河南省2017-2018学年高一全国高中数学联赛预赛试题

河南省2017-2018学年高一全国高中联赛预赛数学试题
一、填空题
1.集合2{|560}P x x x =-+=，{|10}M x mx =-=，且M P ⊆,则满足条件的实数m 组成的集合为 ．
2.函数()f x =的值域是 ．
3.已知函数|2|3||220181()41
x x x f x -+=+在R 上的最大值为M ,最小值为m ,M m += ．
4.已知四面体ABCD 中, 5AB CD ==,AD BC ==AC BD ==则该四面体
的体积为 ．
5.已知关于x 的方程32x ax bx ++10a b ---=有两个根分别在(0,1),(1,)+∞内,则211
a b a +++的取值范围是 ． 6.在直线3x =上任取一点P ,过点P 向圆22(2)4x y +-=作两条切线,其切点分别为,A B ,则直线AB 经过一个定点，该定点的坐标为 ．
7.已知A ∠为锐角,的最小值为 ．
8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为23
,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为+()N i x i ∈的概率为i p ,这里要求1()N i I x x i +<∈,则1i i i S x p +∞==
=∑ ． 二、解答题
9.(1)证明对于任意的正实数,a b 都有: a b +≥；
(2)已知正数,x y 满足: 1x y +=，求
14x y
+的最小值.
10.设锐角ABC ∆边,,BC CA AB 上的垂足分别为,,D E F ,直线EF 与ABC ∆的外接圆的一个交点为P ,直线BP 与DF 交于点Q .证明: AP AQ =.
11.已知实数,x y 满足:2
1cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+，求xy 的最小值.
12.设,S T 是两个非空集合若存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:
(i) {()|}T f x x S =∈；
(ii) 12,x x S ∀∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <.
那么称这两个集合“保序同构”.
证明: (1)(0,1),R A B ==是保序同构的；
(2)判断,Z Q A B ==是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明理由.
【参考答案】
一、填空题 1. 11{,,0}23 2. [2,2] 3. 2 4. 20 5. (0,2) 6. 4(,2)3 7. 10 8. 185
二、解答题
9.解：(1)由2a b ab +-2()0a b =-≥，故2a b ab +≥.
(2) 1414()()x y x y x y +=++414y x x y =+++4529y x x y
≥+⋅=， 等号在12,33
x y ==处取到，故最小值为9. 10.解：如下图所示,由于,,D E F 是垂足,则90BFC BEC ∠=∠=o ,
故,,,C B F E 四点共圆，从而AFE ACB ∠=∠
而 =BFD FQB FBQ BCA PCB PCA
∠∠+∠⎧⎨∠=∠+∠⎩FQB ⇒∠=PCB PAF ∠=∠ 故,,,A F P Q 四点共圆
AQP AFE ⇒∠=∠=ACB APQ ∠=∠AP AQ ⇒=
11.解：2
1cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+=22(2)2()111x y xy x y x y +-+-++-+ 2(1)11x y x y -++==-+111
x y x y -++-+， 由于201cos <+(1)2x y +-≤，故10x y -+>，从而1121x y x y -++≥-+
21cos (1)211x y x y ⎧++-=⇒⎨-+=⎩2cos (1)1x y x y
⎧+-=⇒⎨=⎩1π,Z x y k k x y +-=∈⎧⇒⎨=⎩ 1π2k x y +⇒==
，Z k xy ∈⇒=21π1(),24Z k k +≥∈，故min 1()4
xy =. 12.解：(1)令()tan[(f x x =-1)π]()2x A ∈， 则()f x 单调增,且其值域为R ,因此A 和B 是保序同构的.
(2)集合,Z Q A B ==不是保序同构的.
事实上上若集合,Z Q A B ==是保序同构的.
则存在函数()y f x =,使得(1),(2)f a f b ==,其中,,Q a b a b ∈<. 考察数2
Q a b c +=∈，则a c b <<,由于A 和B 是保序同构的,则存在Z x ∈使()f x c =， 结合()y f x =单调递增,则12x <<,矛盾.。