《应用微积分》4.5函数图形描绘
运用几何画板直观演示微积分基本定理
运用几何画板直观演示微积分基本定理()()()()ba b f x f b f a f x dx a'=-=⎰重庆市万州上海中学 刘印学 404024微积分基本定理又叫牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula ）,揭示了函数导数与定积分之间的内在联系，为计算定积分提供了一种有效的方法，是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来成为一门影响深远的学科，可以说是微积分中最重要、最辉煌的成果。
定理的实质就是从两个角度反映函数值在给定自变量范围内的增量计算，殊途同归。
一方面，就是两个端点处的函数值的差（其物理意义就是位移函数的位移变化，另一方面，可以通过将区间进行分割—计算每一部分的增量—求和。
每一部分的增量用割线的斜率与自变量增量的积表示，但是，分割等分越细，计算每一部分的增量就近似地用切线的斜率与自变量增量的积表示，分割无限细时，增量的和与函数在相应区间内的导函数的定积分取得联系，下面先运用几何画板中的深度迭代、构造、平移、计算等功能进行直观演示，拟加深同学们对定理的深刻理解，最后给以一般的数学符号表示其过程。
1、 在几何画板窗口中绘制新函数（以()ln ,[,]f x x x a b =∈的函数值增量为例）并在x 轴上任取两点A 、B ，构造线段AB,作为自变量变化起止位置。
2、分别过A 、B 做x 轴的垂线，与函数图像交于C 、D （用箭头工具选中x轴、A点，“构造”—垂线，再选中函数图像，“构造”--交点。
再选中A、交点，“构造线段，修改点的标签字母、隐藏垂线。
这些都在“显示”菜单下，也可以相爱选中对象后直接右键，弹出选项。
用同样的操作过程画出D，G3、选中A、B“度量”—距离，也可以选中线段”度量“—长度。
为后面等分区间，找到第一个分点用平移。
新建参数n，预设3等分。
计算AB/N, “变换”—标记距离，点A，“变换”—平移。
在对话框中注意修改固定角度，0才能水平平移，有时也要在直角坐标系下平移，就会显示第一个分点4、按步骤2的操作画出H点。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
微积分的应用
微积分的应用微积分是数学的一个重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。
它的应用领域涵盖了物理学、经济学、工程学等各个学科。
本文将探讨微积分在实际问题中的应用，并介绍一些相关的例子。
一、速度与加速度微积分的一个重要应用是描述物体的速度和加速度。
当我们给定一个物体的位移函数，通过对其进行微分，我们可以得到物体的速度函数。
同样的，通过对速度函数再次进行微分，我们可以得到物体的加速度函数。
例如，假设一个车辆沿直线行驶，它的位移函数可以表示为s(t)，其中t表示时间。
通过对位移函数求导，我们可以得到车辆的速度函数v(t)，即v(t)=s'(t)。
如果我们再对速度函数v(t)求导，就可以获得车辆的加速度函数a(t)，即a(t)=v'(t)。
通过这些函数，我们可以研究车辆在不同时间点的速度和加速度变化情况，这对于设计交通规划、优化车辆性能等方面非常重要。
二、曲线长度与曲面积微积分还可以应用于计算曲线的长度和曲面的面积。
通过对曲线或曲面进行参数化，并对参数进行积分，我们可以获得它们的长度或面积。
以计算曲线长度为例，假设有一条平面曲线y=f(x)，其中x的范围是[a, b]。
为了计算它的长度，我们可以将曲线分为许多小段，每一小段可以近似看作一条直线段。
然后，通过求解直线段的长度，并对所有小段的长度进行求和，我们就可以得到整条曲线的长度。
对于曲面的面积计算也是类似的原理。
我们可以将曲面分成无数个小面元，每个小面元可以近似看作一个平面上的小区域。
然后，通过对每个小面元的面积进行积分，我们就可以得到整个曲面的面积。
三、最值与极值微积分在求解函数的最值和极值问题上也有广泛应用。
通过对函数进行微分，我们可以找到函数的临界点，即函数的导数为零的点。
通过对临界点进行求解，我们可以得到函数的最值和极值。
以求解函数的最大值为例，假设有一个函数y=f(x)，我们需要找到它的最大值点。
首先，对函数进行微分，求得其导数f'(x)。
高等数学-函数图形的描绘
= ∞，
所以直线 = −1是曲线 =
1
的垂直渐近线.
+1
9
本节内容
01 渐近线
02 描绘函数图形
10
02 描绘函数图形
描绘函数图形的步骤：
（1）确定函数 = ()的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性、周期性，确定函数图形的对称特征；
（3）讨论函数图形的单调性和凹凸性，并求出函数的极值和拐点；
为曲线 = ()的水平渐近线.
注 水平渐近线最多有两条.
3
01 渐近线
例1 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 = 0,
→−∞
所以直线 = 0是曲线 = 的水平渐近线.
4
例2 求曲线 =
解
1
因为
→∞ +1
1
的水平渐近线.
+1
= 0，
2. 垂直渐近线
垂直渐近线
若函数 = ()在0 的某去心邻域（或左侧邻域，或右
侧邻域）内有定义，当 () = ∞（或 − = ∞
→0
→0
或 + () = ∞）时，则称直线 = 0 为曲线 =
→0
的垂直渐近线.
注 1.垂直渐近线可以有无数条.
所以直线 = 0是曲线 =
1
的水平渐近线.
+1
5
01 渐近线
例3 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 =
→+∞
=
→−∞
所以直线 =
和
2
=
，
2
− ，
2
− 是曲线
2
《微积分(应用型)》教学课件 第一章
1. 2. 2 函数的极限
解
（1）函数的图形如图
1-5
所示．从图形可知，当
x
时，y
1
1 x2
1；当
x
时，
y
1
1 x2
1．因此，当
|
x
|
无限增大时，函数
y
1
1 x2
无限地接近于常数
1，即
lxim
1
1 x2
1．
（2）函数的图形如图 1-6 所示．从图形可知，当 x 时， y 3x ；当 x
1. 1 初等函数回顾
【本节导引】
某软件公司开发出一种图书管理软件,前期投入的 研发及广告宣传费用为100000元,且 每售出一套软件, 软件公司还需支付安装调试费用300元.设总费用为 y 元,销售套数为 x 套, 请列出 y 与 x 之间的函数关系式.
1. 1. 1 函数的概念
定义1. 1. 1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集,如果对于每个 x ∈D ,变量 y 按 照确定的法则总有唯一的数值与其对应,则称 y 是 x的函数,记作 y = f ( x ).
(1)对于分式函数,规定:分母不能为零,例如, y = x -1/ x +1, x ≠-1; (2)对于偶次根号下的变量,规定:不能小于零,例如, y = x -1, x ≥1; (3)对于对数函数 y =log ax ,规定:底数 a >0且 a ≠1,真数 x >0; (4)对于正切函数 y =t an x ,规定: x ≠ k π+π /2, k ∈Z; (5)对于余切函数 y =c o t x ,规定: x ≠ k π, k ∈Z; (6)对于反正弦函数 y =a r c s i n x 和反余弦函数 y =a r c c o s x ,规定:-1≤ x≤1.
微积分内容总结
《微积分》考试大纲第一章：函数与Mathematica入门1.1 集合掌握集合运算，理解邻域的概念。
1.2 函数理解函数的概念,掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
理解复合函数和反函数的概念。
熟悉基本初等函数的性质及其图形。
1.3 经济学中常用的函数掌握常用的经济函数,会建立简单的经济问题的函数关系式。
第二章：极限与连续2.1 极限了解数列极限及函数极限的概念和性质，掌握极限的四则运算法则,会用变量代换求简单复合函数的极限，了解极限存在的两个准则(夹逼准则和单调有界准则)，连续性掌握两个重要极限,并会用它们求相关的极限。
2.2 函数的连续性理解函数的连续性的概念，了解函数间断点的概念，会判断函数的连续性及间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和有界性理、零点定理和介值定理)。
2.3 无穷小的比较了解无穷大量和无穷小量的有关概念及性质，了解无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第三章：导数与微分3.1 导数的概念理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
3.2 求导法则和基本初等函数导数公式掌握基本初等函数的求导公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，了解反函数的求导法则，会求隐函数的导数。
了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶,二阶导数的求法,了解几个常见的函数( )的n阶导数的一般表达式。
3.3 微分的概念理解微分的概念,理解函数的可微性,可导性及连续性的关系,了解微分四则运算法和一阶微分的形式不变性。
第四章：中值定理及导数应用4.1 中值定理了解罗尔(Rolle)中值定理,拉格朗日(Lagrange) 中值定理及柯西(Cauchy)中值定理。
4.2 导数的应用会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限，理解函数的极值的概念,掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
4.3 泰勒公式了解泰勒(Taylor)定理及用多项式逼近函数的思想。
《微积分》PPT课件
x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2
《函数图形的描绘》课件
手工绘制法
适用范围
适用于初步学习函数图形的描绘，以 及没有计算机辅助的情况下进行绘制 。
缺点
精度和效率较低，容易出错，不适合 绘制复杂的函数图形。
01
02
工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等绘图工具 。
03
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当 的坐标系，接着使用绘图工具在坐标 纸上绘制出函数的图形。
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当的坐 标系和绘图参数，接着使用计算机软件或 编程语言编写代码来绘制函数图形。
函数图形的绘制工具
手绘工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等。
计算机软件
如GeoGebra、Desmos、Graphviz等数学软件，以及Python、Matlab等编程 语言的绘图库。
03
函数图形的性质分析
选择坐标系
根据函数关系式的特点选择合 适的坐标系，如直角坐标系、 极坐标系等。
描点
根据函数关系式在坐标轴上描 出对应的点。
确定函数关系式
首先需要确定要描绘的函数关 系式。
绘制坐标轴
在选定的坐标系中绘制坐标轴 ，标明刻度和单位。
连线
将描出的点用平滑的曲线连接 起来，形成函数图形。
02
函数图形的绘制方法
分析图像的单调性、过定点、定义域和值域等性质。
详细描述
使用图形软件或数学软件绘制出这些函数的图像。
结合函数表达式，深入理解指数和对数函数的性质和特 点。
THANKS
感谢观看
函数图形描绘的重要性
01
02
03
直观理解数学概念
通过函数图形的描绘，可 以直观地理解数学概念， 加深对数学知识的理解。
高等数学 函数图形的描绘
将 a 代入 lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 ，得
x→+∞
b = lim [ f (x) − ax].
x→ +∞
2009年7月3日星期五
5
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例 1 求曲线 f (x) = 2(x − 2)(x + 3) 的渐近线． x −1
提示：（1）水平渐近线公式
（补充题）
∵lim sin x = 1 ≠ ∞ x→0 x
∴ x = 0不是函数曲线的渐近线.
2009年7月3日星期五
18
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曲线和坐标轴的交点；
由 f (x) =
1
− x2
e2
算出曲线上一些点的坐标；
2π
M 1 (0,
1 ), 2π
1 −1
M 2 (1,
e 2 ), 2π
M3 (2,
1 e−2 ) 2π
（6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
综合上述讨论结果，可描绘函数 f (x) =
1
− x2
e2
2π
在[0, +∞) 上的图形， 最后，利用图形的对称性，
f ′′(x)
负 0正
递减 正正
递增 正
f (x) 的图形 凸 拐点 凹 间断 凹 极小值点 凹
2009年7月3日星期五
14
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（4）讨论曲线的渐近线；
曲线有铅直渐近线 x = 1 ；斜渐近线 y = 1 x + 1 2
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点；
函数的表示方法及图像画法ppt课件
图 象 可 将 函 数 y=f(x) 的 图 象 上 所 有 点 的 15横1 坐标变为原来的 ,纵坐标不变.得到.
(4) 函 数 y=f(a+x) 与 y=f(a-x) 的 图 象 关
于15 x=0 .对称,y=f(a+x)与y=(b-x)的图象关
于 15 x b a 2
.对称.
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王伟 张城 赵磊 班级 平均分
98 90 68 88.2
87 76 65 78.3
91 88 73 85.4
92 75 72 80.3
88 86 75 75.7
95 80 82 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学
习情况做一个分析。
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9
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
一次函数 ｙ=k x + b（k,b为常数，且k ≠0）
k>0
y ox
k<0
k>0
y
k>0,b>0
y
ox
y
o
x k>0,b<0
ox
k<0 y
k<0,b>0
ox
y
k<0,b<0
ox
性质 应用
k>0时,在Ⅰ, Ⅲ象限; k<0时,在Ⅱ, Ⅳ象限.
k>0,b>0时在Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ象限; k>0,b<0时在Ⅰ, Ⅲ, Ⅳ 象限 k<0, b>0时,在Ⅰ,Ⅱ, Ⅳ象限.
b
23
对称点的坐标关系：
(1)关于x轴对称的
两点其横坐标相同,
纵(2坐)关标于互y为轴相对反称数的（a，b）P y
《微积分》课件
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
高中数学教案应用微积分解决变化率问题
高中数学教案应用微积分解决变化率问题微积分是研究数量规律、变化规律的数学分支，具有广泛的应用。
在高中数学教学中，通过应用微积分，可以解决许多与变化率相关的问题。
本文将探讨如何使用微积分解决高中数学教学中的变化率问题。
一、导数与变化率导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高中数学教学中，导数可以用来解决函数图像的斜率、曲线的切线问题等。
在教学中，可以通过以下步骤应用微积分解决变化率问题：1.确定所求变化率的函数：首先，确定问题中所涉及的变量，并建立与之相关的函数关系。
例如，如果要求解一个线性函数在某一点的变化率，可以建立一个关于自变量的函数。
2.求导：根据所求变化率的函数，求取其导数。
导数表示函数在某一点的变化率，因此通过求导，可以得到所求变化率的表达式。
3.代入数值：将所求的自变量值代入导数表达式中，得到具体的变化率数值。
这样就可以得到问题中所要求解的变化率。
通过以上步骤，可以应用微积分解决高中数学教学中的变化率问题。
下面通过一个例子来加深理解。
例题：已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求函数在点 x = 2 处的变化率。
解：首先，确定所求变化率的函数为 f(x)，即 f(x) = 2x^2 + 3x + 1。
其次，对 f(x) 求导，得到 f'(x) = 4x + 3。
根据导数的定义，f'(x) 表示函数在某一点的变化率。
最后，将 x = 2 代入导数表达式 f'(x) = 4x + 3，计算可得 f'(2) = 4(2) + 3 = 11。
所以，函数在点 x = 2 处的变化率为 11。
二、利用导数解决实际问题微积分的一个重要应用领域是解决实际问题。
在高中数学教学中，通过应用微积分解决与变化率相关的实际问题，可以帮助学生更好地理解数学知识，并将其应用于实际生活中。
1.速度和加速度问题：在物理学中，速度和加速度是与变化率密切相关的概念。
微积分 第四章
常把这种极限称0为或 型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
教材97页判定
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
法则4.1设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 , 就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 , 就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极小值 .
即f '()0
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续在(1,3)上可,导且 f( 1 ) f(3 ) 0 , f(x ) 2 (x 1 )取 , ξ 1[,1(1,3)f]()0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
注意: 可导函f(数 x)的极值点必定点 是, 它 但函数的驻点是 却极 不值 一 . 点 定
例如, y x3, yx00, 但x0不是极值 . 点
定理4.2(罗尔定理)
罗尔（Rolle）定理 如果函数f(x)(1在 ) 闭区间[a,b] 上连续(,2 )在开区间(a,b)内可导,(3且 ) 在区间端点的函数 值相等，即f(a) f(b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数f (x)在该点的导数等于零，
微积分与函数作图
微积分与函数作图函数作图的步骤第一步确定函数y=f(x)的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等），曲线与坐标轴交点．第二步求出方程f′(x)=0和f′′(x)=0在函数定义域内的全部实根和f′(x)、f′′(x)不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．第三步确定在这些部分区间内f′(x)和f′′(x)的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．第四步确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．第五步描出方程f′(x)=0和f′′(x)=0的根对应的曲线的点，为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数y=f(x)的图形．利用函数的一阶和二阶导数，可以确定函数在不同的区间的单调性和凹凸性，从而对函数所表示的曲线的升降和弯曲情况有定性的认识；但当函数的定义域为无穷区间或有无穷类型间断点时，还需要了解曲线向无穷远处延伸的趋势，这也就是曲线的渐近线的概念。
水平渐近线：若函数的定义域为无穷区间，x→∞，y→a,则y=a 是函数的水平渐近线；斜渐近线：若函数的定义域为无穷区间，x→∞，y→a;x→∞，f(x)-ax→b,则y=ax+b是函数的斜渐近线；垂直渐近线：若c是函数的间断点，x→c,y→∞，则x=c是函数的垂直渐近线；函数y=4(x+1)/x^2-2作图：1 定义域D：x≠0，非奇非偶函数，且无对称性；2 f′(x)=-4(x+2)/x^3,f′′(x)=8(x+3)/x^4.3 令f′(x)=0，得驻点x=-2;4 令f′′(x)=＝0，得特殊点x=-3;5 渐近线x=0,y=-2;6 列表确定函数升降区间，凹凸区间及极值点和拐点；x (-∞,-3) -3 (-3,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x)- - 0 + 不存在f′′(x)－0 + +f(x) -26/9 -3 间断点。
2020学年高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理课件湘教版选修2_2
π 2
cos xdx.
微积分基本定理的综合应用 (1)若k(2x－3x2)dx＝0(k>0)，则 k 等于________．
0
(2)已知 x∈(0，1]，f(x)＝1(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域是_____． 0
【解析】 (1)k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|k0＝k2－k3＝0， 0
1.由函数 y＝－x 的图象，直线 x＝1，x＝0，
y＝0 所围成的图形的面积可表示为( )
A．1(－x)dx 0
C．0 xdx －1
B．1|－x|dx 0
D．－1 xdx 0
解析：选 B.由定积分的几何意义可知所求图形的面积为 S ＝1|－x|dx.
0
2．利用定积分的几何意义证明－π2 π2cos
a
的 ___下__限_____ 和 __上__限___ ． f(x) 叫 作 ___被__积__函__数___ ， [a ， b] 叫 作 ___积__分__区__间_____．
3．定积分的几何意义 在区间[a，b]上有定义的函数 f(x)，且恒有 f(x)≥0，那么定积分 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)所围成的 ______曲__边__梯__形__的__面__积__________． 4．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则bf(x)dx＝___S_上___．
答案：0.01
利用定积分的几何意义求定积分
利用定积分的几何意义，求：
(1)3 9－x2dx；(2)3(2x＋1)dx.
－3
0
【解】 (1)在平面上，y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点
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, 渐近线
y 1
y
.
y 2 e
x2
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 2 , 1 e 2
1
)
o
x
开尔文
利用函数一阶导数和二阶导数的符号，可以确定函数图 形的增减区间，凹凸区间，极值点和拐点。有时函数曲线会
无限接近于一条直线，这样的直线称为曲线的渐近线。为了
能更好地画出函数图形，我们先研究渐近线的有关内容。
定义4.6
若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 .
主讲教师：
第 4 章 中值定理与导数的应用
中值定理 洛必达法则 函数的单调性与凹凸性 函数的极值与最值 *函数图形的描绘
1 2
曲线的渐近线
函数作图的步骤
4
一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美 与自然之美那么相类似，但她深深地感染着人们的心灵， 激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象的。 库默 用一条单独的曲线，像表示棉花价格而画的曲线那样， 来描述在最复杂的音乐演出的效果……在我看来是数学能 力的极好证明。
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 铅直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
思 考 题
1. 曲线 y
1 e
x2
2
1 e x
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
(A) 没有渐近线； (C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: lim
1 e
y
C M
或为“纵坐标差”
例如, 双曲线
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
y
o
x
x
o
1. 水平与铅直渐近线
若 若
(或 x x0 )
则曲线 则曲线
有水平渐近线 y b . 有铅直渐近线 x x0 .
(或 x )
例 4.26 求曲线
1 所以 x 2 是曲线 y
的一条铅垂渐近线，所以
y0
是曲线
1 y x2
的一条水平渐近线。
2. 斜渐近线
若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
x2 lim =1 x x ( x 1)
x x2 lim[ x] lim = x x 1 1 x x 1
b lim[ f ( x) ax ]=
x
则
y x 1 为曲线
x2 y x 1
的斜渐近线。
步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在 期性 ,以及函数与坐标轴的交点 ;
x2
2
x 1 e x
1;
x 0 1 e x
lim
1 e
x2
2
2. 曲线 y 1 e
(
x2
1 , ( 的凹区间是 2 1 , ) 2
1 ) 2
,
1 ) ( , ( 及 2 凸区间是
,
拐点为 提示:
1 1 2 ) , 1 e 2
2. 求
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
例 4.29
解
作函数
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 y x 1
的图形．
(,1) (1,) ； （1）定义域：
（ 2）
x2 y 是非奇非偶非周期函数； x 1
（3）曲线与坐标轴交点为（0,0）； （ 4）
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
例 4.29
解
x2 求曲线 y 的斜渐近线. x 1
f ( x) a lim = x x
x 2 2x f ' ( x) ( x 1) 2
2 f " ( x) ( x 1) 3
（5）一阶可疑点为 x 0, x 2, x 1. 二阶可疑点为
x 1
（6） x 1为铅垂渐进线 y x 1 为斜渐近线
（7）把上述信息汇总列表如下：
（8）作出函数的图形，如图4.20
y
1 x2
2 1
的水平渐近线.
解
因为
lim
1 ，所以 0 x x 2
y 是曲线的一条水平渐近线 0
1 例 4.27 求曲线 y x2 1 解 因为 xlim 2 x 2
的铅垂渐近线.
1 lim x2 x 2
且
1 lim 0 x x 2 x2