2019-2020年甘肃省武威高二上册期末数学理科试题(3)(有答案)-精编试题
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。
2019-2020学年甘肃省兰州高二上期末数学试卷(理科)(有答案)
2019-2020 学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、（每小 5 分）1．（5分）在数列 1，2，，⋯中， 2是个数列的（）A．第16 B．第 24 C．第 26 D．第 282．（5分）在△ ABC中，若 2cosB?sinA=sinC ，△ ABC的形状必定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等三角形3．（5 分）量 x，y 足束条件，z=x y 的取范（）A．[2 ，6]B．（∞， 10] C ． [2 ，10] D．（∞， 6]n}的公差 2，若 a 1342）4．（5 分）已知等差数列 {a，a，a 成等比数列， a 等于（A． 4 B．6 C． 8 D． 105．（5 分）若 a＜b＜0，以下不等式成立的是（）A． a2＜b2B．a2＜ ab C．D．6．（5 分）不等式 ax2 +bx+2＞0 的解集是（，）， a+b 的是（）A． 10 B． 14C．14 D． 107．（5 分）抛物 y=2x2的焦点到准的距离（）A．B．C．D． 48．（5 分）命 p：? n∈ N，n2＞ 2n，￢ p （）A． ? n∈N，n2＞2n B．? n∈N，n2≤ 2n C． ? n∈N，n2≤2n D．? n∈N，n2=2n9．（5 分）已知向量=（1，m 1）， =（m，2），“ m=2”是“与共”的（）A．充足不用要条件 B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件10．（5 分）以下相关命的法正确的选项是（）A．命“若 x2＞1， x＞1”的否命“若 x2＞ 1， x≤1”B．“ x= 1”是“x2 2x+3=0”的必需不充足条件C．命“ ? x∈ R，使得 x2 +x+1＜0”的否认是“ ? x∈R，均有 x2+x+1＜0”D．命“若 x=y， cosx=cosy”的逆否命真命11．（5 分）已知 x，y＞0，且，x+2y的最小（）A．B．C．D．12．（5 分）已知（a＞b＞0）的两个焦点分F1，F2，若上不存在点P，使得∠ F1 PF2是角，离心率的取范是（）A．B．C．D．二、填空（每小 5 分）13．（5 分）若当x＞2 ，不等式恒成立， a 的取范是．14．（5 分）在△ ABC中，角A， B， C 的分a， b， c．若（ a2+c2b2） tan B=ac，角 B的．15．（5分）已知F1，F2的两个焦点，F1的直交于A、B两点，若|F 2A|+|F2B|=12，|AB|=．16．（5 分）双曲C：分双曲 C 的左、右焦点．若M，足|（O原点），双曲C的离心率．双曲C存在点三、解答17．（10 分）在等差数列 {a n} 中， a2=4，a4+a7=15．（1）求数列 {a n} 的通公式；（2），求b1+b2+b3+⋯+b10的．18．（12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 所的分a， b， c，已知 a=2，c=5，cosB= ．（1）求 b 的；（2）求 sinC 的．2 2 2 19．（12 分）已知会合 A 是函数 y=lg （20 8x x ）的定域，会合 B 是不等式 x 2x+1 a ≥0（a＞0）的解集， p：x ∈A，q：x∈B．（2）若￢ p 是 q 的充足不用要条件，求数 a 的取范．20．（ 12 分）如图，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在的平面相互垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4， M为 CE的中点．（1）求证： BC⊥平面 BDE；（2）求平面 BEC与平面 ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对随意实数x，f （x）＜ 0 恒成立，务实数 a 的取值范围；（2）解对于 x 的不等式 f （ x）＜ 2x﹣ 3．22．（ 12 分）已知椭圆 C：+ =1（a＞b＞ 0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆 C的方程；（2）过点 M的直线 l 与椭圆 C订交于 A、B 两点，设点 N（3，2），记直线 AN，BN的斜率分别为 k1， k2，问： k1+k2能否为定值？并证明你的结论．2019-2020 学年兰州高二（上）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、（每小 5 分）1．（5 分）在数列A．第 16 B．第【解答】解：数列1，2，24C．第1，2，，⋯中， 226D．第 28，⋯就是数列是个数列的（，，），，，⋯，∴a n==∴=2=，∴n=26，，故 2 是个数列的第 26 ，故： C．2．（5 分）在△ ABC中，若 2cosB?sinA=sinC ，△ ABC的形状必定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形 D．等三角形【解答】分析：∵ 2cosB?sinA=sinC=sin （ A+B）? sin （ A B） =0，又 B、A 三角形的内角，∴A=B．答案： C3．（5 分）量 x，y 足束条件，z=x y 的取范（）A． [2 ，6] B．（∞， 10] C ． [2 ，10] D．（∞， 6]【解答】解：依据量 x，y 足束条件画出可行域，由? A（3， 3），由适当 z=x y 点 A（3， 3）， Z 最大 6．故所求 z=x﹣y 的取值范围是（﹣∞，6]应选： D．4．（5分）已知等差数列 {a n} 的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则 a2等于（）A．﹣ 4 B．﹣6 C．﹣ 8 D．﹣ 10【解答】解：∵等差数列 {a n} 的公差为 2，a1，a3， a4成等比数列，∴（ a1+4） =a （a +6），211∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．应选： B．5．（5 分）若 a＜b＜0，以下不等式成立的是（）A． a2＜b2B．a2＜ ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不如设 a=﹣2，b=﹣ 1 代入各个选项，错误的选项是A、B、D，应选 C．方法二：∵ a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞ 0 即 a2＞b2，应选项 A 不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞ 0 即 a2＞ab，应选项 B 不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，应选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，应选项D不正确；应选 C6．（5 分）不等式 ax2 +bx+2＞0 的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A． 10 B．﹣ 14C．14D．﹣ 10【解答】解：不等式 ax2+bx+2＞0 的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得 a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14应选： B7．（5 分）抛物线 y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：依据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为 x2=y，此中 p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，应选： C．8．（5 分）设命题 p：? n∈ N，n2＞ 2n，则￢ p 为（）A． ? n∈N，n2＞2n B．? n∈N，n2≤ 2n C． ? n∈N，n2≤2n D．? n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否认是： ? n∈N，n2≤2n，应选： C．9．（5 分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“ m=2”是“与共线”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，2即 m﹣ m﹣ 2=0，得 m=2或 m=﹣1，则“ m=2”是“与共线”的充足不用要条件，应选： A10．（5 分）以下相关命题的说法正确的选项是（）A．命题“若 x2＞1，则 x＞1”的否命题为“若x2＞ 1，则 x≤1”B．“ x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必需不充足条件C．命题“ ? x∈ R，使得 x2 +x+1＜0”的否认是“ ? x∈R，均有 x2+x+1＜0”D．命题“若 x=y，则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若 x2＞ 1，则 x＞1”的否命题为：“若 x2≤1，则 x≤1”，故 A 错误；“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的既不充足又不用要条件，故 B 错误；命题“ ? x∈R， x2 +x+1＜ 0”的否认是：“ ? x∈R， x2 +x+1≥0”，故 C 错误；若 x=y，则 x 与 y 的各三角函数值相等，再由逆否命题与原命题等价，故 D正确；应选 D．11．（5 分）已知 x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．应选： D．12．（5 分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠ F1 PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P 取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1 PF2是钝角，∴b≥c，可得 a2﹣c2≥c2，可得： a．∴．应选： A．二、填空题（每题 5 分）13．（5 分）若当 x＞2 时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2]．【解答】解：当 x＞2 时，不等式恒成立，即求解 x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．因此 a 的取值范围是：（﹣∞， 2+2] ．故答案为：（﹣∞， 2+2] ．A， B， C 的对边分别为a， b， c．若（ a2+c2﹣b2） tan B=ac，则14．（5 分）在△ ABC中，角角B的值为或．【解答】解：∵，∴ cosB× tanB=sinB=∴B=或应选 B．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F 2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：依据题意，椭圆的方程为，则 a=5，由椭圆的定义得， |AF1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=10 ，两式相加得 |AB|+|AF 2 |+|BF 2|=20 ，又由 |F 2A|+|F2B|=12，则|AB|=8 ，故答案为： 8．16．（5 分）设双曲线C：分别为双曲线 C 的左、右焦点．若C的离心率为．双曲线 C存在点 M，知足|（O为原点），则双曲线【解答】解：如图，由意可 M（），代入双曲方程，可得，∴，由，可得 |MF1|=3|MF 2 | ，又|MF1| |MF2|=2a ， |MF2|=a ，∴，整理得： c2=2a2，即．故答案：．三、解答17．（10 分）在等差数列 {a n} 中， a2=4，a4+a7=15．（1）求数列 {a n} 的通公式；（2），求b1+b2+b3+⋯+b10的．【解答】解：（1）等差数列 {a n} 的公差 d，由已知得解得⋯（4 分）∴a n=3+（n 1）× 1，即 a n=n+2⋯（ 6 分）（2）由（ 1）知，b1 +b2+b3+⋯+b10=21+22+⋯+210=⋯（ 10 分）=2046⋯（ 12 分）18．（12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a， b， c，已知 a=2，c=5，cosB= ．（1）求 b 的值；（2）求 sinC 的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得 b2=4+25﹣2× 2×5× =17，∴b=；（2）∵ cosB=，∴ sinB==由正弦定理=，即=，解得 sinC=2 2 2 19．（12 分）已知会合 A 是函数 y=lg （20﹣ 8x﹣x ）的定义域，会合 B 是不等式 x ﹣2x+1﹣a ≥0（a＞0）的解集， p：x ∈A，q：x∈B．（2）若￢ p 是 q 的充足不用要条件，务实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）由条件得： A={x| ﹣10＜x＜2} ， B={x|x ≥ 1+a 或 x≤ 1﹣ a}若 A∩B=?，则一定知足因此， a 的取值范围的取值范围为：a≥11；（2）易得： ?p：x≥2 或 x ≤﹣ 10，∵?p 是 q 的充足不用要条件，∴{x|x ≥2 或 x≤﹣ 10} 是 B={x|x ≥ 1+a 或 x≤ 1﹣a} 的真子集，则∴a的取值范围的取值范围为： 0＜ a≤ 1．20．（ 12 分）如图，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在的平面相互垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4， M为 CE的中点．（1）求证： BC⊥平面 BDE；（2）求平面 BEC与平面 ADEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵ ADEF为正方形，∴ ED⊥AD．又∵平面 ADEF⊥平面 ABCD，且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD．又∵ ED? 平面 ADEF，∴ ED⊥平面 ABCD．又∵ BC? 平面 ABCD，∴ ED⊥ BC．∵AD⊥ CD，AB∥ CD，AB=AD=2，CD=4，∴BD=BC==2 ，222∴BD+BC=CD，∴ BD⊥BC，∵BD∩ ED=D，∴ BC⊥平面 BDE．解：（2）以 D为原点， DA为 x 轴， DC为 y 轴， DE为 z 轴，成立空间直角坐标系，B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），=（2，2，﹣2），=（0，4，﹣ 2），设平面 BEC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，2），平面 ADEF的法向量设平面 BEC与平面=（0，1，0），ADEF所成锐二面角为θ，则 cosθ== =．∴平面 BEC与平面 ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对随意实数x，f （x）＜ 0 恒成立，务实数 a 的取值范围；（2）解对于 x 的不等式 f （ x）＜ 2x﹣ 3．【解答】解：（1）对随意实数 x，f （x）＜ 0 恒成立，即有 a=0 时，﹣ 1＜ 0 恒成立；a＜ 0 时，鉴别式小于 0，即为 a2+4a＜0，解得﹣ 4＜a＜0；a＞ 0 时，不等式不恒成立．综上可得， a 的范围是（﹣ 4，0] ；2（2）由题意可得 ax ﹣（ 2+a）x+2＜ 0，10当 0＜a＜2 时，∴＞1，其解集为（1，）；20当 a=2 时，即=1，其解集为 ?，30当 a＞2，即＜1，其解集为（，1）．22．（ 12 分）已知椭圆 C：+ =1（a＞b＞ 0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆 C的方程；（2）过点 M的直线 l 与椭圆 C订交于 A、B 两点，设点 N（3，2），记直线 AN，BN的斜率分别为 k1， k2，问： k1+k2能否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆 C ： + =1（a ＞ b ＞ 0）的两个焦点分别为 F 1（﹣ ，0），F 2（ ， 0），以椭圆短轴为直径的圆经过点 M （1，0），∴ ，解得 ，b=1，∴椭圆 C 的方程为 （2）k 1+k 2 是定值． 证明以下：设过M 的直线：①x=1 时，代入椭圆， y=±=1．y=k （ x ﹣ 1） =kx ﹣k 或许 x=1，∴令 A （1， ），B （1，﹣）， k 1 = ，k 2= ，∴ k 1+k 2 =2．② y=kx ﹣k 代入椭圆，（3k 2 +1）x 2﹣ 6k 2x+（3k 2﹣3） =0设 A （x 1， y 1 ），B （x 2， y 2 ）．则 x 1+x 2= ，x 1x 2=，y 1 +y 2= ﹣2k= ，y 1 y 2=k 2x 1x 2﹣ k 2（ x 1 +x 2） +k 2=﹣ ，k 1 = ，k 2= ，∴k 1+k 2= =2．。
甘肃省武威高二上册期末数学理科试题(3)(有答案)
甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={|＜0}，B={y|0＜y＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．34．（5分）已知命题p：“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”，命题q：“a”的充要条件为“lna＞lnb”，则下列复合命题中假命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨￢q D．p∧（￢q）5．（5分）已知向量=（2，4，5），=（3，，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．=6，y=15 B．=3，y=C．=3，y=15 D．=6，y=6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60° B．90°C．75°D．105°7．（5分）函数f（）=（﹣3）e的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）8．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真9．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B． C． D．10．（5分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为（）A． B．0 C．D．11．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．212．（5分）命题p：∀∈R，a2+a+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，4] B．[0，4]C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）命题“∀＞0，2﹣≤0”的否定是．14．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±3，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．15．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||=．16．（5分）下列命题是真命题的是①平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；②如果向量是三个不共线的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得；③若命题p是命题q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知曲线C：f（）=3﹣．（1）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试求与直线y=5+3平行的曲线C的切线方程．18．（12分）已知a∈R，命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F 分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知函数f（）=﹣2+a﹣ln（a∈R）．（I）当a=3时，求函数f（）在[，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数f（）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点．（I）证明：平面AED∥平面B1FC1；（II）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．22．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={|＜0}，B={y|0＜y＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：A={|＜0}={|0＜＜1}，则“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，故选：A2．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据题意，易得+=（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（﹣1，，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（﹣1）+2﹣2×2=0．∴=，故选D．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．4．（5分）已知命题p：“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”，命题q：“a”的充要条件为“lna＞lnb”，则下列复合命题中假命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨￢q D．p∧（￢q）【解答】解：对于命题p，中括号内【“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”】整个是p命题，而不是单看引号内的命题，p为真；对于命题q，当a=1、b=0时，a，但lna＞lnb不成立，q是假命题，∴￢q是真命题；∴p∧q是假命题，p∨q、（￢p）∨（￢q）和p∧（￢q）是真命题．故选：B．5．（5分）已知向量=（2，4，5），=（3，，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．=6，y=15 B．=3，y=C．=3，y=15 D．=6，y=【解答】解：∵l1∥l2，∴存在非0实数使得，∴，解得，故选：D．6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60° B．90°C．75°D．105°【解答】解：不妨设BB1=1，则AB=，•=（）•（）=+++=0+cos60°﹣12+0=0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B7．（5分）函数f（）=（﹣3）e的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：函数f（）=（﹣3）e，∴f′（）=e+（﹣3）e=（﹣2）e，令f′（）=0，解得=2；当＞2时，f′（）＞0，f（）是单调增函数，∴f（）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．8．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解答】解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，D正确；“a＞b”⇔“a+c＞b+c”，故B错误；“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；故选：D9．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B． C． D．【解答】解：选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有=0；选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有=0；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有=0；选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即≠0．故选：D10．（5分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为（）A． B．0 C．D．【解答】解：空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=，∴=﹣，∴•=•（﹣）=•﹣•=||×||×cos﹣||×||×cos=||×（||﹣||）=0，∴cos＜，＞==0．故选：B．11．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），，，又，可得，则，故选C．12．（5分）命题p：∀∈R，a2+a+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，4] B．[0，4]C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）【解答】解：命题p的否定是￢p：∃∈R，a2+a+1＜0成立，即a2+a+1＜0成立是真命题；当a=0时，1＜0，不等式不成立；当a＞0时，要使不等式成立，须a2﹣4a＞0，解得a＞4，或a＜0，即a＞4；当a＜0时，不等式一定成立，即a＜0；综上，a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．故选：D．二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）命题“∀＞0，2﹣≤0”的否定是∃＞0，2﹣＞0．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃＞0，2﹣＞0，故答案为：∃＞0，2﹣＞014．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±3，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3，则设双曲线的方程是，又它的一个焦点是故λ+9λ=10∴λ=1，故答案为：15．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||=．【解答】解：∵=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），=（8，﹣5，13），∴||==．故答案为：16．（5分）下列命题是真命题的是③①平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；②如果向量是三个不共线的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得；③若命题p是命题q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件．【解答】解：①平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，不正确，由椭圆的定义可得应为距离之和大于|F1F2|，否则为线段或轨迹不存在；②如果向量是三个不共线的向量，不一定不共面，故它们不一定能作为空间基底，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得，不正确；③若命题p是命题q的充分非必要条件，则￢q是￢p的充分非必要条件，则￢p是￢q的必要非充分条件，正确．故答案为：③．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知曲线C：f（）=3﹣．（1）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试求与直线y=5+3平行的曲线C的切线方程．【解答】（10分）解：（1）∵f（）=3﹣，∴f（1）=0，求导数得f'（）=32﹣1，∴切线的斜率为=f'（1）=2，∴所求切线方程为y=2（﹣1），即2﹣y﹣2=0．（2）设与直线y=5+3平行的切线的切点为（0，y0），则切线的斜率为，解得，代入曲线方程f（）=3﹣得切点为或，∴所求切线方程为或，即或．18．（12分）已知a∈R，命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）由命题p为真命题，a≤2min，a≤1；（II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F 分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，∴AD2=DE2+AE2，∴∠AED=90°，即AE⊥CD．∵AB∥CD，∴AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分）（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，∴CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAE．∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面…（8分）所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．…（9分）在RT△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即．…（10分）∵PA=2，∴．所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）（Ⅱ）解法二：以A为原点，AB、AE分别为轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣y，如图所示．因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），则，，，…（7分）由（Ⅰ）知AE⊥平面PAB，故平面PAB的一个法向量为，…（8分）设平面PCD的一个法向量为，则，即，令y=2，则．…（10分）∴==．所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知函数f（）=﹣2+a﹣ln（a∈R）．（I）当a=3时，求函数f（）在[，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数f（）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=3时，f′（）=﹣2+3﹣=﹣=﹣，函数f（）在区间（，2）仅有极大值点=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[，2]最大值是f（1）=2，又f（2）﹣f（）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f（2）＜f（），故函数在[，2]上的最小值为f（2）=2﹣ln2．（Ⅱ）若f（）既有极大值又有极小值，则必须f′（）=0有两个不同正根1，2，即22﹣a+1=0有两个不同正根．故a应满足⇒⇒，∴函数f（）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是．21．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点．（I）证明：平面AED∥平面B1FC1；（II）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．【解答】解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣y，不妨设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），E（2，0，1），D（0，2，0），F（0，2，1），B1（2，0，2），C1（2，2，2）；设平面AED的法向量为=（1，y1，1），则∴令1=1，得=（1，0，2），同理可得平面B1FC1的法向量=（1，0，2）；∴平面AED∥平面B1FC1；（Ⅱ）由于点M在AE上，∴可设=λ=λ（2，0，1）=（2λ，0，λ），可得M（2λ，0，λ），于是=（2λ，0，λ﹣2）；要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，∴•=（2λ，0，λ﹣2）•（2，0，1）=5λ﹣2=0，解得λ=；故当AM=AE时，A1M⊥平面DAE．22．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，得．①…（2分）由椭圆C经过点，得．②…（3分）联立①②，解得b=1，．…（4分）所以椭圆C的方程是．…（5分）（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+32）2+12+9=0．…（7分）令△=1442﹣36（1+32）＞0，得2＞1．设A（1，y1），B（2，y2），则，．…（9分）所以．…（10分）因为，设2﹣1=t（t＞0），则．…（13分）当且仅当，即时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（14分）。
2019甘肃省高二上学期数学(理)期末考试试卷
高二年级期末考试 数学试卷(理科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请将所有试题的答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( ) A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知空间四边形OABC 中，O A a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN ＝ ( )A.121232a b c -+ B.111222a b c +- C. 211322a b c -++ D.221332a b c +- 3.设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称. 则下列判断正确的是 ( )A.p 为真 B. p ⌝为假 C.p q ∨为真D.p q ∧为假4.下列结论错误的是 ( ) A. 命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠” B. 命题“230x ,x x ∀∈-+>R ”的否定是 200030x ,x x ∃∈-+≤RC. 命题“若22ac bc >，则a b >”的逆命题为真命题D. 命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠，则m ≠0或n ≠0” 5.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为 ( ) A.28y x =-B.28y x = C. 24y x =- D. 24y x =6.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ ( ) A. 3 B.2 C.3 D.27.已知椭圆22142x y +=上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有 ( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 8.抛物线22(0)ypx p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝ （ ）A. 22B. 23C. 2D. 39.椭圆221(0,0)axby a b +=>>与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为 ( ) A.233 B.32C .932D.232710.直三棱柱111ABC A BC -中，090BCA ∠=，M ，N 分别是11AB ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ()A ．110 B ． 25 C ．22D ． 301011.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ） A ．12 B ．1 C ．22D ．3212.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于点P ，Q . 若212||||PF FF =，且113||4||PF QF =，则C 的离心率为 （ ）A ．57 B ．35 C ．267 D ．265第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.14.已知长方体1111ABCD ABC D -中，底面是边长为1的正方形，高为2，则点1A 到截面11AB D 的距离是 .15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.四位歌手的话只有一位是假的，则获奖的歌手是_____. 16.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)ypx p =>上任意一点，M 是线段PF上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. (本小题满分10分)①已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点35(,)22-，(3,5)，求椭圆方程.②已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22:(5)9M x y +-=. 双曲线C 的焦距为10，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线C 的方程.18. (本小题满分12分) 设p ：实数x 满足22540x ax a -+< (其中0a >)，q ：实数x 满足50.2x x -≤-(I)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围.(II)若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角 三角形，AB ＝AC ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°. (I) 证明：AB ⊥平面AB 1C ；(II) 若B 1C ＝2，求AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值.20．(本小题满分12分)已知抛物线C：22(0)y px p=>的焦点为F，抛物线C与直线l1：y x=-的一个交点为M，且82OM=（O为坐标原点）.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(II)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△F AB的面积.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，P A＝PB，O为AB的中点，OD⊥PC.(Ⅰ) 求证：OC⊥PD；（II）若PD与平面P AB所成的角为30°，求二面角D－PC－B的余弦值.22．(本小题满分12分)已知圆22:(1)8A x y++=，圆A内一定点(1,0)B，动圆P过点B且与圆A内切.记动圆圆心P的轨迹为C. （Ⅰ）求轨迹C方程；（II）过点1(0,)3S-的动直线l交轨迹C于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段MN为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.高二数学(理科)参考答案一、 选择题（每题5分，共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCDCADCBADBA二、填空题（每小题5分，共20分） 13．33 14．2315. 乙 16．22三、 解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题满分10分） 解:①设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ). 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1. (5)分②由210c =，知5c =. 渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线C 的方程为x 29－y 216＝1. (10)分18. （本题满分12分）解 (I)当a ＝1时，x 2－5ax ＋4a 2<0即为x 2－5x ＋4<0，解得1<x <4， 当p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <4. 当q 为真时，由502x x -≤-，知2<x ≤5. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2，4). ………6分(II)q ⌝)是p ⌝的必要不充分条件，即p 是q 的必要不充分条件. 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A . 由x 2－5ax ＋4a 2<0得(x －4a )(x －a )<0，∵a >0，∴A ＝{x |a <x <4a }，又B ＝{x |2<x ≤5}，则a ≤2且4a >5，解得54<a ≤2.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤54，2. ………12分19. （本题满分12分）(I)证明 连接AB 1，在△ABB 1中，AB ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°，由余弦定理得，AB 21＝AB 2＋BB 21－2AB ·BB 1·cos ∠ABB 1＝3， ∴AB 1＝3，∴BB 21＝AB 2＋AB 21，∴AB 1⊥AB .又△ABC 为等腰直角三角形，且AB ＝AC ， ∴AC ⊥AB ，∵AC ∩AB 1＝A ，∴AB ⊥平面AB 1C . ………6分 (II)解 ∵AB 1＝3，AB ＝AC ＝1，B 1C ＝2，∴B 1C 2＝AB 21＋AC 2，∴AB 1⊥AC .如图，以A 为原点，以AB →，AC →，AB 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，1，0)， ∴BB 1→＝(－1，0，3)， BC →＝(－1，1，0).设平面BCB 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧BB 1→·n ＝0，BC →·n ＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－x ＋y ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝3，∴平面BCB 1的一个法向量为n ＝(3，3，1).∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC →＋BB 1→＝(0，1，0)＋(－1，0，3)＝(－1，1，3)， ∴cos 〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n |AC 1→||n |＝35×7＝10535，∴AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值为10535. ………12分20. （本题满分12分）解 (I)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x . ………4分(II)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ………6分∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ………9分 ∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8，0). 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝24 5. ………12分21.（本题满分12分） (I)证明 如图，连接OP . ∵P A ＝PB ，O 为AB 的中点， ∴OP ⊥AB .∵侧面P AB ⊥底面ABCD ， ∴OP ⊥平面ABCD ， ∴OP ⊥OD ，OP ⊥OC .∵OD ⊥PC ，∴OD ⊥平面OPC ， ∴OD ⊥OC ，又OP ⊥OC ，OP ∩OD ＝O ， ∴OC ⊥平面OPD ，∴OC ⊥PD . ………6分(II)解:法一 取CD 的中点E ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，∴AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2. ∵侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形， ∴DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ， ∴∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，∴∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，∴B (0，1，0)，C (1，1，0)，D (1，－1，0)，P (0，0，2)，从而PC →＝(1，1，－2)，CD →＝(0，－2，0).设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧PC →·n 1＝0，CD →·n 1＝0，得⎩⎨⎧x 1＋y 1－2z 1＝0，－2y 1＝0，可取n 1＝(2，0，1).同理，可取平面PCB 的一个法向量为n 2＝(0，－2，－1). 于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－13，∴二面角D －PC －B 的余弦值为－13. (12)分法二 在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，∴AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2. ∵侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形， ∴DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ， ∴∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角， ∴∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3， ∴DP ＝CP ＝2， ∴△PDC 为等边三角形.设PC 的中点为M ，连接DM ，则DM ⊥PC .在Rt △CBP 中，过M 作NM ⊥PC ，交PB 于点N ，连接ND ，则∠DMN 为二面角D －PC －B 的一个平面角.由于∠CPB ＝30°，PM ＝1，故在Rt △PMN 中，MN ＝33，PN ＝233. ∵cos ∠APB ＝3＋3－42×3×3＝13，∴AN 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋3－2×233×3×13＝3，∴ND 2＝3＋1＝4，∴cos ∠DMN ＝⎝⎛⎭⎫332＋3－42×33×3＝－13，即二面角D －PC －B 的余弦值为－13.22. （本题满分12分）解（Ⅰ）解：设动圆圆心(,)P x y ，半径为.22,22 2.PA r PB r PA PB AB =-=⇒+=>= ………3分故点P 的轨迹为椭圆，2222;22 1.a a c c =⇒==⇒=22222,21 1.a b a c ==-=-=故圆心P 的轨迹方程为22 1.2x y += ………6分 (II)当l 与x 轴平行时，以线段MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169； 当l 与y 轴平行时，以线段MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0，1). 下面证明Q (0，1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0， x 1＋x 2＝12k18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9，QM ＝(x 1，y 1－1)，QN ＝(x 2，y 2－1)， QM QN ⋅＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QM ⊥QN ，即以线段MN 为直径的圆恒过点Q (0，1). ………12分。
人教版高二上学期期末数学理科试卷(有答案)【真题】
甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，请将答案涂在机读答题卡）1．（5分）下列特称命题中，假命题是（）A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3=0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x∈{x|x是无理数}，使x2是有理数2．（5分）椭圆+=1和+=1（a2＞b2＞k2）的关系是（）A．有相同的长、短轴B．有相同的离心率C．有相同的准线D．有相同的焦点3．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）=0.023，则P（﹣2≤X≤2）等于（）A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.9774．（5分）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真5．（5分）已知随机变量ξ的分布列为A．B． C． D．6．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数．A．6 B．9 C．10 D．87．（5分）设M是椭圆上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．D．168．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=2.4，Dξ=1.44，则n，p值为（）A ．8，0.3B ．6，0.4C ．12，0.2D ．5，0.6 9．（5分）（2x +）4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则（a 0+a 2+a 4）2﹣（a 1+a 3）2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．210．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，sinx +cosx=2”的否定是“∃x ∈R ，sinx +cosx ≠2”；②命题“∀x ∈R ，sinx +≥2”的否定是“∃x ∈R ，sinx +＜2”；③对于∀x ∈（0，），tanx +≥2；④∃x ∈R ，使sinx +cosx=．其中正确的为（ ） A ．③ B ．③④C ．②③④D ．①②③④11．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ） A ．108种 B ．186种 C ．216种 D ．270种12．（5分）已知a 、b 、c 为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如图框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a=5的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知命题p ：∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+4x +a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．14．（5分）在平面直角坐标系中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q 为真命题．其中正确的序号是．三、解答题17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知（+）n展开式中偶数项二项式系数和比（a+b）2n展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）（+）n展开式中第三项的系数；（2）（a+b）2n展开式的中间项．19．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．20．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p 或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．21．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．22．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分，请将答案涂在机读答题卡）1．（5分）下列特称命题中，假命题是（）A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3=0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x∈{x|x是无理数}，使x2是有理数【解答】解：对于A：当x=﹣1时，x2﹣2x﹣3=0，故A为真命题；对于B：当x=6时，符合题目要求，为真命题；对于C假命题，垂直于同意直线的两个平面平行；对于D：x=时，x2=3，故D为真命题．故选C2．（5分）椭圆+=1和+=1（a2＞b2＞k2）的关系是（）A．有相同的长、短轴B．有相同的离心率C．有相同的准线D．有相同的焦点【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（，0）和+=1（a2＞b2＞k2）的焦点坐标（，0），故选：D．3．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X＞2）=0.023，则P（﹣2≤X≤2）等于（）A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977【解答】解：∵随机变量X服从标准正态分布N（0，σ2），∴正态曲线关于X=0对称，∵P（X＞2）=0.023，∴P（﹣2≤X≤2）=1﹣2×0.023=0.954，故选：C．4．（5分）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真【解答】解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假．又由函数y=的定义域为|x﹣1|﹣2≥0，即|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2．故有x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．∴q为真命题．故选D．5．（5分）已知随机变量ξ的分布列为A．B． C． D．【解答】解：Eξ=1×+2×+3×+4×=，Dξ=×（1﹣）2+×（2﹣）2+×（3﹣）2+×（4﹣）2=，故选：C．6．（5分）用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数．A．6 B．9 C．10 D．8【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33=6个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列．共有A22=2种结果，前三位是123．第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字，故选C．7．（5分）设M是椭圆上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，则△MF1F2的面积为（）A．B．C．D．16【解答】解：∵椭圆方程为上的一点，F1，F2为焦点，∠F1MF2=，∴a2=25，b2=16，可得c2=a2﹣b2=9，即a=5，c=3，设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=10，∵∠F1MF2=，∴36=m2+n2﹣2mncos∵（m+n）2=m2+n2+2mn，∴mn=，∴|PF1|•|PF2|=．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|sin=••=16（2﹣）．故选：C．8．（5分）已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=2.4，Dξ=1.44，则n，p值为（）A．8，0.3 B．6，0.4 C．12，0.2 D．5，0.6【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）由Eξ=2.4=np，Dξ=1.44=np（1﹣p），可得1﹣p==0.6，∴p=0.4，n==6．故选：B．9．（5分）（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：令x=1，则a0+a1+…+a4=，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4=．所以，（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+…+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）==1故选A10．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，可知①不正确；②正确；由基本不等式可知③正确；由sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可知④正确；故选C．11．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种【解答】解：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有A73种选法，其中只选派男生的方案数为A43，分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选派男生的方案数，即合理的选派方案共有A73﹣A43=186种，故选B．12．（5分）已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5，6}中三个不同的数，通过如图框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据框图判断，本框图输出的a为输入的三个数a，b，c中的最大值最大值是3的情况，输入的三个数为1，2，3 1种情况最大值是4的情况，输入的三个数为1，2，3里两个以及4 3种情况最大值是5的情况，输入的三个数为1，2，3，4里两个数以及5 6种情况最大值是6的情况，输入的三个数为1，2，3，4，5里两个数及6 10种情况a=5的概率P==故选：A二．填空题（每空5分，共20分）13．（5分）已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是e≤a≤4．【解答】解：对于命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，∴a≥（e x）max，x∈[0，1]，∵e x在x∈[0，1]上单调递增，∴当x=1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．故答案为：e≤a≤4．14．（5分）在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程x2+3y2=4，（x≠±1）．【解答】解：∵点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，∴点B的坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y），∵直线AP与BP的斜率之积等于﹣，∴=﹣，（x≠±1）．化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为：x2+3y2=4（x≠±1）．故答案为：x2+3y2=4（x≠±1）．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q 为真命题．其中正确的序号是②③．【解答】解：①命题“若α=，则tanα=1”为真命题，由互为逆否命题的等价性可知，其逆否命题是真命题，故①错；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1，故②对；③函数y=sin（2x+φ）为偶函数，由诱导公式可知，φ=+kπ（k∈Z），反之成立，故③对；④由于sinx+cosx=sin（x）≤，故命题p为假命题，比如α=﹣300°，β=30°，满足sinα＞sinβ，但α＜β，故命题q为假命题．则（￢p）∧q为假命题，故④错．故答案为：②③三、解答题17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m ≥9．18．（12分）已知（+）n 展开式中偶数项二项式系数和比（a +b ）2n 展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）（+）n 展开式中第三项的系数；（2）（a +b ）2n 展开式的中间项．【解答】解：（1）由题意可得2n ﹣1+120=22n ﹣1，故有 （2n ﹣16）（2n +15）=0，故2n =16，解得 n=4．故（+）n 展开式中第三项为 T 3=•=．（2）（a +b ）2n 即（a +b ）8，它的开式的中间项为T 5=•a 4•b 4=70a 4b 4．19．（12分）已知椭圆=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，4），离心率为；（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点A （0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C 的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x ﹣3），设直线与C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入C 的方程，得x 2﹣3x ﹣8=0，解得：x 1=，x 2=，∴AB 的中点M （x 0，y 0）坐标x 0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．20．（12分）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p 或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，，∴m＞2．当q为真命题时，△=42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3．若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真，①若p真q假，∴，∴m≥3．②若p假q真，∴，∴1＜m≤2．综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．21．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由已知得，（0.003 2+0.004 3+0.005 0）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，所以X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列为E（X）=0×+1×+2×=．22．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是数学期望Eξ=。
甘肃省武威高二上期末数学理科试卷(2)(附参考答案解析)(最新修订)
2019-2020学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．13．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（）A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、254．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“全是女生”B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知P是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e10．（5分）甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（）A．480 B．240 C．120 D．36011．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．7 B．10 C．9 D．812．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是．化成十进制数为．14．（5分）二进制110011（2）15．（5分）用0，1，2，3，4，5，6可以组成个无重复数字的四位偶数．16．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是．三、解答题（每小题10分，共计40分）17．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．19．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．20．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中： （1）求异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小； （2）求三棱锥B 1﹣A 1C 1B 的体积； （3）求证：B 1D ⊥平面A 1C 1B ．2019-2020学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计60分）1．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．2．（5分）过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点F2构成△ABF2，那么△ABF2的周长是（）A．2 B．C．D．1【解答】解：椭圆4x2+2y2=1 即，∴a=，b=，c=．△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=2，故选B．3．（5分）某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是（）A．28、27、26 B．28、26、24 C．26、27、28 D．27、26、25【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是560×=28人，高二年级抽取的人数是540×=27人，高三年级抽取的人数是520×=26人，故选：A．4．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．5．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“全是女生”B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”【解答】解：从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；故选：D6．（5分）我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：我校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件总数n=3×3=9，这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事件个数m=，∴这两位同学参加同一个文艺社团的概率为p==．故选：D．7．（5分）已知P是椭圆上的一点，若P到椭圆右准线的距离是，则点P到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：因为P到椭圆右准线的距离是，所以P到椭圆右焦点的距离是，根据椭圆的定义可得：P到椭圆右焦点的距离+点P到左焦点的距离=2a=20，所以点P到左焦点的距离为．故选B．8．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；10．（5分）甲、乙、丙等6个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（）A．480 B．240 C．120 D．360【解答】解：根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为A、B、C，甲、乙、丙等6个人排成一排照相，若甲、乙不在丙的同侧，则甲乙在丙的两侧，2=2种排法，先排甲、乙、丙三人，丙在中间，甲乙在两边，有A21=4种情况，3人排好后，有4个空位可用，在4个空位中任选1个，安排A，有C41=5种情况，4人排好后，有5个空位可用，在5个空位中任选1个，安排B，有C51=5种情况，5人排好后，有6个空位可用，在5个空位中任选1个，安排C，有C6则不同的排法共有2×4×5×6=240种；故选：B．11．（5分）某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A．7 B．10 C．9 D．8【解答】解：∵甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=5+3=8．故选：D．12．（5分）甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有的坐法共有=6种，乙正好坐中间的坐法有=2种，故乙正好坐中间的概率为=，故乙不坐中间的概率是．故选：A．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）已知甲、乙、丙3类产品共1200件，且甲、乙、丙三类产品的数量之比为3：4：5，现采用分层抽样的方法抽取60件，则乙类产品抽取的件数是20 ．【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为3：4：5，∴从中抽取120件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为60×=20，故答案为：20．14．（5分）二进制110011化成十进制数为51 ．（2）=1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25=51．【解答】解：110011（2）故答案为：51．15．（5分）用0，1，2，3，4，5，6可以组成420 个无重复数字的四位偶数．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、0在个位，在1，2，3，4，5，6这6个数字中任选3个，安排在前三个数位，3=120个四位偶数，有A6②、0不在个位，需要在2、4、6三个数字中任选1个，安排在个位，有3种情况，在除0和个位数字之外的5个数字中，任选1个，安排在首位，有5种情况，2=20种情况，在剩余的5个数字中任选2个，安排在中间两个数位，有A5则有3×5×20=300个四位偶数；则一共可以组成120+300=420个四位偶数；故答案为：420．16．（5分）以双曲线﹣=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是+=1 ．【解答】解：双曲线的顶点为（2，0）和（﹣2，0），焦点为（﹣4，0）和（4，0）．∴椭圆的焦点坐标是（2，0）和（﹣2，0），顶点为（﹣4，0）和（4，0）．∴椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．三、解答题（每小题10分，共计40分）17．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为1的直线l经过左焦点与椭圆C交于A、B两点，求弦AB的长．【解答】解：（1）根据题意，椭圆C的短轴一个端点到右焦点的距离为，则有a=，又由椭圆C的离心率为，则有e==，则有c=，则b2=a2﹣c2=3﹣2=1，则椭圆的标准方程为：（2）由（1）可得：椭圆的标准方程为：，则其左焦点的坐标为（﹣，0），则直线l的方程为：则得，则有，，．18．（10分）设p：方程x2+mx+1=0有两个不等的实根，q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，若￢p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．【解答】解：∵¬P为真，P∨q为真∴P为假，q为真（2分）P为真命题，则，∴m＜﹣2或m＞2…（4分）∴P为假时，﹣2≤m≤2…①…（5分）若q为真命题，则…（7分）即1＜m ＜3…②…（8分）由①②可知m 的取值范围为1＜m ≤2 …（10分）19．（10分）某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人． （Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人，设两名男生为A 1，A 2，三名女生为B 1，B 2，B 3，则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}共10个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}共7个，所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．20．（10分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中：（1）求异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小；（2）求三棱锥B 1﹣A 1C 1B 的体积；（3）求证：B 1D ⊥平面A 1C 1B ．【解答】解：（1）由于A 1A 和B 1B 平行且相等，故异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小即为BB 1与BC 1城的角，故∠B 1BC 1（或其补角）为所求．再由正方体的性质可得△B 1BC 1为等腰直角三角形，故∠B 1BC 1=45°，即异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小为45°．（2）三棱锥B1﹣A 1C 1B 的体积即 =••BB 1=×（）×1=．（3）证明：由正方体的性质可得，B 1D 在上底面A 1B 1C 1D 1内的射影为B 1D 1，且A 1C 1⊥B 1D 1． 由三垂线定理可得B 1D ⊥A 1C 1．同理可证，B 1D ⊥A 1B ．而A 1C 1和 A 1B 是平面A 1C 1B 内的两条相交直线，根据直线和平面垂直的判定定理，可得B 1D ⊥平面A 1C 1B ．。
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)带答案
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由log（x+2）＜0得x+2＞1，即x＞﹣1，则“x＞1”是“log（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=，代入即可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故S7====49，故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosA=，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，即cosA=，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案．【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选A．【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0），=（a，a，﹣a），又=（0，，），=0+=0，∴PB⊥DE．由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，∴PB⊥平面EFD，∴PB与平面EFD所成角为90°．故选：A．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）【分析】根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．【分析】⊥（﹣λ）⇔•（﹣λ）=0，解出即可得出．【解答】解：﹣λ=（﹣3+λ，2，1﹣4λ），∵⊥（﹣λ），∴•（﹣λ）=﹣3（﹣3+λ）+4+1﹣4λ=0，解得λ=2．∴向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2﹣2cx×cos45°∴c2﹣xc+x2﹣4=0∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2﹣4（x2﹣4）＞0，且x2﹣4＞0，x＞0∴x2﹣8＜0，且x2﹣4＞0，x＞0∴2＜x＜2故答案为：．【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出•的值．【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，∴双曲线方程为=1．（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，∴=1，解得m=．∴M（3，），或M（3，﹣），∵F 1（﹣2，0），，∴当M（3，）时，=（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），•=﹣12﹣6=0；当M（3，﹣）时，=（﹣2﹣3，），=（，），•=﹣12﹣6+6+9+3=0．故•=0．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
甘肃省武威市高二上学期期末数学试卷(理科)
甘肃省武威市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）圆C1 :(x+1)2+(y+4)2=16与圆C2 : (x-2)2+(y+2)2=9的位置关系是（）A . 相交B . 外切C . 内切D . 相离2. （2分） (2017高一下·穆棱期末) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .3. （2分）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A . 所有不能被2整除的整数都是偶数B . 所有能被2整除的整数都不是偶数C . 存在一个不能被2整除的整数是偶数D . 存在一个能被2整除的整数不是偶数4. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m∥α，m∥β，则α∥βC . 若m∥n，n⊥α，则m⊥αD . 若m∥α，α⊥β，则m⊥β5. （2分）(2017·合肥模拟) 若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A . 0条B . 1条C . 2条D . 1条或2条6. （2分） (2017高二下·濮阳期末) “a＞1”是“ ”成立的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既非充分也非必要条件7. （2分）若不论m取何实数，直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为（）A . （﹣2，1）B . （2，﹣1）C . （﹣2，﹣1）D . （2，1）8. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2 ，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·舟山期末) 把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D﹣AB﹣C，（其中BD=2AD，BC=AC）则异面直线DC，AB所成角的正切值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，过右焦点F2且与x轴垂直的直线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4 ，P（x，y）在双曲线上，M（，），则|PM|+|PF2|的最小值为（）A . ﹣1B . 2C . 2 ﹣2D . 311. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .12. （2分） (2018高二上·武汉期末) 抛物线上有一点P，它到A（2,10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P坐标是（）A . （，10）B . （，20）C . （2，8）D . （1，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·苏州月考) 在空间直角坐标系中，点关于平面xOy的对称点坐标为________．14. （1分） (2017高二下·成都期中) 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段 AC1与平面ABC所成角的正弦值为________．15. （1分） (2017高一上·洛阳期末) 已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣ =0，若l1∥l2 ，则实数a=________．16. （1分）直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）解答题（1）求平行于直线3x+4y﹣12=0且与它的距离是7的直线l的方程；（2）求经过两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0直线l的方程．18. （5分）设命题p：方程 + =1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0已知“p∨q”为假命题，求实数m的取值范围．19. （15分） (2018高一上·寻乌期末) 已知圆，直线 .（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由；（3）若为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.20. （15分） (2018高一下·衡阳期末) 如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）当平面时，求三棱锥的体积.21. （10分） (2018高二上·福州期末) 已知O为坐标原点，椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2 ，右顶点为A,上顶点为B,若|OB|,|OF2|,|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设T为直线x=-3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P,Q，且，求的最小值．22. （10分） (2019高二上·长沙期中) 已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线 .（1）求曲线的方程；（2）若，是曲线上的两个点且直线过的外心，其中为坐标原点，求证：直线过定点.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2019甘肃省高二上学期数学(理)期末考试试卷
高二数学(理科)第一学期末考试试卷一:选择题。
1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，选B.2.在等差数列{a n}中，已知，，公差d=－2，则n=( )A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求解．【详解】∵等差数列{a n}中，a2=12，a n=﹣20，公差d=﹣2，∴a n=a2+（n﹣2）d，∴﹣20=12﹣2（n﹣2），解得n=18，故答案为：C．【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，是基础题.3.双曲线的渐近线方程为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线，求得，进而求解双曲线的渐近线的方程，得到答案.【详解】由题意，双曲线，则，所以双曲线的渐近线方程为，故选B．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程的求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程及简单的几何性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列{a n}中，，，则（）A. ±2B. －2C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列性质得，，再根据等比数列性质求得.【详解】因为等比数列中，，所以，即以，因此=，因为，同号，所以选C.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.5.已知向量，且·=2，则x的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】由向量的数量积的表示直接列方程求解即可.【详解】向量，则·，解得.故选B.【点睛】本题主要考查了数量积的坐标表示，属于基础题.6.设的内角，，所对的边长分别为，，，若，，，则（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】，则为锐角，根据正弦定理，，则，则，选C.7.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为 ( )A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若，则|AB|= ( )A. 6B. 7C. 5D. 8【答案】D【解析】【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．【详解】椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：D【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．9.下列命题中为真命题的是（）A. 命题“若，则”的逆命题B. 命题“若，则”的否命题C. 命题“若，则”的逆命题D. 命题“若，则”的逆否命题【答案】B【解析】对于A，逆命题为“若，则”，当时，，故A错误；对于B，逆命题为“若，则”，正确；对于C，逆命题为“若，则”，等价于或，对于D，逆否命题与原命题同真同假，原命题为假命题，如，,故D错误. 故选：B10.若直线过点(1,1)，则的最小值为（）A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】因为直线过点,所以 ,因此,当且仅当时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A. －3＜m＜0B. －3＜m＜2C. －3＜m＜4D. －1＜m＜3【答案】A【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.12.已知点是双曲线的右焦点,点是该双曲线的左顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是钝角,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以则,即，即，即，解得.考点：双曲线的几何性质.二、填空题.13.命题“”的否定为____．【答案】，【解析】因为的否定为，所以命题“”的否定为，14.已知,,且,则___.【答案】6【解析】【分析】由可得，可得，再由坐标表示模长即可得解.【详解】由,,且,可得，解得.所以.所以.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标表示及模长公式，属于基础题.15.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为___．【答案】36【解析】分析：可由得出，从而可得抛物线方程，抛物线的准线方程，因此的边上的高易得.详解：不妨设抛物线方程为，，，∴准线方程为，到直线的距离为6，∴.故答案为36.点睛：过抛物线的焦点与对称轴垂直的弦是抛物线的通径，通径长为.16.设,是双曲线: 的两个焦点, 是上一点,若,且的最小内角为,则的离心率为_____.【答案】【解析】不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，所以∠PF2F1＝90°，求得|F1F2|＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题.17.等比数列中, ,.（1）求数列的通项公式;（2）若分别为等差数列的第项和第项,试求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设的公比为，由等比数列的通项公式，可得公比，即可得到所求通项公式。
2019-2020学年甘肃省高二上学期期末考试数学（理试题
天水市一中2019——2020学年度第一学期期末考试试卷数学（理）一、选择题（每小题3分，共36分）1．已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．32．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则)(x f '＞0的解集为（ ）A ．(0，＋∞)B ．()∞+∞，），（21--C ．(－1，0)D ．(2，＋∞) 3．若命题:0,,tan 14p x x π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦，则命题p 的否定为（ ） A ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈≤⎢⎥⎣⎦ B ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈<⎢⎥⎣⎦C ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈≥⎢⎥⎣⎦ D ．00,,tan 14x x π⎡⎤∃∈>⎢⎥⎣⎦4．如果方程22154x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）.A ．45m <<B ．92m >C ．942m <<D ．952m << 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱C 1D 1的中点，则异面直线AM 与BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D 6．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =±，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 7．已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ab cd >B ．若11a b>，则a b < C ．若a b >，则22a b > D ．若||a b <，则0a b +>8．111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．e 2-B ．eC ．e 1+D ．e 1-9．已知m 是直线，α，β是两个不同平面，且m ∥α，则m ⊥β是α⊥β的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．33D ．3211．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（ ）A ．2,3]B ．[2,5]C ．2,6]D ．2,7]12．函数1()e axf x x x-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,eD ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（每小题3分，共12分）13．设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为_______.14．设抛物线上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是____．15．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613aa a ==，，则S 5=____________． 16．已知y kxb =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______.三、解答题（前两题每题各8分，后三题每题各12分，共52分）17．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，12AB AD CD ==，AB AD ⊥，AB CD ∥，点M 是PC 的中点．（1）求证：平面PAD ；（2）求二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值．数，导函数为 ，已知()2 0f '=. 19．已知函(1)求a 的值;//BM )(x f '，)(131)(3R a ax x x f ∈+-=(2)求函数()f x 在区间[33]-，上的最值.20．己知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的一个顶点坐标为()2,0，直线y x m =+交椭圆于不同的两点,A B .（1）求椭圆M 的方程；（2）设点()1,1C ，当ABC ∆的面积为1时，求实数m 的值．21．已知函数()ln (1)f x x a x =--，R a ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当1x ≥时，ln ()1xf x x ≤+恒成立，求实数a 的取范围.理科参考答案1．C2．C3．D4．D5．C6．D7．D8．A9．A10．C11．C12．B取212ln (0)11()e0e e axax ax f x x x x x x a x x x---=-=∴=∴=>∴= 设2ln ()x g x x =，21ln '()2xg x x-=，()g x 在(0,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减max 2()()g x g e e==画出函数图像：根据图像知：20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13．6- 14． 15．1213. 16．2ln2+ 16.根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m =+1， 则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m +1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1，又由切线的方程为y ＝kx +b ，则k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1， 则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1，设g （m ）＝lnm 2m ++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=，在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m ++1为减函数，在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数，则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2； 故答案为ln 2+2． 17.（1）21n a n =+；（2）69nn + （1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =，21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a nn +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18．（1）证明见解析；（2）155. 证明：（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ． 因为M 为PC 中点，所以HM CD ∥，12HM CD =． 因为AB CD ∥，12AB CD =．所以AB HM 且AB HM =．所以四边形ABMH 为平行四边形，所以BM AH ．因为BM ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ， 所以BM ∥平面PAD ． （2）取AD 中点O ，连结PO ． 因为PA PD =，所以PO AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．取BC 中点K ，连结OK ，则OK AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，设2AB =，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,4,0C -，()1,0,0D -，()3,P ，()2,2,0BC =-，(1,2,3PB =-．平面BCD 的法向量(3OP =，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，由00BC n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩．令1x =，则(1,1,3n =，15cos ,OP n OP n OP n⋅==． 由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --的余弦值为5． 19（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为193，最小值为133-. 解: (I) ()3(1)1 3f x x ax x R =-+∈， ()2 f x x a '∴=- ()2 40f a '=-=,4a ∴=(II) 由(I)可得:()()32141,43f x x x f x x '=-+=-， 令()240f x x '=-=，解得2x =+，列出表格如下:又()()1913 34,3233f f -=<=->- 所以函数()f x 在[33]-，区间上的最大值为193，最小值为133- 20．（Ⅰ）：2x 4+y 2＝1；（Ⅱ）m =（Ⅰ）由题意知：2a =，c a =c = 2221b a c ∴=-= ∴椭圆M 的方程为：2214x y += （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y联立2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x mx m ++-= ()226420440m m ∴∆=-->，解得：m <<1285m x x ∴+=-，212445m x x -=5AB ∴==又点C 到直线AB的距离为：d =111225ABC S AB d ∆∴=⋅=⨯=，解得：(2m =±∈2m ∴=±21．(1) 若0a ≤，()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0a >，()f x 在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减;(2) 1[,)2+∞试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1axf x x='-， 若0a ≤，则()0f x '>恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增； 若0a >，则由()10f x x a=⇒='， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上可知：若0a ≤，()f x 在()0,+∞上单调递增； 若0a >，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++， 令()()2ln 1g x x x a x =--，()1x ≥，()ln 12g x x ax +'=-，令()()ln 12h x g x x ax ==+-'，()12axh x x-'=①若0a ≤，()0h x '>，()g x '在[)1,+∞上单调递增，()()1120g x g a ≥=-'>'，∴()g x 在[)1,+∞上单调递增,()()10g x g ∴≥=， 从而()ln 01xf x x -≥+不符合题意． ②若102a <<，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，∴()g x '在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 从而()()1120g x g a ≥=-'>'，∴()g x 在[)1,+∞上单调递增,()()10g x g ∴≥=， 从而()ln 01xf x x -≥+不符合题意．……………………10分 ③若12a ≥，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立， ∴()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递减,()()10g x g ∴≤=，()ln 01xf x x -≤+综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
甘肃省武威市第六中学2019-2020学年高二上学期第一次学段考试数学(理)试题 含解析
武威六中2019-2020学年度第一学期第一次学段考试高二数学（理）试卷一、选择题。
1.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ） A. 23 B. 6C. 43D. 12【答案】C 【解析】 【分析】椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，进而可得△ABC 的周长【详解】椭圆2213x y += ，a=3，长轴长2a=23设直线BC 过椭圆的右焦点F 2，根据椭圆的定义可知： |AB|+|BF 2|=2a=23，|AC|+|F 2C|=2a=23．∴三角形的周长为：|AB|+|BF 2|+|AC|+|F 2C|=4a=43 ．故选：C【点睛】椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的常用结论有：①|PF 1|+|PF 2|=2a ；②当点P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大；③焦点三角形的周长为2（a+c ）.2.双曲线2262511x y -=的一个焦点坐标为（ ）A. (3,0)B. (0,4)-C. (41,0)-D.41)【解析】 【分析】由双曲线的方程得,a b ，利用c =【详解】双曲线的方程为2262511x y -=，则5,4a b ==，得c ==，即焦点为(),其中一个焦点坐标为:(). 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查焦点坐标的求法，属于基础题． 3.抛物线21y ax =的准线方程是1y =，则a 的值是（ ） A.14B. 14- C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线方程化成标准方程，再由准线方程，得到a 的方程，解得即可．【详解】抛物线21y a x =的标准方程为2x ay =，其准线方程为4a y =-， 又抛物线准线方程为1y =，得14a=-，解得4a =-.故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意化成抛物线的标准方程，属于基础题． 4.已知中心在原点的双曲线C 的一个顶点为(0,2)-，虚轴长为2．则双曲线C 的方程为( )A. 2214x y -=B. 22144-=y xC. 2214y x -=D.2214y x -= 【答案】D 【解析】由题意得双曲线C 的焦点在y 轴上，再根据已知条件得2a =，1b =，从而得C 的标准方程．【详解】∵中心在原点的双曲线C 的一个顶点为()0,2-，则其焦点在y 轴上，得2a =，又其虚轴长为2，则22b =，解得1b =，∴C 的标准方程是：2214y x -=．故选：D ．【点睛】本题考查求双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，注意焦点在哪个轴上，属于基础题．5.已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上.若焦距为m 等于（ ）A. 4B. 5C. 7D. 8【答案】C 【解析】 【分析】由题意得22a m =-，210b m =-，则222212c a b m =-=-，又其焦距为，即c =m 的值即可．【详解】由椭圆方程221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，得22a m =-，210b m =-，则222212c a b m =-=-．又其焦距2c =，解得c =所以2122m -=，解得7m =． 故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的方程和几何性质，考查椭圆中的参数,,a b c 的关系，注意焦点在y 轴上，属于基础题．6.设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A. 2211216x y +=B. 2211612x y +=C. 2214864x y +=D.2216448x y += 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m 、n 和c 的关系求得n. 【详解】∴抛物线28y x =,4p ∴=,焦点坐标为(2,0)∴椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同 ∴椭圆的半焦距2c =,即224m n -=212e m ==Q ，4m n ∴===，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b 和c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n =,因而椭圆方程确定.【此处有视频，请去附件查看】7.相距4k 米的,A B 两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k 米，则炮弹爆炸点P 的轨迹可能是（ ）A. 双曲线的一支B. 双曲线C. 椭圆D. 抛物线【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得：24PA PB k k AB -=<=，根据双曲线的定义可判断出答案． 【详解】由已知条件可得：24PA PB k k AB -=<=，根据双曲线的定义可知：点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2k 米的双曲线上． 故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，属于基础题.8.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=o，则椭圆的离心率为（ ）B.13C.12【答案】D 【解析】 【分析】把x c =-代入椭圆方程求得P 的坐标，进而根据1230F F P ∠=o，推断出22b a c =，整理220e +=，解得e 即可．【详解】已知椭圆的方程22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得把x c =-代入椭圆方程，解得P 的坐标为（﹣c ，2b a ）或（﹣c ，﹣2b a），∵1230F F P ∠=o，∴2tan 302b a c ==o，即)2222ac a c ==-220e +=，∴ee． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属于基础题．9.若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，则该双曲线的离心率为（ ）C.D. 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -==得a b =，所以c =，ce a==A ． 考点：双曲线的性质．10.P 为椭圆22184x y +=上的点，12,F F 是两焦点，若1260F PF ∠=o，则12F PF ∆的面积是（ ） A.B.C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝60°，|F 1P|+|PF 2|＝2a ＝，|F 1F 2|＝4，利用余弦定理可求得|F 1P|•|PF 2|的值，从而可求得△PF 1F 2的面积．【详解】∵椭圆22184x y +=，∴a ＝b ＝2，c ＝2．又∵P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°，且F 1、F 2为左右焦点，由椭圆的定义得|F 1P|+|PF 2|＝2a ＝|F 1F 2|＝4， ∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|•|PF 2|cos60° =（|PF 1|+|PF 2|）2﹣2|PF 1||PF 2|﹣2|F 1P|•|PF 2|cos60° ＝32﹣3|F 1P|•|PF 2|＝16∴|F 1P|•|PF 2|＝163，∴12PF F S ∆＝12|PF 1|•|PF 2|sin60°＝12×163故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的定义及其简单的几何性质，考查了余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．11.椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜，则ab的值为（ ）A.4C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出A 、B 两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到A 、B 两点的横纵坐标的和，则A 、B 中点坐标可求，由斜率公式列式可得ab的值． 【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立22112ax by y x⎧+=⎨=-⎩，得：()24410a b x bx b +-+-=，()()()244414164b a b b a b ab ∆=--+-=+- ①．12124414b x x a b b x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩⇒12224x x ba b +=+， ∴()121212*********x x y y x x -++-+-==＝()1241144b a x x a b a b -+=-=++． 设M 是线段AB 的中点，∴M （2,44b aa b a b++）．∴直线OM的斜率为4224aa ab b b a b+==+则ab=代入①满足△＞0（a ＞0，b ＞0）． 故选：C ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了斜率公式的应用，属于中档题．12.抛物线22y x =上的点到直线50x ++=距离的最小值是（ ） A. 3 B.74C.85D.43【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线上点200,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式表示出距离，然后利用二次函数性质求得其最小值即可．【详解】因为点P 在抛物线22y x =上，设200,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则点P到直线50x ++=的距离d ===，0y R ∈Q ，∴当0y =min 74d=． 故选：B ．【点睛】本题考查直线与抛物线上的点距离的最值问题，关键把距离表示为二次函数，借助二次函数性质解决问题,属于基础题.二、填空题。
甘肃省武威市2019年数学高二年级上学期期末考试试题
甘肃省武威市2019年数学高二年级上学期期末考试试题一、选择题1．已知命题p ：0x R ∃∈,01cos 2x ≥-，则p ⌝是 A ．0x R ∃∈,01cos 2x ≤- B ．0x R ∃∈,01cos 2x <- C ．x R ∀∈,1cos 2x ≤-D ．x R ∀∈,1cos 2x <-2．不等式2210x x -+>的解集为 ( ) A.RB.{|x x ∈R ，且1}x ≠ C .{|1}x x >D.{|1}<x x3．用计算器或计算机产生20个01之间的随机数x ，但是基本事件都在区间[]1,3-上，则需要经过的线性变换是( ) A.31y x =-B.31y x =+C.41y x =+D.41y x =-4．已知函数()sin cos f x x x =-,且()()2f x f x '=,其中()f x '是()f x 的导函数，则221sin cos sin 2xx x+=-（ ） A ．195-B ．195C ．113D ．113-5．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ） A.250x y +-=B.240x y +-=C.370x y +-=D.350x y +-=6．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则 ()P BA =∣ （ ） A ．14B ．34C ．110D ．3107．若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦久韶是我国南宋时期的著名数学家，他在其著作《数书九章》中提出的多项式求值的算法，被称为秦久韶算法，下图为用该算法对某多项式求值的程序框图，执行该程序框图，若输入的2x =，则输出的S 为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．159．设,,αβγ为三个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，则下列命题中假命题是（ ）A ．当αβ⊥时，若2,35a b =-=，则αγ⊥ B ．当m α⊥，n β⊥时，若//αβ，则//m nC ．当m α⊂，n β⊂时，若//αβ，则,m n 是异面直线D ．当//m n ，n β⊥，若m α⊂，则αβ⊥10．在等差数列{}n a 中，280a a +=，则其前9项和9S 的值为（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．211．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（ ） A.1(,)3+∞B.1(,)3-∞C.1[,)?3+∞D.1(,]3-∞12．执行如图所示的程序框图，输出的S 和n 的值分别是（ ）A.20，5B.20，4C.16，5D.16，4二、填空题13．已知实数x ，y 满足2x y 0x y 4y 1-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则y x 2+的取值范围为______．14．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 15．某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______． 16．曲线xy e x =+在点（0，1）处的切线方程为 . 三、解答题 17．已知函数（、为常数）.若函数与的图象在处相切，（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设函数，若在上的最小值为，求实数的值;（Ⅲ）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.18．某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：成绩有影响？（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望. 参考公式：，其中参考数据：A.命题“使得”的否定是：“均有”B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C.若为真命题，则也为真命题D.“”是“”的必要不充分条件20．已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.21．已知数列是等差数列，是其前项和.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
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甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={|＜0}，B={y|0＜y＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．34．（5分）已知命题p：“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”，命题q：“a”的充要条件为“lna＞lnb”，则下列复合命题中假命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨￢q D．p∧（￢q）5．（5分）已知向量=（2，4，5），=（3，，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．=6，y=15 B．=3，y=C．=3，y=15 D．=6，y=6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°7．（5分）函数f（）=（﹣3）e的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）8．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真9．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B．C．D．10．（5分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为（）A． B．0 C．D．11．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．212．（5分）命题p：∀∈R，a2+a+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）命题“∀＞0，2﹣≤0”的否定是．14．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±3，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．15．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||= ．16．（5分）下列命题是真命题的是①平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；②如果向量是三个不共线的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得；③若命题p是命题q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知曲线C：f（）=3﹣．（1）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试求与直线y=5+3平行的曲线C的切线方程．18．（12分）已知a∈R，命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知函数f（）=﹣2+a﹣ln（a∈R）．（I）当a=3时，求函数f（）在[，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数f（）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点．（ I）证明：平面AED∥平面B1FC1；（ II）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．22．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={|＜0}，B={y|0＜y＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：A={|＜0}={|0＜＜1}，则“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，故选：A2．（5分）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：根据题意，易得+=（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（﹣1，，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（﹣1）+2﹣2×2=0．∴=，故选D．3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．4．（5分）已知命题p：“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”，命题q：“a”的充要条件为“lna＞lnb”，则下列复合命题中假命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∨￢q D．p∧（￢q）【解答】解：对于命题p，中括号内【“若2﹣3+2=0，则=1”的逆否命题为“若≠1，则2﹣3+2≠0”】整个是p命题，而不是单看引号内的命题，p为真；对于命题q，当a=1、b=0时，a，但lna＞lnb不成立，q是假命题，∴￢q是真命题；∴p∧q是假命题，p∨q、（￢p）∨（￢q）和p∧（￢q）是真命题．故选：B．5．（5分）已知向量=（2，4，5），=（3，，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．=6，y=15 B．=3，y=C．=3，y=15 D．=6，y=【解答】解：∵l1∥l2，∴存在非0实数使得，∴，解得，故选：D．6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°【解答】解：不妨设BB1=1，则AB=，•=（）•（）=+++ =0+cos60°﹣12+0=0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B7．（5分）函数f（）=（﹣3）e的单调递增区间是（）A．（0，3）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：函数f（）=（﹣3）e，∴f′（）=e+（﹣3）e=（﹣2）e，令f′（）=0，解得=2；当＞2时，f′（）＞0，f（）是单调增函数，∴f（）的单调增区间是（2，+∞）．故选：C．8．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解答】解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，D正确；“a＞b”⇔“a+c＞b+c”，故B错误；“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；故选：D9．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（）A．B．C．D．【解答】解：选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有=0；选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有=0；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有=0；选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即≠0．故选：D10．（5分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为（）A． B．0 C．D．【解答】解：空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=，∴=﹣，∴•=•（﹣）=•﹣•=||×||×cos﹣||×||×cos=||×（||﹣||）=0，∴cos＜，＞==0．故选：B．11．（5分）过抛物线y2=2p（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：设A（1，y1），B（2，y2），，，又，可得，则，故选C．12．（5分）命题p：∀∈R，a2+a+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）【解答】解：命题p的否定是￢p：∃∈R，a2+a+1＜0成立，即a2+a+1＜0成立是真命题；当a=0时，1＜0，不等式不成立；当a＞0时，要使不等式成立，须a2﹣4a＞0，解得a＞4，或a＜0，即a＞4；当a＜0时，不等式一定成立，即a＜0；综上，a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．故选：D．二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）命题“∀＞0，2﹣≤0”的否定是∃＞0，2﹣＞0 ．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃＞0，2﹣＞0，故答案为：∃＞0，2﹣＞014．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±3，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3，则设双曲线的方程是，又它的一个焦点是故λ+9λ∴λ=1，故答案为：15．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||= ．【解答】解：∵=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），=（8，﹣5，13），∴||==．故答案为：16．（5分）下列命题是真命题的是③①平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；②如果向量是三个不共线的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得；③若命题p是命题q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件．【解答】解：①平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，不正确，由椭圆的定义可得应为距离之和大于|F1F2|，否则为线段或轨迹不存在；②如果向量是三个不共线的向量，不一定不共面，故它们不一定能作为空间基底，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得，不正确；③若命题p是命题q的充分非必要条件，则￢q是￢p的充分非必要条件，则￢p是￢q的必要非充分条件，正确．故答案为：③．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知曲线C：f（）=3﹣．（1）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；（2）试求与直线y=5+3平行的曲线C的切线方程．【解答】（10分）解：（1）∵f（）=3﹣，∴f（1）=0，求导数得f'（）=32﹣1，∴切线的斜率为=f'（1）=2，∴所求切线方程为y=2（﹣1），即2﹣y﹣2=0．（2）设与直线y=5+3平行的切线的切点为（0，y），则切线的斜率为，解得，代入曲线方程f（）=3﹣得切点为或，∴所求切线方程为或，即或．18．（12分）已知a∈R，命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）由命题p为真命题，a≤2min，a≤1；（ II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，∴AD2=DE2+AE2，∴∠AED=90°，即AE⊥CD．∵AB∥CD，∴AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分）（Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A，∴CD⊥平面PAE，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAE．∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面…（8分）所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．…（9分）在RT△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即．…（10分）∵PA=2，∴．所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）（Ⅱ）解法二：以A为原点，AB、AE分别为轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣y，如图所示．因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），则，，，…（7分）由（Ⅰ）知AE⊥平面PAB，故平面PAB的一个法向量为，…（8分）设平面PCD的一个法向量为，则，即，令y=2，则．…（10分）∴==．所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知函数f（）=﹣2+a﹣ln（a∈R）．（I）当a=3时，求函数f（）在[，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）函数f（）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=3时，f′（）=﹣2+3﹣=﹣=﹣，函数f（）在区间（，2）仅有极大值点=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在[，2]最大值是f（1）=2，又f（2）﹣f（）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f（2）＜f（），故函数在[，2]上的最小值为f（2）=2﹣ln2．（Ⅱ）若f（）既有极大值又有极小值，则必须f′（）=0有两个不同正根1，2，即22﹣a+1=0有两个不同正根．故a应满足⇒⇒，∴函数f（）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是．21．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点．（ I）证明：平面AED∥平面B1FC1；（ II）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．【解答】解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣y，不妨设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），E（2，0，1），D（0，2，0），F（0，2，1），B1（2，0，2），C1（2，2，2）；设平面AED的法向量为=（1，y1，1），则∴令1=1，得=（1，0，2），同理可得平面B1FC1的法向量=（1，0，2）；∴平面AED∥平面B1FC1；（Ⅱ）由于点M在AE上，∴可设=λ=λ（2，0，1）=（2λ，0，λ），可得M（2λ，0，λ），于是=（2λ，0，λ﹣2）；要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，∴•=（2λ，0，λ﹣2）•（2，0，1）=5λ﹣2=0，解得λ=；故当AM=AE时，A1M⊥平面DAE．22．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，得．①…（2分）由椭圆C经过点，得．②…（3分）联立①②，解得 b=1，．…（4分）所以椭圆C的方程是．…（5分）（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+32）2+12+9=0．…（7分）令△=1442﹣36（1+32）＞0，得2＞1．设A（1，y1），B（2，y2），则，．…（9分）所以．…（10分）因为，设2﹣1=t（t＞0），则．…（13分）当且仅当，即时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（14分）。