备战中考数学与圆与相似有关的压轴题含答案解析

备战中考数学与圆与相似有关的压轴题含答案解析

一、相似

1．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．

【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得

解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）

（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x， x2+2x+6），则FG= ，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，

∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，

∴

当点F在x轴上方时，有，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1，）,

当点F在x轴下方时，有，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3，）,

综上可知F点的坐标为（-1，）或（-3，）

（3）解：如图2，

不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上

∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,

∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），

∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6

解得k1= 或k2=

∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，）或Q2（2，）.

【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。

（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。

（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，

点Q在抛物线的对称轴上,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。

2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点D （m，4）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=2OC．点E是y轴上任意一点，连结DE，将线段DE按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，记点E为（0，n）．

（1）求点D的坐标；

（2）记正方形DEFG的面积为S，

① 求S关于n的函数关系式；

② 当DF∥x轴时，求S的值；

（3）是否存在n的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）解：∵点D（m，4）在直线AC上；

∴4= m+8，解得m=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，4）

（2）解：①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，

则EH=|n﹣4|

∴S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；

②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，∴EH=DH=3，∴n=4+3=7，∴S=（7﹣4）2+9=18

（3）解：∵OB=2OC=16，∴B为（16，0），∴BC为：；

①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．

在△DEM与△EFN中，，∴△DEM≌△EFN（AAS），∴NF=EM=n﹣4，EN=DM=3

∴F为（n﹣4，n﹣3）

∴n﹣3=﹣（n﹣4）+8，∴n= ；

②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，

由①同理可得△DEM≌△GDN，∴GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，∴点G纵坐标为1，∴

，∴x=14，∴DN=14+3=17=n﹣4，∴n=21；

③当点F落在AB边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，

由①同理可得△DEM≌△EFO，∴OE=DM=3，即n=3；

④当点G落在AC边上时，如图5．

∵∠CDE=∠AOC=90°，∠DCE=∠OCA，∴△DCE∽△OCA，∴，∴，∴n= ，显然，点G不落在AB边上，点F不落在AC边上，故只存在以上四种情况．

综上可得，当n= 或21或3或时，正方形的顶点F或G落在△ABC的边上．

【解析】【分析】（1）根据点D在直线AC上；于是将D（m，4）代入直线AC的解析式得出m=-3,从而得出D点的坐标；

（2）①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，根据和y轴垂直的直线上的点的坐标特点及y 轴上两点间的距离，则DH=|n-4|,根据正方形的面积等于边长的平方及勾股定理得出S=DE2=EH2+DH2=（n﹣4）2+9；②当DF∥x轴时，点H即为正方形DEFG的中心，故EH=DH=3，n=7，将n=7代入函数解析式即可得出S的值；

（3）首先找到C点的坐标，得出OC的长度，然后根据OB=2OC=16得出B点的坐标，利用待定系数法得出直线BC的解析式，①当点F落在BC边上时，如图2，作DM⊥y轴于M，FN⊥y轴于N．利用AAS判断出∴△DEM≌△EFN，根据全等三角形对应边相等得出NF=EM=n﹣4，EN=DM=3从而得出F点的坐标，根据F点的纵坐标的两种不同表示方法得出关于n的方程，求解得出n的值；②当点G落在BC边上时，如图3，作DM⊥y轴于M，GN⊥DM轴于N，由①同理可得△DEM≌△GDN，GN=DM=3，DN=EM=n﹣4，从而得出G点的纵坐标为1，根据点G的纵坐标列出方程，求解得出N的值；③当点F落在AB 边上时，如图4，作DM⊥y轴于M，由①同理可得△DEM≌△EFO，OE=DM=3，即n=3；

④当点G落在AC边上时，如图5．首先判断出△DCE∽△OCA，根据相似三角形对应边成比例得出 C E∶ A C = C D∶ O C，从而得出关于n的方程，求解得出n的值，综上所述得出所有答案。

3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.