2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编专题39 开放性问题(含解析)(001)

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2020年中考数学一轮专项复习——图形的对称中考真题汇编(含详细解答)

2020年中考数学一轮专项复习——图形的对称中考真题汇编一．选择题1．（2019•深圳）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2019•湘西州）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2019•兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝（）A．B．C．﹣1 D．﹣14．（2019•攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019•江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种6．（2019•乐山）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G．则CG等于（）A．B．1 C．D．7．（2019•台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（）A．：1 B．3：2 C．：1 D．：28．（2019•湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．2B．C．D．9．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）10．（2019•重庆）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8 B．4C．2+4 D．3+211．（2019•重庆）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD 翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．12．（2019•金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1 C．D．二．填空题13．（2019•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．15．（2019•潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．16．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．17．（2019•泰安）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．18．（2019•河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．19．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH 沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．20．（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．21．（2019•杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．22．（2019•淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；……依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝．23．（2019•天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD 上，若DE＝5，则GE的长为．24．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB 的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．三．解答题25．（2019•天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．26．（2019•临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．27．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．28．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．29．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．30．（2019•鞍山）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．参考答案一．选择题1．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝，∠DCB＝∠COD＝∠BOC＝90°，OD＝OC，∴BD＝AB＝2，∴OD＝BO＝OC＝1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE＝DC＝，DF⊥CE，∴OE＝﹣1，∠EDF+∠FED＝∠ECO+∠OEC＝90°，∴∠ODM＝∠ECO，在△OEC与△OMD中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM＝OE＝﹣1，故选：D．4．解：如图，连接DF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，∴x＝6，∵CD＝BC＝BE+EC＝12，∴DG＝CG＝6，∴FG＝GC，易知△GFC不是等边三角形，显然F G≠FC，故②错误，∵GF＝GD＝GC，∴∠DFC＝90°，∴CF⊥DF，∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF，∴CF∥AG，故③正确，∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，∴FG：EG＝3：5，∴S△GFC＝×24＝，故④错误，故选：B．5．解：共有6种拼接法，如图所示．故选：D．6．解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝，∴BE＝．根据折叠性质可得BF＝2BE＝3．∴CF＝3﹣．∵AD∥CF，∴△ADG∽△FCG．∴．设CG＝x，则，解得x＝﹣1．故选：A．7．解：如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．由题意：四边形DCFK是正方形，∠CDM＝∠MDF＝∠FDN＝∠NDK，∴∠CDK＝∠DKF＝90°，DK＝FK，DF＝DK，∴＝＝＝（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），∴＝＝，∴图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为：1，故选：A．8．解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM＝PB，∴PM＝AB，∵PM＝＝，∴AB＝，故选：D．9．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．10．解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．11．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．12．解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形E FGH 的面积＝×正方形ABCD 的面积＝，∴正方形EFGH 的边长GF ＝＝∴HF ＝GF ＝∴MF ＝PH ＝＝a∴＝a ÷＝故选：A ．二．填空题（共12小题）13．解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值，∵MC ＝＝∴A ′C 的最小值＝MC ﹣MA '＝﹣1故答案为：﹣114．解：∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴AB ＝CD ＝1，∠ABD ＝30°，∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，∴A ′B ′＝AB ＝1，A ′B ′∥AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB＝×180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE＝＝，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x﹣∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x﹣）2，解得，x＝（负值舍去），x2＝，故答案为：．16．解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x＝﹣2．则FC＝4﹣x＝6﹣．故答案为6﹣．17．解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．18．解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝﹣（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．19．解：如图，连接PB，交CH于E，由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又∵H为AB的中点，∴AH＝BH，∴AH＝PH＝BH，∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，∴tan∠HAP＝，故答案为：．20．解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b 故答案为：a+8b．方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案为a+8b．21．解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴D x，∵•x•x＝1，∴x＝2（负根已经舍弃），∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）＝10+6．故答案为10+622．解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．∴tanαn＝＝．故答案为：．23．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，S＝AB•AF＝BF•AH，△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，∴AG＝2AH＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13﹣＝，故答案为：．24．解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．三．解答题（共6小题）25．解：（1）如图①，直线m即为所求（2）如图②，直线n即为所求26．解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC＝×90°＝45°，∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，∴CH是∠DCN的平分线；③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．27．（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝，∴CE＝，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．28．解：（1）如图所示：（2）依题意有＝，解得m1＝，m2＝（负值舍去），经检验，m1＝是原方程的解．故m的值是；（3）∵≠，∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．29．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠E CB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．30．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，∵C（3，2），C2（﹣2，﹣3），△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，∴直线l垂直平分直线CC2，∴直线l的函数解析式为y＝﹣x．。

人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析

中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。

考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。

2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编专题10 平面直角坐标系与点的坐标(含解析)(002)

平面直角坐标系与点的坐标一.选择题1. （2019·贵州安顺·3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵m2+1＞0，∴点P（﹣3，m2+1）在第二象限，∴点P（﹣3，m2+1）关于原点对称点在第四象限，故选：D．2.（2019•海南省•3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（3，0）【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．【解答】解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．3．(2019•浙江丽水•3分)如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是()A．在南偏东75°方向处B．在5km处C．在南偏东15°方向5km处D．在南偏东75°方向5km处【考点】用方向角+距离表示地理位置．【分析】根据方向角的定义即可得到结论．【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处故选D．【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．4.．（2019湖南常德3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，﹣1）【分析】坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．5．（2019•山东青岛•3分）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【解答】解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．二.填空题1.（2019•四川省广安市•3分）点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则x的取值范围是x＞1．【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数列出不等式求解即可．【解答】解：∵点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，∴x﹣1＞0解得x＞1，即x的取值范围是x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2. （2019•甘肃庆阳•4分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点（﹣1，1）．【分析】直接利用“帅”位于点（0，﹣2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．3. （2019•黑龙江省绥化市•33x的取值范围是．答案：x≠4考点：分式的意义。

2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编(含详细解答)

2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编一．选择题1．（2019•济南）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．（2019•湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°3．（2019•大连）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．菱形D．平行四边形4．（2019•内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6 5．（2019•河北）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对6．（2019•毕节市）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方7．（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）8．（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是（）A．（，﹣1）B．（1，﹣）C．（2，0）D．（，0）9．（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）10．（2019•贵港）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n 的值是（）A．1 B．3 C．5 D．7 11．（2019•宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+） D．（﹣3，）12．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）13．（2019•呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（）A．（﹣2，），（2，﹣）B．（﹣，2），（，﹣2）C．（﹣，2），（2，﹣）D．（，）（）14．（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（，1）B．（，﹣1）C．（2，1）D．（0，2）15．（2019•青岛）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）16．（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）17．（2019•聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF＝BC D．S四边形AEOF＝S△ABC 18．（2019•天津）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC二．填空题19．（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D 旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．20．（2019•包头）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．21．（2019•梧州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP 的长是．22．（2019•河池）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．23．（2019•贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE 交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．24．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．25．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG 内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．26．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．27．（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为．28．（2019•哈尔滨）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为．29．（2019•海南）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB ＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝．30．（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．三．解答题31．（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．32．（2019•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B （﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）33．在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′．（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．34．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．（2）如图2，CP＝BC，求的值．（3）在（2）的条件下，若MD＝，求线段AB的长．35．（2019•日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．36．（2019•遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADE的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）37．（2019•辽阳）如图1，△ABC（AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE于点F．（1）∠AFD与∠BCE的关系是；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．①∠AFD与∠GCD的关系是，请说明理由；②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．38．（2019•本溪）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°．故选：D．3．解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．4．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∵∠B＝60°，AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝CB﹣BD＝1.6，故选：A．5．解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．6．解：如图所示：每次旋转4个图形为一个周期，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．7．解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴点P′的坐标为（3，﹣2）．故选：D．8．解：如图，在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，∴BC＝OC＝×＝1，∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，∴点B′的坐标为（，﹣1）．故选：A．9．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10．解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，解得：m＝﹣2，n＝7，则m+n＝﹣2+7＝5．故选：C．11．解：如图，作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故选：B．12．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．13．解：如图，连接OA、OD，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，∴D（，﹣2），∵B、D关于原点对称，∴B（﹣，2），故选：B．14．解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°∴∠AOE＝∠A′，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△A′OF（AAS），∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，∴A′（，1）．故选：A．15．解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．16．解：∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（﹣2，1），∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），故选：A．17．解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，选项D正确．故选：C．18．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故D正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误故选：D．二．填空题（共12小题）19．解：过点A作AM⊥BC于M，∵BD＝DC＝2，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∵AM⊥BC，∴BM＝BC＝×6＝3，∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；故答案为：8．20．解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC＝55°，又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，∴∠ACB＝∠AED＝100°，∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，∴tan∠DEC＝tan45°＝1，故答案为：121．解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1；故答案为：﹣1．22．解：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1过点C作CD⊥x轴于点D，则易知△ACD≌△BAO（AAS）∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2∴C（3，2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得∴∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．故答案为：y＝2x﹣4．23．解：作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴点G在CB的延长线上，∵AF平分∠BAE交BC于点F，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，∴FN＝FM＝4，∵AB•GF＝FN•AG，∴GF＝＝2，∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．故答案为6﹣2．24．解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．25．（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，26．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．27．解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，∴点A的坐标为（3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，则点A′的坐标为（1，2），再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．28．解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝故答案为29．解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，∴∠BAC+α+β＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝故答案为：30．解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2）cm，故答案为：（10﹣2）cm．三．解答题（共8小题）31．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A 1C1＝4，∴NC 1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．32．解：（1）如图，△A l B1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．33．解：（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）；（2）如图，△A′B′C′为所作；（2）如图，OA＝＝，所以点A所经过的路径长＝＝π．△A2B2C2为所作；点A2的坐标为（﹣1，﹣1）．34．解：（1）∠D＝∠AMP．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°．∴∠D+∠DMA＝60°．由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP＝60°．∴∠D＝∠AMP；（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G．∴∠GCP＝∠B＝30°，∠BCG＝150°．∵∠ACB＝90°，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝BM＝AM．∴∠MCB＝∠B＝30°．∴∠MCG＝120°．∵∠MAD＝180°﹣60°＝120°．∴∠MAD＝∠MCG．∵∠DMG﹣∠AMG＝∠AMC﹣∠AMG，∴∠DMA＝∠GMC．在△MDA与△MGC中，∴△MDA≌△MGC（ASA）．∴AD＝CG．∵CP＝BC．∴CP＝BP．∵CG∥BM，∴△CGP∽△BMP．∴＝＝．设CG＝AD＝t，则BM＝3t，AB＝6t．在Rt△ABC中，cos B＝＝．∴BC＝3t．∴＝＝；（3）如图，由（2）知△CGP∽△BMP．则MD＝MG＝．∵CG∥MA．∴∠CGH＝∠AMH．∵∠GHC＝∠MHA，∴△GHC∽△MHA．∴＝＝＝．∴HG＝MG＝×＝．∴MH＝﹣＝．由（2）知，CG＝AD＝t，则BM＝AM＝CA＝3t．∴CH＝t，AH＝t．∵∠MHA＝∠DHM，∠HMA＝∠D．∴△MHA∽△DHM．∴＝．∴MH2＝AH•DH，即（）2＝t t．解得t1＝，t2＝﹣（舍去）．∴AB＝6t＝2．35．证明：（1）∵对角线AC的中点为O∴AO＝CO，且AG＝CH∴GO＝HO∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA ∴△COF≌△AOE（ASA）∴FO＝EO，且GO＝HO∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE∵∠α＝90°，∴EF⊥AC，且AO＝CO∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，∴AE2＝（9﹣AE）2+9，∴AE＝536．解：（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝AE＝AD＝AC，∴＝＝1．（2）如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．不妨设∠ADC＝30°，则AD＝AC，AE＝AB，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∴＝＝．（3）如图3中，如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n∴＝＝．37．解：（1）如图1，AF与CD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF，∴∠ACD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠BCE，故答案为：∠AFD＝∠BCE；（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，理由：如图2，连接AD，由旋转知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD，∵∠AMC＝∠DMF，∴△ACM∽△DFM，∴∠ACD＝∠AFD，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG，∴△AOD≌△COG（SAS），∴AD＝CG，∴CG＝CD，∴∠GCD＝2∠ACD＝120°，∴∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，故答案为：∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°，∴∠GCA＝∠BCE，∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠GCB＝∠ACE，由①知，CG＝CD，CD＝CA，∴CG＝CA，∵BC＝EC＝4，∴△GCB≌△ACE（SAS），∴BC＝CE＝4，∴GB＝AE，∵CG＝CD，OG＝OD，∴CO⊥GD，∴∠COG＝∠COB＝90°在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠ACB＝2，CO＝BC•cos∠ACB＝2，在Rt△GOC中，GO＝CO•tan∠GCA＝2，∴GB＝CO+BO＝2+2，∴AE＝2+2．38．解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由：如图1中，连接OE．∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，∴∠OCA＝∠A，∵BE＝ED，BO＝OA，∴OE∥AD，OE＝AD，∴CE＝EO．∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．（2）如图2中，∵OC＝OA，DA＝DB，∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，∴∠COA＝∠ADB，∵∠MON＝∠ADB，∴∠AOC＝∠MON，∴∠COM＝∠AON，∵∠ECO＝∠OAC，∴∠MCO＝∠NAO，∵OC＝OA，∴△COM≌△AON（ASA），∴OM＝ON．②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，∴∠AON＝∠ANO＝15°，∴OA＝AN＝m，∵△OCM≌△OAN，∴CM＝AN＝m，在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，∴BD＝m，∵BE＝ED，∴CE＝BD＝m，∴EM＝CM+CE＝m+m．如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，∴∠ONH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HN＝m，∵AH＝m，∴CM＝AN＝m﹣m，∵EC＝m，∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．。

2020年中考数学一轮专项复习——全等三角形(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——全等三角形基础过关1. (2019安顺)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A. ∠A＝∠DB. AC＝DFC. AB＝EDD. BF＝EC第1题图2. 如图，△ABC中AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以直接判定()A. △ABD≌△ACDB. △ABE≌△ACEC. △BDE≌△CDED. 以上答案都不对第2题图3. (2019柳州)如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对第3题图4. 如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为()A．30°B．35°C．40°D．50°第4题图5. (2019呼和浩特)下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为________．6. (人教八上P56复习题12第9题改编)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，若AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm.则BE的长________．第6题图7. 如图，AB＝DE，AC＝DF，已知点E、C在线段上BF上，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF.第7题图8. (2019陕西)如图，点A、E、F、B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD.求证：CF＝DE.第8题图9.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.求证：△ABC≌△CDE.第9题图10.已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF. 求证：∠A＝∠C.11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADE＝∠ECD，DB＝DC.求证：△ABD≌△EDC.第11题图能力提升1. 如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为43，则AC＝________．2. (2019温州)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．第2题图满分冲关(2019安顺)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为________；(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．题图参考答案基础过关1. A 【解析】由题意可知，∵AB ∥ED ，∴∠ABC ＝∠DEF ，又∵AC ∥DF ，∴∠DFE ＝∠ACB ，B 、C 、D 选项中已知条件均可与题干中的条件构成角角边或角边角，使得△ABC ≌△DEF ，A 选项中∠A ＝∠D ，可判定△ABC ∽△DEF ，并不能判定全等．2. B3. C 【解析】△ABD ≌△CDB ，△ADO ≌△CBO ，△AOB ≌△COD ，△ABC ≌△CDA ，共4对全等三角形．4. C 【解析】∵△ACB ≌△A ′CB ′，∴∠A ′CB ′＝∠ACB ＝70°.∵∠ACB ′＝100°，∴∠BCB ′＝∠ACB ′－∠ACB ＝30°.∴∠BCA ′＝∠A ′CB ′－∠BCB ′＝40°.5. ①②6. 0.8 cm 【解析】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°，∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠ADC ∠EBC ＝∠DCA BC ＝CA，∴△CEB ≌△ADC (AAS)，∴BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5 cm.∵DC ＝CE －DE ＝2.5－1.7＝0.8 cm ，∴BE ＝0.8 cm.7. 证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ， ∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE AC ＝DF BC ＝EF， ∴△ABC ≌△DEF (SSS)．8. 证明：∵AE ＝BF ， ∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴AF ＝BE ， ∵AC ∥BD ， ∴∠CAF ＝∠DBE ，在△ACF 与△BDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ∠CAF ＝∠DBE AF ＝BE， ∴△ACF ≌△BDE (SAS)． ∴CF ＝DE .9. 证明：∵AC ∥DE ，∴∠ACD ＝∠D ，∠E ＝∠ACB ，又∵∠ACD ＝∠B ， ∴∠D ＝∠B ，在△ABC 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB ＝∠E ∠B ＝∠D AC ＝CE， ∴△ABC ≌△CDE (AAS)．10. 证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E 、F ， ∴∠AED ＝∠CFD ＝90°， ∵D 为AC 的中点， ∴AD ＝DC .在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC DE ＝DF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL)， ∴∠A ＝∠C .11. 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠EDC ，在△ABD 和△EDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2DB ＝DC ∠ABD ＝∠EDC， ∴△ABD ≌△EDC (ASA)．能力提升1. 4 【解析】如解图，将△ACD 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AEB .∵四边形内角和360°，∠BAD ＋∠BCD ＝120°，∴∠D ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABE ＋ABC ＝180°，∴E 、B 、C 三点共线，根据旋转性质可知∠EAC ＝60°，AE ＝AC ，∴△AEC 是等边三角形，S 四边形ABCD ＝S △AEC ＝34AC 2＝43，解得AC ＝4(负值已舍)．第1题解图2. (1)证明：∵CF ∥AB ， ∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F . ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FCD ∠BED ＝∠CFD BD ＝CD， ∴△BDE ≌△CDF (AAS)； (2)解：∵△BDE ≌△CDF ， ∴BE ＝CF ＝2，∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3. ∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ， ∴AC ＝AB ＝3.满分冲关解：(1)AD ＝AB ＋DC ；【解法提示】∵AB ∥CD ，∴∠EFC ＝∠EAB ，又∵AE 平分∠DAB ，∴∠DAE ＝∠EAB ，∴∠DAE ＝∠EFC ，∴DF ＝AD ，又∵DF ＝DC ＋CF ，CF ＝AB ，∴AD ＝AB ＋DC .(2)AB ＝AF ＋CF .证明：如解图，延长AE 交DF 的延长线于点G ，解图∵E 是BC 的中点， ∴CE ＝BE ， ∵AB ∥DC ， ∴∠BAE ＝∠G .在△AEB 和△GEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠G ∠AEB ＝∠GEC BE ＝CE，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ， ∵AE 是∠BAF 的平分线， ∴∠BAG ＝∠F AG ，∵∠BAG ＝∠G ，∴∠F AG ＝∠G ，∴F A ＝FG ，∵CG ＝CF ＋FG ，∴AB ＝AF ＋CF .。

2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编专题30 圆的有关性质(含解析)(002)

圆的有关性质一.选择题1.（2019湖北宜昌3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2. （2019•甘肃庆阳•3分）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB ＝90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3. （2019·贵州安顺·3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选：D．4. （2019•河北省•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．C．【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．5. （2019•贵州省铜仁市•4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；100°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，6. （2019•海南省•3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、B C．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．7．（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2【分析】连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，根据圆周角定理得到∠APB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠P AB＝∠PBA＝30°，由垂径定理得到AD＝BD＝3，解直角三角形得到PD＝，P A＝PB＝PC＝2，根据勾股定理得到CE＝＝＝2，于是得到结论．【解答】解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（2019•山东潍坊•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D 作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】连接BD，如图，先利用圆周角定理证明∠ADE＝∠DAC得到FD＝F A＝5，再根据正弦的定义计算出EF＝3，则AE＝4，DE＝8，接着证明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE＝16，所以AB＝20，然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长．【解答】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．9．(2019•湖北宜昌•3分)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( ) A．50°B．55°C．60°D．65°【考点】圆周角定理．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二.填空题1.（2019•湖北省随州市•3分）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA=50°，则∠C的度数为______．【答案】40°【解析】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故答案为40°．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2.（2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．3. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4. （2019•黑龙江省绥化市•3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．答案：53或52考点：等边三角形，三角函数。

2020年中考数学第一轮复习第四节因式分解知识点+真题(后含答案)

2020年中考数学第一轮复习第一章数与式第四节因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积【注意：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。

】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【注意：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。

】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【注意：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】三、因式分解的一般步骤1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先。

2、二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用法来分解。

3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【注意：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【中考真题考点例析】考点一：因式分解的概念A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x +2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2. （2019山东东营）因式分解：x(x-3)-x+3= ．对应练习2－1．（2019年济南）分解因式：244m m -+=_____．（）（）对应练习2－2．（2019年莱芜）分解因式：a 3﹣4ab 2= ．考点三：因式分解的应用例1. 答案：6，1对应练习1－1．答案：D考点二：因式分解例2. 答案：B对应练习2－1．答案：2(2)m -对应练习2－2．答案：a （a+2b ）（a ﹣2b ）考点三：因式分解的应用例3. 答案：4对应练习3－1．答案：18【聚焦中考真题】一、选择题：1．（2019年山东临沂）将a 3b －ab 进行因式分解，正确的是（）A ．a(a 2b －b)B ．ab(a －1)2C ．ab(a+1)(a －1)D ．ab(a 2－1)2．（2019潍坊）下列因式分解正确的是（）A ．3ax 2－6ax=3(ax 2－2ax)B ．x 2+y 2=(－x+y)(－x －y)C ．a 2+2ab －4b 2=(a+2b)2D ．－ax 2+2ax －a=－a(x －1)23.（南昌）下列因式分解正确的是（） A ．x 2-xy+x=x （x -y ） B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a -b ）2C ．x 2-2x+4=（x -1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x -3）4．（张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+95．（佛山）分解因式a 3-a 的结果是（）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）6．（恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）2二、填空题：7.（2019年威海）分解因式:2x 2－2x ＋＝ .8．（2019年淄博）分解因式：=++x x x 6523 ．A ．3x -6x=x （3x-6）B ．-a +b =（b+a ）（b-a ）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）233．（内江）若m-n=6，且m-n=2，则m+n= ．参考答案一、选择题：1-5 CDBDC 6 C二、填空题：6.答案：()221 12x-7.答案：()()32++xxx8.答案：m(x+y)(x-y)9.答案：m(m-5)10.答案：B11.答案：2)2 (-ba12.答案：x(2-x)(2+x)13. 答案：5(x+2)(x -2)14. 答案：m(m+2)(m -2)15. 答案：b(a+2b)(a -2b)17. 答案：-91(3x+1)(3x -1)16. 答案：3(a+2b)(a -2b)17. 答案：2x(x -2)18. 答案：2m(m+2)(m -2)19. 答案：2（a+2b ）(a -2b)20. 答案：22）（-x21. 答案：a(b+1)(b -1)22. 答案：(x -1)23. 答案：a(a -2)24. 答案：x(x+y)25. 答案：(a+3)(a -3)26. 答案：x -227. 答案：(x+y)(x -y)28. 答案：(x+3y)(x -3y)29. 答案：a(m+2n)(m -2n)30. 答案：))((22x y x y y x -+ 31. 答案：332. 答案：2433. 答案：x(x+1)(x -1)34. 答案：-31。

2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)

第3题图A. 20 °B.302020年中考数学一轮专项复习一一矩形、菱形、正方形课时1 矩形■基础过关1. （2019重庆模拟）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是（）A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半C.对角线平分一组对角D.对角线相等2 . （2019临沂）如图，在？ABCD 中，M, N 是BD 上两点,个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（）B. MB= MOD. / AMB = Z CNDBM = DN,连接 AM, MC , CN, NA.添加一1A. OM =2ACC. BD± AC3 .如图，将矩形纸片数为（）ABCD 沿BD 折叠，得到△ BCD, CD 与AB 交于点E.若/1 = 35°,则/ 2的度第2题图5.如图，矩形 ABCD 中，A （-2, 0）, B （2, 0）, C （2, 2）,将AB 绕点A 旋转，使点 B 落在边CD 上的点E 处，则点E 的坐标为（）B. (2击，2) D. (2^3-2, 2)4. （2019贵阳模拟）如图，在矩形ABCD （） ABCD 中，AE 平分/ BAD,交边BC 于点E,若ED=5, EC=3,则A. 11B. 14C. 22D. 28A.(a 2) C. (1 ，6.如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点 O,过点A 作BD 的垂线，垂足为E.已知/ EAD= 3/BAE,则/ EAO 的度数为（A . 22.5B. 67.5C. 45°D. 60°7 . （2020原创）如图，点O 是矩形则^ BOE 的周长为（）ABCD 对角线 AC 的中点，OE // AB 交AD 于点E.若AB=6, BC=8,A. 10B. 8 + 2^5C. 8+2^13D. 14E第4题图第5题图4第6题图10.（人教八下P55练习2题）如图，？ABCD的对角线AC、BD交于点O, △ OAB是等边三角形，AB =4.（1）求证：四边形ABCD是矩形;（2）求四边形ABCD的面积.8. （2018遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点, 点E, F,连接PB、PD.若AE=2, PF = 8.则图中阴影部分的面积为过点P作EF // BC,分别交AB, CD于A. 10 8.12 C. 16D. 189.（2019徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点，若MN = 4, 则AC的长为第7题图第8题图第9题图第10题图11 . (2019怀化)已知：如图，在？ABCD中，AEXBC, CFXAD, E, F分别为垂足.⑴求证：△ ABE^A CDF ;(2)求证：四边形AECF是矩形.第11题图12 . (2019连云港)如图，在^ ABC中，AB = AC>AABC沿着BC方向平移得到△ DEF ,其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O.(1)求证：△ OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由.第12题图1 . （2019台州）如图，有两张矩形纸片 ABCD 和EFGH, AB=EF =2 cm, BC = FG=8 cm 把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点 D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角 “最小时，tan a 等于（）2 .如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点，且 AEXBE,则线段CE 的最小值为.A.B. 2C. 187D.8_15;1 DB EC F第1题图第2题图立满分冲关1. (2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEXAC,垂足为点F,连接DF ,分析下列四个结论：① CF = 3AF;②AB=DF;③DF = ^BC；④S四边形CDEF^S MBF.其中正确白结论有( )第1题图A . 1个B,2个C,3个D,4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确.2 .如图，在矩形ABCD中，ZBAC=30°,对角线AC, BD交于点O, / BCD的平分线CE分别交AB, BD于点E, H,连接OE.(1)求/ BOE的度数；(2)若BC=1,求^ BCH的面积；(3)求S A CHO :S^BHE的值.H E第2题图课时2菱形（建议时间：40分钟）名■基础过关1. （2019玉林）菱形不具备的性质是（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. （2019 河北）如图，菱形ABCD 中，/ D= 150°,则/ 1 =（）A.30 °B. 25 °C. 20 °D. 15 °DB第2题图3. （2019襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C, D两点，连接AC, BC, AD, BD,则四边形ADBC一定是（）A.正方形B.矩形第3题图4. （2019呼和浩特）已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为（）A.2 2B. 2 . 5C. 4 2D. 2 . 105. （2019宁夏）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.AC± BDB.AB = ADC.AC= BDD./ ABD = Z CBD,4第5题图6 . （2019赤峰）如图，菱形ABCD的周长为20,对角线AC、BD相交于点O, E是CD的中点，则OE 的长是（）A. 2.5B. 3第6题图7. （2019天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A, B两点的坐标分别是（2, 0）, （0, 1）,点C, D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（y6D第7题图A. 5B.4 3C.4 5D. 208 . （2019永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,且点。

2020年九年级中考数学一轮复习平面直角坐标系练习(含答案)

2020年中考数学一轮复习平面直角坐标系一、单选题1．初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）2．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平面直角坐标系的第四象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）4．如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( )A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2)5．若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜0 B．0＜a＜2C．a＞2 D．a＜06．在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，3），B（2，1），将线段AB平移后，A点的坐标变为（﹣3，2），则点B的坐标变为（）A．（﹣1，2）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（1，2）7．小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是()A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．(10，10)8．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）9.在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（））C．（）D．（﹣1，1）A．（1，1）B．（010．直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（）A．（3，﹣1）B．（1，﹣3）C．（﹣2，﹣1）D．（+1，+1）二、填空题11．某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m - i,n - j]，并称a+b为该生的位置数.若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m•n的最大值为_____________.12．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.13．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P ，Q 的“实际距离”.如图，若()P 1,1-，()Q 2,3，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS SQ 5+=或PT TQ 5.+=环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具.设A ，B 两个小区的坐标分别为()A 3,1，()B 5,3-，若点()M 6,m 表示单车停放点，且满足M 到A ，B 的“实际距离”相等，则m =______．14．正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C 、…按如图所示的方式放置.点1A 、2A 、3A 、…和点1C 、2C 、3C 、…分别在直线1y x =+和x 轴上，则点n B 的坐标是__________．（n 为正整数）三、解答题15．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）（1）A3的坐标为______，A n的坐标（用n的代数式表示）为______．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？16．已知△ABC中，点A(-1，2)，B(-3,-2)，((3，-3)，试解決下列问题:(1)在直角坐标系中画出△ABC．(2)求△ABC的面积17．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC沿AA′的方向平移，使得点A移至图中的点A′的位置．（1）在直角坐标系中，画出平移后所得△A′B′C′（其中B′、C′分别是B、C的对应点）．（2）(1)中所得的点B′，C′的坐标分别是，．（3）求出△ABC的面积．18．在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动．（1）a= ，b= ，点B的坐标为；（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．19．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.（1）a=___，b=___，△BCD的面积为______；（2）如图2，若AC⊥BC，点P线段OC上一点，连接BP，延长BP交AC于点Q，当∠CPQ=∠CQP时，求证:BP平分∠ABC；（3）如图3，若AC⊥BC，点E是点A与点B之间一动点，连接CE,CB始终平分∠ECF,当点E在点A与点B之间运动时，BECBCO∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.答案1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D10．A11．3612．（-2，-2）13．0．14．1(21,2)n n --15．解：（1）∵A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3， ∴A 3（5+3，2），A n （()132333n -++++n L 个，2），即A 3（8，2），A n （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．16.解：（1）△ABC 如图所示：（2）△ABC的面积是13.17.（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；(2)点B′的坐标是;(5,3),点C′的坐标是：(8,4)；故答案为(5,3),(8,4)；(3)△ABC的面积为：6−12×1×2−12×1×2−12×3=52.18.(1)∵a、b60.b-=∴a−4=0，b−6=0，解得a=4，b=6，∴点B的坐标是(4,6)，故答案是：4,6,(4,6)；(2)∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O−C−B−A−O的线路移动，∴2×4=8，∵OA=4，OC=6，∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8−6=2，即当点P移动4秒时,此时点P在线段CB上,离点C的距离是2个单位长度,点P的坐标是(2,6)；(3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：5÷2=2.5秒，第二种情况，当点P在BA上时,点P移动的时间是：(6+4+1)÷2=5.5秒，故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒.19.（1）解：如图1中，∵|a+3|+（b-a+1）2=0，∴a=-3，b=4，∵点C（0，-3），D（-4，-3），∴CD=4，且CD∥x轴，∴△BCD的面积=1212×4×3=6；故答案为-3，-4，6．（2）证明：如图2中，∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，∴∠CBQ+∠CQP=90°，又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，∴∠ABQ=∠CBQ，∴BQ平分∠CBA．（3）解：如图3中，结论：BECBCO∠∠=定值=2．理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°，∵CB平分∠ECF，∴∠ECB=∠BCF，∴∠ACD+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠ACD=∠ACE，∴∠DCE=2∠ACD，∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACD=∠BCO，∵C（0，-3），D（-4，-3），∴CD∥AB，∠BEC=∠DCE=2∠ACD，∴∠BEC=2∠BCO，∴BEC BCO∠∠=2。

2020年中考数学第一轮复习第十九讲解直角三角形知识点+真题

2020年中考数学第一轮复习教案第三章图形的认识与三角形第十九讲解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数注意：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< ，cosA< ，tanA>注意：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A（）⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA·tanB=三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt∠ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB注意：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角俯角 ⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。

⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA 表示 OB 表示 OC 表示OD 表示（也可称东南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案注意：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决【中考真题考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （2019年威海）如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点。

2020年中考数学一轮专项复习03 代数式、整式、因式分解(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——代数式、整式、因式分解基础过关1. (2019怀化)单项式－5ab 的系数是( ) A. 5B. －5C. 2D. －22. (2019海南)当m ＝－1时，代数式2m ＋3的值是( ) A. －1B. 0C. 1D. 23. 元旦，是公历新一年的第一天．“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春”．中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”．为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x 元(x ＞200)，则购买该商品实际付款的金额(单位：元)是( )A. 80%x －20B. 80%(x －20)C. 20%x －20D. 20%(x －20) 4. (2019贵州三州联考)如果3ab 2m －1与9ab m＋1是同类项，那么m 等于( )A. 2B. 1C. －1D. 05. (2019安徽)计算a 3·(－a )的结果是( ) A. a 2B ．－a 2C. a 4D ．－a 46. (2019连云港)计算下列代数式，结果为x 5的是( ) A. x 2＋x 3 B. x ·x 5 C. x 6－xD. 2x 5－x 57. (2019天水)已知a ＋b ＝12，则代数式2a ＋2b －3的值是( )A. 2B. －2C. －4D. －3128. (2019福建)下列运算正确的是( ) A. a ·a 3＝a 3B. (2a)3＝6a3C. a6÷a3＝a2D. (a2)3－(－a3)2＝09. 把多项式xy2－4x分解因式，结果正确的是()A. x(y＋2)(y－2)B. x(y2－4)C. 4x(y－x)D. 4y(x－4)10. (2019泰州)若2a－3b＝－1，则代数式4a2－6ab＋3b的值为()A. －1B. 1C. 2D. 311. (2019贵阳)选择计算(－4xy2＋3x2y)(4xy2＋3x2y)的最佳方法是()A. 运用多项式乘多项式法则B. 运用平方差公式C. 运用单项式乘多项式法则D. 运用完全平方公式12. (2019云南)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，…，第n个单项式是()A. (－1)n－1x2n－1B. (－1)n x2n－1C. (－1)n－1x2n＋1D. (－1)n x2n＋113. (2019绵阳模拟)如图①，把一个长为m、宽为n的长方形(m＞n)沿虚线剪开，拼接成图②，成为一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为()A. m－n2 B. m－n C.m2 D.n2第13题图14. (2019重庆A卷)按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是()第14题图A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝115. (2019潍坊)若2x＝3，2y＝5，则2x＋y＝________．16. (2019赤峰)分解因式x3－2x2y＋xy2＝________．17. (2019南京)分解因式(a－b)2＋4ab的结果是________．18. 若已知|a＋2|＋b－3＋(c－4)2＝0，则式子a＋2b＋3c的值为________．19. (人教八上P112习题14.2第7题改编)已知a＋b＝5，ab＝3，则a2＋b2＝________，(a－b)2＝________．20. (2019天水)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有________个．第20题图21. (2018安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________．22. (人教七上P70第10题改编)如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)有n(n为整数，且n＞1)个点，第n个图形总的点数为S n，则S2020＝________．第22题图23. (2019重庆A 卷)计算：(x ＋y )2－y (2x ＋y )．24. (2019兰州)化简：a (1－2a )＋2(a ＋1)(a －1)．25. (2019长春)先化简，再求值：(2a ＋1)2－4a (a －1)，其中a ＝18.26. (2018河北)嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x 2＋6x ＋8)－(6x ＋5x 2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？满分冲关1. 多项式3x 2y －6y 在实数范围内分解因式正确的是( ) A ．3y (x ＋2)(x －2) B ．3y (x 2－2) C ．y (3x 2－6)D ．－3y (x ＋2)(x －2)2. (2019滨洲)若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则(m ＋n )3的平方根为( ) A. 4B. 8C ．±4D ．±83. (2019贺州)计算11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋…＋137×39的结果是( )A. 1937B. 1939C. 3739D. 38394. (2019枣庄)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是( )第4题图5. (2019菏泽)已知x ＝6＋2，那么x 2－22x 的值是________．6. 在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是________．参考答案基础过关1. B 【解析】单项式－5ab 的数字因数是－5，∴它的系数是－5.2. C 【解析】当m ＝－1时，原式＝－2＋3＝1.3. A 【解析】由题意可得，若某商品的原价为x 元(x ＞200)，则购买该商品实际付款的金额是(80%x －20)元．4. A 【解析】∵3ab 2m－1与9ab m＋1是同类项，∴2m －1＝m ＋1，解得m ＝2.5. D 【解析】根据同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可知a 3·(－a )＝－a 4.6. D 【解析】逐项分析如下：7. B 【解析】∵a ＋b ＝12，∴2a ＋2b －3＝2(a ＋b )－3＝2×12－3＝－2.8. D 【解析】逐项分析如下：B (2a)3＝23·a3＝8a3≠6a3×C a6÷a3＝a3≠a2×D (a2)3－(－a3)2＝a6－a6＝0 √9. A【解析】xy2－4x＝x(y2－4)＝x(y＋2)(y－2)．10. B【解析】∵2a－3b＝－1，∴4a2－6ab＋3b＝2a(2a－3b)＋3b＝－2a＋3b＝1.11. B【解析】(－4xy2＋3x2y)(4xy2＋3x2y)＝(3x2y－4xy2)(3x2y＋4xy2)＝(3x2y)2－(4xy2)2，即平方差公式，故选B.12. C【解析】单项式的系数符号规律为：处在奇数位置上的单项式的系数符号为正，处在偶数位置上的单项式的系数符号为负，故第n个数的符号为(－1)n－1；x的指数规律为：3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，…，∴第n个单项式的x的指数为2n＋1, ∴第n个单项式为(－1)n－1x2n＋1.13. A【解析】设去掉的小正方形的边长为x，则有(n＋x)2＝mn＋x2，解得x＝m－n 2.14. D【解析】选项逐项分析正误A ∵m＝1，n＝1，∴m＝n，∴y＝2×1＋1＝3≠1，不合题意×B ∵m＝1，n＝0，∴m＞n，∴y＝2×0－1＝－1≠1，不合题意×C ∵m＝1，n＝2，∴m＜n，∴y＝2×1＋1＝3≠1，不合题意×D ∵m＝2，n＝1，∴m＞n，∴y＝2×1－1＝1，符合题意√15. 15【解析】2x＋y＝2x·2y＝3×5＝15.16. x(x－y)2【解析】原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2.17. (a＋b)218. 1619. 19，1320. 6058【解析】观察图形发现，第1个图形有4个，第2个图形有4＋3×1＝7个，第3个图形有4＋3×2＝10个，第4个图形有4＋3×3＝13个，…，∴第n个图形有4＋3(n－1)＝3n＋1个.∴第2019个图形中共有6058个.21. －1或7【解析】∵x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，∴m－3＝±4，解得m＝－1或7.22. 6057【解析】∵S2＝3×1＝3，S3＝3×2＝6，S43×3＝9，…，S n＝3(n－1)，当n＝2020时，S2020＝3(n －1)＝3×2019＝6057.23. 解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy －y 2 ＝x 2.24. 解：原式＝a －2a 2＋2(a 2－1) ＝a －2a 2＋2a 2－2 ＝a －2.25. 解：原式＝4a 2＋4a ＋1－4a 2＋4a ＝8a ＋1，当a ＝18时，原式＝8×18＋1＝2.26. 解：(1)原式＝3x 2＋6x ＋8－6x －5x 2－2 ＝3x 2－5x 2＋6x －6x ＋8－2 ＝－2x 2＋6； (2)设系数为a ，则原式＝ax 2＋6x ＋8－6x －5x 2－2＝(a －5)x 2＋6， ∵结果是常数， ∴x 2的系数为0， ∴a ＝5. ∴原题中是5.满分冲关1. A 【解析】3x 2y －6y ＝3y (x 2－2)＝3y (x ＋2)(x －2)．2. D 【解析】∵8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，∴8x m y 与6x 3y n 是同类项，∴m ＝3，n ＝1，∴(m ＋n )3＝(3＋1)3＝64，∴(m ＋n )3的平方根为±64＝±8.3. B 【解析】11×3＋13×5＋15×7＋…＋137×39＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋137－139)＝12(1－139)＝1939.4. D 【解析】观察图形可知，图中每一行、每一列、每一条对角线上的点数之和都是10，∴第1列中空白处的点数是10－2－5－2＝1，第3行第2列空白处的点数是10－1－3－3＝3，第4行中空白处的点数是10－2－1－4＝3.5. 4 【解析】x 2－22x ＝x (x －22)＝(6＋2)(6＋2－22)＝(6＋2)(6－2)＝6－2＝4.6. 90° 【解析】∵在△ABC 中，|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，∴sin A ＝12，cos B ＝12，∴∠A ＝30°，∠B＝60°，∴∠C ＝180°－30°－60°＝90°.。

2020年中考数学1轮复习试题分类汇编(word版,含答案)：矩形

矩形综合复习一选择题：1.下列命题是假命题的是( )A.矩形的对角线相等B.矩形的对边相等C.矩形的对角线互相平分D.矩形的对角线互相垂直2.下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有( )A.1个 B．2个 C.3个D．4个3.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°4.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A.3B.4C.5D.75.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.86.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )A.30°B.60°C.90° D．120°7.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10 cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm，则CD=( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm8.如图，在Rt△ABC中,∠A=90°,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( )A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少9.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′.若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是( )A.B．8－2 C. D．610.如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB=5，BC=12，点A表示的数是-1，则对角线AC、BD的交点表示的数是( )A.5.5B.5C.6D.6.511.如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=3，BC=8，则△EFM的周长是（）A.21B.15C.13D.1112.如图,已知矩形ABCD中,R、P分别是DC、BC上的点,E、F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点A出发，沿路线A→B→C做匀速运动，那么△CDP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.14.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S215.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD 的面积是（）A.12B.24C.12D.1616.如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.417.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A.4B.4.8C.5.2D.618.如图4，正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC，则下列结论：（1）∠E=22.50.(2)∠AFC=112.50.(3)∠ACE=1350.（4）AC=CE. (5) AD∶CE=1:.其中正确的有（）A.5个B.4个C.3个D.2个19.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合）,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是（）A.4≥x＞2.4B.4≥x≥2.4C.4＞x＞2.4D.4＞x≥2.420.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，顺次连结各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为（）A.14B.10C.5D.2.5二填空题:21.如图,矩形A BCD中,点E在线段AD延长线上,AD=DE,连接BE与DC相交于点F,连接AF,请从图中找出一个等腰三角形.22.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，且∠BOC=120°，则AC 的长为____________;23.如图矩形ABCD中,AB=8㎝,CB=4㎝,E是DC的中点,BF=BC，则四边形DBFE的面积为______________｡24.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点.如果DR=3，AD=4，则EF的长为________.25.如图,O为矩形ABCD的中心,将直角三角板的直角顶点与O点重合,转动三角板使两直角边始终与BC、AB 相交，交点分别为M、N．如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y，则y与x的函数关系式是．26.如图，矩形ABCD 的边长AB=8，AD=4，若将△DCB沿BD所在直线翻折，点C落在点F处，DF与AB交于点E. 则cos∠ADE= ．27.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC，若AC=4cm,则四边形CODE的周长为28.如图，将矩形纸片ABC（D）折叠,使点（D）与点B重合,点C落在点处,折痕为EF，若，那么的度数为度.29.如图,矩形ABCD中,AD=4,∠CAB=30o，点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ+QP的最小值是30.小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图②)；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处，折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．三简答题:31.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF=DC.32.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．33.长为1，宽为a的矩形纸片（＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．（I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为；（Ⅱ）当n=3时，a的值为．（用含a的式子表示）34.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证：OE=OF；(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．35.如图，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为（10，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交线段OA于点E．（1）矩形OABC的周长是；（2）连结OD，当OD=DE时，求的值；（3）若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否会随着E点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.36.如图，长方形ABCD，AB=9，AD=4.E为CD边上一点，CE=6.（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t 秒，则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？37.长方形ABCD中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD折叠，折痕为EF（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AD上，则A′在BC 上的运动距离是；38.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．39.如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2，（1）求证：AE=EF；（2）延长EF交矩形∠BCD的外角平分线C P于点P（图2），试求AE与EP的数量关系；40.如图,把宽为2cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，若△PFH的周长为10cm，求长方形ABCD的面积．参考答案1、D2、A3、A4、A5、C6、C7、A8、C9、C 10、A 11、D 12、C 13、A14、B 15、D 16、C 17、B 18、A. 19、D； 20、D21、△AFB或△AFE， 22、10cm； 23、10㎝2；24、2.5； 25、 26、 27、8 cm 28、125º29、 30、31、证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90°.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB(AAS)．∴DF＝AB.又∵AB＝DC，∴DF＝DC.32、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，所以MD长为5．33、【解答】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．故答案为：1﹣a；此时，分两种情况：①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1．∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的宽等于1﹣a，即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a．则1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案为：或．34、(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理：OC＝OE.∴OE＝OF.（2）由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.∴EF＝＝＝13.∴OC＝EF＝.（3）连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．理由如下：由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时，有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形．35、（1）24（2）∵OC=2 OA=10 ∴D(2-4，2)，E(2，0) ∵OD=DE ∴OE=2CD 2=2(2-4) ∴=4（3）设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积.由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED=∠NED∵DM∥NE ∴∠MDE=∠NED∴∠MED=∠MDE ∴MD=ME ∴平行四边形DNEM为菱形过点D作DH⊥OA，垂足为H，∴DH=2设菱形DNEM 的边长为,∴HN=HE-NE=OE-OH-NE=4-，在RT△DHN中，解得∴菱形DNEM的面积=NE·DH=5∴矩形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积不会随着点E位置的变化而变化，面积始终为5.36、（1）在长方形ABCD中，∠D＝90°，CD＝AB＝9在Rt△ADE中，DE＝9－6＝3，AD＝4，∴AE＝5（2）若△PAE为等腰三角形，则有三种可能.当EP＝EA时，AP＝6，∴t＝BP＝3当AP＝AE时，则9－t＝5，∴t＝4当PE＝PA时，则(6－t)2＋42＝(9－t)2，∴t＝综上所述，符合要求的t值为3或4或.37、1）EF=10 （2）5（3）438、【解答】解：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD===4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．39、（1）∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。

2020年中考数学第一轮复习第三节整式知识点+真题(后含答案)

2020年中考数学第一轮复习第一章数与式第三节整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念：单项式：。

1、整式：多项式：。

单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2、同类项：①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。

【注意：1、单独的一个数字或字母都是式。

2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。

】二、整式的运算：1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )③整式加减的步骤是先，再。

【注意：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。

】2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。

③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。

④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。

【注意：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。

2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。

】3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。

即（am+bm ）÷m= 。

2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编专题28 解直角三角形(含解析)(003)

解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点． 2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25.过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .3. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．4.5.6.7.8.9.10.三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。

2020年中考数学一轮专项复习——规律探索(含答案)

2020年中考数学一轮专项复习——规律探索中考备考攻略规律探索型问题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.纵观宜宾近五年中考，往往以选择题、填空题形式出现，这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖.其目的是考查收集、分析数据、处理信息的能力.所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题.规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，既考查分析、解决问题能力，也考查观察、联想、归纳能力以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空题、选择题或解答题.中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（）A .5B .－14C .43D .451.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（）A. a 10＋b 19 B .a 10－b 19 C .a 10－b 17 D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数： .3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116，1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ .4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，①则2S＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.②②－①，得2S－S＝S＝22 019－1.∴S＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a＋a2＋…＋a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n、…，若前n行点数和为930，则n＝（）A.29B.30C.31D.325.将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57911131517192123252729………………根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（）A.639B.637C.635D.633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（）A B C D6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … 火柴棒根数4710131619…（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为 .8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是 .中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是 .,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为 .5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ .6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形共有个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试（1）问前4个台阶上数的和是多少？（2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.10.一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x 个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x －1）个车站发给该站的邮包（x －1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n －x ）个车站的邮包（n －x ）个.（1）根据题意，完成下表：车站序号在第x 个车站启程时邮政车厢上的邮包总个数1 n －12 （n －1）－1＋（n －2）＝2（n －2）3 2（n －2）－2＋（n －3）＝3（n －3）4 3（n －3）－3＋（n －4）＝4（n －4）5 … … n 0（2）根据上表写出列车在第x 个车站启程时，邮政车厢上共有的邮包个数y （用x 、n 表示）；（3）当n ＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？参考答案中考重难点突破数与式变化规律【典例1】（2019·达州中考）a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数11－（－1）＝12.已知a 1＝5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2 019的值是（ D ）A .5B .－14C .43D .45【解析】∵a 1＝5，a 2＝11－a 1＝11－5＝－14，a 3＝11－a 2＝11－⎝⎛⎭⎫－14＝45，a 4＝11－a 3＝11－45＝5，…，∴数列以5、－14、45三个数依次不断循环.∵2 019÷3＝673，∴a 2 019＝a 3＝45.1.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2－b 3，a 3＋b 5，a 4－b 7，…，其中第10个式子是（ B ）A .a 10＋b 19B .a 10－b 19C .a 10－b 17D .a 10－b 212.有一组数：12，35，510，717，926，…，请观察它们的构成形式，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数：2n －1n 2＋1Ｗ. 3.已知：1＋112＋122＝112，1＋122＋132＝116， 1＋132＋142＝1112，…，根据此规律1＋192＋1102＝ 1190 Ｗ. 4.（2019·自贡中考）阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018的值，采用以下方法：设S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018，① 则2S ＝2＋22＋…＋22 018＋22 019.② ②－①，得2S －S ＝S ＝22 019－1.∴S ＝1＋2＋22＋…＋22 017＋22 018＝22 019－1. 请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1＋2＋22＋…＋29＝；（2）3＋32＋…＋310＝；（3）求1＋a ＋a 2＋…＋a n 的和（a ＞0，n 是正整数，请写出计算过程）.解：（1）210－1；（2）311－12；（3）设S ＝1＋a ＋a 2＋…＋a n ，①则aS ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1.②②－①，得（a －1）S ＝a n ＋1－1.∴S ＝a n ＋1－1a －1，即1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝an ＋1－1a －1.点阵变化规律【典例2】如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2、4、6、…、2n 、…，若前n 行点数和为930，则n ＝（ B ）A .29B .30C .31D .32【解析】设前n 行的点数和为S ，则S ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝（2n ＋2）n2＝n （n ＋1）. 若S ＝930，则n （n ＋1）＝930，即（n ＋31）（n －30）＝0，∴n 1＝－31（不合题意，舍去），n 2＝30.5.将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第25行的第20个数是（ A ） A .639 B .637 C .635 D .633循环排列规律【典例3】观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 018个图形是（ B ）A B C D【解析】根据题意可知前面4个笑脸循环出现，因为2 018÷4＝504……2，所以第2 018个图形是循环出现到第2个图形.6.如图是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案.（1）完成下表的填空：正方形个数 1 2 3 4 5 6 … n火柴棒根数4 7 10 13 16 19 … 3n ＋1（2）某同学用若干根火柴棒按如图的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第（n ＋1）个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？解：（1）见上表；（2）由3（n ＋1）＋1＝22，解得n ＝6. ∴这位同学最后摆的图案是第7个图案.图形生长变化规律【典例4】（2019·内江中考）如图，将△ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的B 1处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过BD 的中点D 1的直线折叠，使点B 落在DE 边上的B 2处，称为第二次操作，折痕D 1E 1到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕D n －1E n －1，到AC 的距离记为h n .若h 1＝1，则h n 的值为（ C ）A .1＋12n －1 B .1＋12nC .2－12n －1 D .2－12n【解析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，得出h 2＝1＋12h 1，依次得出h 3、h 4、…、h n ，再对h n 进行计算变形即可.,7.（2019·广元中考）如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y ＝33x 于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2、△A 2A 3A 4、△A 4A 546、…，其面积分别记为S 1、S 2、S 3、…，则S 100为（ D ）A .⎝⎛⎭⎫332100B .（33）100C .33×4199D .33×2395与坐标有关的规律【典例5】如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（－1，1），A 4（－1，－1），A 5（2，－1），…，则点A 2018的坐标为（505，505） .【解析】根据各个点（点A 1和第四象限内的点除外）分别位于象限的角平分线上，逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，根据规律推出点A 2 018的坐标.通过观察可得序号是4的倍数的点在第三象限，由2 018÷4＝504……2，得点A 2 018在第一象限，其横、纵坐标都为（2 018－2）÷4＋1＝505.,8.（2019·攀枝花中考）正方形A 1B 1C 1A 2、A 2B 2C 2A 3、A 3B 3C 3A 4、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点B 1、B 2、B 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上.已知点A 1（0，1），点B 1（1，0），则点C 5的坐标是（47，16）Ｗ.中考备考过关1.某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，其中x 1＝1，y 1＝1，当k ≥2时，⎩⎨⎧x k ＝x k －1＋1－5⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，y k ＝y k －1＋⎣⎡⎦⎤k －15－⎣⎡⎦⎤k －25，[a]表示非负实数a 的整数部分，如[2.6]＝2，[0.2]＝0.按此方案，第2 019棵树种植点的坐标为（ D ）A .（5，2 019）B .（6，2 020）C .（3，403）D .（4，404）2.正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3、…和点C 1、C 2、C 3、…分别在直线y ＝kx ＋b （k ＞0）和x 轴上，已知B 1（1，1），B 2（3，2），则点B n 的坐标是（2n －1，2n －1）Ｗ.,（第2题图）) ,（第3题图）)3. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1 838 个.4.（2019·广安中考）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°；再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°；再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°……按此规律进行下去，则点A 2 019的坐标为（－22 017，22 0173）Ｗ.5.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f ⎝⎛⎭⎫13＝3，f ⎝⎛⎭⎫14＝4，f ⎝⎛⎭⎫15＝5，…. 利用以上规律计算：f ⎝⎛⎭⎫12 019－f （2 019）＝ 1 Ｗ.6.用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子（3n ＋1）枚（用含n 的代数式表示）.7.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2 019个图形共有 6 058 个○.8.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试（1）问前4个台阶上数的和是多少？（2）问第5个台阶上的数x 是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和；发现试用含k （k 为正整数）的式子表现出数“1”所在的台阶数.解：尝试（1）由题意，得－5－2＋1＋9＝3，故前4个台阶上的数字的和是3；（2）由题意，得－2＋1＋9＋x ＝3，所以x ＝－5；应用由题意知台阶上的数从下到上每4个循环，因为31÷4＝7……3，所以7×3＋1－2－5＝15，即从下到上前31个台阶上数的和是15. 发现 “1”所在的台阶数为4k －1.9.观察： 11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，….解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1n ×（n ＋1）＝；（2）若n 为正整数，请你猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×（n ＋1）＝；（3）若x －1＋（xy －2）2＝0，求1xy ＋1（x ＋1）（y ＋1）＋1（x ＋2）（y ＋2）＋…＋1（x ＋2 017）（y ＋2 017）的值.解：（1）1n －1n ＋1；（2）1－1n ＋1；[原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1.]（3）∵x －1＋（xy －2）2＝0，∴x －1＝0，xy －2＝0，解得x ＝1，y ＝2.则原式＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 018×2 019＝1－12 019＝2 018 2 019.10.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，行驶时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发给后面行程中每个车站的邮包一个.例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的（x－1）个车站发给该站的邮包（x－1）个，还要装上后面行程中要停靠的（n－x）个车站的邮包（n－x）个.（1）根据题意，完成下表：（2（3）当n＝18时，列车在第几个车站启程时邮车上的邮包个数最多？解：（1）见上表；（2）y＝x（n－x）；（3）当n＝18时，y＝x（18－x）＝－x2＋18x＝－（x－9）2＋81.当x＝9时，y取最大值，所以列车在第9个车站启程时，邮政车厢上的邮包个数最多.。

2020中考数学一轮复习基础考点课件第39课阴影面积计算(共22张PPT)

7.(例 2)如图，等腰直角△A B C 以 2 cm /s 的速度沿直线 l匀速向矩形 F C D E 移动，直到点 B 与点 D 重合停止移动， A B ＝F C ＝4 cm ，E F ＝12 cm ，设 x 秒时，三角形与矩形重叠部分的面积为 y cm 2，求 y 与 x 的函数关系式.
∴阴影部分的面积为32π.
6.(重庆中考)如图，在边长为 6 的菱形 A B C D 中，∠D A B ＝ 60°，以点 D 为圆心，菱形的高 D F 为半径画弧，交 A D 于点 E ，交 C D 于点 G ，则图中阴影部分的面积是( A )
A .18 3－9π B .18－3π
C .9 3－9π 2 D .18 3－3π
这时 y＝8－2(x－6)2 2x2 （0≤x≤2）
综上所述，y＝8 （2＜x＜6） 8－2（x－6）2 （6≤x≤8）
8. 如图，R t△A B C 中，E 、D 、F 分别在 A B 、B C 、A C 上，且四边形 A E D F 是正方形，已知 C D ＝8，B D ＝12，则阴
影部分的面积＝____4_8___.
第39课阴影面积计算
一、基础练习
1. 如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若 A B ＝8 cm ，
则阴影部分的面积是____8____cm 2.
2. 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是 2 cm ，
求图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和在边长为 4 的正方形 A B C D 中，以点 B 为圆心，以 A B 为半径画弧，交对角线 B D 于点 E ，则图
11. 如图，方格纸中 4 个小正方形的边长均为 1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为____38π____.

备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_数轴及有理数在数轴上的表示-单选题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_数轴及有理数在数轴上的表示-单选题专训及答案数轴及有理数在数轴上的表示单选题专训1、(2020九台.中考模拟) 如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A . 3B . 2C . 1D . －12、(2019长春.中考真卷) 如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A . -2.B . 2.C .D .3、(2014徐州.中考真卷) 点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）A . 3B . 2C . 3或5D . 2或64、(2016南京.中考真卷) 数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）A . ﹣3+5B . ﹣3﹣5C . |﹣3+5|D . |﹣3﹣5|5、(2017无棣.中考模拟) 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，相反数是正数的为（）A . aB . bC . cD . d6、(2018房山.中考模拟) 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A .B .C .D .7、(2017滨海新.中考模拟) 有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式中正确的是（）A . a+b＜0B . a+b＞0C . a﹣b=0D . a﹣b＞08、(2017路南.中考模拟) 如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为﹣5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为BC的点N，则该数轴的原点为（）A . 点EB . 点FC . 点MD . 点N9、(2019吉林.中考模拟) 如图，若数轴上A、B两点之间的距离是5，且点B在原点左侧，则点B表示的数是（）A . 5B . -5C . 2D . -210、(2017灌南.中考模拟) 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，AB=BC，则下列关系正确的是（）A . a+c=2bB . b＞cC . c﹣a=2（a﹣b）D . a=c11、(2018金华.中考模拟) 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示-2的相反数的点是（）A . 点DB . 点C C . 点BD . 点A12、(2018青岛.中考真卷) 如图，点A所表示的数的绝对值是（）A . 3B . ﹣3C .D .13、(2017揭西.中考模拟) 如图所示，则下列选项中代表数值最小的是（）A . aB . bC . ﹣aD . ﹣b14、(2019梧州.中考模拟) 在数轴上，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，线段AB的中点表示的数为（）A . 1B . ﹣1C . 3D . ﹣315、(2020四川.中考模拟) 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A .B .C .D .16、(2019信阳.中考模拟) 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（）A .B .C .D .17、(2022黄埔.中考模拟) 如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 418、(2017乌鲁木齐.中考真卷) 如图，数轴上点A表示数a，则|a|是（）A . 2B . 1C . ﹣1D . ﹣219、(2019沙雅.中考模拟) 实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（）A .B . a-b＞0C . ab＞0D . a+b＞020、(2020遵化.中考模拟) 如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 421、(2020鼓楼.中考模拟) (2019·中山模拟) 如图，点A所表示的数的绝对值是（）A . 3B . ﹣3C .D .22、(2020贵州.中考模拟) 下列说法中错误的有（）个①绝对值相等的两数相等.②若a，b互为相反数，则=﹣1.③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数.④任意有理数都可以用数轴上的点来表示.⑤x2﹣2x ﹣33x3+25是五次四项.⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小.⑦一个数的相反数一定小于或等于这个数.⑧正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数.A . 4个B . 5个C . 6个D . 7个23、(2020开平.中考模拟) 如图，数轴上，，，，五个点表示连续的五个整数，，，，，且，则下列说法正确的有（）①点表示的数字是②③④A . 都之前B . 只有①③正确C . 只有①②③正确D . 只有③错误24、(2020邯郸.中考模拟) 边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A 点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（）A . 4B . 6C . 8D . 1025、(2016河北.中考真卷) 点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b。

2020年中考数学一轮专项复习——代数式中考真题汇编(含解析答案)

2020年中考数学一轮专项复习——代数式中考真题汇编一．选择题1．（2019•云南）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+12．（2019•贺州）计算++++…+的结果是（）A．B．C．D．3．（2019•毕节市）如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0 4．（2019•海南）当m＝﹣1时，代数式2m+3的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．（2019•常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8 6．（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．717．（2019•天水）已知a+b＝，则代数式2a+2b﹣3的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣3 8．（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a9．（2019•泰州）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3 10．（2019•台州）计算2a﹣3a，结果正确的是（）A．﹣1 B．1 C．﹣a D．a 11．（2019•重庆）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1 12．（2019•枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A．B．C．D．13．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.514．（2019•达州）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）4A ．5B ．﹣C ．D ．15．（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x 杯饮料，y 份沙拉，则他们点了几份A 餐？（）A ．10﹣xB ．10﹣yC ．10﹣x +yD ．10﹣x ﹣y16．（2019•株洲）下列各式中，与3x 2y 3是同类项的是（）A ．2x 5B ．3x 3y 2C ．﹣x 2y 3D ．﹣y 5二．填空题17．（2019•恩施州）观察下列一组数的排列规律：，，，，，，，，，，，，，，，…那么，这一组数的第2019个数是．18．（2019•青海）如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有个菱形……，第n 个图中共有个菱形．19．（2019•西藏）观察下列式子第1个式子：2×4+1＝9＝32 第2个式子：6×8+1＝49＝72 第3个式子：14×16+1＝225＝152 ……请写出第n 个式子：．20．（2019•大庆）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为．21．（2019•百色）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是．22．（2019•铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．（n为正整数）23．（2019•柳州）计算：7x﹣4x＝．24．（2019•河池）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是．25．（2019•海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2019个数的和是．26．（2019•常州）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．27．（2019•安顺）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．28．（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是．29．（2019•绵阳）单项式x﹣|a﹣1|y与2x y是同类项，则a b＝．30．（2019•岳阳）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为．三．解答题31．（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．32．（2019•贵阳）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．33．（2019•张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a＝a1+d2a＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，3a＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，4……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？34．（2019•青岛）问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．35．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示），并证明．36．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S ＝1+2+22+…+22017+22018① 则2S ＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得2S ﹣S ＝S ＝22019﹣1∴S ＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．参考答案一．选择题1．解：∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：C．2．解：原式＝＝＝．故选：B．3．解：根据题意可得：2m﹣1＝m+1，解得：m＝2，故选：A．4．解：将m＝﹣1代入2m+3＝2×（﹣1）+3＝1；故选：C．5．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．6．解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n 个数为，则n ＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B ． 7．解：∵2a +2b ﹣3＝2（a +b ）﹣3，∴将a +b ＝代入得：2×﹣3＝﹣2 故选：B ．8．解：∵2+22＝23﹣2； 2+22+23＝24﹣2； 2+22+23+24＝25﹣2； …∴2+22+23+…+2n ＝2n +1﹣2， ∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250， ∵250＝a ，∴2101＝（250）2•2＝2a 2， ∴原式＝2a 2﹣a ．故选：C ．9．解：4a 2﹣6ab +3b ，＝2a（2a﹣3b）+3b，＝﹣2a+3b，＝﹣（2a﹣3b），＝1，故选：B．10．解：2a﹣3a＝﹣a，故选：C．11．解：当m＝1，n＝1时，y＝2m+1＝2+1＝3，当m＝1，n＝0时，y＝2n﹣1＝﹣1，当m＝1，n＝2时，y＝2m+1＝3，当m＝2，n＝1时，y＝2n﹣1＝1，故选：D．12．解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．13．解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7. 5，故选：A．14．解：∵a1＝5，a＝＝＝﹣，2a＝＝＝，3a＝＝＝5，4…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故选：D．15．解：x杯饮料则在B和C餐中点了x份意大利面，y份沙拉则在C餐中点了y份意大利面，∴点A餐为10﹣x；故选：A．16．解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C．二．填空题（共14小题）17．解：一列数为：，，，，，，，，，，，，，，，，…则这列数也可变为：，，，，，，，，，，，，，，，…由上列数字可知，第一个数的分母是1+21＝3，这样的数有1个；第二个数的分母是1+22＝5，这样的数有2个；第三个数的分母是1+23＝9，这样的数有3个；…，∵1+2+3+…+63＝2016＜2019，∴这一组数的第2019个数是：，故答案为：．18．解：（1）第1个图形有菱形1个，第2个图形有菱形4＝1+3个，第3个图形有菱形7＝1+3×2个，第4个图形有菱形10＝1+3×3个，…，第n个图形有菱形1+3（n﹣1）＝（3n﹣2）个，当n＝5时，3n﹣2＝13，故答案为：13，（3n﹣2）．19．解：∵第1个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，第2个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，第3个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2，……∴第n个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．20．解：由图可得，图①中棋子的个数为：3+2＝5，图②中棋子的个数为：5+3＝8，图③中棋子的个数为：7+4＝11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，故答案为：3n+2．21．解：由题意知，这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，当n＝21时，3n﹣6＝3×21﹣6＝57，故答案为：57．22．解：第1个数为（﹣1）1•，第2个数为（﹣1）2•，第3个数为（﹣1）3•，第4个数为（﹣1）4•，…，所以这列数中的第n个数是（﹣1）n•．故答案为（﹣1）n•．23．解：7x﹣4x＝（7﹣4）x＝3x，故答案为：3x．24．解：由任意三个相邻数之和都是15可知：a+a2+a3＝15，1a+a3+a4＝15，2a+a4+a5＝15，3…a n+a n+a n+2＝15，+1可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，a＝a5＝a8＝…＝a3n+2，2a＝a6＝a9＝…＝a3n，3所以a5＝a2＝5，则4+5+a3＝15，解得a3＝6，∵2019÷3＝673，因此a2019＝a3＝6．故答案为：6．25．解：由题意可得，这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，∵2019÷6＝336…3，∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，故答案为：0，2．26．解：∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；故答案为5．27．解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，故答案为201928．解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，故答案为：625．29．解：由题意知﹣|a﹣1|＝≥0，∴a＝1，b＝1，则a b＝（1）1＝1，故答案为：1．30．解：∵x﹣3＝2，∴代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1＝（x﹣3﹣1）2＝（2﹣1）2＝1．故答案为：1．三．解答题（共6小题）31．解：（1）（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4＝14③，x2+x4≤14④，1①+②+2③+④≤70得，x1+x2+x2+x3+2（x1+x3+x4）+x2+x4≤70，∴3（x1+x2+x3+x4）≤70，∴x1+x2+x3+x4≤，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．32．解：（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；33．解：（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5；∵a3＝15，a＝a3+d＝15+5＝20，4a＝a4+d＝20+5＝25，5故答案为：5；25．（2）∵a2＝a1+da＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，3a＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，4……∴a n＝a1+（n﹣1）d故答案为：n﹣1．（3）根据题意得，等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：a n＝﹣5﹣2（n﹣1），则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，解之得：n＝2019∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．34．解：探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；故答案为a﹣1，4a﹣4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．故答案为2a﹣2，8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．35．解：（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：∵右边＝＝左边．∴等式成立，故答案为：．36．解：（1）设S＝1+2+22+ (29)则2S＝2+22+ (210)②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；故答案为：210﹣1（2）设S＝3+32+33+34+…+310 ①，则3S＝32+33+34+35+…+311 ②，②﹣①得2S＝311﹣3，所以S＝，即3+32+33+34+…+310＝；故答案为：；（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS＝a+a2+a3+a4+..+a n+a n+1②，②﹣①得：（a﹣1）S＝a n+1﹣1，a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，即1+a+a2+a3+a4+..+a n＝，。

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开放性问题一.选择题1.2.二.填空题1. （2019•湖南邵阳•3分）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD．（不添加任何字母和辅助线）【分析】根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用AS A.SAS、AAS证明两三角形全等．【解答】解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；【点评】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．2.三.解答题1. （2019•湖南邵阳•8分）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线P A，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接A D．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当AD＝AO时①求∠P的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由切线性质和直径AC可得∠P AO＝∠CDA＝90°，由PB∥AD可得∠POD ＝∠CAD，即可得：△APO～△DCA；（2）①连接OD，由AD＝OA＝OD可得△OAD是等边三角形，由此可得∠POA＝60°，∠P＝30°；②作BQ⊥AC交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求可转化为求．【解答】解：（1）证明：如图1，∵P A切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠P AO＝∠CDA＝90°∵CD⊥PB∴∠CEP＝90°∴∠CEP＝∠CDA∴PB∥AD∴∠POA＝∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD＝AO，OD＝AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°∵PB∥AD∴∠POA＝∠OAD＝60°∵∠P AO＝90°∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA＝60°，∠P AO＝90°∴∠BOC＝∠POA＝60°∵OB＝OC∴∠ACB＝60°∴∠BQC＝∠BAC＝30°∵BQ⊥AC，∴CQ＝BC∵BC＝OB＝OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ＝AB∵∠OBA＝∠OP A＝30°∴AB＝AP∴BQ＝AP∵P A⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB＝AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ＝AB∴＝＝tan∠ACB＝tan60°＝【点评】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．2. （2019•湖南岳阳•10分）如图1，△AOB的三个顶点A.O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A.B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线F1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，进而求得对称轴．设点M纵坐标为m，则能用m表示A'M、OM的长度．因为点A'恰好在以OM为直径的圆上，即∠OA'M为圆周角，等于90°，故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的值即求得A'M的长，OA'•A'M即求得△OA'M的面积．（3）求直线OB'解析式，与抛物线F2解析式联立方程组，求解即求得点C坐标，发现A'与C纵坐标相同，即A'C∥x轴，故∠OA'C＝135°．以A.O、D为顶点的三角形要与△OA'C相似，则△AOD必须有一角为135°．因为点A（﹣4，﹣4）得直线OA与x轴夹角为45°，所以点D不能在x轴或y轴的负半轴，在x轴或y轴的正半轴时，刚好有∠AOD＝135°．由于∠AOD的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△AOD ∽△OA'C或△DOA∽△OA'C．每种情况下由对应边成比例求得OD的长，即得到点D 坐标．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2解得：m＝﹣2∴A'M＝∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8（3）在坐标轴上存在点D，使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．∵B'（2，﹣1）∴直线OB'解析式为y＝﹣x解得：（即为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C 相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2.图3）①若△AOD∽△OA'C，则＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第（2）题求点旋转90°后对应点的坐标，第（3）题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨论，属于常考题型．3. （2019•湖南邵阳•10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A.B两点，过A.B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D.点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由AQ∥EF且以A.E.F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ＝EF，分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况找出AQ，EF的长，由AQ ＝EF可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝m时，﹣x2+x＝m，解得：x1＝4﹣，x2＝4+，∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．∵矩形ABCD为正方形，∴4+﹣（4﹣）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．（3）以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．∵以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，∴AQ＝EF，分三种情况考虑：①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t＝﹣t2+t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4；②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t﹣4＝﹣t2+t，解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6；③当7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，∴t﹣4＝t2﹣t，解得：t5＝5﹣（舍去），t6＝5+（舍去）．综上所述：当以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．4.（2019•江苏苏州•10分）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=25cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A B C→→的方向匀速运动（不包含点C）.设动点M的运动时间为t（s），APM∆的面积为S（cm²），S与t的函数关系如图②所示：（1）直接写出动点M的运动速度为/cm s，BC的长度为cm;（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D C B→→的方向匀速运动，设动点N的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.5【解析】（1）2/cm s ；10cm（2）①解：∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴57.515 2.5C v B v⎧⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＜在点在点∴2/6/3cm s v cm s ≤＜ ②如右图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形 ()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==∴112152S MH AP x =⋅=-+∴22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅ =2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭10515-2x2x-5H PD(N )因为152.57.54＜＜，所以当154x=时，12S S⋅取最大值2254.5.6.。

2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题39 开放性问题(含解析)(001)