DSP实验3

实验三 快速傅里叶变换 FFT
一、实验目的
1．理解DFT 算法，并能用MATLAB 实现DFT 。

2. 加深对FFT 的理解，体会DFT 和FFT 之间的关系。

3．熟悉应用FFT 实现两个序列的线性卷积的方法。

二、实验原理
N 点序列x(n) 的DFT 和IDFT 定义：
若将DFT 变换的定义写成矩阵形式，则得到
X=A ﹒x ，其中DFT 变换矩阵A 为
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=---2)1(111...1.........
......11...11N N N N N N N W W W W A 可以用函数U=fft(u,N)和u=ifft(U,N)计算N 点序列的DFT 正、反变换。

三、实验内容
（一）离散傅里叶变换（DFT ）
1.用MATLAB 求N=16的有限序列)4/sin()8/sin()(ππn n n x +=的DFT 结果，并画出结果图。

参考程序如下：
N=16;
n=0:1:N-1; %时域采样
xn=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4);
k=0:1:N-1; %频域采样
WN=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;
subplot(2,1,1)
stem(n,xn);
subplot(2,1,2)
stem(k,abs(Xk));
2.矩形序列x(n)=R
(n),求N分别取8，32时的DFT，最后绘出结果图形。

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参考程序如下：
function[Xk]=dft(xn,N)
n=[0:1:N-1]; %n的行向量
k=[0:1:N-1]; %k的行向量
WN=exp(-j*2*pi/N); %旋转因子
nk=n'*k; %产生一个含nk值的N乘N维矩阵WNnk=WN.^nk; %DFT矩阵
Xk=xn*WNnk; %DFT系数的行向量
调用上面函数解题。

N=8;x=[ones(1,5),zeros(1,N-5)];
n=0:N-1;
X=dft(x,N); %N＝8点离散傅立叶变换
magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi;
k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);
subplot(2,2,1);stem(n,x);ylabel('x(n)');
subplot(2,2,2);stem(k,magX);axis([0,10,0,5]);ylabel('|X(k)|');
N=32;x=[ones(1,5),zeros(1,N-5)];
n=0:N-1;
X=dft(x,N); %N＝32点离散傅立叶变换
magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi;
k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);
subplot(2,2,3);stem(n,x);ylabel('x(n)');
subplot(2,2,4);stem(k,magX);axis([0,32,0,5]);ylabel('|x(k)|');
（二）快速傅里叶变换（FFT）
1.已知一个8点的时域非周期离散阶跃信号，n1=0，n2=7,在n0=4前为0，n0以后为1。

用N=32点进行FFT变换，作其时域信号图及信号频谱图。

参考程序如下：
n1=0;n0=4;n2=7;N=32;
n=n1:n2;
w=[(n-n0)>=0]; %建立时间信号
subplot(2,1,1);stem(n,w);
i=0:N-1; %频率采样点从0开始
y=fft(w,N); %用快速算法计算DFT
aw=abs(y); %求幅度值
subplot(2,1,2);stem(i,aw);
2.利用FFT计算线性卷积。

设x(n)=[2 3 1 4 5];h(n)=[2 1 7 4 5 7 2 3]。

计算二者的线性卷积。

参考程序如下：
x=[2 3 1 4 5];
h=[2 1 7 4 5 7 2 3];
Lenx=length(x); %求序列x的长度
Lenh=length(h); %求序列h的长度
N=Lenx+Lenh-1;
Xk=fft(x,N); %计算x序列的DFT
Hk=fft(h,N); %计算h序列的DFT
Yk=Xk.*Hk;
y=ifft(Yk) %求IDFT
stem(y);
xlabel('n');
ylabel('y(n)');
title('x(n)*h(n)');
grid
y =
4 8 19 38 43 66 81 59 64 46 22 15
四.实验分析
认真观察实验结果，记录结果，并画出结果图形，分析实验产生的现象的原因。

五.实验总结
总结实验认识、过程、效果及体会、意见建议。