪币。最多可能有15次比较。
二分过程
procedure Merge_Sort(var A: ListType; P, R: Integer); var Q: Integer; begin if P <> R then begin {若子序列A中不止一个元素} Q := (P + R - 1) div 2; {计算中间下标Q} Merge_Sort(A, P, Q); {继续对左子序列递归排序} Merge_Sort(A, Q +, Q, R) {对左右子序列归并} end; end;
分治策略
• 所谓分治法就是将问题分而治之。有将问题一 分为二，也有将问题一分为三或一分为N 等份。 对每一等份分别进行解决后，原问题就可以很 快得以解决。因此一个问题能否用分治法解决， 关键是看该问题是否能将原问题分成 n 个规模 较小而结构与原问题相似的子问题。递归的解 决这些子问题，然后合并其结果就得到原问题 的解。当n=2时的分治法又称二分法。 • 使用分治策略的问题常常要借助递归的结构， 逐层求解，当问题规模达到某个简单情况时， 解容易直接得出，而不必继续分解。
【算法-分治策略应用】循环赛日程表问题
【算法-分治策略应⽤】循环赛⽇程表问题⼀、分治策略基本思想1、Divide将原始问题划分或者归结为规模较⼩的⼦问题（多数情况下是划分成2个）2、Conquer递归或迭代求解每个⼦问题3、Combine将⼦问题的解综合得到原问题的解注意：1、⼦问题与原始问题性质完全⼀样2、⼦问题之间可彼此独⽴地求解3、递归停⽌时⼦问题可直接求解⽐较典型的应⽤例⼦是“归并排序法”和“快速排序法”，详细可以参考屈婉玲等编著的《算法设计与分析》（第2版）P26和P37，此处不再赘述。
⼆、题⽬分析和建模1. 问题描述设有n=2k个选⼿要进⾏⽐赛，设计的⽐赛⽇程表需要满⾜以下要求：1）每个选⼿必须与其他n-1个选⼿各赛⼀次；2）每个选⼿⼀天只能赛⼀次；3）整场循环赛⼀共进⾏n-1天。
2. 题⽬建模将⽐赛⽇程表设计成n⾏×n-1列的⼀个表，表中第i⾏第j列的元素表⽰第i个选⼿在第j天所遇到的选⼿。
（1）⾸先看只有两个选⼿的⽇程表（k=1，n=2，2⾏×1列表格，循环赛进⾏1天）：表1 循环赛⽇程表（2⼈）（2）四个选⼿的⽇程表（k=2，n=4，4⾏×3列表格，循环赛进⾏3天）：⾸先n=22，所以应该退化到求解两个2⼈循环赛的问题，⽇程表构建如下：表1 循环赛⽇程表（2⼈） 表2 循环赛⽇程表（2⼈）将表2抄在表1右侧构成表1*，将表1抄在表2右侧构成表2*，将表1*与表2*按次序上下拼接，构成表3：表3 循环赛⽇程表（4⼈）由于表1和表2中运动员完全不同，拼接之后每⼀⾏和每⼀列都不会存在两个相同号码，也就是说拼接后不会产⽣⼀个选⼿在同⼀天和另外⼀个选⼿⽐赛两次的情况，说明这种拼接是合理的。
（3）⼋个选⼿的⽇程表（k=3，n=8，8⾏×7列表格，循环赛进⾏7天）n=23，⾸先应该退化到4⼈循环赛问题，再退化到2⼈循环赛问题，4⼈退化到2⼈已在（2）中详细描述，此处只说明如何退化到4⼈问题：表3 循环赛⽇程表（4⼈） 表4 循环赛⽇程表（4⼈）拼接⽅法与（2）中相同，构成表5：表5 循环赛⽇程表（8⼈）三、算法设计（1）设计思想：设n=2k采⽤分治策略，将所有参加⽐赛的选⼿分成两部分，n=2k个选⼿的⽐赛⽇程表就可以通过两个n=2k-1个选⼿的⽐赛⽇程表来决定。
Chapter-4 动态规划
M i r r
i
i 1
1 i n
M i , j M i M i 1 M k 1 M k M k 1 M j 1 M j
C[i , j ] C[ i.k 1] C[ k , j ]
最长公共子序列问题
• 给定两个定义在字符集∑上的字符串A和B，长度分别 为n和m，现在要求它们的最长公共子序列的长度值 (最优值)，以及对应的子序列(最优解) 。 • 子序列
A a1a2 an 的一个子序列是形如下式的一个字符串： ai1 ai2 ain ,其中
1 i1 i2 ik n
C[1,3]=320 C[2,3]=240 (M2 M3) C[3,3] =0 (M3)
C[1,4]=620 C[2,4]=640 (M2) (M3M4) C[3,4]=240 (M3M4) C[4,4] =0 (M4)
C[1,5]=348 C[2,5]=248 C[3,5]=168 C[4,5]=120 (M4 M5) C[5,5] =0 (M5)
4n f (n) ( 1.5 ) n
结论：穷举法复杂度太高
南京理工大学
使用动态规划法：
M1 M 2 M3 M n r1 , r2 , r3 ,rn , rn1
Mi, j Mi Mi1 M j 1 M j
C[i, j ] ：计算 Mi, j 所需的最小乘法次数。 i 1, j n 时，原问题得解。
f (k ) f ( nk )
f ( n) f ( k ) f ( n k )
k 1
n 1
f (1) 1, f (2) 1, f (3) 2
1 n 1 f ( n ) C2 n 2 n
辽宁师范大学计算机与信息技术学院宋传鸣算法设计与分析
30年代前期,哥德尔等创立递归函数 30年代中期,丘奇的λ演算,波斯特的波斯特机,图
灵的图灵机 40年代后期:存储程序型计算机(RAM,RASPM)
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《算法设计与分析》
概述
课程介绍 什么是算法 算法的描述 算法分析
概述
课程介绍 什么是算法 算法的描述 算法分析
程序设计语言
优点: 能由计算机执行 缺点: 抽象性差,对语言要求高 使用方法: 对算法进行验证 注意事项: 将算法写成子函数
#include <iostream.h>
int iCommonFactor(int m, int n) {
计算机科学与技术专业课程
Algorithm Design and Analysis
算法设计与分析
宋传鸣
chmsong@
辽宁师范大学计算机与信息技术学院
概述
课程介绍 什么是算法 算法的描述 算法分析
关于任课教师
宋传鸣 讲师
2003年本科毕业于辽宁师范大学计算机科学与技 术系计算机应用技术专业,工学学士
关于《算法设计与分析》课程
在专业教学计划中的地位和作用
在IEEE ACM 公布的《Computer Science Curric ulum 2008》与中国计算机学会教育委员会、全 国高等学校计算机教育研究会推出的CCC 2004 (China Computing Curricula 2004-CS)中,算法设 计与分析都是其核心课程之一
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
《算法设计与分析》
关于《算法设计与分析》课程
NOIP基础算法综合---分治与贪心
分析
• B、求方程的所有三个实根
• 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝 对值>=1。因此可知：在[-100,-99]、[-99,-98]、……、[99， 100]、[100，100]这201个区间内，每个区间内至多只能 有一个根。即：除区间[100，100]外，其余区间[a,a+1]， 只有当f(a)=0或f(a)·f(a+1)<0时，方程在此区间内才有解。 若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)·f(a+1)<0 ，则可以利用A中所 述的二分法迅速出找出解。如此可求出方程的所有的解。
while(i<=mid)temp[p++]=a[i++]; while(j<=right)temp[p++]=a[j++]; for(i=left;i<=right;i++)a[i]=temp[i]; }
【变形1】逆序对数目
• 例题：求“逆序对”。 • 给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,
核心参考代码
void divide(double x1,double x2) { double x0,y0,y1,y2;
x0=(x1+x2)/2; y1=cal(x1);y2=cal(x2);y0=cal(x0); if(x2-x1<0.00001&&y1*y2<0)
{printf("%.4f ",(x2+x1)/2);return;} if(y1*y0<0||x0-x1>1) divide(x1,x0); if(y0*y2<0||x2-x0>1) divide(x0,x2); }
算法 分治法
13
27
38 50
55
65 49
i
j
i
j
13 27 38 49 50 55 65
2021/8/1
分治法
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算法4.6——快速排序
void QuickSort(int r[ ], int first, int end)
{ if (first<end) { pivot=Partition(r, first, end); //问题分解，pivot是轴值在序列中的位置 QuickSort(r, first, pivot-1); //递归地对左侧子序列进行快速排序 QuickSort(r, pivot+1, end); //递归地对右侧子序列进行快速排序
66的旋转方阵
2021/8/1
分治法
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4.2 排序问题中的分治法
4.2.1 归并排序 4.2.2 快速排序
2021/8/1
分治法
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4.3.1 归并排序
二路归并排序的分治策略是： （1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个 长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn； （2）求解子问题：分别对这两个子序列进行排 序，得到两个有序子序列； （3）合并：将这两个有序子序列合并成一个有 序序列。
//对应情况①，递归求解 rightsum=MaxSum(a, center+1, right);
//对应情况②，递归求解
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分治法
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s1=0; lefts=0;
//以下对应情况③，先求解s1
for (i=center; i>=left; i--)
{
分治策略在卫星数据交换控制中的应用
ｔｏ ｒ ａ ｓ ｔ ｌｉ ｉｈ ｃ ｍ ｍｕ ｉ ａｅ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ ｏ ｅ ｂ ｎ ｔ ｉ ｄ ａ ｍａ ｔｙ ｒ ｄ ｅ ｔ ｅ ｔｍ ｅ ｆｒ ｒｌｆ ａｅｌｔ ｗｈ ｃ ｏ ｏ ｅ ｎ ｃ ｔ ｓｉ ｆｒ ｔｏ ｎ ｙ ｏ ｅ。ｈ ｓ ｍｏ ｅ ｃ ｎ ｓ ｒｌ ｅ ｕｃ ｈ ｉ ｏ
ｆｇ ｒ ｔ ｎ ｉ ｈｓ ｐ ｐ ｒ Ａ ｉ ｉｅ ａ —ｕ ｅ ｓｒ ｔｇ ｓ ａ ｏ ｔｌｔ ｅ ｉｎ ａ ｍ ｏ ｅ ｏ ｈ ａａ ｓｒ ａ ｃ ｎ ｒｌ ｉｕ ａ ｉ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ． ｄ ｖｄ — ｎｄ ｒ ｌ ｔａ ｅ ｙ ｉ ｄ ｐ ａ ｏ ｄ ｓｇ ｄ ｆｔ ｅ ｄ ｔ ｔｅ ｍ ｏ ｔｏ ｏ
ＨＵ ｅ ｉ Ｙｕ ｘ ｎ， Ｚ ＡＮＧ Ｈ Ｄｕｚ ｕ ｈｏ
（ ｅ ｉ ｎｔｕｅ ｆＣ ｎｒｌ ｎ ｉ ｅｉ Ｂ ｎ ０ ０ ９ ， ｈｎ ） Ｂ ｉ ｇＩｓｔｔ ｏ ｏｔ ｇｎ ｒ ｇ， ｅ ｇ１ ０ １ ０ Ｃ ｉ ｊ ｎ ｉ ｏＥ ｅ ｎ ａ
Ａｂｓｒ ｃ Ａ ｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｈ ａａ ｓｒ ａ ｃ ｎ ｒ ｌｏ ｔ ａ ｔ： ｒ ｓ ａ ｃ ｎ ｔｅ ｄ ｔ ｔｅ ｍ ｏ ｔｏ ｆＡＯＣＳ ｉ ｒ ｓ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓｓ ｏ ｈｅ ｃ ｎ ｕ ｒ ｎ ｏ ． Ｓｐ ｅ ｅ ｔｄ ｏ ｈ ａ ｉ ｆｔ ｏ ｃ ｒｅ ｔｃ ｎ
随着 航天 技术 的不 断 发展 ， 星 在控 制 精 度 和 卫 变轨 能力 、 动能 力等方 面 的性 能要求 也 随之提 高． 机
高 卫星 姿轨 控与 机动 能力 的关 键技 术
性 能要求 的提 高势 必要求 卫 星配备 更 多 的姿 态测 量
敏感 器 与执行 机构 ． 目前 随着 各 部 件 自身处 理 信 息
分治法 “分”而治之.ppt
当n→∞,S(n) ∝ U(n) ，而U(n) = Θ(logn)
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基于二元比较树的分析
若x在A中出现，则算法的执 行过程在一个圆形的内结点处结 束。 若x不在A中出现，则算法的 执行过程在一个方形的外结点处 结束
——外结点不代表元素的比 较，因为比较过程在该外结点的 上一级的内结点处结束。
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分治法的另一种模型表示
proc dividandconquer(n)
if n<=n0 then g(n)
else { divid n into small suninstances
n1 n2 n3…nk
for i=1 to k do
yi=dividandconquer(ni)
return merge(y1…yk) }
效率较好。 一般进行2分法。
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3.2 二分检索（折半查找） 1. 问题的描述
已知一个按非降次序排列的元素表a1, a2, …,an,判定某给定的元素x是否在该表中出 现。
若是，则找出x在表中的位置并返回其所在下标 若非，则返回0值。
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故：成功检索在i级终止所需要的元素比较次数是i 不成功检索在i级外部结点终止的元素比较次数是i-1
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BINSRCH计算复杂度的理论分析
1）不成功检索的最好、最坏和平均情况的计算时间
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T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
启发式规则：
1. 平衡子问题：最好使子问题的规模大致相同。也就是将一 个问题划分成大小相等的k个子问题（通常k＝2），这种使子 问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（Balancing）子问 题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。 2. 独立子问题：各子问题之间相互独立，这涉及到分治法的 效率，如果各子问题不是独立的，则分治法需要重复地解公 共的子问题。
思考题：给定a，用二分法设计出求an的算法。
大整数的乘法
请设计一个有效的算法，可以进行两个n位二进制大整数的乘 法运算 小学的方法：O(n2) 效率太低 分治法: 将n位的二进制整数X和Y都分成2段，每段的长为n/2位
X= 复杂度分析 a Y=
b =1 O(1) n T ( n) = c n 4T (n / 2) O(n) d > 1
二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。
据此容易设计出二分搜索算法： 算法复杂度分析： public static int binarySearch(int [] a, int x, int n) { 每执行一次算法的 // 在 a[0] <= a[1] <= ... <= a[n-1] 中搜索 x while循环， 待搜索数 // 找到x时返回其在数组中的位臵，否则返回-1 组的大小减少一半。因 int left = 0; int right = n - 1; 此，在最坏情况下， while (left <= right) { while循环被执行了 int middle = (left + right)/2; if (x == a[middle]) return middle; O(logn) 次。循环体内 if (x > a[middle]) left = middle + 1; 运算需要O(1) 时间， else right = middle - 1; 因此整个算法在最坏情 } 况下的计算时间复杂性 return -1; // 未找到x 为O(logn) 。 }
Strassen矩阵乘法
传统方法：O(n3) 分治法: O(n2.81) 更快的方法??
Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个２×２矩阵的乘 积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时 间复杂性，就不能再基于计算2×2矩阵的7次乘法这样的方法 了。或许应当研究３×３或５×５矩阵的更好算法。 在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复 杂性。目前最好的计算时间上界是 O(n2.376) 是否能找到O(n2)的算法？？？目前为止还没有结果。
Strassen矩阵乘法
传统方法：O(n3)
n
A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:C[i][ j ] = A[i][ k ]B[k ][ j ]
k =1
若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计 算C的一个元素C[i][j]，需要做n次乘法和n-1次 加法。因此，算出矩阵C的 个元素所需的计算 时间为O(n3)
第4章 分治法
算法总体思想
• 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够
小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 题。 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
算法总体思想
• 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问
算法总体思想
• 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题， n = T(n) 分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破， 分而治之。 凡治众如治寡，分数是也。 n/2 n/2 n/2 ----孙子兵法 n/2
O(1) n =1 T ( n) = aT (n / b) f (n) n > 1
分治法的复杂性分析
主定理：如果在递推式中满足 f (n) (n d )
O(1) n =1 T ( n) = aT (n / b) f (n) n > 1
(n ) d T ( n) = ( n log n) logb a ) ( n
+ bd 细节问题：两个XY的复杂度都是O(nlog3)，但考虑到a+c,b+d可 2. XY = ac 2n + ((a+c)(b+d)-ac-bd) 2n/2 能得到m+1位的结果，使问题的规模变大，故不选择第2种方案。 + bd
1. XY = ac 2n + ((a-c)(b-d)+ac+bd) 2n/2
由此可得：
C11 C12 C 21 C 22
= A11 B11 A12 B21 = A11 B12 A12 B22 = A21 B11 A22 B21 = A21 B12 A22 B22
T(n)=O(n3) 没有改进
8个n/2阶方阵相 乘 4个n/2阶方阵加 法
Strassen矩阵乘法
如果将大整数分成更多段，用更复杂的方式把它们组合起来， 将有可能得到更优的算法。 最终的，这个思想导致了快速傅利叶变换(Fast Fourier Transform)的产生。该方法也可以看作是一个复杂的分治算 法，对于大整数乘法，它能在O(nlogn)时间内解决。 是否能找到线性时间的算法？？？目前为止还没有结果。
d
ab
d d
a=b d a>b
二分搜索技术
给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。 分析： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解； 分解出的各个子问题是相互独立的。 分析：如果n=1即只有一个元素，则只要比较这个元素和x就 分析：比较x和a的中间元素a[mid]，若x=a[mid]，则x在L中的 可以确定x是否在表中。因此这个问题满足分治法的第一个适 位臵就是mid；如果x<a[mid]，由于a是递增排序的，因此假 分析：很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[i]的前 用条件 如x在a中的话，x必然排在a[mid]的前面，所以我们只要在 面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适 a[mid]的前面查找x即可；如果x>a[i]，同理我们只要在a[mid] 用条件。 的后面查找x即可。无论是在前面还是后面查找x，其方法都 和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明 了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。
为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。 T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)较大的改进
3T (n / 2) O(n) n > 1
bd
大整数的乘法
请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算 小学的方法：O(n2)
分治法: O(n1.59) 更快的方法??
效率太低 较大的改进
算法总体思想
• 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
n/2
=
n/2
Байду номын сангаас
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成b个规模为n／ b的子问题去解,其中a个实例需要求解。设分解 阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单 位时间。再设将原问题分解为b个子问题以及用 merge将b个子问题的解合并为原问题的解需用 f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模 为|P|=n的问题所需的计算时间。 通用分治递推公式：
Strassen矩阵乘法
传统方法：O(n3) 分治法: 使用与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4 个大小相等的子矩阵。由此可将方程C=AB重写为： 复杂度分析
O = C11 = C12 A11(1)A12 B11 nB12 2 T(n) = 8T (n/A2) A22(n 2 ) nB22 2 O B21 > C21 C22 21
M 3 = ( A21 A22 ) B11
M6
M4 M5 M6 M7
= A22 ( B21 B11 ) = ( A11 A22 )( B11 B22 ) = ( A12 A22 )( B21 B22 ) = ( A11 A21 )( B11 B12 )
C12 = M 1 M 2 C21 = M 3 M 4 C22 = M 5 M 1 M 3 M 7
传统方法：O(n3) 分治法: 为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。 复杂度分析
C11 C12 A11 (1)A12 B11 nB= = O 12 2 T(C ) = C A A B B n 22 2 21 22T ( n / 2) O ( n 2 21 n > 7 21 22 ) M 1 = A11 ( B12 B22 ) T(n)=O(nlog7) =O(n2.81)较大的改进 C11 = M 5 M 4 M 2 M 2 = ( A11 A12 ) B22