经济数学(不定积分习题及答案)

第五章 不定积分

习题 5－1

1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221

sin , cos 2, cos 2x x x

-- 都是同一函

数的原函数.

解 221

(sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x

=-=-=因为

221

sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数.

2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x

e e e e e e ---+-+都是

的原函数.

解 2

2

22[()]'

[()]'=2()

x x x x x

x

e e e e

e e -

--+=-+因为

2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数

3.已知一个函数的导数是2

11

x -，并且当x = 1时, 该函数值是3

2π，求这个函数.

解 设所求函数为f (x ), 则由题意知

'()f x =

'(arcsin )x 因为

'()()d arcsin f x f x x x C

===+⎰所以

又当x = 1时，

3

(1)2f π

=，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+.

3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程.

解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''

()2y f x x == 因为

2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C

=

==+⎰

⎰

又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1

故所求曲线方程为 2

1y x =+.

5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程.

解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x =

因为

'

(sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C

==+⎰

又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

()sin 1f x x =+ 与 ()sin 1f x x =-.

6. 已知 f (x ) = k tan2x 的一个原函数是2

ln cos 23x ，求常数k .

解 因为2

ln cos 23x

是f (x )的一个原函数

所以 '2214(ln cos 2)(2sin 2)tan 2()

33cos 23x x x f x x =⋅⋅-=-=

4

tan 2tan 234

.

3x k x

k -==-即 故

7. 已知 1(1)d x f x x xe C

++=+⎰

, 求函数f (x ).

解 因为由不定积分的性质, 有

'

111(1)d (1)(1)x x x f x x f x e xe x e +++⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰

所以, 令t = x+1,有

(),().t x f t te f x xe ==即

8. 设f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, F (x )是它的一个原函数, 证明: F (x )是偶函数.

证 由已知F (x )是f (x )的一个原函数, 则'()()F x f x =

又因为f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, 则

[]''()()()()F x F x f x f x -=--=--=

于是

[]'

()[()]'F x F x =- 即()()F x F x C =-+,故F (x )是偶函数.

9.设1

sin ()f x x 是的原函数, 求'()f x .

解 因为 1

sin ()f x x 是的原函数, 则

'

2211111sin cos ()cos ()

f x x x x x x ⎛

⎫=⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭

'322321111

()cos (sin )()

1111

(2cos sin ).

f x x x x x x

x x x x =⋅--⋅-=-所以

习题 5－2

1. 求下列不定积分：

2

3

242

22

(1) (21)d (2)

(2)

(3) 1)d (4) d

331

(5) d (6) d

11

x x x

x

x x

x

x x x

x x x x

+-

-

-

++

++

⎰

⎰⎰

⎰⎰

2

3

2

62

(7) (13)d (8) d

3

cos2

(9) cos d (10) d

2sin cos

1sin

(11) d (12) cot(c

sin

x x

x x

x

e x x

x x

x x

x x

x

x x

x

-

-

+

-

⎰⎰

⎰⎰

⎰

2

2

sc sin)d

1cos1

(13) (1 (14)d

cos21

x x x

x

x x

x

x

-

+

-

+

⎰

⎰⎰

解

4

23

3

(1)(21)d.

4

x x x x x C

+=+-+

⎰

31

22

1113

2222

2

3232

22

222

42

2

(2) d2.

2

(3) 1)d(11)d.

3

(2)14442

(4) d d ln.

111

(5) d d(1)d arctan.

111

331

(6)

1

x x x x C

x x x x x x C

x

x x x C

x x

x x x x

x x

x x x x x C x x x

x x

x

--

-

==-+

+-=+--=-+

-⎛⎫

=-+=+-+

⎪

⎝⎭

+-

==-=-+ +++

++

+

⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰23

2

1

d(3)d arctan.

1

x x x x x C

x

=+=++

+

⎰

(7) (13)d(3)d

x x x x

e x e e x

⎡⎤

-=-

⎣⎦

⎰⎰