不定积分习题库

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不定积分习题

第一节不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：1．dx x ⎰22．dx x⎰13．设曲线通过点()2,1，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．dx x ⎰31 5．dx xx ⎰1 6．()dx xx 52-⎰ 7．dx x x ⎰28．()dx xx ⎰-231 9．()dx x e x⎰-cos 3 10．dx e xx ⎰2 11．dx x ⎰2tan12．dx x⎰2sin213．dx x x ⎰2cos 2sin 12214．dx x x x ⎰+++132224 15．dx x x x ⎰--12224 习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）C x x dx x +++=+⎰)1ln(1122（2）C xx dx x x+-=-⎰111222（3）C x x dx x x x +++=++⎰11arctan )1)(1(22 （4）C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec （5）C x x x dx x x ++=⎰cos sin cos（6）C x x dx x e x+-=⎰)cos (sin 21sin 2．求下列不定积分（1）dx x⎰31（2）dx x x ⎰（3）⎰xdx （4）dx x x ⎰32（5）⎰xx dx2（6）dx x mn ⎰（7）dx x ⎰35 （8）dx x x ⎰+-)23(2（9）⎰ghdx 2（g 是常数）（10）()dx x⎰+221（11）()()d x x x ⎰-+113 （12）⎰xx dx 2（13）dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32 （14）dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+221213 （15）dx xe e xx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 （16）dx e xx ⎰3 （17）dx xxx ⎰⋅-⋅32532 （18）()dx x x x ⎰-tan sec sec （19）dx x ⎰2cos2（20）⎰+x dx 2cos 1 （21）dx x x x ⎰-sin cos 2cos （22）dx xx x⎰22sin cos 2cos （23）dx x ⎰2cot （24）()dx ⎰θ+θθsec tan cos（25）dx x x ⎰+122 （26）dx x x x ⎰++123234 3．一曲线通过点()3,2e ，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．4．证明函数)12arcsin(-x 、)21arccos(x -和x x-1arctan 2都是21xx -的原函数．第二节换元积分法例题求下列不定积分1、dx x ⎰2cos 2 2、dx x ⎰+2313、dx x x ⎰+32)2( 4、dx xe x ⎰225、dx x x ⎰-21 6、dx x a ⎰+2217、dx x a ⎰-221 8、dx x a ⎰-2219、dx x x ⎰+)ln 21(1 10、dx xe x⎰311、dx x ⎰3sin 12、dx x x ⎰52cos sin13、dx x ⎰tan 14、dx x ⎰2cos15、dx x x ⎰42cos sin 16、dx x ⎰6sec17、dx x x ⎰35sec tan 18、dx x ⎰csc19、dx x ⎰sec 20、dx x x ⎰sin 3cos 21、dx x a ⎰-22 22、dx ax ⎰+22123、dx a x ⎰-221 24、dx x x a ⎰-422 25、⎰+942x dx 26、⎰-+21xx dx27、()dx x xx ⎰+-22322练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）=dx )(ax d ；（2）=dx )37(-x d ；（3）=xdx )(2x d ；（4）=xdx )5(2x d ；（5）=xdx )1(2x d -；（6）=dx x 3 )43(2-x d ；（7）=dx e x 2 )(2xe d （8）dx e x 2-= )1(2x e d -+（9）=dx 23sin )23(cos x d （10）=xdx )ln 5(x d （11）=xdx)ln 53(x d -（12）=+21x dx )3(arctan x d （13）=-21xdx)arcsin 1(x d -（14）=-21x xdx )1(2x d -2、求下列不定积分（1）dt e t⎰5 （2）dx x ⎰-3)23(（3）⎰-x dx 21 （4）⎰-332x dx（5）dx e ax bx⎰-)(sin （6）dt tt ⎰sin（7）dx xex ⎰-2（8）dx x x ⎰)cos(2（9）dx xx⎰-232 （10）dx x x ⎰-4313 （11）dxx x x ⎰+++5212 （12）dt t t ⎰ϕ+ωϕ+ω)sin()(cos 2 （13）dx x x ⎰3cos sin （14）dx x x xx ⎰-+3cos sin cos sin（15）dx x x ⎰⋅210sec tan （16）⎰x x x dxln ln ln（17）⎰-221)(arcsin xx dx（18）dx xx ⎰-2arccos 2110（19）⎰+⋅+2211tan x xdxx （20）dx x x x ⎰+)1(arctan （21）dx x x x⎰+2)ln (ln 1 （22）⎰x x dx cos sin （23）dx xx x ⎰sin cos tan ln （24）dx x ⎰3cos （25）dt t ⎰ϕ+ω)(cos 2（26）dx x x ⎰3cos 2sin（27）dx x x ⎰2cos cos （28）dx x x ⎰7sin 5sin（29）dx x x ⎰sec tan 3（30）⎰-+x x e e dx（31）dx xx⎰--2491 （32）dx x x ⎰+239 （33）⎰-122x dx （34）⎰-+)2)(1(x x dx（35）dx x x x ⎰--22 （36）⎰-222xa dx x（37）⎰-12x x dx （38）⎰+32)1(x dx（39）dx x x ⎰-92 （40）⎰+xdx 21 （41）⎰-+211xdx （42）⎰-+21xx dx（43）dx x x x ⎰++-3212 （44）dx x x ⎰++223)1(1第三节分部积分法例题求下列不定积分1、dx x x ⎰cos2、dx xe x⎰3、dx x x ⎰ln4、dx x ⎰arccos5、dx x x ⎰arctan6、dx x e x⎰sin7、dx x ⎰3sec 8、dx e x⎰练习求下列不定积分（1）⎰xdx x sin （2）dx x ⎰ln（3）dx x ⎰arcsin （4）dx xe x⎰-（5）dx x x ⎰ln 2（6）dx x e x ⎰-cos（7）dx x ex⎰-2sin 2 （8）dx x x ⎰2cos（9）dx x x ⎰arctan 2 （10）dx x x ⎰2tan（11）dx x x ⎰cos 2（12）dt te t ⎰-2（13）dx x ⎰2ln （14）dx x x x ⎰cos sin（15）dx x x ⎰2cos 22 （16）dx x x ⎰-)1ln( （17）dx x x ⎰-2sin )1(2（18）dx xx⎰23ln（19）dx e x ⎰3（20）dx x ⎰ln cos（21）dx x ⎰2)(arcsin （22）dx x e x ⎰2sin（23）dx x x ⎰2ln （24）dx ex ⎰+93其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、dx x x x ⎰+-+6512 2、dx x x x x ⎰++++)1)(12(223、dx x x x ⎰---)1)(1(32 4、dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 5、dx x x ⎰-16、⎰++321x dx 7、dx x x x ⎰+11练习：（1）dx x x ⎰+33（2）dx x x x ⎰-+-103322 （3）dx x x x ⎰+-+5212 （4）⎰+)1(2x x dx（5）dx x ⎰+133 （6）dx x x x ⎰-++)1()1(122 （7）⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx（8）dx xx x x ⎰--+3458 （9）⎰++))(1(22x x x dx（10）dx x ⎰-114（11）⎰+++)1)(1(22x x x dx （12）dx x x ⎰++)1()1(22（13）dx x x x ⎰++--222)1(2（14）⎰+x dx 2sin 3 （15）⎰+x dx cos 3 （16）⎰+x dxsin 2 （17）⎰++x x dx cos sin 1 （18）⎰+-5cos sin 2x x dx（19）⎰++311x dx（20）dx x x ⎰+-11)(3（21）dx x x ⎰++-+1111 （22）⎰+4x x dx （23）x dx x x ⎰+-11 （24）⎰-+342)1()1(x x dx本章复习题计算下列不定积分：1、⎰-x dx cos 452、⎰+942x x dx 3、dx x x ⎰+2)43(4、dx x ⎰4sin5、⎰-942x dx 6、dx x x ⎰++52127、dx x ⎰+9228、dx x ⎰-2329、dx x e x⎰cos 210、dx x x ⎰2arcsin11、⎰+22)9(x dx 12、⎰x dx 3sin 13、dx x e x ⎰-3sin 214、dx x x ⎰5sin 3sin 15、dx x ⎰3ln 16、dx xx ⎰-117、dx x ⎰+22)1(118、dx x x ⎰-11219、dx x x ⎰+2)32(20、dx x ⎰6cos 21、dx x x⎰-22222、dx x ⎰+cos 52123、⎰-122x x dx24、dx x x ⎰+-1125、dx x x x ⎰--+125226、⎰-+21x x xdx27、dx x x ⎰+2442528、⎰--x x e e dx 29、dx x x⎰-3)1(30、dx x a x ⎰-66231、dx x x x ⎰++sin cos 1 32、dx x x ⎰ln ln33、dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 34、dx x ⎰4tan 35、⎰+)4(6x x dx 36、dx x a x a ⎰-+37、⎰+)1(x x dx 38、dx x x ⎰2cos 39、⎰+xedx 140、⎰-122x xdx41、⎰+)1(24x x dx 42、dx x x ⎰sin 43、dx x ⎰+)1ln(244、dx x x ⎰32cos sin 45、dx x ⎰arctan46、dx x x ⎰+sin cos 147、dx x x ⎰+283)1(48、dx x x x ⎰++234811 49、⎰-416x dx 50、dx x x ⎰+sin 1sin 51、dx x x x ⎰++cos 1sin 52、dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 53、dx x x x x⎰+)(3354、⎰+2)1(x e dx 55、dx e e e e x x x x ⎰+-+124356、dx e xe x x⎰+2)1( 57、dx x x ⎰++)1(ln 2258、⎰+32)1(ln x x 59、dx x x ⎰-arcsin 1260、dx xx x ⎰-231arccos61、dx x x ⎰+sin 1cot 62、⎰x x dx cos sin 363、⎰+x x dxsin )cos 2(64、dx x x x x ⎰+cos sin cos sin65、dx x x ⎰-)1(12。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。

2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。

3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。

不定积分专题试题

不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为（） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题：1、 ((1—sin 2X)dx =2 -------------2、若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________3、sin (I n x)dx 二 __12、若 F '(x)工f(x), • '(x)工 f (x),则 f(x)dx= _______________________________________________ (A)F(x) (B) ：(x) (C) ：(x) - c (D)F(x)(x) c13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B)—[ f(x)dxp f(x)dxdx L(C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则：f(lnx)dx = _____________2已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_'x\!xF'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________; e 「dx=____ ;"f(x)f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ;10、若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ;(A)必有导函数(B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、5、 6、7、9、设 xf (x)dx =arcsin x c,贝Vx1 1(D) - In x c (A) — c (B) lnx c (C) -― cx x15、、* ■ dx =,x(1-x)1(A) -arcsin x c (B) arcsin . x c (C) 2arcsin(2x-1) c(D) arcsin(2x -1) c16、______________________________________________________ 若f (x)在［a,b］上的某原函数为零，则在［a,b］上必有_____________(A)f(x)的原函数恒等于零；(C)f(x)恒等于零；二、计算题:- w (28)设f (si n2x) ,求: (B)f(x)的不定积分恒等于零；(D) f (x)不恒等于零，但导函数f '(x)恒为零。

不定积分练习题

1、求下列不定积分1) dx ~^2 x3) (x 2)2dx5) 2 3x5 2x3xdx7) (2e x 3)dxx2、求下列不定积分（第一换元法）31) (3 2x) dx不定积分(A)2)4)6)8)dxx2. x2Jdxxcos2x .dx2 . 2cos xsin x(1 x xdxxdx32 3xx In xln(In x)4)5)dx6)dx cosxs in x27) xcos(x )dx 8) 3x31 x4dx9)sin x ,3 dxcos x10) —L X—dx<9 4x211)dx2x2 1312) cos xdx13) sin 2xcos3xdx 14)tan3 xsecxdx15)17)x32dx9 x16)10 2arccosx、1 x2dxc 23 cos x 4sin 218) arctan x dx7x(1 x)-dxx3、求下列不定积分（第二换元法）4、求下列不定积分（分部积分法）1) xSnxdx 2) arcs in xdx2 3) x In xdx2x・x 4) e sin dx21) 一dxx、1 x22) sin 一xdx3) ■^Ldx4) --dx,(ax0)5) 6)dx 1 .2x7)dxx d x28)dxdx5) x1 2 arctanxdx6) x2cosxdx7)In2 xdx 8)x2 cos2 - dx2 5、求下列不定积分(有理函数积分)1)3x . dxx 32)2x 3 」飞dxx2 3x 103)dxx(x21)(B)1、一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

1 32、已知一个函数F(x)的导函数为----------- ，且当x 1时函数值为-------------------------------- ，试求此函数。

2 21 x 23、证明：若 f(x)dx F(x) c ,贝 U1f (ax b)dx F(ax b) c,(a 0)。

大学数学不定积分必看习题

x)
dx
=
x2
+
c
,则
f
(x)
=
；
∫ 3、若 f (x) = 1 x2 ，则 f ′( x2 )dx =
2
；
∫ 4、若 f (x +1) = x 2 + 3x + 5 ，则 f (x)dx =
∫ ∫ 5、如果
f ( x)dx = 1 + C,则
f (e− x ) dx =
x2
ex
6、 ∫
1 dx = 3x −1
dx
35、 ∫
arcsin x x(1 − x)
dx
∫ 37、
3 + 2 tan x cos2 x dx
∫ 39、 9 − x 2 dx
∫ 41、
1 dx
x2 1+ x2
12、
∫
(2
2 + x)
x
dx
∫ 14、
sin 2x dx
1 − cos2 x
16、
∫
arctan (1+ x)
x dx
x
18、 ∫
)。
（A） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 24
（C）
x2(1
−
1 ln
x) + c
42
二、填空题
（B） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 42
（D）
x2(1
−
1 ln
x) + c
24
∫ 1、设 f (x) 的一个原函数是 xe−x ,则 xf ′(x)dx =
2、 ∫
f
′(ln x

不定积分练习题

不定积分练习题(一)1.不定积分：⎰=_____xxdx 22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x )11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x )32(⎰+=_______6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________8.=+⎰x d )x 1 x ( ________9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果x e -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = .12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin x x dx +=⎰ . 15. 222()a x dx +=⎰ . 16. 3(1x x dx -+=⎰ .1、，则设x d x1I 4⎰= I =（）c x3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、222222的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( ) ()arcsin ()arctan A x B x x1 x 1 ln2 1)C (+- x 1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cosπ的一个原函数为（） (A) x 2 sin2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F(2 x )+ C (C) C )x 2(F 2 1+ (D) 2F(2 x )+ C 5.设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）A. cot 4xB. cot 4x -C. 3cos 4xD. 3cot 4x6. 若()f x 为可导、可积函数，则（）A. ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ B. ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C. ()()f x dx f x '=⎰D. ()()df x f x =⎰7. 设C F(x) dx )x (f +=⎰ ，则 =⎰dx )cosx ( f sinx （）(A)C )sinx ( F + (B) C )sinx ( F +- (C) C )cosx ( F +- (D) sin x ( cosx ) C F + 8.设()F x 是()f x 在(),-∞+∞上的一个原函数,且()F x 为奇函数,则()f x 是 ( ) A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．不能确定9.已知()f x 的一个原函数为cos x ,()g x 的一个原函数为2x ,则()f g x ⎡⎤⎣⎦的一个原函数为 ( ) A ．2x B ． 2cos x C ． 2cos x D ．cos x 10.设2x e -是()f x 的一个原函数,则()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( )A ．22x e -B ．-28x e -C ．22x e --D ．24x e - 11. 21(),()1f x f x x=-设则的一个原函数为 ()arcsin ()arctan 1111()ln ()ln 2121A x B x x x C D x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭不定积分练习题(二)1.=⎰x d x tan 2__________．2.x d 1x1x 3x 3224⎰+++＝． 3.⎰+)x 1 ( x dx2 = ______________________________．4. dx e 1 1x ⎰-+= 5.=⎰dx x 2cos x12 ．6.设 )x (f 的一个原函数 xx sin 为，则 =⎰dx )x (f ．7.设 )x (f 的一个原函数为 ln x ，则⎰+dx )x 21(f ______________．8.设)x (f 的一个原函数为 lnx , 则=')x (f _______________． 9.，的一个原函数为若x ln x )x (f =)x (f 则______ _______．1. =+-=⎰I x d 1e1e I xx ，则设（） c )1e ( ln )B ( c )1e ( ln )A (x x +++- c x )1e ( ln 2)C (x +-+ c )1e ( ln x 3x )D (x ++-　2. 设f(x)的一个原函数是F(x) ，则⎰+dx )b ax (f ＝（） (A) F(ax ＋b)＋c (B) aF(ax+b)+c (C)b ax )b ax (F +++c (D)a 1F(ax+b)+c3. =-+=⎰⎰dx )x 1 ( f x c x sin dx )x (f 2，则若（）(A)c )x 1 ( sin 22+- (B)c )x 1 ( sin 22+--(C) c )x 1 ( sin 2 12+- (D) c )x 1 ( sin2 12+-- 4.不定积分：21( 1 ) cos d sinx x x +=⎰ （） (A) C x sin 1x +-(B) Cx sin 1x ++ (C) C x sin 1x sin +-(D) Cx sin 1x sin ++ 5. 不定积分：⎰=x x de e sin （）(A) C e cos x + (B) C e cos x +- (C) C e arccosx + (D) C e arccos x +- 6. 不定积分：⎰+e 1 dxx＝（） (A)c e 1 ln x ++）（ (B) c e 1 ln x++-）（ (C) ce 1 e ln x x ++ (D)c e 1 1 ln x ++ 7. 设x 2 tan k )x (f = 的一个原函数是) x 2 cos ( ln32 ，则常数 =k （）(A) 3 2 - (B) 3 2 (C) 34 - (D) 3 41.⎰++dx )1x 2sin( )1x 2(cos 2求．2.求不定积分 4(1)xdx x +⎰．3.求不定积分dx)x 1( x3⎰-．不定积分练习题(三)1. 2x xe dx -=⎰( ).(a) x e c -+, (b)212x e c -+, (c)212x e c --+, (d) 2x e c --+.2. 2x e dx ⎰=( )(a) 2x e c +, (b) 212x e c +, (c) 2x e , (d) 212x e .3. 221(2)dx x =+⎰( )(a) arctan 2x c +, (b) arctan 2x , (c) arcsin 2x , (d) arcsin 2x c +. 4. 22sec 2xdx =⎰( )(a)tan 2x c +, (b) tan 2x , (c) tan x , (d) tan x c +.5.(1)n x dx +=⎰ .6. cos(34)x dx +=⎰ .7.= . 8. x e dx -=⎰ .9.1sin 2xdx ⎰= . 10.(2)x x dx -=⎰ . 11.2= . 12.12dx x =-⎰. 不定积分练习题(四)1. 设()xf x e -=,则()ln f x dx x'⎰=( )A ． 1x -c + B ． ln x c -+ C ． 1c x+ D ． ln x c + 2. 若()f x 的一个原函数为2ln x ,则()x f x dx '=⎰( )A ．2ln ln x x c -+B ．22ln ln x x c ++C ．22ln ln x x c -+D ．2ln ln x x c ++ 3. 设()()ln 1ln f x x x '=+,则()f x =( )A ．22xx xe c ++ B ．()212xx x e c -++ C ．22xx xe c -+ D ．()212xx x e c --+4. 2cos xdx x=⎰( ) A ． tan ln cos x x x c -+ B ． tan ln cos x x x c ++ C ． tan ln sin x x x c -+ D ． tan ln sin x x x c ++ 5. ()2211dx x x=+⎰ ( )A ．1arctan x c x ++ B ． 1arctan x c x -+ C ． 1arctan x c x --+ D ．1arctan x c x-++6. ,I I ==设则( )()arcsin;()arcsin n ()arcsin ;()arcsin x xA a cB a c a ax xC a cD ca a -- 7. ,I I ==设则( )22();()arctan ;(().A cB cC cD c -++8. ,x xdxI I e e-==+⎰设则( ) ()()arctan ;()arctan ;()x x x xxxA e e cB e cC e cD e e c ----+++++9.10(23),I x dx I =-=⎰设则( )991111()10(23);()20(23);11()(23);()(23).2211A x c B x c C x c D x c -+-+-+-+ 10. I I ==设则( ) ()2ln(1.(2ln(1.(2ln(1.()2ln(1.A cB cC cD c -+++-+11.1d ,1x xe I x I e -==+⎰设则( ) ()ln(1)()ln(1);()2ln(1);()2ln(1).x x xxA e cB e cC e x cD x e c -++++-+-++12. sin cos d ,I x x x I ==⎰设则( )2211()sin ;()cos ;2211()cos 2;()cos 244A x cB x cC x cD x c-+++-+ 13.求下列不定积分：dxx ⎰-3)23( ⎰-dxx32dx3dt tt ⎰sin⎰)ln(ln ln x x x dx ⎰x x dx sin cos ⎰-+x x e e dxdx x x )cos(2⎰ dx x x ⎰-4313 dx x x⎰3cos sin dx x x ⎰--2491 ⎰-122x dx dx x ⎰3cos ⎰xdx x 3cos 2sin ⎰xdx x sec tan 3dx x x ⎰+239 dx x x ⎰+22sin 4cos 31 dx x x⎰-2arccos 2110 dx x x x ⎰+)1(arctan dx xx ⎰+211 dxx ⎰sin ⎰+32)1(x dx⎰+x21dx inxdx xs ⎰ ⎰xdxarcsin⎰xdxx ln 2dx x e x⎰-2sin 2⎰xdx arctan x 2 ⎰xdx x cos 2 ⎰xdx 2ln dx x x 2cos 22⎰ ⎰-++dx x x x 103322 ⎰+)1(2x x dx⎰+dx xx211arctandx x ⎰-2sin 1 dx xa x x ⎰-2 ⎰+dx x xe x232arctan )1( ⎰+x x dx sin 2)2sin( ⎰-dx e xe x x1dx e e x x ⎰2arctan dx x x x x ⎰+cos sin cos sin 14. 设)(x f 的一个原函数为xxsin ，求⎰'dx x f x )(。

计算下列不定积分

习题3-11．计算下列不定积分.(1)5x dx ⎰; (2) 2x dx ⎰; (3) 1x e dx +⎰; (4)()cos sin x x dx -⎰;(5)221dx x +⎰; (6); (7) (xedx ⎰;(8)2211sin cos dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (9) 21x +; (10) 23324x xxdx +⎰. 2.已知曲线()y f x =过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为231k x =+,求该曲线方程. 3.已知某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且通过点(e,2),试求此曲线方程.习题3-21. 计算下列不定积分.(1)()921x dx -⎰; (2) ; (3); (4)21xdx x +⎰; (5)2ln xdx x ⎰; (6)θ; (7)2x xe dx -⎰; (8)x x dx e e -+⎰.2.求下列不定积分.(1)2; (2) ;(3)(4)2e⎰;3. 求下列不定积分. (1) 6x xe dx -⎰; (2)()ln ln x dx x ⎰; (3) arctan xdx ⎰;(4)2ln xdx ⎰; (5) 3sec xdx ⎰; (6) 2sin x e xdx ⎰; 4.求下列不定积分.(1); (2) ()()21f x dx f x '+⎰;(3); (4) ⎰.5.一物体由静止开始作直线运动,在 t 秒时的速度为32/t m 秒,问:(1) 3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 需要多长时间走完1000米？6．在平面上有一运动着的质点，如果它在 x 轴方向和y 轴方向的分速度分别为5sin x u t =和2cos y u t =,且0|5t x ==,0|0t y ==,求:(1) 时间为t 时,质点所在的位置; (2) 运动的轨迹方程.习题3-31．利用定积分的定义证明badx b a =-⎰.2.用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1)()1021x dx +⎰;(2) 0⎰; (3)sin xdx ππ-⎰.3.不计算积分,比较下列各组内定积分的大小. (1)1xdx ⎰,12x dx ⎰; (2)1xe dx ⎰,21x edx ⎰.4.利用定积分的性质估计下列积分值的范围. (1) ()314x x dx -⎰; (2)22xxe dx -⎰.习题3-41. 求下列函数的导数. (1) ()0F x =⎰: (2) ()sin cot xxF x xdx -=⎰.2. 求下列函数的极限.(1) 11sin lim1cos xx tdtxππ→+⎰;(2) 02limx x →⎰.3. 计算下列定积分. (1)21x xe dx ⎰; (2)cos 44x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (3)1ln 2ex dx x⎰; (4) 120100dxx +⎰; (5)420tan cos xdx xπ⎰;(6)41dx ⎰. 4.设()21x f x x +≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 当x 1时,1 当x>1时,2求()20f x dx ⎰.5. 一汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度1.8a =-2/米秒刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过多少距离?1. 计算下列定积分.(1)1-⎰;(2) 1⎰; (3)⎰;(4)1;(5)94⎰; (6) ()12121dxx -+⎰;(7)(222x --⎰.2.计算下列定积分. (1) 2130x x e dx ⎰; (2)31ln xdx ⎰; (3)20cos x e xdx π⎰.(4)()1sin ln ex dx ⎰.3. 设()f x 在[],a b 上连续,证明()()bbaaf a b x dx f x dx +-=⎰⎰.4.设函数()f x 以T 为周期,试证明()()0a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰ (a 为常数).5.试证明()()()baxf x dx bf b f b '''=--⎡⎤⎣⎦⎰()()af a f a '-⎡⎤⎣⎦.1．求下列平面图形的面积。

4不定积分习题与答案

第四章不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx ２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx x x ⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dx xxx 32532 ６）dx x x x ⎰22sin cos 2cos ７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313 ９）dx x x ⎰3cos sin 10）dx x x⎰--249111）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos 13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 17)dx x x ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx x e x ⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ）１、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

不定积分练习题11042

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx xx ⎰+221５）⎰⋅-⋅dx x x x 32532 ６）dx xx x⎰22sin cos 2cos７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰xx dxsin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx x x ⎰-4313 ９）dx xx⎰3cos sin 10）dx x x ⎰--2491 11）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 3117)dx xx ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx xe x⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ）１、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

不定积分-习题

2 cos 2 x
2
(e x 1 e x tan x)dx
2 cos 2 x
2
2
[(e xd(tan x) tan x de x ]
2
2
d(e x tan x ) 2
e x tan x C . 2
例3 求 x 1 dx.
x2 x2 1
解令x 1 ,
t
(倒代换)
原式
1 t2
3
4、1 arctan x 2
1x 21 x2
C；
5、 1 1 x 2 arcsin x C ； xx
6、 x 2 1 arcsin 1 C ；
x
x
7、 e x arctan(e x ) C ；
8、 1
x3
arccos x
1 (1
3
x2 )2
1
1 x2 C；
3
9
3
9、 x 4 1 ln(1 x 4 ) ln( x 4 2) C ； 44
10、 x arccos x 1 ln 1 x 2 C .
1 x2
2
三、 f ( x)dx
1 x 2 ln(1 x 2 ) 1 [ x 2 ln(1 x 2 )] C ,
2
2
( x 2 4 x 1)e x 1 C ,
x 0. x0
四、 f ( x) x [(a b)sin(ln x) (b a)cos(ln x)] C . 2
1 x
dx ;
3、 ln( x 1 x2 ) 5 dx; 1 x2
5、 1
dx ; 1 x2
7、
dx ;
e x (1 e2 x )
9、
x11dx ;

不定积分练习题

不定积分练习题1. 计算下列不定积分：∫(x^3 + 2x^2 - 5x + 1)dx。

2. 求不定积分：∫(3/x^2)dx。

3. 计算不定积分：∫(1/(1+x^2))dx。

4. 求下列函数的原函数：∫(sin(x) + cos(x))dx。

5. 计算不定积分：∫(1/√(1-x^2))dx。

6. 求下列函数的原函数：∫(x^2 * e^x)dx。

7. 计算不定积分：∫(1/(1-x))dx。

8. 求不定积分：∫(1/(1+x^2)^2)dx。

9. 计算不定积分：∫(tan(x))dx。

10. 求下列函数的原函数：∫(x * sin(x))dx。

11. 计算不定积分：∫(1/(1+√x))dx。

12. 求不定积分：∫(1/(1-x^2)^3)dx。

13. 计算不定积分：∫((1-x^2)^(1/2))dx。

14. 求不定积分：∫((1+x)^(-1/2))dx。

15. 计算不定积分：∫(1/(1+x^4))dx。

16. 求下列函数的原函数：∫(x^4 * e^(-x))dx。

17. 计算不定积分：∫(1/(x^2 * (1+x)))dx。

18. 求不定积分：∫((1-x)^(1/3))dx。

19. 计算不定积分：∫(1/(1+x^3))dx。

20. 求下列函数的原函数：∫(x * ln(x))dx。

21. 计算不定积分：∫(1/(1-x^3))dx。

22. 求不定积分：∫(1/(1+x^6))dx。

23. 计算不定积分：∫(1/(1-x^4))dx。

24. 求不定积分：∫(1/(1+x^10))dx。

25. 计算不定积分：∫(1/(1-x^6))dx。

高等数学不定积分(习题)

第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质习题5-11、求下列不定积分(1)C xC x dx x x dx +-=++-==+--⎰⎰213332113.(2) C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰312525272125. (3)C xx C xdx x xxdx+-=++-==+--⎰⎰32125125252.(4)C x C x dx x dx x x x +=++==+⎰⎰81518787158187.(5)C h C hdh h hdh +=++-==+--⎰⎰21212121212121.(6)C xn m mC mn x dx x dx x mn m mn mn mn++=++==++⎰⎰11.(7) C x C x dx x dx x +=++⋅==+⎰⎰5144414555.(8) C x x x dx x x +++=++⎰2233)23(232.(9) C x x x dx x x dx x ++-=+-=-⎰⎰352422325)12()1(.(10) C x x x dx x x dx x +++=++=+⎰⎰423)44()2(2322.(11) C x x dx x x dx x x +-=-=-⎰⎰23252123252)3()3(.(12) C x x x x dx x x x dx x x ++++=+++=++⎰⎰2523323212352323)1()1)(1(.(13) C tt t dt t t dt t t +-+=++=+⎰⎰-1||ln 2)21()1(222. (14)C x x dx x xdx xx ++=+=+⎰⎰-232121322)()1(.(15)C x x dx xdx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰arctan )111(11)1(122222.(16)C x x dx xx dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan 2)123(1233322224. (17)C x x dx xx ++=-++⎰arcsin 5arctan 3)1513(22.C x x x dx x x x dx x x x +++=++=++⎰⎰-32613383167353322913683)3(3.(19)C x e dx xe x x +-=-⎰||ln 32)32(.(20)C x e dx x e dx xe e x xx x++=+=+⎰⎰--2)()1(21.(21)C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰5ln 15)5ln()5()5(5.(22)C x dx dx xx x x x +⋅-+=⋅+=⋅+⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 52])32(52[32532.(23)C x xdx x x dx x x x x x x dx +--=+-=+-+=+⎰⎰⎰-arctan 1)11()1()1()1(22222222.(24)C x e dx e dx e e x x x x ++=+=--⎰⎰)1(112.(25)C x x dx x x x dx x x x ++=+=+⎰⎰sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(26)C x x dx x dx x ++=+=⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 2.(27)C x x dx x x dx xx xx dx x x x ++=-=+-=+⎰⎰⎰cos sin )sin (cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22.(28)C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=-=⎰⎰⎰tan cot )sec (csc cos sin sin cos cos sin 2cos 22222222.C x dx x dx x dx x +==+=+⎰⎰⎰tan 21cos 12122cos 11212cos 112.(30)C x x dx x xdx +--=-=⎰⎰cot )1(csc cot 22.2、一曲线通过点)3,(2e ,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求曲线的方程.解：设所求曲线为)(x f y =,依题意有xy 1=',于是 C x xdxx f y +===⎰ln )( 因曲线通过点)3,(2e ,有 C C e +=+=2ln 32,得1=C , 从而所求曲线为1ln +=x y .3、已知某产品产量的变化率是时间t 的函数b at t f +=)((b a ,为常数),设此产品的产量为函数)(t P ,且0)0(=P ,求)(t P . 解：已知b at t f dtdP+==)(,有 C bt t adt b at dt t f t P ++=+==⎰⎰22)()()(,因0)0(=P ,有0=C ,于是bt t at P +=22)(.习题5-21、求下列不定积分 (1)C e x d e dx e xx x +==⎰⎰55551)5(51.(2)C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 2123)23(2123.(4)C x x d x xdx+--=---=-⎰⎰-32313)32(21)32()32(3132.(5)C t t d t dt tt +-==⎰⎰cos 2sin 2sin .(6)C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 51sin 21sin .(7)C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰22221)(212. (8)C x x d x x xdx+--=---=-⎰⎰-2221223231)32()32(6132.(9)C x x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)1ln(431)1(431344443.(10)C x x xd xdx x +==⎰⎰9828tan 91tan tan sec tan . (11)C x x x d x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan )(tan cos sin cos cos sin 2.(12)C t t d t dt t t ++-=++=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (13)C xx xd x xdx +=-=⎰⎰-455cos 41)(cos cos cos sin .C x x x d x xdx +-=-=⎰⎰323sin 31sin sin )sin 1(cos . (15)C t t dt t dt t ++-=+-=+⎰⎰)(2sin 412)](2cos 1[21)(sin 2ϕωωϕωϕω.(16)C t t t d t tdt t +-=-=⎰⎰sec sec 31sec )1(sec sec tan 323.(17)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰5cos 101cos 21)sin 5(sin 213cos 2sin .(18)C x x dx x x dx xx ++=+=⎰⎰2sin 23sin 31)2cos 23(cos 212cos cos .(19)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰12sin 2414sin 81)12cos 4(cos 218sin 4sin . (20)C x x x x d x x dx xx xx ++-=++-=+-⎰⎰-32313)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin cos sin cos sin . (21)⎰⎰⎰--⋅--⋅=-+222249)49(2141)32(1)32(3123491x x d x x d dx x x C x x +--=2494132arcsin 21.(22)C x x x x d xdx dx x x x x dx x x ++-=++-=+-+=+⎰⎰⎰⎰)]1ln([211)1(211122222323.C x x x x d x dx ++-=-=-⎰⎰1313ln 3211)3()3(311322.(24)C x x x dx x dx x x dx +++=+-+=++⎰⎰⎰21ln 21)2)(1(.(25)222221)1(1tan 2111tan xx d x dx x xx +++=++⎰⎰C x x d x ++-=++=⎰|1cos |ln 11tan 222.(26)x d x x d x xdx x x x arctan arctan 2)(1arctan 2)1(arctan 2⎰⎰⎰=+=+ C x +=2)(arctan .(27)C x d dx xxxx +-=-=-⎰⎰10ln 10arccos 10110arccos arccos 2arccos .(28)C xx d x x dx x +-==-⎰⎰-arcsin 1arcsin )(arcsin 1)(arcsin 1222. (29)⎰⎰⎰=⋅=xx xd dx x x x x dx x x x tan )(tan tan ln cos sin cos tan ln cos sin tan ln 2 C x x xd +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(30)C x x x x x x d dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln ()ln (ln 122.(31)dt t dt tt t x dx x tx ⎰⎰⎰-=-⋅====-=)2cos 1(24sin 12cos 2sin 4422sin 222t t t C t t +-=+-=cos sin 222sin 2C x xx +--=2422arcsin 2.(32)C x C t dt dt t t tt x x dx tx +=+==-====-⎰⎰⎰=1arccos 1sec sec tan sec 12sec 2.(33)C t tdt dt t tx dxtx +======+⎰⎰⎰=sin cos sec sec )1(32tan 32 C x x C t tt++=++=11tan 1cos sin 22.(34)⎰⎰⎰⎰-======-=dt t tdt tdt t tt dx x x t x )1(sec 2tan 2sec tan 2sec 2tan 2422sec 22 C xx C t t C t t +--=+--=+-=2arccos 2421sec 22tan 222.(35)⎰⎰⎰⎰⎰-=+-=+====-+=2cos 21cos 1cos 1cos 112sin 2t dtt t dt dt t tdt x dxtx C t t t C t t t t C t t ++-=+-=+-=cos 1sin 2cos 22cos2sin 22tan 2 C xxx +-+-=211arcsin .(36)dt tt tt t t t t tdt x x dxtx ⎰⎰⎰+-++=+====-+=cos sin sin cos cos sin 21cos sin cos 1sin 2C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121cos sin )cos (sin 2121 C x x x +-++=|1|ln 21arcsin 212.(37)C t t t dtdt dt t t t tdt x dx x t t x ++-=+-=+-+=+====+⎰⎰⎰⎰⎰==)1ln(1111121222C x x ++-=)21ln(2.(38)dt t t t t tdt t x dx x t t x ⎰⎰⎰+++-+=+====+++=-=11)1()(313112211333C t t t t dt dt dt t +++-=++-=⎰⎰⎰|1|ln 3323)1(32C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(233332.(39)dt t t t t tdt t t dx x x x t t x ⎰⎰⎰++--+=⋅+-====++-++=-=122222111111211212|1|ln 44)122(2C t t t dt t t +++-=++-=⎰C x x x +++++-=)11ln(414, 其中, 11C C +=.(40)dt t t t t dt tt t x x dx x t t x ⎰⎰⎰++--+=+====+==11144223444C t t t dt t t +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42C x x x +++-=)1ln(44244.(41)dt t t t dt t t t t t dx x x x xxt ttt x ⎰⎰⎰+--=+-⋅⋅⋅-+=======+-+-=-+=+-=)1)(1(4)1()2(21111122222221111211222C t t t dt t t +++-⋅=+--⋅-=⎰arctan 211ln 212)1111(21422 C x xxx x x ++-+-++--+=11arctan 21111ln.42)⎰⎰+--=-+3234211)1()1()1(x x x dx x x dx⎰⎰--+=---+-⋅-=======+-=--=-+=23232323321111211)1()1(6)1(]1)11[()3(23333t t tdtt t t t dt t x x t tt t x C x x C t t dt t tdt +-+-=+-===⎰⎰32311232323226.2、用指定的换元法求下列不定积分 (1)C x C t dt t t tdt t x x dx t x +=+======-⎰⎰⎰=arcsin 222cos sin cos sin 2)1(2sin .(2)⎰⎰⎰⎰=====++=++-=tdt t tdtx dxx x dx t x sec sec sec 1)1(2221tan 22C x x x C t t +++++=++=|122|ln |tan sec |ln 2.(3)⎰⎰⎰⎰======--=-+=tdt ttdtt x dxx x dxtx sec tan 2sec tan 24)2(4sec 2222C t t C t t ++=+++=|tan 2sec 2|ln 2ln |tan sec |ln C x x x +-+-=|42|ln 2.(4)C t dt dt t t x dx x xdxt x +======-=-⎰⎰⎰⎰=2121cos cos 211211sin 4242C x +=2arcsin 21.习题5-31、求下列不定积分C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .(2)C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln .(3)⎰⎰⎰-+=-=dx xx x x x xd x x xdx 21arccos arccos arccos arccos .C x x x +--=21arccos .其中:C x C x x x d dx x x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰22222112211)1(211.(4)C x e C e xe x d e xe xde dx xe x x x x x x x ++-=+--=+-=-=-------⎰⎰⎰)1(.(5)⎰⎰⎰⎰-=-==dx x x x x d x x x xdx xdx x 34444341ln 41ln 41ln 41ln 41ln C x x x +-=44161ln 41. (6)C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰3cos 93sin 33sin 33sin 33sin 33cos .(7)⎰⎰⎰⎰⎰-=-=xdx x xd xdx xdx x xdx x tan sec tan 22C x x x x xdx xdx x x +-+=--=⎰⎰221|cos |ln tan tan tan .(8)⎰⎰⎰+-=-=2222cos cos cos sin xdx x x x d x xdx xC x x x x x +++-=cos 2sin 2cos 2.其中:C x x x xdx x x x xd xdx ++=-==⎰⎰⎰cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2.(9)⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x arctan 31arctan 31arctan 31arctan 3332.C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 其中:C x x dx x x dx xx x d x 3)1ln(2121111211arctan 22222233-+-=+-+=+=⎰⎰⎰. (10)⎰⎰⎰-==x xd xdx x xdx x x 2cos 412sin 21cos sin C x x x dx x x x ++-=+-=⎰2sin 812cos 412cos 412cos 41.(11)C x x x x xdx x xdx dx x x +++=+=⎰⎰⎰cos 21sin 2141cos 21212cos 22. 其中:C x x x xdx x x x xd xdx x 2cos sin sin sin sin cos ++=-==⎰⎰⎰.(12)I x x x d x xdx x 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222++-=+-=+⎰⎰ C x x x x x ++++-=2cos 412sin 212cos )1(212C x x x x +++-=2sin 212cos )21(212.其中:⎰⎰⎰==+=)2(2cos )2(212cos 2)1(2cos 2x xd x xdx x x xd IC x x x 2]2cos 2sin 2[21++=.(13))1ln(21)1ln(21)1ln(21)1ln(222+-+=+=+⎰⎰⎰x d x x x dx x dx x x C x x x x x ++-+-+=)1ln(212141)1ln(2122 C x x x x ++-+-=2141)1ln()1(2122. 其中:x d x x x x x d x x x d x ⎰⎰⎰++--+=+=+1111)1ln(222C x x x x d x x 2)1ln(21)111(2-++-=++-=⎰.(14)x d x x x x xd dx x x 22222ln 1ln 1)1(ln ln ⎰⎰⎰+-=-=C x x x C x x x x x +++-=+---=)2ln 2(ln 12ln 2ln 122.其中:⎰⎰⎰⎰+-=-==x d x x x x xd dx x x x d x ln 12ln 2)1(ln 2ln 2ln 122C xx x dx x x x +--=+-=⎰2ln 212ln 22.(15)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x xt sin 2sin sin )(arcsin 22arcsin 2C t t t t t C t t t t t +--+=+-+=sin 2sin 12sin sin 2cos 2sin 222)1(C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.(16)⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=======tt t t t t x t tx x tde e t dt te e t de t dt e t dx e 632333322223331C t t e C e te e t dt e te e t t t t t t t t ++-=++-=+-=⎰)22(3663663222C x x e x ++-=)22(33323.(17)⎰⎰⎰-==xdx e x e x d e xdx e xx x x sin sin sin cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e x d e x e x x x x x cos cos sin cos sin ,∴C x x e xdx e x x ++=⎰)cos (sin 21sin .(18)I e xdx e dx e xdx e x x x x 21212cos 2121cos 2+-=+=----⎰⎰⎰ C x e x e e x x x +-+-=---2cos 1012sin 5121.:x xd e x e x d e I xx x ⎰⎰---+==2sin 212sin 212sin 21 x d e x e x x 2cos 412sin 21⎰---= x xd e x e x e x x x ⎰-----=2cos 412cos 412sin 21, ∴C x e x e I x x 22cos 41542sin 2154+⋅-⋅=--.2、利用指定的变量代换求下列不定积分 (1)C t t e t td e dx x tte x t++======⎰⎰=)cos (sin 21cos )cos(ln )17( C x x x ++=)]cos(ln )[sin(ln 21.(2)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x tx cos 2cos cos )(arccos 22cos 2⎰⎰+-=-=tdt t t t t t td t t sin 2sin 2cos sin 2cos 22C t t t t t C t t t t t +---=+--=cos 2cos 12cos cos 2sin 2cos 222 C x x x x x +---=2arccos 12)(arccos 22.习题5-41、求下列不定积分(1) x d x x x x x x x d x x ⎰⎰+-++--+=+288442222233 C x x x x x d x x x ++-+-=+-+-=⎰|2|ln 8431)2842(232.(2)x d x x x x d x x x ⎰⎰-++=-++)2)(5(13103132C x x x d x x +-++=-++=⎰|2|ln |5|ln 2)2152(. 其中: )2)(5(5225)2)(5(13-+++-=-++=-++x x BBx A Ax x B x A x x x , 有 3=+B A , 152=+-B A ,得1,2==B A .(3) x d xx x x x x x x x d x x x x ⎰⎰--++-+-=--+3242534588 x d x x x x x x d x x x x x x x ⎰⎰--+-++=-+-+++=]13148[])1)(1(8[222C x x x x x +--+-++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123. 其中: )1)(1()()()1(11)1)(1(82222-+++-+-=-+++=-+-+x x x x x C x x B x A x C x B x A x x x x x ,有 1=++C B A ,1=+-C B ,8-=-A ,得3,4,8-=-==C B A .(4)x d x x x x x d x x x x d x ⎰⎰⎰+++-+-=+-+=+)12142()1)(1(616223 ⎰⎰⎰⎰⎰+++--++-+--=+++-+--=12)23()21()21(343)21(]43)21[(1243)21(3)21(222222x dx x x d x x d x dx x d x xC x x x +++-⋅++--=|1|ln 22321arctan 2313]43)21ln[(2C x x x x +++-++--=|1|ln 2312arctan 32)1ln(2.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(62222-++-++++=+++-+=+-+x x x x x C B x B A Ax x C x x B Ax x x x , 有 0=+C A ,0=-+C B A ,6=+C B ,得2,4,2==-=C B A .5)x d x x x x d x x x ⎰⎰+++-=++-)111()1)(1(122C x x x dx x x d ++++-=++++-=⎰⎰|1|ln )1ln(2111)1(21222.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(12222-++++++=++++=++-x x x x C B x B A Ax x C x B Ax x x x , 有 0=+C A ,1-=+B A ,1=+C B ,得1,0,1==-=C B A .(6)x d x x x x d x x x ⎰⎰-⋅++⋅++-=-++]11211121)1(1[)1()1(1222 C x x C x x x +-++=+-++++=|1|ln 2111|1|ln 21|1|ln 21112 其中: 11)1()1()1(1222-++++=-++x Cx B x A x x x)1()1()12()1()1(222-++++-+-=x x x x C x B x A ,有 1=+C B ,02=+C A ,1=+--C B A ,得21,21,1==-=C B A . (7)x d x x x x x x dx ⎰⎰+++-+=+++)312211()3)(2)(1(2C x x x ++++-+=|3|ln |2|ln 2|1|ln .其中: 321)3)(2)(1(2+++++=+++x Cx B x A x x x)3)(2)(1()23()34()65(222+++++++++++=x x x x x C x x B x x A ,有 0=++C B A ,0345=++C B A ,2236=++C B A , 得1,2,1=-==C B A .(8)⎰⎰+---+++=+dx x x x x x x x dx )122122(421224⎰+----++++=dx x x x x x x )122)22(122)22((8222 ⎰⎰+-+--++++=12)12(8212)12(822222x x x x d x x x x d dx x x ]21)21(121)21(1[4122+-++++⎰ )12ln(82)12ln(8222+--++=x x x x C x x +-⋅++⋅+2121arctan 211412121arctan21141C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(421212ln 8222. 其中: 121211224+-+++++=+x x DCx x x B Ax x )12)(12(222222223223+-+++++++++-++-=x x x x DDx Dx Cx Cx Cx B Bx Bx Ax Ax Ax ,有 0=+C A , 022=+++-D C B A ,022=++-D C B A ,1=+D B , 得21,42,21,42=-===D C B A .。

(整理)4不定积分习题与答案.

学习资料收集于网络，仅供参考1 1)1、求下列不定积分 1) dx 3) (x _2)2dx 5) 7)第四章不定积分xx23-52 ,dx3x (2ex 3)dx x2、求下列不定积分（第一换元法） 1)(3 _2x)3dx 3 5 7)xcos(x 2)dx9)sin x cos xdx11)2x2-113) sin 2xcos3xdx15)—X102arccosx17)—x3、求下列不定积分（第二换元法）dxx d x 2(A)2)4)6)8)dx2「 X2dx1 xcos2xJ 2 i2dx cos xsin x2)dx32 -3x4)dxx In xln(In x)6)8)dx x . x e e10) . ------------ 2dx 丁9 —4x 2 12)cos 3 xdx14) tan 3 xsecxdx16)3cos 2x 4sin218)册喻'dx *x(1+x)■2) sin - xdx-dx x学习资料收集于网络，仅供参考2x4)------------- dx, (a 0)、a - x4、求下列不定积分(分部积分法) 1) xSnxdx 2) arcs in xdx3)x 2 In xdx 4)_2x .x , e sin dx25) x 2 arcta nxdx 6) x 2cosxdx7)In 2xdx8)2 2xx cos dx25、求下列不定积分(有理函数积分)3,dx3)x(x 2 1)(B)1、一曲线通过点(e 2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,线的方程。

132、已知一个函数F (x)的导函数为 ----------- ，且当X = 1时函数值为，试求此函数。

U1—X 223、证明：若f (x)dx 二 F (x) • c ，贝U1f (ax b)dx F (ax b) c,(a = 0)。

asin x4、设f (x)的一个原函数为，求xf (x)dx 。

(整理)计算下列不定积分

习题3-11．计算下列不定积分.(1)5x dx ⎰; (2) 2x dx ⎰; (3) 1x e dx +⎰; (4)()cos sin x x dx -⎰;(5)221dx x +⎰; (6); (7) (xedx +⎰;(8)2211sin cos dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (9) 21x +; (10) 23324x xxdx +⎰. 2.已知曲线()y f x =过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为231k x =+,求该曲线方程. 3.已知某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且通过点(e,2),试求此曲线方程.习题3-21. 计算下列不定积分.(1)()921x dx -⎰; (2) ; (3); (4)21xdx x +⎰; (5)2ln xdx x ⎰; (6)θ; (7)2x xe dx -⎰; (8)x x dx e e -+⎰.2.求下列不定积分.(1)2; (2) ;(3)(4)2e⎰;3. 求下列不定积分. (1) 6x xe dx -⎰; (2)()ln ln x dx x ⎰; (3) arctan xdx ⎰;(4)2ln xdx ⎰; (5) 3sec xdx ⎰; (6) 2sin x e xdx ⎰; 4.求下列不定积分.(1); (2) ()()21f x dx f x '+⎰;(3); (4) ⎰.5.一物体由静止开始作直线运动,在 t 秒时的速度为32/t m 秒,问:(1) 3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 需要多长时间走完1000米？6．在平面上有一运动着的质点，如果它在 x 轴方向和y 轴方向的分速度分别为5sin x u t =和2cos y u t =,且0|5t x ==,0|0t y ==,求:(1) 时间为t 时,质点所在的位置; (2) 运动的轨迹方程.习题3-31．利用定积分的定义证明badx b a =-⎰.2.用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1)()1021x dx +⎰;(2) 0⎰; (3)sin xdx ππ-⎰.3.不计算积分,比较下列各组内定积分的大小. (1)1xdx ⎰,12x dx ⎰; (2)1xe dx ⎰,21x edx ⎰.4.利用定积分的性质估计下列积分值的范围. (1) ()314x x dx -⎰; (2)22xxe dx -⎰.习题3-41. 求下列函数的导数. (1) ()0F x =⎰: (2) ()sin cot xxF x xdx -=⎰.2. 求下列函数的极限.(1) 11sin lim1cos xx tdtxππ→+⎰;(2) 02limx x →⎰.3. 计算下列定积分. (1)21x xe dx ⎰; (2)cos 44x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (3)1ln 2ex dx x⎰; (4) 120100dxx +⎰; (5)420tan cos xdx xπ⎰;(6)41dx ⎰. 4.设()21x f x x +≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 当x 1时,1 当x>1时,2求()20f x dx ⎰.5. 一汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度1.8a =-2/米秒刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过多少距离?1. 计算下列定积分.(1)1-⎰;(2) 1⎰; (3)⎰;(4)1;(5)94⎰; (6) ()12121dxx -+⎰;(7)(222x --⎰.2.计算下列定积分. (1) 2130x x e dx ⎰; (2)31ln xdx ⎰; (3)20cos x e xdx π⎰.(4)()1sin ln ex dx ⎰.3. 设()f x 在[],a b 上连续,证明()()bbaaf a b x dx f x dx +-=⎰⎰.4.设函数()f x 以T 为周期,试证明()()0a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰ (a 为常数).5.试证明()()()baxf x dx bf b f b '''=--⎡⎤⎣⎦⎰()()af a f a '-⎡⎤⎣⎦.1．求下列平面图形的面积。

(整理)不定积分练习题47137.

不定积分练习题1基础题一．填空题 1.不定积分：⎰=_____xxdx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______ 3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________ 5.不定积分：dx xe x )32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x=时函数值为π23，则此函数为_______________8.=+⎰x d )x 1 x ( ________9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ .二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（）c x3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为（）(A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ-4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F(2 x)+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F(2 x )+ C5.设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

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