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2.1 分治算法的基本思想
分治算法的基本思想是将一个规模为n的问题 分解为a个规模较小的子问题，这些子问题互 相独立且与原问题相同。递归地解这些子问题， 然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
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分治算法所能解决问题一般具有以下几个特征：
缩小问题规模可以降低解决问题的难度； 可以将子问题的解合并为原问题解； 问题分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间 不包含公共的子问题。
❖ 现在，我们来计算一下，有多少个叶节点。第1层
有3个节点，第2层有32个节点，依次类推，第k层有
3k个节点，当k=log4n，即为叶节点，因此，叶节点
的个数为
，而每个叶节点需要的时
间为T(1),因此，整个叶节点的时间为
。
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将递归树每一层的时间累加，可得：
题 return merge(y1,...,ya); //合并为原问题的解
}
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分治算法的复杂性分析
一个分治算法将规模为n的问题分成a个规模为 n规／模b为的1子的问问题题。耗设费分1个解单阈位值时n0间=。1，再且设a将dh原oc问解 题分解为a个子问题以及用merge将a个子问题 的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。 用T(n)表示该分治算法解规模为|P|=n的问题 所需的计算时间，则有下列递归方程：
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void perm(int[] r, int i, int n) { // r存放R集合元素，r[0]~r[n] // i,n 表示目前求解的全排列起始与终止位置 if （只有一个元素）{ //递归边界条件 显示当前排列； } else { 依次将i ~ n 之间的每个元素交换 //递归到第i 个位置，并用同样的方法 （递归）求解i+1~n 之间的全排列 }
i=0
所以，由递归树猜测T(n)=O(n2)随后，再利用数 学归纳法证明。
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公式法
其中，a≥1，b>1是常数，f(n)是一个渐进函 数，描述划分问题与合并解的时间复杂性。 n/b可以是 ，也可以是
上述方程描述了如下算法的运行时间：将一个规模为n的问题 划分为a个规模为n/b的子问题，其中a和b为正常数。分别递归 地解决a个子问题，解每个子问题所需时间为T(n/b)。划分原问 题和合并子问题的解所需要的时间由f(n)决定
分治算法
递归技术
分治与递归像一对孪生兄弟
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
在定义函数时调用到函数自身称为递归函数。
分治算法递归技术
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递归应用举例1: Fibonacci数列
无穷2阶数列1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，…，被称为Fibonacci数列。递归定义为：
1.需要先考虑P[m]，如果能够求出剩余元P[m+1] 、P[m+2] 、…，P[n] 的所有排列，我们只需将P[m]放到每个排列的开头。
2.然后考虑P[m+1]，通过交换P[m]和P[m+1]，这样我们仍然只要考虑求剩 余元素P[m+1] 、P[m+2],… P[n]的所有排列即可。
3.然后依次考虑P[m+3]，…,P[n]。
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定理：上述递归方程含有三种情形的渐进界：
（1）对于某个常数
如果
则
（2）如果
则
（3）对某个常数
如果
且对某个常数 c <1 以及任意足够大的
n,
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定理含义
将f(n)与 进行比较，
当 较大时，
相等时
当 较小时，
结论：可以通过尽量减少子问题的个数 或者减少f(n)的数量级来增强分治算法的 有效性。
4.当问题规模降为求一个元素P[m]的全排列时，问题就极为简单，可作为 递归出口。
5.值得注意的是，将P[m]和某个P[k]交换，求出剩余元素的所有排列后，为 了避免重复，发生混乱，必须将P[m] 和P[k]交换回去，然后才能继续P[m] 和P[K+1]的交换。
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直到将n放在p[n]位置上，并用p[1..n-1]产生n-1个 元素的全排列。
元素放置位置：p[1]~p[n]
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321, 312, 231, 132, 213, 123
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void perm2(int p[], int n) { // n = NUM-1 // p[1]~p[n]放置元素，初始为0， // n为当前参与排列的元素数量, 1,2,3,……, n if (参与排列的数据数量为0) { 输出结果 } else { 依次将n放在每个位置， 并采用同样的方法求解另外n-1元素的全排列； } }
(XX0518版第二讲_分治 策略-不可更改
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2020/11/21
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算法总体思想
将一个难以直接解决的规模较大的问题分解 为若干个规模较小的子问题，并各个击破，分 而治之。
n
n/4
n/4
n/4
n/4
n/16 n/16 n/16 n/16 n/16 n/16 n/16 n/16 n/16 n/16 n/16
≤2(c(n/2)lg(n/2))+n ≤cnlg(n/2)+n ≤cnlgn-cnlg2+n = cnlgn-cn+n 当c≥1时，显然cnlgn-cn+n ≤cnlgn 根据O符号定义，证明猜测正确。
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递归树方法
❖递归树可以方便地推测递归方程的解，是描述分治算法 的运行时间复杂性的有效手段。
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分治算法的算法框架
divide-and-conquer(P){ if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决规模小的问题 //将问题P 分解为子问题P1,P2,...,Pa； for (i=1,i<=a,i++) yi=divide-and-conquer(Pi);//递归的求解各子问
n/16 n/16 n/16 n/16 n/16
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版第ห้องสมุดไป่ตู้讲分治策略不可更改
将求出的较小规模的问题解合并成一个较
大规模的问题解，并自底向上地求出原问
题的解。
最顶层问题
a 为分解的子问题数量； n/b 为每个子问题的数据规模； f(n) 为合并子问题解所消耗的时间。
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例2：T(n) = T(2n/3)+1 由上式可知a=1, b=3/2, f(n)=1， 且 又因为 满足定理（2），因此
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2.2 递归概念
分治算法的特征：将较大规模的问题分解为若 干个较小规模的子问题，每个子问题的求解过 程与原问题一样，并利用自底向上的求解策略 得到最终的解。
通过求解递归方程得到递归算法的时间复杂性。
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求解递归方程的三种方法： ❖替换方法 ❖递归树方法 ❖公式法
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替换方法
❖替换方法的主要思想是首先推测出递归方程 的解 ，然后代入递归方程，查看是否满足条件。
❖ 替换方法解递归方程的基本步骤： ① 猜测出递归解的形式 ② 用数学归纳法找出使解真正有效的常数
log4n+1
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nlog4 3
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O(nlog4 3 )
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递归树总共有多少层？当递归树展开一层，其规模 为n/4，当递归树展开到第2层时，其规模为 n/16=n/42，依次类推，当展开到第k层时，其规 模为n/4k=1时，不再展开，由此可以求得递归树 的层数为k=log4n。
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方法2：固定元素找位置
在n-1 个元素的全排列基础上，将某个元素插入到 每个位置上，进而得出n 个元素的全排列。
基本过程： ① 将n放在p[1]位置上，并用p[2..n]产生n-1个元素的全排列； ② 将n放在p[2]位置上，并用p[1]和p[3..n]产生n-1个元素 的全排列； ③ 将n放在p[3]位置上，并用p[1..2]和p[4..n]产生n-1个 元素的全排列； ...........
❖适用比较容易猜出递归解的情形。
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例：T(n)=2T(n/2)+n （2路归并)
v 猜测出解为T(n)=O(nlgn) v 证明存在某个常数c，使得T(n) ≤cnlgn
数学归纳法：
假设解对n/2成立，即T(n/2) ≤c(n/2)lg(n/2) 将其对递归方程进行替换，得： T(n)= 2T(n/2)+n
m=3A时(n，,m类) =似A的(A可(n以-1,m推)出,m-1) n,m≥1
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递归应用举例3: 排列问题
求解n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 n个元素的全排列有n!种可能。 解题基本方法： （1）固定位置放元素 （2）固定元素找位置
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递归公式
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思路？
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举例，0~3共4个数值的全排列
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将每个元素交换 到固定位置上， 并求解其余位置 元素的全排列。
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假设: 要求P[m] 、P[m+1] 、… P[n]的全排列:
❖用递归树方法求解递归方程的基本步骤:
① 利用递归树推测出一个解 ② 利用替换方法进行证明
❖ 构造递归树的方法就是展开递归方程，然后将树 中每层的时间求和，最终获得算法的时间复杂性。
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例：T(n)=3T(n/4)+cn2
T(n) →
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方法1：固定位置找元素
假设R={r1,r2,…,rn}是待排列的n个元素，Ri=R-{ri}。 假设集合Ri中元素的全排列记为perm(Ri)。 (ri)perm(Ri)表示在全排列perm(Ri)的每一个排列的第一 个位置加前缀ri得到的排列。
当n=1时，perm(R)=(r) 其中r是集合R中唯一的元素； 当n>1时，perm(R)的全排列为： (r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)
边界条件
递归方程
边界条件与递归方程是递归函数的二要素。
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递归应用举例2: Ackerman函数
A(1,0) = 2
A(0,m) = 1
m≥0
A(n,0) = n + 2
n≥2
A(n,m) = A(A(n-1,m),m-1) n,m≥1
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从定理中可以看出，公式法只要记住三种情形， 就可以很容易地确定许多递归方程的解。
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例1：T(n)=9T(n/3)+n 由上式可知，a = 9，b = 3，f(n) = n, 且 又因为对于 有 满足定理（1），因此，
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}
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void perm(int r[], int i, int n) { if ( i == n ) { // 只有一个数值 for (int j = 0; j <= n; j++) {
// 输出结果 cout<<r[j]; } cout<<endl; } else { for (int j = i; j <= n; j++) { swap(r, i, j); // 交换r[i]与r[j] perm(r, i + 1, n); // 计算i+1~ n 全排列 swap(r, i, j); // 交换r[i]与r[j] } } }
Ackerman函数的特征：A(n，m)的自变量m的每一个值 都定义了一个单变量函数。
m=0时，A(n,0)=n+2
m=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2， A(1,1)=2 可以得出A(n,1)=2*n
m=2时A(，1,A0)(n=,22)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)， A(0A,(m1,)2=)=1A(A(0,2),1)=A(1m,1)≥=02 A(可n,0以)得=出n A+(2n,2)= 2n 。 n≥2