【初中数学】江苏省南京市下关区2013年中考一模数学试题 苏科版

下关区2013年中考“一模”试题数 学一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)1．－2的相反数为( )A ．2B ． 2C ．－2D ．－122．计算(x 3y ) 2的结果是( ) A ．x 5y B ．x 6yC ．x 5y 2D ．x 6y 23．把8 030 000用科学记数法表示应为( ) A ．0.803×107 B ．8.03×106 C ． 80.3×105 D ．803×1044．有11位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前6位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这11位同学成绩的( ) A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差 5．如图，AD 是⊙O 的直径，且AD =6，点B 、C 在⊙O 上，AmB ⌒ ＝AnC ⌒ ，∠AOB ＝120°，点E 是线段CD 的中点，则OE ＝( ) A ．1 B ．32 3C ．3D ．2 36．野营活动中，小明用一张等腰三角形的铁皮代替锅，烙一块与铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后把饼翻身，这块饼能正好落在“锅”中．小丽有四张三角形的铁皮(如图所示)，她想选择其中的一张铁皮代替锅，烙一块与所选铁皮形状、大小相同的饼，烙好一面后，将饼切一刀，然后将两小块都翻身，饼也能正好落在“锅”中．她的选择最多有( )A ．1种B ．2种C ． 3种D ．4种二、填空题(本大题共10题，每小题2分，共20分) 7．4的算术平方根是 ．8．计算18 － 2 的结果是 ．40︒30︒40︒60︒20︒20︒20︒O E BCDAmn9．如图，已知直线12l l ∥，135∠=，那么2∠= ．(第9题图) (第10题图)10．正八边形如图所示，点A 、B 、C 是它的顶点，则∠ABC ＝ °．11．化简a 2a 2－1•a ＋1 a 的结果是 ．12．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，点O 是AF 、DE 的交点，点P 是BF 、CE 的交点，则除△FOD 外，与△AOE 位似的是 (写出一个即可) ． 13．反比例函数xky =的图象如图所示，点M 是该图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝3，则k 的值为 ．(第12题图) (第13题图) (第14题图) 14．如图，SO ，SA 分别是圆锥的高和母线，若SA ＝6cm ，∠ASO ＝30°，则这个圆锥的侧面积是cm 2(结果保留π)．15．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 、F 、G 、H 分别是四条边的中点，则阴影部分面积是 ．ABC12l 1 l 2D A FE BCHG D2CD 1B AOFEDCB AP(第15题图) (第16题图)16．如图所示，木棒AB、AC的长分别为6、12，∠BAC＝60°；木棒BD的长为5.5，可与木棒AB、AC搭成两个三角形ABD1和ABD2(接合部分长度不计，下同)；长度为a的木棒BP的端点P在AC上，且该木棒与木棒AB、AC只能搭成一个三角形，则a的取值范围是．三、解答题(本大题共12题，共88分)17．(6分)化简：3x ＋2 －1x ＋6x ＋2 ÷x ．18．(6分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2－3(x －3) ≤5，1＋2x 3＞x －1．19．(6分)解方程：x 2－6x ＋2＝0．20．(8分)甲、乙、丙三所学校进行了一次八年级数学联合考试．老师们对其中的一道题进行了分析，把每个学生的解答情况归结为下列四种情况之一：A ~概念错误；B ~计算错误；C ~解答基本正确，但不完整；D ~解答完全正确．各校八年级学生人数的扇形统计图如上图．已知甲校八年级有400名学生，根据以上信息，解答下列问题： (1)求三校八年级学生总数；(2)求三校解答完全正确的学生总数占三校八年级学生总数的百分比m (精确到0．01％)； (3)请你对表中三校的数据进行对比分析，给丙校八年级数学老师们提一个值得关注的问题，并说明理由．21．(7分)附近有四个不同的公园，分别记为A 、B 、C 、D ．(1)小明从中随机选择一个公园游览，则他恰好选中公园A 的概率是 ； (2)小明从中随机选择两个公园游览，其中有公园A 的概率是多少？丙校乙校甲校150︒120︒22．(7分)如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，点M 在线段CD 上，连接AM ．把矩形沿一条直线EF 折叠，使点A 与点M 重合． (1)作出直线EF (保留作图痕迹，不写作法)；(2)当直线EF 经过点B 时，连接BM ，求△BCM 的面积．(图1) (备用图)23．(7分)如图，直线AB ∥CD ，AB ＝AC ＝5厘米，点D 在点C 右侧，CD ＝4厘米．(1)点D 向右运动，则四边形ACDB 可能是怎样的特殊．．四边形？答： ； (2)当点D 向右运动多少厘米时，四边形ACDB 是菱形？证明你的结论．24．(7分)如图，某数学活动小组要测量旗杆的高度AB ．小明与小亮在旗杆的同侧且相距4m的地方分别观测(点B 、D 、F 在同一条直线上)，小明的眼睛与地面的距离CD 是1.7m ，测得旗杆的顶部A 的仰角是58°；小亮的眼睛与地面的距离EF 是1.6m ，测得旗杆的顶部A 的仰角是45°．求旗杆的高度AB ．(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)M DC BA ABC DC D25．(7分)为迎接端午节，利民食品公司计划包一批粽子，由甲、乙两个小组完成．已知甲小组先包了3天，乙小组再开始包．乙小组包了6天后被安排做其他工作，余下的粽子由甲小组单独包完．下图是甲乙两个小组包好的粽子的只数与工作时间之间的函数图象，点B 是两个图象的交点，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1) 点A 的横坐标是 ；(2)求乙小组包好的粽子的只数y 与工作时间 x (天)之间的函数关系式； (3)这批粽子共有多少只?26．(8分)在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，点O 在线段AD 上．(1)如图1，连接OB 、OC ，求证：△BDO ≌△CDO ；(2)已知⊙O 与直线AB 、AC 都相切，切点分别为E 、F ，当AD ＝12，CD ＝5， OD ＝103 时，求证：⊙O 与直线BC 相切．图1 参考图 备用图DCBADOCBAA B C O D27．(8分)(1)二次函数y ＝x 2的图象经过怎样的平移能得到二次函数y ＝ (x －1)2的图象？(2)在所给的平面直角坐标系中画出函数y ＝ 1x -1 的图象；(3)试解不等式xx －1 <4．28．(11分)如图，已知矩形ABCD 中，A (3，2)，B (3，－4)，C (5，－4)，点E 是直线AB 与x 轴的交点，抛物线y ＝ax 2＋b x －3过点E ，且顶点F 的横坐标为1，点M 是直线CD 与x 轴的交点． (1)求a ，b 的值；(2)请你探索在矩形ABCD 的四条边上，是否存在点P ，使得三角形AFP 是等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点Q 在∠EMC 的平分线上？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．2013年中考“一模”试题数学参考答案及评分标准一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D二、填空题(本大题共10题，每小题2分，共20分)7．2 8．2 2 9．35 10．22.5 11．aa －1 12．答案不惟一，如△AFB 或△CPF 或△CED 13．－6 14．18π 15．4516．a ＝3 3 或6≤a ≤6 3 ．三、解答题(本大题共12题，共88分)17．原式＝3x x (x ＋2) －x ＋2x (x ＋2) ＋6x (x ＋2) ……3分＝2x ＋4x (x ＋2) ……5分 ＝2x．……6分 18．解(1)得 x ≥2；……………………2分解(2)得 x ＜4；……………………4分所以，不等式组的解集为2≤x ＜4．……………………6分(若答案正确且数轴不画，则得2分；若答案不正确但数轴表示正确，则得1分；其余酌情赋分)19．解法一 移项，得x 2－6x ＝－2．……1分配方，得x 2－6x ＋9＝－2＋9，(x －3)2＝7． ……3分 所以，由此可得x －3＝±7 ．……5分 x 1＝3＋7 ，x 2＝3－7 ．……6分解法二 a ＝1， b ＝－6，c ＝2，b 2－4ac ＝28>0，……2分x ＝6±28 2……4分＝3±7 ．……5分x 1＝3＋7 ，x 2＝3－7 ．……6分20．(1) 从扇形统计图可知甲校八年级学生数据为120°，可得三校八年级学生总数为400÷120360＝1200人．……2分(有式子且结果正确，赋2分)(2) 由(1) 知三校八年级学生总数为1200人．则乙校八年级学生数为1200×150360＝500(人)，丙校八年级学生数为1200－400－500＝300(人)．……3分 所以，三校解答完全正确的学生总数为400×36. 25％＋500×57.6％＋300×38％＝547(人)．……4分所以，三校解答完全正确的学生总数占三校八年级学生总数的百分比m ＝5471200≈45.58%．……5分(3)丙校八年级学生概念错误的比例达13.3%，在三所学校中是最高的， 因此丙校八年级数学老师应加强基本概念的教学．或者，丙校八年级学生计算错误的比例达31.7%，在三所学校中是最高的， 因此丙校八年级数学老师应加强计算的教学．……8分 (其他答案类似赋分)21．(1)14；……2分(2)解法一 从A ，B ，C ，D 中随机选择两个公园，所有可能出现的结果有：(A ，B )、(A ，C )、(A ，D )、(B ，C )、(B ，D )、(C ，D )，共有6种，……4分 它们出现的可能性相同．……5分所有结果中，满足“随机选择两个公园游览，其中有公园A ” (记为事件K )的结果有3种，……6分所以P (K )＝36 ＝12．……7分解法二 画树状图得：随机选择两个公园，共有12种等可能的结果，……5分其中“随机选择两个公园游览，其中有公园A ” (记为事件K )的结果有6种，……6分所以P (K )＝612 ＝12．……7分22．(1)如图所示；……3分(2)如右上图，当直线EF 经过点B 时，点B 在线段AM 的垂直平分线上，所以AB ＝BM ＝5．……5分在Rt △CEM 中，CE ＝AD ＝4，所以，CM ＝3．……6分 所以，△BCM 的面积为6．……7分 23．(1)菱形，等腰梯形；……3分(答“菱形”，“不是等腰梯形的梯形”，可得3分；答“菱形”、“梯形”得2分；答“平行四边形”、“梯形”得2分；其余类比赋分)(2)当点D 向右运动1厘米时，四边形ACDB 是菱形．……4分证明：当点D 向右运动1厘米时，CD ＝5厘米．所以，AB ＝ CD ．……5分 又因为AB ∥CD ，所以，四边形ACDB 是平行四边形．……6分 又因为AB ＝AC ，所以四边形ACDB 是菱形．……7分 24．过C 作CM ⊥AB 于点M ，过E 作EN ⊥AB 于点N ． ∵∠AEN ＝45°，∴AN ＝EN ．……1分 可得，BN ＝1.6，BM ＝1.7．……2分设AB ＝x ，则AN ＝x －1.6，AM ＝x －1.7，CM ＝x －5.6．……3分在R t △ACM 中，tan ∠ACM ＝AMCM，……4分∴x －1.7＝1.6×(x －5.6)．………………5分 ∴x ＝12.1． ………………6分答：旗杆的高度EF 为12.1米．………………7分F E D C BAM25．(1) 9； ……2分(2)设y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，9k ＋b ＝7200．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1200，b ＝－3600．∴y ＝1200x －3600．……4分(3)由(2)得，当x ＝6时，y ＝3600．因此，甲小组包好的粽子的只数y 甲与工作时间 x (天)之间的函数关系式为y 甲＝600x ．……6分当x ＝15时，y 甲＝9000．9000＋7200＝16200．……7分 所以，这批粽子共有16200只．26．证明(1)：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，∴BD ＝CD ，∠BDO ＝∠CDO ＝90°． 又∵OD ＝OD ，∴△BDO ≌△CDO ．……3分(2)∵⊙O 与直线AC 相切，切点为F ，∴OF 为⊙O 的半径，且OF ⊥AC ．……4分 ∴∠AFO ＝90°． 由(1)知∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠AFO ．又∵∠DAC ＝∠F AO ，∴△ADC ∽△AFO ．……6分 ∴FO DC ＝AO AC． 由AD ＝12，CD ＝5，可得AC ＝13．由OD ＝103 ，可得AO ＝263 ．∴FO5 ＝263 13． 可得OF ＝103 ，即⊙O 的半径为103 ．……7分由OD ＝103，可得点O 到直线BC 的距离等于⊙O 的半径．……8分∴⊙O 与直线BC 相切．（用面积法求出半径，类似赋分）27．(1)(把函数y ＝x 2的图象)沿x 轴向右平移1个单位长度，就得到该函数的图象．………2分(2)图略…5分(图象正确得3分，趋势基本正确且明确看出一个正确的点的坐标得3分，余酌情赋分；“趋势基本正确”指“x 轴上方的图象在直线x ＝1的右边，且在y ＝ 1x的图象的上方”,其余类比)(3) 由x x －1<4得1x -1 <3，令1x -1 ＝3，得x ＝43． 由y ＝ 1x -1 的图象可知当x <1或x >43 时，y ＝ 1x -1的图象在过点(0，3)与x 轴平行的直线的下方，……7分所以，所求解集为x <1或x >43．………8分(说理较为清楚且正确得到解集，得3分；只有正确结果或说理不清楚，得2分；其余酌情赋分)28．(1)易得E (3，0)，－b 2a＝1； 由⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b －3＝0，b ＋2a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2．……3分 所以a ＝1，b ＝－2；(2)①当P A ＝PF 时，点P 在线段AF 的垂直平分线上，(i)设P 1是线段AF 的垂直平分线与AB 的交点，设BP 1＝x ，由FP 12＝AP 12可得x 2＋22＝(6－x )2，得x ＝83， 得点P 的坐标为(3，－43)； (或者设H 是线段AF 的垂直平分线与AF 的交点，由△AHP 1∽△ABF 可得AP 1＝103， 可得点P 的坐标为(3，－43)) (ii)设P 2是线段AF 的垂直平分线与CD 的交点，设CP 2＝y ，由FP 22＝AP 22可得y 2＋42＝(6－y )2＋22，得y ＝2，得点P 的坐标为(5，－2)；(或者设K 是线段AF 的垂直平分线与FC 的交点，由△KBP 1∽△ABF 可得KB ＝8，KC ＝6，CP 2＝2，可得点P 2的坐标为(5，－2))②当AF ＝AP 时，点P 与点C 重合，此时，点P 的坐标为(5，－4)；③当AF ＝FP 时，设CP ＝m ，可得m 2＋42＝62＋22，得m ＝2 6 ，得点P 的坐标为(5，2 6 －4)；……8分所以，点P 的坐标为(3，－43) 或(5，－2) 或(5，－4)或(5，2 6 －4)； (说明：求出(5，－4)，赋1分；其余三个坐标，只求出一个赋2分，求出两个赋3分，求出三个赋4分)(3)存在．由(1)得y ＝x 2－2x －3．点Q 在∠EMC 的平分线上即点Q 到x 轴和直线CD 的距离相等．……9分令－(x 2－2x －3)＝5－x (x ≥5时，不合题意)，即x 2－3x ＋2 ＝0．……10分解得x ＝1或x ＝2．所以，点Q 的坐标分别为(1，－4)，(2，－3)．……11分(用几何方法时，若说清理由则本小题也可赋满分；只写出正确结果而无任何理由，赋1分)。