九年级数学下册第二十七章相似单元综合检测1新人教版
人教版九年级下册数学《第27章相似》单元检测试卷含答案
第27章相似单元检测一、选择题1. 将下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )A. B.C. D.2. 如图，AB //EF //CD ，BC 、AD 相交于点O ，F 是AD 的中点，则下列结论中错误的是( )A. AO AD =BO BCB. OB CE =OA DFC. EF CD =OE BED. 2BE AD =OE OF3. 下列各组数中，成比例的是( )A. −6，−8，3，4B. −7，−5，14，5C. 3，5，9，12D. 2，3，6，124. 不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab =cd ，改写成比例式错误的是( )A. a c =d bB. c a =b dC. d a =b cD. a b =c d5. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是( )A. AB BP =AC CBB. ∠APB =∠ABCC. APAB =ABACD. ∠ABP=∠C6.已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC：AB=( )A. (−1)：2B. (+1)：2C. (3−：2D. (3+：27.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是( )A. 平移B. 旋转C. 轴对称D. 位似8.已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为( )A. 48 cmB. 54 cmC. 56 cmD. 64 cm9.下列各组图形不一定相似的是( )A. 两个等腰直角三角形B. 各有一个角是100∘的两个等腰三角形C. 各有一个角是50∘的两个直角三角形D. 两个矩形10.如图所示，△ABC中，DE//BC，AD=5，BD=10，DE=6，则BC的值为( )A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题11.如果两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，那么它们的周长比是______ ．12.如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.如果AB=6，BC=10，那么DEDF的值是______ ．13.如果线段a、b、c、d满足ab =cd=13，那么a+cb+d=______ ．14.已知线段a=3，b=6，那么线段a、b的比例中项等于______ ．15.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果ADAB =23，AE=4，那么当EC的长是______ 时，DE//BC．三、解答题16.已知△ABC，作△DEF，使之与△ABC相似，且S△DEFS△ABC=4.要求：(1)尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．(2)简要叙述作图依据．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE //BC ，已知AE =6，AD BD =34，求CE 的长．18. 如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AD 于点F ．(1)AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；(2)若AB =10，DE =2.5，BF =5，求BC 的长．19.已知a3=b4=c5≠0，求2a−b+ca+3b的值．20.作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，在△ABC中，AB>AC，点D位于边AC上．求作：过点D、与边AB相交于E点的直线DE，使以A、E为顶点的三角形与原三角形相似．【答案】1. A2. C3. A4. D5. A6. A7. D8. A9. D10. C11. 4：912. 3813. 1314. 315. 616. 解：(1)如图所示：△DEF即为所求；(2)∵△DEF∽△ABC，且S△DEFS△ABC=4，∴DEAB =DFAC=EFBC=12，∴作AB，AC的垂直平分线，进而得出AB，AC的中点，即可得出ED，EF，DF的长．17. 解：∵DE//BC，∴AEEC =ADBD=34，∵AE=6，∴CE=8．18. 解：(1)(1)证明：∵在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，∴S▱A BCD=AB⋅DE=AD⋅BF，∴ADDE =ABBF；(2)∵AB⋅DE=AD⋅BF，∴10×2.5=5BC，解得：BC=5．19. 解：设a3=b4=c5=k，所以，a=3k，b=4k，c=5k，则2a−b+ca+3b =6k−4k+5k3k+12k=715．20. 解：如图1所示：△AED∽△ABC，如图2所示：△ADE∽△ABC，综上所述：直线DE即为所求．。
人教版九年级数学下册第27章相似单元检测试卷【含答案】
人教版九年级数学下册第27章相似单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.已知x:y=2:5，下列等式中正确的是（）A.(x+y)：y=2:5B.(x+y)：y=5:2C.(x+y)：y=3:5D.(x+y)：y=7:52.如图，在△ABF中，D为AB的中点，C为BF上一点，AC与DF交于点E，AE=34AC，则BCCF的值为（）A.1B.34C.43D.23.如图，点D在BC上，∠ADC=∠BAC，下列结论中，正确的是（）A.△ABC∽△DACB.△ABC∽△ADCC.△ABC∽△DABD.△ABD∽△ACD4.已知如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论中正确的是（）A.AB2=AC2+BC2B.BC2=AC⋅BAC.AC2=AB⋅BCD.AC=2BC5.若三角形的每条边长都扩大为原来的5倍，则下列说法正确的是（）A.每个角都扩大5倍B.周长扩大5倍C.面积扩大5倍D.无法确定6.如图，在△ABC中，DE // BC，下列比例式成立的是（）A.AD DB =DEBCB.DEBC=ACECC.AD DB =AEECD.DBAD=AEEC7.下列说法正确的是（）①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似．A.①② B.②③ C.③④ D.②④8.下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等9.在相同水压下，口径为4cm的水管的出水量是口径为1cm的水管出水量的（）A.4倍B.8倍C.12倍D.16倍10.身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是（）A.8米B.4.5米C.8厘米D.4.5厘米二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.在梯形ABCD中，AB // DC，AB=18cm，DC=8cm，E，F分别是腰AD，BC上的点，且EF // AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF=________cm．12.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的周长比为1:2，则△ABC与△DEF的面积比为________．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CD⊥AB于D．若AD=2cm，DB=6cm，则CD=________．14.如图，△AOB∽△DOC，且AO=3，OB=4，OD=6，则BC=________．15.如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=23AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于________．16.如图，在△ABC中，DE // BC，AE:EC=3:5，则S△ADE:S△ABC=________．17.如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP⋅AB；④AB⋅CP=AP⋅CB，能满足△APC与△ACB 相似的条件是________（只填序号）．18.如图，梯形ABCD中，AB // CD，∠B=∠C=90∘，点F在BC边上，AB=8，CD= 2，BC=10，若△ABF与△FCD相似，则CF的长为________．19.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交A8于点F，AF=x(0.2≤x≤0.8)，EC=y．则大致能反映y与x之闻函数关系的是________．20.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________米．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，在正方形网格上，请你画两个三角形，使它们不全等且分别与图中的△ABC相似，其相似比不为1，三角形的顶点都在正方形的顶点上，并注明相应的字母．22.如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点B，D，AB=2，CD=4，BD=3，在直线MN上是否存在点P，能使△PAB与△PCD相似？如果存在，满足上述条件的点P 有几个？说明点P与点B，D的距离，并作出图形．23.如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是(−1, 0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．24.已知：线段a、b、c，且a2=b3=c4．(1)求a+bb的值．(2)如线段a、b、c满足a+b+c=27．求a、b、c的值．25.已知△ABC∽△DEF，DEAB=23，△ABC的周长是12cm，面积是30cm2．(1)求△DEF的周长；(2)求△DEF的面积．26.如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D．(1)求AD的长；(2)求cosA的值（结果保留根号）．答案1.D2.D3.A4.C5.B6.C7.D8.B9.D10.A11.1212.1:413.2√3cm14.1215.10或6.416.96417.①，②，③18.2或819.y=1x20.4.221.解：如图所示：△A′B′C′和△DEF即为所求．22.解：存在点P，能使△PAB与△PCD相似，满足上述条件的点P有4个．设PB=x，若点P 在点B 的左侧，如图1， ∵∠PBA =∠PCD =90∘，∴当AB CD =PB PD 时，△PBA ∽△PDC ，即24=xx+3，解得x =3，此时PD =6； 当ABPD =PBCD 时，△PBA ∽△CDP ，即2x+3=x4，解得x 1=−3+√412，x 2=−3−√412（舍去），此时PD =3+√412；若点P 在线段BD 上，如图2，∵∠PBA =∠PCD =90∘，∴当AB CD =PB PD 时，△PBA ∽△PDC ，即24=x3−x ，解得x =1，此时PD =2； 当ABPD =PBCD 时，△PBA ∽△CDP ，即23−x =x4，无解； 若点P 在D 点右侧，如图3， ∵∠PBA =∠PCD =90∘，∴当AB CD =PB PD 时，△PBA ∽△PDC ，即24=xx−3，解得x =−3，舍去； 当ABPD =PBCD 时，△PBA ∽△CDP ，即2x−3=x4，解得x 1=3+√412，x 2=3−√412（舍去），此时PD =−3+√413；综上所述，满足上述条件的点P 有4个，当PB =3时，PD =6；当PB =−3+√412时PD =3+√412；当PB =1时，PD =2；当PB =3+√412，PD =−3+√413．23.解：过点B 、B ′分别作BD ⊥x 轴于D ，B ′E ⊥x 轴于E ， ∴∠BDC =∠B ′EC =90∘．∵△ABC 的位似图形是△A ′B ′C ， ∴点B 、C 、B ′在一条直线上，∴∠BCD =∠B ′CE ， ∴△BCD ∽△B ′CE ． ∴CD CE =BC B′C ， 又∵BCB′C =12，∴CDCE =12，又∵点B ′的横坐标是2，点C 的坐标是(−1, 0)， ∴CE =3，∴CD =32． ∴OD =52，∴点B 的横坐标为−52．24.解：(1)∵a 2=b3， ∴ab =23，∴a+bb =53，(2)设a 2=b 3=c4=k ， 则a =2k ，b =3k ，c =4k ， ∵a +b +c =27， ∴2k +3k +4k =27， ∴k =3，∴a =6，b =9，c =12．25.解：(1)∵DE AB =23，∴△DEF 的周长=12×23=8(cm)；(2)∵DE AB =23， ∴△DEF 的面积=30×(23)2=1313(cm 2)．26.解：(1)∵AB =AC ，∠A =36∘，∴∠C =∠ABC =12(180∘−∠A)=72∘，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD =36∘=∠A ， ∴AD =BD ，∵∠C =72∘，∠CBD =36∘，∴由三角形内角和定理得：∠BDC =72∘=∠C ， ∴BD =BC =AD ，∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，∴BC CD =ACBC，∴BC2=AC×CD，∵AD=BD=BC，∴AD2=AC×CD=AC×(AC−AD)，解关于AD的方程得：AD=√5−12AC=√5−12，即AD=√5−12；(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E．由(1)知，AD=BD，则AE=12AB=12，∴cosA=AEAD ，即12√5−12=√5+14，∴cosA的值是√5+14．。
最新人教版九年级数学下册第二十七章《相似》单元测评1
第二十七章测评DIERSHIQIZHANGCEPING(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1制作图中的图案，用到的变换形式是()A．平移B．旋转C．位似D．轴对称2(2010广西百色中考)下列命题中，是假命题的是()A．全等三角形的对应边相等B．两角和一边分别对应相等的两个三角形全等C．对应角相等的两个三角形全等D．相似三角形的面积比等于相似比的平方3(2010吉林中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为()A．3 B．4C．5 D．64厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石，(图中阴影部分)其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是()A .14 B . 41 C . 13 D . 345已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,2)，(－2,3)，(－1,0)，把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A ′，B ′，C ′.下列说法正确的是 …( )A ．△A ′B ′C ′与△ABC 是位似图形，位似中心是点(1,0) B ．△A ′B ′C ′与△ABC 是位似图形，位似中心是点(0,0) C ．△A ′B ′C ′与△ABC 是相似图形，但不是位似图形D ．△A ′B ′C ′与△ABC 不是相似图形6(2010四川绵阳中考)如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点．若AD ＝3，BC ＝9，则GO ∶BG ＝( )A ．1∶2B ．1∶3C ．2∶3D ．11∶207如图，小亮在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，走到点P 时，发现身后影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当向前再步行20 m 到达Q 点时，发现身前影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知小亮的身高是1.5 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯之间的距离是( )A ．24 mB ．25 mC ．28 mD ．30 m8如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF.其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题4分，共24分)9(2010浙江湖州中考)如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________．10(2010福建南平中考)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且AD ＝13AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为__________．11美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为__________．12如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为__________．13(2010山东德州中考)如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m.14下图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E距地面__________米．三、解答题(共44分)15(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(1)求证：∠CBE ＝36°； (2)求证：AE 2＝AC·EC.16(10分)(2010江苏南京中考)学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．(1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足__________，或__________，两个直角三角形相似”；(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足__________的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，__________.试说明Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.17(12分)已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC.取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E.(1)求AEAC的值； (2)若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长．18(12分)△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上．(1)证明：△BDG ≌△CEF ；甲(2)探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．小聪和小明各给出了一种想法，请你在a和b的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以a的解答记分．a．小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示)．b．小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；②连接BF′并延长交AC于F；③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．你认为小明的作法正确吗？说明理由．乙参考答案1解析：图形形状相同，但大小不同且对应点连线交于一点，因此属于位似变换．答案：C2解析：A是全等三角形的性质，是正确的；B无论是两角和夹边，还是两角和一角的对边都可判断两个三角形全等；D也是正确的；但C对应角相等的两个三角形相似，不一定全等．答案：C3答案：C4答案：C5答案：B6解析：根据△AOD∽△COB，可以知道13OD ADOB BC==，由于G是BD的中点，从而可以得到GO∶BG＝1∶2.答案：A7解析：由题意知AP＝BQ.设AP＝BQ＝x m，根据题意，得9 1.5202x x=+.解得x＝5.∴AB＝20＋2×5＝30(m)．答案：D8解析：②③正确，①④错误．答案：B9解析：要确定△ABC与△A1B1C1的位似中心，只要连接A1A，C1C并延长，其交点即为位似中心O，然后再根据画图的结果，确定O的坐标即可．答案：(9,0)10答案：1 311答案：8 cm12解析：由于以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形有一个公共角(∠A)，因此依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ∥BC，这样根据相似三角形的性质可得AQ AP AB AC=，即264AQ=，解得AQ＝3；二是过点P作∠APQ＝∠ABC，交边AB于点Q，这时△APQ∽△ABC，于是有AQ AP AC AB =，即246AQ =，解得AQ ＝43.所以AQ 的长为3或43. 答案：3或4313解析：直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原三角形相似，如图．这个基本图形可称之为“母子三角形”，树高EH 所在的两个“子三角形”相似，即Rt △ECH ∽Rt △DEH ，得EH 2＝HC·HD ＝2×8.或者利用勾股定理，得22222222828EC ED EC ED ⎧-=-⎪⎨++(+)⎪⎩消去ED 2，得EC 2＝20，所以EH 2＝16，所以EH ＝4.答案：414解析：∵△ABD ∽△ECD ， ∴AD ∶ED ＝AB ∶EC. ∴0.6∶1.6＝0.3∶EC. 解得EC ＝0.8. 答案：0.815证明：(1)∵DE 是线段AB 的垂直平分线， ∴EA ＝EB.∴∠EBA ＝∠A ＝36°. 又∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.∴∠CBE ＝∠ABC －∠EBA ＝36°.(2)由(1)，得在△BCE 中，∠C ＝72°，∠CBE ＝36°，∴∠BEC ＝∠C ＝72°.∴BC ＝BE ＝AE.在△ABC 与△BEC 中，∠CBE ＝∠A ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BEC. ∴AC BCBC EC=，即BC 2＝AC·EC. 故AE 2＝AC·EC.16解：(1)一个锐角对应相等，两直角边对应成比例； (2)斜边和一条直角边对应成比例．在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，''''AB ACA B A C =.解法一：设''''AB ACA B A C =＝k ，则AB ＝kA′B′，AC ＝kA′C′. 在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，''BCB C ==k ，∴''''''AB AC BCA B A C B C ==， ∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′.解法二：如图，假设AB ＞A′B′，在AB 上截取AB″＝A′B′，过点B″作B″C″⊥AC ，垂足为C″.∵∠C ＝∠AC″B″， ∴BC ∥B″C″.∴Rt △ABC ∽Rt △A′B″C″，AC ABAC AB =''''. ∵AB″＝A′B′，∴''AC ABAC A B =''. 又∵''''AB AC A B A C =.∴''AC ACAC A C =''.∴AC″＝A′C′.∵AB″＝A′B′，∠C ＝∠AC″B″＝90°， ∴Rt △AB″C″≌Rt △A′B′C′. ∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′.17解：(1)过点F 作FM ∥AC ，交BC 于点M.∵F 为AB 的中点， ∴M 为BC 的中点，FM ＝12AC. 由FM ∥AC ，得△FMD ∽△ECD. ∴23DC EC DM FM ==.∴EC＝23FM＝23×12AC＝13AC.∴13AC ACAE AC ECAC AC AC--==＝23.(2)∵AB＝a，∴FB＝12AB＝12a，又FB＝EC，∴EC＝12 a.∵EC＝13AC，∴AC＝3EC＝32a.18 (1)证明：∵DEFG为正方形，∴GD＝FE，∠GDB＝∠FEC＝90°. ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴△BDG≌△CEF.(2)a.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，求得AH由△AGF∽△ABC，得2x=.解之，得x(或x＝6)．解法二：设正方形的边长为x，则BD＝22x-，GB＝2－x. 由勾股定理，得(2－x)2＝x2＋(22x-)2.解之，得x＝6. b．解：正确．由已知可知，四边形GDEF为矩形．∵FE∥F′E′，∴'''FE FBF E F B=.同理，'''FG FBF G F B=.∴''''FE FGF E F G=.又∵F′E′＝F′G′，∴FE＝FG.因此，矩形GDEF为正方形．。
最新人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试试题(含解析)
人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A．2：3 B．4：9 C D．16：812、如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF 的长是（）A．92B．4 C．6 D．23、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cmA．B．26 C．D．134、某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB ，AC ，ACB ∠的平分线交边AB 于点D ，则点D 就是线段AB 的一个黄金分割点，即0.618AD AB≈，已知10cm AC =，那么该正五边形的周长为（ ）A ．19．1cmB ．25cmC ．30．9cmD ．40cm5、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝12，那么EF 的长是（ ）A ．2B ．2.5C ．2.8D ．36、在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个点，并且DE ∥BC ，AD ：BD ＝3：2，则ADE 与四边形BCED 的面积之比为（ ）A ．3：5B ．4：25C ．9：16D ．9：257、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ．BC ＝8，则AC ＝（ ）A ． 4B ． 4C ．16D ．128、如图, 点 E 是线段 BC 的中点, B C AED ∠∠∠==, 下列结论中, 说法错误的是（ ）A ．ABE △ 与 ECD 相似B ．ABE △ 与 AED 相似C ．AB AE AE AD = D ．BAE ADE ∠=∠9、如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(3,1)D ．(4,1) 10、如图，H 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且12AH DH =，BH 与AC 相交于点K ，那么AK ：KC 等于（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB和△OAD相似（不包括全等），则点D的坐标为__________．2、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点；下列结论：①∠AMD=45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3;④S△ACD＝2S△DNE．其中正确的结论有 _____．（填写序号即可）3、如图，在ABC中，D为AB边上的一点，要使BAC EAD△∽△成立，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________4、如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 为AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，45BCD ︒∠=，132AC =，则BC 的长为________．5、若3x ＝7y ，则x y＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔（AB ）50m 的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到塔尖A ，再测得DE ＝2.4m ，小豪目高CD ＝1.68m ，求塔的高度AB ．2、阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足BP AP AP AB=，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．（1）理解：如图（1），请将内角分别36°，36°，108°的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数；（2）运用：如图（2），已知等腰三角形ABC 为“黄金三角形”，AB=AC ，∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线．求证：点D 是AC 的黄金分割点．3、如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点C 作射线CP AB ∥，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与,B C 重合）且45DAE ∠=︒，AC 与DE 交于点O ．（1）求证：ADC AEB △△；（2）求证：ADE ACB ；（3）如果CD CE =，求证：2CD CO CA =．4、如图，在ABCD 中，BE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，且:1:2AE EB =．（1）求证：AEF CDF∽△△；（2）求AEF与AFD的面积比．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、A【解析】【分析】由直线////a b c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由4AC=，6CE=，3BD=，即可求得DF的长即可．【详解】解：////a b c，∴AC BDCE DF=，4AC=，6CE=，3BD=，∴436DF=， 解得：92DF =，故选择A ．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．3、D【解析】【分析】根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长:1=⎝⎭，由此求解即可． 【详解】解：∵一种数学课本的宽与长之比为黄金比，∴宽：长:1=⎝⎭， ∵长是26cm ，∴宽2613==，故选D ．【点睛】本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．4、C【解析】【分析】根据正五边形各边相等，各内角相等，得到ADC AEC ≅△△ ，得到AE AD = ，再根据0.618AD AB≈求出AD 即可求解 ．【详解】解：∵正五边形每个内角＝540=1085︒︒ ，每条边相等，AB AC = ， ∴108AEC ECB ∠=∠=︒ ，∵AE EC = ， ∴180108362EAC ECA ︒-︒∠=∠==︒ ， ∴1083672ACB ECB ECA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，∵DC 为∠ACB 的平分线，∴1362ACD ACB ∠=∠=︒ ， ∵AB AC = ，∴72ABC ACB ∠=∠=︒ ， ∴36BAC ∠=︒ ， ∵AC AC = ，∴()ADC AEC ASA ≅ ， ∴AE AD = ， ∵0.618ADAB≈，10cm AB AC ==， ∴100.618 6.18cm AE AD ==⨯= ， ∴该五边形周长=6.185=30.9cm ⨯ ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形全等的判定与性质，黄金比例，通过全等求出正五边形边长是解题关键． 5、D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定得出△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ，根据相似得出比例式，求出1EF EFAB DC+=，代入求出即可． 【详解】解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ， ∴EF DF AB BD =，EF BFDC BD =， ∴1EF EFAB DC+=， ∵AB =4，CD =12， ∴EF =3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的性质得出比例式是解此题的关键． 6、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论． 【详解】 解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵AD ：BD ＝3：2， ∴:3:5AD AB =， ∴22:3:59:25ADE ABCSS==，∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9：16.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方．7、A【解析】【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180362︒-︒=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，∴∠BDC=∠C=72°，∴AD=BD=BC=8．∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，∴△ABC∽△BDC，∴BC ACCD BC=，即888ACAC=-，整理得：AC2-8AC-64=0，解方程得：AC AC舍去)，故选：A．本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC 的长． 8、D 【解析】 【分析】根据外角的性质可得BAE DEC ∠=∠，结合已知条件即可证明ABE ECD ∽△△，从而判断A ，进而可得AB AEEC ED=，根据E 是中点，代换BE CE =，进而根据两边成比例夹角相等可证ABE △∽AED ，进而判断B ，C ，对于D 选项，利用反证法证明即可． 【详解】解：AEC BAE B AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，AED B ∠=∠BAE DEC ∴∠=∠又B C ∠=∠ABE ECD ∴∽故A 选项正确ABE ECD ∽△△AB AEEC ED∴= E 为BE 的中点∴BE CE =AB AEBE ED∴= 又B AED ∠=∠∴ABE △∽AED故B 、C 选项正确ABE △∽AEDDAE BAE ∴∠=∠若BAE ADE ∠=∠ 则DAE ADE ∠=∠AE DE ∴=根据现有条件无法判断AE DE =，故BAE ADE ∠∠≠ 故D 选项不正确 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9、A 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标． 【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半， ∴端点C 的坐标为：（3，3）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．10、C【解析】【分析】根据AH=12DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．【详解】解：∵AH=12DH，∴AH：AD=13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AH：BC=1 3∴△AHK∽△CBK，∴13 AK AHKC BC==故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．二、填空题1、（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【解析】【分析】点D 在y 轴上，根据△AOB ∽△DOA ，可得BO OA AO OD=，即211OD =；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，根据△AOB ∽△D 1AO ，1BO OA OA D A =，即1211D A =；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，ABOD 2A ∽△AOB ，2BO ABAD OA =，即22AD △D 2EA ∽△DOA ，22AD D E AE AD AO OD ==2112D E AE ==，求出AE =45，D 2E =25，当点D 3在0D 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3，根据△OD 3A ∽△BOA ，3BO ABOD AO =，即32OD，3OD =△D 3FO ∽△D 1AO ，3311OD D F OF OD OA AD ==3112D F OF ==，求出OE =45，D 3F =25即可． 【详解】解：点D 在y 轴上，△AOB ∽△DOA ， ∴BO OA AO OD=，即211OD =，解得OD =12， 点D （0，-12）；当点D 在过点A 平行y 轴的直线上，△AOB ∽△D 1AO ，∴1BO OA OA D A =，即1211D A =， 解得D 1A =12， 点D 1（1，-12）；当点D 2在AD 上，作D 2E ⊥x 轴于E ，OD 2⊥AD 于D 2，在Rt △AOB 中，AB= ∵△OD 2A ∽△AOB ，∴2BO AB AD OA =，即22AD =∴2AD =在Rt △OAD 中，AD= ∵D 2E ⊥x 轴于E ，，OD ⊥x 轴， ∴D 2E∥OD ，∴∠AD 2E =∠ADO ，∠D 2EA =∠DOA =90°， ∴△D 2EA ∽△DOA ，∴22AD D EAE AD AO OD ==2112D E AE ==， ∴AE =45，D 2E =25，∴OE =OA -AE =1-45=15，∴D 2（15，25-）当点D 3在OD 1上，作D 3F ⊥x 轴于F ，AD 3⊥OD 1于D 3， ∵△OD 3A ∽△BOA ，∴3BO AB OD AO =，即32OD ，∴3OD =在Rt △OAD 1中，0D 1=， ∵D 3F ⊥x 轴于F ，OD ⊥x 轴， ∴D 3F∥OD ，∴∠OD 3F =∠QD 1A ，∠D 3FO =∠D 1AO =90°， ∴△D 3FO ∽△D 1AO ，∴3311OD D F OF OD OA AD ==3112D FOF ==， ∴OE =45，D 3F =25，∴D 3（45，25-）；△AOB 和△OAD 相似（不包括全等），则点D 的坐标为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）． 故答案为（0，-12）或（1，-12）或（15，25-）或（45，25-）．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，掌握三角形相似判定与性质是解题关键．2、①②③【解析】【分析】①利用ASA证明△BDN≌△CDM，再证明△DMN是等腰直角三角形，即可判断结论①正确；②过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE＝90°＝∠CME，可利用AAS证明△DEF≌△CEM，即可判断结论②正确；③先证明△BDE∽△CME，可得出CMEM＝BDDE＝2，进而可得CM＝2EM，NE＝3EM，即可判断结论③正确；④先证明△BED≌△CAD（ASA），可得S△BED＝S△CAD，再证明BN＜NE，可得S△BDN＜S△DEN，进而得出S△BED＜2S△DNE，即可判断结论④不正确．【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB=∠ADC=90°，∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，∴∠DBN=∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵∠CDN+∠BDN=90°，∴∠CDM=∠BDN，∴△BDN≌△CDM（ASA），∴DN =DM ，∵∠MDN =90°，∴△DMN 是等腰直角三角形，∴∠DMN =45°，∴∠AMD =90°-45°=45°，故①正确；②如图1，由（1）知，DN =DM ，过点D 作DF ⊥MN 于点F ，则∠DFE =90°=∠CME ，∵DN ⊥MD ，∴DF =FN ，∵点E 是CD 的中点，∴DE =CE ，在△DEF 和△CEM 中，DEF CEM DFE CME DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ），∴ME =EF ，CM =DF ，∴FN =CM ，∵NE-EF=FN，∴NE-EM=MC，故②正确；③由①知，∠DBN=∠DCM，又∵∠BED=∠CEM，∴△BDE∽△CME，∴CMEM＝BDDE＝2，∴CM=2EM，NE=3EM，∴EM：MC：NE=1：2：3，故③正确；④如图2，∵CD⊥AB，∴∠BDE=∠CDA=90°，由①知：∠DBN=∠DCM，BD=CD，∴△BED≌△CAD（ASA），∴S△BED=S△CAD，由①知，△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∴BN=FN，∴BN＜NE，∴S△BDN＜S△DEN，∴S△BED＜2S△DNE．∴S△ACD＜2S△DNE．故④不正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．3、AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【解析】【分析】根据图形可以看出两个三角形有一个公共角A∠，相似证明中，有两个角对应相等即可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．【详解】解：由图可知，在BAC EAD∠=∠△与△中，BAC EAD∴添加的条件为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB故答案为：AED ABC∠=∠∠=∠或ADE ACB【点睛】本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．4、【分析】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC，得到BH=CH，△ABH∽△DBE，设BC=10a，求出BE=4a、DE=6a，根据Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，求出a，故可求解．【详解】过A点作AH⊥BC，过D点作DE⊥BC∵AB AC=∴BH=CH，设BC=10a∴BH=CH=5a∵132AC==AB，4BD AD=∴BD=426 55 AB=∵AH⊥BC，DE⊥BC ∴DE∥AH∴△ABH∽△DBE∴AB HBDB EB=∵4BD AD=∴5=4 AB HB DB EB=∴BE=4a∴CE=10a-4a=6a∵45BCD︒∠=，DE⊥BC∴∠CDE=180°-45°-90°=45°∴△ADE是等腰直角三角形∴DE=CE=6a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2即（265）2=（6a）2+（4a）2解得a∴BC=10a=故答案为：【点睛】此题主要考查三角形内线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理的运用．5、7 3【解析】【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答．【详解】解：若3x＝7y，则73 xy故答案为：7 3【点睛】此题主要考查比例的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．三、解答题1、35m【解析】【分析】根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BB=50m BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，从而得到△ABE∽△CDE，再由相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABE=∠CDE=90°，BE=50m，由光的反射定律得：∠AEB=∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴BBBB=BBBB，∴BB1.68=502.4，解得：BB=35m，即塔的高度为35m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据“黄金三角形”的定义进行分割即可；（2）证明△CBD∽△CAB，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．【详解】解：（1）如图，（2）∴∠ABC=∠C=72°又∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD＝72°∴AD＝BD，BC＝BD即AD＝BC＝BD·又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠A∴△CBD∽△CAB∴BBBB=BBBB∴BBBB=BBBB·即D点是AC的黄金分割点【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB 和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．【详解】解：（1）证明：∵ABC是等腰直角三角形，∴∠BBB=∠B=45°，∵∠BBB=45°，BB∥BB，∴∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB=∠B=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（2）证明：∵ΔBBB∼ΔBBB∴BBBB=BBBB，即BBBB=BBBB，∵∠BBB=∠BBB=45°，∴ΔBBB∼ΔBBB；（3）∵∠BBB=45°,∠BBB=90°，∴∠BBB+∠BBB=180°−90°−45°=45°，∵CD CE=，∴∠BBB=∠BBB=22.5°，∵ΔBBB∼ΔBBB，∴∠BBB=∠BBB=90°，∴∠BBB=180°−∠BBB−∠BBB−∠BBB=180°−90°−22.5°−45°=22.5°∴∠BBB=∠BBB，又∵∠BBB=∠BBB，∴ΔBBB∼ΔBBB，∴BBBB=BBBB，∴2CD CO CA=【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．4、（1）见解析；（2）1:3【解析】【分析】（1）由ABCD得出BB∥BB，由平行线的性质得∠BBB=∠BBB，∠BBB=∠BBB，即可证明△BBB∼△BBB；（2）由:1:2AE EB=得出BB:BB=1:3，由相似三角形的性质得BBBB =BBBB=13由BE AB⊥得∠BBB=90°，由三角形的面积公式得B△BBB=12×BB×BB，B△BBB=12×BB×BB，即可求出B△BBB:B△BBB．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BB ∥BB ，∴∠BBB =∠BBB ，∠BBB =∠BBB ，∴△BBB ∼△BBB ；（2）∵BB :BB =1:2，∴BB :BB =BB :BB =1:3，∵△BBB ∼△BBB ，∴BB BB =BB BB =13，∵BB ⊥BB ，∴∠BBB =90°，∵B △BBB =12×BB ×BB ，B △BBB =12×BB ×BB ，∴B △BBB :B △BBB =BB :BB =1:3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．5、（1）1；n m ；（2）①n m ；②n m ；（3）CE =CE =【解析】【分析】（1）先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（2）方法和()1一样，先用等量代换判断出ADE CDF ∠=∠，A DCB ∠=∠，得到ADE ∽CDF ，再判断出ADC ∽CDB △即可；（3）由()2的结论得出ADE ∽CDF ，判断出2CF AE =，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：()1当m n =时，即：BC AC =，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，1AD AC DC BC ∴==，1DE DF∴= ()290ACB ∠=①，90A ABC ∴∠+∠=，CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠-∠=∠-∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m ∴==，DE n DF m∴= ②成立.如图3，90ACB ∠=，90A ABC ∴∠+∠=，又CD AB ⊥，90DCB ABC ∴∠+∠=，A DCB ∴∠=∠，90FDE ADC ∠=∠=，FDE CDE ADC CDE ∴∠+∠=∠+∠，即ADE CDF ∠=∠，ADE ∴∽CDF ，DE AD DF DC∴=， A DCB ∠=∠，90ADC BDC ∠=∠=，ADC ∴∽CDB △，AD AC n DC BC m∴==， DE n DF m∴=． ()3由()2有，ADE ∽CDF ， 12DE AC DF BC ==， 12AD AE DE CD CF DF ∴===， 2CF AE ∴=，如图4图5图6，连接EF ．在Rt DEF △中，DE =DF =EF ∴= ①如图4，当E 在线段AC 上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=CE ∴=CE =舍) ②如图5，当E 在AC 延长线上时，在Rt CEF 中，())222CF AE AC CE CE ==+=，EF = 根据勾股定理得，222CE CF EF +=，)22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴CE =-舍)，③如图6，当E 在CA 延长线上时，在Rt CEF 中，()(222CF AE CE AC CE ==-=，EF =根据勾股定理得，222CE CF EF +=，(22[2]40CE CE ∴+=，CE ∴=CE =，综上：CE =CE =【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE 是本题的难点．。
最新人教版九年级数学下册第二十七章-相似综合测试试卷(含答案详解)
人教版九年级数学下册第二十七章-相似综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC中，90BC=，D，E分别在AB、AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落∠=︒，6C在点A'处，若A'为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．1B．2 C．3 D．422、根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的条件有（）①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；②∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，90＝，A′C′＝9cm，B′C′＝6cm；∠︒C'③AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；④△ABC与△A′B′C′是有一个角为80°等腰三角形A．1对B．2对C．3对D．4对3、如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（）A ．120°B ．87°C ．75°D ．60°4、如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为BC 边上一点，将ABD △沿直线AD 翻折得到AB D '，AB '与BC 边交于点E ，若3AB BD =，点E 为CD 中点，6BC =，则AB 的长为（ ）A ．457B ．6C ．454D ．1525、如图，下列选项中不能判定△ACD ∽△ABC 的是（ ）A ．∠ACD ＝∠B B ．∠ADC ＝∠ACB C ．AC 2＝AD •ABD ．BC 2＝BD •AB6、已知：矩形OABC ∽矩形OA 'B ′C ′，B ′（10，5），AA '＝1，则CC ′的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、若两个相似三角形的面积比为25:36，则它们的对应边的比是（ ）A B ．2C ．25:36D ．5:68、如图，H 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且12AH DH =，BH 与AC 相交于点K ，那么AK ：KC 等于（ ）A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：49、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝4，CD ＝12，那么EF 的长是（ ）A ．2B ．2.5C ．2.8D ．310、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A ．2：3B ．4：9C D ．16：81第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，如果ΔΔ:1:9DEF BCF S S =，那么ΔΔ:ADE DEC S S 等于_______________2、已知在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，13AE AD =，连接CE 交BD 于点F ，则:EF FC 的值是________．3、如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在AB 边上的E 处，EQ 与BC 相交于点F ，若8AD =，6AB =，4AE =，则EBF ∆周长的大小为___．4、已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点, 㓚果 ,2AC BC BC >=, 则 AC =_______．5、在△ABC 中，AB ＝8，点D 、E 分别是AC 、BC 上点，连接DE ，将△CDE 沿DE 翻折得△FDE ，点C 的对应点F 正好落在AB 上，若∠112+∠2＝90°，S △ADF 12=S △CDE ，△BEF 的而积为12，则点D 到BC 的距离为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在6×6的方格纸ABCD 中给出格点O 和格点△EFG ，请按要求画格点三角形（顶点在格点上）．（1）在图1中画格点△OPQ，使点P，Q分别落在边AD，BC上，且∠POQ＝90°；（2）在图2中画格点△GMN，使它与△EFG相似（但不全等）．2、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE．（1）探索发现：图1中，ABBC的值为，ADBE的值为．（2）拓展探究若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中ADBE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段BE的长．3、如图，O是ABC的外接圆，O点在BC边上，BAC的平分线交O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD 是O 的切线； （2）求证：PBD DCA △△；（3）当6AB =，8AC =时，求线段PB 的长．4、如图，已知O 是坐标原点，A ，B 两点的坐标分别为（2，1），（3，﹣1）， （1）以点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的两倍，画出图形；（2）A 点的对应点A '的坐标是 ；B 点的对应点B ′的坐标是 ； （3）在AB 上有一点P （x ，y ），按（1）的方式得到的对应点P ′的坐标是 ．5、AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 交⊙O 于点F ，P 是OF 延长线上一点，连接PA 、PB 、AF 、OA ．（1）如图1，若OA ⊥AP ，求证：∠DAF ＝∠PAF ；（2）如图2，若∠DAF ＝∠APF ，AB ＝16，OP ＝22，求OD 的长．---------参考答案----------- 一、单选题 1、B 【解析】 【分析】由折叠的特点可知AE AE '=，90DEA DEA ∠'=∠=︒，又90C ∠=︒，则由同位角相等两直线平行易证DE BC ∥，故ACB AED ∆~∆，又A '为CE 的中点可得13AE A E A C AC ''===，由相似的性质可得13DE BC =求解即可．【详解】解：ABC ∆沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，90DEA DEA ∴∠=∠'=︒，AE A E ='，又∵90C ∠=︒， ∴DE BC ∥，∴,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，ACB AED ∴∆∆∽，又A '为CE 的中点，AE =AE ' ∴13AE A E A C AC ''===，∴13ED AE BC AC ==， 即163ED =， 2ED ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A ”字形三角形相似的判定和性质为解题关键． 2、C 【解析】 【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：（1）∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝25°． ∴∠B ＝65°．∵∠C ＝∠C′，∠B ＝∠B′． ∴ABC A B C '''∽．（2）∵∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，90C '∠︒＝ ，A′C′＝9，B′C′＝6． ∴2=3AC BC A C B C =''''，C C ∠∠'＝．∴ABC A B C'''∽．（3）∵AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；∴1==15 AB AC BCA B A C B C=''''''．∴ABC A B C'''∽．（4）∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．3、B【解析】【分析】根据相似多边形的性质，可得1138∠=︒，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．【详解】解：如图，∵两个四边形相似， ∴1138∠=︒ ，∵两个四边形相似，且四边形的内角和等于360°， ∴360138607587α∠=︒-︒-︒-︒=︒ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． 4、A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AB D ABD '∠=∠，BD B D '=，AB AB '=，然后证明B ED CEA '△∽△，得到DE B E B D AE CE CA ''==，设BD B D x '==，3AB AC AB x '===，即可推出13B E CE '=，从而得到133AE AB B E x CE ''=-=-，则11333DE CE CE AE AE x CE ===-，从而得到910CE x =，再由9961010BC BD DE CE x x x =++=++=，求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得AB D ABD '∠=∠，BD B D '=，AB AB '=， ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴AB D ACE '∠=∠， 又∵B ED CEA '∠=∠， ∴B ED CEA '△∽△，∴DE B E B D AE CE CA''==， ∵E 是CD 的中点，∴DE =CE ，设BD B D x '==，3AB AC AB x '===， ∴13DE B E B D AE CE CA ''===， ∴13B E CE '=， ∴133AE AB B E x CE ''=-=-， ∴11333DE CE CE AE AE x CE ===-， ∴910CE x =， ∴9961010BC BD DE CE x x x =++=++=， 解得157x ， ∴4537AB x ==， 故选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．5、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；C.∵AC2＝AD•AB，∴AC AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；D.∵BC2＝BD•AB，∴BC AB BD BC=，添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键．6、B【解析】【分析】根据坐标与图形性质求出OA'=5，进而得出矩形OABC与矩形OA'B'C'的相似比为4：5，计算即可．【详解】解：∵点B′的坐标为（10，5），AA'=1，∴OA'=5，OA=4，∴矩形OABC与矩形OA'B'C'的相似比为4：5，∴OC：OC'=4：5，∴OC=8，∴CC'=10-8=2，故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正确求出矩形OABC与矩形OA'B'C'的相似比是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，求面积之比的算术平方根即可．【详解】相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为25:36，6，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．8、C【解析】【分析】根据AH =12DH 求出AH ：AD 即AH ：BC 的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK ：KC 的值．【详解】解：∵AH =12DH ，∴AH ：AD =13，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴AH ：BC =13∴△AHK ∽△CBK ， ∴13AK AH KC BC == 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．9、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定得出△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ，根据相似得出比例式，求出1EF EF AB DC+=，代入求出即可．【详解】解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥EF ∥CD ，∴△DEF ∽△DAB ，△BFE ∽△BDC ， ∴EF DF AB BD =，EF BF DC BD=， ∴1EF EF AB DC +=， ∵AB =4，CD =12，∴EF =3，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的性质得出比例式是解此题的关键．10、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴这两个相似多边形的相似比是2：3，∴它们的面积比是4：9，故选B ．【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．二、填空题【解析】【分析】首先根据//DE BC 得到DEF CBF ∆∆∽，根据ΔΔ:1:9DEF BCF S S =，得出:1:3DE CB =，然后得到:1:2AE EC =，再根据同底不同高，面积比等于高之比即可．【详解】解：//DE BC ，DEF CBF ∴∆∆∽，ΔΔ:1:9DEF BCF S S =，1:3DE CB ∴+=，分别过点,E A 作,BC DE 的垂线，交于,M N ，在Rt EMC 与Rt ANE △，,90AEN ECM ANE EMC ∠=∠∠=∠=︒，Rt EMC Rt EMC ∴∽，::1:2AN EM AE EC ∴==，ΔΔ:1:2:ADE DEC AN EM S S ==，故答案是：1:2．本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是了解相似三角形面积的比等于相似比的平方．2、23或43【解析】【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC＝2：3，即可求得EF：FC的值；②当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC＝4：3，即可求得EF：FC的值．【详解】解：∵13AE AD=，∴分两种情况：①当点E在线段AD上时，如图1所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF：FC＝DE：BC，∵13AE AD=，∴DE＝2AE＝23AD＝23BC，∴DE：BC＝2：3，∴EF：FC＝2：3；②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC＝DE：BC，∵13AE AD，∴DE＝4AE＝43AD＝43BC，∴DE：BC＝4：3，∴EF：FC＝4：3；综上所述：EF：FC的值是23或43；故答案为：23或43．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，证明三角形相似是解决问题的关键；注意分情况讨论．3、8【分析】设AH a=，则8DH AD AH a=-=-，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角互补可得出BFE AEH∠=∠，从而得出EBF HAE∆∆∽，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论．【详解】解：设AH=a，则DH=AD-AH=8-a，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8-a，∴EH2=AE2+AH2，即（8-a）2=42+a2，解得：a=3．∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴23 EBFHAEC BE AB AEC AH AH∆∆-===．∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12，∴C△EBF=23C△HAE=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出△EBF∽△HAE．41##1【解析】根据黄金分割比可直接进行列式求解．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分制点，且AC >BC ,2BC =∴BC AC =AC =11．【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短． 5、165 【解析】【分析】连接CF ，交DE 于H ，作DG ⊥AB 于G ，通过证明△AGD ≌△FGD ，得AD =DF ，从而可证D 是AC 中点，再证明E 是BC 中点，根据相似三角形的判定与性质，14CDECAB S S =△△．设S △CDE =m ，根据△BEF 的而积为12求出m ，然后根据三角形的面积公式和勾股定理求解即可．【详解】解：连接CF ，交DE 于H ，作DG ⊥AB 于G ，则∠AGD =∠DGF =90°，∵∠112+∠2＝90°，∠1+∠GDF ＝90°，∴∠GDF ＝12∠2，∴∠GDF ＝∠3．在△AGD 和△FGD 中3AGD DGF DG DGGDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGD ≌△FGD ，∴DA =DF ，∠A =∠1．由折叠的性质知，△AGD ≌△FGD ，∴FD =CD ，FE =CE ，∴∠4=∠5，AD =CD ．∵∠A +∠1+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠4=90°，∴∠AFC =90°，∴∠BFC =90°．∵，FE =CE ，∴∠6=∠7．∵∠8+∠6=90°，∴∠B +∠7=90°，∴∠8=∠B ，∴FE =BE ，∴CE =BE ，∴D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE //AB ，12DE AB =．∴△CDE ∽△CAB ， ∴14CDE CAB S S =△△． 设S △CDE =m ，则S △ACB =4m ，∵S △ADF 12=S △CDE ，∴S △ADF 12=m ．∵ΔΔΔΔΔ+ADF FDE BFE DEC ABC S S S S S ++=， ∴12m +m +m +12=4m ，∴m =8，∴S △CDE =8，S △ACB =32，S △BFE =32-8-8-4=12． ∵1322AB CF ⋅=，AB =8，∴CF =8．∵DE //AB ，∴△ABF与△BFE等高，∴AF：BF=S△ABF：S△BFE=4:12=1:3，∴BF=34AB=6．∵∠BFC=90°，∴BC．∵E为BC中点，∴BE=CE=5．设D到BC的距离为h，∵182CE h⋅=，∴∴h=2816=55⨯．故答案为：165．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及两平行线间的距离等知识，证明、E分别为AC、BC的中点是解答本题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，将OP作为4×4组成的正方形的对角线，将OQ作为2×2组成的正方形的对角线，即可得到；（2）根据GMN EFG∽且不全等，作3,45GM MN GMN==∠=︒即可实现．△满足题意；解：（1）如图：OPQ（2）如图：作3,45==∠=︒，即GMN满足题意；GM MN GMN【点睛】本题考查了作直角三角形，相似三角形，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及作图能力．2、（1（2）无变化，理由见解析；（3【解析】（1）连接AE ，先根据等腰三角形的性质可得,30AE BC B C ⊥∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质、勾股定理可得BE =（2）先求出CD AC CE BC ==CD CE AC BC =，再根据旋转的性质可得ACB DCE ∠=∠，从而可得ACD BCE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定证出ACD BCE ，最后根据相似三角形的性质即可得出结论；（3）分①CDE △绕点C 逆时针旋转180︒，②CDE △绕点C 逆时针旋转360︒两种情况，分别根据线段的和差即可得．【详解】解：（1）如图，连接AE ，2,120AB AC BAC ==∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒，点,D E 分别是,AC BC 的中点，11,,122AE BC BE CE BC AD CD AC ∴⊥=====，11,2AE AB BE ∴==2BC BE ∴==AB BC ∴==AD BE（2）无变化，理由如下：由（1）知，1,CD CE BC ===∴CD CE =AC BC ==，∴CD AC CE BC == CE AC CD BC∴=， 由旋转的性质得：ACB DCE ∠=∠，∴ACB BCD DCE BCD ∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，CD CE AC BC ACD BCE⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACD BCE ，∴AD AC BE BC ==AD BE 的大小不变； （3）由题意，分以下两种情况：①如图，当CDE △绕点C 逆时针旋转180︒时，,,A C D 三点共线，由（1）知，B C C E ==则BE BC CE =+=②如图，当CDE △绕点C 逆时针旋转360︒时，,,A D C 三点共线，由（1）知，BE =综上，线段BE【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30角的直角三角形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确找出两个相似三角形是解题关键．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）254【解析】【分析】（1）连接OO ，根据AD 是BAC ∠的角平分线，进而可得∠OOO =∠OOO ，OO ⌢=OO ⌢，根据垂径定理的推论可得OO ⊥OO ，由OO //OO ，即可证明OO ⊥OO ，即可证明PD 是O 的切线；（2）由OO //OO 可得，∠OOO =∠O ，根据同弧所对的圆周角相等可得∠OOO =∠OOO ，进而可得∠OOO =∠O ，根据圆内接四边形的对角互补，可得∠OOO +∠OOO =180°=∠OOO +∠OOO ，可得∠OOO =∠OOO ，即可证明PBD DCA △△（3）连接OO ，根据直径所对的圆周角等于90°，进而勾股定理求得BC ，由OO =OO ，进而求得OO ,OO ，根据（2）的结论，列出比例式，代入数值计算即可求得线段PB 的长．【详解】（1）证明：连接OO ，如图，AD是BAC∠的角平分线，∴∠OOO=∠OOO∴OO⌢⌢=OO∴OO⊥OOOO //OO∴OO⊥OO∴PD是O的切线；（2）OO //OO∴∠OOO=∠O⌢∴OO⌢=OO∴∠OOO=∠OOO∴∠OOO=∠O ∴∠OOO+∠OOO=180°=∠OOO+∠OOO，∴∠OOO=∠OOO ∴PBD DCA△△（3）如图，连接OO∵OO 是O 的直径，∴∠OOO =90°，∠OOO =90°在Rt ABC 中，6AB =，8AC =∴OO =√OO 2+OO 2=10OO ⌢=OO ⌢∴OO =OO在OO △OOO 中OO =12OO =5∴OO =OO =√22OO =5√2 PBD DCA △△∴OO OO =OO OO 即5√2=5√28 ∴OO =254【点睛】 本题考查了切线的证明，勾股定理，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角等于90°，等弧所对的圆周角相等，弧、弦、圆周角之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．4、（1）图见解析；（2）(4,2)--或(4,2)，(6,2)-或(6,2)-；（3）(2,2)x y --或(2,2)x y ．【解析】【分析】（1）分①放大后的图形OA B ''△在y 左侧，②放大后的图形OA B ''△在y 右侧两种情况，先分别将点,A B 的横纵坐标乘以2或2-得到点,A B ''，再顺次连接点,,O A B ''即可得；（2）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得；（3）结合（1）的两种情况，根据位似图形的性质即可得．【详解】解：（1）①当放大后的图形OA B ''△在y 左侧时，画图如下：②当放大后的图形OA B ''△在y 右侧时，画图如下：（2）(2,1),(3,1)A B -，(22,21),(23,2(1))A B ''∴-⨯-⨯-⨯-⨯-或(22,21),(23,12)A B ''⨯⨯⨯-⨯，即(4,2),(6,2)A B ''---或(4,2),(6,2)A B ''-，故答案为：(4,2)--或(4,2)，(6,2)-或(6,2)-；（3）(,)P x y ，(2,2)P x y '∴--或(2,2)P x y '，故答案为：(2,2)x y --或(2,2)x y ．【点睛】本题考查了画位似图形、点坐标与位似图形，正确分两种情况讨论是解题关键．5、（1）证明见解析；（2）6【解析】【分析】（1）在△OOO 中有∠OFA +∠DAF =90°，在△OOO 中有∠OAF +∠PAF =90°，因为AO =OF =r ，由等角对等边有∠OFA =∠OAF ，故∠DAF =∠PAF ．（2）由题意可知△OOO ∼△OOO ，故有OO OO =OO OO ，设OD =x ，在△OOO 中由勾股定理有OO 2=OO2+OO2则有OO=√O2+64，DF=OO−OO=√O2+64−O，代入OOOO =OOOO，有82=(√O2+64−O)（22−O），解得x=6，x=703（舍）．【详解】（1）∵∠OFA+∠DAF=90°，∠OAF+∠PAF=90°又∵AO=OF=r∴∠OFA=∠OAF∴∠DAF=∠PAF（2）由∠DAF＝∠APF，∠ADF=∠ADP∴△OOO∼△OOO∴OOOO=OOOO设DF=x在△OOO中由勾股定理有OO2=OO2+OO2即OO=√O2+64，DF=OO−OO=√O2+64−O 则82=(√O2+64−O)（22−O）∴64=(√264√264√2)（22−O）∴64=(√2)（22−O）∴√O2+64+O=（22−O）∴√O2+64=22−2O∴O2+64=4O2−88O+484化简得3O2−88O+420=0（舍）解得x=6，x=703【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，由相似三角形成比例以及勾股定理列两个方程联立求解是解题的关键．。
九年级数学下册 第二十七章 相似测试题 (新版)新人教版 (含答案)
第二十七章相似测试题1．如图2714所示的四个QQ头像，它们( )图2714A．形状都相同，大小都不相等B．(1)与(4)，(2)与(3)形状相同，四个不完全相同C．四个形状都不相同D．不能确定2．下列图形不是相似图形的是( )A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案C．某人的侧身照片和正面照片D．大小不同的两张中国地图3．在比例尺为1∶5000的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，“鸟巢”的长轴为6.646 cm，则长轴的实际长度为( )A．332.3 m B．330 m C．332.5 m D．323.3 m4．△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是( )A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．30 cm5．在下列四组线段中，成比例线段的是( )A．3 cm,4 cm,5 cm,6 cmB．4 cm,8 cm,3 cm,5 cmC．5 cm,15 cm,2 cm,6 cmD．8 cm,4 cm,1 cm,3 cm6．已知正方形ABCD的面积为9 cm2，正方形ABCD的面积为16 cm2，则两个正方形边长的相似比为________．7．在某一时刻，物体的高度与它的影长成比例，同一时刻有人测得一古塔在地面上的影长为100 m，同时高为2 m的测竿，其影长为5 m，那么古塔的高为多少？8．两个相似的五边形的对应边的比为1∶2，其中一个五边形的最短边长为3 cm，则另一个五边形的最短边长为( )A．6 cm B．1.5 cmC．6 cm或1.5 cm D．3 cm或6 cm9．(中考改编)如图2715，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，求留下矩形的面积．图271510．北京国际数学家大会的会标如图2716所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．(1)试说明大正方形与小正方形是否相似？(2)若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求大正方形与小正方形的相似比．图271627．2 相似三角形第1课时相似三角形的判定1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠B＝20°，那么△DEF的各角的度数分别是______________．2．如图27211，直线CD∥EF，若OE＝7，CE＝4，则ODOF＝____________.图272113．已知△ABC∽△A′B′C′，如果AC＝6，A′C′＝2.4，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为________．4．如图27212，若∠BAD ＝∠CAE ，∠E ＝∠C ，则________∽________.图272125．如图27213，DE ∥FG ∥BC ，图中共有相似三角形( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对图272136．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，有下列条件： ①AB A ′B ′＝BC B ′C ′；②BC B ′C ′＝ACA ′C ′；③∠A ＝∠A ′；④∠C ＝∠C ′. 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．如图27214，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：AD 2＝CD ·BD .图272148．已知线段AB ，CD 相交于点O ，AO ＝3，OB ＝6，CO ＝2，则当CD ＝________时，AC ∥BD .9．如图27215，已知△ABC ，延长BC 到点D ，使CD ＝BC .取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E .(1)求AE AC的值；(2)若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长．图2721510．如图27216，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；(3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？图27216第2课时相似三角形的性质及其应用举例1．已知平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，AB＝3，对应边A′B′＝4，若平行四边形ABCD的面积为18，则平行四边形A′B′C′D′的面积为( )A.272B.818C．24 D．322．若把△ABC的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A′B′C′，则下列结论不可能成立的是( )A．△ABC∽△A′B′C′B ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为16C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为153．如图27224，球从A 处射出，经球台边挡板CD 反射到B ，已知AC ＝10 cm ，BD ＝15 cm ，CD ＝50 cm ，则点E 距离点C ( )图27224A ．40 cmB ．30 cmC ．20 cmD ．10 cm4．已知△ABC 和△DEF 相似且对应中线的比为3∶4，则△ABC 和△DEF 的周长比为____________．5．高为3米的木箱在地面上的影长为12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为______米．6．如图27225，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥CB ，且AD ＝12BC ，E 为AD 上一点，AC 与BE 交于点F ，若AE ∶DE ＝2∶1，则S △AEFS △CBF＝________.图272257．如图27226，直立在B 处的标杆AB ＝2.4 m ，直立在F 处的观测者从E 处看到标杆顶A 、树顶C 在同一条直线上(点F ，B ，D 也在同一条直线上)．已知BD ＝8 m ，FB ＝2.5 m ，人高EF ＝1.5 m ，求树高CD .图272268．如图27227是测量旗杆的方法，已知AB 是标杆，BC 表示AB 在太阳光下的影子，下列叙述错误的是( )图27227A ．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B ．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C ．可以利用△ABC ∽△EDB ，来计算旗杆的高D ．需要测量出AB ，BC 和DB 的长，才能计算出旗杆的高9．如图27228，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝ 12CD . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图2722810．(2011年广东中考改编)如图27229(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；(1)取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图27229(2)中阴影部分，求正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积；(2)取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图27229(3)中阴影部分，求正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积.(3) 取△A 2B 2C 2和△D 2E 2F 2各边中点，连接成正六角星形A 3F 3B 3D 3C 3E 3，依此法进行下去，试推测正六角星形A n F n B n D n C n E n 的面积.图2722927．3 位 似1．下列说法正确的是( )A ．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行B ．两个位似图形的面积比等于相似比C ．位似多边形中对应对角线之比等于相似比D ．位似图形的周长之比等于相似比的平方2．如图2739，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶6图2739 图273103．如图27310，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，且PA 1＝23PA ，则AB ∶A 1B 1＝( )A.23B.32C.35D.534．已知△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形，△A ′B ′C ′的面积为6 cm 2，周长是△ABC 的一半，AB ＝8 cm ，则AB 边上高等于( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm 5．如图27311，点O 是AC 与BD 的交点，则△ABO 与△CDO ________是位似图形(填“一定”或“不一定”)．图273116．如图27312，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，且相似比为12.若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2,周长为20 cm ，那么五边形A ′B ′C ′D ′E ′的面积为________，周长为________．图273127．已知，如图27313，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A ＝4∶3，则△ABC 与________是位似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________．图273138．如图27314，电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m；若放映机的光源S 距胶片20 cm ，那么光源S 距屏幕________米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．图273149．如图27315，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长(结果保留根号)．图2731510．某出版社的一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角的矩形与右下角的矩形位似(如图27316)，以给人一种和谐的感觉，这样的两个位似矩形该怎样画出来？该编辑认为只要A，P，C三点共线，那么这两个矩形一定是位似图形，你认为他的说法对吗？请说明理由．图27316第二十七章 相 似 27．1 图形的相似 【课后巩固提升】1．A 2.C 3.A 4.C 5.C 6．3∶47．解：设古塔的高为x ，则x100＝25，解得x ＝40.故古塔的高为40 m. 8．C 解析：分两种情况考虑：①3为小五边形的最短边长；②3为大五边形的最短边长．9．解：由图可知：留下的矩形的长为4 cm ，宽可设为x ，利用相似图形的性质，得84＝4x，即x ＝2.所以留下矩形的面积是4×2＝8(cm 2)．10．解：(1)因为正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以大正方形和小正方形相似．(2)设直角三角形的较长直角边长为a ，较短的直角边长为b ，则小正方形的边长为a －b .所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13， ①a ＋b ＝5. ②把②平方，得(a ＋b )2＝25，即a 2＋2ab ＋b 2＝25③. 所以③－①，得2ab ＝12，即ab ＝6.因为(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2＝13－12＝1，所以小正方形的面积为1，边长为1.又因为大正方形的面积为13，则其边长为13，所以大正方形与小正方形的相似比为13∶1.27．2 相似三角形第1课时 相似三角形的判定 【课后巩固提升】1．∠D ＝80°，∠E ＝20°，∠F ＝80° 2.373.2∶5 4．△ABC △ADE5．B 解析：△ADE ∽△AFG ，△ADE ∽△ABC ，△AFG ∽△ABC . 6．C 解析：①②，②④，③④都能△ABC ∽△A ′B ′C ′. 7．证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°. ∴∠C ＋∠CAD ＝90°.又∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＋∠B ＝90°. ∴∠B ＝∠CAD .∴△ADC ∽△BDA . ∴AD CD ＝BD AD，即AD 2＝CD ·BD .8．6 解析：∵AC ∥BD ，∴△AOC ∽△BOD .∴CO DO ＝AO BO.∴DO ＝4.∴CD ＝6. 9．解：(1)过点C 作CG ∥AB ，交DF 于点G . ∵点C 为BD 的中点，∴点G 为DF 的中点，CG ＝12BF ＝12AF .∵CG ∥AB ，∴△AEF ∽△CEG . ∴AE CE ＝AF CG＝2.∴AE ＝2CE .∴AE AC ＝AEAE ＋CE ＝2CE2CE ＋CE ＝23.(2)∵AB ＝a ，∴FB ＝12AB ＝12a .又∵FB ＝EC ，∴EC ＝12a .∴AC ＝3EC ＝32a .10．解：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴AD AB ＝AE AC .又∵AD ＝8－2x ，AB ＝8，AE ＝y ，AC ＝6，∴8－2x 8＝y 6.∴y ＝－32x ＋6.自变量x 的取值范围为0≤x ≤4.(2)S ＝12BD ·AE ＝12·2x ·y ＝－32x 2＋6x .(3)S ＝－32x 2＋6x ＝－32(x －2)2＋6.∴当x ＝2时，S 有最大值，且最大值为6.第2课时 相似三角形的性质及其应用举例【课后巩固提升】1．D 2.B 3.C4．3∶4 5.9 6.197．解法一：如图D57，过点E 作EG ⊥CD ，交CD 于点G ，交AB 于点H .图D57因为AB ⊥FD ，CD ⊥FD ，所以四边形EFBH 、EFDG 是矩形．所以EF ＝HB ＝GD ＝1.5，EH ＝FB ＝2.5，AH ＝AB －HB ＝2.4－1.5＝0.9，CG ＝CD －GD ＝CD －1.5，EG ＝FD ＝FB ＋BD ＝2.5＋8＝10.5.因为AB ∥CD ，所以△EHA ∽△EGC .所以EH EG ＝AH CG ，即CG ＝AH ·EG EH ＝0.9×10.52.5＝3.78.所以CD ＝CG ＋GD ＝3.78＋1.5＝5.28，故树高CD 为5.28 m.解法二：如图D58，延长CE ，交DF 的延长线于点P.图D58设PF ＝x ，因为EF ∥AB ，所以△PEF ∽△PAB .所以PF PB ＝EF AB ，即x x ＋2.5＝1.52.4，解得x ＝256，即PF ＝256.因为EF ∥CD ，所以△PFE ∽△PDC .所以PF PD ＝EF CD ，即PFPF ＋FB ＋BD ＝EF CD ，256256＋2.5＋8＝1.5CD.解得CD ＝5.28.故树高CD 为5.28 m.8．B9．(1)证明：∵AB ∥CE ，∴∠ABF ＝∠E .∵四边形ABCD 为平行四边形，∠A ＝∠C ，∴△ABF ∽△CEB .(2)解：∵DE ＝12CD ，∴DE ＝13EC .由DF ∥BC ，得△EFD ∽△EBC .∴S △EFDS △EBC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE EC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.∴S △EBC ＝9S △EFD ＝9×2＝18.S 四边形BCDF ＝S △EBC －S △EFD ＝18－2＝16.由AB ∥DE ，得△ABF ∽△DEF .∴S △DEFS △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14.∴S △ABF ＝4S △DEF ＝4×2＝8.∴S 四边形ABCD ＝S △ABF ＋S 四边形BCDF ＝8＋16＝24.10．解：(1)∵正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1是取△ABC 和△DEF 各边中点构成的，∴正六角星形AFBDCE ∽正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，且相似比为2∶1. ∴111111AFBDCEA FB DC E S S 正六角星形正六角星形＝1111111A FB DC E S 正六角星形＝22. ∴111111A F BD CE S 正六角星形＝14. (2)同(1)，得111111222222A FB DC E A F BD CE S S 正六角星形正六角星形＝4，∴222222A FB DC E S 正六角星形＝116. (3)n n n n n n A F BD CE S 正六角星形＝14n .27．3 位 似【课后巩固提升】1．C 2.B 3.B 4.B 5.不一定 6.17410 7．△A ′B ′C ′ 7∶4 △OA ′B ′ 7∶48.807 解析：设光源距屏x 米，则 3.5×3.52×102×2×102＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20x ×1022，解得x ＝807. 9．解：(1)如图D63.图D63(2)AA ′＝CC ′＝2.在Rt △OA ′C 中，OA ′＝OC ＝2，得A ′C ＝2 2，于是AC ′＝4 2.∴四边形AA ′C ′C 的周长＝4＋6 2.10．解：对的．如图D64，作对角线AC ，在AC 上根据需要取一点P ，过点P 作EF ∥BC ，作GH ∥AB ，则矩形AEPG 和矩形CFPH 就是两个位似的图形．图D64矩形AEPG 和矩形CFPH 的每个内角都是直角，又由AE ∥FC ，AG ∥CH ，可得EP PF ＝AE CF ＝AP CP ，PG PH ＝GA HC ＝AP CP ，于是EP PF ＝AE CF ＝PG PH ＝GA HC. 所以矩形AEPG ∽矩形CFPH ，而且这两个矩形的对应点的连线交于P 点，因此矩形AEPG 位似于矩形CFPH ，位似中心是点P .。
人教版九年级数学下册第27章《相似》单元检测及答案(2021新)
12.【答案】∵BC= AC，∴ ，∵AD∥BE∥CF，∴ ，∵DE=4，∴EF=2．故答案为：2．
13.【答案】因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF=2：9=（2：3）2，
所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
第27章《相似》单元测试卷解析
一、选择题
1.【答案】∵2x=5y，∴ ．故选B．
2.【答案】设 =k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
D、∠A=∠E且 不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
4.【答案】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，
∵BE=CE，∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+ DM2=1，解得DM= ；
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CP:CA=CQ:CB，即(20-4t)：20=2t：15，解得t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CP:CB=CQ:CA，即(20-4t)：15=2t：20，解得t= 秒．
因此t=3秒或t= 秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
②DM与BE是对应边时，DM= DN，∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，解得DM= ．∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
人教版九年级数学下册《第二十七章相似》单元检测卷-含答案
人教版九年级数学下册《第二十七章相似》单元检测卷-含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连线DE，下列结论：① ；② ；③ ；④ 其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，如果AD＝2cm，DB＝4cm，△ADE 的周长是10cm，那么△ABC的周长等于（）A.15cmB.20cmC.30cmD.36cm3、如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A.87°B.60°C.75°D.120°4、如图，点A、B、C、D都在上，为上的一点的延长线交于，若，则的值为（）A.2B.C.D.45、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.D.6、如图，在中是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个7、如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A.4.5B.5C.5.5D.68、如图，中是斜边上的高，那么等于（）A. B. C. D.9、两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（）A.12B.12或24C.27D.12或2710、如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B 1 C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（）A.(3，2)B.(－2，－3)C.(2，3)或(－2，－3)D.(3，2)或(－3，－2)11、如图，在中分别是边上的中点，则（）A.1B.C.D.12、下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、313、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm，如果它们的周长和为84cm，那么较大多边形的周长为（）A.36cmB.42cmC.48cmD.54cm14、如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= MF．其中正确结论的是（）A. B. C. D.15、如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A.相似B.平移C.轴对称D.旋转二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足= ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：=4 ．①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF其中正确的是________（写出所有正确结论的序号）．17、如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为________．18、如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为________．19、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为________米．20、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线上一动点（不与原点重合），连接，过点P作，交x轴于点D.则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）① ；②当点D运动到的中点处时；③当时，点D的坐标为；④在运动过程中，是一个定值.21、如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么=________．22、如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM= AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH 的面积是，则的值是________．23、如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=________．24、有一个多边形的边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是________.25、如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形相似缩放，使重叠的两边互相重合，我们称这样的图形为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=4，△A1B1C是△ABC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，此时A1B1的长度为________ ；那么以点C为转似中心的另一个转似三角形△An BnCn（点An， Bn分别与A、B对应）的边An Bn的长为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知x：y：z=2：3：4，求的值．27、已知线段a、b，求作线段x，使a：b=b：x．28、如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．29、如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,每个小正方形的边长都为1. （1）在图上标出位似中心D的位置,并写出该位似中心D的坐标是；（2）求△ABC与△A′B′C′的面积比．30、如图，在△ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、A4、B5、D6、B7、A8、C9、D10、D11、C12、B13、C14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、第11 页共11 页。
九年级数学下册《第二十七章-相似》单元检测卷及答案-人教版
九年级数学下册《第二十七章 相似》单元检测卷及答案-人教版一、选择题1．下列各组图形，一定相似的是（ ）A ．两个等腰梯形B ．两个正方形C ．两个菱形D ．两个矩形2．若线段a ＝2cm ，线段b ＝8cm ，则a ，b 的比例中项c 为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．32cm3．如图，已知ABC EDC ∽，23AC EC =：：若AB 的长度为6，则DE 的长度为（ ）A ．4B ．9C ．12D ．13.54．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体30AB =，根据图中尺寸()AB CD ，则CD 的长应是（ ）A ．15B ．30C ．20D ．105．如图，五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''是位似图形，O 为位似中心12OD OD ='则A B AB ''：为( )A ．2：3B ．3：2C ．1：2D ．2：16．在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ：1BD =：3，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是（ ）A ．14DE BC = B ．14AD AB = C ．14AE AC = D ．14AE EC = 7．如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上60ADE ∠=︒，若4BD DC =和2.4DE =则AD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.28．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，BC ＝7m ，则建筑物CD 的高是（ ）mA ． 3.5B ．4C ．4.5D ．59．如图，ABC 是等边三角形，ABD 是等腰直角三角形90BAD ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，连接CD 分别交AE ，AB 于点F ，G 过点A 作AH CD ⊥分别交CD ，BD 于点P ，H 则下列结论不正确的是（ ）A ．4BAC ADC ∠=∠B ．DF AH =C ．2BH PF =D ．若23CG BG =，则32AG FG =10．如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了ABC 和111A B C ，其中ABC 三个顶点坐标分别为()01A ，，()22B ，和()31C ，，若ABC 和111AB C 是以原点O 为位似中心的位似图形，则11ABA B =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．32二、填空题11．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A B C D E '''''，已知5cm OA =10cm OA '=五边形ABCDE 的周长为50cm ，则五边形A B C D E '''''的周长是 cm .12．如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD 若2AO =，1OF =和2FD =.则BEEC的值为 ．13．如图，点P 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，PA x ⊥轴于点A PB y ⊥，轴于点B PA PB =，一次函数1y x =+与PB 交于点D ，若D 为PB 的中点，则k 的值为 ．14．为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小明利用物理学中“光的反射定律”做了如下的探索：如图，找一面很小的镜子放在合适的位置（点E 处），小明站在点D 处刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小明看镜子的视线与地面的夹角为30︒（即30CED ∠=︒），镜子到大树的水平距离BE 为30米，则树的高度为 米（注：反射角等于入射角，结果若有根号则保留根号）．三、解答题15．如图，四边形ABCD∽四边形A 1B 1C 1D 1，∽A ＝80°，∽B ＝75°，∽C ＝125°，求x ，∽D 1.16．如图，ABC 是O 的内接三角形，点D 是AC 的中点，弦BD 交AC 于点E.CDE 与BDC相似吗？为什么？17．如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成投影BC .若树高2m AB =，树影3m BC =，树与路灯的水平距离4m BP =，求路灯的高度OP .18．已知：∽ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）.（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）（ 1 ）画出∽ABC 向下平移4个单位得到的∽A 1B 1C 1；（ 2 ）以B 为位似中心，在网格中画出∽A 2BC 2，使∽A 2BC 2与∽ABC 位似，且位似比2：1，直接写出C 2点坐标是 ；（ 3 ）∽A 2BC 2的面积是 平方单位.四、综合题19．如图，ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，ABC ∠的平分线交AD 于点F .（1）求证：ABEF 是菱形： （2）若ABCD FDCE ∽，则BCCD的值为 . 20．如图，AB 为∽O 的直径，E 为∽O 上一点，点C 为EB 的中点，过点C 作CD∽AE ，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．（1）求证：CD 是∽O 的切线；（2）若DE=1，DC=2，求∽O 的半径长．21．如图，已知点()36B -，，()30C -，以坐标原点O 为位似中心，在第四象限将OBC 缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为13：）．（1）画出缩小后的图形； （2）写出B 点的对应点坐标；（3）如果OBC 内部一点M 的坐标为()x y ，，写出点M 经位似变换后的对应点坐标．22．如图，O 是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径，点D 是O 外一点，AC 平分BCD ∠，过点A 作直线CD 的垂线，垂足为点D ，连接AD ，点E 是AB 的中点，连接OE ．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若O 的直径为10，3OE =，求CD 的长．参考答案与解析1．【答案】B【解析】【解答】解：A 、两个等腰梯形不一定相似，故A 不符合题意；B 、两个正方形一定相似，故B 符合题意；C 、两个菱形不一定相似，故C 不符合题意；D 、两个矩形不一定相似，故D 不符合题意； 故答案为：B【分析】等腰梯形不一定相似，可对A 作出判断；正方形的四个角相等，四条边相等，所有的正方形都相似，可对B 作出判断；菱形的四边相等，两个菱形不一定相似，可对C 作出判断；矩形的四个角相等，两个矩形不一定相似，可对D 作出判断.2．【答案】A 【解析】【解答】解：c 是a b ，的比例中项，且0c >，2c ab ∴=， 28a b ==，， 216c ∴=，4c ∴=， （负根舍去） 故答案为：A【分析】由c 是a b ，的比例中项，可得2c ab =，继而求解.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵ABC EDC ∽∴23AB AC ED EC == ∵AB 的长度为6 ∴DE=9 故答案为：B【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元测试题含答案
的A 处，则小明的影子 AM 的长为m.第二十七章相似一、填空题（每题3分，共18分） 1. 若两个相似六边形的周长比是3 : 2,其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为 _________ .2. ________________________________________________________________________ 如图27— Z — 1，在△ ABC 中，点D ,E 分别在边 AB,AC 上，请添加一个条件： _______________ 使厶ABC s△ AED.3. ________________________ 如图27 — Z — 2, AE , BD 相交于点C , BA 丄AE 于点A , ED 丄BD 于点D 若AC = 4, AB = 3, CD = 2,贝U CE = .图 27 — Z — 24. 如图27— Z — 3,以点0为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形 AB'C'D E ' 已知0A = 10 cm , OA ' = 20 cm ,则五边形 ABCDE 的周长与五边形 A B C D E 的周长的比 值是 _________ .图 27 — Z —35.如图27 — Z — 4,路灯距离地面 8 m ,身高1.6 m 的小明站在距离灯的底部 （点 0）20 m图 27 — Z — 1图 27 — Z — 66.如图27— Z — 5,矩形ABCD 中，AB = 3, BC = . 6,点E 在对角线 BD 上，且BECF=1.8,连接AE 并延长交DC 于点F ,则 —= ________________ .二、选择题（每题4分，共32分）7.由5a = 6b （a ^ 0, b 丰0）,可得比例式（）F 列各组中的四条线段成比例的是 （ ）9.如图27 — Z — 6，△ ACD 和厶ABC 相似需具备的条件是 （ ）AC _ AB CD _ BC A.CD = BC B.AD = ACC . 4 cm , 5 cm , 6 cm 2 cm , 3 cm , 5 cm 4 cm , 5 cm , 6 cm2 cm , 2 cm , 4 cm图 27 — Z — 4A MB图 27 — Z —54 cm , 1 cm , 3 cm , 1 cm , B2 2C . AC 2= AD AB D • CD 2= AD BD10•如图27- Z — 7,在厶ABC 中，点D , E , F 分别在边CFEF // AB.若 AD = 2BD ,贝U 的值为()B F1112B.3C.4 D ・3中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）12. 已知△ ABC 在直角坐标系中的位置如图 27 — Z — 10所示，以O 为位似中心，把△ ABC 放大为原来的2倍得到△ A'B'C',那么点A 的坐标为（）图 27 — Z — 10A . (— 8, — 4)B . (— 8, 4)C . (8, — 4)D . (— 8, 4)或(8, — 4)AB , AC , BC 上，且 DE // BC,11. 如图 27 — Z — 8, △ ABC 中，/A = 78° ,AB = 4, AC = 6•将△ ABC 沿图 27— Z —9 图 27 — Z — 7图 27 — Z —8图 27 — Z — 9图 27 — Z — 1313.将两个三角尺（含45°角的三角尺 ABC 与含30°角的三角尺 DCB ）按图27- Z — 11 所示方式叠放,斜边交点为0,则厶AOB 与厶COD 的面积之比等于（）图 27— Z — 1114. 如图27 — Z — 12,已知O 0是等腰直角三角形 ABC 的外接圆，D 是AC 上一点，BD 4交AC 于点E ,若BC = 4, AD =,则AE 的长是（）5图 27 — Z — 12A . 3B . 2C . 1D . 1.2 三、解答题（共50分）15. （10 分）已知：如图 27 — Z — 13 , △ ABC 中，/ ABC = 2/ C , BD 平分/ ABC. 求证：AB BC = AC CD.16. （12分）如图27- Z — 14，在平面直角坐标系中，将△ ABC 进行位似变换得到△ A i B i C i . ⑴△ A i B i C i 与厶ABC 的相似比是 _________ ； （2）画出△ A i B i C i 关于y 轴对称的厶A 2B 2C 2；⑶设P （a ,力为厶ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在厶A 2B 2C 2内的对应点 P 2 的坐标是 _________________.B图27 —Z —i4i7. （i2分）如图27 —Z —i5, AB是半圆0的直径，P是BA的延长线上一点，PC是O O 的切线，切点为C,过点B作BD丄PC交PC的延长线于点D,连接BC.求证：⑴/PBC=Z CBD;(2)BC2= AB BD.图27 —Z —i518. (16 分)如图27 —Z—16,在Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° , AC = 5 cm,/ BAC = 60° , 动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C 出发，在CB 边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(0<t<5)秒，连接MN.(1) 若BM = BN ,求t的值；(2) 若厶MBN与厶ABC相似，求t的值；(3) 当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积.图27 —Z —16教师详解详析1. 36 ［解析］•••两个相似六边形的周长比是 3 : 2,•••它们的面积比为9 : 4.•••较大六边形的面积为81,•较小六边形的面积为81 X 4= 36.故答案为36.2. / B =/AEB（答案不唯一）［解析］I/B = /AEB, / A =Z A,• △ABC s^ AED.故添加条件/ B=/ AEB即可使得厶ABCAED.3. 2.5 ［解析］T BA丄AE, AC = 4, AB = 3, • BC = .32+ 42= 5.•/ BA丄AE, ED 丄BD,A=/ D = 90° .又•••/ ACB =/ DCE ,• △ABC s^ DEC ,•AC=CD'BC= CE，即4= 2CE，• CE= 2.5. 故答案为2.5.14i5. 5 ［解析］如图，设路灯为点C.由题意可得△ MAB s\ MOC ,所以ABCOAMO M，即譽悬，解得AM = 5.163［解析「•四边形ABCD是矩形，•••/ BAD = 90° .又T AB=, BC= ：J6,•AD = BC = .；6,•BD = AB2+ AD2= 3.•/ BE= 1.8,•DE = 3 — 1.8 = 1.2.T AB// CD ,•DF = DE 即DF = 12…AB = BE，即3= 1.8，解得DF = 23&,3贝U CF = CD —DF =学,3•CF = 3_ = 1•CD — 3 = 3.7. D 8.D9. C ［解析］•••在△ ACD 和厶ABC 中，/ A=Z A,•根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出需添加的条件是ACABADAC，• AC2= AD AB.故选C.10. A ［解析］V DE // BC, EF // AB,•••四边形BDEF是平行四边形，/ FEC = Z A, / C=Z AED ,•••△EFCADE ,.CF _ EF■D E=A D，• CF _ CF _ EF _ BD _ 1…BF =DE =AD =AD =2.故选A.11. C ［解析］A项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似, 故本选项不符合题意；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C项，两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D项，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意.故选C.12. D13. D ［解析］由题意，知/ABC = Z BCD = 90° ,• AB// CD ,• △AOB s^ COD.设BC = a,贝V AB = a, CD = 3a,• AB : CD = 1 : .3,S A AOB :S A COD = 1 : 3.故选D.14. C ［解析］•••△ ABC是等腰直角三角形，BC = 4,• AB 为O O 的直径，AC = 4, AB = 4 2,4在Rt△ ABD 中，AD = 5 AB = 4 2,BD = 285 '•••/ D =Z C, / DAC = Z CBE,• △ADE s\ BCE.4•/ AD : BC = : 4= 1 : 5,5•△ ADE与厶BCE的相似比为1 : 5.设AE= x,则BE= 5x,28 =--DE = ——5x,5• CE= 28 —25x.•/ AC= 4,• x+ 28 —25x= 4,解得x= 1.15. 证明：•••/ABC = 2/ C, BD 平分/ ABC, •/ ABD = Z DBC = Z C,• BD = CD.在厶ABD和厶ACB中，/ A=Z A, / ABD = Z C,•△ ABDACB ,• AB = BD…AC= BC ,即AB BC= AC BD ,• AB • BC = AC CD.16•解：⑴△ A i B i C i与厶ABC的相似比=欝 =4=2•故答案为2.AB 2⑵如图所示:(3)P(a, b)为厶ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点P2的坐标为(—2a, 2b).故答案为(—2a, 2b).17.证明：(1)如图，连接0C,••• PC与O 0相切，••• OC X PC ,即/ OCP = 90•/ BD 丄PD ,•••/ BDP = 90° ,•••/ OCP=Z BDP,• OC // BD ,•••/ BCO=Z CBD.•/ OB= OC,•••/ PBC=Z BCO,•••/ PBC=Z CBD.⑵如图，连接AC,•/ AB为O O的直径，•••/ ACB= 90°=/ CDB.又•••/ ABC =/ CBD ,•••△ ABC s^ CBD ,.BC = AB…BD = BC ，即 BC 2= AB BD.18.解：⑴•••在 Rt △ ABC 中，/ACB = 90 AC = 5 cm , / BAC = 60° ,• AB = 10 cm , BC = 5 3 cm.由题意知 BM = 2t cm , CN = 3t cm ,• BN = (5 3— 3t)cm.由 BM = BN ,得 2t = 5 .3— . 3t ,⑵①当△ MBNABC 时,MB = BNAB = BC ，即 2t = 5 3— 3t10 5 ,'3.•.当 t = 5或 t = 15时,△ MBN 与^ ABC 相似. ⑶过点M 作MD 丄BC 于点D ,可得MD = t.设四边形ACNM 的面积为y cm 2,5解得t=]②当△ NBM ABC 时, NB = BM AB = BC ， 5 ,3— .‘3t 10 2t 5 .3，解得t =157 . 解得t =5 .3 2+ .3 =10 3 — 15. (ii)则y = &ABC—BMN=2AC BC- 2BN MD1 1=2X5X 5 3-2X(5 3- 3t)t宁t+专=承-1)2+75 3.根据二次函数的性质可知，当t= 2时,y的值最小，为785 3,四边形ACNM的面积最小，最小面积为75 3 cm2.即当t=8 、。
人教版九年级数学下册第27章《相似》单元检测及解析
人教版数学九年级下学期第27章《相似》单元测试卷（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知2x=5y （y ≠0），则下列比例式成立的是（ ）A ．x y 25=B ．x y52= C ．x 2y 5= D ．x 52y =2.若a b c 234==，则a 2b 3ca ++等于（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．113.下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A=∠E 且∠D=∠F B ．∠A=∠B 且∠D=∠F C ．∠A=∠E 且AB EF AC ED = D ．∠A=∠E 且AB DFBC ED=4.如图，正方形ABCD 的边长为2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端点在CD 、AD 上滑动，当DM 为（ ）时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似．NMED CBAABCD5.如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是（ ）FEDCB AA ．AD DEDB BC=B ．BF EFBC AD=CAE BFEC FC=． D ．EF DEAB BC=6.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD 1DB 2=，DE=4，则BC 的长是（ ）EDCB AA ．8B ．10C ．11D ．127.如图，四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，AB=12，CD=15，A 1B 1=9，则边C 1D 1的长是（ ）D 1C 1B 1A 1DCBAA ．10B ．12C ．454 D.3658.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且AB 1A B 2=''，则S △ABC ：S △A'B'C ′为（ ） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：4 D ．4：19.如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）0.5m16m?A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC=3，AB=6，那么AD 的值为（ ）D CBAA ．32 B ．92CD ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，BD=4，CD=9，则AD= ．12.如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC=13AC ，DE=4，那么EF 的值是 ．FEDCB A13.已知△ABC ∽△DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 ．14.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ，若AD=OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 ．ODC15.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是 米（平面镜的厚度忽略不计）．C16.如图，在△ABC 中，AB=9，AC=6，BC=12，点M 在AB 边上，且AM=3，过点M 作直线MN 与AC 边交于点N ，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=．CBA三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD=3，AB=5，求DEBC的值．ECB18.（本题8分）已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ． 求证：CF 2=GF •EF ．DCB19.（本题8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 为角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ． （1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形； （2）选择（1）中一对加以证明．EDCB A20.（本题8分）如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点．（1）把△ABC 向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A 1B 1C 1．画出平移后的图形，并写出点A 的对应点A 1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，得到△A 2B 2C 2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．21.（本题8分）在△ABC 中，点D 为BC 上一点，连接AD ，点E 在BD 上，且DE=CD ，过点E 作AB 的平行线交AD 于F ，且EF=AC ．如图，求证：∠BAD=∠CAD ；CBAFED22.（本题10分）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E ，连接DE ，作EF ⊥DE ，交直线AB 于点F ． （1）若点F 与B 重合，求CE 的长；（2）若点F 在线段AB 上，且AF=CE ，求CE 的长．CBA F ED23.（本题10分）如图，已知△ABC ∽△ADE ，AB=30cm ，AD=18cm ，BC=20cm ，∠BAC=75°，∠ABC=40°． （1）求∠ADE 和∠AED 的度数； （2）求DE 的长．D EBCA24.（本题12分）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=20cm ，BC=15cm ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/秒，点Q 的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求： （1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？BCA第27章《相似》单元测试卷解析一、选择题1. 【答案】∵2x=5y ，∴x y52=．故选B ． 2.【答案】设a b c234===k ， 则a=2k ，b=3k ，c=4k ，即a 2b 3c a ++=2k 23k 34k2k+⨯+⨯=10， 故选C ．3. 【答案】A 、∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B 、∠A=∠B ，∠D=∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C 、由A B E FA C E D=可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC 与△DEF 相似，故此选项正确； D 、∠A=∠E 且AB DFBC ED=不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C ．FEDC B A4. 【答案】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ， ∵BE=CE ，∴AB=2BE ，又∵△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，∴①DM 与AB 是对应边时，DM=2DN ∴DM 2+DN 2=MN 2=1∴DM 2+14DM 2=1，解得；②DM 与BE 是对应边时，DM=12DN ，∴DM 2+DN 2=MN 2=1，即DM 2+4DM 2=1，解得．∴DM时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似． 故选C ．5. 【答案】∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE=BF ，BD=EF ； ∵DE ∥BC ，∴AD AE BF AB AC BC ==，EF CE BCAB AC DE ==， ∵EF ∥AB ，∴AE BFEC FC=故选C ． 6.【答案】∵AD 1DB 2=，∴AD 1AB 3=， ∵在△ABC 中，DE ∥BC ，∴DE AD 1BC AB 3==， ∵DE=4，∴BC=3DE=12．故选D ．7. 【答案】∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，∴1111AB CDA B C D =， ∵AB=12，CD=15，A 1B 1=9，∴C 1D 1=454． 故选C ．8.【答案】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB 1A B 2=''，∴S △ABC ：S △A'B'C ′==（AB A B ''）2=14，故选C ． 9.【答案】设长臂端点升高x 米，则0.5：x=1:16，∴解得：x=8．故选；C ．10. 【答案】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，∴AC 2=AD •AB ，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD ，则AD=32．故选：A ．二、填空题11.【答案】∵△ABC 是直角三角形，AD 是斜边BC 上的高，∴AD 2=BD •CD （射影定理）， ∵BD=4，CD=9，∴AD=6．DCBA12.【答案】∵BC=13AC ，∴AB 2BC 1=，∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB DEBC EF =，∵DE=4，∴EF=2．故答案为：2． 13.【答案】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方， 因为S △ABC ：S △DEF =2：9=（2：3）2， 所以△ABC 与△DEF 的相似比为2：3， 故答案为：2：3．14.【答案】∵以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ，AD=OA ， ∴AB ：DE=OA ：OD=1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4． 故答案为：1：4．15.【答案】由题意知：光线AP 与光线PC ，∠APB=∠CPD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴AB:BP=CD:PD,，∴CD=1.2×12÷1.8=8（米）． 故答案为：8．16.【答案】如图1，当MN ∥BC 时，则△AMN ∽△ABC ，故AM:AB=AN:AC=MN:BC ， 则3：9=MN:12，解得：MN=4， 如图2所示：当∠ANM=∠B 时，又∵∠A=∠A ，∴△ANM ∽△ABC ，∴AM:AC=MN:BC ，即3：6=MN:12， 解得：MN=6， 故答案为：4或6．图2图1ABCCBA三、解答题17.【解答】∵DE ∥BC ，∴AD:AB=DE:BC ，∵AD=3，AB=5，∴DE BC =35． 18.【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ， ∴GF:CF=DF:BF ，CF:EF=DF:BF ，∴GF:CF=CF:EF ，即CF 2=GF •EF ． 19.【解答】（1）△ADE ≌△BDE ，△ABC ∽△BCD ； （2）证明：∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线，∴∠ABD=12∠ABC=36°=∠A ， 在△ADE 和△BDE 中, ∠A=∠DBA,∠AED=∠BED,ED=ED ， ∴△ADE ≌△BDE （AAS ）；∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线，∴∠DBC=12∠ABC=36°=∠A ， ∵∠C=∠C ，∴△ABC ∽△BCD ． 20.【解答】（1）△A 1B 1C 1如图所示，其中A 1的坐标为：（0，1）； （2）符合条件△A 2B 2C 2有两个，如图所示．A 1B 1C 1各点的坐标，继而画出图形； （2）利用位似的性质，可求得△A 2B 2C 2各点的坐标，继而画出图形． 21.【解答】延长FD 到点G ，过C 作CG ∥AB 交FD 的延长线于点M ， 则EF ∥MC ，∴∠BAD=∠EFD=∠M ，在△EDF 和△CMD 中，∠EFD=∠M ，∠EDF=∠MDC ，ED=DC ， ∴△EDF ≌△CMD （AAS ），∴MC=EF=AC ，∴∠M=∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD ；BAM22.【解答】（1）当F和B重合时，∵EF⊥DE，∵DE⊥BC，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=EF=9，∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3；（2）过D作DM⊥BC于M，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB，∵AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，设AF=CE=a，则BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∴∠BFE=∠DEM，∵∠B=∠DME，∴△FBE∽△EMD，∴BF:EM=BE:DM，∴(7-a)：（a-3）=（12-a）：7，a=5，a=17，∵点F在线段AB上，AB=7，∴AF=CE=17（舍去），即CE=5．EDF（F）D23.【解答】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣75°﹣40°=65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB:AD=BC:DE，即30：18=20：DE，解得DE=12cm．24.【解答】由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=10cm；（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S=12×（20-4t）×2t=（20t-4t2）cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CP:CA=CQ:CB，即(20-4t)：20=2t：15，解得t=3秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CP:CB=CQ:CA，即(20-4t)：15=2t：20，解得t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
人教版九年级数学下册第二十七章相似全章测试含答案
第二十七章 相似 全章测试班级_____________姓名_____________学号_____________分数_____________一、选择题1. 如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA = 2∶3，EF = 4，则 CD 的长为（ ）A ．163B ．8C ．10D ．162. 如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a ，AC=b ，AB=c ，要使△ABC ∽△CAD ，只要CD 等于( )A.c b 2B.ab 2C.cab D.c a23. 在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F,若EC =2BE ，则FDBF的值是（ ）A.21B.31C.41D.514. 已知：如图，DE ∥BC ，AD:DB=1:2，则下列结论不正确的是（） A 、12DE BC = B 、19ADE ABC ∆=∆的面积的面积 C 、13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D 、18ADE ∆=的面积四边形BCED 的面积DCBAA B CDFE5. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，•长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）．A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m6. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2） 7. 平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点，则（ ） A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似 C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以21，得到的鱼与原来的鱼位似8. 对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．轴对称 D ．位似9. 已知:如图,点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C ，D ，E （E 在格点上）为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ） A ．（6，0） B ．（4，2）C ．（6，5） D ．（6，3）10. 小明在暗室做小孔成像实验.如图1，固定光源（线段MN ）发出的光经过小孔（动点K ）成像（线段M'N'）于足够长的固定挡板（直线l ）上，其中MN// l .已知点K 匀速运动，其运动路径由AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 组成．记它的运动时间为x ，M'N'的长度为y ，若y 关于x 的函数图象大致如图2所示，则点K 的运动路径可能为（ ） A ．A→B→C→D→A B ．B→C→D→A→B C ．B→C→A→D→B D ．D→A→B→C→D图1 图2二、填空题11. 如果两个相似三角形的面积比是1:2，那么它们的相似比是. 12. 如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h 为米.13. 如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段AC 的长为.14. 如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE 与△ACE 相似，那么线段CE 的长等于．15. 如图，ABC △与AEF△中，AB AE BC EF B E AB==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论： ①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠． 其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题16. 如图，△ABC 在方格纸中，A BC（1） 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使 A （2，3），C （6，2），并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A′B′C′； （3）计算△A′B′C′的面积S ．交BC 、BD 于点E 、F ，求证：BE ABAD DH． 17. 如图，点H 在 ABCD 的边DC 延长线上，连结AH 分别18. 如图，花丛中有一路灯杆AB. 在灯光下， 小明在D 点处的影长DE=3米，沿BD 方向行 走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH ＝5米. 如果小明的身高为1.7米，求路灯杆 AB 的高度(精确到0.1米)．19. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E 是OB 的中点，CE 的延长线交切线DB 于点F ，AF交⊙O 于点H ，连结BH ． （1）求证：AC=CD ； （2）若OB=2，求BH 的长．ABCDEF H20.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：图1 图2 图3如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3 ．（1）求APPD的值；（2）若CD=2，则BP=．参考答案：1-10. CABAC ACDDB 11.1:12. 2.4 13.14.151245或15.①③④16.（1）（2,1）（2）略（3）16 17.分析：BE BF ABAD DF DH==18.5.95m≈6.0m19.（1）略（24520.解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………1分 解决问题：（1）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ，∵DC ︰BC ＝1︰2，∴BC ＝2k . ∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点，∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ，∴∠F ＝∠1.又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k .∵AF ∥DB ，∴△AFP ∽△DBP .∴DBAFPD AP =. ∴32=PD AP . …………………………………………………………………4分（2） 6 ……………………………………………………………………………5分专项训练二 概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A ．通常加热到100℃时，水沸腾B ．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图 第8题图8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________．三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：事件A 必然事件 随机事件(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。
九年级数学下册第二十七章相似单元综合测试1新人教版
第二十七章相似全章测试一、选择题1．以以以下图，在△ABC中， DE∥ BC，若AD＝1， DB＝2，则DE的值为()BC第1题图A．2B．1C．1D．1 34322．以以以下图，△ABC中 DE∥ BC，若 AD∶ DB＝1∶2，则以下结论中正确的选项是( )第2题图A．DE1B．ADE 的周长1 BC2ABC 的周长2C．ADE的面积1ADE的周长1 ABC 的面积D．ABC 的周长333．以以以下图，在△ABC中∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于E点，则以下结论正确的选项是 ()第3题图A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC4．以以以下图，在△ABC中 D为 AC边上一点，若∠DBC＝∠A，1第4题图A．1B．3C． 2D．5 225．若P 是 Rt △的斜边上异于，的一点，过点P作直线截△，截得的三角ABC BC B C ABC形与原△ ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条6．以以以下图，△ABC中若 DE∥ BC， EF∥AB，则以下比率式正确的选项是( )第6题图A．ADDE B．BFEF DB BC BC ADC．AEBF D．EFDE EC FC AB BC7．以以以下图，⊙O中，弦AB，CD订交于P点，则以下结论正确的选项是( )第7题图A．PA·AB＝PC·PB B．PA·PB＝PC·PD C．PA·AB＝PC·CD D．PA∶PB＝PC∶PD 8．以以以下图，△ABC中， AD⊥ BC于 D，关于以下中的每一个条件第8题图①∠ B ＋∠ DAC ＝ 90°②∠ B ＝∠ DAC2③CD ： AD ＝AC ： AB ④AB ＝ BD · BC此中必定能判断△ ABC 是直角三角形的共有 ( )A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个二、填空题9．如图 9 所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆 5m 的 C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为 ，则路灯的高度 AB 为 ______．图 910．以以以下图，△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 边上一点，且AE1，射线EB6CF 交 AB 于 E 点，则AF等于 ______ ．FD第10题图211．以以以下图，△ ABC 中， DE ∥ BC ，AE ∶ EB ＝2∶ 3，若△ AED 的面积是 4m ，则四边形DEBC 的面积为 ______．3第11题图12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶ 4，则这两个多边形的周长比是______．三、解答题13．已知，如图，△ABC中， AB＝2， BC＝4，D为 BC边上一点， BD＝1．(1)求证：△ ABD∽△ CBA；(2)作 DE∥AB交 AC于点 E，请再写出另一个与△ ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝ 4cm，DB＝ 9cm，求CB的长．15．以以以下图，在由边长为 1 的 25 个小正方形构成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△ A1B1C1( A1，B1，C1三点都在格点上) ，并求出这个三角形的面积．16．以以以下图，在 5× 5 的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)， B(0，2)，试以5×5的格点为极点作△与△相似 ( 相似比不为1) ，并写出C 点的坐标．ABC OAB17．以以以下图，⊙O的内接△ ABC中，∠ BAC＝45°，∠ ABC＝15°， AD∥OC并交BC的延长线于 D点， OC交 AB于 E 点．(1)求∠ D的度数；2(2) 求证：AC＝AD·CE．18．已知：如图，△ABC中，∠ BAC＝90°， AB＝AC＝1，点 D是 BC边上的一个动点( 不与 B， C点重合)，∠ ADE＝45°．(1)求证：△ ABD∽△ DCE；(2)设 BD＝x， AE＝ y，求 y 关于 x 的函数关系式；(3)当△ ADE是等腰三角形时，求 AE的长．ABC 的面积为 S ，△ DCE 的面积为 S ′．(1) 当 D 为 AB 边的中点时，求 S ′∶ S 的值；(2) 若设 AD x,Sy, 试求 y 与 x 之间的函数关系式及x 的取值范围．S20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－ － 1 与 y 轴交于点，以原点 O 为圆心， 长为半径xCOC作⊙ ，交轴于， 两点，交 y 轴于另一点 ．设点P 为抛物线 y ＝ x 2－－ 1 上OxA BD x的一点，作 PM ⊥ x 轴于 M 点，求使△ PMB ∽△ ADB 时的点 P 的坐标．21．在平面直角坐标系 xOy 中，已知关于 x 的二次函数 y ＝x 2＋ ( k － 1) x ＋ 2k － 1 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点 ( 点 A 在点 B 的左边 ) ，与 y 轴交于点 C (0 ，－ 3) ．求这个二次函数的解析式及 A ， B 两点的坐标．22．以以以下图，在平面直角坐标系xOy内已知点 A和点 B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A开始在线段上以每秒 1 个单位长度的速度向点O挪动，同时动点AO从点B 开始在线段BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点A挪动，设点，挪动Q P Q 的时间为t秒．(1)求直线 AB的解析式；(2)当 t 为什么值时，△ APQ与△ ABO相似?(3)当 t 为什么值时，△ APQ的面积为24个平方单位? 523．已知：如图，□ABCD中，AB＝ 4，BC＝ 3，∠BAD＝ 120°，E为BC上一动点 ( 不与B点重合 ) ，作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求证：△ BEF∽△ CEG；(2) 求用x表示S的函数表达式，并写出x 的取值范围；(3)当 E 点运动到哪处时， S 有最大值，最大值为多少?参照答案1．C． 2 ． D． 3 ．C． 4 ．C． 5 ．C． 6 ．C． 7 ．B． 8 ．A．129． 4． 8m． 10 ．11 ． 21m． 12 ． 5∶ 4．313． (1)AB BD , ABD CBA ，得△ HBD∽△ CBA；CB BA(2)△ ABC∽△ CDE， DE＝．14．3 13cm.提示：连结AC．．提示： A 1C 1 5 2, A 1 B 1 10 , B 1C 1 2 5. 1 1 115△ AB C 的面积为 5． 16． C (4 ，4) 或 C (5，2) ．17．提示： (1) 连结 OB ．∠ D ＝ 45°．(2) 由∠ BAC ＝∠ D ，∠ ACE ＝∠ DAC 得△ ACE ∽△ DAC ．18． (1) 提示：除∠＝∠C 外，证∠ ＝∠ ．BADB DEC (2) 提示：由已知及△ ABD ∽△ DCE 可得CE2x x 2 .从而 y ＝ AC － CE ＝ x 2－2x1.(此中 0x 2 ) ．(3) 当∠ ADE 为顶角时： AE 2 2. 提示：当△ ADE 是等腰三角形时，△ ABD ≌△ DCE ．可得 x 2 1.当∠ ADE 为底角时：AE1219． (1) ＇∶ ＝ 1∶4；SS(2) yx 21x(0 x4).16420．提示：设 P 点的横坐标 x P ＝a ，则 P 点的纵坐标 y P ＝ a 2－ a － 1．则 PM ＝｜ a 2－ a － 1｜， BM ＝｜ a － 1｜．由于△ ADB 为等腰直角三角形，因此欲使△PMB ∽△ ADB ，只要使 PM ＝ BM .即｜ a 2－ a － 1｜＝｜ a － 1｜．不难得 a 1＝0．a 2 2. a 342.∴ P 点坐标分别为 P (0 ，－ 1) ．P (2 ，1)． P 3( 2, 12). P 4( 2, 1 2).1221． (1) y ＝x 2－ 2x － 3，A ( － 1，0) ， B (3 ，0) ；(2) D(3, 9) 或 D (1，－ 2)．4422． (1) y3 x 6;450 ; (2) t30 或11 13(3) t ＝2 或 3．23． (1) 略；3 2 11 3 (2) S8 x 8 x(0 x 3);九年级数学下册第二十七章相似单元综合测试1新人教版(3) 当x＝ 3 时，S最大值 3 3 ．9。
九年级数学下册第27章相似单元综合检测新人教版
第 27 章相似单元检测一、选择题（共10 题；共 30 分）1. 已知 3x=4y ，则的值为（）A.B.C.D.2.关于对位似图形的 4 个表述中：①相似图形必定是位似图形，位似图形必定是相似图形；②位似图形必定有位似中心；③假如两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4 个3. 如图，若A,B,C,P,Q ，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ ABC，则点R 应是甲，乙，丙，丁四点中的（）．A.丁B.丙C. 乙D.甲4. 若线段 AB=2，且点 C 是 AB的黄金切割点，则BC等于（）A.-1B.3-C.D.-1或3-5. 如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A.87°B.60°C.75°D.120°6. 如图，△ ACD 和△ ABC相似需具备的条件是（）A. B.C.AC2=AD?AB2D. CD=AD?BD7. 以下四组图形中不用然相似的是（）A.有一个角等于40°的两个等腰三角形B.有一个角为50°的两个直C. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形D.有一个角是60°的两个等腰三角形8. 以下说法正确的选项是（）A.任意两个等腰三角形都相似 B.任意两个菱形都相似C.任意两个正五边形都相似 D.对应角相等的两个多边形相似9. 如图，△ DEF 是由△ ABC经过位似变换获得的，点O是位似中心， D，E，F 分别是 OA，OB，OC的中点，则△ DEF 与△ ABC的面积比是（）A.1∶6B. 1∶5C. 1∶4D.1∶210.以以以下图，点 A，B，C，D，E，F，G，H，K 都是 8×8方格纸中的格点，为使△ DEM∽△ ABC，则点 M应是 F、 G、 H、 K 四点中的（）A. FB.GD. K二、填空（共8 ；共 24 分）11.在某刻的阳光照射下，身高 160cm的阿美的影 80cm，她身边的旗杆影 5m，旗杆高________ m．12. 在一比率尺 1：50000的地上，假如一多形地的面是100cm2，那么地的面是 ________m2（用科学数法表示）．13.如，点 A1、A2、A3、⋯，点 B1、B2、B3、⋯，分在射 OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥⋯．如果 A B =2，A A =2OA，A 2A3=3OA，A A =4OA，⋯．那么 A B =________，A B =________．（ n 111211 3 41 2 2n n正整数）14.如，在△ ABC 中， DE∥BC，分交 AB， AC于点 D、E．若 AD=3， DB=2， BC=6， DE的________ .15.假如两个相似三角形的周比4：9，那么它的面比是 ________ .16.如，把△ ABC 沿 AB 平移到△ A′B′C′的地点，它的重叠部分（即中的暗影部分）的面是△ ABC 的面的一半，若AB=，此三角形移的距离AA′=________ ．BD=3，则 BF=________．18.已知点 M是线段 AB 的黄金切割点，且 AM＞ MB，若 AB=40，则 AM=________ ．三、解答题（共 6 题；共 36 分）19. 已知一个矩形的长和宽分别为4cm 和 8cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积．20.为了丈量学校操场上旗杆的高度，小明请同学帮忙，丈量了同一时辰自己的影长EC和旗杆的影长BC分别为 0.6m 和，如图，假如小身高CD为，请计算旗杆AB的高度。
九年级数学下册第二十七章相似单元综合测试新人教版
第 27 章相似单元测试一.单项选择题（共 10 题；共 30 分）1.两个五边形相似，一组对应边长分别为3cm和；若它们的面积和是 78cm2，则较大五边形的面积为（）A. 42cm2B. 52 cm2C. 54cm2D.56cm22. 如图， A、 B、 C、 P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，假如△RPQ∽△ ABC，那么点 R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A.甲B.乙C. 丙D.丁3. 已知△ ABC∽△ DEF，点 A、 B、 C 对应点分别是D、 E、 F， AB： DE=9：4，那么 S△ABC： S△DEF 等于（）A. 3：2 B. 9：4 C. 16：81 D.81： 164.假如=，那么的值是（）A.B.C. D.5. 如图，正方形ABCD的边长为 25，内部有 6 个全等的正方形，小正方形的极点E、F、G、H 分别落在边AD、 AB、 BC、 CD上，则每个小正方形的边长为（）A. 6B. 5C. 2D.6. 假如两个相似三角形的相似比是1： 7，则它们的面积比等于（）A. 1：B. 1 ：7 C. 1：D. 1： 497. 以下各选项中的两个图形不用然相似的是（）A.两个正方形B.两个等边三角形C.各有100°角的两个等腰三角形D.各有45°角的两个等腰三角形8. 如图，正方形ABCD的边长为 25，内部有 6 个全等的正方形，小正方形的极点E、F、G、H 分别落在边AD、 AB、 BC、 CD上，则每个小正方形的边长为（）A.6B. 5C. 2D.9. 身高米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是厘米，树的高度为 6 厘米，则树的实质高度大体是（）A.8米 B.米 C. 8厘米 D. 4.5 厘米10. 如图，已知 AB∥ CD∥ EF，那么以下结论中正确的选项是（）A. B.C. D.二.填空题（共 8 题；共 24 分）11.若线段 a， b， c， d 成比率，此中 a=5cm， b=7cm， c=4cm， d= ________ cm12.如图是小明设计的用激光笔丈量城墙高度的表示图，在点P 处水平搁置一面平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后恰巧射到城墙CD的顶端 C处，已知 AB⊥ BD，CD⊥ BD，米， BP=1.8 米， PD=12米，那么该城墙高度CD=________米．13.如图，某水平川面上建筑物的高度为AB，在点 D 和点 F 处罚别直立高是 2 米的标杆 CD和 EF，两标杆相隔52 米，而且建筑物AB、标杆 CD和 EF 在同一竖直平面内，从标杆CD后退 2 米到点 G处，在 G处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上；从标杆FE退后4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，则建筑物的高是________米．14. 以以以下图， D，E 分别在△ ABC的边 AB、AC上， DE与 BC不平行，当满足________条件时，有△ ABC∽△ AED．15.两个任意大小的正方形，都可以合适剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为 a， b 的正方形拼成一个大正方形．图中Rt △ABC的斜边 AB的长等于 ________（用a，b的代数式表示）．16.如图， AB 与 CD订交于点 O，且∠ OAD=∠ OCB，延长 AD、CB交于点 P，那么图中的相似三角形的对数为 ________17.如图，△ ABC中， D 是边 AC上一点，连接 BD．要使△ ABD∽△ ACB，需要增补的一个条件为________．18.若，则的值是 ________。
新人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元检测题(含解析)
第二十七章相似单元测试题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点B,C,D，使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于（）第1题图第2题图A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m2.如图所示，在△ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为（）A. B. C. D.3.如图所示,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于（）A.5∶8B.3∶8C.3∶5D.2∶5第3题图第4题图4.如图所示，在△ABC中，DE∥BC,DE=1,AD=2，DB＝3，则BC的长是（）A. B. C. D.5.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A. 1∶2B. 2∶1C. 1∶4D. 4∶16.在比例尺的地图上，量得两地的距离是，则这两地的实际距离是（）A. B. C. D.7.如图所示，在梯形中，∥,对角线相交于点，若＝1,3,则的值为（）OAB CD第7题图A. B.C. D.8.已知四边形与四边形位似，位似中心为点.若=1∶3，则∶等于（）A.1∶9B.1∶6C.1∶4D.1∶39.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂高出头顶（）A.0.5 mB.0.55 mC.0.6 mD.2.2 m10.（2014·河北中考）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.① ②第10题图乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 .第11题图第12题图12.如图所示，在△ABC中，DE∥BC,23DEBC,△ADE的面积是8，则△ABC的面积为.13.已知一个三角形的三边长分别为6、8、10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比= .14.在△中，12 cm ，=18 cm ，24 cm，另一个与它相似的△的周长为18 cm ，则△各边长分别为 .15.如图所示，一束光线从点出发，经过轴上的反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是．16.四边形与四边形位似，点为位似中心，若，那么= .17.(1)若两个相似三角形的面积比为1∶2，则它们的相似比为；(2)若两个相似三角形的周长比为3∶2，则这两个相似三角形的相似比为；(3）若两个相似三角形对应高的比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是．18.如图所示，在正方形中，点是边上一点，且=21，与交于点，则△与四边形的面积之比是 .三、解答题（共46分）19.（6分）已知线段成比例，且，，，求线段的长度.20.（6分）若，求的值.21.（8分）(2014·安徽中考)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）.（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.AB CDFE第18题图第21题图22.（8分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.第22题图根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？23.（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m.已知李明直立的身高为1.75 m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1 m）第23题图第24题图24.（10分）如图所示，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分∠BAC;(2)求AC的长.第二十七章相似单元测试题参考答案1.B 解析：∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴AB∥CD,∴∠A=∠D，∴△BAE∽△CDE,∴=.∵BE20 m，EC10 m，CD20 m，∴=,∴AB=40 m.2.B 解析：∵在△ABC中，点M,N分别是边AB,AC的中点，∴MN∥BC，MN=BC,∴△AMN∽△ABC, ∴==,∴=.点拨:三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.3.A 解析：本题考查了相似三角形的判定和性质,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴=.∵=,∴=,即=,∴=.设AE=3,则AC=8,∴CE=AC-AE=5.∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴.4.C 解析：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴.∵DE=1,AD=2，DB=3，∴.∴BC=.点拨：求两条线段的比值或求线段的长时，常通过证明两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例列出比例式求解.5. C 解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果△ABC与△A′B′C′的面积的比为1∶4.故选C.6.D 解析：7.B 解析：由∥得△∽△，∴.8. A 解析：依据相似多边形的面积比等于相似比的平方解题.由四边形与四边形位似，得四边形与四边形相似.又由四边形与四边形相似得所以选A.9.A 解析：设小刚举起的手臂高出头顶，则∴10.A 解析：图①中两个三角形的３组角分别对应相等，两个三角形一定相似；图②中的两个矩形，虽然４组角分别对应相等，但较短边之比与较长边之比不相等，两个矩形一定不相似.只有同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”这两个条件的矩形才是相似矩形. 11.7 解析：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质，∵ ∠B =60°， ∠ADE ＝60°，∴ ∠BAD +∠BDA =180°-∠B =120°，∠CDE +∠BDA ＝180°∠ADE ＝120°，∴ ∠BAD ＝∠CDE .又∵ ∠B =∠C ，∴ △BDA ∽△CED ，∴=. ∵ AB =9,BD =3，CD ＝BC -BD ＝6，∴ EC =2，AE ＝AC -EC ＝7. 12.18 解析：∵ DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ，∴249ΔΔ()ADE ABC S DE S BC ==. ∵ △ADE 的面积为8，∴,948=∆ABCS 解得ABC S ∆=18. 13. 解析：已知一个三角形的三边长是6、8、10，与其相似的三角形的最短边长为18.根据相似比的意义可知.点拨：本题关键是找准对应边，本题中两个相似三角形的最短边是对应边. 14. 4 cm ，6 cm ，8 cm 解析：.由题意，得，解得=；，解得=；，解得=.∴ △的各边长分别为，.15.5 解析：过作轴于.设，则.由△∽△,得,∴.∴，.∴.16. 1∶3 解析：位似的图形一定相似，所以四边形与四边形的相似，所以1∶3.17.(1）（2）3∶2 （3）75解析：(1)相似三角形面积的比等于相似比的平方,∴∵，∴（2）相似三角形周长的比等于相似比,∵周长比为3∶2，∴相似比为3∶2.（3）相似三角形周长的比等于对应高的比，等于相似比,设较大三角形的周长为,则，解得.18.9∶11 解析：由，可设，，则.∵四边形是正方形，∴，∥.∴△∽△，∴.∴.设，则.∵,∴.∴.∴四边形的面积为，∴△与四边形的面积之比是19.分析:列比例式时，单位一定要统一，做题时要看仔细.解：∵是成比例线段，∴.又∵ 6 cm，，，∴，解得.点拨：线段成比例，即或，其中字母的位置不能颠倒.20.解：由，得,即.所以.点拨：本题两次运用了比例的基本性质，初学时易出错，所以我们要重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”.21.解：（1）作出△A1B1C1如下图所示.（2）本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2满足条件即可.第21题答图22.解：由题意，知∠BAD=∠BCE.∵∠ABD=∠ABE=90°，∴△BAD∽△BCE.∴BD AB BE BC=，∴1.79.6 1.2BD=.∴BD=13.6.∴河宽BD是13.6米.23.分析：由AM⊥EC,CD⊥EC,EA=MA,可得EC=CD，再由BN⊥EC,可得BN∥CD,进而可得△ABN∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解.解：设CD的长为 m.∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,∴MA∥CD,BN∥CD.又EA＝MA，∴EC=CD=.由BN∥CD可得△ABN∽△ACD，∴，即，解得=6.125≈6.1.∴路灯高CD约为6.1 m.24.（1）证明：如下图，连接OD，∵BD是⊙O的切线，D为切点，∴BCOD⊥.∵BDAC⊥，∴OD∥AC，∴∠3=∠2.又∵OD=OA，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAC.第24题答图(2)解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC.∴OD BOAC BA=.∴4610AC=，∴203AC=.。
九年级数学下册第二十七章相似单元综合测试卷新人教版
第二十七章 相似 单元测试满分120分 时间100分钟一.选择题(每小题3分,共30分)1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( ) A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km2.已知0432≠==c b a ,则cba +的值为 ( ) A.54B.45C.2D.21 3.已知⊿ABC 的三边长分别为2,6,2,⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似,那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是 ( )A.2B.22 C.26 D.33 4.在相同时刻，物高与影长成正比。
如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为 ( ) A 20米 B 18米 C 16米 D 15米 5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于 ( )A.c b 2B.a b 2C.cab D.c a 26.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有 ( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种7、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( ) A 原图形的外部 B 原图形的内部 C 原图形的边上 D 任意位置 8、如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD 的长（ ）A ．163B ．8C ．10D ．169、如图，一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠=︒AMC 30，窗户的高在教室地面上的影长MN=23米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M 、N 、C 在同一直线上），则窗户的高AB 为 ( )A ．3米B ．3米C ．2米D ．1.5米10、某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在△ABC 的边BC 上，△ABC 中边BC=60m ，高AD=30m ，则水池的边长应为( ) A 10m B 20m C 30m D 40m二.填空题(每小题3分,共30分)11、已知43=y x ,则._____=-yy x 12、.已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC,则AC ∶AB= .13、.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .14、如图,⊿ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点(DE BC),当 或 或 时,⊿ADE 与⊿ABC 相似. 15、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为____________。
【新】九年级数学下册第二十七章相似测试(新版)新人教版
第二十七章 相似27．1 图形的相似01 基础题知识点1 相似图形1．下列各组图形相似的是(B )2．下列各项中不是相似图形的是(C )A ．放大镜里看到的三角板与原来的三角板B ．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片C ．哈哈镜里看到的人像与真人像D ．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图 知识点2 成比例线段3．下列各组线段成比例的是(D )A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm4．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，且a b ＝cd，其中a ＝8 cm ，b ＝4 cm ，c ＝12 cm ，则d ＝6cm .5．在比例尺为1∶200 000的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为9__000m .知识点3 相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为(A )A .23B .32C .49D .947．(2018·重庆A 卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为(C )A ．3 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm 8．下列四组图形中，一定相似的是(D )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形 9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x ＝325，α＝80°．10．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，A′，B′，C′，D′分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，判断四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似． 理由：∵A′，B′分别是OA ，OB 的中点， ∴A′B′∥AB，A′B′＝12AB.∴∠OA′B′＝∠OAB，A′B′AB ＝12.同理，∠OA′D′＝∠OAD，A′D′AD ＝12. ∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′AB ＝A′D′AD.同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA， A′B′AB ＝A′D′AD ＝D′C′DC ＝B′C′BC ， ∴四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．易错点 没有分情况讨论导致漏解11．已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的2__cm 或2__cm .02 中档题12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C )A ．150°B ．105°C ．15°D ．无法确定大小 13．已知四条线段的长度分别为2，x －1，x ＋1，4，且它们是成比例线段，则x 的值为(B )A ．2B ．3C ．－3D ．3或－314．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B )A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A＝2∠FD ．2∠A＝3∠F15．(教材P 28习题T 5变式)如图，DE∥BC，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.8，AC ＝5.4.(1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似.解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.85.4＝13， DE BC ＝39＝13. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.又∵∠DAE＝∠BAC，AD AB ＝AE AC ＝DEBC，∴△ADE 与△ABC 相似．16．如图，G 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E ，F.求证：四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．证明：∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG ，且AE ＝EG ，AF ＝FG. ∴AE＝EG ＝FG ＝AF. 又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE 为正方形． ∴AF AB ＝FG BC ＝GE CD ＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．03 综合题17．(教材P 28习题T 8变式)如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB ＝4.(1)求AD 的长；(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．小中高 精品 教案 试卷解：(1)若设AD ＝x(x ＞0)，则DM ＝x2.∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似， ∴AD AB ＝DC DM， 即x 4＝4x 2.解得x ＝42(舍负)． ∴AD 的长为4 2.(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为 DC AD ＝442＝22.27．2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A )A .AD AC ＝AE AB ＝DE BC B .AD AB ＝AE ACC .AD AE ＝AC AB ＝DE BCD .AE EC ＝DE BC2．已知△ABC 和△A′B′C′相似，且△ABC 与△A′B′C′的相似比为R 1，△A′B′C′与△ABC 的相似比为R 2，则R 1与R 2的关系是(D )A ．R 1＝R 2B ．R 1R 2＝－1C ．R 1＋R 2＝0D ．R 1R 2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C )A .AC CE ＝BD DFB .AC AE ＝BD BFC .BD CE ＝AC DFD .AE CE ＝BF DF4．(教材P 31练习T 2变式)如图，在△ABC 中，DE∥BC.若AD DB ＝23，则AEEC＝(C )A .13 B .25 C .23 D .355．(2017·临沂)如图，已知AB∥CD，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝4．6．(2018·嘉兴)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.已知AB AC ＝13，则EFDE＝2．7．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．解：∵EG∥BC，∴AE EB ＝AGGC .∵GF∥CD，∴AG GC ＝AFFD .∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD. ∴FD＝4.∴AD＝AF ＋FD ＝10.知识点3 相似三角形判定的预备定理8．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE∥BC.若BD ＝2AD ，则(B )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝129．(2017·自贡)如图，在△ABC 中，MN∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N.若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为1.10．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF∥BC，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点 图形的不唯一导致漏解11．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为6或12．02 中档题12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，AD⊥BC 于点D ，点E 在AD 上，且DE ＝2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 长为(C )A ．4B ．3C ．2.4D ．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝4 cm ，则线段BC ＝12cm .14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE 和BC 是两根互相平行的固定架，DE ＝10米，BC ＝18米，小明从底部固定点B 开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D ，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE. ∴AD AB ＝DE BC， 即AD AD ＋8＝1018.∴AD＝10. 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.15．如图，已知：AB ＝AD ，AC ＝AE ，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.证明：∵AB＝AD ，AC ＝AE ，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC≌△ADE.∴BC＝DE ，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE.∴AF AD ＝AG AE ＝FG DE . ∴AF AB ＝AG AC ＝FG BC. 又∵∠C＝∠AED＝∠G， ∠B＝∠ADE＝∠F， ∠BAC＝∠FAG， ∴△ABC∽△AFG.03 综合题16．如图，AD∥EG∥BC，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG ，FG 的长．解：∵在△ABC 中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC. ∴EG BC ＝AE AB， 即EG 10＝35.∴EG＝6. ∵在△BAD 中，EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD.∴EF AD ＝BEBA ，即EF 6＝5－35.∴EF＝125. ∴FG＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，201 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断2．(教材P 34练习T 3变式)已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，当△DEF 的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C )A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm 3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B )4．如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20.在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53， ∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE. ∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是(C )6．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC＝∠D，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的(C )A .AC AD ＝AB AE B .AC AD ＝BC DE C .AC AD ＝AB DE D .AC AD ＝BC AE7．在△ABC 和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB ＝6，BC ＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′. 8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．9．如图，已知在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a. ∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ， ∴DQ＝CQ ＝2a ，PC ＝a. ∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.易错点 对应边没有确定时容易漏解10. (2017·随州)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝125或53时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．02 中档题11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P 应在________处(C )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 412．如图，在等边△ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD∶AC＝1∶3，AE ＝BE ，则有(B )A ．△AED∽△BEDB ．△AED∽△CBDC ．△AED∽△ABD D ．△BA D∽△BCD13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED＝∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且ADAC ＝DF CG. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ADF＝∠C. 又∵AD AC ＝DF CG ，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG. ∴AD AC ＝AF AG ＝12. ∴AFFG＝1.14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ.若以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．解：由题意，得BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm . ①∵∠PBQ＝∠ABC，∴若△BPQ∽△BAC，则还需BP BA ＝BQBC ，即5t 10＝8－4t 8.解得t ＝1. ②∵∠PBQ＝∠CBA，∴若△BPQ∽△BCA，则还需BP BC ＝BQ BA ，即5t 8＝8－4t 10.解得t ＝3241.综上所述，当t ＝1或3241时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．03 综合题15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC＝1， ∴CD＝1－5－12＝3－52. ∴AD 2＝AC·CD. (2)∵AD 2＝AC·CD， ∴BC 2＝AC·CD，即BC CD ＝AC BC.又∵∠C＝∠C ，∴△ABC∽△BDC.∴AB BD ＝ACBC .又∵AB＝AC ，∴BD＝BC ＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x°，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°. ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x°＋2x°＋2x°＝180°. 解得x ＝36. ∴∠A BD ＝36°.第3课时相似三角形的判定定理301基础题知识点1两角分别相等的两个三角形相似1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)A．全等B．相似C．既全等又相似D．无法确定2．(教材P36练习T2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是(C)A．△ACD∽△CBDB．△ACD∽△ABCC．△BCD∽△ABCD．△BCD∽△BAC3．(2018·永州)如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(B) A．2 B．4 C．6 D．84．(2018·邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一．如：△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．5．已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.6．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED.∴△ABC∽△FDE.7．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F，G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．甲同学的解答得到了老师的好评．乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：∵DF∥CB，∴△AFD∽△ABC.”乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．解：乙同学的解答不正确．与△ABC 相似的三角形还有△GFE，应该补上．证明如下： ∵DF∥BC，∴∠GFE＝∠ABC. 又∵∠E＝∠C， ∴△GFE∽△ABC.知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似8．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D )A ．∠B＝∠B 1 B .AB A 1B 1＝AC A 1C 1C .AB A 1B 1＝BC B 1C 1 D .AB B 1C 1＝AC A 1C 19．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm 和454cm ，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．10．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.易错点 斜边和直角边比例不唯一导致漏解11．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB ＝6，AC ＝2，则AD 的长为02 中档题12．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D )A ．∠ABP＝∠CB ．∠APB＝∠ABCC .AP AB ＝AB ACD .AB BP ＝AC CB13．如图，在△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于(A )A .154B .125C .203D .17414．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题是③④⑤(填序号)．15．(2017·齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A＝46°，则∠ACB 的度数为113°或92°．16．如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE＝60°，求AE 的长．解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD＋∠ADB＝120°. ∵∠ADE＝60°，∴∠CDE＋∠ADB＝120°. ∴∠BAD＝∠CDE. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCE. ∴AB DC ＝BD CE ，即99－3＝3CE.∴CE＝2. ∴AE＝9－2＝7.03 综合题17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝20，BC ＝10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当t 为何值时，DP⊥AC?解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB∥CD.∴∠APQ＝∠CDQ. 又∵∠AQP＝∠CQD， ∴△APQ∽△CDQ.(2)当t ＝5时，DP⊥AC. 理由：∵t＝5，∴AP＝5. ∴AP AD ＝510.小中高 精品 教案 试卷又∵DA DC ＝1020，∴AP AD ＝DA DC. 又∵∠PAD＝∠ADC＝90°， ∴△PAD∽△ADC. ∴∠ADP＝∠DCA.∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°， ∴∠DCA＋∠CDP＝90°. ∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.小专题(四) 相似三角形的基本模型模型1 X 字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.1．(2018·恩施)如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为(D )A ．6B ．8C ．10D ．122．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是33．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB， 即∠BDF＝∠ECF. 又∵∠BFD＝∠EFC， ∴△BDF∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF＝4.模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC 2＝AD·AB.)4．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC 的长为(B )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 35．如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG⊥BC 于点G ，AF⊥DE 于点F ，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， ∵∠EAF＝∠GAC， ∴∠AEF＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC.6．如图，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF∥CD，求证：1AB ＋1CD ＝1EF.证明：∵AB∥EF， ∴△DEF∽△DAB. ∴EF AB ＝DF DB. 又∵EF∥CD， ∴△BEF∽△BCD. ∴EF CD ＝BF BD. ∴EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BF BD ＝BDBD ＝1. ∴1AB ＋1CD ＝1EF.模型3双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)A．3 6 B．15 C．9 5 D．3＋3 58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC模型4一线三等角型(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠ACD＝∠E，则△ABC∽△CED.特殊地，连接AD，当点C为BE 的中点时，△ABC∽△CED∽△ACD.图1 图29．(2017·江西)如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°.∴∠BEF＝∠CFG.∴△EBF∽△FCG.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.证明：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE＝CE.∴CE CF ＝DEEF .∵∠DEF＝∠B＝∠C ，∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE＝∠CFE，即FE 平分∠DFC.11．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A ＝∠D＝90°. ∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°. ∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF. (2)∵AB＝AD ＝4，E 为AD 的中点， ∴AE＝DE ＝2.由(1)知，△ABE∽△DEF， ∴AB DE ＝AE DF ，即42＝2DF. ∴DF＝1.∴CF＝3. ∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF. ∴ED GC ＝DF CF ，即2GC ＝13. ∴GC＝6.∴BG＝BC ＋GC ＝10.周测(27.1～27.2.1)(时间：45分钟满分：100分) 一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F.若ABBC＝12，则DEEF＝(B)A.13B.12C.23D．12．下列两个图形一定相似的是(D)A．任意两个等腰三角形B．任意两个矩形C．任意两个菱形D．任意两个等边三角形3．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)A.ADAB＝AEECB.ACGF＝AEBDC.BDAD＝CEAED.AGAF＝ACEC4．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则AB的长为(C)A.163B．8 C．10 D．165．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(D)A B C D6．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD·AB；③AB边上与点C距离相等的点D 有两个；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N ；第二步，连接MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ； 第三步，连接DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是(D)A ．2B ．4C ．6D ．88．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(A )图1 图2 A ．两人都对 B ．两人都不对 C ．甲对，乙不对 D ．甲不对，乙对二、填空题(每小题4分，共24分)9．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm ，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800__km . 10．如图，x ＝2．11．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)12．如图，点O 是△ABC 中任意一点，且AD ＝12OD ，BE ＝13BO ，CF ＝13CO ，则△ABC∽△DEF，其相似比为3∶2．13．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE∥BC，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.则当AM⊥BM 时，BC 的长为8．14．如图，AB 是半圆直径，半径OC⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD ，OD ，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE ；③△ODE∽△ADO；④2CD 2＝CE·AB. 其中正确结论的序号是①④．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在△ABC 中，已知DE∥BC，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.求：(1)ADAB 的值； (2)BC 的长．解：(1)∵AD＝4，DB ＝8， ∴AB＝AD ＋DB ＝4＋8＝12. ∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB . 又∵DE＝3， ∴3BC ＝13. ∴BC＝9.16．(10分)如图，在△ABC 中，点D 为AC 边上一点，∠DBC＝∠A.(1)求证：△BDC∽△ABC；(2)如果BC ＝6，AC ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△BDC∽△ABC. (2)∵△BDC∽△ABC， ∴BC AC ＝CD BC ， 即63＝CD 6. ∴CD＝2.17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA ＝12 cm ，OB ＝6 cm ，点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1 cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1 cm /s 的速度移动，如果点P ，Q 同时出发，用t(单位：s )表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA， 则OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6.解得t ＝2. ②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB， 则OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12.解得t ＝4. 综上所述，当t ＝2或4 s 时，△POQ 与△AOB 相似．18．(12分)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB＝90°，点O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连接OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD·BC.证明：(1)∵AB 是 ⊙O 的切线， ∴OD⊥AB.小中高精品教案试卷∴∠ADO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADO.又∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB.(2)由(1)，知△ADO∽△ACB，∴ADAC＝ODBC.∴AD·BC＝AC·OD.又∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.27．2.2 相似三角形的性质01 基础题知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．已知△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为4∶1，则△ABC 与△DEF 对应边上的高之比为4∶1 .2．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，则AD∶A′D′＝3∶4．3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm ，则另一个三角形对应角平分线长为274__cm ．4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD ＝4 cm ，C′D′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条高，AE ＝4.8 cm .求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是AB 边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE ，A′E′是对应的高线，∴AE A′E′＝CDC′D′， 即4.8A′E′＝410. ∴A′E′＝12 cm .知识点2 相似三角形周长的比等于相似比5．如图，AB∥CD，AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长的比是(D )A .25B .32C .49D .236．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15 cm ，那么较大三角形的周长为25cm .7．已知△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的周长分别为20 cm 和25 cm ，且BC ＝5 cm ，DF ＝4 cm ，求EF 和AC 的长．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴EF BC ＝2520. ∴EF＝54BC ＝54×5＝254(cm )．同理，AC DF ＝2025.∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm )．∴EF 的长是254 cm ，AC 的长是165cm .知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．(2018·内江)已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1∶3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为(D )A ．1∶1B ．1∶3C ．1∶6D ．1∶99．(2018·自贡)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为(D )A ．8B ．12C ．14D ．1610．(2018·荆门)如图，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 为CD 边的两个三等分点，连接AF ，BE 交于点G ，则S △EFG ∶S △ABG ＝(C )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶102 中档题11．如图，在△ABC 中，DE∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是(C )A .AE AC ＝12B .DE BC ＝12C .△ADE的周长△ABC的周长＝13D .△ADE的面积△ABC的面积＝1312．(教材P 43习题T 12变式)(2018·随州)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BDAD 的值为(C )A ．1B .22C .2－1D .2＋113．如图，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距离的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于点B ，E 和C ，F.若BC ＝2，则EF 的长是5．14．在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ∶S △COB ＝19或49．15．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD 的面积为15，求△ACD 的面积．解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA. ∴S △ACD S △BCA ＝(AD AB )2＝(24)2＝14. ∴S △ACD S △BAD ＋S △ACD ＝14.∵△ABD 的面积为15， ∴S △ACD ＝5.16．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm 和14 cm ，它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长．解：∵两个相似三角形的对应边的比是35∶14＝5∶2，周长的比等于相似比， ∴可以设一个三角形的周长是5x ，则另一个三角形的周长是2x. ∵周长相差60 cm ，∴5x－2x ＝60，解得x ＝20. ∴这两个三角形的周长分别为100 cm ，40 cm .17．如图，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．解：(1)证明：∵DC＝AC ，CF 平分∠ACB， ∴AF＝DF.又∵点E 是AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线． ∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD. ∴S △AEF S △ABD ＝(AE AB)2. 又∵点E 是AB 的中点，∴AE AB ＝12.∴S △AEF S △ABD ＝14.∴S △AEF ＝14S △ABD . ∴S △ABD －6＝14S △ABD .∴S △ABD ＝8.03 综合题18．(2017·内江)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，CM 是∠BCD 的平分线，且CM⊥AB，M 为垂足，AM ＝13AB.若四边形ABCD 的面积为157，则四边形AMCD 的面积是1．小专题(五) 三角形内接特殊四边形问题——教材P58T11的变式与应用教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm .把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【母题分析】 (1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比． (2)解决本题的关键点：由EF∥GH，得到△AEF∽△ABC.(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系．解：设正方形的边长为x mm ，则EF ＝x mm ， ∵AD⊥BC，AD ＝80 mm ， ∴AK＝(80－x)mm .∵正方形EFHG 内接于△ABC，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC.∴EF BC ＝AKAD ，即x 120＝80－x 80.解得x ＝48. ∴这个正方形零件的边长是48 mm .解决本题的关键：(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和．(2)方程思想：利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中．1．如图，矩形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，点D 在边AB 上，点G 在边AC 上，△ADG 的面积是40，△ABC 的面积是90，AM⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，则AN∶AM＝2∶3．2．(2018·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是6017步．3．如图，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上，AD⊥BC，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，那么EH 的长为32．4．如图，已知锐角三角形ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8.矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 边上，EF 交AD 于点K.(1)求EFAK的值；(2)设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值．解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD 分别是△AEF，△ABC 的高， ∴AK AD ＝EF BC . ∴EF AK ＝BC AD ＝32. (2)∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD. ∴△BEH∽△BAD.∴EH AD ＝BEBA ①.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∴EF BC ＝AE AB②. ①＋②，得EH AD ＋EFBC ＝1.∵EH＝x ，AD ＝8，BC ＝12， ∴EF＝12－32x.∴S＝EH·EF＝－32x 2＋12x ＝－32(x －4)2＋24.∵0＜x ＜8，∴当x ＝4时，S 有最大值，最大值为24.小专题(六) 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．(2018·北京)如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F.若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为103．2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为203cm .3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝152.4．(2017·深圳)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝3.5．(2018·江西)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，CA ＝6，CD∥AB，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．解：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC. 又∵AB∥CD， ∴∠D＝∠ABD.∴∠DBC＝∠D.∴BC＝CD ＝4. ∵∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED. ∴AB CD ＝AE CE.∴AE CE ＝84＝2. ∴AE＝2EC ，即EC ＝12AE.∵AC＝AE ＋EC ＝6， ∴AE＋12AE ＝6，即AE ＝4.类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是135°.7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝110°.类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB∥DC，AC 与BD 交于点E ，EF∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB等于(B )A .23B .14C .13D .359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．(2018·达州)如图，E ，F 是▱ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH的值为(C )A .12B .23C .34D ．111．(2017·桂林)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB＝3，BC ＝4，则AO AE 的值为724.类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE∽△ABC ； (2)DF·BF＝EF·CF.证明：(1)∵BD＝2AD ，CE ＝2AE ， ∴AB＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF·BF＝EF·CF.13．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°. ∴∠A＝∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD. 又∵E 为AC 中点， ∴AE＝CE ＝ED. ∴∠A＝∠EDA. ∵∠EDA＝∠BDF，∴∠F CD ＝∠BDF. 又∵∠F 为公共角， ∴△FDB∽△FCD. ∴DF CF ＝BD CD . ∴DF CF ＝BC AC.类型5 利用相似求点的坐标14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到C ，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C 的坐标为(B )A ．(1，52)B ．(43，83) C ．(5，25) D ．(3，23)15．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)．小专题(七) 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为(D )A .35B .425C .225D .452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是(C)A ．3B ．2C ．1D ．1.23．(2018·巴中)如图所示，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD∥AB，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证：(1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD∽△DBC.证明：(1)连接OD. ∵∠DCA＝∠DCB， ∴AD ︵＝BD ︵.∴OD⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径， ∴PD 是⊙O 的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°， ∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°， ∴△PAD∽△DBC.5．如图，以△ABC 的边AC 为直径的⊙O 交AB 边于点M ，交BC 边于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC 为等腰三角形；。
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第27章《相似》检测题
(时间45分钟，满分100分)
一．选择题(每题4分，共24分)
1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是( )
A ．ΔABC 放大后角是原来的2倍
B ．ΔAB
C 放大后周长是原来的2倍 C ．ΔABC 放大后面积是原来的2倍
D ．以上的命题都不对
2．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m ，他在地面上的影长为2.1m ．若小芳比爸爸矮
0.3m ，则她的影长为( )
A ．1.3m
B ．1.65m
C ．1.75m
D ．1.8m
3．如图所示，图中共有相似三角形( )
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
4．如图，△ABC 中，∠B=900
，AB=6，BC=8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ´处，并且C ´D ∥BC ，则CD 的长是( )
A ．409
B ．509
C ．154
D ．254
5．如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在( ) A ．P 1处
B ．P 2处
C ．P 3处
D ．P 4处
6．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1
4
CF CD =，下列结
论：①30BAE ∠=o
，②ABE AEF △∽△，③AE EF ⊥，④ADF ECF △∽△． 其中正确的个数为( )
O D
C
B
A
P
A
B
C
F D
E
2.1m
太阳光线
(第5题) (第6题)
(第2题)
(第3题)
(第4题)
C
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二．填空题(每题4分，共24分)
7．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2
，则这
个地区的实际周长_________m ，面积是___________m 2
8．如图，在Ｒt △ABC 中,∠C=90°,点D 是AB 边上的一定点,点E 是AC 上的一个动点,若再增加一个条件就能使△ADE 与△ABC 相似,则这个条件可以是________________________． 9．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比
为
13
，把线段AB 缩小后得到线段A /B /，则A /B /
的长度等于________． 10．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是_________．
11．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔
50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
12．某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图)．
则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是____________________． 三．解答题(每题10分，共40分)
13．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A ′ B ′ C ′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点0；
(2)求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比；
(3)以点0为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5．
· P
北岸
南岸 2
o
y
x
E D
B
A
(第8题)
(第10题)
(第11题)
(第12题)
14．在ABC △和DEF △中，90A D ==o
∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==． （1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
15．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB ．
（1）求证：△CEB ∽△CBD ； （2）若CE =3，CB=5 ，求DE 的长．
16．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′
的位
置，
(1)求证：重叠部分的四边形B /
EDF /
是菱形
(2)若重叠部分的四边形B /
EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的
距离．
四．探究题： （12分）
A
B
C D
E
F
F E /
C
B
/
A
/
D
B
17．如图，在Rt ABC △中，90C =o
∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x L ，，，
，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题： （1）按要求填表
（2）第n 个正方形的边长n
；
（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =g g ，试判断m n p q ，，，的关系．
B C A
答案或提示
1．B 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．2400，4⨯10
5
8．∠AED=90°,∠ADE=90°,AE ∶AC=AD ∶AB,AE ∶AB=AD ∶AC 9．
5
3
10．78 11．22．5 12．(-2a,-2b) 13．(1)提示：位似中心在各组对应点连线的交点处．(2)位似比为1：2．(3)略． 14．（1）不相似．∵在Rt BAC △中，90A ∠=°，34AB AC ==，；在Rt EDF △中，
90D ∠=°，32DE DF ==，，12AB AC DE DF ==∴
，．AB AC
DE DF
≠∴． Rt BAC ∴△与Rt EDF △不相似．
（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
N
M F
E D
C B
A
具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ． 由作法和已知条件可知BAM DEN △≌△．
BAM E ∠=∠∵，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠， AMC FND ∠=∠∴．90FDN NDE ∠=-∠∵°，90C B ∠=-∠°，FDN C ∠=∠∴．
∴AMC FND △∽△．
15．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB ∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE
又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD
（2）解：∵△CEB ∽△CBD
∴CE CB CB CD
=
∴CD=2
252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3=163 16．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´
∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形.
∵四边形ABCD 是菱形
∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´
B ´
D=∠ABD ∴∠A ´
B ´
D=∠ADB ∴FB ´
=FD
∴四边形B´EDF为菱形．
(2)∵菱形B´EDF与菱形ABCD有一个公共角∴此两个菱形对应角相等又对应边成比例
∴此两个菱形相似∴
1
2
B D
BD
'
=,
∴
2
21
2
B D'=⨯=
∴平移的距离BB´=BD–B´D=21
-
17．（1）
248
3927
，，（2）
2
3
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（3）m n p q
x x x x
=
Q g g2222
3333
m n p q
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
g g
22
33
m n p q
++
⎛⎫⎛⎫
∴=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭．
m n p q
∴+=+。