【2019-2020】高考数学总复习第二章基本初等函数(Ⅰ)2-2-1对数与对数运算(第一课时)教案新人教A版必修1
高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1函数及其表示学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1函数及其表示学案理考纲展示► 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．考点1 函数的概念1.函数与映射的概念确定2．函数由定义域、________和值域三个要素构成．答案：对应关系3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．答案：定义域对应关系[教材习题改编]以下属于函数的有________．①y＝±x；②y2＝x＋1；③y＝＋；④y＝x2－2(x∈N)．答案：④解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y 值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．答案：①②④①②解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，B不是数集，所以不是函数．[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )A．① B．①③④C．①②③ D．③④[答案] B[解析] ②中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；①③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝x2－1[答案] A[解析] A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)；B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同；C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，∴两函数的定义域不同；D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.(3)下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值．是从集合A到集合B的函数的为________．[答案] ①[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；③中，A中的元素0在B中没有对应元素；④中，A中的元素0在B中没有对应元素．[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．考点2 函数的定义域对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．(1)[教材习题改编]函数f(x)＝＋的定义域为( )A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C (2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A BC D答案：B 定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义域．(1)已知长方形的周长为12，设一边长为x，则其面积y关于x的函数解析式为________．答案：y＝x(6－x)(0＜x＜6)解析：因为长方形一边长为x，则另一边长为＝6－x，所以y＝x(6－x)．又x＞0,6－x＞0，所以0＜x＜6.如果不考虑x的范围，会扩大x的范围，这样会使实际问题失去意义．(2)函数y＝的定义域为________．答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，应使x－1≠0，即x≠1，所以函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．本题如果对解析式化简会有y＝＝＝x＋2，从而得函数定义域为R，所以在求解定义域时，不能对函数变形、化简，以免定义域发生变化．[考情聚焦] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．主要有以下几个命题角度：角度一求给定函数解析式的定义域[典题2] (1)[2017·山东淄博月考]函数f(x)＝的定义域是( )A．(0,2)B．(0,1)∪(1,2)D．(0,1)∪(1,2]C．(0,2][答案] D [解析] 要使函数有意义，则有即所以0<x≤2且x≠1，所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]，故选D. (2)[2017·山东青州高三模拟]函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2][答案] A[解析] 函数f(x)＝ln(x －1)＋的定义域为⇒1<x<2，故选A.角度二求抽象函数的定义域[典题3] (1)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0，lg 2][答案] C[解析] 因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应法则，所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100， 所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]．(2)[2017·河北唐山模拟]已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ＋f 的定义域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [解析] 因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f ＋f中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得≤x≤，所以函数g(x)的定义域是.角度三已知定义域确定参数问题[典题4] [2017·安徽合肥模拟]若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．[答案] [－1,0][解析] 函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.[点石成金] 求函数定义域的两种方法函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.答案：解析法图象法列表法[典题5] (1)已知f＝lg x，则f(x)＝________.[答案] lg (x>1)[解析] 令t ＝＋1(t ＞1)，则x ＝，∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x ＞1)．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，则f(x)＝________. [答案] 2x ＋7[解析] 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则3f(x ＋1)－2f(x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f(x)＝2x ＋7.(3)已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x ，则f(x)＝________.[答案] 2x －(x≠0)[解析] ∵2f (x)＋f ＝3x ，① 以代替①式中的x(x≠0)，得2f ＋f(x)＝.②①×2－②，得3f(x)＝6x －，∴f(x)＝2x －(x ≠0)．(4)[2017·山东青岛一中检测]奇函数f(x)在(0，＋∞)上的表达式为f(x)＝x ＋，则在(－∞，0)上f(x)的表达式为f(x)＝________.[答案] x －－x[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x ＋.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x －， 即x∈(－∞，0)时，f(x)＝x －. [点石成金] 求函数解析式的方法1.已知f(＋1)＝x ＋2，则f(x)＝________.答案：x2－1(x≥1)解析：令t ＝＋1，∴t≥1，x ＝(t －1)2，则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x ≥1)．2．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝x2－x ＋3解析：设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)， 又f(0)＝c ＝3，∴f(x)＝ax2＋bx ＋3，∴f(x ＋2)－f(x)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋3－(ax2＋bx ＋3)＝4ax＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x2－x ＋3.考点4 分段函数及其应用1.分段函数的定义若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．答案：对应关系 2．分段函数的性质(1)分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的________．(2)分段函数的值域是各段函数值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的．(3)分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减；若不符合，则必须分区间说明单调性．答案：(1)并集(2)并集[考情聚焦] 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求分段函数的函数值或取值范围[典题6] [2017·广东广州模拟]设函数f(x)＝则f(f(4))＝________；若f(a)<－1，则a的取值范围为________．[答案] 5 ∪(1，＋∞)[解析] f(4)＝－2×42＋1＝－31，f(f(4))＝f(－31)＝log2(1＋31)＝5.当a≥1时，由－2a2＋1<－1，得a2>1，解得a>1；当a<1时，由log2(1－a)<－1，得log2(1－a)<log2，∴0<1－a<，∴<a<1.即a的取值范围为∪(1，＋∞)．角度二分段函数的图象与性质的应用[典题7] 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)[答案] D[解析] 解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3.解x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－∞，－2]∪[3，＋，x2－1，－2，其图象如图实线所示．由图可知，当－2≤k<1时，函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.[点石成金] 分段函数应用的常见题型与破解策略间进行分别求解，然后整合.[方法技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法．[易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f()＝x ＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．真题演练集训1．[2013·大纲全国卷]已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案：B解析：∵f(x)的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x<－. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案：C解析：∵ －2<1，∴ f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵ log212>1，∴ f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴ f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C. 3．[2015·浙江卷]存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )A．f(sin 2x)＝sin xB．f(sin 2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|答案：D解析：取特殊值法．取x＝0，，可得f(0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．综上可知，故选D.4．[2014·山东卷]函数f(x)＝的定义域为( )A.B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)答案：C解析：(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定义域是∪(2，＋∞)．5．[2014·上海卷]设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )B．[－1,0]A．[－1,2]D．[0,2]C．[1,2]答案：D解析：∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时等号成立．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.6．[2016·江苏卷]函数y＝的定义域是________．答案：[－3,1]解析：要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]．课外拓展阅读已知定义域求参数问题[典例1] 已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．[解] 函数y＝的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．当k＝0时，函数y＝＝1，函数的定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.归纳总结已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．如本题中将求参问题转化为方程无解的问题．[典例2] 已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．[解] 由题意知ax＋1≥0，a<0，所以x≤－，即函数的定义域为.因为函数在(－∞，1]上有意义，所以(－∞，1]⊆，所以－≥1.又a<0，所以－1≤a<0，即a的取值范围是[－1,0)．温馨提示函数在(－∞，1]上有意义，说明函数的定义域包含区间(－∞，1]，使函数有意义的自变量的集合是定义域的子集．已知分段函数图象求解析式已知函数的图象求函数的解析式y＝f(x)，如果自变量x在不同的区间上变化时，函数y＝f(x)的解析式也不同，应分类求解．此时应根据图象，结合已学过的基本函数的图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解，其函数解析式一般为分段函数．要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏．[典例3] 根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．[解] 当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x －；当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx ＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x －； 当1≤x<2时，f(x)＝1.综上f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x<－1，32x －12，－1≤x<1，1，1≤x<2.方法探究由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解．对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围．。
高中数学第2章基本初等函数Ⅰ2.2.1对数与对数运算第1课时对数课件新人教A必修
知识点三 知识点四
对数与指数的关系 对数的基本性质
当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝ logaN . (1) 负数 和 零 没有对数. (2)loga1＝ 0 (a＞0，且a≠1). (3)logaa＝ 1 (a＞0，且a≠1).
答案
思考 答 答
(1)lg 10，lg 100，lg 0.01，ln 1，ln e分别等于多少？ lg 10＝1，lg 100＝2，lg 0.01＝－2，ln 1＝0，ln e＝1. 由于对数式x＝logaN中的a来自于指数式ax＝N中的a，所以当规定了
第二章 2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对
数
学习 目标
1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质. 2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习
重点突破
自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
对数的概念
一般地，如果ax＝N (a＞0，且a≠1) ，那么数x叫做以a为底N的对数，记
到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对
于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3
利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值.
故 x＝(3 ) ＝3 ＝81.
4
解析答案
4 3 3
(3)log2(log5x)＝0；
解 由log2(log5x)＝0得log5x＝20＝1， 故x＝51＝5. (4)log3(lg x)＝1. 解 由log3(lg x)＝1得lg x＝3， 应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看 故x＝103＝1 000. 反思与感悟
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.22.2.1对数与对数运算课件新人教必修
2．对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M· N)＝logaM＋logaN； M (2)loga N ＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
温馨提示 若 M，N 同号，则式子 loga(M· N)＝logaM M ＋logaN，loga N ＝logaM－logaN 不一定成立，当 M>0， N>0 时等式成立，当 M<0，N<0 时等式不成立．
x x
logaa 1 1 (3)对，log4a＝ ＝ ＝ . loga4 2loga2 2m 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子正确的 个数为( )
①logax·logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； x ③logay＝logax÷logay； ④loga(xy)＝logax·logay. A．0 B．1 C．2 D．3
[自主解答] (1)根据指数式与对数式的互化规则，可 得①x＝log15；②x＝log 2 .
(2)根据指数式与对数式的互化规则， 1 可得①1002＝10；②x－6＝64. 答案：(1)①x＝log15 ②x＝log 2
1 － (2)①1002＝10 ②x 6＝64
归纳升华 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式 logaN＝x 与指数式 ax＝N(a>0 且 a≠1)的互化过程中，要 特别注意 a，x，N 的对应位置．
3．对数换底公式 logcb (a>0，且 a≠1，c>0，且 c≠1，b>0)． (1)logab＝ logca (2)对数换底公式的重要推论： 1 (N>0，且 N≠1，a>0，且 a≠1)； ①logaN＝ logNa m ②loganb ＝ n logab(a>0，且 a≠1，b>0)；
高考数学1第二章基本初等函数考点汇总
高考数学1第二章基本初等函数考点汇总一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一样地，假如，那么叫做的次方根(n th root)，其中>1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.现在，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，那个地点叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.现在，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根能够合并成±( >0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根差不多上0，记作。
注意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样能够推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一样地，函数叫做指数函数(exponential functio n)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>1 0图象特点函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一样地，假如，那么数叫做以为底的对数，记作：( —底数，—真数，—对数式)说明：○1 注意底数的限制，且;○2 ;○3 注意对数的书写格式.两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数;○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化(二)对数的运算性质假如，且，，，那么：○1 ? + ;○2 - ;○3 .注意：换底公式( ，且; ，且; ).利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，差不多上形式定义，注意辨别。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.3对数的运算(2)练习(含解析)新人教A版必修1
课时23 对数的运算(2)换底公式的应用a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 4．计算：(1)log 89×log 2732；(2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513； (4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109； (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32； (3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15； (4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.运用换底公式不熟练致误23A.14 B.12C ．2D ．4 易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误． 答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、选择题1.log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32 D.92答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝() A ．a ＋b B ．a －b C ．ab D.ab答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10，选A.4.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C. 5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 D解析 a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，由2a ＋b ＝ab 得2log 2k ＋log 3k ＝log 2k ·log 3k ，即2lg k lg 2＋lg k lg 3＝k2lg 2lg 3，得2lg 3＋lg 2＝lg k ，即k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．答案 81解析 log a b ·log 3a ＝4，即log 3a ·log a b ＝4，即log 3b ＝4，∴34＝b ，∴b ＝81.8．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝1，则A 的值是________．答案 98解析 ∵2x ＝72y ＝A ，∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A .∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1.∴A ＝98.三、解答题9．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06. 解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1； (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y. 解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34. ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.►2.2.2 对数函数及其性质。
高中数学：第2章2节 基本初等函数 对数函数 幂函数总复习试题及答案
2．2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．以下四个命题中是真命题的为( ) ①若log 5x ＝3，则x ＝15； ②若log 25x ＝12，则x ＝5；③若log x5＝12，则x ＝5；④若log 5x ＝－3，则x ＝1125.A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 2.log849log27的值是( )A ．2 B.32C ．1 D.233．已知对数式log a －2(5－a )＝b ，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2，5) C ．(2，3)∪(3，5) D ．(2，＋∞)4．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12等于( ) A ．a 2＋b B ．2a ＋b C ．a ＋2b D ．a ＋b 25．对数式2lg 22＋lg 25＋3lg 2lg 5－ lg 2化简的结果是( ) A ．1 B ．－lg 2C ．lg 5 D.126．计算log 2(22)－log (2－1)(3－22)＋e ln 2的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 7．lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·lgab2＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg 5的根是x ＝________． 9．已知m >0，且10x ＝lg(10m )＋lg1m，则x ＝________．10.2lg 4＋lg 91＋12lg 0.36＋13lg 8＝________．11．已知log 147＝a ，log 145＝b ，则用a ，b 表示log 3514＝________． 三、解答题(本大题共2小题，共25分) 12．(12分)解方程(lg x )2＋lg x 5－6＝0.13．(13分)计算：(1)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64；(2)lg23－lg 9＋1（lg 27＋lg 8－lg 1000）lg 0.3·lg 1.2.14．(5分)定义a ⊗b ＝a 12＋b －13，a *b ＝lg a 2－lg b 12.若M ＝94⊗8125，N ＝2*125，则M ＋N ＝________．15．(15分)已知log 23＝a ，3b ＝7，求log 1256.答案2．2.1 对数与对数运算1．C [解析] 由对数的定义可知，②④中的命题是真命题． 2．D [解析]log849log27＝log272log223÷log 27＝23.3．C [解析] 由对数的定义，log a －2(5－a )必满足⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得2<a <5且a ≠3，∴a ∈(2，3)∪(3，5)．4．B [解析] lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a ＋b .5．A [解析] 2lg 22＋lg 25＋3lg 2lg 5－lg 2＝lg 5(lg 5＋3lg 2)＋2lg 22－lg 2＝(1－lg 2)(1－lg 2＋3lg 2)＋2lg 22－lg 2＝(1－lg 2)(1＋2lg 2)＋2lg 22－lg 2＝1.6．A [解析] 原式＝log2(2)3－log (2－1)(2－1)2＋2＝3－2＋2＝3.7．B [解析] 由已知得，lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2，且lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·lgab2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×22－4×12＝2×2＝4，故选B.8．2 [解析] 方程变形为lg x (x －1)＝lg 2，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.经检验x ＝－1不合题意，舍去，所以原方程的根为x ＝2.9．0 [解析] ∵lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，∴10x ＝1＝100，∴x ＝0.10．2 [解析] 原式＝2（lg 4＋lg 3）1＋lg 0.36＋lg38＝2lg 121＋lg 0.6＋lg 2＝2lg 12lg （10×0.6×2）＝2.11.1a ＋b[解析] log 3514＝log1414log1435＝1log147＋log145＝1a ＋b.12．解：原方程可化为(lg x )2＋5lg x －6＝0，即(lg x ＋6)(lg x －1)＝0， 所以lg x ＝－6或lg x ＝1，解得x ＝10－6或x ＝10.经检验x ＝10－6和x ＝10都是原方程的解． 所以原方程的解为x ＝10－6或x ＝10. 13．解：(1)原式＝log 6632＋log 62·log 6362÷log 64＝[(log 62)2＋log 62(log 636－log 62)]÷log 64 ＝[(log 62)2＋2log 62－(log 62)2]÷log 64 ＝2log 62÷log 64＝log 64÷log 64＝1.(2)原式＝lg23－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝（1－lg 3）·32（lg 3＋2lg 2－1）（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝－32.14．5[解析] M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＋⎝⎛⎭⎪⎫8125－13＝32＋52＝4， N ＝lg(2)2－lg⎝ ⎛⎭⎪⎫12512＝lg 2＋lg 5＝1，故M ＋N ＝5. 15．解：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b ＝7，∴log 37＝b ，故log 1256＝log356log312＝log37＋log38log33＋log34＝log37＋3log321＋2log32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.2．2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质(一)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x ，x>1，则A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪0<y<12 B ．{y |0<y <1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12<y<1 D ．∅ 2．函数y ＝log a (2x －3)＋1的图像恒过定点P , 则点P 的坐标是( ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(2，－1) D ．(1，1) 3．函数f (x )＝12－log3x的定义域是( )A ．(－∞，9]B ．(－∞，9)C ．(0，9]D ．(0，9)4．已知f (x )为R 上的增函数，且f (log 2x )>f (1)，则x 的取值X 围为( ) A ．(2，＋∞) B ．0，12∪(2，＋∞)C.12，2 D ．(0，1)∪(2，＋∞)5．函数f (x )＝log 2(1－x )的图像为( )图L2216．已知x ＝20.5，y ＝log 52，z ＝log 50.7，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <x D ．y <z <x7．已知0<a <1，log am <log an <0，则() A ．1<n <m B ．1<m <n C ．n <m <1 D ．m <n <1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．函数f (x )＝log2x －2的定义域是________．9．已知对数函数f (x )的图像过点P (8，3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝________.10．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________．11．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2014)＝9，则f (x 21)＋f (x 2)＋…＋f (x 2014)的值等于________．三、解答题(本大题共2小题，共25分) 12．(12分)判断函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x2)的奇偶性．13．(13分)已知函数f (x )＝lg (3x －3)．(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)设函数h (x )＝f (x )－lg(3x ＋3)，若不等式h (x )>t 无解，某某数t 的取值X 围．14．(5分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2（x －1），x ≥2，12x －1，x<2，若f (x 0)>1，则x0的取值X 围是________．15．(15分)已知实数x 满足－3≤log 12x ≤－12.求函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x 4的值域．答案2．2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质(一)1．A [解析] 因为A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪0<y<12，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪0<y<12.2．A [解析] 当2x －3＝1，即x ＝2时，y ＝1，故点P 的坐标是(2，1)． 3．D [解析] 要使函数有意义，只需2－log 3x >0，即log 3x <2，所以0<x <9. 4．A [解析] 依题意有log 2x >1，所以x >2.5．A [解析] 由定义域知x <1，排除选项B ，D.又f (x )＝log 2(1－x )是定义域上的减函数，故选A.6．C [解析] 因为x ＝20.5>20＝1，0<y ＝log 52<1，z ＝log 50.7<0，所以z <y <x . 7．A [解析] 原式变形为log a m <log a n <log a 1，根据减函数的性质得m >n >1.8．[4，＋∞) [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log2x －2≥0，解得x ≥4.9．－5 [解析] 设f (x )＝log a x ，将点P (8，3)代入得3＝log a 8，所以a 3＝8，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f132＝log 2132＝log 22－5＝－5.10．2 [解析] 根据题意，得3x －a >0，∴x >a 3，∴a 3＝23，解得a ＝2.11．18 [解析] 因为f (x 1x 2…x 2014)＝log a (x 1x 2…x 2014)＝9，所以f (x 21)＋f (x 2)＋…＋f (x 2014)＝log a x 21＋log a x 2＋…＋log a x 2014＝log a (x 21x 2…x 2014)＝log a (x 1x 2…x 2014)2＝2log 2(x 1x 2…x 2014)＝2×9＝18. 12．解：要使函数有意义，需满足x ＋1＋x2>0，∴x ∈R ，故函数的定义域为R ，关于原点对称．∵f (－x )＋f (x )＝log 2(－x ＋1＋x2)＋log 2(x ＋1＋x2)＝log 2(1＋x 2－x 2)＝log 21＝0，∴f (－x )＝－f (x )，即函数为奇函数．13．解：(1)由3x －3>0得x >1，所以定义域为(1，＋∞)． 因为(3x －3)∈(0，＋∞)，所以值域为R . (2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x ＋3)＝lg3x －33x ＋3＝lg1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0)．若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值X 围是t ≥0.14．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [解析] 当x 0≥2时，log 2(x 0－1)>1，得log 2(x 0－1)>1＝log 22，所以x 0－1>2，得x 0>3；当x 0<2时，12x 0－1>1，即12x 0>2＝12－1，所以x 0<－1.所以x 0的取值X 围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．15．解：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2.∵－3≤log 12x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.令t ＝log 2x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，y ＝t 2－3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14，∴t ＝32时，y min ＝－14；t ＝3时，y max ＝2.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.第2课时 对数函数及其性质(二)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若log 3a <0，13b >1，则( )A ．a >1，b >0B ．0<a <1，b >0C ．a >1，b <0D ．0<a <1，b <0 2．下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝log 12(x ＋1)B ．y ＝log 2x2－1C ．y ＝log 21xD ．y ＝log12(x 2－4x ＋5)3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ex －1，x<2，log3（x2－1），x ≥2，则f [f (2)]的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a >0，且a ≠1，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图像可能是( )图L2225．设a ＝30.7，b ＝0.43，c ＝log 30.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a6．已知函数f (x )＝2x ＋a ·2－x ，则对于任意实数a ，函数f (x )不可能( ) A ．是奇函数B ．既是奇函数，又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数7．已知y ＝log a (8－3ax )在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(0，1) B ．1，43C.43，4 D ．(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．函数y ＝log 12(1－2x )的单调递增区间为________．9．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f 12＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．10．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________．11．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知函数f (x )＝log2(1－x )－log2(1＋x )． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性．13．(13分)解不等式：log a (x －4)>log a (x －2)．14．(5分)若不等式lg 1＋2x ＋（1－a ）3x3≥(x －1)lg 3对任意的x ∈(－∞，1]恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)15．(15分)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝ln(x 2－2x ＋2)． (1)求f (x )的解析式； (2)求出f (x )的单调递增区间．答案第2课时 对数函数及其性质(二)1．D [解析] 由函数y ＝log 3x ，y ＝13x 的图像知，0<a <1，b <0.2．D [解析] A ，C 中函数为减函数，(0，2)不是B 中函数的定义域．D 中，函数y ＝x 2－4x ＋5在(0，2)上为减函数，又∵12<1，故y ＝log12(x 2－4x ＋5)在(0，2)上为增函数，故选D.3．C [解析] f [f (2)]＝f [log 3(22－1)]＝f (1)＝2e 1－1＝2. 4．C [解析] a >1时，y ＝a －x ＝1ax 是减函数，y ＝loga (－x )是减函数，且其图像位于y轴左侧；当0<a <1时，y ＝a －x ＝1ax 是增函数，y ＝loga (－x )是增函数，且其图像位于y 轴左侧．由此可知C 正确．5．B [解析] a ＝30.7>30＝1，0<b ＝0.43<0.40＝1，c ＝log 30.5<log 31＝0，所以c <b <a .6．B [解析] 验证可知，当a ＝－1时，f (x )＝2x －2－x ，f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以a ＝－1时，函数f (x )是奇函数，当a ＝1时，f (－x )＝f (x )＝2x ＋2－x ，函数f (x )是偶函数．当a ＝0时，函数f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．故选B.7．B [解析] 因为a >0，所以t ＝8－3ax 为减函数，而当a >1时，y ＝log a t 是增函数，所以y ＝log a (8－3ax )是减函数，于是a >1.由8－3ax >0，得a <83x在[1，2]上恒成立，所以a <83xmin ＝83×2＝43.8．－∞，12[解析] 令u ＝1－2x ，函数u ＝1－2x 在区间－∞，12内递减，而y ＝log12u 是减函数，故函数y ＝log 12(1－2x )在－∞，12内递增．9.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x<2 [解析] 由题意可知，由f (log 4x )<0得－12<log 4x <12，即log 44－12<log 4x <log 4412，得12<x <2.10．a ＝b >c [解析] 由已知得a ＝32log 23，b ＝log 232－12＝32log 23>32，c ＝log 32<1.故a ＝b >c .11．(－∞，－3] [解析] 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，因为y ＝log 12t 为减函数，所以y ＝log 12t ≤log 128＝－3.12．解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，∴－1<x <1，故函数的定义域为(－1，1)．(2)∵f (－x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．13．解：当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －4>x －2，x －4>0，x －2>0，该不等式组无解；当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －4<x －2，x －4>0，x －2>0，解得x >4.所以当a >1时，原不等式的解集为空集；当0<a <1时，原不等式的解集为(4，＋∞)． 14．B [解析] 不等式lg1＋2x ＋（1－a ）3x3≥(x －1)lg 3变为lg1＋2x ＋（1－a ）3x3≥lg 3x －1，即1＋2x ＋（1－a ）3x3≥3x －1，整理得a ≤13x ＋23x .因为y ＝13x ＋23x 是减函数，所以y ≥131＋231＝1. 若不等式lg1＋2x ＋（1－a ）3x3≥(x －1)lg 3对任意的x ∈(－∞，1]恒成立，则a ≤13x＋23xmin ＝1.15．解：(1)x <0时，－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝ln(x 2－2x ＋2)， ∴x <0时，f (－x )＝ln(x 2＋2x ＋2)．∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x <0时，f (x )＝ln(x 2＋2x ＋2)．故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x2＋2x ＋2），x<0，ln （x2－2x ＋2），x ≥0.(2)当x ≥0时，f (x )＝ln(x 2－2x ＋2)，函数的单调递增区间即为t ＝x 2－2x ＋2的增区间，增区间为(1，＋∞)；当x <0时，f (x )＝ln(x 2＋2x ＋2)，函数的递增区间为(－1，0)． 故函数f (x )的单调递增区间是(－1，0)，(1，＋∞)．2．3 幂函数一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝x xB ．y ＝3x 12C ．y ＝x 12＋1 D ．y ＝x －22．若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点3，33，则f (4)的值为( )A.12B.14C.13D ．24．下列函数中既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 2 C ．y ＝2x D ．y ＝|x |5．函数y ＝x 23图像的大致形状是( )图L2316．幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为减函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．27．如图L232所示，曲线C 1，C 2，C 3，C 4是幂函数y ＝x α在第一象限内的图像，已知α分别取±1，12，2四个值，对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α分别为( )图L232A ．－1，12，1，2B ．2，1，12，－1C.12，1，2，－1D ．2，1，－1，12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．由幂函数的图像可知，使x 3－x 2>0成立的x 的取值X 围是________．9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x>0，－2，x ＝0，（x ＋3）12，x<0，则f {f [f (0)]}＝________．10．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．11．已知f (x )＝a x，g (x )为幂函数，若F (x )＝f (x )＋g (x )的图像过点A (1，2)和B 2，52，则F (x )＝________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋[f (x )]2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域． 13．(13分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈N )，满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值与f (x )的解析式；(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在m ，使得函数g (x )＝f (x )－2x ＋m 在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由． 14．(5分)给出下面三个不等式，其中正确的是________．①－8－13<－1913；②4.125>3.8－25>(－1.9)－35；③0.20.5>0.40.3.15．(15分)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值X 围．答案 2．3 幂函数1．D [解析] 由幂函数的定义，幂函数满足三个条件：①系数为1，②底数为自变量，③指数为常数．故选D.2．A [解析] 依题意2m ＋3＝1，得m ＝－1.3．A [解析] 依题意有33＝3α，所以α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.4．D [解析] A 中的函数不具备奇偶性；B 中的函数是偶函数，但是在区间(0，＋∞)上是减函数；C 中的函数不具备奇偶性；D 中的函数是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增．5．D [解析] 因为y ＝x 23是偶函数，且在第一象限图像沿x 轴递增，所以选项D 正确．6．C [解析] 因为f (x )为幂函数，所以m 2－4m ＋4＝1，解得m ＝3或m ＝1，所以f (x )＝x －1或f (x )＝x 3.因为f (x )为(0，＋∞)上的减函数，所以m ＝3.7．B [解析] 由幂函数的图像性质，C 1：y ＝x 2；C2：y ＝x ；C 3：y ＝x 12；C 4：y ＝x－1.8．(1，＋∞) [解析] 在同一坐标系中作出y ＝x 3及y ＝x 2的图像(图略)，可得不等式成立的x 的取值X 围是(1，＋∞)．9．1 [解析] f (0)＝－2，f (－2)＝1，f (1)＝1，即f {f [f (0)]}＝1.10.32 [解析] 因为函数是幂函数，所以k ＝1，又因为其图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，所以22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，解得α＝12，故k ＋α＝32.11.1x＋x [解析] 设g (x )＝x b ，则F (x )＝a x＋x b ，依题意a 1＋1b ＝2且a 2＋2b ＝52，解得a＝b ＝1，所以F (x )＝1x＋x .12．解：(1)因为函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a ＋1为幂函数， 所以a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.当a ＝0时，f (x )＝x ，函数是奇函数；当a ＝1时，f (x )＝x 2，函数是偶函数．故a ＝0.(2)由(1)知g (x )＝x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14.当x ＝0时，函数取得最小值g (0)＝0；当x ＝12时，函数取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋14＝34.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.13．解：(1)由f (2)<f (3)，得－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2， 又k ∈N ，则k ＝0，1. 当k ＝0，1时，f (x )＝x 2.(2)由已知得g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，当x ∈[0，2]时，易求得g (x )∈[m －1，m ]， 由已知值域为[2，3]，得m ＝3. 故存在满足条件的m ，且m ＝3. 14．①② [解析] ①－1913＝－9－13，由于幂函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数，所以8－13>9－13，因此－8－13<－9－13，故①正确；②由于4.125>1，0<3.8－25<1，(－1.9)－35<0，故②正确；③由于y ＝0.2x 在R 上是减函数，所以0.20.5<0.20.3，又y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3，故③错误．15．解：∵函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3.又m ∈N *，∴m ＝1，2. 又函数图像关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1， ∴原不等式为(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.滚动习题(五)[X 围2.1～2.3] [时间：45分钟 分值：100分]一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1.（lg 9－1）2＝( )A ．lg 9－1B ．1－lg 9C ．8D ．222．若集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{y |y ＝1－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1) C ．(0，1] D ．[1，＋∞) 3．函数y ＝ln （x ＋1）－x2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 4．若a >1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图像必不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．函数f (x )＝4x ＋12x( )A ．既是奇函数又是偶函数B ．为非奇非偶函数C ．为奇函数D ．为偶函数6．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)>f (a ＋1)B ．f (b －2)＝f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．设a ＝log 75，b ＝log 67，则a ，b 的大小关系是________．9．已知0<x <y <1，m ＝log2x ＋log2y ，则m 的取值X 围是________．10．已知f (x )＝2＋log3x ，x ∈[1，9]，则函数y ＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值是________．11．关于下列命题：①若函数y ＝2x 的定义域是{x |x ≤0}，则它的值域是{y |y ≤1}；②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤12；③若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}； ④若函数y ＝log 2x 的值域是{y |y ≤3}，则它的定义域是{x |0<x ≤8}．其中不正确的命题的序号是________(注：把你认为不正确的命题的序号都填上)． 三、解答题(本大题共3小题，共45分)12．(15分)(1)化简：4x 14·(－3x 18y －16)2÷(－6x －12y －23)(结果保留根式形式)；(2)计算：log 34273·log 5[412log 210－(33)23－7log 72]．13．(15分)记函数f (x )＝x2－1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求区间A ；(2)若B ⊆A ，某某数a 的取值X 围．14．(15分)已知函数f (x )满足f (log a x )＝x －1－x ，其中a >0且a ≠1.(1)求函数f (x )的解析式，判断并证明奇偶性；(2)对于函数f (x )，当x ∈(－1，1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)>0，某某数m 的取值X 围．答案 滚动习题(五)1．B [解析] 因为lg 9<lg 10＝1，所以（lg 9－1）2＝1－lg 9.2．C [解析] 由已知得集合A ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}，B ＝{y |y ＝1－x 2}＝{y |y ≤1}，故A ∩B ＝(0，1]．3．C [解析] 要使函数有意义，则有x ＋1>0且－x 2－3x ＋4>0，即x >－1且x 2＋3x －4<0，解得－1<x <1.4．B [解析] 函数y ＝a x ＋b 的图像可以看成是由y ＝a x 的图像平移得到的．因为a >1，所以函数y ＝a x 单调递增且图像在x 轴的上方．又因为b <－1，所以把y ＝a x 的图像向下平移|b |个单位即可得到函数y ＝a x ＋b 的图像，易知y ＝a x ＋b 的图像必不经过第二象限．5．D [解析] f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f (x )，故f (x )为偶函数．6．C [解析] ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)．7．C [解析] 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)，log 23＝log 49>log 47>1，0<0.20.6<1. 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以b <a <c .8．a <b [解析] 因为a ＝log 75<log 77＝1，b ＝log 67>log 66＝1，所以a <b .9．m <0 [解析] 由0<x <y <1，得0<xy <1，故m ＝log 2x ＋log 2y ＝log 2xy <log 21＝0.10．13 [解析] 由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1，9]，则y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.令log 3x ＝t ，0≤t ≤1，则y ＝(t ＋3)2－3，当t ＝log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.11．①②③ [解析] 作出这四个函数的图像(图略)，可知只有④是正确的，①②③都是不正确的．12．解：(1)原式＝4x 14·3x 14·y －13÷(－6x －12·y －23)＝－2x 3y . (2)原式＝(log 3334－log 33)·log 5[4log 210－(332)23－7log 72] ＝34－1·log 5(10－3－2)＝－14. 13．解：(1)由x 2－1≥0，得x ≤－1或x ≥1，故A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)因为(x －a －1)(2a －x )>0，且a <1，所以2a <x <a ＋1，所以B ＝(2a ，a ＋1)．由于B ⊆A ，从而有2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2，结合a <1，故12≤a <1或a ≤－2.故实数a 的取值X 围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 14．解：(1)令t ＝log a x ，则x ＝a t ，故f (t )＝a －t －a t ，即f (x )＝a －x －a x . 因为f (－x )＝a x －a －x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．(2)①当a >1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递减且为奇函数，则由f (1－m )＋f (1－m 2)>0得f (1－m )>f (m 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1>1－m>－1，－1<m2－1<1，1－m<m2－1，解得1<m <2.②当0<a <1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增且为奇函数，则由f (1－m )＋f (1－m 2)>0得f (1－m )>f (m 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1>1－m>－1，－1<m2－1<1，1－m>m2－1，解得0<m <1. 综上知，当a >1时，m ∈(1，2)；当0<a <1时，m ∈(0，1)．。
2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数
2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数.知 识 梳 理1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质①a log aN ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)； ③零和负数没有对数．(2)对数的运算性质(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 (1)(0，＋∞)值域(2)R性质 (3)过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0 (5)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c (×)(2)log 2x 2＝2log 2x (×)(3)函数y ＝log x ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域为{x |x ＞12}(×) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)2．(xx·四川卷)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析 由已知得b ＝5a ，b ＝10c,5d ＝10，∴5a ＝10c,5d ＝10，同时取以10为底的对数可得， a lg 5＝c ，d lg 5＝1，∴c a ＝1d ，即a ＝cd .答案 B3．(xx·安徽卷)⎝⎛⎭⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝________. 解析 ⎝⎛⎭⎫1681-34 ＋log 354＋log 345＝⎝⎛⎭⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＋log 31＝⎝⎛⎭⎫323＋0＝278. 答案2784．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． 解析 函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数， t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 5．(人教A 必修1P75B2改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析 当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)考点一 对数的运算【例1】 (1)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B ．12C ．2D ．4(2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________.解析 (1)(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)D (2)2规律方法 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．【训练1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)lg 5＋lg 20的值是________．解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1. 答案 (1)A (2)1考点二 对数函数的图象及其应用【例2】 (1)(xx·福建卷)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)(xx·石家庄模拟)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析 (1)由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.(2)构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2＜－1，－1＜x 1＜0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1＜0，所以lg(x 1x 2)＜0，即0＜x 1x 2＜1，故选D. 答案 (1)B (2)D规律方法 在解决对数函数图象的相关问题时，要注意：(1)底数a 的值对函数图象的影响；(2)增强数形结合的解题意识，使抽象问题具体化．【训练2】 已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1 C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1＜log a b ＜0，解得1a ＜b ＜1.综上有0＜1a＜b ＜1.答案 A考点三 对数函数的性质及其应用【例3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析 (1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 5 2＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1，∴c ＞a ＞b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g 1＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)，故选A.答案 (1)D (2)A规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0， log 12 －x ，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 (1)∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12 a ＞1，∴0＜a ＜12.又∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12 b ＜1，∴12＜b ＜1. 又∵⎝⎛⎭⎫12c＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1，∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案 (1)A (2)C[思想方法]1．研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[易错防范]1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析 log a b ·log c a ＝log a b ·1log a c ＝log a b log a c ＝log c b ，故选B.答案 B2．(xx·郑州一模)函数y＝lg|x－1|的图象是()解析 当x ＝1时，函数无意义，故排除B ，D.又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．答案 A3．(xx·安徽卷)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析 由3＜7＜9得log 33＜log 37＜log 39，∴1＜a ＜2，由21.1＞21＝2得b ＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c ＜1，因此c ＜a ＜b ，故选B.答案 B4．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，13)D ．(3，＋∞)解析 由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3，故选D.答案 D5．(xx·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)．答案 B 二、填空题6．(xx·陕西卷)已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12，∴lg x ＝12，∴x ＝1012 ＝10.答案107．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝______. 解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 28．(xx·淄博一模)已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析 由题意知y ＝f (x )的图象如图所示， 则f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)判断函数f (x )的单调性．解 (1)要使f (x )有意义，需满足1－x1＋x＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，1＋x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，1＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)．设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg 1－x 11＋x 1－lg 1－x 21＋x 2＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1·1＋x 21－x 2＝lg 1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1. ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴1－x 1x 2＋x 2－x 1＞1－x 1x 2－(x 2－x 1)＝(1＋x 1)(1－x 2)＞0， ∴1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞1，∴lg1－x 1x 2＋x 2－x 11－x 1x 2－x 2－x 1＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(－1,1)上是减函数．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12()log 2a x ＋3log a x ＋2＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1B ．45C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－1. 答案 C12．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析 由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜log a x ⎝⎛⎭⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 答案 B13．(xx·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12， 故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 14．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a 1＋a. .。
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.1对数课件新人教A版必修1
2．两种重要对数
(1)常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 log10N
记为 lgN .
(2)自然对数：以无理数 e(e＝2.718 28…)
为底
的对数称为自然对数，并把 logeN 记为 lnN .
[答一答] 1．在对数概念中，为什么规定 a>0 且 a≠1 呢？
提示：(1)若 a<0，则 N 取某些数值时，logaN 不存在，为此 规定 a 不能小于 0.
解：(1)－2＝log5215；(2)x＝log830；(3)x＝log31；(4)(13)－2＝9； (5)6x＝10；(6)ex＝13；(7)103＝x.
——本课须掌握的三大问题 1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的， 即 ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且 a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒 等式：(1)logaab＝b；(2) aloga N＝N. 2．在关系式 ax＝N 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运 算，而如果已知 a 和 N 求 x 的运算就是对数运算，两个式子实 质相同而形式不同，互为逆运算．
解得 x>12，且 x≠1.
即实数 x 的取值范围是{x|x>12，且 x≠1}．
(2)因为底数 x2＋1≠1，所以 x≠0.
又因为－3x＋8>0，所以
8 x<3.
综上可知，x<83，且 x≠0.
即实数 x 的取值范围是{x|x<83，且 x≠0}．
类型二 利用对数式与指数式的关系求值
[例 2] 求下列各式中 x 的值： (1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2； (3)lne2＝x；(4)logx27＝32； (5)lg0.01＝x. [分析] 利用指数式与对数式之间的关系求解．
第二章基本初等函数(I)复习课第一和二课时
α＜0 时，幂函数的图象都不过原点，双曲线型图象， 在区间（0，+∞）上是减函数.
林老师网络编辑整理
15
引导探究二
例1.求下列各式的值：
1
1
11212
;
2
64 49
2
例2. 已知log2 3=a, log3 7 b, 试用a, b表示log14 56.
2
林老师网络编辑整理
22
目标升华
一：学会运用所学知识分析本章节所学的 函数。
二：灵活运用本章节所学习的知识解决综 合问题
三：体会数形结合的重要思想。
林老师网络编辑整理
23
强化补清
林老师网络编辑整理
24
性 (2)过点（0，1），即 x=0 时，y=1，即 a0=1
质 (3)a>1 时，a 越大越靠近 y 轴，0<a<1 时，a 越小越靠近 y 轴，
(4)在 R 上是增函数
(4)在 R 上是减函数
林老师网络编辑整理
9
11．对数的定义:如果 ab N（ a 0且a 1）,那么数 b 就叫做以 a 为底 的 N 的对数，记作 log a N b ,其中 N 0,b R 12．指数式与对数式的互化
林老师网络编辑整理
4
引导探究一
林老师网络编辑整理
5
基础知识梳理：
1.n 次方根：如果 xn a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
（ n 1,且n N* ）Leabharlann 2.正数a的
n
次方根的性质：
x
n
a,n
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数 2.2.1 第1课时 对 数优化练习 新人教A
第1课时 对 数[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知log x 8＝3，则x 的值为( )A.12B ．2C ．3D ．4解析：∵log x 8＝3，∴x 3＝8，∴x ＝2.答案：B 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2 B.log 139＝－2C ．log 13 (－2)＝9D ．log 9(－2)＝13解析：a x ＝N ⇔x ＝log a N .答案：B3．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0，②ln(ln e)＝0，③若lg x ＝10，则x ＝100，④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B.②④ C ．①② D ．③④解析：①lg(lg 10)＝0，正确．②ln(ln e)＝0，正确．若lg x ＝10，则x ＝1010，③不正确．若ln x ＝e ，则x ＝e e，故④不正确．所以选C.答案：C4．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值X 围( )A.54≤x ＜2 B.54＜x ＜2 C.54＜x ＜2或x ＞2 D ．x ＞54 解析：由log (x －1)(4x －5)有意义得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，4x －5＞0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞54，x ≠2. 答案：C 5．如果f (10x )＝x ，则f (3)＝( )A ．log 310B.lg 3 C ．103D ．310 解析：设10x ＝3，则x ＝lg 3，∴f (3)＝f (10lg 3)＝lg 3.答案：B6．lg 1 000＝________，ln 1＝________.解析：∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3；e 0＝1，∴ln 1＝0.答案：3 07．方程log 2(5－x )＝2，则x ＝________.解析：5－x ＝22＝4，∴x ＝1.答案：18．已知log 2[log 3(log 5x )]＝0，则x ＝________.解析：令log 3(log 5x )＝t 1，则t 1＝20＝1.令log 5x ＝t 2，则t 2＝31＝3.∴log 5x ＝3，∴x ＝53＝125.答案：1259．求下列各式x 的取值X 围．(1)log (x －1)(x ＋2)；(2)log (x ＋3)(x ＋3)． 解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0，x －1≠1.解得x >1且x ≠2，故x 的取值X 围是(1,2)∪(2，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0x ＋3≠1，解得x >－3且x ≠－2.故x 的取值X 围是(－3，－2)∪(－2，＋∞)．10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解析：log 12x ＝m ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝x ，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m . log 14y ＝m ＋2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2＝y ， y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4. ∴x 2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122m ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122m －(2m ＋4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. [B 组 能力提升]1．若a >0，a 23＝49，则log 23a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：∵a 23＝49，a >0， ∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233， 设log 23a ＝x ，∴(23)x ＝a . ∴x ＝3.答案：B2．已知log x y ＝2，则y －x 的最小值为( )A ．0 B.14 C ．－14D ．1 解析：∵log x y ＝2，∴y ＝x 2(x >0且x ≠1)，∴y －x ＝x 2－x ＝(x －12)2－14， ∴x ＝12时，y －x 有最小值－14. 答案：C3．若f (2x ＋1)＝log213x ＋4，则f (17)＝________. 解析：f (17)＝f (24＋1)＝log213×4＋4＝log 2116＝－8. 答案：－8 4．方程4x －6×2x －7＝0的解是________．解析：原方程可化为(2x )2－6×2x －7＝0.设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可化为：t 2－6t －7＝0.解得：t ＝7或t ＝－1(舍)，∴2x ＝7，∴x ＝log 27，∴原方程的解为： x ＝log 27.答案：x ＝log 27 5．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)22＋log 23＋32－log 39.解析：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9.(2)22＋log 23＋32－log 39＝22×2log 23＋323log 39＝4×3＋99＝12＋1＝13. 6．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值． 解析：原函数式可化为 f (x )＝lg a (x ＋1lg a )2－1lg a＋4lg a . ∵f (x )有最大值3，∴lg a <0，且－1lg a＋4lg a ＝3， 整理得4(lg a )2－3lg a －1＝0，解之得lg a ＝1或lg a ＝－14. 又∵l g a <0，∴lg a ＝－14. ∴a ＝1014 .。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数
探究一 对数运算性质的应用
【例 1】计算下列各式的值: (1)log2 (2)lg
7 96 2 52+ lg 3
+log224- log284;
2
1
8+lg 5· lg 20+(lg 2) 2.
1 1 √7×24 =log2 =- . √96× √84 √2 2
分析:利用对数的运算性质进行计算 . 解:(1)(方法一 )原式=log2 (方法二 )原式 1 7 1 = log2 +log2(23×3)- log2(22×3×7) = log27- log2(25×3)+3+log23- 1- log23- log27=- ×5- log23+2+ l og23=- +2=- . (2)原式 =2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1= 3.
lg243 lg9
= lg 32 = 2lg3 = 2.
lg 35
5lg3
5
探究二 换底公式的应用
【例 2】 计算下列各式的值: (1)log89· log2732; 解:(1)原式= (2)原式 = =
lg3 2lg2 lg2 lg3 lg9 lg2 lg3 10
(2)(log43+log83)
第二章 基本初等函数（I）
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算
第二课时 对数的运算性质
学习目标
学 习 目 标 1.掌握对数的运算性质,并能运 用运算性质化简、求值. 2.了解对数的换底公式及其应 用. 3.初步掌握对数在生活中的应 用. 思 维 脉 络
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.1 对数与对数运算教材梳理素材 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、对数 1.对数一般地，如果a x=N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式a b=N ，用a 、N 表示b 的运算叫对数运算，记作b=log a N.对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log ”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．（1）会依据定义把指数式写成对数式.例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log 39=2； ∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log 44=1； ∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log 21=0； ∵318=21，∴-31是以8为底21的对数.记作log 821=-31.（2）log a N=b 中规定底数a ＞0且a ≠1.这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log （-2）21；若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值.总之，就规定了a ＞0且a ≠1.(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a ＞0且a ≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b ∈R ，a b＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N ＞0.（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a 、b 求N ；根式进行的是开方运算，由N 、b 求a ；对数式进行的是对数运算，由a 、N 求b. （5）对数恒等式：①Na alog =N ；②log a a b=b.证明：①∵a b=N ，∴b=log a N.∴a b=Nalog =N ，即Na alog =N.②∵a b =N ，∴b=log a N.∴b=log a N=log a a b,即log a a b=b. 如5log 33=5，6log 44=6,log 335=5,3222log =32等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义. （6）两个特殊的对数式：log a a=1；log a 1=0.证明：∵a 1=a ，∴log a a=1.∵a 0=1，∴log a 1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0. 2.常用对数当底数a=10时，对数log a N 叫做常用对数，记作lgN.（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log 10N 缩写为lgN ，其中lgN 默认它的底数为10. （2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.因为对数表只能查得1≤a ＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a ×10n（1≤a ＜10，n ∈Z )的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.联想发散 要会使用科学记数法记数.当N ＞10时，可把N 写成a ×10n的形式，其中n比N 的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N ＜1时，可把N 写成a ×10-n，其中n 是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3. 3.自然对数在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.log e N 通常记作lnN.①自然对数与常用对数的关系： lnN ≈2.302 6lgN. ②可直接使用计算器求自然对数值.它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln 键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值. 二、对数运算1．积、商、幂的对数运算性质 （1）log a MN=log a M+log a N ，两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，即log a （N 1·N 2·…·N k ）=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . （2）log aNM=log a M-log a N. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.（3）log a M n=nlog a M （n ∈R ）.正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式．误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）. 2.换底公式（1）换底公式：log a b=abc c log log （a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0）.证明：设log a b=c ，则a c=b.两边取以c 为底的对数，得clog c a=log c b ， 所以c=a b c c log log ，即log a b=abc c log log .换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是 若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N.②自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系： lnN=e N lg lg ≈4343.0lg N≈2.302 6lgN. ③可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值. ④换底公式可用于对数式的化简、求值或证明. （2）换底公式的三个推论：n a b n log =log a b ，m a b n log =nmlog a b ，log a b ·log b a=1. 推广：log a b ·log b c ·log c d ·…·log e a=1. 问题·思路·探究问题1 对数运算性质的实质是什么？思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.问题2 式子log a M n=nlog a M 表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？ 思路：log a M n与nlog a M 与log a nM=n1log a M 的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的探究:一般不能，比如2=log 416=log 2216而，2log 216=8≠log 2216=2,但有类似的性质，这个性质是 log a nM=n 1log a M. 证明如下：令log a M=x,则M=a x,所以n 1=log a M=n 1x ，而M n a log =x a a n log =a x n a log =x ·n 1，所以M n a log =n1log a M.典题·热题·新题例1 (2020浙江高考,理)已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则（ ）A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜1 思路解析：∵0<a<1,∴y=log a x 为减函数，由log a m<log a n<0,可得1<n<m. 答案：A例2 设log 189=a ，18b=5，求log 3645.思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.解：∵18b=5，∴b=log 185. ∴log 3645=aba b a b a -+=-+=++=++=29log 2918log 12log 19log 5log 36log 45log 18181818181818.深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简. 例3 计算：lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22. 思路解析：本题主要考查对数的运算性质. 解：原式=lg25+328lg +lg210·lg （10×2）+lg 22 =lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg 22=lg100+lg 210-lg 22+lg 22=2+1=3.深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用. 例4 设3x=4y=36，求yx 12+的值. 思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x 、y 表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值. 解：∵3x=4y=36，∴x=log 336，y=log 436.则x1=log 363，y 1=log 364.∴x 2+y1=2log 363+log 364=log 36（32×4）=1. 深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.例5 已知a 、b 、c 均为正数，3a =4b =6c，求证：cb a 212=+. 思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a ，b ，c 的关系，不妨设3a =4b =6c=k （k ＞0），则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.证明：设3a =4b =6c=k ，则k ＞0.由对数的定义得a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ， 则左边=kk b a 43log 1log 212+=+=2log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36， 右边=k c 6log 22==2log k 6=log k 36，∴cb a 212=+. 深化升华 证明恒等式常用的方法（1）作差比较法；（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边； （3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.例6 设a 、b 同号，且a 2+2ab-3b 2=0，求log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）的值.思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a 、b 的一个齐次方程，因此不可能求出a 、b 的值，只能求出a 、b 的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.解：∵a 、b 同号，∴b ≠0.把方程a 2+2ab-3b 2=0两边同除以b 2，得（b a ）2+2（ba）-3=0. ∴（b a +3）（b a -1）=0，得b a =1或ba=-3（舍去）.∴a=b. ∴log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）=log 3（3a 2）-log 3a 2=log 33=1.深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简条件与结论等.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【2019-2020】高考数学总复习第二章基本初等函数（Ⅰ）2-2-1对数与对数运算（第一课时）教案新人教A版必修1 对数与对数运算
（第一课时）
本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。
对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。
而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。
通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
1.教学重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。
2.教学难点：对数概念的理解；对数性质的理解。
（一）引例
1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺?
(2)可设取x次,则有
抽象出:
2、2002年我国GPD为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GPD是2002年的2倍？
分析:设经过x年,则有
抽象出:
（二）、对数的概念
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N, 就是 =N 那么数 b叫做 a为底 N 的对数,
记作，a叫做对数的底数,N叫做真数。
注意：①底数的限制:a>0且a≠1
②对数的书写格式
（三）、对数式与指数式的互化：
幂底数← a → 对数底数
指数← b→ 对数
幂← N → 真数
思考：①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？
②是否是所有的实数都有对数呢？
负数和零没有对数
（四）、两个重要对数
注意：两个重要对数的书写
（五）课堂练习
1 将下列指数式写成对数式：
（1）（2）
（3）（4）
2 将下列对数式写成指数式：
（1）（2）
（3）
3 求下列各式的值：
（1）（2）
（六）对数的性质
探究活动1
求下列各式的值：
（1） 0 （2） 0
（3） 0 （4） 0
思考：你发现了什么？
“1”的对数等于零，即类比：
探究活动2
求下列各式的值：
（1） 1 （2） 1
（3） 1 （4） 1
思考：你发现了什么？
底数的对数等于“1”，即类比：
探究活动3
求下列各式的值：
思考:你发现了什么?
对数恒等式:
探究活动4
求下列各式的值:
(1) 4 (2) 5 (3) 8 思考:你发现了什么?
对数恒等式:
（七）小结：负数和零没有对数
“1”的对数等于零，即
底数的对数等于“1”，即
对数恒等式:
对数恒等式:。